integral - · pdf filedisebut integral tentu (integral riemann) ... menyatakan luas daerah...

Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012

1 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.

INTEGRAL OLEH :

WILDAN SUHARTINI

125100301111024

(KELAS L)

A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU

Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut

juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu.

Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu

integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang

nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam

kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang,

menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral

tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan

integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu

yang lain yang mempergunakannya.

1. INTEGRAL TAK TENTU

Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan

rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘

(x) atau dx

dy, sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah

dxxfdxy )( yang dibaca “ integral y terhadap x ”.

Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan,

biasanya diwakili oleh notasi c.




Rumus umum integral dari naxy adalah cxn

a n 1

1 atau ditulis :

cxn

adxax nn 1

1 untuk 1n

Contoh :

F (x) anti derivativ dari (x)

G (x)

F (x) = 4 x3 + x

2 + 7 F’ (x) = 12 x

2 + 2 x = (x)

G (x) = 4 x3 + x

2 9 G’ (x) = 12 x

2 + 2 x = (x

Fungsi 4 x3 + x

2 + c adalah anti derivatif dari atau

12 x2 + 2x dx = 4x

3 + x

2 + c

Disebut integral tak tentu karena adanya konstanta c

Rumus – rumus integral tak tentu:

Rumus integral tak tentu dari fungsi Al jabar

1. dx = x + c

2. k dx = k d x = k x + c, k = konstanta

3. (u + v) dx = u dx + v dx, u dan v fungsi dari x

4. u dx = u dx, = konstanta, u fungsi dari x

5. xn dx =

1

1

n

nx+ c, n 1

6. un du =

1

1

n

nu+ c, n 1, u fungsi dari x




7. u

du= ln u + c

8. au du =

a

ua

ln+ c, a > 0, a 1

9. eu du = e

u + c

Rumus Integral tak tentu fungsi Trigonometri:

10. sin u du = cos u + c

11. cos u du = sin u + c

12. tg u du = ln sec u + c

13. ctg u du = ln sin u + c

14. sec u du = ln sec u + tg u + c

15. cosec u du = ln cosec u ctg u + c

16. sec2 u du = tg u + c

17. cosec2 u du = ctg u + c

18. sec u . tg u du = sec u + c

19. cosec u . ctg u du = cosec u + c

20. 22 ua

du = arc sin

a

u + c

21. 22 ua

du=

a

1arc tg

a

u+ c

22. 22 auu

du=

a

1arc sec

a

u+ c




23. 22 au

du=

a2

1ln

au

au+ c

24. 22 ua

du=

a2

1ln

au

au+ c

25. 22 au

du = ln u +

22 au + c

26. 22 au

du = ln u

22 au + c

27. 22 ua du =

2

1u

22 ua + 2

1a

2 arc sin

a

u+ c

28. 22 au du =

2

1u

22 au + 2

1a

2ln u +

22 au + c

29. 22 au du =

2

1u

22 au 2

1a

2 ln u +

22 au + c

Catatan : Dalam menyelesaikan soal integral diusahakan merubahnya menjadi salah satu

bentuk rumus di atas. Metoda ini disebut metoda substitusi

Contoh soal

1. 2

1x3 dx =

2

1 x3 dx =

2

1 .

4

1x4 + c =

8

1x4 + c

2. 5

2

x dx = 2x-5 dx = -

2

1 x-4 + c = -

42

1

x+ c

3. (2 + x) x . dx

= 2 x + x x . dx




= 2x1/2 + x3/2. dx

=

23

2 x3/2 +

25

1 x5/2 + c

= 3

4 . 3x +

5

2 5x + c

= 3

4 . x x + 5

2 x2 x + c

4. 2x 21 x dx metoda substitusi

Misalnya u = 1 + x2

du = 2x dx

I = 2x u x

du

2

= u du

=

23

1 u

3/2 + c

= 3

2(1 + x

2)3/2

+ c = 3

2 3)21( x + c

2. INTEGRAL TENTU

Definisi :

Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada

[a,b] jika n

iii

Pxxf

10)(lim ada, selanjutnya

b

a

dxxf )( disebut Integral Tentu

(Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan




b

a

dxxf )( =

n

iii

Pxxf

10)(lim .

b

a

dxxf )( menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x

dalam selang [a,b], jika

b

a

dxxf )( bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang

berada dibawah sumbu x.

Definisi :

a

a

dxxf )( = 0

b

a

dxxf )( = -

a

b

dxxf )( , a > b

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral

Tentu, berikut teorema tersebut :

Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka

b

a

dxxf )( = F(b) – F(a)




Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([

Contoh :

1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka

11

11

r

a

r

bdxx

rrb

a

r

Jawab :

Karena F(x) = 1

1

r

xr

suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,

11)()(

11

r

a

r

baFbFdxx

rrb

a

r

Integral tentu sebagai operator linear

Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan

f + g terintegralkan, dengan

1.

b

a

dxxkf )( k

2. = +

b

a

dxxg )(

Contoh :

Hitung dxxx )64(2

1

2

Jawab :

dxxdxxdxxx2

1

22

1

2

1

2 64)64( = 4

2

1

32

1

2

36

2

xx

b

a

dxxf )(

dxxgxfb

a

)]()([b

a

dxxf )(




= 43

1

3

86

2

1

2

4 = 12

Sifat-Sifat Integral Tentu

1. Sifat Penambahan Selang

Teorema :

Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka

dxxfc

a

)( = dxxfb

a

)( + dxxfc

b

)( bagaimanapun urutan a, b dan c.

Contoh :

1. dxxdxxdxx2

1

21

0

22

0

2 2. dxxdxxdxx

2

3

23

0

22

0

2

3. dxxdxxdxx2

1

21

0

22

0

2

2. Sifat Simetri Teorema :

Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka dxxfa

a

)( = 2 dxxfa

0

)( dan

Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka dxxfa

a

)( = 0.

Contoh :

1.

04

cos24

cos dxx

dxx

244

1.

4cos8

0

dxx

2. dxx

x5

52

5

4 = 0




TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Teknik Subtitusi

a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu

Teorema :

Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u =

g(x) maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Contoh :

Hitunglah dxx

xsin.

Jawab : Misalkan u = x = x1/2

sehingga du = 2/1

2

1x dx maka

dxx

xsin = 2 dxxx 2/1

2

1sin = 2 udusin = 2cosu + c = 2cos x + c

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.

Teorema :

Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka

duufdxxgxgfbg

ag

b

a

)(

)(

)()('))((

Contoh :

Hitung

1

02 )62(

1dx

xx

x

Jawab :

Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan

u = jika x = 1, jadi




1

02 )62(

1dx

xx

x =

1

02 )62(

)1(2

2

1dx

xx

x

= )6ln9(ln2

1ln

2

1

2

1 96

9

6

uu

du =

2

3ln

2

1

2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri

a. sin n x dx, cos

n x dx

Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan

kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos

2 x = 1.

Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut

sin 2 x =

2

2cos1 x , cos

2 x =

2

2cos1 x

Contoh :

1. cos 4 x dx = dx

x2

2

2cos1 =

4

1(1 + 2 cos 2x + cos

2 2x) dx

= 4

1dx +

4

1cos 2x (2) dx +

8

1(1 + cos 4x) dx

= 8

3x +

4

1sin 2x +

32

1 sin 4x + c

b. sin m

x cos n x dx

Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka

keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan

kesamaan sin 2

x + cos 2

x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan

rumus setengah sudut.

Contoh :

Tentukan : 1. sin 3 x cos

–4 x dx 2. sin

2 x cos

4 x dx




c. tg n

x dx, cotg n

x dx.

Keluarkan faktor tg 2 x = sec

2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg

2 x = cosec

2

x – 1 dalam kasus cotg.

Contoh :

cotg 4 x dx = cotg

2 x (cosec

2 x – 1) dx = cotg

2 x cosec

2 x dx – cotg

2

x dx = - cotg 2 x d(cotg x) - (cosec

2 x – 1) dx = -

3

1cotg

3x + cotg x + x + c

d. tg m

x sec n x dx, cotg

m x cosec

n x dx

Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau

cosec 2

x.

Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.

Contoh :

Tentukan : 1. tg –3/2

x sec 4 x dx 2. tg

3 x sec

–1/2 x dx

e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.

Gunakan kesamaan :

sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x]

sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x]

cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]

Contoh :

sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx

= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.

3. Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan

teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan

lebih sederhana dari integral mula-mula.




vduuvudv

Contoh :

1. dxxex

Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = e

x

dxxex = dxexe xx = xex –e

x + c

4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).

a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n bax

Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n bax

Contoh : Hitung dxxx3 4

Jawab : Misalkan u = dxxx3 4 maka 3u = x – 4 dan 3

2u du = dx

Shg dxxx3 4 = cxxduuuu 34

73

23 )4()4(7

33.)4(

b. Integran yang memuat bentuk 222222 ,, axxaxa

Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.

Contoh :

1. Tentukan dxx

x

2

24

Jawab :

Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan 24 x = 2 cos t , shg

dxx

x

2

24 = tdtctgdtt

t

t 2

2)cos2(

sin4

cos2 = - ctg t – t + c

= cx

x

x

2sin

4 12




5. Integral Fungsi Rasional

Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

)(

)()(

xQ

xPxF , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0

Fungsi Rasional dibedakan atas :

a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada

pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.

b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom

pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada

penyebut.

Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan

Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi

penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana

mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat

ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana

Contoh :

1

3

1

2

1

15

2 xxx

x

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda

Contoh :

Tentukan dxxxx

x

32

35

23

Jawab :

31)3)(1(

35

32

35

23 x

C

x

B

x

A

xxx

x

xxx

x

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka

diperoleh : A = -1 , B = 2

1 , dan C = 2

3 sehingga




dxxxx

x

32

35

23= dx

xdx

xx

dx

3

23

1

21

= - ln cxxx 3ln2

31ln

2

1

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang

Contoh :

Tentukan dxx

x

2)3(

Jawab :

22 )3(3)3( x

B

x

A

x

x maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh

: A = 1 dan B = 3 sehingga

cx

xdxx

dxx

dxx

x

3

33ln

)3(

3

3

1

)3( 22

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor kbax )( dalam penyebut, maka ada

sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

k

k

bax

A

bax

A

bax

A

)(...

)( 2

21

c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda

Contoh :

Tentukan dxxx

xx

)1)(14(

136

2

2

Jawab :

114)1)(14(

136

22

2

x

CBx

x

A

xx

xx

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap

sukunya.




PENGGUNAAN INTEGRAL

1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA

Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan

selang batas tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong

kedua kurva tersebut.

Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva 2xy !

Penyelesaian :

2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT

Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang bxa

dimana

daerahnya ada di atas atau di bawah sumbu X adalah :

b

a

dxxfL )(

X

Y

y = x

y = x2

1

1




Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu :

b

a

dyyfL )(

Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = 3x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !

Penyelesaian : Y

-1 0 1 X

1

0

1

0

4

0

1

43

0

1

3

2

1)0

4

1()

4

10(

4

1

4

1xxdxxdxxL satuan

luas.

3. LUAS ANTARA DUA KURVA

Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva

dan sumbu koordinat.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y y = f(x)

y = g(X)

0 a b X

Luas daerah yang diarsir adalah :




b

a

b

a

b

a

dxxgxfdxxgdxxfL ))()(()()(

Jadi :

b

a

xgxfL )()(

Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva xxy 32 dan y = 2x + 2 !

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva yaitu :

120)1(22232 xatauxxxxxx

-2 1

0 X

2

14)2()3()22(

1

2

2

1

2

2 dxxxdxxxxL satuan luas.

4. VOLUME BENDA PUTAR

4.1 Volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat

Y

y =f(x)

a b

0 x




Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X

yang diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu X adalah :

b

a

dxyV 2

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 dan

dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya : b

adyxV 2

Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh

kurva 2xy , sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh

360 !

Jawab : Y

0 2 X

2

0

4

0

2

0

5422

5

320

5

32

5

1xdxxdxxV satuan volume.

4.2 Volume benda putar antara dua kurva

y y = f(x)

y = g(x)

0 a b X

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 yang dibatasi

oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :




b

adxyyV )(

2

2

2

1 dimana 2121 )(),( yydanxgyxfy

Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.

Contoh : Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh

360 !

Jawab :

2

0

2

0

53422

0

222

15

64

5

1

3

44)()2( xxdxxxdxxxV

REFERENSI:

Johan, Warsoma & Wono Setya Budi. 2008. Diktat Kalkulus 1 FMIPA ITB. Bandung:

Depertemen Metematika FMIPA ITB.

Permana, Arif. 2012. Kalkulus: Integral dan fungsi integral. Yogyakarta. UGM press

Wahyudi, Purwanto. 2011. Kalkulus 1 Dan Rumus-Rumus Integral. Malang. FMIPA

matematika UB.

integral - · pdf filedisebut integral tentu (integral riemann) ... menyatakan luas daerah...

Documents