integrali_i_deo_zadaci

8/7/2019 integrali_I_deo_zadaci

1/8

1

INTEGRALI ZADACI (I DEO)

Ako je f(x) neprekidna funkcija i F `(x) = f(x) onda je ( ) ( )f x dx F x C = + , gde je Cproizvoljna konstanta.

Morate nauiti tablicu osnovnih integrala:

2

1

.

2.2

3. najee se koristi...1

14. ln ili da vas ne zbuni ln

5. ln

6.

7. sin cos

8. cos sin

9.

nn

xx

x x

dx x C

xxdx C

xx dx C

n

dxdx x C x C

x x

a

a dx C a

e dx e C

xdx x C

xdx x C

+

= +

= +

= ++

= + = +

= +

= +

= +

= + +

2

2

2 2 2

2 2 2

1

sin

10.

cos

ili1 1 11. to jest

1

arcsin ili1 12. to jest arcsin

1

dx ctgx C x

dx tgx C x

arctgx C xdx dx arctg C

arcctgx Cx a x a a

x C xdx dx C

arccocx C ax a x

= +

= +

+= = +

++ +

+= = +

+

Ovo su osnovni tablini integrali. Neki profesori dozvoljavaju da se kao tablini koriste i :

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1 13. ln odnosno ln to jest

1 2 1 2 2

4. ln 1 odnosno ln1

dx x dx a x dx x aC C C

x x a x a a x x a a x a

dx dxx x C x x a C

x x a

+ + = + = + = +

+

= + + = + +

www.matematiranj


2/8

2

Primeri:

. 5 1 6

5

5 1 6

x xdx C C

+

= + = ++ kao 3. tablini

1

1

nn xdx C

n

+

= ++

2. 7

7ln 7

xxdx C= + kao 5. tablini ln

xx aa dx C

a= +

. xdx = pogledamo i vidimo da ga ovaj integral nema u tablici osnovnih integrala... Ideja je da se kod ovakvih

ntegrala iskoristi pravilo za stepenovanje1

2, odnosnon

m n mx x x= = . Na ovaj nain se integral svede na naj

upotrebljavani tablini1

1

nn xdx C

n

+

= ++

.

Dakle:1 3 3

11 2 2 22

2

1 3 3

12 2

x x xxdx x dx C C C

+

= = + = + = +

+

4. 12

1dx

x= I ovaj ga nema u tablici...Za njega emo upotrebiti pravilo za stepenovanje, da je

1 nn

xx

= ...

12 1 11

12

12 11

1 1

12 1 11 11

x xdx x dx C C C

x x

+ = = + = + = +

+

Najbolje je da se mi podsetimo svih pravila za stepenovanje i korenovanje:

1) 10 =a

2)n

n

aa

1=

3) nmnm aaa +=

4) nmnm aaa =:

5) nmnm aa =)(

6) nn baba = )(

7)n

nn

b

a

b

a=

8)

nn

a

b

b

a

=

www.matematiranj


3/8

3

1) nm

n m aa =

2) nnn baba =

3) nnn baba :: =

4) ( ) n mmn aa = 5) mnn m aa =

6)m p

an p

n ma=

Nastavimo sa primerima

5. 3 xdx = Upotrebimo pravila za stepen i koren da pripremimo podintegralnu funkciju :

1 1 41

13 3 3 3

4 7 71

4 3 3 33 3

3

4 7 71

3 3

x x x x x x

x x x

x xdx x dx C C C

+

+

= = =

= = + = + = ++

6.

5

1 5 35 3 5

53 3ln

3

x

x

x x x

xdx dx dx C

= = = +

7.

7

82 3 4 3 74 4 8

?

"Spakujemo" podintegralnu funkciju

x x x d x

x x x x x x x x x x x

=

= = = = =

7 15 151

7 8 8 88

8

7 15 151

8 8

x x xx dx C C C

+

= + = + = ++

Da se upoznamo i sa osnovnim svojstvima neodredjenog integrala:

1) ( ) ( ) gde je A konstanta (broj)A f x dx A f x dx =

Dakle, slino kao i kod izvoda, konstanta (broj) izlazi ispred integrala...

www.matematiranj


4/8

4

Primeri:

8.

3

3 3

4 ?

4 4 4

x dx

x dx x dx

=

= =

4

4

x 4C x C+ = +

9.

1?

4

1 1 1 1ln

4 4 4

dxx

dx dx x C x x

=

= = +

0.

2 sin ?

2 sin 2 sin 2 ( cos ) 2 cos

xdx

dx xdx x C x C

=

= = + = +

2) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =

Opet slino kao kod izvoda: Ako imamo zbir ili razliku vie funkcija od svake traimo posebno integral...

1.2

2 2

2

3 2 32

(4 2 3) ?

(4 2 3) 4 2 3 konstante izbacimo ispred integrala...

4 2 3

4 + 2 3 4 + 33 2 3

x x dx

x x dx x dx xdx dx

x dx xdx dx

x x xx C x x C

+ =

+ = + =

= +

= + = +

2.

3

2

3 3

2 2

1 4 23(5cos 2 2 5 ) ?3 sin

1 4 23 1 1(5cos 2 2 5 ) 5 cos 2 4 23 2 5

3 sin 3 sin

15 sin

3

x x

x x x x

x e x dxx x

dxx e x dx xdx e dx x dx dx dx

x x x x

x

+ + + =

+ + + = + + + =

= +

4 5

2 4 ln 23( ) 24 ln 5

xx xe x ctgx C + + +

www.matematiranj


5/8

5

3.

3

2?

xdx

=

Kod ovog i slinih integrala emo upotrebitiA B A B

C C C

=

2 3 2 3

3 3 3

2 1 3 1

2 2( ) ( 2 ) 2

= 22 1 3 1

x xdx dx x x dx x dx x dx

x x x

x xC

+ +

= = =

+ + +

2

1 1 C

x x= + +

4.

1 12 5?

10

x x

xdx

+ =

Da prisredimo najpre malo podintegralnu funkciju...

11 1 11 1

5 52 2

2 5 2 2 2 1 5 1 1 15 5 2 210 10 10 10 10 5 10 5 5 2

x xx

x x x xx x x

x x x x

+ = = = =

1 12 5 1 1 1 1 1 1[2 ] 2

10 5 5 2 5 5 2

1 1

1 1 1 15 22 2

1 15 5 2 5ln ln

5 2

x x x xx x

x

x x

x x

dx dx dx dx

dx dx C

+ = = =

= = +

5.

2

2 ?1

xdx =+ Ovo je tip integrala koji najlake reavamo malim ''trikom'' ( dodamo 1 i oduzmemo 1)

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1 1 1

x x x xdx dx dx dx

x x x x

+ + += = =

+ + + + 2 1x + 2

2

1

1

1

1

dx dxx

dx dx x arctgx C x

+

= = ++

ovde e nam trebati znanje iz trigonometrije. Da se podsetimo nekih najvanijih formula: www.matematiranje.com


6/8

6

Osnovni trigonometrijski indetiteti

1) 1cossin 22 =+

2)

cos

sin=tg

3)

sin

cos=ctg

4) 1= ctgtg

Adicione formule

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

( )1

1

( )

tg tg tg

tg tg

ctg ctg

ctg ctg ctg

+ = +

+ =

++ =

+ = +

ctgctg

ctgctg

ctg

tgtg

tgtgtg

+

=

+

=

+=

=

1

)(

1)(

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

Polovina ugla

1.2

cos1

2sin

= ili 2 2

1 cos22sin 1 cos odnosno sin

2 2

xx

= =

2.2

cos1

2cos

+= ili 2 2

1 cos22cos 1 cos odnosno cos

2 2x

+= + =

3.

cos1

cos1

2 +

=tg

4.

cos1

cos1

2

+=ctg

Transformacije zbira i razlike u proizvod Dvostruki ugao

1.2

cos2

sin2sinsin

+

=+ 1. cossin22sin =

2.2

sin2

cos2sinsin

+

= 2. 22 sincos2cos =

3. 2cos2cos2coscos

+

=+ 3.

21

22 tg

tgtg =

4.2

sin2

sin2coscos

+

= 4.

ctg

ctgctg

2

12

2 =

5.

coscos

)sin( = tgtg

6.

sinsin

)sin( = ctgctg www.matematiranje.com


7/8

7

6.

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

cos2? treba nam formula cos2 cos sin

sin cos

cos 2 cos sinrastavimo na dva integrala...

sin cos sin cos

cos sin...

sin cos sin coscos

xdx x x x

x x

x x xdx dx

x x x x

x xdx dx skratimo

x x x xx

= =

= =

=

2 2sin cosx x

2sin xdx 2sin x 2

2 2

i dobijamo dva tablina integrala...cos

1 1

sin cos

dxx

dx dx ctgx tgx C x x

=

= +

7.

2 22 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

? treba nam formula sin cos 1sin cos

1 1 sin cosuz dx je 1, zar ne?= rastavimo na dva integrala...

sin cos sin cos sin cos

sin cos

sin cos sin co

dx x xx x

dx x xdx dx

x x x x x x

x xdx

x x x

= + =

+= = =

+

22

...s

sin

dx skratimox

x

=

2sin x

2

2

cos

cos

xdx

x+

2 2sin cosx x

2 2

i dobijamo dva tablina integrala...

1 1

cos sin

dx

dx dx tgx ctgx C x

=

= + +

8.

2

22 2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

?

sin

cos

sin

kako je sin cos 1 sin 1 cos , pa jecos

1 cos 1 cos=

cos cos cos

tg xdx

xOvde koristimo tgx

x

x

tg xdx dxx

dx dxx x x

=

=

= = + = =

=

21

cosdx dx dx tgx x C

x= = +

www.matematiranj


8/8

8

9.

218 2?

3 1

xdx

x

=

Probamo da sredimo podintegralnu funkciju, ako nee, mora se koristiti neki drugi trik( druga metoda)...

2 2 2 (3 1)18 2 2(9 1)

3 1 3 1

xx x

x x

= =

(3 1)

3 1

x

x

+

2(3 1) 6 2x x= + = + Sad je ve lake...

2 2218 2 (6 2) 6 2 6 2 3 2

3 1 2

x xdx x dx xdx dx x C x x C

x

= + = + = + + = + +

20.

2 2

4?

2

(2 ) (2 )4 2 ( ) (2 )(2 )

2 2 2

xdx

x

x xx x x x

x x x

=

+

+ += = =

+ + +

2 x+

1

2

3 31 1 2 22 2

2 2

4 2(2 ) 2 2 2

3 32

2

x

x x xdx x dx dx x dx x C x C

x

= =

= = = + = +

+

www.matematiranj

integrali_i_deo_zadaci

Documents