Integral Darboux 1Thobirin - Herawan : Analisis Real IIBAB V INTEGRAL DARBOUX Pada tahun 1875, matematikawan I.G. Darboux secara konstruktif memodifikasi definisi integral Riemann dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah Darboux atas ( upper Darboux sum) dan jumlah Darboux bawah (lower Darboux sum), selanjutnya mendefinisikan integral Darboux atas (upper Darboux integral) dan integral Darboux bawah (lower Darboux integral). Pada pembahasan selanjutnya akan didefinisikan integral Darboux dan ekuivalensi integral Darboux dengan integral Riemann. A.Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah Diberikan interval tertutup , , danf : [, ]R fungsi bernilai real yang terbatas pada [, ]. Jika = {= 0 , 1 , 2 , … , = ; 1 , 2 , … , }sembarang partisi pada[, ] , maka didefinisikan M= sup: ∈ [, ]dan m= inf : ∈ [, ]Keterbatasa fungsifdapat menjamin eksistensi dua bilangan Mdan mtersebut. Selanjutnya untuk = 1,2, … , didefinisikan = sup: ∈ [− 1 , ],= inf : ∈ [−1 , ]Dapat dipahami bahwa ≤ ≤ ≤ ≤untuk setiap =1,2, … , . Selanjutnya Jumlah Darboux atasfungsi fterkait dengan partisi P, dinyatakan dengan (; ), didefinisikan sebagai ; = ( =1 − −1 )dan Jumlah Darboux bawahfungsi fterkait dengan partisi P, dinyatakan dengan (; ), didefinisikan sebagai ; = ( =1 − − 1 )…Lemma 5.1 Diberikan , , jikaf : [, ]R fungsi yang terbatas pada[, ]dan= {= 0 , 1 , 2 , … , = ; 1 , 2 , … , }sembarang partisi pada[, ], maka berlaku; ≤ ; . Bukti Diberikan = {= 0 , 1 , 2 , … , = ; 1 , 2 , … , }sembarang partisi pada[, ], berdasarkan definisi supremum dan infemum suatu himpunan maka diperoleh ≤ untuk setiap = 1,2, … , . Oleh karenanya diperoleh ; = (− − 1 ) =1 ≤ (− − 1 ) =1 = ; .
