5/27/2018 Integrales y Geologia

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EL CLCULO DIFERENCIALY LA GEOLOGIA

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Qu es una integral?

La integracines un concepto fundamental del clculo y delanlisis matemtico.

Bsicamente, una integral es una generalizacin de la suma deinfinitos sumandos, infinitamente pequeos.

El clculo integral, encuadrado en elclculo infinitesimal, es una rama de las

matemticas en el proceso de integracino anti derivacin, es muy comn en la

ingeniera y en la ciencia tambin; seutiliza principalmente para el clculo dereas y volmenes de regiones y slidos

de revolucin

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Las integrales aparecen en muchas situaciones prcticas. Considrese unapiscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de sulongitud, anchura y profundidad, se puede determinar fcilmente el volumen

de agua que puede contener (para llenarla), el rea de la superficie (paracubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con unfondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Unaposibilidad es calcularlas mediante integrales.

Cojamos un caso practico. Calcular el rea bajo la curva de raz de x.

En primera instancia podemos ir calculando el rea de los pequeosrectngulos verdes que tenemos, sumarlos todos y obtener un reaaproximada.

Tambin podemos calcular mucho mas fcilmente el rea bajo la curvacon la integral de raz de x, en este caso de 0 a 1.

En ambos casos obtenemos aproximadamente el mismo rea, pero muchomas fcil con integracin

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Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todasequivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casosespeciales que no pueden ser integrables con otras definiciones, perotambin en ocasiones por razones pedaggicas. Las definiciones msutilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales deLebesgue.

INTEGRAL DE RIEMANN

INTEGRAL DE LEBESGUE

INTEGRAL DE SUPERFICIE

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1-LA INTEGRAL DE RIEMANN:

No est definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia

prctica (y de inters terico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrarfcilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puedeadaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creacin de otrasdefiniciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido ms amplio de funciones.En este caso puede haber distintos tipos de integral dependiendo los intervalos que

cojamos.

Cada intervalo lo etiquetamos con un numero en particular. Con cada intervalohallado, teniendo su rea y altura el valor de la funcin que le corresponde,

calculamos el sumatorio de todos ellosCuanto mas pequeo sea el intervalo que calculamos mas fiable ser el valor queobtenemos del rea bajo la funcin

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2- INTEGRAL DE LEBESGUE

La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base decentrar la atencin en los pesos de la suma ponderada.

Como expresa Folland:"Para calcular la integral de Riemann def, separticiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de

Lebesgue, "de hecho lo que se est particionando es el recorrido def".

En este caso, los intervalos son con respecto al eje Y, es decir la imagen.

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3-INTEGRALES DE SUPERFICIE

La definicin de las integrales de superficie descansa en la divisin de la

superficie en pequeos elementos de superficie.

Una integral de superficie es una integral definida calculada sobreuna superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puedeentender como la integral doble anloga a la integral de lnea. La funcin a

integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la

integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todoslos puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la

superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la particinpara los sumatorios de Riemann.

La definicin de las integrales desuperficie descansa en la divisin de

la superficie en pequeoselementos de superficie.

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TALUDES:

Obras de ingeniera que adaptan el terreno segn nuestras necesidades.Consiste en igualar el terreno seccionando parte de la montaa o, todo lo

contrario, aadindole material.

Se hace necesario el clculo de reas y volmenes con integrales. Debemossaber la cantidad de tierra exacta que debemos trabajar, ya sea poniendo oquitando, para ajustarnos al proyecto.

Por ejemplo en el desmonte, en una carretera o camino, necesitamosconocer el rea total sobre la que vamos a trabajar, y el volumen de tierra queprecisamos eliminar para conseguir que sea la opcin ms segura yeconmica posible.Para poder realizar, tenemos el perfil de la zona de trabajo, en este caso lamontaa monte que queremos seccionar, sabiendo ya por donde cortar solonos falta obtener el rea del terreno que nos sobra.

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TERRAPLN Y

DESMONTE

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MUROS

La construccin de muros,diques de contencin, etc.muchas veces se hace bsicaen cualquier obra de ingenierarelacionada estrechamentecon el terreno para lo que

tenemos que tener en cuentaque la fuerza que va a soportano va a estar localizada en unsolo punto, si no que va a estardistribuida por lo quetendremos que utilizar elclculo diferencia paracalcularla y construir laestructura garantizando suestabilidad.

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En el diseo de un murotambin tenemos quetener en cuenta elmaterial que va a soportary la forma ms econmica

y a la vez ms segura.

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Por ejemplo, un problema tpico de esfuerzos diferenciales quepodemos encontrarnos en la construccin de cualquier muro, en

el que tenemos que tener en cuenta el material en el quetrabajamos

El peso especfico en un suelo est dado por :

Donde z es la profundidad en metros y peso es el peso especfico enKN/m3. Si la primera capa que cumple esta propiedad tiene unaprofundidad de 25m. Encontrar el esfuerzo total promedio de la misma.

Solucin:

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LLANURAS DE INUNDACIN

En geologa, y en cualquier otro tipo de ingeniera que requiera de laconstruccin de estructuras cercana al lecho de los ros, es primordial

conocer la llanura de inundacin de este.

Este factor se debe de tener muy en cuenta a la hora derealizar cualquier tipo de construccin cercana a los ros,

ya que en pocas de lluvias, o por crecidas repentinas,estas zonas son las ms propensas a ser inundadas en

primera instancia cuando el rio se desborda o

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EMBALSES

En los embalses es primordial calcular y determinar con exactitud lazona en la que se va a construir.

A parte de saber bien la zona ms adecuada para su construccin.

Tambin, el volumen total de aguaque puede soportar la presa.

Es primordial que todo se haga a laperfeccin y se tenga buen dominio deestas tcnicas, ya que el ms mnimocambio o error puede producir una

catstrofe, no solo destrozando la presasino provocando una inundacin de todo

lo que est por debajo de esta, ya seacarreteras, pueblos, cultivos o ciudades.

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Se hace primordialconocer la topografa

de la zona y para ellotenemos los mapas

topogrficos queanalizaremos en

profundidad

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FUERZAS HIDROSTTICAS SOBRESUPERFICIES SUMERGIDAS

Cuando se va a disear canales, compuertas, barcos, submarinosy otros, es necesario estudiar las fuerzas que se originan por laaccin de la presin sobre superficies sumergidas.

Para que queden completamentedeterminadas estas fuerzas esnecesario especificar la magnitud,direccin y sentido as como su

lnea de accin de la fuerzaresultante. Se analizar las fuerzasdebidas a la presin sobresuperficies planas y curvas,sumergidas en lquidos

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Por ejemplo, las Fuerzas Hidrostticas sobre una superficie planahorizontal sumergida en un fluido esttico incompresible

Sabemos que :

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Las presas estnsometidas a fuerzas

distribuidas, por lo queutilizaremos la

integracin para calcularla fuerza resultante y su

punto de aplicacin.

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CANTERASUna cantera es una explotacin minera, generalmente a cielo abierto,en la que se obtienen rocas industriales, ornamentales o ridos. Las

principales rocas obtenidas son: mrmoles, granitos, calizas y pizarras.

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Previsin de la superficie desuelo que vamos a utilizar.

La cantidad de material queremoveremos, el que

produzcamoso dnde vamosa colocar el sobrante

Debemos tener muy en cuenta latopografa del terreno, para saberaprovechar todas las ventajas que

nos aporte y salvar los

inconvenientes. Adems en laconstruccin de este tipo de obras,que implican una modificacin del

paisaje tan grande, debemosintentar reducir el impacto

ambiental lo mximo posible.

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El clculo diferencial puede estar relacionado con la geologa de

manera directa, creando estructuras que por ejemplo sirvanpara calcular el aforo del caudal en conducciones abiertas

La medicin del caudal de una acequia puede hacerse mediantediversos modos. A veces no es fcil conocer la seccin (en ros,

por ejemplo) o la velocidad. El sistema que implicara integracinsera mediante vertederos.

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Un vertedero es un hueco situado en el borde superior de una

placa metlica o de madera. Esta placa se coloca en la acequia ensentido perpendicular a la corriente, de tal modo que toda elagua que circula por la acequia, pasa necesariamente por el

vertedero.

Vertedero con escotadura triangular

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Como ya hemos visto, la integracin se hace necesariaen multitud de situaciones que nos iremos

encontrando.

Sin embargo, hemos de aclarar que el uso del clculodiferencial como tal, ha quedado desfasado por latecnologa. En la mayora de ejemplos expuestosanteriormente son programas informticos quien

realizaran todos los clculos.