integrales impropias ( ii) integrales impropias. teoría ii

Integrales Impropias (II)Integrales Impropias (II)

Integrales impropias. Teoría II

Integrales Impropias

La integral es impropia si: • El intervalo de integración no está

acotado.• La función f no está definida o no está

acotada en puntos que pertenecen al intervalo de integración

• Ambas cosas.

f x dx

a

b

Definición



Suponiendo que la función f es continua en el intervalo [a, b) se tiene que:

Si el límite existe y es finito , la integral impropia converge, y

lim b

f x dxa

f x dxa

b

f x dx

a

b

lim b

f(x) dxa

.

Si la integral no converge, entonces la integral diverge.

f x dx

a

b

Definición



dx

xp1

limb

dx

xp1

b

lim

b

x p1

p 1

1

b

lim

b

b1 p

1 p

1

1 p

1

p 1.

Lo anterior es cierto si 1 - p < 0. Si 1 - p ≥ 0, la integral diverge.

Suponiendo que p ≠ 1

lim

b x p dx

1

b

Ejemplo



dx

xp0

1

lima 0

dx

xpa

1

lim

a 0

x p1

p 1

a

1

lim

a 0

1

1 p

a1 p

1 p

1

1 p.

Suponiendo que 1 - p > 0, i.e. p < 1.

NOTA:Supongamos que p > 0, y p ≠ 1 pues si p ≤ 0, la integral no es impropia.

lim

a 0x p dx

a

1

Ejemplo



eax dx

1

limb

eax dx1

b

lim

b

eax

a

1

b

lim

b

eab

a

ea

a

ea

a.

Suponiendo que a < 0. Si a ≥ 0, la integral impropia diverge.

Suponiendo que a ≠ 0.

Ejemplo


Integrales Impropias Básicas

11

eax dx

1

dx

xp1

converge si p > 1.

22

33

dx

xp0

1

converge si p < 1.

converge si a < 0.



44

xp dx1

converge si p < -1.

55 xp dx

0

1

converge si p > -1.

Para todos los demás valores del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen.


Convergencia de las Integrales Impropias

A menudo no es posible calcular el límite de la definición de un integral impropia directamente.Con el fin de averiguar si la integral converge o no, se puede tratar de comparar la función que se integra con otra que pertenezca a una integral que ya conocemos.


Convergencia de las Integrales Impropias

Consideremos la integral impropia

3

(1 2sin2(4x))(1 x2)dx

0

.

3

(1 2sin2(4x))(1 x2)

La gráfica de la función

se muestra en la figura.


Teorema de Comparación

La integral impropia converge si el área que encierra la curva y el eje x es finita.



En esta gráfica se puede estudiar a partir de la curva azul que es una función más simple y podemos ver fácilmente si encierra un área finita.

La integral impropia converge si el área queencierra la función y el eje x es finita.



0

3

(1 2sin2(4x))(1 x2)

3

1 x2

Observar que, para todo x se verifica

3

1 x2La curva es la gráfica

azul.

y la roja es la de la función

3

(1 2sin2(4x))(1 x2).



3

1 x2dx

0

limb

3dx

1 x20

Siendo

lim

b 3arctanx 0

b

lim

b 3arctanb 3arctan0

32

,

y siendo

concluimos que converge.

0

3

(1 2sin2(4x))(1 x2)

3

1 x2,

3

(1 2sin2(4x))(1 x2)dx

0



Teorema ATeorema A

Sea -∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que se verifica que

0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, con a < x < b.

Si la inegral converge, entonces también lo hará

y

g x dx

a

b

f x dxa

b

0 f x dx

a

b

g x dxa

b

.



Teorema BTeorema B

Sea ∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, a

< x < b.

Si la integral diverge, entonces también lo hará

.

g x dx

a

b

f x dxa

b



Converge la integral ?

dx

sin x0

1

Sabemos que 0 <sin x< x, para 0 < x ≤ 1.

0

1

x

1

sinxPor tanto para 0 < x ≤ 1.

Ejemplo

Solución



Converge la integral l ?

0

1

x

1

sinx

dx

sin x0

1

Se tiene: para 0 < x ≤ 1

Como la integral diverge, entonces diverge .

dx

sin x0

1

Ejemplo

Solución (continuación)

dx

x0

1



11

eax dx

1

dx

xp1

converge si p > 1.

22

33

dx

xp0

1

converge si p < 1.

converge si a < 0.



44 xp dx

1

converge si p < -1.

55 xp dx

0

1

converge si p > -1.

Para cualquier otro valor del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen. Usar el Teorema de Comparación para ver la convergencia o divergencia de integrales impropias comparándolas con estos cinco tipos de integrales.


Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa

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