integrale cu parametru - grupa 5107 · pdf fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a...
TRANSCRIPT
![Page 1: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/1.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
1 Integrale cu parametruDefinitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru
2 Integrale improprii cu parametru
3 Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
![Page 2: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/2.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru
Definitia integralei cu parametru
Definitia
Daca f : [a,b]× R→ R este o functie cu proprietatea ca pentruorice y ∈ R, exista integrala
F (y) =
∫ b
af (x , y)dx (1)
atunci F (y) se numeste integrala cu parametru.
Integrale cu parametru
![Page 3: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/3.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru
Continuitatea integralei cu parametru
TeoremaDaca f : [a,b]× [c,d ]→ R este continua, atunci functia F este
continua pe [c,d ].
Integrale cu parametru
![Page 4: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/4.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru
Derivabilitatea integralei cu parametru
TeoremaDaca f : [a,b]× [c,d ]→ R si au loc:i. ∀y ∈ [c,d ] exista integrala cu parametru
F (y) =
∫ b
af (x , y)dx
ii. exista∂f∂y
continua pe [a,b]× [c,d ]
atunci F este derivabila si
F ′(y) =
∫ b
a
∂f∂y
(x , y)dx . (2)
Integrale cu parametru
![Page 5: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/5.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru
Teorema lui Leibniz
TeoremaFie integrala cu parametru
F (y) =
∫ β(y)
α(y)f (x , y)dx , y ∈ [c,d ]
si presupunem îndeplinite urmatoarele ipotezei. functiile α, β : [c,d ]→ [a,b] sunt derivabile,ii. f : [a,b]× [c,d ]→ R este o functie continua,
iii. exista∂f∂y
: [a,b]× [c,d ]→ R, continua
atunci F este derivabila si are loc formula
F ′(y) = f (β(y), y)β′(y)− f (α(y), y)α′(y) +
∫ β(y)
α(y)
∂f∂y
(x , y)dx .
(3)Integrale cu parametru
![Page 6: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/6.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru
Integrarea unei integrale cu parametru
TeoremaFie f : [a,b]× [c,d ]→ R o functie continua, atunci are locformula∫ d
c
(∫ b
af (x , y)dx
)dy =
∫ b
a
(∫ d
cf (x , y)dy
)dx . (4)
În conditiile teoremei vom spune ca putem schimba ordinea deintegrare.
Integrale cu parametru
![Page 7: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/7.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralelor improprii cu parametru
Definitia
Fie f : [a,+∞)× [c,d ]→ R,a, c,d ∈ R ; spunem ca integralacu parametru
F (y) =
∫ +∞
af (x , y)dx , y ∈ [c,d ]. (5)
este (simplu) convergenta daca exista limita
limb→+∞
∫ b
af (x , y)dx .
Integrale cu parametru
![Page 8: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/8.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralelor improprii cu parametru
Definitia
Fie f : [a,+∞)× [c,d ]→ R,a, c,d ∈ R ; spunem ca integralacu parametru
F (y) =
∫ +∞
af (x , y)dx , y ∈ [c,d ]. (5)
este (simplu) convergenta daca exista limita
limb→+∞
∫ b
af (x , y)dx .
Integrale cu parametru
![Page 9: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/9.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia integralelor improprii cu parametru
Definitia
Fie f : [a,+∞)× [c,d ]→ R,a, c,d ∈ R ; spunem ca integralacu parametru
F (y) =
∫ +∞
af (x , y)dx , y ∈ [c,d ]. (5)
este (simplu) convergenta daca exista limita
limb→+∞
∫ b
af (x , y)dx .
Integrale cu parametru
![Page 10: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/10.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitie
Definitia
Spunem ca integrala (5) este uniform convergenta dacapentru orice sir (bn)n care are limita +∞, sirul de functii (Fn)nconverge uniform la F pe [c,d ].
Integrale cu parametru
![Page 11: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/11.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Criteriu de convergenta uniforma si absoluta
TeoremaDaca f : [a,+∞)× [c,d ]→ R si exista g : [a,+∞)→ R astfel cai. | f (x , y) |≤ g(x), ∀x ∈ [a,+∞)ii.∫ +∞
a g(x)dx < +∞
atunci∫ +∞
af (x , y)dx este uniform si absolut convergenta.
Integrale cu parametru
![Page 12: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/12.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Continuitatea integralei improprii cu parametru
TeoremaDaca f : [a,+∞)× [c,d ]→ R este o functie continua si∫ +∞
af (x)dx este uniform convergenta , atunci functia
F (y) =
∫ +∞
af (x , y)dx este continua pe [c,d ].
Integrale cu parametru
![Page 13: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/13.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Derivabilitatea integralei improprii cu parametru
TeoremaFie functia f : [a,+∞)× [c,d ]→ R cu proprietatile
i.∫ +∞
af (x , y)dx converge
ii.∫ +∞
a
∂f∂y
(x , y)dx converge uniform
atunci F este derivabila si are loc
ddy
∫ +∞
af (x , y)dx =
∫ +∞
a
∂f∂y
(x , y)dx . (6)
Integrale cu parametru
![Page 14: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/14.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrabilitatea unei integrale improprii cu parametru
TeoremaFie functia f : [a,+∞)× [c,d ]→ R, a, c,d ∈ R continua astfelîncât
i. integrala∫ +∞
af (x , y)dx este uniform convergenta,
ii. integrala∫ +∞
a
(∫ d
cf (x , y)dy
)dx este convergenta
atunci are loc
∫ +∞
a
(∫ d
cf (x , y)dy
)dx =
∫ d
c
(∫ +∞
af (x , y)dx
)dy . (7)
Integrale cu parametru
![Page 15: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/15.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Calculati urmatoarele integrale folosind derivarea integralei cuparametru.
1. F (y) =
∫ π2
0ln(y2 − sin2 x)dx , y > 1
2. F (y) =
∫ ∞0
arctan xyx(1 + x2)
dx
3. F (y) =
∫ b
0
x(1 + xy)2 dx , b > 0
4. F (y) =
∫ b
0
dx(x2 + y2)3
Integrale cu parametru
![Page 16: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/16.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
5. F (y) =
∫ π2
0
1cos x
ln1 + y cos x1− y cos x
dx , y ∈ (−1,1)
6. F (a,b) =
∫ π2
0
dx(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2
7. F (a,b) =
∫ ∞0
e−ax2 − e−bx2
xdx , a > 0,b > 0
8. F (a,b) =
∫ ∞0
e−ax − e−bx
xsin mx dx
Integrale cu parametru
![Page 17: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/17.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Calculati schimbând ordinea de integrare
1.∫ ∞
0
e−ax
x(cos bx − cos cx)dx , a > 0,b, c ∈ R
2.∫ ∞
0
e−ax
x(sin bx − sin cx)dx , a > 0,b, c ∈ R
Integrale cu parametru
![Page 18: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/18.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
DefinitiaIntegralele cu parametru
Γ(p) =
∫ +∞
0xp−1e−xdx (8)
si
B(p,q) =
∫ 1
0xp−1(1− x)q−1dx . (9)
se numesc integralele lui Euler.
Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.
Integrale cu parametru
![Page 19: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/19.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
DefinitiaIntegralele cu parametru
Γ(p) =
∫ +∞
0xp−1e−xdx (8)
si
B(p,q) =
∫ 1
0xp−1(1− x)q−1dx . (9)
se numesc integralele lui Euler.
Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.
Integrale cu parametru
![Page 20: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/20.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
DefinitiaIntegralele cu parametru
Γ(p) =
∫ +∞
0xp−1e−xdx (8)
si
B(p,q) =
∫ 1
0xp−1(1− x)q−1dx . (9)
se numesc integralele lui Euler.
Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.
Integrale cu parametru
![Page 21: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/21.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
DefinitiaIntegralele cu parametru
Γ(p) =
∫ +∞
0xp−1e−xdx (8)
si
B(p,q) =
∫ 1
0xp−1(1− x)q−1dx . (9)
se numesc integralele lui Euler.
Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.
Integrale cu parametru
![Page 22: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/22.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Convergenta integralelor lui Euler
TeoremaIntegralele improprii cu parametru (8) si (9) sunt convergentepentru p > 0, respectiv p,q > 0.
Integrale cu parametru
![Page 23: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/23.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Formule de calcul
TeoremaIntegralele lui Euler satisfac urmatoarele proprietati
Γ(1) = 1 (10)
Γ(p + 1) = pΓ(p) (11)
B(p,q) = B(q,p) (12)
B(12,12
) = π (13)
Integrale cu parametru
![Page 24: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/24.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Demonstratie
Formula (10) se deduce imediat.
Γ(1) =
∫ +∞
0e−xdx = −e−x ∣∣+∞
0 = 1.
Pentru a deduce (11) integram prin parti.
Γ(p+1) =
∫ +∞
0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞
0 +
∫ +∞
0pxp−1e−xdx = pΓ(p).
Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t
B(p,q) =
∫ 1
0
dx√x(1− x)
=
=
∫ +π2
0
1sin t cos t
2 sin t cos tdt = π
Integrale cu parametru
![Page 25: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/25.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Demonstratie
Formula (10) se deduce imediat.
Γ(1) =
∫ +∞
0e−xdx = −e−x ∣∣+∞
0 = 1.
Pentru a deduce (11) integram prin parti.
Γ(p+1) =
∫ +∞
0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞
0 +
∫ +∞
0pxp−1e−xdx = pΓ(p).
Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t
B(p,q) =
∫ 1
0
dx√x(1− x)
=
=
∫ +π2
0
1sin t cos t
2 sin t cos tdt = π
Integrale cu parametru
![Page 26: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/26.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Demonstratie
Formula (10) se deduce imediat.
Γ(1) =
∫ +∞
0e−xdx = −e−x ∣∣+∞
0 = 1.
Pentru a deduce (11) integram prin parti.
Γ(p+1) =
∫ +∞
0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞
0 +
∫ +∞
0pxp−1e−xdx = pΓ(p).
Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t
B(p,q) =
∫ 1
0
dx√x(1− x)
=
=
∫ +π2
0
1sin t cos t
2 sin t cos tdt = π
Integrale cu parametru
![Page 27: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/27.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Demonstratie
Formula (10) se deduce imediat.
Γ(1) =
∫ +∞
0e−xdx = −e−x ∣∣+∞
0 = 1.
Pentru a deduce (11) integram prin parti.
Γ(p+1) =
∫ +∞
0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞
0 +
∫ +∞
0pxp−1e−xdx = pΓ(p).
Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t
B(p,q) =
∫ 1
0
dx√x(1− x)
=
=
∫ +π2
0
1sin t cos t
2 sin t cos tdt = π
Integrale cu parametru
![Page 28: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/28.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Consecinta Din (11) deducem
Γ(n + 1) = n! (14)
Γ(n +12
) =(2n − 1) · . . . 3 · 1
2n Γ(12
) (15)
Integrale cu parametru
![Page 29: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/29.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Legatura dintre Gamma si Beta
TeoremaAre loc urmatoarea formula
B(p,q) =Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q). (16)
Integrale cu parametru
![Page 30: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/30.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrala lui Gauss
Au loc urmatoarele formule
Γ(12
) =√π (17)
∫ +∞
0e−x2
dx =
√π
2(18)
Integrale cu parametru
![Page 31: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/31.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Aratati ca urmatoarele egalitati au loc
1. B(p,q) =
∫ +∞
0
yp−1
(1 + y)p+q dy
2 B(p,1− p) =
∫ +∞
0
yp−1
1 + ydy , 0 < p < 1
3. B(p,q) =q − 1
p + q − 1B(p,q − 1) =
=p − 1
p + q − 1B(p − 1,q) p > 1, q > 1
Integrale cu parametru
![Page 32: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/32.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Reduceti la integralele lui Euler si stabiliti natura lor:
1.∫ π
2
0sinm x cosn xdx , m,n ∈ R
2.∫ 1
0
dx
(1− xm)1n
, m > 0, n ∈ N
3.∫ +∞
0
xm−1
(1 + x)n dx m,n ∈ R
4.∫ +∞
0xpe−axdx , a > 0,p ∈ R
Integrale cu parametru
![Page 33: Integrale cu parametru - grupa 5107 · PDF fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a limita](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022102704/5a75e3467f8b9ad22a8cf536/html5/thumbnails/33.jpg)
Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
5.∫ +∞
0
x14
(1 + x)2 dx
6.∫ +∞
0
xm−1
1 + xn dx , m,n ∈ R
7.∫ +∞
0x2ne−x2
dx , n ∈ N.
Integrale cu parametru