integrales complejas

Integraci on en el plano complejo

4.1. Funciones complejas de variable real

Una funcion compleja de variable real es una funcion w : [a, b] → C, donde−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞. La parte real y la parte imaginaria dew son dos funcionesreales de variable real:

w(t) = u(t) + iv(t),

de modo que, a todos los efectos,w puede interpretarse como una funcion w :[a, b] → R

2. Como tal, la definicion logica de derivada es

w′(t) = u′(t) + iv′(t),

admitiendo queu y v son derivables ent.Ejemplos4.1.

(1) Si z0 = x0 + iy0 es constante yw(t) = u(t) + iv(t) es derivable, calcula la derivada dez0w(t).

d

dt

[

z0w(t)]

=d

dt

[

(x0 + iy0)(u + iv)]

=d

dt

[

(x0u − y0v) + i(y0u + x0v)]

=d

dt(x0u − y0v) + i

d

dt(y0u + x0v) = (x0u

′ − y0v′) + i(y0u

′ + x0v′)

= (x0 + iy0)(u′ + iv′),

38 4 Integracion en el plano complejo

es decir,d

dt

[

z0w(t)]

= z0w′(t).

(2) Si z0 = x0 + iy0 es constante, calcula la derivada deez0t.

d

dtez0t =

d

dt

[

ex0t cos(y0t) + iex0t sen(y0t)]

=[

x0ex0t cos(y0t) − y0e

x0t sen(y0t)]

+ i[

x0ex0t sen(y0t) + y0e

x0t cos(y0t)]

= x0eiz0t + iy0e

z0t,

o sea,d

dtez0t = z0e

z0t.

Tal como ilustran los ejemplos, las reglas del calculo de funciones reales semantienen para funciones complejas de variable real (linealidad, regla del produc-to, regla del cociente y regla de la cadena). Tambien se mantienen la mayorıa delos resultados (con alguna excepcion, como el teorema del valor medio, que no secumple para este tipo de funciones).

De manera analoga a las derivadas, las integrales de funciones complejas devariable real se definen como

∫ b

a

w(t) dt =

∫ b

a

u(t) dt + i

∫ b

a

v(t) dt,

donde se supone queu y v son funciones integrables en(a, b). Las integralespueden ser impropias. Esta definicion se resume en las dos identidades

Re

∫ b

a

w(t) dt =

∫ b

a

Re w(t) dt, Im

∫ b

a

w(t) dt =

∫ b

a

Im w(t) dt.

Ejemplo4.2. Evalua la integral∫ 1

0

(1 + it)2 dt.

∫ 1

0

(1 + it)2 dt =

∫ 1

0

(1 − t2) dt + i

∫ 1

0

2t dt =2

3+ i.

Las propiedades de estas integrales estan heredadas de las de las integrales defunciones reales:

(a) Linealidad:∫ b

a

[

αw1(t) + βw2(t)]

dt = α

∫ b

a

w1(t) dt + β

∫ b

a

w2(t) dt.

4.1 Funciones complejas de variable real 39

(b) Aditividad:∫ b

a

w(t) dt =

∫ c

a

w(t) dt +

∫ b

c

w(t) dt.

(c) Acotacion:∣

∣

∣

∣

∫ b

a

w(t) dt

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|w(t)| dt.

Merece la pena ver la demostracion de la propiedad de acotacion, ya que esalgo mas elaborada que su equivalente real:

∫ b

a

w(t) dt = ρeiφ, ρ =

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

w(t) dt

∣

∣

∣

∣

,

por lo tanto

ρ =

∫ b

a

e−iφw(t) dt = Re

∫ b

a

e−iφw(t) dt =

∫ b

a

Re[

e−iφw(t)]

dt

≤∫ b

a

∣

∣e−iφw(t)∣

∣ dt =

∫ b

a

|w(t)| dt.

Ası pues,∣

∣

∣

∣

∫ b

a

w(t) dt

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|w(t)| dt.

El teorema fundamental del calculo sigue siendo valido para este tipo de in-tegrales. Ası, si U(t) es una primitiva deu(t) y V (t) es una primitiva dev(t),entoncesW (t) = U(t) + iV (t) es una primitiva dew(t) = u(t) + iv(t) ya queW ′(t) = w(t). Entonces,

∫ b

a

w(t) dt = U(t)∣

∣

∣

b

a+ iV (t)

∣

∣

∣

b

a= W (b) − W (a).

Por analogo motivo, la regla del cambio de variable y la integracion por partessiguen siendo validas para estas integrales.Ejemplos4.3.

(1) Integra∫ π/4

0

eit dt.

Como−ieit es una primitiva deeit,

∫ π/4

0

eit dt = −ieit∣

∣

∣

π/4

0= −ieiπ/4 + i =

1√2− i

1√2

+ i =1√2

+ i

(

1 − 1√2

)

.


(2) La integral del ejemplo 4.2 se puede hacer a partir de la relacion

d

dt

[

−i(1 + it)3

3

]

= (1 + it)2.

Con ella,∫ 1

0

(1 + it)2 dt = −i(1 + it)3

3

∣

∣

∣

∣

1

0

= −i(1 + i)3

3+

i

3=

−i

3(1 + 3i − 3 − i − 1)

=−i

3(2i − 3) =

2

3+ i.

4.2. Contornos

El objetivo de esta seccion es definir integrales de funciones de variable com-pleja sobre curvas del plano complejo, ası que tenemos que empezar por definir loque entendemos por una curva.

Unacurva deC es una funcion γ : [a, b] → C que a cadaa ≤ t ≤ b le asociael numero complejoz(t) = x(t) + iy(t), dondex, y : [a, b] → R son funcionescontinuas. Decimos que la curvaγ es unacurva simple si z(t1) 6= z(t2) cuandot1 6= t2. Cuandoz(a) = z(b) se dice queγ es unacurva cerrada, y si cumple lacondicion de curva simple salvo en los extremos se dice que es unacurva cerradasimple.Ejemplos4.4.

(1) La lınea poligonal

z(x) =

x + ix si 0 ≤ x ≤ 1,

x + i si 1 ≤ x ≤ 2,

es una curva simple.

(2) La circunferencia de radioR y centrada enz0 ∈ C, z(θ) = z0 +Reiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π, es unacurva cerrada simple.

(3) La misma circunferencia parametrizada comoz(θ) = z0 + Re−iθ es una curva distinta,porque esta recorrida en sentido contrario.

(4) Tambien la curvaz(θ) = z0 + Rei2θ es el mismo conjunto de puntos pero una curvadistinta, porque recorre dos veces la circunferencia. En este caso se trata de una curva cerradapero no simple.

Cuando la funcion z(t) es derivable, se dice queγ es unacurva regular. Lalongitud de una curva regular viene dada por la expresion

L(γ) =

∫ b

a

|z′(t)| dt, |z′(t)| =√

x′(t)2 + y′(t)2.

4.3 Integrales de contorno 41

En una curva regular en la quez′(t) 6= 0 paraa ≤ t ≤ b, el complejo

τ(t) =z′(t)

|z′(t)|representa elvector unitario tangentea la curva enz(t). Cuandoz′(t) es continuadecimos queγ es unacurva suave. En este casoτ(t) cambia de manera continuacont.

Finalmente, diremos queγ es uncontorno si es una curva suave a trozos (z′(t)es continua a trozos) en el intervalo[a, b]. Del mismo modo que para las curvas sedefinen contornos cerrados y contornos cerrados simples.

4.3. Integrales de contorno

Definicion 4.1. SeaΩ un dominio deC, γ : [a, b] → Ω un contorno de dichodominio yf : Ω → C una funcion tal quef γ es continua a trozos en[a, b]. Sedefine la integral def sobre el contornoγ como

∫

γ

f(z) dz =

∫ b

a

f(

z(t))

z′(t) dt.

La integral de contorno ası definida es equivalente a dos integrales de lınea dedos campos vectoriales sobreΩ, ya que sif(z) = u(x, y) + iv(x, y),

f(z)z′ = (u + iv)(x′ + iy′) = (ux′ − vy′) + i(vx′ + uy′),

con lo que∫

γ

f(z) dz =

∫

γ

P1 dx + Q1 dy + i

∫

γ

P2 dx + Q2 dy,

siendoP1 = u, Q1 = −v, P2 = v, Q2 = u.

La integral de contorno hereda, por tanto, las propiedades de las integrales de lıneade campos vectoriales. Ası:

(1) son invariantes bajo cambios de parametrizacion que mantengan la orientacionde la curva;

(2) si−γ denota la curvaγ orientada en sentido opuesto,∫

−γ

f(z) dz = −∫

γ

f(z) dz;


(3) siγ1 + γ2 denota la concatenacion de dos curvas tales que el extremo final dela primera es el extremo inicial de la segunda,

∫

γ1+γ2

f(z) dz =

∫

γ1

f(z) dz +

∫

γ2

f(z) dz.

Tambien hereda las propiedades de las integrales de funciones complejas devariable real:

(4) siα, β ∈ C y f y g son integrables sobreγ,∫

γ

[

αf(z) + βg(z)]

dz = α

∫

γ

f(z) dz + β

∫

γ

g(z) dz,

(5) y si |f(z)| ≤ M sobreγ,∣

∣

∣

∣

∫

γ

f(z) dz

∣

∣

∣

∣

≤ ML(γ).

La ultima propiedad se sigue de que∣

∣

∣

∣

∫

γ

f(z) dz

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

∣

∣f(

z(t))

z′(t)∣

∣ dt ≤ M

∫ b

a

|z′(t)| dt = ML(γ).

En cuanto a la propiedad (3), la forma mas general en la que puede expresarse es∫

γ1∪···∪γn

f(z) dz =

∫

γ1

f(z) dz + · · · +∫

γn

f(z) dz,

cuandoγ1, . . . , γn son contornos tales queL(γi ∩ γj) = 0 si i 6= j.Ejemplos4.5.

(1) Halla la integral∫

γ

z dz, siendoγ = z(θ) = 2eiθ : −π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Comoz(θ) = 2e−iθ, z′(θ) = i2eiθ,

la integral valdra∫

γ

z dz =

∫ π/2

−π/2

2e−iθ2ieiθ dθ = 4i

∫ π/2

−π/2

dθ = 4πi.

(2) Halla la integral∫

γ

dz

zsiendoγ la circunferencia de radioR centrada enz = 0 y orientada

en sentido positivo.

Ahoraγ = Reiθ : 0 ≤ θ ≤ 2π,

luego∫

γ

dz

z=

∫ 2π

0

iReiθ

Reiθdθ = i

∫ 2π

0

dθ = 2πi.

4.4 Independencia del contorno: primitivas 43

4.4. Independencia del contorno: primitivas

En general, las integrales de contorno dependen no solo de la funcion integradasino tambien del contorno. En algunos casos eso no es ası, y resultan independien-tes del contorno de integracion. Vamos a estudiar en esta seccion cuando ocurreesto.

Teorema 4.1.SeaΩ un dominio deC y f : Ω → C; entonces, son equivalentes:

(a) dados los puntosz1, z2 ∈ Ω,∫

γ1

f(z) dz =

∫

γ2

f(z) dz

para todo par de contornosγ1, γ2 ⊂ Ω con origen enz1 y extremo final enz2;

(b) la integral de contorno∫

γ

f(z) dz = 0

para todo contorno cerradoγ ⊂ Ω.

Dem.: (a)⇒ (b) Tomando dos puntos distintosz1, z2 ∈ γ cualesquiera, los dostrozos en que dividenγ son dos contornosγ1, γ2 con origen enz1 y extremo finalz2. El contorno cerrado original se reconstruye comoγ = γ1 − γ2. Entonces,

∫

γ

f(z) dz =

∫

γ1

f(z) dz −∫

γ2

f(z) dz = 0.

(b)⇒ (a) Dados dos contornosγ1, γ2 como los de las hipotesis, el contornoγ =γ1 − γ2 es cerrado. Entonces

∫

γ1

f(z) dz −∫

γ2

f(z) dz =

∫

γ

f(z) dz = 0.

Para indicar claramente que el contorno de una integral de contorno es cerradose utiliza a veces la notacion

∮

γ

f(z) dz.


Definicion 4.2 (Primitiva). SeaΩ un dominio deC y f : Ω → C una funcioncontinua. Si existe una funcion holomorfaF : Ω → C tal queF ′(z) = f(z) paratodoz ∈ Ω, decimos queF es una primitiva def enΩ.

Como ocurre enR, dos primitivas,F y G, de la misma funcion f difieren enuna constante compleja aditiva. La razon es que(F − G)′ = 0, y si una funcionholomorfa tiene derivada nula, las ecuaciones (CR) implican que tiene que serconstante.

Cuando una funcion tiene primitiva, sus integrales de contorno verifican unteorema fundamental del calculo:

Teorema 4.2.Seaf : Ω → C, con Ω un dominio deC, una funcion continuacon una primitivaF en Ω. Entonces, siγ ∈ Ω es un contorno entre los puntosz1, z2 ∈ Ω,

∫

γ

f(z) dz = F (z2) − F (z1).

Dem.: La razon de este resultado es la identidad

d

dtF

(

z(t))

= F ′(z(t))

z′(t) = f(

z(t))

z′(t),

gracias a la cual, siγ es una curva suave,∫

γ

f(z) dz =

∫ b

a

f(

z(t))

z′(t) dt =

∫ b

a

d

dtF

(

z(t))

dt

= F(

z(b))

− F(

z(a))

= F (z2) − F (z1).

Para un contorno generalγ, cuyos trozos se unen en los puntosz′1, . . . , z′n, corres-

pondientes a valores del parametroa < t′1 < . . . < t′n < b, denotandot′0 = a yt′n+1 = b,

∫

γ

f(z) dz =n

∑

k=0

∫ t′k+1

t′k

f(

z(t))

z′(t) dt =n

∑

k=0

∫ t′k+1

t′k

d

dtF

(

z(t))

dt

=n

∑

k=0

[

F(

z(t′k+1))

− F(

z(t′k))

]

= F(

z(b))

− F(

z(b))

= F (z2) − F (z1).


Para funciones cuya integral no depende del contorno, sino solo de los extre-mos, tiene sentido utilizar la notacion

∫ z2

z1

f(z) dz =

∫

γ

f(z) dz,

siendoγ cualquier contorno que una los puntosz1 y z2.

Teorema 4.3.SeaΩ un dominio deC y f : Ω → C una funcion continua. Enton-

ces, existe una primitiva def enΩ si y solo si∮

γ

f(z) dz = 0 para todo contorno

cerradoγ ⊂ Ω.

Dem.: ⇒ Si F ′(z) = f(z) enΩ, entonces, por el teorema 4.2,∫

γ

f(z) dz = F (z2) − F (z1),

siendoz1 y z2 los extremos del contornoγ. Si γ es cerrado,z1 = z2 y el miembrode la derecha se anula.

⇐ Por el teorema 4.1, si∮

γ

f(z) dz = 0 para todo contorno cerradoγ ⊂ Ω, las

integrales a lo largo de cualquier contorno no dependen del camino, sino solo delos extremos. Tomemosz0, z ∈ Ω y definamos

F (z) =

∫ z

z0

f(ζ) dζ.

Vamos a probar queF ′(z) = f(z). Para ello tomemos un entorno dez lo bastantepequeno como para que este enΩ, y tomemosh ∈ C tal quez + h este en eseentorno. Entonces,

F (z + h) − F (z) =

∫ z+h

z0

f(ζ) dζ −∫ z

z0

f(ζ) dζ =

∫ z+h

z

f(ζ) dζ.

Como∫ z+h

z

dζ = h

(lo que puede probarse tomando, por ejemplo, el contornoz(t) = z + th, con0 ≤ t ≤ 1),

F (z + h) − F (z)

h− f(z) =

1

h

∫ z+h

z

[

f(ζ) − f(z)]

dζ.


Acotando esta expresion,∣

∣

∣

∣

F (z + h) − F (z)

h− f(z)

∣

∣

∣

∣

≤ 1

|h|

∣

∣

∣

∣

∫ z+h

z

[

f(ζ) − f(z)]

dζ

∣

∣

∣

∣

.

Ahora bien, comof(z) es continua enΩ, dado unǫ > 0 arbitrario, podemos hacerque|f(ζ)−f(z)| < ǫ sin mas que tomarh de modo que|h| sea lo suficientementepequeno, con lo que

∣

∣

∣

∣

F (z + h) − F (z)

h− f(z)

∣

∣

∣

∣

≤ 1

|h|ǫ|h| = ǫ,

lo que implica que

lımh→0

∣

∣

∣

∣

F (z + h) − F (z)

h− f(z)

∣

∣

∣

∣

= 0

y de ahı que

F ′(z) = lımh→0

F (z + h) − F (z)

h= f(z).

Ejemplos4.6.

(1) La integral∮

γ

ez dz = 0

porqueez tiene como primitivaez enC.

(2) La integral∮

γ

dz

z2= 0

para todo contorno cerradoγ que no pase porz = 0, ya que una primitiva de1/z2 enC−0es−1/z.

(3) Vamos a hallar la integral∮

γ

dz

z − a

para cualquier contorno cerrado simpleγ que rodee el puntoz = a en sentido positivo, sinpasar porel. No podemos sin mas decir que vale0 alegando quelog(z − a) es una primitivade1/(z − a), ya que la funcion log(z − a) no es continua en todoC − a debido al corteque define la rama del logaritmo que uno adopte. Ası que hay que adoptar otra estrategiapara hallar la integral.

Para ello vamos a dividir la curvaγ en dos trozos, como indica la figura: uno pequeno quecorte la semirrectaRe(z − a) < 0, que denotaremosγǫ, y el resto, que denotaremosγ′,ambos orientados en sentido positivo. Denotemos los puntosde divisionz1 y z2, tal como seindica en la figura.


z1

γ

aεεz2

Consideremos primeroγ′. Comoesta no cruza la semirrectaRe(z − a) < 0, una primitiva

de1/(z − a) que nos sirve para calcular∫

γ′

dz

zesF1(z) = log(z − a) tomada sobre la rama

principal. Entonces,

∫

γ′

dz

z − a= F1(z1) − F1(z2) = ln |z1 − a| + i(π − ǫ) − ln |z2 − a| − i(−π + ǫ)

= ln

∣

∣

∣

∣

z1 − a

z2 − a

∣

∣

∣

∣

+ i2(π − ǫ).

Para obtener la integral sobreγǫ tenemos que cambiar la rama del logaritmo. Entonces,F2(z) = log(z − a), tomando la rama[0, 2π), es una primitiva de1/(z − a) con la quepodemos calcular esa integral, luego

∫

γǫ

dz

z − a= F2(z2) − F2(z1) = ln |z2 − a| + i(π + ǫ) − ln |z1 − a| − i(π − ǫ)

= − ln

∣

∣

∣

∣

z1 − a

z2 − a

∣

∣

∣

∣

+ i2ǫ.

Sumando las dos integrales,

∮

γ

dz

z − a=

∫

γ′

dz

z − a+

∫

γǫ

dz

z − a= ln

∣

∣

∣

∣

z1 − a

z2 − a

∣

∣

∣

∣

+ i2(π − ǫ) − ln

∣

∣

∣

∣

z1 − a

z2 − a

∣

∣

∣

∣

+ i2ǫ = 2πi.

(4) Hallemos la integral∮

γ

√z dz,

dondeγ es el contorno cerrado de la figura, que corta al eje real en3 y en−3, orientado ensentido positivo, y la raız esta tomada sobre la rama

√z =

√reiθ/2, 0 ≤ θ < 2π.


γ

3−3

Una integral ası no puede realizarse directamente debido al corte sobre el eje real positivo,ası que, para hacerla, dividimos la curva en dos mitades, la quecae sobre el semiplanoIm z ≥ 0, que denotaremosγ+, y la que cae sobre el semiplanoIm z ≤ 0, que denotaremosγ−.

Para hacer la integral sobreγ+ buscamos una rama de la raız que tenga el corte enIm z ≤ 0y que coincida con nuestra definicion de

√z sobre el semiplanoIm z ≥ 0. Dicha rama

corresponde a la determinacion−π/2 ≤ θ < 3π/2. Para esa rama hay una primitiva validaenIm z ≥ 0:

F+(z) =2

3r3/2ei3θ/2, −π/2 ≤ θ < 3π/2.

Utiliz andola,

∫

γ+

√z dz = F+(−3) − F+(3) =

2

33√

3(ei3π/2 − 1) = −2√

3(i + 1).

Para hacer la integral sobreγ− buscamos una rama de la raız que tenga el corte enIm z ≥ 0y que coincida con nuestra definicion de

√z sobre el semiplanoIm z ≤ 0. Dicha rama

corresponde a la determinacionπ/2 ≤ θ < 5π/2. Para esa rama hay una primitiva valida enIm z ≤ 0:

F−(z) =2

3r3/2ei3θ/2, π/2 ≤ θ < 5π/2.

Utiliz andola,

∫

γ−

√z dz = F−(3) − F−(−3) =

2

33√

3(ei3π − ei3π/2) = −2√

3(1 − i).

Sumando las dos contribuciones,

∮

γ

√z dz =

∫

γ+

√z dz +

∫

γ−

√z dz = −4

√3.

4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 49

4.5. Teorema de Cauchy-Goursat

Ya hemos visto al introducir las integrales de contorno que la integral de unafuncion f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sobre un contorno cerrado simpleγ orientadoen sentido positivo equivale a dos integrales de lınea reales:

∮

γ

f(z) dz =

∮

γ

u dx − v dy + i

∮

γ

v dx + u dy.

Si u y v tienen derivadas parciales continuas en un dominio que contenga tantoγ como la region R delimitada porγ, podemos aplicar el teorema de Green ytransformar la expresion anterior en

∮

γ

f(z) dz = −∫∫

R(vx + uy) dxdy + i

∫∫

R(ux − vy) dxdy.

El resultado interesante es que sif(z) es holomorfa, entonces, por las ecuaciones(CR), los dos integrandos se anulan y tenemos que

∮

γ

f(z) dz = 0.

Este resultado es bastante mas general de como lo acabamos de obtener. Paraempezar, no es necesario pedir queu y v tengan derivadas continuas (eso es algoque, como veremos, esta garantizado por el hecho de quef(z) es holomorfa).Ademas, el resultado se puede generalizar a contornos cerrados no simples. Esoes evidente si tales contornos constan de un numero finito de “lazos”, ya que enese caso se descomponen en una suma de un numero finito de contornos cerradossimples; pero ya no es evidente cuando el numero de “lazos” es infinito, y sinembargo el resultado sigue siendo cierto en esos casos.

El teorema mas general que proporciona este resultado fue obtenido en unaprimera version por Cauchy y expresado en su forma actual por Goursat, y esconocido por ello como teorema de Cauchy-Goursat.

Teorema 4.4(Cauchy-Goursat). Seaf : Ω → C una funcion holomorfa en undominio simplemente conexoΩ ⊂ C; entonces, para cada contorno cerradoγ ⊂Ω,

∮

γ

f(z) dz = 0.

Una consecuencia importante de este teorema es el siguiente resultado, conse-cuencia del teorema 4.3 combinado con el de Cauchy-Goursat:


Corolario 4.1. Toda funcion f(z) holomorfa en un dominioΩ ⊂ C simplementeconexo tiene primitiva.

El teorema de Cauchy-Goursat admite una extension a dominios multiplementeconexos:

Teorema 4.5.SeaΩ un dominio deC, y sean

(a) γ ⊂ Ω un contorno cerrado simple orientado positivamente, y

(b) γ1, . . . , γn ⊂ Ω un numero finito de contornos cerrados simples orientados po-sitivamente, situados en el interior deγ y cuyos interiores tienen interseccionvacıa dos a dos.

Si f(z) es holomorfa en la region cerrada formada por losn + 1 contornos y laregion interior deγ excluidas las regiones interiores deγ1, . . . , γn, entonces

∮

γ

f(z) dz =n

∑

k=1

∮

γk

f(z) dz.

Dem.: La demostracion pasa por introducir unas curvas poligonales, que denota-remosl0, l1, . . . , ln, que unan el contornoγk con elγk+1 para todok = 1, . . . , n, ylos contornosγ1 y γn con elγ, como ilustra la figura.

0l

3l

2l

1lγ1

Γ1γ γ2

γ3

Γ2

El resultado son dos contornos cerrados simples,Γ1 y Γ2, tales que

Γ1 + Γ2 = γ −n

∑

k=1

γk +n

∑

j=0

lj −n

∑

j=0

lj = γ −n

∑

k=1

γk.

Para cada uno de estos dos contornos se verifican las condiciones del teorema deCauchy-Goursat, de modo que

∮

Γ1

f(z) dz =

∮

Γ2

f(z) dz = 0,

4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 51

y, por tanto,∮

γ−∑n

k=1γk

f(z) dz =

∮

γ

f(z) dz −n

∑

k=1

∮

γk

f(z) dz = 0.

Hay una manera mas compacta de expresar este resultado. SeaA una regioncerrada deC; su frontera, que denotaremos∂A, es, en general, la union de varioscontornos cerrados simples, orientados de tal manera que el interior deA quedesiempre a la izquierda de los contornos. Entonces, sif es holomorfa enA,

∫

∂A

f(z) dz = 0.

Esto incluye tambien el caso en queA sea simplemente conexo y su frontera ununico contorno.

En el caso particular en queA sea una region “anular”, cuya frontera consta deun contorno exterior y otro interior, tenemos el siguiente resultado:

Corolario 4.2 (Principio de deformacion de caminos). Seanγ1 y γ2 dos contornoscerrados simples orientados en sentido positivo, dondeγ2 esta en el interior deγ1. Si f(z) es holomorfa en la region cerrada formada por esos contornos y lospuntos situados entre ellos, entonces

∮

γ1

f(z) dz =

∮

γ2

f(z) dz.

El nombre de este corolario alude al hecho de que esta situacion correspondeal caso en que el contornoγ1 se pueda deformar continuamente hasta elγ2 sin queen ningun momento nos salgamos de la region en quef es holomorfa.Ejemplos4.7.

(1) Para hallar la integral∮

γ

dz

z − a

sobre un contorno cerrado simpleγ orientado en sentido positivo, trazamos la circunferenciaC = z ∈ C : |z − a| = ρ, dondeρ > 0 es lo suficientemente pequeno como para que lacircunferencia este completamente en el interior deγ. Como1/z es holomorfa entreγ y C,incluidos ambos contornos,

∮

γ

dz

z − a=

∮

C

dz

z − a.


La segunda integral es facil de parametrizar conz(θ) = a + ρeiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π, ası que

∮

C

dz

z − a=

∫ 2π

0

iρeiθ

ρeiθdθ = i

∫ 2π

0

dθ = 2πi,

un resultado que ya obtuvimos anteriormente, pero que obtenemos de nuevo aquı de unaforma mas sencilla.

(2) Halla las integrales∮

γ

dz

z2 + 1,

∮

γ

z

z2 + 1dz,

dondeγ es un contorno cerrado simple orientado positivamente que rodea los puntos±i.

Como1

z2 + 1=

1

2i

(

1

z − i− 1

z + i

)

,z

z2 + 1=

1

2

(

1

z − i+

1

z + i

)

,

podemos escribir la primera integral como

∮

γ

dz

z2 + 1=

1

2i

∮

γ

dz

z − i− 1

2i

∮

γ

dz

z + i=

2πi

2i− 2πi

2i= 0,

y la segunda como

∮

γ

z dz

z2 + 1=

1

2

∮

γ

dz

z − i+

1

2

∮

γ

dz

z + i=

2πi

2+

2πi

2= 2πi.

4.6. Formula integral de Cauchy

Uno de los resultados mas importantes de la teorıa de funciones de variablecompleja es laformula integral de Cauchy.

Teorema 4.6(Formula integral de Cauchy). Seaf(z) una funcion holomorfa en undominioΩ ⊂ C que contiene el contorno cerrado simple orientado positivamenteγ y su interior. Sia es un punto del interior deγ, entonces

f(a) =1

2πi

∮

γ

f(z)

z − adz.

Dem.: Comof es continua ena, para cadaǫ > 0 habra un entornoD(a, δ) tal quesi z ∈ D(a, δ), entonces|f(z) − f(a)| < ǫ. Tomemos ahora un0 < ρ < δ tal quela circunferencia

C = z ∈ C : |z − a| = ρ

4.6 Formula integral de Cauchy 53

este contenidaıntegramente en el interior deγ. Comof(z)/(z − a) es holomorfaenγ, C y entre ambos contornos,

∮

γ

f(z)

z − adz =

∮

C

f(z)

z − adz.

Por otro lado, sabemos que∮

C

dz

z − a= 2πi,

luego podemos escribir∮

γ

f(z)

z − adz − 2πif(a) =

∮

C

f(z) − f(a)

z − adz.

Ahora bien, enC,∣

∣

∣

∣

f(z) − f(a)

z − a

∣

∣

∣

∣

=|f(z) − f(a)|

ρ<

ǫ

ρ,

y la longitud deC es2πρ, luego∣

∣

∣

∣

∮

C

f(z) − f(a)

z − adz

∣

∣

∣

∣

<ǫ

ρ2πρ

y, por tanto,∣

∣

∣

∣

∮

γ

f(z)

z − adz − 2πif(a)

∣

∣

∣

∣

< 2πǫ.

Este resultado es valido para cualquierǫ > 0, luego el valor absoluto de la izquier-da debe valer0, lo que prueba el resultado.

Ejemplo4.8.

Este resultado permite hacer muchas integrales de contornode una manera muy simple. Aunqueexploraremos esta vıa con mas detalle mas adelante, veamos aquı un simple ejemplo.

Vamos a calcular la integral∮

∂D(0,2)

z dz

(9 − z2)(z + i).

Podemos escribir esta integral como∮

∂D(0,2)

f(z)(

z − (−i)) , f(z) =

z

(9 − z2),

y, por la formula integral de Cauchy,∮

∂D(0,2)

z dz

(9 − z2)(z + i)= 2πif(−i) = 2πi

(−i)

10=

π

5.


4.7. Aplicaciones de la f ormula integral de Cauchy

En esta seccion vamos a extraer consecuencias de la formula integral de Cau-chy. Como veremos, de esta sencilla formula se siguen varios de los resultadosmas “potentes” de la teorıa de variable compleja.

4.7.1. Derivadas de funciones holomorfas

Para empezar, la formula integral de Cauchy ofrece una representacion de unafuncion holomorfa en terminos de una integral dependiente de un parametro. Siderivamos esa expresion, intercambiando derivada con integral sin preocuparnosde si tal cosa es lıcita, obtenemos la expresion

f ′(z) =1

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − z)2dζ,

que da como resultado la derivada def(z) como una integral que involucra af(z).Pero es mas, podemos seguir haciendo sucesivas derivadas y encontrar la formula

f (n)(z) =n!

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − z)n+1dζ.

Desde luego, esto no garantiza que las sucesivas derivadas def(z) existan, peroes muy sugerente el hecho de que el integrando sea, para cualquiern y cualquierz en el interior deγ, una funcion integrable (ya que tantof(ζ) como1/(ζ − z)n+1

son continuas sobreγ). Ası que vamos a tratar de demostrar que, efectivamente,la derivada de ordenn esta dada por la expresion que acabamos de hallar.

Empezaremos por la primera derivada. Para ello tenemos que demostrar que

f(z + h) − f(z)

h− f ′(z)

tiende a0 cuandoh → 0. Utilicemos las formulas integrales para transformar laexpresion anterior en

1

2πi

∮

γ

[

1

h

(

1

ζ − z − h− 1

ζ − z

)

− 1

(ζ − z)2

]

f(ζ) dζ,

siempre que0 < |h| < d, siendod = mınζ∈γ |ζ − z| la distancia dez a γ (paraquez + h este en el interior deγ). Centremonos en el corchete del integrando

4.7 Aplicaciones de la formula integral de Cauchy 55

(denotaremosw = ζ − z para abreviar):

1

h

(

1

w − h− 1

w

)

− 1

w2=

w2 − w(w − h) − h(w − h)

h(w − h)w2

=h2

h(w − h)w2=

h

(w − h)w2.

Nos encontramos, pues, con que

f(z + h) − f(z)

h− f ′(z) =

h

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − z − h)(ζ − z)2dζ.

Para probar que el miembro derecho tiende a0 cuandoh → 0 vamos a acotar sumodulo. Por un lado, para todoζ ∈ γ,

|ζ − z|2 ≥ d2, |ζ − z − h| ≥ ||ζ − z| − |h|| ≥ d − |h|,

con lo que1

|(ζ − z − h)(ζ − z)2| ≤1

(d − |h|)d2.

Por otro lado, comof(ζ) es continua, sobreγ alcanzara su valor maximoM , demodo que|f(ζ)| ≤ M para todoζ ∈ γ. Entonces,

∣

∣

∣

∣

h

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − z − h)(ζ − z)2dζ

∣

∣

∣

∣

≤ |h|ML(γ)

2π(d − |h|)d2−−−−→

h→00,

quedando, pues, probado que la expresion integral reproduce, de hecho, la deriva-da.

Vamos ahora a probar la formula paraf (n)(z) por induccion. Dado que ya he-mos dado el primer paso de induccion (probar que es valida paran = 1), vamos aprobar que si la formula sirve paraf (n−1)(z), entonces la derivadaf (n)(z) existe yesta dada por la misma formula. Para ello tendremos que demostrar que

f (n−1)(z + h) − f (n−1)(z)

h− f (n)(z),

que utilizando las formulas se convierte en

(n − 1)!

2πi

∮

γ

[

1

h

(

1

(ζ − z − h)n− 1

(ζ − z)n

)

− n

(ζ − z)n+1

]

f(ζ) dζ,


tiende a0 cuandoh → 0. Como antes, el corchete se convierte en

1

h

(

1

(w − h)n− 1

wn

)

− n

wn+1=

wn+1 − w(w − h)n − hn(w − h)n

h(w − h)nwn+1

=wn+1 − (w − h)n(w + hn)

h(w − h)nwn+1.

Ahora bien,

(w − h)n = wn − nhwn−1 +n(n − 1)

2h2wn−2 + h3R(w, h),

dondeR(w, h) es un polinomio enw y h, luego

wn+1 − (w − h)n(w + hn) = wn+1 − wn+1 + nhwn − n(n − 1)

2h2wn−1

− h3wR(w, h) − nhwn + n2h2wn−1 − n2(n − 1)

2h3wn−2 − nh4R(w, h)

=n(n + 1)

2h2wn−1 + h3R(w, h),

donde

R(w, h) = −wR(w, h) − n2(n − 1)

2wn−2 − nhR(w, h)

es otro polinomio enw y h. Entonces el corchete se reescribe como

wn+1 − (w − h)n(w + hn)

h(w − h)nwn+1=

n(n + 1)

2

h

(w − h)nw2+

hR(w, h)

(w − h)nwn+1.

Sobreγ, la funcion |R(w, h)| es continua y, por tanto, su modulo alcanza unvalor maximoD. Por otro lado, como hemos visto antes,

|w − h| ≥ d − |h|, |w| ≥ d.

Sabiendo esto,

∣

∣

∣

∣

wn+1 − (w − h)n(w + hn)

h(w − h)nwn+1

∣

∣

∣

∣

≤ n(n + 1)

2

∣

∣

∣

∣

h

(w − h)nw2

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

hR(w, h)

(w − h)nwn+1

∣

∣

∣

∣

∣

≤ n(n + 1)

2

|h|(d − |h|)nd2

+|h|D

(d − |h|)ndn+1,


ası que∣

∣

∣

∣

f (n−1)(z − h) − f (n−1)(z)

h− f (n)(z)

∣

∣

∣

∣

≤(

(n + 1)!

2(d − |h|)nd2+

(n − 1)!D

(d − |h|)ndn+1

)

|h|L(γ)

2π−−−−→

h→00.

Podemos, en consecuencia, enunciar el siguiente teorema:

Teorema 4.7.Seaf : Ω → C una funcion holomorfa en el dominio simplemen-te conexoΩ ⊂ C; entonces,f ∈ C∞(Ω) y todas sus derivadas son, por tanto,holomorfas enΩ. Ademas, siγ es cualquier contorno cerrado simple orientadopositivamente deΩ, la derivadan-esima se puede obtener mediante la formula

f (n)(z) =n!

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − z)n+1dζ,

para todoz en el interior deγ. (Esta formula incluye, como cason = 0, la formulaintegral de Cauchy).

Una evidente consecuencia de este teorema es que sif(z) = u(x, y)+ iv(x, y),entoncesu, v ∈ C∞(Ω).Ejemplos4.9.

(1) Una consecuencia del teorema de las derivadas es que∮

γ

dz

(z − a)n+1= 0,

para todon ∈ N y para todo contorno cerrado simpleγ. La razon es que el valor de estaintegral es±2πif (n)(z)/n!, siendof(z) = 1 (el signo depende de la orientacion deγ).

(2) Halla el valor de la integral∮

∂D(0,2)

z3 + 2z + 1

(z − 1)3dz.

Denotandof(z) = z3 + 2z + 1, el resultado de esta integral es∮

∂D(0,2)

z3 + 2z + 1

(z − 1)3dz = πif ′′(1).

Comof ′′(z) = 6z,∮

∂D(0,2)

z3 + 2z + 1

(z − 1)3dz = 6πi.


4.7.2. Teorema de Morera

Si f(z) es continua en un dominioΩ (que puede ser multiplemente conexo)y la integral sobre cualquier contorno cerrado deΩ se anula, entonces sabemos,por el teorema 4.3, que existe enΩ una funcion F (z) tal queF ′(z) = f(z) paratodo z ∈ Ω. La funcion F (z) es, por tanto, holomorfa enΩ, y comof(z) es suderivada, por el teorema de las derivadas sabemos quef(z) tiene que ser tambienholomorfa. Este resultado, que limitado a dominios simplemente conexos resultaser el recıproco del teorema de Cauchy-Goursat, se debe a E. Morera, y se puedeformular ası:

Teorema 4.8(Morera). Sif : Ω → C es continua en el dominioΩ ⊂ C y∮

γ

f(z) dz = 0

para todo contorno cerradoγ ⊂ Ω, entoncesf(z) es holomorfa enΩ.

4.7.3. Teorema del valor medio de Gauss

Teorema 4.9.Seaf(z) una funcion holomorfa en un dominioΩ y seaz0 ∈ Ω.Entoncesf(z0) es igual al valor medio def(z) sobre cualquier circunferencia deΩ centrada enz0 y orientada positivamente.

Dem.: DenotemosCr la circunferencia deΩ dada por|z − z0| = r orientadapositivamente. Entonces, por la formula integral de Cauchy,

f(z0) =1

2πi

∮

Cr

f(z)

z − z0dz,

y parametrizandoCr como z(θ) = z0 + reiθ, con 0 ≤ θ ≤ 2π, la integral seconvierte en

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0

f(

z0 + reiθ)

dθ.

Evidentemente, tomando la parte real e imaginaria de la formula del valor me-dio de Gauss, llegamos a la conclusion de que la misma formula la verifican todaslas funciones armonicas.


Ejemplo4.10. Para evaluar la integral∫ 2π

0

ecos θ cos(sen θ) dθ, razonamos de la siguiente manera:

ecos θ cos(sen θ) = ecos θ Re(

ei sen θ)

= Re(

ecos θ+i sen θ)

= Re(

eeiθ

)

.

Entonces, la integral se puede obtener como

∫ 2π

0

ecos θ cos(sen θ) dθ = Re

∫ 2π

0

eeiθ

dθ = Re

∫ 2π

0

f(

eiθ)

dθ,

definiendof(z) = ez. En consecuencia, segun el teorema del valor medio de Cauchy,

∫ 2π

0

ecos θ cos(sen θ) dθ = 2π Re f(0) = 2π.

El teorema del valor medio de Gauss se puede utilizar para resolver de formaaproximada la ecuacion de Laplace en un recinto, ya que la solucion,u(x, y) (unafuncion armonica) se puede aproximar en(x0, y0) a partir de algunos de sus valoressobre una circunferencia con centro en(x0, y0). Este es el fundamento delmetodode diferencias finitaspara resolver la ecuacion de Laplace.

4.7.4. Principio del m odulo m aximo

En esta seccion vamos a estudiar las curiosas propiedades que tiene el modulode una funcion holomorfa respecto a su valor maximo.

Lema 4.1.Seaf(z) una funcion holomorfa enD(z0, ǫ). Si |f(z)| ≤ |f(z0)| paratodoz ∈ D(z0, ǫ), entoncesf(z) es constante enD(z0, ǫ).

Dem.: Dado0 < ρ < ǫ, el teorema del valor medio de Gauss nos asegura que

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0

f(

z0 + ρeiθ)

dθ,

de donde obtenemos la acotacion

|f(z0)| ≤1

2π

∫ 2π

0

∣

∣f(

z0 + ρeiθ)∣

∣ dθ.

Por otro lado, como por hipotesis∣

∣f(

z0 + ρeiθ)∣

∣ ≤ |f(z0)| para todo0 ≤ θ ≤ 2π,

∫ 2π

0

∣

∣f(

z0 + ρeiθ)∣

∣ dθ ≤∫ 2π

0

|f(z0)| dθ = 2π|f(z0)|,


luego

|f(z0)| ≥1

2π

∫ 2π

0

∣

∣f(

z0 + ρeiθ)∣

∣ dθ.

Por lo tanto,

|f(z0)| =1

2π

∫ 2π

0

∣

∣f(

z0 + ρeiθ)∣

∣ dθ,

o, lo que es lo mismo,∫ 2π

0

[

|f(z0)| −∣

∣f(

z0 + ρeiθ)∣

∣

]

dθ = 0.

Como el integrando es una funcion continua y no negativa en[0, 2π], para que laintegral se anule el integrando debe ser0, y, por tanto,

|f(z)| = |f(z0)|

sobre la circunferencia de radioρ centrada enz0. Este razonamiento es valido paratodo0 < ρ < ǫ, luego|f(z)| = |f(z0)| para todoz ∈ D(z0, ǫ). Si el modulo de unafuncion holomorfa es constante en un dominio, entonces la funcion es constanteen ese dominio.

Con este lema podemos probar el siguiente resultado:

Teorema 4.10.Si una funcion f(z) es holomorfa y no constante en un dominioΩ ⊂ C, entonces|f(z)| no tiene maximo enΩ.

Dem.: Probaremos el contrapositivo de este teorema, es decir, sif(z) es holomor-fa enΩ y |f(z)| tiene maximo enΩ, entoncesf es constante.

Supongamos que|f(z)| alcanza un maximo enz0 ∈ Ω. Seaz′0 cualquier otropunto deΩ. ComoΩ es conexo, construyamos una curvaγ desdez0 a z′0. Seadla distancia deγ a ∂Ω. Elijamosn puntos sobreγ, z1, . . . , zn, de tal modo quezn = z′0 y

|zk − zk−1| < d, k = 1, 2, . . . , n.

Ahora construyamos los entornosDk = D(zk, d), k = 0, 1, . . . , n. Todos ellosestan enΩ porqueΩ es abierto yd es la distancia deγ a∂Ω.

Por el lema anterior,f(z) es constante enD0, luegof(z1) = f(z0) ya quez1 ∈ D0. Como|f(z0)| es maximo enΩ, tambien lo es|f(z1)|, luego otra vez porel lemaf(z) es constante enD1 y, por tanto,f(z2) = f(z0), ya quez2 ∈ D1.Repitiendo el razonamiento llegamos a quef(z′0) = f(z0). El puntoz′0 estabaelegido arbitrariamente enΩ, luegof(z) = f(z0) para todoz ∈ Ω.


Y este teorema nos conduce a la siguiente conclusion:

Corolario 4.3 (Principio del modulo maximo). SeaΩ un dominio acotado deCy f(z) una funcion holomorfa enΩ. Supongamos quef(z) es continua enΩ;entonces|f(z)| alcanza su valor maximo enΩ, y este se encuentra en∂Ω.

Dem.: ComoΩ es un conjunto cerrado y acotado,|f(z)|, que es una funcion conti-nua, alcanza su valor maximo enΩ. Como por el teorema anterior|f(z)| no puedeser maximo enΩ, el maximo debe estar enΩ − Ω = ∂Ω.

Ejemplo4.11. Consideremos la funcionf(z) = sen z en el rectangulo0 ≤ Re z ≤ π, 0 ≤ Im z ≤1. Denotandoz = z + iy, sabemos que

| sen z| =

√

sen2 x + senh2 y;

entonces,| sen z| es maximo cuando lo sonsen2 x en 0 ≤ x ≤ π, y senh2 y en 0 ≤ y ≤ 1,independientemente. La primera es maxima enx = π/2, y la segunda eny = 1, y el puntoz = π

2+ i esta en la frontera del rectangulo.

Evidentemente, el principio del modulo maximo tiene una contrapartida parael modulo mınimo sif(z) 6= 0, ya que entonces el mınimo de|f(z)| es el maximode la funcion |1/f(z)|.

Tambien existe un principio de modulo maximo para funciones armonicas:

Corolario 4.4 (Principio del modulo maximo para funciones armonicas). Seau(x, y) una funcion armonica en el dominio acotadoΩ deR

2. Supongamos queu(x, y) es continua en∂Ω; entonces el maximo deu(x, y) se alcanza sobre∂Ω.

Dem.: Seav(x, y) la armonica conjugada deu(x, y). Entoncesf(z) = u(x, y) +iv(x, y) es holomorfa enΩ y continua en∂Ω, y lo mismo cabe decir deF (z) =ef(z). Entonces, por el principio de modulo maximo |F (z)| = eu(x,y) alcanza sumaximo sobre∂Ω. Como la exponencial es monotona creciente estricta, lo mismoocurre conu(x, y).

4.7.5. Teorema de Liouville

Cuando la funcion f(z) es holomorfa en una region que contiene el disco ce-rradoD(z0, R),

f (n)(z0) =n!

2πi

∮

CR

f(z)

(z − z0)n+1dz,


siendoCR = ∂D(z0, R). Denotemos porMR el valor maximo de|f(z)| sobreCR.Entonces,

|f (n)(z0)| ≤n!MR

Rn.

Esta desigualdad se conoce comodesigualdad de Cauchy. Para el caso particularn = 1 afirma que

|f ′(z0)| ≤MR

R,

una desigualdad que nos va a permitir obtener el siguiente resultado:

Teorema 4.11(Liouville). Sif(z) es holomorfa y acotada en todoC, entonces esconstante.

Dem.: Al ser f holomorfa en todoC, la desigualdad de Cauchy es valida paratodoR y z0. Como|f(z)| ≤ M , para algun M > 0, en todo el plano complejo,tenemos que

|f ′(z)| ≤ M

R

para todoz ∈ C y todoR > 0. En consecuencia,f ′(z) = 0 en todoC, y por tantof es constante.

4.7.6. Teorema fundamental del Algebra

Uno de los resultados mas importantes de la teorıa de variable compleja es quetodo polinomio de gradon tiene exactamenten raıces complejas (contada cadaraız tantas veces como sea su multiplicidad). Esto se conoce como teorema funda-mental delAlgebra. El teorema es una consecuencia del teorema de Liouville.

Corolario 4.5 (Teorema fundamental delAlgebra). Todo polinomio

P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn (an 6= 0),

de gradon ≥ 1 tienen raıces complejas (contando su multiplicidad).

Dem.: En realidad basta probar queP (z) tiene al menos una raız, ya que siz1

es una raız deP (z), entoncesQ1(z) = P (z)/(z − z1) es un polinomio de gradon − 1.1 El mismo resultado asegura queQ1(z) tiene al menos una raız z2 (igual odistinta), con lo queQ2(z) = Q1(z)/(z − z2) es un polinomio de gradon − 2, yası sucesivamente hasta llegar a un polinomio de grado0.

1Para probarlo basta hacer una division por Ruffini y comprobar que el resto esP (z1) = 0.


Vamos, pues, a probar queP (z) tiene al menos una raız. Procederemos por re-duccion al absurdo, suponiendo queP (z) 6= 0 para todoz ∈ C. Entonces1/P (z)es holomorfa enC. Vamos a ver que tambien es acotada enC. Para ello escribamos

w =a0

zn+

a1

zn−1+ · · · + an−1

z,

de modo queP (z) = (an + w)zn. Como

|w| ≤ |a0||zn| +

|a1||zn−1| + · · · + |an−1|

|z| ,

podemos hacer que|w| sea arbitrariamente pequeno en la region |z| > R sin masque tomarR suficientemente grande. ElijamosR de tal modo que|w| < |an|/2;entonces

|an + w| ≥∣

∣|an| − |w|∣

∣ >|an|2

,

con lo que1

|P (z)| =1

|an + w||z|n <2

|an|Rn

para todo|z| > R. Ası que1/P (z) es acotada fuera del disco cerradoD(0, R).Pero en el disco cerrado tambien es acotada porque se trata de una funcion conti-nua en un conjunto cerrado y acotado, ası que1/P (z) es acotada en todoC. Porel teorema de Liouville,1/P (z) debe ser constante, luegoP (z) = const., lo quecontradice el hecho de que ningun polinomio de gradon ≥ 1 es constante.

En conclusion, tiene que existir algun z1 ∈ C tal queP (z1) = 0.

4.7.7. Teorema de Taylor finito

Teorema 4.12.Seaf(z) una funcion holomorfa en el discoD(a, R); entonces,para todoz ∈ D(a, R),

f(z) = f(a) + f ′(a)(z − a) +f ′′(a)

2!(z − a)2 + · · · + f (n)(a)

n!(z − a)n

+ Rn+1(z)(z − a)n+1,

donde

Rn+1(z) =1

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − z)(ζ − a)n+1dζ,

siendoγ ⊂ D(a, R) un contorno cerrado simple que rodea los puntosa y z.


Dem.: Para elz dado y cualquierζ ∈ γ, escribamos

1

ζ − z=

1

(ζ − a) − (z − a)=

1

ζ − a

1

1 − z − a

ζ − a

.

Comoζ ∈ γ y z esta en el interior deγ,

w =z − a

ζ − a6= 1.

Si w ∈ C es tal quew 6= 1, entonces sabemos que

n∑

k=0

wk =1 − wn+1

1 − w,

de donde1

1 − w=

n∑

k=0

wk +wn+1

1 − w.

Haciendow = (z − a)/(ζ − a) en esta expresion,

1

1 − z − a

ζ − a

=n

∑

k=0

(

z − a

ζ − a

)k

+1

1 − z − a

ζ − a

(

z − a

ζ − a

)n+1

,

con lo que multiplicando por1/(ζ − a) llegamos a la identidad

1

ζ − z=

n∑

k=0

(z − a)k

(ζ − a)k+1+

1

ζ − z

(

z − a

ζ − a

)n+1

.

Multiplicando porf(ζ)/2πi e integrando sobreγ,

1

2πi

∮

γ

f(ζ)

ζ − zdζ =

n∑

k=0

(z − a)k 1

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − a)k+1dζ

+ (z − a)n+1 1

2πi

∮

γ

f(ζ)

(ζ − z)(ζ − a)n+1dζ,

y aplicando la formula integral de Cauchy paraf(z) y sus derivadas, e identifican-doRn+1(z), obtenemos la formula de Taylor.

integrales complejas

Science

re wt dt

im wt dt

it2 dt

eit dt

ut dt i

w1t dt

t2 dt i

re ei wt dt