INTEGRAL RIEMANN

Integral riemann

Partisi dan tanda partisi

Jika I : =[a,b] adalah interval tertutup terbatas pada R maka sebuah partisi atau (bagian) dari I adalah terbatas , order himpunan p : = (x0 , x1 …. , xn−1 , xn ¿dari -titik-titik I sedemikian hingga

a=x0<x1, ..<xn−1< xn=b

Definisi 5.1.1

Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, …, xn}

dari [a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.

Jika P = {x0, x1, x2, …, xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P ,

didefinisikan sebagai P = max{xi – xi-1 1 = 1, 2, 3, …, n}.

a = x0 x1 x2 … xn = b

Biasanya kita akan menunjukkan partisi P dengan notasi P = {[x i−1 , x i ¿ }i=1n kita

mendefenisikan norma dari P : ‖P‖≔max {x1−x0 , x2−x1 ,.. xn−xn−1}

Sehingga aturan partisi hanya panjang dari interval bagian terbesar ke dalam bagian partisi [a,b] Jelas bahwa banyak partisi memiliki aturan yang sama, maka partisi tersebut bukan fungsi dari suatu norma Jika sebuah titik t i telah dipilih dari

masing-masing interval bagian I i=[x i−1 , x i] untuk i = 1,2,3, . n maka titik tersebut

disebut tanda dari interval bagian I i .sebuah pasangan himpunan

P = {[x i−1 , x i ¿ }i=1n

dari interval bagian dan sesuai tanda disebut tanda partisi dari

I; lihat gambar 7.1.2. (titik di atas Pmenunjukkan bahwa sebuah tanda telah

dipilih untuk masing-masing interval bagian). Kita dapat memilih tanda di titik

akhir kiri, atau titik akhir kanan atau di titik tengah dari interval bagian, dan

sebagainya. Karena masing-masing tanda dapat dipilih dengan berbagai cara,

maka masing-masing partisi dapat di tandai dalam berbagai cara. Aturan dalam

menandai partisi didefinisikan untuk partisi biasa dan tidak bergantung pada

pilihan tandat1 t2 t3 tn

• • • • • • • • • • •

a = x0

x1

x2

x3

xn-1

xn=b

Gambar 7.1.2 Penandaan partisi dari [a,b]

Contoh :

Pada interval [-3,3],suatu partisi P = { −3 ,−112

,−12

,13

,2,3 } mempunyai norma

‖P‖=max {−112−(−3 ) ,−1

2−(−1

12 ) ,

13−(−1

2 ) ,2−13

, 3−2 }

= max {32

, 1 ,56

,53

,1 }

= 53

Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, …, xn} suatu partisi pada

[a,b], wi ∈ [xi-1, xi], dan xi = xi – xi-1, maka ∑i=1

n

f (wi ) ∆ x i disebut Jumlah Riemann f pada[a,b].

y=(fx)

x

w1 w2 w3 w4 wi wn

0 = a x1 x2x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1

Contoh 2:

Fungsi f pada [–3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 – 1 dan P{

−3 ,−112

,−12

,13

,2,3 } partisi pada [-3,3] dipilih titik-titik

W1 = -2

W2= −12

W3= 0

W4 = 112

W5 = 2 23

W1 = -2 f(w1) = 3 ∆ x 1 = 32

f(w1). ∆x1 = 92

W2 = -12

f(w2) = -34

∆ x 2 = 1 f(w2). ∆x2 = −34

W3 = 0 f(w3) = -1 ∆ x 3 = 56

f(w3). ∆x3 = −56

W4 = 12

f(w4) = 54

∆ x 4 = 53

f(w4). ∆x4 = 2512

W5 = 2 23

f(w5) = 559

∆ x 5 = 1 f(w5). ∆x5 = 559

Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas

5100

adalah ∑ f (wi ) xi = .9i=1

Defenisi 5.1.2

1). jika f fungsi yang terdefenisi pada[a,b] maka ; lim‖P‖→ 0

∑i=1

n

f ( wi ) ∆ x i=Ljika dan

hanya jika untuk setiap bilangan positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga

untuk setiap partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dengan ‖P‖<δ ,berlaku

|∑i=1

n

f (w i ) ∆ xi−L|<ε .

2). jikaf fungsi yang terdefenisi pada [a,b] dan lim‖P‖→ 0

∑i=1

n

f ( wi ) ∆ x iini ada,maka

limit tersebut dinamakan Integral tertentu (integral reimann)

fungsi f pada [a,b].selanjutnya dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya

ditulis ∫a

b

f ( x )dx.

Jadi ∫a

b

f ( x )dx= lim‖P‖→0

∑i=1

n

f (w i ) ∆ x i

3) jika f integrable pada [a,b] maka :

a. ∫b

a

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x ) dx

b. jika a = b maka ∫a

b

f ( x )dx=∫b

a

f ( x )dx=0

dari defenisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika f(x) > 0,maka

∫a

b

f ( x )dx= lim‖P‖→0

∑i=1

n

f (w i ) ∆ x isecara geometris menyatakan luas daerah di bawah

kurva y = f(x),diatas sumbu x ,diantara garis x =a dan x =b.

Contoh 3 :

Jika f(x) = x + 3, tentukan ∫−2

3

( x+3 ) dx

Penyelesaian : Buat partisi pada [–2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama

panjang. Jadi panjang setiap interval bagian adalah ∆ x=5n

Dalam setiap interval bagian [x i−1 , x i¿partisi tersebut diambil w i=x i

Akan dicari nilai ; lim‖P‖→ 0

∑i=1

n

f ( wi ) ∆ x i

y F(x) = x+3

3

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

x0=−2

x1=−2+∆ x=−2+5n

x2=−2+2 ∆ x=−2+2 (5n )

x3=−2+3∆ x=−2+3( 5n )

x i=−2+i . ∆ x=−2+i( 5n )

xn=−2+n. ∆ x=−2+n( 5n )=3

Karena untuk setiap i = 1 ,2 , 3 , . . . .n dipilih w i=−2+i( 5n )=−2+5 i

n

Sehingga

F( wi )=wi+3

= (−2+ 5 in )+3

= 1+ 5in

Jadi jumlah reimann fungsi f pada [-2,3] bersesuaian dengan partisi p tersebut adalah

∑i=1

n

f (w i ) ∆ xi=∑❑

❑

(1+❑❑ )❑❑

= ❑❑∑❑

❑

(1+❑❑ )

= ❑❑∑❑

❑

1+❑❑∑

❑

❑ 5 in

= ❑❑∑❑

❑

1+ ❑❑❑∑

❑

❑

❑

= ❑❑()+ ❑

❑❑ {❑❑ n ( n+1 )}

= 5+❑❑ (1+❑

❑ )Jika ‖P‖→ 0maka n → ∞, sehingga :

∑i=1

n

f (w i ) ∆ xi=limn → ∞

(5+❑❑ (1+❑

❑ ))

= 1712

Jadi ∫❑

❑

()dx=17 ❑❑ .

Contoh 4: