1

İntegral

Belirsiz İntegral

İntegral Alma Kuralları

İntegral Alma Metotları

İntegralde Trigonometrik Dönüşümler

Belirli İntegral

Belirli İntegralin Uygulamaları

Belirsiz İntegral

Belirsiz İntegralin Özellikleri

İntegral Alma Kuralları

slayt1

Belirsiz İntegral

Örnek: F(x) = x2 ⇒ F’(x) = 2x ⇒ F’(x).dx=2x.dx ∫F’(x).dx = ∫2x.dx ⇒ F(x)=x2 + C ⇒ ∫2x.dx = x2 + C dır.

Tanım: f:[a,b] → R , F:[a,b] → R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve ∫f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir.

CF(x)f(x).dx +=∫

slayt2

Belirsiz İntegralin Özellikleri

3-) Bir fonksiyonunun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir.

dir.Cf(x)d(f(x)) +=∫

1-) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir.

( ) ( ) tir.f(x)CF(x)f(x).dx ''=+=∫

2-) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir.

( ) tir.f(x).dxf(x).dxd =∫

slayt3

İntegral Alma Kuralları

)1(1

1..1 1 −≠+

+= +∫ nCxn

dxx nn

c|x|ln.dxx

12. +=∫

Ce.dxe3. xx +=∫

1)0.a(aC.alna

1.dxa4. xx ≠>+=∫

Ccosxsinx5. +−=∫Csinxcosx.dx6. +=∫

Csecxdxtanx.secx.7. +=∫

Ccosecxx.dxcotx.cosec8. +−=∫

ctanx.dxsec9. 2 +=∫

Ccotx.dxcosec10. 2 +−=∫

212CarccotxCarctanx.dx

x1

111. +−=+=

+∫

212CarccosxCarcsinx.dx

x-1

112. +−=+=∫

slayt4

Örnek1: ∫ (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım.

Örnek2: ∫[(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım.

Çözüm1:

bulunur.CxxC1.x2

x2.1.dxx.dx21).dx(2x 2

2

++=++=+=+ ∫∫∫

Çözüm2:

C|x|3lnx.dxx

32x.dx.dx

x

3x

x

2x.dx

x

3x2x 222

3

2

3

+−=−=

−=−

∫∫∫∫

Yerine Koyma Metodu

slayt1

İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür.

1-) ∫∫ = ))f(x).d(f(x.dx(x)f(x).f '

Örnek: ∫ cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım.du=-sinx.dx ⇒ sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

bulunur.C3

u.duudu).(u.sinx.dxcosx

3222 +−=−=−= ∫∫∫

slayt2

2-) [ ] ∫∫ = )(x).d(f(x)f.dx(x).ff(x) n'n

Örnek: ∫ (3x-1)7 integralini hesaplayalım.

Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u) ⇒ 3.dx=du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

bulunur.C1)(3x24

1Cu

24

1.du

3

1.u.dx1)-(3x 8877

+−=+== ∫∫

slayt3

3-)∫∫ =

)(

))((

)(

).('

xf

xfd

xf

dxxf

Örnek: ∫ tanx.dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: ∫tanx.dx= ∫ (sinx/cosx).dx yazalım:cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım. d(cosx)=d(u) ⇒ -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine yazalım:

bulunur.C|cosx|lnC|u|lnu

du.dx

cosx

sinx +−=+−=−= ∫∫

slayt4

cirCa

bx.arcsin

b

1

.xba

dx

üzereolmak{0}Rb,a

222+

=

−

−∈

∫

Örnek: ım.hesaplayaliintegralin

25x9

dx2∫ −

Çözüm:bulunur.C

3

5x.arcsin

5

1

25x9

dx2

+

=

−∫

4-) {1}R(a.dx(x).fa 'f(x) −∈ +∫

Örnek: ∫ (2tan3x +1).sec2 x .dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec23x.dx=u olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:

( ) ( )

bulunur.C.tan3x3

1.2

ln8

1

Cu.2ln2

1.

3

1.du12

3

13x.dx.sec12

tan3x

uu2tan3x

++=

+

+=+=+ ∫∫

slayt5

slayt6

{0}dir.R(aC.am.lna

1.dxa2.

dir.C.em

1.dxe1.

üzereolmak0m,Rn,m

nmxnmx

nmxnmx

−∈+=

+=

≠∈

+++

++

∫

∫

dir.Cn).sin(mxm

1n).dxcos(mx2.

dir.Cn).cos(mxm

1n).dxsin(mx1.

üzere;olmak0m,Rn,m

++=+

++−=+

≠∈

∫

∫

İntegrandında Varsa (a>0)22 xa −

İntegrandında Varsa (|x/a|>0)22 ax −

İntegrandında Varsa (a>0)22 xa +

slayt1

İntegrandında Varsa (a>0)22 xa −

Örnek: ∫ − 22 x9.x

dx integralini hesaplayınız.

Çözüm:

bulunur.C9x

x9

9x9x

dx

3

xsintsint x

edilir. elde

Ccott9

1

tsin

dt

9

1

tsin1t.27.sin

3.cost.dt

t9sin9t.9.sin

3.cost.dt

2

22

22222

+−−=−

⇒=⇒=

+−==−

=−

∫

∫ ∫∫

x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint ⇒ dx=3cost.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

slayt2

İntegrandında Varsa (|x/a|>0)22 ax −

Örnek: ∫ −16xx.

dx2

integralini x>4 için hesaplayınız.

Çözüm:

bulunur.Cx

4.arccos

4

1

Ct4

1dt

4

1

ttan4

tant.dt

16t16sec4.sect.

t.dt4.sect.tan

16xx.

dx222

+

=

+===−

=− ∫∫ ∫∫

x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

slayt3

İntegrandında Varsa (a>0)22 xa +

Örnek: ∫ + 4x.x

dx22

integralini hesaplayınız.

Çözüm: x=2tant dönüşümü yapılırsa; x=2tant ⇒ dx=2.sec2t.dt olur. Bulunan değerler integral de yerine yazılırsa;

bulunur.C4x

4x

4xx

dx

edilir.eldeCsint

1.

4

1

4.u

du

t4.sin

cost.dt

olur.t4.sin

cost.dt

t.sect8.tan

t.dt2.sec

4t4tant.4.tan

t.dt2.sec

4xx

dx

2

22

22

22

2

22

2

22

++−=+

+−==

==+

=+

∫

∫∫

∫∫ ∫∫

slayt1

∫ ∫−= v.duu.vu.du

Örnek1: ∫x.cosx.dx integralini hesaplayalım

Çözüm1: Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu durumda, du=dx ve v=sinx olur.

bulunur.Ccosxx.sinxsinx.dxx.sinxx.cosx.dx ++=−=∫ ∫

Örnek2: ∫x2.lnx.dx integralini hesaplayalım.

Çözüm2:

bulunur.Cx9

1lnxx

3

1.dxx

3

1.lnxx

3

1

.dxx

1.x

3

1lnxx

3

1.lnx.dxx

olur.x3

1vve.dx

x

1duBuradan,olsun..dxxdv velnxu

3323

332

32

+−=−=

−=

====

∫

∫∫

slayt2

slayt3

Örnek3: ∫arctanx.dx integralini hesaplayalım.

Çözüm3:

bulunur.Cx1lnx.arctanxC)xln(12

1x.arctanx

.dxx1

2x

2

1x.arctanx.dx

x1

xx.arctanxarctanx.dx

olur.xvve.dx1x

1duolsun.dxdv vearctanxu

22

22

2

++−=++−=

+−=

+−=

=+

===

∫ ∫∫

slayt1

Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir.

Örnek: integralini hesaplayalım.dx4x

2-3x2∫ −

Çözüm:

[ ] C2)(x1xlnC2x2ln2xln

x2

dx2.

2x

dx.dx

2x

1

2x

1.dx

2)2).(x(x

23x

bulunur.2B1,A2x

B

2x

A

2)2).(x(x

23x

2 ++−=+++−=

+−

=

++

−=

+−−

==⇒+

+−

=+−

−

∫∫∫∫

slayt2

İNTEGRALİqpxx

dx2∫ ++

Paydada ∆<0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral, ∫(du/1+u2) şekline dönüştürülerek hesaplanır.

Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse∫(P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere,

olur..dxQ(x)

K(x)B(x).dx.dx

Q(x)

P(x)∫∫∫ +=

slayt3

Örnek: integralini hesaplayalım∫ ++ 106xx

dx2

Çözüm:

dir.C3)arctan(x13)(x

dx

dir.Carctanu1u

du

dendxdu3xu

ür.dönüşşekline13)(x

dx

integral,Buradan

r.yazıazılabşeklinde13)(x196xx106xx

getirilir.şekline1u

duintegrali

106xx

dx

2

2

2

222

22

++=++

+=+

=⇒+=++

++=+++=+++++

∫

∫

∫

∫∫

slayt4

dir.Ca

bx.arctan

a.b

1

xba

dx222

+

=

+∫

a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere;

Örnek: integralini hesaplayalım∫ + 6125x

dx2

Çözüm:

bulunur.C4

5x.arctan

20

1

C4

5x.arctan

5.4

1

1625x

dx2

+=

+=+∫

∫sinmx.cosnx.dx (m,n ∈ N) Şeklindeki İntegraller

∫sinax.cosbx.dx, ∫sinax.sinbx.dx ve ∫cosax.cosbx.dx(a,b ∈ N) Şeklindeki İntegraller

İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller

slayt1

∫sinmx.cosnx.dx (m,n ∈ N) Şeklindeki İntegraller

A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise;

Örnek: integralini hesaplayalım.dxxx.cossin 32∫

Çözüm:

∫sin2x.cos3x.dx= ∫sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2x=1-sin2x olduğundan, ∫sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur.sinx = u ⇒ cosx.dx = du dur.

bulunur.Cxsin5

1xsin

3

1).duu(u).duu.(1u 534222 +−=−=− ∫∫

slayt2

B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise;

Örnek: integralini hesaplayalım.dxxx.cossin 53∫

Çözüm:

∫sin3x.cos5x.dx=∫cos5x.sin2x.sinx.dx=∫cos5x.(1-cos2x).sinx.dx olur. cosx = u ⇒ sinx.dx = -du dur.

bulunur.Cxcos6

1xcos

8

1).duu(u).(-du)u.(1u 687525 +−=−=− ∫∫

slayt3

C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise;

Örnek: integralini hesaplayalım.dxx.xsin 2∫

Çözüm:

bulunur.Csin2x4

1x

2

1Csin2x

2

1x

2

1

cos2x).dx(12

1cos2x).dx(1

2

1x.x.dxsin

cos2x)(12

1xsin

2

2

+−=+

−=

−=−=

⇒−=

∫∫∫

slayt4

∫sinax.cosbx.dx, ∫sinax.sinbx.dx ve ∫cosax.cosbx.dx(a,b ∈ N) Şeklindeki İntegraller

[ ]

[ ]

[ ]b)cos(ab)cos(a2

1cosa.cosb

b)cos(ab)cos(a2

1sina.sinb

b)sin(ab)sin(a2

1sina.cosb

−++=

+−−=

−++= Bu tip integraller hesaplanırken ters dönüşüm formülleri kullanılır.

Örnek: integralini hesaplayalım.dxxsin3x.sin2∫

Çözüm: [ ]

bulunur.Csin5x10

1sinx

2

1

.dx2x)cos(3x-2x)-cos(3x2

1x.dxsin3x.sin2

+−=

+= ∫∫

slayt5

İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller

√1+u2

u

1

x2

Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u dönüşümü yapılır. Yandaki dik üçgen yardımıyla,

2u1

2usinx

+=

2

2

u1

u1cosx

+−= 2u1

2dudx

+=

Örnek: ∫ +cosx1

dx

Çözüm:

bulunur.C2

xtan

u12u1

2du

cosx1

dx

2

2

+=

+

+=+ ∫∫

slayt1

Tanım: f:[a,b] → R , F:[a,b] → R ve sürekli yada süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin bir bölüntüsü P olmak üzere:

lim||P||→0A(f,P)=lim||P||→0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu,

Belirli İntegral

.gösterilir biçiminde.dxf(x)Sb

a∫=

slayt2

Teorem1: f:[a,b] → R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve F:[a,b] → R fonksiyonu, ile tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve ∀∈(a,b) için F’(x)=f(x) tir.

.dtf(t)F(x)x

a∫=

Örnek1: ?(x)F.dtt.cost1F(x) 'x

3

=⇒+= ∫−

Çözüm1:tir.x.cox1(x)F

göre;teoreme1.' +=

slayt3

Çözüm2:

( ) ( ) ( )bulunur.3222.1361(1)fm22x36x(x)f

28x6x36x.212.(2x)6x.1)2.(3x(x)f3'

t3'

32'

=−−==⇒−−=

−−+=+−+=

Örnek2: .dx1)(2xF(x)

23x

2x∫ += Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in

grafiğini x=1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

slayt4

Teorem2: f:[a,b] → R integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer ∫f(x).dx=F(x)+C , C ∈ R olacak biçimde f:[a,b] → R ye F(x) fonksiyonu varsa,

dır.F(a)F(b)|F(x).dxf(x)

b

a

b

a

−==∫

Örnek: ?.dxsin2t.dt

dx

dπ/6

0

x

0

=

∫ ∫

Çözüm:

bulunur.4

1cos0

3

πcos

2

1|.cos2x

2

1sin2x.dx

π/6

0

π/6

0

=

−−=−=∫

slayt5

Tanım: f:[a,b] → R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilirse,

Belirli İntegralin Özellikleri

:integralif(x).dxvef(x).dxa

b

a

a∫∫

1-)

2-)

0f(x).dxa

a

=∫

∫∫ −=a

b

b

a

f(x).dxf(x).dxbiçiminde tanımlanır.