INTEGRAIS DE FUNCIÓNS RACIONAIS

Trátase de resolver integrais da forma ( )

( )

P xdx

Q x onde P(x) e Q(x) son polinomios

1) INTEGRAIS RACIONAIS INMEDIATAS

A) Pode ser inmediata dun destes tres tipos :

Potencial. Exemplo : 1

2

2

1 ( 1) 1( 1)

1 1( 1)

xdx x dx C C

xx

( Tipo

1

. ´1

nn f

f f Cn

)

Logarítmica. Exemplo : 2

2

2 12 1

2 1

xdx L x x C

x x

(Tipo ´f

L f Cf )

Arco tanxente. Exemplo : 2

4 2 2 2

2 2 1( )

2 24 2 ( )

x x xdx dx arctg C

x x

(Tipo 2 2

´ 1. ( )

f farctg C

a aa f

)

B) Se o grao do numerador, P(x), é maior ou igual que o grao do denominador, Q(x), dividimos P(x) entre Q(x) .

E conseguimos un polinomio cociente C(x) e un polinomio resto R(x), de grao menor que o cociente Q(x).

( ) ( )

( ) ( )

P x Q x

R x C x como en toda división : Dividendo = divisor . cociente + resto ,

temos que : ( ) ( ). ( ) ( )P x Q x C x R x .

Dividindo entre o cociente, Q(x) : ( ) ( )

( )( ) ( )

P x R xC x

Q x Q x

e polo tanto ( ) ( )

( )( ) ( )

P x R xdx C x dx dx

Q x Q x

onde ( )C x dx é polinómica e polo tanto inmediata, e a ( )

( )

R xdx

Q x ou ben é inmediata, ou ben haberá que descompoñela en

fraccións simples como veremos máis adiante

EXEMPLO 1 : 2

2 1

xdx

x Como o grao numerador é igual que o grao do denominador , dividimos os polinomios

2 2

2

1

1 1

1

x x

x

. Entón como o cociente é 1 e o resto é -1:

2

2 2

11 ( )

1 1

xdx dx dx x arctg x C

x x

EXEMPLO 2 2 5 4

1

x xdx

x

. Como o grao numerador é maior que o grao do denominador , dividimos os polinomios

2

2

5 4 1

6

6 4

6 6

10

x x x

x x x

x

x

entón , como cociente é 6x e o resto 10:

2 25 4 10 1( 6) 6 10 6 10. 1

1 1 1 2

x x xdx x dx dx xdx dx dx x L x C

x x x

Hai , non obstante, integrais racionais que non se convirten con tanta facilidade en inmediatas. Para resolvelas é preciso facer uso

da descomposición en fraccións simples

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

Para resolver este tipo de integrais racionais ( )

( )

P xdx

Q x que non son inmediatas , supoñeremos que o grao do numerador, P(x),

é menor que o grao do denominador Q(x) , e se non é así, efectuamos a división e xa estaríamos nese caso

Procédese do seguinte xeito:

1. Descomponse factorialmente o polinomio Q(x), é dicir, achanse as raíces da ecuación Q(x) = 0.

2 Descomponse a fracción ( )

( )

P x

Q x en suma de fraccións simples como se verá nos exemplos

3. Se integran los sumandos que resulten.

Agora ben, ó resolver a ecuación Q(x) = 0 é posible atopar resultados distintos e éstos pódense clasificar en

tres casos:

_CASO A Obtención de raíces reais simples (ningunha raíz está repetida).

de Q(x)

_CASO B Obtención de raíces reais múltiples (polo menos hai unha raíz repetida).

de Q(x)

_CASO C (ESTE CASO NON ENTRA NA SELECTIVIDADE) Obtención de raíces

imaxinarias conxugadas (números complexos).

Hai que estudiar, pois, cada un dos casos.

CASO A obtención de raíces reais simples (ningunha raíz está repetida).

Cada raíz real simple ix de Q(x), orixina unha fracción do tipo: i

i

A

x x De tal xeito que se 1 2, ,..., nx x x son as raíces reais

simples de Q(x) entón :

1 2

1 2

( )....

( )

n

n

AA AP x

Q x x x x x x x

e polo tanto

1 2 1 2

1 2 1 2

( ).... ....

( )

n n

n n

A AA A A AP xdx dx dx dx dx

Q x x x x x x x x x x x x x

Onde 1 2, ,...., nA A A son constantes numéricas que se teñen que determinar.

Cada unha das integrais resultantes i

i

Adx

x x é inmediata de tipo logarítmico

EXEMPLO 3 : 2

2

1

xdx

x

. Non é inmediata, nin de tipo potencial, nin logarítmica, nin arco tanxente. Aplicamos o método de

descomposición en suma de fraccións simples

As raíces de 2 1x son :

2 21 0 1 1x x x . Ten polo tanto dúas raices reais simples : 1 21 e 1x x

E a súa factorización é 2 1 ( 1).( 1)x x x

Entón :2 2

2 .( 1) .( 1)

1 11 1

x A B A x B x

x xx x

Como os denominadores son iguais, os numeradores tamén teñen que ser iguais, entón :

2 .( 1) .( 1)x A x B x

Para calcular A e B , danse valores a x :. Ainda que a x se lle poden dar valores arbitrarios, neste caso escolleremos , sempre que

podamos, aqueles que anulen algún dos sumandos, (as raices de Q(x)=0) para asi simplificar os cálculos. Este será un

procedemento xeneralizado.

1 enton

1 2 .(1 1) .(1 1)

11 2.2

Se x

A B

A A

1 enton

1 2 .( 1 1) .( 1 1)

33 2.2

Se x

A B

B B

Entón 2

312 2 2

1 11

x

x xx

Polo que : 2

312 2 2

1 11

xdx dx dx

x xx

1 31 1

2 2L x L x C

CASO B obtención de raíces reais múltiples (a raíz está repetida).

Cada raíz a de multiplicidade n , de Q(x), (a está repetida n veces) orixina na descomposición en fraccións

simples de ( )

( )

P x

Q x os sumandos

31 2

2 3.... n

n

A AA A

x a x a x a x a

Onde 1 2, ,...., nA A A son constantes numéricas que se teñen que determinar.

A integral de cada un dos sumandos resultantes é inmediata de tipo logarítmico

1Adx

x a ou

de tipo potencial :

j

j

Adx

x a

EXEMPLO 4 : 2

3

2 1

xdx

x x

. Non é inmediata, nin de tipo potencial, nin logarítmica, nin arco tanxente. Aplicamos o método de

descomposición en fraccións simples

As raíces de 2 2 1x x son :

12

2

2 01

2 4 4 22 1 0

2 021

2

x

x x x

x

. Ten polo tanto unha raíz real doble 1x

E a súa factorización é 2 22 1 ( 1)x x x

Entón :

2 2 2

3 .( 1)

12 1 1 1

x A B A x B

xx x x x

Como os denominadores son iguais, os numeradores tamén teñen que ser iguais, entón :

3 .( 1)x A x B

Para calcular A e B , danse valores a x :. Ainda que a x se lle poden dar valores arbitrarios, neste caso escolleremos sempre que

podamos, aqueles que anulen algún dos sumandos, (as raices de Q(x)=0) para asi simplificar os cálculos. Este será un

procedemento xeneralizado.

1 enton

1 3 .(1 1)

2

Se x

A B

B

2 enton

2 3 .(2 1)

1 2 1

Se x

A B

A A

Entón :

2 2

3 1 2

12 1 1

x

xx x x

. Polo que

2 2

3 1 2

12 1 1

xdx dx dx

xx x x

2

1 2 1L x x dx

=

1

11 2

1

xL x C

21

1L x C

x

EXERCICIO 1 .3

2

2

1

x xdx

x

Como o grao numerador é maior que o grao do denominador , dividimos os polinomios

3 2

3

2 1

2

x x x

x x x

, como cociente é x e o resto 2 , temos que 3

2 2

2 2

1 1

x xx

x x

, e polo tanto :

3 2

2 2

2 22 ( )

21 1

x x xdx xdx dx arctg x C

x x

xa que as dúas integrais son inmediatas : polinómica, e arco tanxente

EXERCICIO 2. : 3 2

3 1

1

xdx

x x x

. Non é inmediata, nin de tipo potencial, nin logarítmica, nin arco tanxente. Aplicamos o

método de descomposición en fraccións simples. As raíces de 3 2 1x x x hai que calculalas por Ruffini

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 0

1 1 1

1 1 0

1 1

1 0

Ten polo tanto unha raíz real simple 1x e unha doble 1x .

E a súa factorización é 3 2 21 ( 1).( 1).( 1) ( 1).( 1)x x x x x x x x

Entón : 3 2 2

pola raizpola raiz real doble x = 1simple x = -1

3 1

1 11 ( 1)

x A B C

x xx x x x

facendo a suma usando o m.c.m.

2

3 2 2 2

3 1 .( 1) .( 1).( 1) .( 1)

1 11 ( 1) ( 1).( 1)

x A B C A x B x x C x

x xx x x x x x

Como os denominadores son iguais, os numeradores tamén teñen que ser iguais, entón : 23 1 .( 1) .( 1).( 1) .( 1)x A x B x x C x

Para calcular A e B , danse valores a x :. Ainda que a x se lle poden dar valores arbitrarios, neste caso escolleremos sempre que

podamos, aqueles que anulen algún dos sumandos, (as raices de Q(x)=0) para asi simplificar os cálculos.

1 enton

44 2. 22

Se x

C C

1 enton

12 4.2

Se x

A A

, 0

-1 -1 1 2 1 2 12 2 2

Damoslle a x un valor calquera por exemplo x

e tendo en conta que A e C A B C B

Entón : 3 2 2

1 13 1 22 2

1 11 ( 1)

x

x xx x x x

. Polo que :

3 2 2

3 1 1 1 11 1 22 21 11 ( 1)

xdx dx dx dx

x xx x x x

(inmediatas tipo logarítmica e potencial)

21 11 1 2 ( 1)2 2

L x L x x dx =

21 11 12 2 1

L x L x Cx

Exercicios :

1)

2) Solución :

3) ∫(𝑥−1)2

𝑥2+1𝑑𝑥 Solución : 𝑥 − 𝑙𝑛|𝑥2 + 1| + 𝐶

4) Solución : 𝑙𝑛|𝑒𝑥 + 1| − 𝑙𝑛|𝑒𝑥 + 2| + 𝐶

5) Solución 2

3𝑥 −

2

3𝑙𝑛|1 + 𝑒𝑥| + 𝐶