EJEMPLO 3

Calcular ; donde es la porción del plano en el primer octante.

SOLUCION

Ecuación del plano:

Donde:

Sea ; (Parametrización de )

Luego

EJEMPLO 4

Hallar el área de la parte del plano , donde a, b y c son números positivos, dados, que se encuentran en el primer octante.

SOLUCION

Ecuación del plano:

Sea , (Parametrización del plano)

Donde

Luego el área de la parte del plano en el primer octante es:

EJEMPLO 5

Halle el are de la parte de la esfera , que se encuentra dentro del cilindro

.

SOLUCION

Ecuación de la esfera:

Ecuación del cilindro:

Derivando “z” respecto a “x” e “y”. Tenemos.

Donde:

Luego el área de la parte de la esfera que se encuentra dentro del cilindro es:

A coordenadas polares.

EJEMPLO 6

Hallar e área de la parte del cono , , que se encuentra dentro del cilindro

SOLUCION

Ecuación de la esfera:

Ecuación del cilindro:

Sea , (Parametrización del cono)

Donde

Luego el área de la parte de cono es:

Empleando coordenadas polares.

EJEMPLO 7

Determine el área de la parte de la esfera interior al cilindro

.

SOLUCION

Ecuación de la esfera:

Ecuación del cilindro:

Derivando “z” respecto a “x” e “y”. Tenemos.

Luego el área solicitada es:

Empleando coordenadas polares.

EJEMPLO 8

Calcular donde;

SOLUCION

Sea ; Una parametrización d k.

Donde

Luego

EJEMPLO 9

Calcular .

SOLUCION

Luego

Empleando coordenadas polares.

Simplificando

EJEMPLO 10

Calcular ; k superficie seccionada por .

SOLUCION

Sea ; Una parametrización d k.

Donde

Luego

Simplificando

EJEMPLO 11

Calcular , donde k s la superficie lateral del cono

SOLUCION

Sea ; Una parametrización d k.

Donde

Luego