integración numérica de sistemas lineales...

Integración numérica de sistemas lineales perturbados

José Antonio Reyes Perales

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UNIVERSIDAD DE ALICANTE Departamento de Matemática Aplicada

Integración numérica de sistemas lineales

perturbados

José Antonio Reyes Perales Alicante - 2003

UNIVERSIDAD DE ALICANTE Departamento de Matemática Aplicada

Integración numérica de sistemas lineales perturbados

Memoria que presenta D. José Antonio Reyes Perales para optar al grado de Doctor en Ciencias (Sección Matemáticas)

A mis padres, que me enseñaron que el fruto del trabajo, es el mejor de los placeres.

El presente trabajo ha sido dirigido por los Doctores: Don José Manuel Ferrándiz Leal, Catedrático, Jefe del Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Politécnica Superior de Alicante y Don Jesús Vigo Aguiar, Profesor Titular de universidad del Departamento de Matemática Pura y Aplicada de la Universidad de Salamanca, a quienes debo agradecer la propuesta del tema así como su constante ayuda durante la elaboración del mismo.

Quiero hacer patente también mi agradecimiento, a todos mis compañeros del Departamento de Matemática Aplicada de la E.P.S.A., por su apoyo y colaboración.

A mi esposa Auxiliadora e hijas, Mª Auxiliadora y Mª

Victoria, por su comprensión y confianza durante estas años.

Finalmente quiero manifestar mi agradecimiento a todas aquellas personas que, con su constante aliento, han hecho posible esta Memoria.

Índice General

Prólogo v

1 Las funciones G de Scheifele 1

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 G-funciones para sistemas lineales perturbados . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Desarrollos …nitos y desarrollos en G-funciones . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Error de truncación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Métodos de cálculo de las G-funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Mediante una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Mediante desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Mediante la ley de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Mediante el procedimiento de eliminacion lineal de Richardson 17

1.5 Notas a los métodos de cálculo de G-funciones . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Las G-funciones de Scheifele como método de integración numérica . . 29

1.6.1 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.3 Notas a los ejemplos del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . 37

i

ii

1.7 Figuras capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.1 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.2 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Métodos numéricos multipaso variable para la integración de siste-

mas lineales perturbados 41

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Método explícito de p pasos E.I.pE para sistemas lineales perturbados 43

2.2.1 Estableciendo el método multipaso explícito . . . . . . . . . . 48

2.3 Método implícito de p pasos E.I.pI para sistemas lineales perturbados 52

2.3.1 Estableciendo el método multipaso implícito . . . . . . . . . . 55

2.4 Método predictor corrector E.I.pPC para sistemas lineales perturbados 58

3 Implementación de los métodos multipaso variable para la integra-

ción de sistemas lineales perturbados 61

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Polinomios Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Cálculo recurrente de las matrices A¡tp y B¡tp . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1 Cálculo recurrente de A¡tp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3.2 Cálculo recurrente de B¡tp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 Rede…nición de los métodos: E.I.pE, E.I.pI y E.I.pPC . . . . . . . . . 77

3.4.1 Método E.I.pE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4.2 Método E.I.pI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.4.3 Método E.I.pPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

iii

3.5 Códigos para los métodos: E.I.pE y E.I.pPC . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.1 Código para E.I.pE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.2 Código para E.I.pPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6 Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.1 Problemas sti¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.2 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6.3 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.6.4 Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.6.5 Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6.6 Ejemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.7 Ejemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.7 Figuras capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7.1 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7.2 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.7.3 Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.7.4 Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.7.5 Ejemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.7.6 Ejemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Anexo I 117

Anexo II 119

Anexo III 121

iv

Anexo IV 123

Anexo V 125

Anexo VI 131

Bibliografía 138

Prólogo

Muchos problemas físicos adoptan la forma de un sistema lineal perturbado, bien de

forma directa o bien efectuando una transformación adecuada de variables.

Para la resolución de la ecuación no lineal del movimiento newtoniano correspon-

diente al problema de dos cuerpos, se han empleado métodos re…nados de cálculo de

órbitas. En general se sustituye la ecuación de Newton por unas nuevas ecuaciones

mejor acondicionadas para la integración numérica, como los metodos introducidos

por Encke [71], las variables universales de Battin [2] o las transformaciones que re-

gularizan las ecuaciones del movimiento entre las que destacan las KS [82] y las BF

[22],[23].

En mecánica celeste, las transformaciones que permiten escribir las ecuaciones

del movimiento mediante ecuaciones diferenciales lineales se denominan linealizacio-

nes. No hay que confundir esta terminología con la que signi…ca desarrollar en serie

de Taylor y conserva sólo la parte lineal, pues las transformaciones anteriores, son

exactas, y reducen las ecuaciones del movimiento a osciladores armónicos. Suelen

conseguirse efectuando un cambio de variable independiente, que produce una regu-

larización analítica del tamaño del paso de integración, asociada o no con cambios de

v

vi

variables dependientes. Con el …n de regularizar el movimiento de una partícula se

pueden ensayar distintos métodos: como transformaciones clásicas válidas cuando el

movimiento se realiza en el plano, encontramos la dada en 1895 por Thiele, la de Bir-

kho¤ en 1915 o la de Levi-Civita en 1906, esta última permite una linealización, una

integración más fácil y una teoría de perturbaciones sencilla. Todas ellas se aplicaron

al problema de tres cuerpos.[83].

La linealización más extendida es la KS de Kunstaanheimo - Stiefel, introducida

en 1964, que generaliza a espacios de dimensión tres la transformación de Levi - Ci-

vita, permitiendo la reducción de las ecuaciones del movimiento a cuatro osciladores

armónicos perturbados, al tomar como variable independiente la anomalía excéntri-

ca. Cuando se emplea la anomalía verdadera como variable independiente, obtenemos

otra linealización importante, la BF, de Burdet - Ferrándiz, que compitiendo venta-

josamente con los reputados métodos KS, es especialmente valiosa en la integración

numérica de órbitas altamente excéntricas; sin embargo, la integración de la ecuación

del tiempo asociado a la anomalía verdadera produce grandes errores en la determi-

nación del tiempo físico, por lo que éste debe calcularse por un método alternativo

[27],[30],[31],[32].

Para predecir la órbita de un satélite arti…cial, es necesario elaborar un determina-

do modelo que la describa, pudiéndose encontrar serios inconvenientes en predicciones

a largo plazo, o, en el caso de órbitas muy excéntricas, dado que la velocidad del sa-

télite en el perigeo es grande y esta circunstancia, unida a la fuerte curvatura de la

trayectoria, puede provocar pérdida de precisión en la integración numérica aunque

se utilicen modelos sencillos [86]. Para mejorar la precisión en el cálculo de órbitas

vii

existen diversas vías, que a veces resultan complementarias una de las más modernas

y e…cientes se obtiene en dos pasos: el primero consiste, como ya se ha señalado,

en la elección de ecuaciones bien planeadas para la integración numérica, el segundo

en la implementación de métodos numéricos no standar adaptados a la ecuación del

movimiento.

Los orígenes de estas últimas técnicas pueden situarse en los trabajos de Gautschi

de 1961 [39], que desarrollan la teoría básica y algoritmos capaces de integrar sin

error de truncación osciladores con una frecuencia. El desarrollo de los métodos

clásicos en diferencias …nitas para la integración numérica y las técnicas para su

aplicación, se presentan en la bibliografía sobre métodos numéricos de ecuaciones

diferenciales [43],[44],[50],[64]. Un primer método es dado por Cowell [82]. En 1969

Stiefel y Bettis introdujeron cambios en el método de Cowell de orden superior a

dos para lograr la integración exacta de las funciones circulares seno y coseno con

una misma frecuencia. En 1970 Bettis [3] propuso modi…caciones a los métodos

clásicos de diferencias de Adams - Moulton y Adams - Bashforth para ecuaciones de

primer orden, y de Störmer y Cowell en el caso de ecuaciones de orden dos, dando de

ellos una formulación uni…cada, pero no explícita, de los coe…cientes de los métodos

anteriormente mencionados. La formulación era de paso constante y válida para orden

arbitrario.

Siguiendo la línea abierta por Gautschi se encuentran trabajos como los de Neta

y Ford en 1984 [63], en los que se da una familia de métodos para integrar ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, estos métodos pueden ser re…nados

con un conocimiento, a priori, del usuario, en la localización de frecuencias que son

viii

dominantes en la solución exacta; con esta información el error de truncación queda

considerablemente reducido en magnitud, por lo que estos métodos suponen una

modi…cación de los métodos de Milne - Simpson; o en una vía diferente los de Scheifele

que en 1971 [74], obtuvo un re…namiento del método de Taylor basado en sus funciones

Gk, que se utilizan para de…nir series que permiten construir un método de integración

numérica, con la propiedad de que si los términos de perturbación son eliminados,

entonces el método numérico integra exactamente el correspondiente problema no

perturbado; los de Van Dooren en 1984 [84], Cash en 1981 [5], Franco, Correas y

Petriz, en 1991 haciendo especial hincapié en la construcción de esquemas del tipo

de Störmer - Cowell [37] y Vigo en 1993 [86],[88],[90]. Los algoritmos citados se

caracterizan por la dependencia de sus coe…cientes respecto del producto del paso

por la frecuencia. La extensión de parte de la teoría clásica de métodos multipaso

lineales [44] al caso de coe…cientes dependientes del paso puede verse en Lyche en 1972

[53], donde además encontramos un lema que nos permite obtener métodos adaptados

a exponenciales complejas o reales. Algunos métodos que permiten integrar productos

de polinomios ordinarios y exponenciales reales sin error de truncamiento, basados en

este lema, pueden verse en Raptis o Simos [72], [73], entre otros.

Recientemente se han utilizado métodos que emplean productos matriz - vector

con la exponencial o una función relacionada con el jacobiano para la integración

numérica de sistemas altamente sti¤ de ecuaciones diferenciales [47]. Estos proble-

mas pueden ser aproximados por los métodos de subespacios de Krylov [7],[47], que

convergen mas rápidamente que las soluciones propuestas por métodos standar de

integración de problemas sti¤. Estos métodos exponenciales presentan propiedades

ix

favorables para la integración de ecuaciones diferenciales cuyo jacobiano tiene auto-

valores imaginarios grandes. Se utilizan en experimentos con problemas de reacción

- difusión y en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

En lo que sigue nos proponemos desarrollar métodos numéricos para la resolución

de problemas perturbados del tipo: x00= Ax + "f (x; t) con x(0) = x0, llamados

sistemas lineales perturbados. El pequeño parámetro " indica que los términos de

la perturbación son pequeños con respecto al resto de los términos. Construiremos

métodos en los que si los términos de perturbación son eliminados, el método numérico

integra exactamente el correspondiente sistema homogéneo. Para ello, nos basamos en

el método de las G-funciones de Scheifele que poseen esa propiedad, y construiremos

a partir de él, métodos multipaso con esta propiedad, de implementación más sencilla

que el de Scheifele, cuando el problema sea perturbado estos métodos darán lugar a

expresiones del error que tienen al parámetro " como factor.

El trabajo desarrollado en esta memoria se ha dividido en tres capítulos.

En el Capítulo 1, se describe el método original de Scheifele y sus propiedades,

completándose la exposición con ejemplos numéricos comparados con el método LSO-

DE, efectuando sobre estos problemas los acondicionamientos necesarios para su inte-

gración. Como idea nueva, se exponen diversos procedimientos para el cálculo de las

G-funciones de Scheifele, destacando los basados en la extrapolación de Richardson.

La construcción de un método multipaso de paso variable para la integración de

sistemas lineales perturbados, se realiza en el Capítulo 2, basándose en el método de

Scheifele, y presentando ventajas, frente a otros que también se fundamentan en el

método de Scheifele, como el SMF [56], [57]. Entre estas ventajas se puede citar que

x

el cálculo de sus coe…cientes es fácilmente computable, al aproximar las derivadas que

aparecen en las fórmulas que de…nen el método, por diferencias divididas y la de ser

un método de paso variable.

Se tratan en el Capítulo 3, los métodos EIpE ( Integrador Exponencial de p pasos

Explícito ), EIpI ( Integrador Exponencial de p pasos Implícito ) y EIpPE ( Inte-

grador Exponencial de p pasos Predictor-Corrector ), descritos anteriormente pero

con sus coe…cientes matriciales expresados en forma recurrente, lo que facilita su im-

plementación en un computador y supone una ventaja frente a otros métodos; se

exponen, a continuación, los códigos de estos algoritmos implementados en MAPLE

V. La memoria se completa con varios ejemplos numéricos en los que se utilizan los

nuevos algoritmos y se comparan con códigos bien conocidos como LSODE, GEAR

y MGEAR. En estos últimos se emplean las implementaciones de Maple V para ase-

gurar que los resultados no quedan distorsionados por una mala programación que

favorezca a nuestros códigos.

El bene…cio producido por el uso de los nuevos algoritmos resulta patente en los

ejemplos, cuando se aplican a los problemas para los que han sido diseñados.

Capítulo 1

Las funciones G de Scheifele

1.1 Introducción

En este capítulo se va a desarrollar un método numérico adaptado a la solución de

problemas de perturbación del tipo:

x0= Ax + "f (x; t ) ; x(0) = x0;

donde A es una matriz regular de orden n, " es un pequeño parámetro de perturbación

y el vector x tiene por componentes a las funciones xi(t) con i = 1 : : : n. El campo

vectorial de perturbación f (x; t ) tiene de componentes fi(x; t ) con i = 1 : : : n y es

continuo, con derivadas continuas hasta un cierto orden que satisfaga las condiciones

de existencia y unicidad de las soluciones. A este tipo de sistema se le llama sistema

lineal perturbado.

El procedimiento más básico para la integración numérica de sistemas lineales

perturbados mediante métodos de un paso es aproximar la solución mediante un

1

2

desarrollo de Taylor ,[94],[43]. Este desarrollo se trunca y los coe…cientes del polinomio

resultante se evalúan en cada paso de integración.

Los métodos de tipo Runge-Kutta [18],[50],[56],[62],[64] tienen la gran ventaja

de no necesitar información acerca de las derivadas de la función de perturbación,

la desventaja de que adolecen es la di…cultad, o más bien, el trabajo que requiere

la construcción de un método de Runge-Kutta de orden mayor que cuatro y el gran

número de evaluaciones que precisa su implementación con el consiguiente incremento

de coste computacional.

Otra forma de evitar el cálculo de las derivadas de la función de perturbación

es representar sus campos componentes fi(x; t) con i = 1 : : : n mediante expresiones

sencillas con fórmulas de recurrencia para los coe…cientes aij de los desarrollos en

series de potencias del tipo:

xi(t) = ai0 + ai1t + ai2t2 + :::

donde xi son las componentes de la solución x del sistema. La técnica para establecer

estas fórmulas de recurrencia fue desarrollada por Ste¤ensen [77],[78],[79]. La des-

ventaja de este método directo de series de potencias es el tiempo de computación

de estas recurrencias, que puede ser alto si f (x; t) posee una dependencia funcional

complicada.

Es deseable que los métodos numéricos que se utilicen en la resolución de sistemas

lineales perturbados veri…quen la siguiente propiedad, [82]: si los términos de pertur-

bación desaparecen en un instante arbitrario de la variable independiente t (o de s),

entonces el método numérico debería integrar sin error de discretización el sistema no

3

perturbado.

Un ejemplo clásico de la física se presenta en la ecuación de Newton:

::x +

k2

r3x = P con k2 = G(M +m)

así como en las ecuaciones regularizadas:

u00+h

2u = ¡

1

4

@

@u

¡kuk2 V

¢+

kuk2

2

¡LtP

¢

que se expresan, en términos de sus componentes:

u00

j +h

2uj = ¡

1

4

@

@uj

¡kuk2 V

¢+

kuk2

2

¡LtP

¢j

j = 1; 2; 3; 4:

h0= ¡ kuk2

@V

@t¡ 2

³u0; LtP

´con t

0= kuk2

obteniéndose un sistema lineal perturbado con tal que los términos que contengan

a V y a P sean considerados como términos de perturbación, [82]. Las ecuaciones

newtonianas se integran a menudo por las fórmulas clásicas de Runge-Kutta o por

métodos de diferencias …nitas, pero estos procedimientos no veri…can la propiedad

anteriormente expuesta. Esta condición tampoco la satisface el método de Encke,

[86], que se caracteriza por el cálculo de la desviación de las coordenadas perturbadas

con respecto a un movimiento osculatriz adoptado inicialmente.

En este capítulo, presentamos el método de integración numérica descrito por

Scheifele,[88],[56],[57],[74],[82], para integrar sistemas lineales perturbados, ilustrán-

dolo con ejemplos numéricos y comparándolo con otros métodos. El método de Sche-

feile está basado en un re…namiento de las series de potencias de Taylor, y consiste

en de…nir una sucesión de funciones Gj que sirven como base para construir la so-

lución como combinación lineal de ellas, calculándose sus coe…cientes por fórmulas

4

de recurrencia. Dicha solución se utilizará para construir un método de integración

numérica.

El método de las G - funciones de Scheifele presenta la ventaja de veri…car, no sólo

la propiedad anteriormente expresada, sino que además integra, con sólo el primer

término, el problema homogéneo.

1.2 G-funciones para sistemas lineales perturbados

Para desarrollar la idea básica de este capítulo, consideremos el PVI anterior. Supon-

gamos que la función de perturbación g(t) = f (x; t) admite un desarrollo en serie de

la forma:

f (x; t) =1X

k=0

tk

k!ck+1

con lo que el problema de valores iniciales se puede escribir como:

x0

= Ax + "1X

k=0

tk

k!ck+1 ; x(0) = x0;

La solución del PVI, expresado de esta última forma, puede obtenerse del modo

usual, construyendo la solución general del sistema homogéneo con la condición inicial

dada y añadiendo una solución del problema completo con la condición inicial nula.

La solución del problema completo con la condición inicial nula se puede obtener

resolviendo los siguientes PVI individuales:

¡xkj

¢0= A xkj + e

k tj

j!

xkj (0) = 0

j = 0; 1; 2; ::: k = 1; 2; :::; n

5

donde:

xkj 2 M(n; 1;R)

ek = (0; :::;k)

1; :::; 0)t

y combinándolos de forma adecuada con los coe…cientes " y ck.

Con el …n de simpli…car la notación introducimos las matrices cuadradas de orden

n cuyas columnas son las matrices xkj , es decir:

Xj =¡x1j ; x

2j ; : : : ; x

nj

¢con j = 0; 1; 2; :::

evidentemente, estas matrices son soluciones del siguiente PVI:

X0

j = AXj +tj

j !I ; Xj(0) = 0 ; j = 0; 1; :::

dondeXj es una función real con valores en el anillo M(n,R) de las matrices cuadradas

de orden n, siendo I y 0 , respectivamente, los elementos unidad y neutro de este anillo.

De…nition 1 Las soluciones de estos problemas son las G-funciones de Scheifele [74]

y se denotarán como:

Gj+1 (t) = Xj (t) ; j = 0; 1; :::

Aunque la notación no lo indica explícitamente, estas funciones dependen de A.

Proposition 2 Las G-funciones de Scheifele cumplen:

G0

j (t) = Gj¡1 (t) j = 2; 3; :::

D/.

6

Bastará probar que veri…can el mismo P V I. En efecto, Gj (t) satisface la ecuación

siguiente:

G0

j (t) = AGj (t) +tj¡1

(j ¡ 1)!I ; Gj (0) = 0 ; j = 2; 3; :::

y derivando la expresión anterior se obtiene:

(G0

j (t))0= AG

0

j (t) +tj¡2

(j ¡ 2)!I = Gj¡1 (t) j = 2; 3; :::

es decir: G0

j (t) es solución de la ecuación:

X0

j¡2 (t) = AXj¡2 (t) +tj¡2

(j ¡ 2)!I ; Xj¡2 (0) = 0 ; j = 2; 3; :::

y además:

G0

j (0) = AGj (0) + 0 = A0 = 0 desde j = 2; 3; :::Ä

De…nition 3 Completando la ley de diferenciación dada en (proposición no 2), de-

…nimos:

G0 (t) = G0

1 (t)

Por tanto:

Corollary 4 Las G-funciones de Scheifele, veri…can la siguiente relación de recu-

rrencia:

Gj (t) = AGj+1 (t) +tj

j!I ; j = 0; 1; :::

Corollary 5 La función G0 es solución del siguiente PVI:

x0= Ax ; x(0) = I

7

Veamos que la función G0; se puede expresar mediante un desarrollo en serie.

Desarrollando analíticamente la función G0;tenemos:

G0 (t) =1X

k=0

tk

k!Hk; donde Hk 2 M(n;R)

derivando la expresión anterior resulta:

G0

0 (t) =1X

k=1

tk¡1

(k ¡ 1)!Hk =

1X

k=0

tk

k!Hk+1:

Por (corolario no 5) :

1X

k=0

tk

k!Hk+1 = A

1X

k=0

tk

k!Hk =

1X

k=0

tk

k!AHk;

identi…cando, obtenemos que:

Hk+1 = AHk ; k = 0; 1; :::

y de aquí:

Hk = AkH0 ; k = 0; 1; :::

Del (corolario no 5) y de evaluar G0 (t) en t = 0; se deduce que:

H0 = I

Hk = Ak ; k = 1; :::

Luego:

G0 (t) =1X

k=0

tk

k!Ak = etA

Proposition 6 Las G-funciones de Scheifele se pueden expresar mediante desarrollos

en serie:

Gj (t) =1X

k=0

tk+j

(k + j )!Hk; Hk 2 M(n;R)

8

D/.

Evidentemente se veri…ca para j = 0; supongamos cierto que:

Gi (t) =1X

k=0

tk+i

(k + i)!Hk

como:

Gi+1 (t) =

Z

Gi (t) dt =1X

k=0

tk+i+1

(k + i + 1)!Hk

queda demostrado por aplicación del método de inducción completa.Ä

Los desarrollos anteriores nos llevan a las siguientes fórmulas explícitas para las

G-funciones:

G0(t) = eAt

G1(t) = A¡1¡eAt ¡ I

¢

G2(t) = A¡2¡eAt ¡ I

¢¡ tA¡1

G3(t) = A¡3¡eAt ¡ I

¢¡ tA¡2 ¡

t2

2!A¡1

...

Proposition 7 Una solución del problema:

x0

= Ax + "1X

k=0

tk

k!ck+1 ; x(0) = 0

es

xp = "1X

k=1

Gk(t)ck

D/. Como:

x0

p = "1X

k=1

G0

k(t)ck = "1X

k=1

Gk¡1(t)ck = "1X

k=0

Gk(t)ck+1

9

y además:

Axp + "1X

k=0

tk

k!ck+1 = A

Ã

"1X

k=1

Gk(t)ck

!

x + "1X

k=0

tk

k!ck+1 =

= "1X

k=0

µ

AGk+1(t) +tk

k!I

¶

ck+1 =

= "1X

k=0

Gk(t) ck+1

con

xp(0) = "1X

k=1

Gk(0)ck = 0

se veri…ca la proposición. Ä

Theorem 8 La solución del PVI:

x0

= Ax + "f (x; t ) ; x(0) = x0

adopta la forma:

x(t) = G0(t)x0 + "1X

k=1

Gk(t)ck

D/.Como :

x0¡ Ax = (G

0

0 (t) ¡ AG0 (t))x0 + "1X

k=1

(G0

k (t) ¡AGk(t))ck

de, (de…nición no3) y de (corolario no 4 y 5) se deduce que:

x0¡ Ax = 0x0 + "

1X

k=1

(Gk¡1 (t)¡ AGk(t))ck = "1X

k=1

tk¡1

(k ¡ 1)!ck

por consiguiente:

x0

¡ Ax ="1X

k=0

tk

k!ck+1

Además:

x(0) =G0(0)x0+ "1X

k=1

Gk(0)ck = Ix0 +0 = Ix0 = x0:Ä

10

1.3 Desarrollos …nitos y desarrollos en G-funciones

Desarrollando en serie de Taylor y truncando una solución x(t) del PVI:

x0= Ax + "f (x; t) ; x(0) = x0

obtenemos una aproximación de la solución, de la forma:

xm(t) =mX

k=0

tk

k!ak con ak = x

k)(0) 2 Rn

Al sustituir en la expresión anterior la relación de recurrencia (corolario no 4) y

teniendo en cuenta que las matrices Gk (t) y A conmutan., obtenemos:

xm(t) =mX

k=0

(Gk (t)¡ AGk+1 (t))ak =

= G0(t)a0+m¡1X

k=0

Gk+1 (t) (ak+1 ¡ Aak) ¡ Gm+1(t)Aam

De…niendo una nueva sucesión de coe…cientes, como:

b0 = a0; bk+1 = ak+1 ¡ Aak;

el desarrollo anterior se reduce a:

xm(t) =mX

k=0

Gk (t)bk ¡ Gm+1 (t)Aam

eliminando el último término, obtenemos una aproximación diferente:

Xm(t) =mX

k=0

Gk (t)bk

que proporciona mayor precisión que xm(t) =mP

k=0

tk

k! ak, como vamos a ver.

Para demostrar esto, nos restringimos al caso especial en el que f depende so-

lamente de t, pero citaremos después algunos resultados correspondientes al caso

general. En este caso especial:

11

f (t) =1X

k=0

tk

k!f k)(0)

Los coe…cientes de xm(t) =mP

k=0

tk

k!ak y Xm(t) =

mP

k=0

Gk (t)bk para el PVI:

x0(t) = Ax(t) + "f (t) ; x(0) = x0

vendrán dados por:

a0 = x0; ak+1 = Aak + "fk)(0)

b0 = x0; bk+1 = "fk)(0) = "ck+1

ya que, si:

x(t) =1X

k=0

tk

k!ak

es la solución del PVI, tenemos :

x(0) = x0 = a0:

Sustituyendo

x0

(t) =1X

k=0

tk

k!ak+1; x(t) =

1X

k=0

tk

k!ak y f (t ) =

1X

k=0

tk

k!f k)(0)

en el PVI resulta:

1X

k=0

tk

k!ak+1 = A

1X

k=0

tk

k!ak + "

1X

k=0

tk

k!f k)(0)

e identi…cando coe…cientes, obtenemos la relación:

ak+1 = Aak + "fk)(0)

12

Trivialmente:

b0 = x0

y

bk+1 = ak+1 ¡ Aak = Aak + "fk)(0) ¡ Aak = "f

k)(0) = "ck+1

entonces:

Xm(t) = G0 (t) x0 + "mX

k=1

Gk (t) fk¡1)(0)

Insertando esto, en el sistema lineal perturbado, obtenemos el residuo:

Rm(t) = "f (t)¡ (X0

m(t) ¡ AXm(t)) =

= "1X

k=0

tk

k!f k)(0) ¡ (

mX

k=0

G0

k (t)bk ¡ AmX

k=0

Gk (t)bk) =

= "1X

k=0

tk

k!f k)(0)¡

mX

k=1

(G0

k (t)bk ¡ AGk (t))bk =

= "1X

k=0

tk

k!f k)(0)¡

mX

k=1

tk¡1

(k ¡ 1)!bk =

= "

Ã1X

k=0

tk

k!f k)(0)¡

m¡1X

k=0

tk

k!f k)(0)

!

=

= "1X

k=m

tk

k!f k)(0)

Por otro lado, teniendo en cuenta que:

x0

m(t)¡ Axm(t) =m¡1X

k=0

(Gk (t) ¡ AGk+1 (t))(ak+1 ¡ Aak) ¡ (Gm (t)¡ AGm+1 (t))Aam

y (corolario no 4), el residuo correspondiente a xm(t) viene dado por:

rm(t) = "f (t)¡ (x0

m(t) ¡ Axm(t)) =

= "1X

k=0

tk

k!f k)(0) ¡

Ãm¡1X

k=0

tk

k!(ak+1 ¡ Aak) ¡

tm

m!Aam

!

=

13

= "1X

k=0

tk

k!f k)(0) ¡ "

m¡1X

k=0

tk

k!f k)(0) +

tm

m!Aam =

= "1X

k=m

tk

k!f k)(0) +

tm

m!Aam

De las expresiones de rm(t) y Rm(t) se obtienen importantes conclusiones. En

Rm(t) el parámetro de perturbación " es factor del residuo, por tanto Rm(t) es pe-

queño con ". En cambio, el residuo rm(t) no contiene este factor y en general no

es pequeño con ". Si " = 0 el método de series de potencias produce un error de

truncación y sin embargo el método de las G-funciones de Scheifele, [56],[74] con sólo

el primer término, integra exactamente el sistema de ecuaciones diferenciales.

Volviendo al caso general:

x0

= Ax + "f (x; t) ; x(0) = x0

bajo las hipótesis:

² La solución x(t) es holomór…ca en [¡T; T ] con T > 0

² Todas las derivadas parciales de f (x; t ) incluída la m-ésima son continuas en

un dominio cerrado, del espacio de las variables (x; t), que contiene a todos los

valores de la solución exacta x(t), ademas de las aproximaciones consideradas

xm(t) y Xm(t) en [¡T ; T ].

Entonces los residuos:

Rm(t) = "f (Xm(t); t)¡ (X0

m(t) ¡ AXm(t))

y

rm(t) = "f (xm(t); t)¡ (x0

m(t) ¡ Axm(t))

14

correspondientes, respectivamente, al método de las G-funciones y al método de des-

arrollos de Taylor satisfacen para t ! 0 las leyes asintóticas:

Rm(t) » " fm)(0)tm

m!

rm(t) »¡" fm)(0) + Aam

¢ tm

m!

es decir:

limt!0

Rm(t)

tm= "

fm)(0)

m!

limt!0

rm(t)

tm=

"fm)(0) + Aam

m!

Es importante notar [74] que esto es irrelevante si la derivada en las expresiones

anteriores se calcula mediante la inserción en f de la solución exacta x(t) o de una

de las soluciones aproximadas xm(t) y Xm(t):

1.3.1 Error de truncación

Desarrollando en serie de potencias la solución exacta del PVI:

x(t) =1X

k=0

tk

k!ak

y dado que:

ak+1 = Aak + "fk)(0)

se tiene:

x(t) =1X

k=0

tk

k!

¡Aak¡1 + "f

k¡1)(0)¢

15

El error de truncación para:

xm(t) =mX

k=0

tk

k!ak

es:

em = x(t)¡ xm(t) =1X

k=m+1

tk

k!ak =

tm+1

(m +1)!

¡Aam + "f

m)(0)¢+O(tm+1)

Por otra parte, expresando la solución del PVI, en términos de G-funciones:

x(t) = G0(t)x0 + "1X

k=1

Gk(t)ck

el error de truncación para:

Xm(t) =mX

k=0

Gk (t)bk

es:

Em = x(t) ¡Xm(t) = "1X

k=m+1

Gk (t) fk¡1)(0)

Si " = 0 el método de series de potencias produce un error de truncación y sin

embargo el método de las G-funciones de Scheifele, no genera error de truncación.

1.4 Métodos de cálculo de las G-funciones

1.4.1 Mediante una ecuación diferencial

El cálculo de las G-funciones de Scheifele para j¸1, se puede realizar resolviendo

numéricamente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

G0

j (t) = AGj (t) +tj¡1

(j ¡ 1)!I ; Gj (0) = 0 ; j = 1; 2; :::

16

Notamos Gj (t) = (gji;k) con j =1, 2, ... y A = (ai;k). Si sustituímos en la fórmula

anterior resulta:

(gji;k)0

= A(gji;k) +tj¡1

(j ¡ 1)!I ; (gji;k(0)) = 0

y de ahí:

gji;k0=

nX

l=1

ai;lgjl;k +

tj¡1

(j ¡ 1)!±i;k ; i; k = 1; 2; :::; n ; j = 1; 2; :::

Para cada j = 1, 2, ... obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales que se

puede resolver por metodos numéricos, tales como: rkf45, deverk78, gear, mgear,

lsode, etc [1],[6],[36],[40],[43],[64],[66]. Quedaría pendiente sólo el cálculo de G0 (t).

1.4.2 Mediante desarrollos en serie

Teniendo en cuenta que:

Gj (t) =1X

k=0

tk+j

(k + j)!Ak; donde A 2 M(n;R) ; j = 0; 1; :::

podemos escribir:

Gj (t) =1X

k=0

tk+j

(k + j)!Ak =

1X

i=j

ti

i!Ai¡j = A¡j

1X

i=j

ti

i!Ai =

= A¡j

Ã1X

i=0

ti

i!Ai¡

j¡1X

i=0

ti

i!Ai

!

= A¡j

Ã

G0 (t)¡

j¡1X

i=0

ti

i!Ai

!

j = 1; 2; :::

Este procedimiento, tiene el inconveniente de necesitar el cálculo de las matrices

inversas A¡1; A¡2; ... además del cálculo de G0 (t) :

17

1.4.3 Mediante la ley de recurrencia

Por la fórmula de recurrencia (corolario no 4) resulta que:

Gj+1 (t) = A¡1

µ

Gj (t) ¡tj

j !I

¶

; j = 0; 1; :::

obteniéndose en particular:

G1 (t) = A¡1 (G0 (t) ¡ I)

G2 (t) = A¡1 (G1 (t) ¡ tI )

...

de tal forma que una vez calculada G0 (t) = eAt, podemos conocer por aplicación de la

recurrencia las G-funciones de Scheifele que precisemos. El problema queda reducido

al cálculo de G0 (t) :

Este método presenta la ventaja respecto al anterior de que sólo hay que calcular

A¡1, reduciendo así los errores de cálculo.

1.4.4 Mediante el procedimiento de eliminacion lineal de Ri-

chardson

Aplicado sólo al cálculo de la función G0

Abordaremos el cálculo de G0 (t) = eAt, basándonos en los resultados expuestos por

Walz [92],[93], cuyo método es una aplicación del llamado método de eliminación para

el caso matricial, que ya era conocido para el caso escalar [58],[59].

18

De…nition 9 Sea ½1; ½2 ; ::: una sucesión de números complejos tales que 0 < Re ½1 <

Re ½2 < ...Sea I un intervalo real o un dominio complejo y S = f¾n(x)gn2N una

sucesión de funciones de…nidas en I. Se dice que S posee una expansión asintótica

(logarítmica) de orden m (m 2 N ó m = 1), si existen funciones f (x) y c¹(x) con ¹

= 1, ... , m , todas ellas independientes de n, tal que para todo x 2 I se veri…ca la

siguiente ecuación:

¾n(x) = f(x)+mX

¹=1

c¹(x)

n½¹+ O(n¡Re ½m+1) para n ! 1

Obviamente: limn!1

¾n(x) = f(x) y podemos usar ¾n(x) como una aproximación

de f(x) en I.

Esta aproximación presenta el problema de la lentitud de la convergencia de ¾n(x)

(el orden de convergencia es n¡½1 ), que hace poco e…ciente este método de aproxima-

ción; para paliar esta di…cultad emplearemos el procedimiento de eliminación lineal

de Richardson.

Lemma 10 Si ¾n(x) posee una expansión asintótica, del tipo anterior; escogiendo

un número

kmax 2 N con kmax < m

de…nimos:

y(0)i (x) = ¾2i(x) ; i = 0; :::; kmax

y(k)i (x) = y(k¡1)i+1 (x) +1

2½k ¡ 1

³y(k¡1)i+1 (x) ¡ y (k¡1)i (x)

´

con k = 1; :::; kmax; i = 0; :::; kmax ¡ k entonces las sucesiones

ny(k)i (x)

o

i2N

19

poseen la expansión asintótica:

y (k)i (x) = f (x)+mX

¹=k+1

c(k)¹ (x) ¢ 2¡i½¹ +O(2¡iRe ½m+1 ) para i ! 1

siendo 2¡i½k+1 el orden de convergencia de y(k)i .

Por regla general se elige el número y(kmax)0 (x) como una aproximación de f (x).

En [92],[93] se encuentran numerosos ejemplos, que muestran la e…ciencia de este

algoritmo en el caso escalar.

Proposition 11 La sucesión ¾n(x) =¡1 + x

n

¢ntiene una expansión asintótica f (x) =

ex.

D/.

Dado que:

ln(1 +x

n) =

x

n+

1X

¹=1

(¡1)¹

¹ + 1¢³x

n

´¹+1

entonces:

ln(1 +x

n)n = x+

1X

¹=1

(¡1)¹

¹ +1¢x¹+1

n¹= x+ S(n; x)

luego:

¾n(x) =³1 +

x

n

´n= ex+S(n;x) =

= exÃ

1+1X

¸=1

(S(n; x))¸

¸!

!

=

= ex+1X

¸=1

ex

¸!¢ (S(n; x))¸

De

S(n; x) =1X

¹=1

(¡1)¹

¹+ 1¢x¹+1

n¹=

1X

¹=1

¯¹+1;¹ ¢x¹+1

n¹

20

obtenemos:

(S(n; x))º =1X

¹=1

¯¹+2º¡1;¹+º¡1 ¢x¹+2º¡1

n¹+º¡1

entonces:

1X

¸=1

ex

¸!¢ (S(n; x))¸ =

= ex

Ã1X

¹=1

¯¹+1;¹ ¢x¹+1

1!n¹+ : : :+

1X

¹=1

¯¹+2p¡1;¹+p¡1 ¢x¹+2º¡1

p!n¹+º¡1+ : : :

!

=

= exµµ

¯21x2

1!

¶1

n+ : : :+

µ¯p+1;px

p+1

1!+ : : : +

¯2p;px2p

p!

¶1

np+ : : :

¶

llamando:

cº(x) = ex

µ¯º+1;º1!

¢ xº+1 + : : : +¯2º;ºº !

¢ x2º¶

y de…niendo

®º+j;º =¯º+j;º

j !

tenemos que:

cº(x) = ex¡®º+1;º ¢ xº+1 + : : : +®2º;º ¢ x2º

¢= ex

2ºX

i=º+1

®i;º ¢ xi

que no dependen de n.

Por consiguiente:

¾n(x) = ex+

X

º=1

cº(x)

nº:Ä

Theorem 12 Para un número complejo a y un número real ½ > 0, consideremos:

E(a; ½) = fz 2 C 0 jz ¡ aj < ½g

si f(z) es una función escalar, que admite una representación de la forma:

f(z) =1X

º=0

®º (z ¡ a)º

21

entonces para cada matriz cuadrada A, cuyos valores propios están en E(a; ½), la

matriz:

f (A) =1X

º=0

®º (A¡ aI)º

está bien de…nida [81].

Como consecuencia inmediata de este teorema, muchas funciones escalares cono-

cidas, se pueden rede…nir como funciones de matrices. En particular:

exp(A) = eA = I+1X

º=1

1

º !Aº

está bien de…nida, para cualquier matriz cuadrada A.

Una procedimiento inmediato para el cálculo numérico de eA consistiría en una

truncación del desarrollo anterior, presentando el inconveniente de un excesivo número

de multiplicaciones de matrices.

Existen otros métodos para la computación numérica de eA, tales como los descri-

tos en el los artículos de Moler y Van Loan [61] y Stickel [81]. Todos estos métodos

muestran algunas desventajas: inestabilidades numéricas, largo tiempo de computa-

ción y aplicabilidad para cierta clase de matrices. Recientemente se utilizan aproxi-

maciones en subespacios de Krylov [7], para la matriz exponencial [47].

El método de eliminación de Richardson se puede generalizar a funciones de ma-

trices [81] y no presenta ninguna de las di…cultades anteriores.

Theorem 13 Sea f (z) una función escalar uno-uno de…nida en

E(0; ½) = fz 2 C 0 jzj < ½g

22

con ½ > 0, tal que:

f(z) =1X

º=0

®ºzº con ®1 6= 0

entonces, para cada matriz cuadrada A con valores propios en E(0; ½), las funciones:

f (A)

y

¾n(A) = n ¢ ®1 ¢ f¡1µ1

n¢ f (A)

¶

están bien de…nidas. Además, se veri…ca la ecuación:

¾n(A) = f (A)+1X

º=1

1

nÀ¢ cÀ (A) 8n 2 N

Aplicando los resultados anteriores, podemos enunciar la siguiente proposición:

Proposition 14 La sucesión ¾n(A) =¡I + 1

nA¢n

tiene una expansión asintótica

f(A) = eA

Extendiendo el (lema no10) al caso matricial, obtenemos el algoritmo siguiente,

para el cálculo numérico de eA [93]:

(1) Escoger un índice maximal kmax.

(2) Desde i = 0 a kmax calcular Y (0)i = ¾2i(A)

(3) Desde k = 1 a kmax y desde i = 0; :::; (kmax ¡ k)

calcular

Y (k)i = Y (k¡1)i+1 + 12k¡1

¢³Y (k¡1)i+1 ¡ Y (k¡1)i

´

(4) Usar Y (kmax)0 como aproximación de eA

23

Como G0 (t) = eAt, bastará aplicar este algoritmo para obtener la primera de las

G-funciones de Scheifele; para el cálculo de las restantes, bastaría aplicar la relación

de recurrencia de (corolario no 4).

Se expone un procedimiento Maple V Release 4 que implementa el algoritmo,

anteriormente expuesto. Ver Anexo I.

Se ha elegido este código de cálculo simbólico, por la comodidad de programa-

ción, pues permite incorporar la matriz que de…ne el sistema como parámetro del

procedimiento.

Aplicado al cálculo de todas las G-funciones

El procedimiento anterior, no evita el cálculo de la matriz inversa del sistema, que

aparece en la recurrencia. Para evitar el cálculo de A¡1, procederemos como sigue.

Se ha demostrado que la función:

g0(x) = ex = 1+ x+

x2

2!+ : : :

es una expansión asintótica de:

¾(0)n (x) =³1 +

x

n

´n

Una generalización de lo anterior sería:

g1(x) =ex ¡ 1

x= 1+

x

2!+x2

3!+ : : :


¾(1)n (x) =nX

k=1

µn

k

¶xk¡1

nk:

24

y

g2(x) =ex ¡ 1¡ x

x2=1

2!+x

3!+x2

4!+ : : :


¾(2)n (x) =nX

k=2

µn

k

¶xk¡2

nk:

y que:

g3(x) =ex ¡ 1 ¡ x¡ x2

2!

x3=1

3!+x

4!+x2

5!+ : : :


¾(3)n (x) =nX

k=2

µn

k

¶xk¡3

nk¡

1

2!x:

...

En efecto:

Proposition 15 Las sucesiones:

¾(1)n (x) =nX

i=1

µn

i

¶xi¡1

ni

¾(2)n (x) =nX

i=2

µn

i

¶xi¡2

ni

y

¾(j)n (x) =nX

i=2

µn

i

¶xi¡j

ni¡

j¡1X

i=2

xi¡j

i!con j = 3

tienen por expansiones asintóticas a:

g1(x) =ex ¡ 1

x

g2(x) =ex ¡ 1¡ x

x2

25

y

gj(x) =1

xj

Ã

ex¡

j¡1X

i=0

xi

i!

!

respectivamente.

D/.

Dado que:

¾(0)n (x) = ex+

X

º=1

cº(x)

nº

Para el caso de ¾(1)n (x):

Como:

1

x

¡¾(0)n (x) ¡ 1

¢=1

x

0

@ex+X

º=1

cº(x)

nº¡ 1

1

A =1

x(ex ¡ 1) +

X

º=1

c1º(x)

nº

y

1

x

¡¾(0)n (x)¡ 1

¢=1

x

ÃnX

i=0

µn

i

¶xi

ni¡ 1

!

=nX

i=1

µn

i

¶xi¡1

ni= ¾(1)n (x)

entonces:

¾(1)n (x) =1

x(ex ¡ 1) +

X

º=1

c1º(x)

nº:

Para el caso de ¾(2)n (x):

Como:

1

x2

³¾(0)n (x) ¡ 1 ¡

x

1!

´=

=1

x2

0

@ex+X

º=1

cº(x)

nº¡ 1¡

x

1!

1

A =

=1

x2

³ex ¡ 1¡

x

1!

´+

X

º=1

c2º(x)

nº

26

y

1

x2

³¾(0)n (x)¡ 1 ¡

x

1!

´=

=1

x2

ÃnX

i=0

µn

i

¶xi

ni¡ 1¡ x

!

=

=nX

i=2

µn

i

¶xi¡2

ni= ¾(2)n (x)

entonces:

¾(2)n (x) =1

x2

³ex ¡ 1¡

x

1!

´+

X

º=1

c2º(x)

nº:

Para demostrar el caso general ¾(j)n (x) con j = 3, procederemos de un modo

análogo:

Dado que:

1

xj

Ã

¾(0)n (x)¡j¡1X

i=0

xi

i!

!

=

=1

xj

Ã

ex¡j¡1X

i=0

xi

i!

!

+X

º=1

cº(x)

xjnº=

=1

xj

Ã

ex¡j¡1X

i=0

xi

i!

!

+X

º=1

cjº(x)

nº

y como:

1

xj

Ã

¾(0)n (x)¡

j¡1X

i=0

xi

i!

!

=

=1

xj

ÃnP

i=2

µn

i

¶xi

ni¡

j¡1X

i=2

xi

i!

!

=

=nX

i=2

µn

i

¶xi¡j

ni¡

j¡1X

i=2

xi¡j

i!= ¾(j)n (x)

entonces:

¾(j)n (x) =1

xj

Ã

ex¡

j¡1X

i=0

xi

i!

!

+X

º=1

cjº(x)

nº:Ä

Si H 2 M(n,R), extendiendo el resultado anterior, al caso matricial, tenemos que:

G0(H) = eH

27

es una expansión asintótica de

¾(0)n (H) =

µ

I +H

n

¶n

y

G1(H) = H¡1

¡eH ¡ I

¢


¾(1)n (H ) =nX

k=1

µn

k

¶Hk¡1

nk

análogamente

G2(H) = H¡2

¡eH ¡ I ¡ H

¢


¾(2)n (H ) =nX

k=2

µn

k

¶Hk¡2

nk

para j = 3, tenemos que:

Gj(H) = H¡j

Ã

eH¡

j¡1X

i=0

Hi

i!

!


¾(j)n (H) =nX

i=2

µn

i

¶Hi¡j

ni¡

j¡1X

i=2

Hi¡j

i!

Las funciones Gj(H) con j = 0, se pueden calcular, aplicando el procedimiento de

eliminación lineal de Richardson. Tomando H = At y considerando H0 = I tenemos:

Para el cálculo de Gj , para j = 0; por (corolario no 4) :

Gj(At) = (At)¡j

Ã

eAt¡

j¡1X

k=0

(At)k

k!

!

=1

tj¢ A¡j

Ã

eAt¡

j¡1X

k=0

Aktk

k!

!

=1

tj¢ Gj(t)

28

de donde:

Gj(t) = tj ¢ Gj(At)

A continuación se expone un procedimiento Maple V Release 4 que implementa

los algoritmos, anteriormente expuestos.

Procedimiento Maple V, para el cálculo de G1(t): Ver Anexo II.

Procedimiento Maple V, para el cálculo de G2(t): Ver Anexo III.

Procedimiento Maple V, para el cálculo de Gj(t) con j = 3: Ver Anexo IV.

En estos procedimientos, cabe resaltar, que no ha sido necesario el cálculo de la

inversa de ninguna matriz.

Utilizando este procedimiento, una forma alternativa y mas ágil, pues no requiere

el cálculo de las G-funciones, una a una, y no involucra el cálculo de la inversa de una

matriz, sería la siguiente:

(1) Calcular Gp(At), para p 2 N, su…cientemente alto.

(2) Computar Gp(t) = tpGp(At).

(3) Computar: Gj (t) = AGj+1 (t) + tj

j !I , j = (p¡ 1); :::; 0

1.5 Notas a los métodos de cálculo de G-funciones

En los casos en que la integración numérica del sistema lineal perturbado sea difícil,

como cuando los autovalores de A di…eren mucho, el cálculo de las G-funciones puede

presentar di…cultades.

Si los autovalores de A están en un pequeño entorno de cero y el tamaño de paso

es pequeño, el desarrollo en serie será adecuado para los cálculos de las Gj(h).

29

Para valores grandes de h; G0(h) podría ser calculado por métodos elementales,

usando funciones exponenciales y polinómicas. Las Gj(h) con j su…cientemente alto

se calculan entonces por la relación de recurrencia, expresada en este capítulo, la cual

requiere la matriz A¡1, y el proceso puede resultar numéricamente inestable.

En el caso en el que el desarrollo en serie de las Gj(h), no permite obtener el valor

de G0(h) hasta Gm(h) con una exactitud su…ciente, se determinarán estos valores por

un método de integración numérico ordinario. Es decir se integran las ecuaciones dife-

renciales que aparecen en la de…nición de las G-funciones, usando un tamaño de paso

de integración pequeño, comparado con [0; h]. Obsérvese, que este procedimiento,

francamente laborioso, sólo se realiza, una vez, al comienzo del método [74], [82].

Una alternativa, a estos métodos numéricos, es el procedimiento de eliminación

lineal de Richardson que permite el cálculo de las Gj(h) con mejor precisión [93].

1.6 Las G-funciones de Scheifele como método de

integración numérica

Se trata pues de integrar numéricamente el sistema siguiente:

x0

= Ax + " ¢ f (x;t)

x(0) = x0

donde

x : R ¡! Rm

A 2 M(m;R)

30

f : Rm £ R ¡! Rm

Para integrar este sistema con el método de las G-funciones, desarrollábamos la

función f (x;t) en la forma

f (x;t) =1X

k=0

tk

k!ck+1

y la solución, en términos de las G-funciones, venía dada por

x(t) = G0(t)x0 + "1X

k=1

Gk(t)ck

donde los ck son las derivadas de la función de perturbación

f (x(t);t) = g(t) = (g1(t); :::; gm(t))

Denotando por ti = ti¡1 + hi , i = 1; 2; :::, la malla de puntos en [a; b] y por

xi la aproximación a x(ti), suponiendo que tenemos calculada xn, para obtener una

aproximación de x(tn+1), consideramos el P.V.I.:

x0= Ax + " ¢ f (x;t)

x(tn) = xn

y al realizar el cambio de variable independiente: ¿ = t ¡ tn, el problema anterior se

transforma en:

x0= Ax + " ¢ f (x;¿ + tn)

x(0) = xn

31

El método de las G-funciones nos permite expresar xn+1 del modo siguiente:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "pX

j=1

Gj(hn+1)gj¡1)(tn)

En esta sección, expondremos algunos ejemplos de aplicación de las G-funciones

de Scheifele, como método de integración numérica para el cálculo aproximado de las

soluciones de sistemas lineales perturbados.

Asimismo, se realizarán los acondicionamientos de dichos problemas, que sean ne-

cesarios, para una mayor facilidad en el cálculo aproximado de las soluciones mediante

el método de las G-funciones de Scheifele.

1.6.1 Ejemplo 1

Ejemplo propuesto, en [19].

Sea el sistema:

x 0

1= x

1

x 0

2= x

2+"

qx1

con las condiciones iniciales:

x1(0) = 1 ; x

2(0) = 0

cuya solución es:

x1(t) = et

x2(t) = 2" ¢ et(1 ¡ e¡

t2 )

32

Con el …n de acondicionar el problema, para su integración, se recurrirá a in-

troducir unas variables auxiliares, procedimiento que fue empleado por Ste¤ensen

[77],[78],[79], en la aplicación de métodos de series de Taylor.

De…niendo:

x3=

qx1

el sistema anterior se transforma en:

x 0

1= x

1

x 0

2= x

2+" ¢ x

3

x 0

3=

1

2¢ x

3

con autovalores: 1 (doble) y 12

(simple) y condiciones iniciales:

x1(0) = 1 ; x

2(0) = 0 ; x

3(0) = 1

Escribiendo el nuevo sistema en forma matricial:

0

BBBBBB@

x1

x2

x3

1

CCCCCCA

0

=

0

BBBBBB@

1 0 0

0 1 0

0 0 12

1

CCCCCCA

¢

0

BBBBBB@

x1

x2

x3

1

CCCCCCA

+ " ¢

0

BBBBBB@

0

x3

0

1

CCCCCCA

Sea x(t), la solución del problema anterior, que suponemos analítica, entonces:

0

BBBBBB@

x1

x2

x3

1

CCCCCCA

=1X

k=0

tk

k!¢

0

BBBBBBB@

ak;1

ak;2

ak;3

1

CCCCCCCA

33

que sustituída en la expresión anterior da lugar a:0

BBBBBBB@

ak+1;1

ak+1;2

ak+1;3

1

CCCCCCCA

=

0

BBBBBB@

1 0 0

0 1 0

0 0 12

1

CCCCCCA

¢

0

BBBBBBB@

ak;1

ak;2

ak;3

1

CCCCCCCA

+ " ¢

0

BBBBBB@

0

ak;3

0

1

CCCCCCA

que nos permite de…nir la siguiente sucesión de coe…cientes:

b0 = a00

BBBBBBB@

bk;1

bk;2

bk;3

1

CCCCCCCA

=

0

BBBBBB@

0

" ¢ ak¡1;3

0

1

CCCCCCA

con k = 1; 2; : : :

De esta forma ya podemos escribir la solución del problema en términos de G-

funciones de Scheifele, [74] como sigue

x(t) =1X

k=0

Gk(t) ¢

0

BBBBBBB@

bk;1

bk;2

bk;3

1

CCCCCCCA

una vez obtenido el valor de las G-funciones, denotando por x1 la aproximación a

x(h); la aproximación a la solución vendrá dada de la forma siguiente:

x1 =mX

k=0

Gk(t) ¢

0

BBBBBBB@

bk;1

bk;2

bk;3

1

CCCCCCCA

Para efectuar un segundo paso de integración se toma x1 como valor inicial y se realiza

el mismo proceso. No es necesario calcular el valor de las G-funciones por tenerlo del

primer paso.

34

Resumiendo, una vez obtenido el valor de las G-funciones, cada paso se completa

mediante el algoritmo siguiente:

a0 = xi0

BBBBBBB@

ak+1;1

ak+1;2

ak+1;3

1

CCCCCCCA

=

0

BBBBBB@

1 0 0

0 1 0

0 0 12

1

CCCCCCA

¢

0

BBBBBBB@

ak;1

ak;2

ak;3

1

CCCCCCCA

+ " ¢

0

BBBBBB@

0

ak;3

0

1

CCCCCCA

desde k = 0; :::

b0 = a00

BBBBBBB@

bk;1

bk;2

bk;3

1

CCCCCCCA

=

0

BBBBBB@

0

" ¢ ak¡1;3

0

1

CCCCCCA

desde k = 1; :::

xi+1 =mX

k=0

Gk(t) ¢

0

BBBBBBB@

bk;1

bk;2

bk;3

1

CCCCCCCA

En la (Figura no 1.1) se muestra el resultado obtenido al comparar el método

de las G-funciones con un método LSODE de tol = 10¡16. Para el método de las

G-funciones se tomaron ocho funciones G, la integración se realizó hasta t = 100, con

paso h = 001 y " = 10¡3.

1.6.2 Ejemplo 2

Ejemplo propuesto, en [26]

35

Consideremos un oscilador con perturbación resonante:

x 0

1(t) = x

2

x 0

2(t) = ¡x

1+" cos t

con las condiciones iniciales:

x1(0) = 1 ; x

2(0) = 0

cuya solución es:

x1(t) = cos(t) + "

2 t sin(t)

x2(t) =

¡"2

¡ 1¢sin(t) + "

2t cos(t)

Para facilitar la integración de…nimos:

x3= cos(t)

x4= sin(t)

y el sistema anterior se transforma en:

x 0

1= x

2

x 0

2= ¡x

1+" ¢ x

3

x 0

3= ¡x

4

x 0

4= x

3

con autovalores complejos: i (doble) y ¡i (doble) y condiciones iniciales:

x1(0) = 1 ; x

2(0) = 0 ; x

3(0) = 1 ; x

4(0) = 0

36

Escribiendo el nuevo sistema en forma matricial:0

BBBBBBBBBB@

x1

x2

x3

x4

1

CCCCCCCCCCA

0

=

0

BBBBBBBBBB@

0 1 0 0

¡1 0 0 0

0 0 0 ¡1

0 0 1 0

1

CCCCCCCCCCA

¢

0

BBBBBBBBBB@

x1

x2

x3

x4

1

CCCCCCCCCCA

+ " ¢

0

BBBBBBBBBB@

0

x3

0

0

1

CCCCCCCCCCA

Sea x(t), la solución del problema, que suponemos analítica, como en el Ejemplo

1.

Obteniéndose las siguientes recurrencias:0

BBBBBBBBBBB@

ak+1;1

ak+1;2

ak+1;3

ak+1;4

1

CCCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

0 1 0 0

¡1 0 0 0

0 0 0 ¡1

0 0 1 0

1

CCCCCCCCCCA

¢

0

BBBBBBBBBBB@

ak;1

ak;2

ak;3

ak;4

1

CCCCCCCCCCCA

+ " ¢

0

BBBBBBBBBB@

0

ak;3

0

0

1

CCCCCCCCCCA

0

BBBBBBBBBBB@

bk;1

bk;2

bk;3

bk;4

1

CCCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

0

" ¢ ak¡1;3

0

0

1

CCCCCCCCCCA

De este modo podemos escribir la solución del problema en términos de G-funciones

de Scheifele, como sigue:

x(t) =1X

k=0

Gk(t) ¢

0

BBBBBBBBBBB@

bk;1

bk;2

bk;3

bk;4

1

CCCCCCCCCCCA

37

En la (Figura no 1.2) se muestra el resultado obtenido al comparar el método

de ocho G-funciones con un método LSODE de tol = 10¡16. Para el método de las

G-funciones se tomaron ocho funciones G, la integración se realizó hasta t = 100, con

paso h = 001 y " = 10¡3.

1.6.3 Notas a los ejemplos del capítulo

Aunque los tiempos de CPU, tal como consta a pie de las …guras 1.1 y 1.2, son

sensiblemente mejores en el método de las G-funciones, éste es poco operativo debido a

que exige, como paso previo, la normalización del problema y presenta la considerable

di…cultad, de tener que construir en cada caso un fórmula recurrente para el cálculo

de los coe…cientes. De hecho el método de Scheifele es prácticamente imposible de

utilizar si los términos de perturbación son funciones complicadas.

38

1.7 Figuras capítulo 1

1.7.1 Ejemplo 1

t

log(error)

LSODE

G-8

Figura no 1.1

Método de 8 G-funciones, tamaño de paso 0.1 y " =10¡3

LSODE[backfunc] con tolerancia 10¡16

Tiempos de CPU.LSODE = 728.33 seg

G-8 = 626.14 seg

39

1.7.2 Ejemplo 2

t

G-8

LSODE

log(error)

Figura no 1.2.

Método de 8 G-funciones, tamaño de paso 0.1 y " =10¡3



G-8 = 730.02 seg

Capítulo 2

Métodos numéricos multipaso

variable para la integración de

sistemas lineales perturbados

2.1 Introducción

En este capítulo se introduce un método multipaso variable adaptado para la resolu-

ción de sistemas lineales perturbados:

x0

= Ax + " ¢ f (x;t)

x(0) = x0

donde

x : R ¡! Rm ; A 2 M(m;R) ; f : Rm £ R ¡! Rm

Para la integración de este sistema, mediante un método multipaso variable, que

41

42

integre exactamente el problema homogéneo, partimos de un método que ya posee

esta propiedad, el método de G-funciones, desarrollado en el capítulo anterior.

La solución, en términos de las G-funciones, venía dada por

x(t) = G0(t)x0 + "1X

k=1

Gk(t)ck

donde los ck son las derivadas de la función de perturbación f (x(t);t) = g(t) =

(g1(t); :::; gm(t)).

Las G-funciones, como método de integración numérica, nos permite escribir:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "pX

j=1

Gj(hn+1)gj¡1)(tn)

El cálculo de las gj¡1)(tn) es difícil para expresiones complicadas de la función de

perturbación, lo que di…culta su implementación en un computador.

El método multipaso que se presenta en este capítulo integra exactamente el pro-

blema homogéneo, y presenta la ventaja, frente al método de las G-funciones, de

la existencia de un procedimiento algebraico sencillo para la computación de los

coe…cientes del método, independientemente de cual sea el orden, lo que nos per-

mite lograr fácilmente cualquier método tanto de orden alto como de orden bajo

[15],[44],[48],[50],[53]. Esto se conseguirá aproximando las derivadas que aparecen

en el método de las G-funciones mediante diferencias divididas [60],[87],[89]. Tra-

bajaremos tanto métodos explícitos como métodos implicítos, que nos permitirán la

implementación de un método predictor corrector.

43

2.2 Método explícito de p pasos E.I.pE para siste-

mas lineales perturbados

Sea g : [a; b] ¡! R, una función real de variable real, representaremos por g[tn; :::; tn¡k]

con k = 0; 1; :::; n a la diferencia dividida de g de orden k en los argumentos tn; :::; tn¡k

de la variable t 2 [a; b] [60]. Consideramos que g(t) es analítica para simpli…car la

exposición.

Para construir un método multipaso variable explícito de p pasos, [88],[89],[90],

utilizamos hasta las diferencias divididas de orden p-1 de la función g(t), en los

argumentos tn; :::; tn¡p+1

De…nition 16 Sea

Pk(t) =tk

k!

y

Hi = tn ¡ tn¡i

Lemma 17 Las diferencias divididas de g (t) satisfacen la igualdad

g[tn; :::; tn¡i] =1X

j=0

Pj [0;¡H1; :::;¡Hi] ¢ gj)(tn)

D/.

Los desarrollos en tn de g(tn¡1); :::; g(tn¡i) nos permite escribir

g[tn; :::; tn¡i] =1X

j=0

cj ¢ gj)(tn)

44

donde las constantes cj dependen sólo de Hi = tn¡tn¡i. Para calcular cj consideramos

el punto tn = 0 y g = Pk, teniendo en cuenta que P j)k (0) = ±k;j , siendo ±k;j la delta

de Kronecker.Ä

Veamos algunos casos:

g[tn] = g(tn)

g[tn; tn¡1] =g[tn]¡ g[tn¡1]

tn ¡ tn¡1=

=1

tn ¡ tn¡1

Ã

g(tn)¡1X

j=0

gj)(tn)

j !¢ (tn¡1 ¡ tn)

j

!

=

=1X

j=1

¡(tn¡1 ¡ tn)j

(tn ¡ tn¡1)j!¢ gj)(tn) =

1X

j=0

cj ¢ gj)(tn)

donde

c0 = 0

cj =¡(tn¡1 ¡ tn)j

(tn ¡ tn¡1)j!con j = 1; 2; :::

comprobemos que los cj anteriores son iguales a Pj[0;¡H1]:

P0[0;¡H1] =1¡ 1

H1= 0 = c0

Pj [0;¡H1] =Pj[0]¡ Pj [¡H1]

H1=

¡(tn¡1¡ tn)j

(tn ¡ tn¡1)j != cj con j = 1; 2; :::

Análogamente

g [tn; tn¡1; tn¡2] =1X

j=1

(tn¡2¡ tn)(tn¡1 ¡ tn)j ¡ (tn¡1¡ tn)(tn¡2 ¡ tn)j

(tn ¡ tn¡1)(tn¡1 ¡ tn¡2)(tn ¡ tn¡2)j !¢ gj)(tn) =

=1X

j=0

cj ¢ gj)(tn)

donde

c0 = 0

45

cj =(tn¡2¡ tn)(tn¡1 ¡ tn)

j ¡ (tn¡1¡ tn)(tn¡2 ¡ tn)j

(tn ¡ tn¡1)(tn¡1¡ tn¡2)(tn ¡ tn¡2)j !con j = 1; 2; :::

comprobándose que

P0[0;¡H1;¡H2] =1

H2

µ0

H1¡

0

¡H1 + H2

¶

= 0 = c0

Pj [0;¡H1;¡H2] =¡H2(¡H1)j + H1(¡H2)j

j!H1H2(H2 ¡ H1)=

=(tn¡2 ¡ tn)(tn¡1 ¡ tn)j ¡ (tn¡1 ¡ tn)(tn¡2 ¡ tn)j

(tn ¡ tn¡1)(tn¡1¡ tn¡2)(tn ¡ tn¡2)j !

= cj con j = 1; 2; :::

Theorem 18 Denotando por Dp;n la matriz siguiente,de orden m£ p

Dp;n =

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn] 1!g1[tn; tn¡1] ¢ ¢ ¢ (p¡ 1)!g1[tn; :::; tn¡(p¡1)]

g2[tn] 1!g2[tn; tn¡1] ¢ ¢ ¢ (p¡ 1)!g2[tn; :::; tn¡(p¡1)]

...... ¢ ¢ ¢

...

gm[tn] 1!gm[tn; tn¡1] ¢ ¢ ¢ (p¡ 1)!gm[tn; :::; tn¡(p¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

y

H = maxfH1; :::; Hp¡1g

se veri…ca la igualdad:

Dtp;n = Ap

0

BBBBBBBBBB@

g1(tn) ¢ ¢ ¢ gm(tn)

g0

1(tn) ¢ ¢ ¢ g0

m(tn)

......

gp¡1)1 (tn) ¢ ¢ ¢ gp¡1)m (tn)

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp) ¢ ¢ ¢ O(H p)

O(Hp¡1) ¢ ¢ ¢ O(H p¡1)

......

O(H) ¢ ¢ ¢ O(H )

1

CCCCCCCCCCA

46

donde Ap es la matriz cuadrada de orden p

Ap =

0

BBBBBBBBBBBBBB@

1 P1[0] P2[0] ¢ ¢ ¢ Pp¡1[0]

0 1 1!P2[0;¡H1] ¢ ¢ ¢ 1!Pp¡1[0;¡H1]

0 0 1 ¢ ¢ ¢ 2!Pp¡1[0;¡H1;¡H2]

......

.... ..

...

0 0 0 ¢ ¢ ¢ 1

1

CCCCCCCCCCCCCCA

p£p

D/.

Aplicando a cada uno de los campos componentes gi(t) con i = 1; :::; m de la

función de perturbación g(t) el (lema no 17) y el hecho de que Pj [H1; :::; Hi+1] es de

orden j ¡ i en H, se obtienen las siguientes igualdades:

gi[tn] = P0[0]gi(tn) + P1[0]g0

i(tn) + ¢ ¢ ¢ + Pp¡1[0]gp¡1)i (tn) + O(H

p)

gi[tn; tn¡1] = P0[0;¡H1]gi(tn) + P1[0;¡H1]g0

i(tn) + ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ + Pp¡1[0;¡H1]gp¡1)i (tn) + O(H

p¡1)

...

gi[tn; :::; tn¡(p¡1)] = P0[0;¡H1;:::;¡Hp¡1]gi(tn) +P1[0;¡H1;:::;¡Hp¡1]g0

i(tn) + ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ + Pp¡1[0;¡H1;:::;¡Hp¡1]gp¡1)i (tn) + O(H)

matricialmente0

BBBBBBBBBB@

g1[tn] g2[tn] ¢ ¢ ¢ gm[tn]

g1[tn; tn¡1] g2[tn; tn¡1] ¢ ¢ ¢ gm[tn; tn¡1]

...... ¢ ¢ ¢

...

g1[tn; :::; tn¡(p¡1)] g2[tn; :::; tn¡(p¡1)] ¢ ¢ ¢ gm[tn; :::; tn¡(p¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

=

47

=

0

BBBBBBBBBB@

P0[0] P1[0] ¢ ¢ ¢ Pp¡1[0]

P0[0;¡H1] P1[0;¡H1] ¢ ¢ ¢ Pp¡1[0;¡H1]

...... ¢ ¢ ¢

...

P0[0;¡H1; :::;¡Hp¡1] P1[0;¡H1; :::;¡Hp¡1] ¢ ¢ ¢ Pp¡1[0;¡H1; :::;¡Hp¡1]

1

CCCCCCCCCCA

£

0

BBBBBBBBBB@

g1(tn) g2(tn) ¢ ¢ ¢ gm(tn)

g0

1(tn) g0

2(tn) ¢ ¢ ¢ g0

m(tn)

...... ¢ ¢ ¢

...

gp¡1)1 (tn) gp¡1)2 (tn) ¢ ¢ ¢ gp¡1)m (tn)

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp) O(Hp) ¢ ¢ ¢ O(H p)

O(Hp¡1) O(Hp¡1) ¢ ¢ ¢ O(H p¡1)

...... ¢ ¢ ¢

...

O(H) O(H) ¢ ¢ ¢ O(H )

1

CCCCCCCCCCA

representando, simbólicamente el producto anterior, se obtiene la ecuación:

Xp£m = Yp£p £ Zp£m +Op£m

pudiéndose escribir la matriz Yp£p en la forma:

Yp£p =

0

BBBBBBBBBBBBBB@

1 0 0 ¢ ¢ ¢ 0

0 1 P2[0;¡H1] ¢ ¢ ¢ Pp¡1[0;¡H1]

0 0 12! ¢ ¢ ¢ Pp¡1[0;¡H1;¡H2]

......

.... . .

...

0 0 0 ¢ ¢ ¢ 1(p¡1)!

1

CCCCCCCCCCCCCCA

Sustituyendo en la ecuación precedente y efectuando las transformaciones elemen-

tales pertinentes para eliminar los cocientes de factoriales, resulta:

Dtp;n = Ap £ Zp£m + Op£m Ä

Corollary 19 La matriz Ap es inversible.

D/.

La demostración es inmediata, pues det(Ap) = 1 Ä

48

2.2.1 Estableciendo el método multipaso explícito

Truncando el desarrollo obtenido en (teorema no 18) y despejando Zp£m resulta:

Zp£m = A¡1p £ (Dt

p;n)p£m

remplazando en xn+1 = G0(hn+1)xn + "pP

j=1

Gj(hn+1)gj¡1)(tn) las derivadas de los

campos componentes de la función de perturbación podemos escribir:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

pX

j=1

Gj(hn+1)pj

siendo pj con j = 1; :::; p la j-ésima columna de la matriz Z t. Al ser Z t = Dp;n £ A¡tp

bastará tomar pj como la columna j-ésima de la matriz Dp;n £ A¡tp .

Designando por (dij)p£p = A¡tp resulta:

Dp;n£A¡tp =

0

BBBBBBBBBBB@

pP

i=1

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]di1(i ¡ 1)! ¢ ¢ ¢pP

i=1

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]dip(i ¡ 1)!

pP

i=1

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]di1(i ¡ 1)! ¢ ¢ ¢pP

i=1

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]dip(i ¡ 1)!

... ¢ ¢ ¢...

pP

i=1

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]di1(i ¡ 1)! ¢ ¢ ¢pP

i=1

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]dip(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

donde Dp;n £ A¡tp es una matriz de orden m£ p cuya j ¡ ¶esima columna pj es:

pj =

0

BBBBBBBBBBB@

pP

i=1

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

pP

i=1

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

...

pP

i=1

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

49

que sustituída enpP

j=1

Gj(hn+1)pj permite escribir:

pX

j=1

Gj(hn+1)pj =pX

j=1

Gj(hn+1)

0

BBBBBBBBBBB@

pP

i=1

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

pP

i=1g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

...

pP

i=1

gm[tn; :::; tn¡(i¡1) ]dij(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

=

=

pX

j=1

Gj(hn+1)

0

BBBBBBBBBB@

pX

i=1

(i ¡ 1)!dij

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]

...

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

1

CCCCCCCCCCA

=

=pX

j=1

0

BBBBBBBBBB@

pX

i=1

(i ¡ 1)!dijGj(hn+1)

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]

...

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

1

CCCCCCCCCCA

=

=

pX

i=1

0

BBBBBBBBBB@

ÃpX

j=1


!

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]

...

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

1

CCCCCCCCCCA

=

=pX

i=1

¤i

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]

...

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

50

donde

¤i =

pX

j=1

(i ¡ 1)!dijGj(hn+1) con i = 1; :::; p

Sustituyendo esta última expresión en xn+1 = G0(hn+1)xn + "pP

j=1

Gj(hn+1)pj

conseguimos la fórmula siguiente, para un método multipaso explícito:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

pX

i=1

¤i

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]

g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]

...

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

De…nition 20 Introducimos la siguiente notación:

²xn es la aproximación al valor de la solución en tn.

²¤i =pP

j=1

(i ¡ 1)!dijGj(hn+1) donde (dij)p£p = A¡tp

²F tn;i =

µ

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]; ¢ ¢ ¢ ; gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]

¶

²Inicialización x: x0, x1, x2, x3, ... ,xp¡1.

De…nition 21 El método explícito, con tamaño de paso variable, de p pasos, E.I.pE,

para sistemas lineales perturbados, se formula mediante la ecuación:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

pX

i=1

¤iFn;i con n ¸ p¡ 1

Proposition 22 El método explícito, con tamaño de paso variable, de p pasos, E.I.pE

para sistemas lineales perturbados, es de orden p y " siempre es factor común del error

de truncación en cada paso.

D/.

51

Supongamos que el valor calculado para x en tn es exacto y que también son

exactos los valores de f (x(tn);tn), ..., f (x(tn¡p+1);tn¡p+1).

Estudiemos la siguiente diferencia.

rn+1 = x(tn+1)¡ xn+1 = x(tn + hn+1) ¡ xn+1 =

=1X

j=0

xj)(tn)

j !hjn+1 ¡ G0(hn+1)xn ¡ "

pX

j=1

Gj(hn+1)pj =

=1X

j=0

hjn+1j !

xj)n ¡ G0(hn+1)xn ¡ "

pX

j=1

Gj(hn+1)pj =

=1X

j=0

(Gj(hn+1) ¡ AGj+1(hn+1)) xj)n ¡ G0(hn+1)xn ¡ "

pX

j=1

Gj(hn+1)pj =

=1X

j=1

Gj(hn+1)¡xj)n ¡ Axj¡1)n

¢¡ "

pX

j=1

Gj(hn+1)pj =

= "pX

j=1

Gj(hn+1)¡f j)(x(tn);tn)¡ pj

¢¡ "

1X

j=p+1

Gj(hn+1)fj)(x(tn);tn) =

= "

ÃpX

j=1

Gj(hn+1)¡f j)(x(tn);tn)¡ pj

¢¡

1X

j=p+1

Gj(hn+1)fj)(x(tn);tn)

!

Ä

En esta última expresión, las diferencias que aparecen en el primer sumatorio son

de orden hp¡j+1, como Gj(hn+1) es de orden hj , se obtiene un orden de hp+1. El

segundo sumatorio, es del orden de Gp+1(hn+1), es decir de orden hp+1

Corollary 23 Si " = 0 el metodo E.I.pE para sistemas lineales perturbados es exacto.

D/:

Se deduce trivialmente de la proposición anterior.Ä

Proposition 24 El método explícito, de p pasos, E.I.pE, es consistente de orden p

52

D/.

Para demostrar la consistencia, es su…ciente considerar los resultados obtenidos

en el (teorema no 18) y que Gj(h) = O(hj). Ä

2.3 Método implícito de p pasos E.I.pI para siste-

mas lineales perturbados

Para construir un método implícito, utilizaremos la misma idea que en el apartado

anterior.

Theorem 25 Consideramos hn+1 = tn+1 ¡ tn y sea Hi = tn ¡ tn¡i. Denotando por

Dp;n+1 la matriz siguiente,de orden m£ (p+ 1)

Dp;n+1 =

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn+1] 1!g1[tn+1; tn] ¢ ¢ ¢ p!g1[tn+1; :::; tn+1¡p)]

g2[tn+1] 1!g2[tn+1; tn] ¢ ¢ ¢ p!g2[tn+1; :::; tn+1¡p)]

...... ¢ ¢ ¢

...

gm[tn+1] 1!gm[tn+1; tn] ¢ ¢ ¢ p!gm[tn+1; :::; tn+1¡p)]

1

CCCCCCCCCCA

y

H = max fhn+1; H1; :::; Hp¡1g

se veri…ca la igualdad:

Dtp;n+1 = Bp

0

BBBBBBBBBB@

g1(tn) g2(tn) ¢ ¢ ¢ gm(tn)

g0

1(tn) g0

2(tn) ¢ ¢ ¢ g0

m(tn)

...... ¢ ¢ ¢

...

gp)1 (tn) gp)2 (tn) ¢ ¢ ¢ gp)m(tn)

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp+1) O(Hp+1) ¢ ¢ ¢ O(Hp+1)

O(Hp) O(Hp) ¢ ¢ ¢ O(Hp)

...... ¢ ¢ ¢

...

O(H) O(H) ¢ ¢ ¢ O(H)

1

CCCCCCCCCCA

53

donde Bp es la matriz cuadrada de orden (p+ 1)

Bp =

0

BBBBBBBBBBBBBB@

1 P1[hn+1] P2[hn+1] ¢ ¢ ¢ Pp[hn+1]

0 1 1!P2[hn+1; 0] ¢ ¢ ¢ 1!Pp[hn+1; 0]

0 0 1 ¢ ¢ ¢ 2!Pp[hn+1; 0;¡H1]

......

..... .

...

0 0 0 ¢ ¢ ¢ 1

1

CCCCCCCCCCCCCCA

(p+1)£(p+1)

D/.

Aplicando a cada uno de los campos componentes gi(t) con i = 1; :::; m de la

función de perturbación g(t) el (lema no 17) y el hecho de que Pj [H1; :::; Hi+1] es de

orden j ¡ i en H, se obtienen las siguientes igualdades:

gi[tn+1] = P0[hn+1]gi(tn) +P1[hn+1]g0

i(tn) + ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ + Pp[hn+1]gp)i (tn) + O(H

p+1)

gi[tn+1; tn] = P0[hn+1; 0]gi(tn) + P1[hn+1; 0]g0

i(tn) + ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ + Pp[hn+1; 0]gp)i (tn) + O(H

p)

...

gi[tn+1; :::; tn+1¡p] = P0[hn+1; 0;¡H1;:::;¡Hp¡1]gi(tn) +

+P1[hn+1; 0;¡H1;:::;¡Hp¡1]g0

i(tn) + ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ + Pp[hn+1; 0;¡H1;:::;¡Hp¡1]gp)i (tn) + O(H)

54

matricialmente0

BBBBBBBBBB@

g1[tn+1] g2[tn+1] ¢ ¢ ¢ gm[tn+1]

g1[tn+1; tn] g2[tn+1; tn] ¢ ¢ ¢ gm[tn+1; tn]

...... ¢ ¢ ¢

...

g1[tn+1; :::; tn+1¡p] g2[tn+1; :::; tn+1¡p] ¢ ¢ ¢ gm[tn+1; :::; tn+1¡p]

1

CCCCCCCCCCA

=

=

0

BBBBBBBBBB@

P0[hn+1] P1[hn+1] ¢ ¢ ¢ Pp[hn+1]

P0[hn+1; 0] P1[hn+1; 0] ¢ ¢ ¢ Pp[hn+1; 0]

...... ¢ ¢ ¢

...

P0[hn+1; 0; :::;¡Hp¡1] P1[hn+1; 0; :::;¡Hp¡1] ¢ ¢ ¢ Pp[hn+1; 0; :::;¡Hp¡1]

1

CCCCCCCCCCA

£

£

0

BBBBBBBBBB@

g1(tn) g2(tn) ¢ ¢ ¢ gm(tn)

g0

1(tn) g0

2(tn) ¢ ¢ ¢ g0

m(tn)

...... ¢ ¢ ¢

...

gp)1 (tn) gp)2 (tn) ¢ ¢ ¢ gp)m (tn)

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp+1) O(Hp+1) ¢ ¢ ¢ O(Hp+1)

O(Hp) O(Hp) ¢ ¢ ¢ O(Hp)

...... ¢ ¢ ¢

...

O(H) O(H) ¢ ¢ ¢ O(H)

1

CCCCCCCCCCA

representando, simbólicamente el producto anterior, se obtiene la ecuación:

X(p+1)£m = Y(p+1)£(p+1) £ Z(p+1)£m + O(p+1)£m

pudiéndose escribir la matriz Y(p+1)£(p+1)en la forma:

Y(p+1)£(p+1) =

0

BBBBBBBBBBBBBB@

1 P1[hn+1] P2[hn+1] ¢ ¢ ¢ Pp[hn+1]

0 11!

P2[hn+1; 0] ¢ ¢ ¢ Pp[hn+1; 0]

0 0 12! ¢ ¢ ¢ Pp[hn+1; 0;¡H1]

......

.... . .

...

0 0 0 ¢ ¢ ¢ 1p!

1

CCCCCCCCCCCCCCA

55

Sustituyendo en la ecuación previa y efectuando las transformaciones elementales

pertinentes para eliminar los cocientes de factoriales, resulta:

Dtp;n+1 = Bp £ Z(p+1)£m + O(p+1)£m Ä

2.3.1 Estableciendo el método multipaso implícito

Truncando el desarrollo obtenido en (teorema no 25) y despejando Z(p+1)£m resulta:

Z(p+1)£m = B¡1p £ (Dt

p;n+1)(p+1)£m

reemplazando en xn+1 = G0(hn+1)xn + "p+1P

j=1

Gj(hn+1)gj¡1)(tn) las derivadas de los

campos componentes de la función de perturbación podemos escribir:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

p+1X

j=1

Gj(hn+1)pj

siendo pj con j = 1; :::; p + 1 la j-ésima columna de la matriz Z t. Al ser Z t =

Dp;n+1 £ B¡tp bastará tomar pj como la columna j-ésima de la matriz Dp;n+1 £B¡tp .

Designando por (dij)(p+1)£(p+1) = B¡tp resulta que la matriz Dp;n+1£B¡tp de orden

m£ (p +1), es igual a:

0

BBBBBBBBBBB@

p+1P

i=1

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]di1(i ¡ 1)! ¢ ¢ ¢p+1P

i=1

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]di(p+1)(i ¡ 1)!

p+1P

i=1

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]di1(i ¡ 1)! ¢ ¢ ¢p+1P

i=1

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]di(p+1)(i ¡ 1)!

... ¢ ¢ ¢...

p+1P

i=1

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]di1(i ¡ 1)! ¢ ¢ ¢p+1P

i=1

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]di(p+1)(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

56

cuya j ¡ ¶esima columa pj es:

pj =

0

BBBBBBBBBBB@

p+1P

i=1

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

p+1P

i=1g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

...

p+1P

i=1

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

que sustituída enp+1P

j=1

Gj(hn+1)pj permite escribir:

p+1X

j=1

Gj(hn+1)pj =

p+1X

j=1

Gj(hn+1)

0

BBBBBBBBBBB@

p+1P

i=1

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

p+1P

i=1

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

...

p+1P

i=1

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

=

=

p+1X

j=1

Gj(hn+1)

0

BBBBBBBBBB@

p+1X

i=1

(i ¡ 1)!dij

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

...

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

1

CCCCCCCCCCA

=

=p+1X

j=1

0

BBBBBBBBBB@

p+1X

i=1


0

BBBBBBBBBB@

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

...

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

1

CCCCCCCCCCA

=

57

=p+1X

i=1

0

BBBBBBBBBB@

Ãp+1X

j=1


!

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

...

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

1

CCCCCCCCCCA

=

=

p+1X

i=1

¡i

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

...

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

donde

¡i =

p+1X

j=1

(i ¡ 1)!dijGj(hn+1) con i = 1; :::; p+ 1

Sustituyendo esta última expresión en xn+1 = G0(hn+1)xn + "p+1P

j=1

Gj(hn+1)pj

conseguimos la fórmula siguiente, para un método multipaso implícito:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "p+1X

j=1

¡i

0

BBBBBBBBBB@

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

...

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

1

CCCCCCCCCCA



²¡i =p+1P

j=1

(i ¡ 1)!dijGj(hn+1) donde (dij)(p+1)£(p+1) = B¡tp

²T tn;i =

µ

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1) ]; ¢ ¢ ¢ ; gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

¶

²Inicialización para x: x0, x1, x2, x3, ... ,xp¡1.

58

De…nition 27 El método implícito, con tamaño de paso variable, de p pasos E.I.pI,

para sistemas lineales perturbados, se formula, mediante la ecuación:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

p+1X

i=1

¡iTn;i con n ¸ p ¡ 1

Daremos algunos resultados referentes a los métodos E.I.pI para sistemas lineales

perturbados, de los que no haremos las demostraciones por ser análogas a las del

método E.I.pE.

Proposition 28 El método implícito, con tamaño de paso variable, de p pasos E.I.pI

para sistemas lineales perturbados, es de orden p+1 y " siempre es factor común del

error de truncación en cada paso.

Corollary 29 Si " = 0 el método E.I.pI para sistemas lineales perturbados es exacto.

Proposition 30 El método explícito, de p pasos, E.I.pI, es consistente de orden p+1.

2.4 Método predictor corrector E.I.pPC para sis-

temas lineales perturbados

De…nition 31 De…nimos el método predictor-corrector, con tamaño de paso varia-

ble, de p pasos E.I.pPC para sistemas lineales perturbados como el que tiene como

predictor a E.I.pE y como corrector a E.I.pI.

El método predictor corrector empleado, es del tipo P (EC)¹E1¡t con t = 1 y ¹

entero positivo, es decir un predictor y ¹ veces evaluador-corrector, P (EC)¹ [50]. Al

59

aplicar el P (EC )¹ para obtener corrección de convergencia, se observa que si x[j]n es

la j-ésima corrección de xn y ¹ = 2, entonces°°°x

[2]n ¡ x [1]n

°°° es su…cientemente pequeño

y el cálculo de x[2]n incrementa signi…cativamente el coste computacional.

Además si ¹ = 1; P (EC) tiene el mismo orden que el corrector, pero los errores

de truncación son distintos.

Capítulo 3

Implementación de los métodos

multipaso variable para la

integración de sistemas lineales

perturbados

3.1 Introducción

En el capítulo anterior se han expuesto los métodos E.I.pE, E.I.pI y E.I.pPC, para la

integración de sistemas lineales perturbados. Estos métodos presentan la di…cultad

de que sus coe…cientes matriciales no están expresados de manera recurrente, lo que

di…culta, su codi…cación para automatizar su cálculo. En este capítulo resolveremos

este problema, lo que nos permitirá codi…car los métodos, pudiendo escoger el tamaño

61

62

del paso y el número de pasos, que requiera cada ejecución.

Para el método E.I.pE tendríamos que poder calcular de manera recurrente los

coe…cientes

¤i =

pX

j=1

(i ¡ 1)!dijGj(hn+1) con i = 1; :::; p

donde la matriz (dij)p£p = A¡tp . Y para el método E.I.pI tendríamos que poder

calcular de forma recurrente los coe…cientes

¡i =p+1X

j=1

(i ¡ 1)!dijGj(hn+1) con i = 1; :::; p+ 1

donde la matriz (dij)(p+1)£(p+1) = B¡tp . Luego el problema se reduce a encontrar una

fórmula recurrente, que nos permita calcular los elementos de las matrices A¡tp y B¡tp .

El problema del cálculo recurrente de las matrices A¡tp y B¡tp no lo abordaremos

directamente, sino que obtendremos unas matrices, que denotaremos por Sn;p y Sn;p+1

respectivamente, sobre las que de…niremos las recurrencias y posteriormente las re-

lacionaremos con las matrices A¡tp y B¡tp . El cálculo de las matrices Sp;n y Sp;n+1 se

fundamentará en el estudio y aplicación de los polinomios simétricos y sus relaciones

con las diferencias divididas.

Una vez conseguidas las relaciones de recurrencia, para las matrices Sp;n y Sp;n+1 y

su conexión con las matrices A¡tp y B¡tp , procederemos a rede…nir los métodos E.I.pE,

E.I.pI y E.I.pPC, de manera que sea posible una implementación efectiva para su

cálculo automático.

En este capítulo, también se expondrán los códigos de los nuevos algoritmos, im-

plementados en MAPLE V Release 4, así como una introducción a los problemas sti¤

[43],[50],[64]. Por último resolveremos varios ejemplos, mediante los códigos E.I.pE,

63

E.I.pI y E.I.pPC y los compararemos con otros métodos conocidos.

3.2 Polinomios Simétricos

El propósito de esta sección es proporcionar una notación y terminología que será

empleada a continuación, y exponer algunos resultados importantes de las funciones

simétricas [4],[8],[46],[52],[54].

Consideremos un anillo K[X; Y ]. A todo polinomio P (X; Y ) hacemos correspon-

der el polinomio P0obtenido escribiendo Y en lugar de X y X en lugar de Y , dicho

de otra manera P0(X; Y ) = P (Y; X). Evidentemente, (P

0)0= P . La correspondencia

P $ P0es un automor…smo del anillo K[X; Y ], ya que P $ P

0y Q $ Q

0implican

de manera mani…esta

(P + Q)0

$ P0+ Q

0

(PQ)0

$ P0

Q0

En general, en K [X1; X2; :::; Xn] consideremos una permutacion ¾ hecha sobre las

letras X1; X2; :::; Xn y sea ¾(Xi) = X0

i . La correspondencia

P (X1; X2; :::; Xn)$ P0= P (X

0

1; X0

2; :::; X0

n)

es un automor…smo, porque es compatible con la igualdad, la suma y el producto en

el anillo K[X1; X2; :::; Xn].

De…nition 32 Los polinomios invariantes respecto al conjunto de los automor…smos

anteriormente de…nidos se llaman simétricos.

64

Ya que una permutación cualquiera es un producto de trasposiciones, bastaría

comprobar su invarianza en todas las trasposiciones posibles, para asegurarse que es

un polinomio simétrico.

Sea el monomio x®1x¯2 ¢ ¢ ¢ x¸n en el que los enteros ®; ¯; :::; ¸ pueden ser nulos. Efec-

tuando en él todas las permutaciones sobre las variables x1x2 ¢ ¢ ¢ xn se obtiene varios

monomios distintos cuya suma es evidentemente un polinomio simétrico denotado por

Xx®1x

¯2 ¢ ¢ ¢ x¸n

así p. ej., el polinomio simétrico en n variables P = x31 + x32 + ¢ ¢ ¢ + x3n se escribe

Px31x

02 ¢ ¢ ¢ x0n siendo el número de términos distintos n!

(n¡1)! = n ya que las sustitucio-

nes sobre las n ¡ 1 últimas letras proporcionan el mismo monomio [52].

Consideremos el anillo de los polinomios simétricos en n variables independientes

t1; :::; tn:

De…nition 33 Para cada 0 5 r 5 n, la r-ésima función simétrica elemental en;r es

la suma de todos los productos de r variables distintas ti, siendo

en;0 = 1

en;r =nX

i1<i2<¢¢¢<ir

ti1 ¢ ¢ ¢ tir

p. ej. para tres variables, t1; t2; t3 tenemos: e30 = 1, e3;1 = t1 + t2 + t3, e3;2 =

t1t2+ t1t3 + t2t3, e3;3 = t1t2t3.

En el caso de que r < 0 se de…ne

en;r = 0

65

La función generatriz de en;r es:

En(t) =nX

r=0

en;r ¢ tr =nY

i=1

(1 + tit)

es decir, efectuando un desarrollo de Mac Laurin de la función En(t) =nQ

i=1

(1 + tit)

hasta orden n, sus coe…cientes serían las funciones simétricas elementales en;r.

De…nition 34 Sea ¸ = (¸1 ¢ ¢ ¢ ¸n) 2 Nn , j¸j = ¸1 + ¢ ¢ ¢ + ¸n. Para cada r = 0 la r-

ésima función simétrica completa hn;r se de…ne como la suma de todos los monomios

de grado total r en las variables t1; :::; tn, es decir

hn;r =X

j¸j=r

X

S¸

t®

donde S¸ = f todas las distintas permutaciones ® = (®1 ¢ ¢ ¢ ®n) de ¸g y t® = t®11 :::t®nn. .

En particular hn;0 = 1 y hn;1 = en;1. [89]

p. ej. para tres variables, t1; t2; t3 tenemos:

h30 = 1

h3;1 = e3;1 = t1 + t2 + t3

h3;2 = t21 + t22 + t

23 + t1t2 + t1t3+ t2t3

h3;3 = t31 + t32 + t

33 + t

21t2 + t

21t3+ t

22t1 + t1t

22 + t1t

23 + t2t

23 + t1t2t3

En el caso de que r < 0 se de…ne

hn;r = 0

La función generatriz de hn;r es:

Hn(t) =nX

r=0

hn;r ¢ tr =nY

i=1

(1¡ tit)¡1

66

es decir, efectuando un desarrollo de Mac Laurin de la función Hn(t) =nQ

i=1(1 + tit)¡1

hasta orden n, sus coe…cientes serían las funciones simétricas completas hn;r [54].

Proposition 35 Entre los polinomios simétricos elementales y los completos se es-

tablece al siguiente relación

nX

r=0

(¡1)r ¢ hn;®¡r ¢ em;r = 0 8m = n = 1 y ® > m¡ n

D/.

De En(t) =nQ

i=1(1 + tit) y de Hn(t) =

nQ

i=1(1¡ tit)¡1 se tiene

Hn(t)Em(¡t) =nY

i=1

(1 ¡ tit)¡1

mY

i=1

(1 + ti(¡t)) =mY

i=n+1

(1 ¡ tit)

llamando j = i ¡ n tenemos

mY

i=n+1

(1 ¡ tit) =m¡nY

j=1

(1¡ tit) = Em¡n(¡t)

y de aquí se sigue que los coe…cientes de t® para ® > m¡ n son cero, lo que equivale

a:nX

r=0

(¡1)r ¢ hn;®¡r ¢ em;r = 0 8m = n = 1 y ® > m ¡ n Ä

Denotaremos por g [t0; t1; :::; tk] la diferencia dividida de orden k de una función g

en los valores t0; t1; :::; tk. [89]

Proposition 36 Las diferencias divididas son funciones simétricas de sus argumen-

tos.

D/.

67

Por de…nición

g[t; t1] =g(t)¡ g(t1)

t¡ t1=

g(t)

t¡ t1+g(t1)

t1 ¡ t

y obtenemos sin di…cultad

g [t; t1; t2] =g(t)

(t ¡ t1)(t¡ t2)+

g(t1)

(t1 ¡ t)(t1 ¡ t2)+

g(t2)

(t2 ¡ t)(t2 ¡ t1)

probándose por inducción que

g[t; t1;:::; tn] =g(t)

(t¡ t1)(t¡ t2) ¢ ¢ ¢ (t¡ tn)+

g(t1)

(t1 ¡ t)(t1 ¡ t2) ¢ ¢ ¢ (t1 ¡ tn)+ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ +g(tn)

(tn ¡ t)(tn ¡ t1) ¢ ¢ ¢ (tn ¡ tn¡1)

evidentemente si intercambiamos dos argumentos cualesquiera no se altera el valor de

la diferencia dividida, por tanto éstas son funciones simétricas de sus argumentos.

Proposition 37 La diferencia dividida de la función g(t) = tm se puede obtener

mediante la siguiente expresión

g[t1; t2; :::; tn] =

nX

i=1

0 tmi(ti ¡ t1)(ti ¡ t2) ¢ ¢ ¢ (ti ¡ tn)

donde la notaciónP0

indica que el factor ti ¡ ti está excluído para i = 1; 2; :::; n .

D/.

Esto último es el coe…ciente de tm¡n+1 en el desarrollo de la función

nX

i=1

tn¡1i

(ti ¡ t1) ¢ ¢ ¢ (ti ¡ ti¡1)(1¡ tit)(ti ¡ ti+1) ¢ ¢ ¢ (ti ¡ tp+1)

esta expresión es el resultado de introducir en las fracciones parciales la función

(1 ¡ t1t)¡1(1 ¡ t2t)

¡1 ¢ ¢ ¢ (1 ¡ tnt)¡1

68

y por consiguiente [60] el coe…ciente de tm¡n+1 es la suma de los productos homogéneos

de grado m¡ n + 1 de t1; :::; tn.

Entonces

g[t1; t2; :::; tn] =X

t®11 t®22 ¢ ¢ ¢ t®nn

donde el sumatorio se extiende a todos los enteros positivos, incluído el cero, que

satisfacen la relación:

®1+®2+¢¢¢+®n = m¡ n +1: Ä

Entre las diferencias divididas de g(t) = tm que denotaremos por tm[t1; :::; tn] y

los polinomios simétricos completos podemos establecer la siguiente relación:

Corollary 38 tm[t1; :::; tn] = hn;m¡n+1

D/.

Trivial, por la de…nición de hn;r y por la proposición anterior.Ä

Finalmente veremos la relación existente entre las diferencias divididas y los poli-

nomios simétricos elementales.

De…nition 39 Sea:

qi;j = tj¡1[t1; :::; ti] = hi;j¡i

y

¾i;j = (¡1)j¡iej¡1;j¡i

De…nition 40 Sean las matrices cuadradas de orden n: P = (qi;j) y S = (¾i;j)

Proposition 41 Las matrices P y S son triangulares superiores, con unos en la

diagonal principal. Además las matrices P y S son inversas.

69

D/.

Dado que hn;r = en;r = 0, para r < 0 y hn;0 = en;0 = 1 evidentemente son

triangulares superiores, con unos en su diagonal principal. Como jP j = jSj = 1 6= 0

son inversibles, bastaría con demostrar que PS = I. Las relaciones expresadas en

(de…nición no33, de…nición no34 y proposición no35), muestran que PS = I.

3.3 Cálculo recurrente de las matrices A¡tp y B¡t

p .

Sea t¤ 2 [a; b], consideramos la función simétrica completa qi;j en los valores

Hn¡k = tn¡k ¡ t¤ con k = 0; :::; i ¡ 1

Es importante precisar que trabajamos en el punto tn y denotaremos

qi;j(n) = tj¡1[Hn; :::;Hn¡(i¡1)]

La función ¾i;j en los mismos puntos se denotará por ¾i;j(n).

Por (proposición no41) las matrices cuadradas de orden k; Pk;n = (qi;j(n)) y Sk;n =

(¾i;j(n)) son inversas una de otra.

Como

Hn¡j = tn¡j ¡ t¤

y

Hj = tn ¡ tn¡j

se veri…ca que

(tn ¡ t¤) ¡ Hj = Hn¡j con j = 0; :::; i ¡ 1

Particularizando al caso: t¤ = tn tendríamos Hn¡j = ¡Hj con j = 0; :::; i ¡ 1

70

3.3.1 Cálculo recurrente de A¡tp .

El siguiente lema nos permite aproximar la diferencia dividida de orden k de la fun-

ción g(t) por sus derivadas; para simpli…car la exposición, consideramos que g(t) es

analítica.

Lemma 42 Las diferencias divididas de una función g satisfacen la siguiente pro-

piedad

g[tn; tn¡1; :::; tn¡(i¡1)] =1X

j=0

qi;j+1(n)1

j!gj)(t¤)

D/.

La demostración es realmente sencilla, si reemplazamos los desarrollos en t¤ de

g(tn); :::; g(tn¡i+1) por una adecuada expresión de diferencias …nitas.

g[tn; tn¡1; :::; tn¡(i¡1)] =1X

j=0

tj [tn ¡ t¤; :::; tn¡(i¡1) ¡ t¤]

j!gj)(t¤) =

=1X

j=0

qi;j+1(n)1

j !gj)(t¤) Ä

Si H = max©

jHnj ; :::;¯¯Hn¡(i¡1)

¯¯ª, como las qi;j(n) tienen orden j¡ i en H el (lema

no42), nos permite escribir:

g[tn; tn¡1; :::; tn¡(i¡1)] =

p¡1X

j=0

qi;j+1(n)1

j !g j)(t¤) + O(Hp¡(i¡1))

con i = 1; :::; p.

71

Considerando t¤ = tn y expresando matricialmente estas igualdades, tenemos

0

BBBBBBBBBB@

g[tn]

g[tn; tn¡1]

...

g[tn;:::; tn¡(p¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

q1;1(n) ¢ ¢ ¢ q1;p(n)

q2;1(n) ¢ ¢ ¢ q2;p(n)

.... . .

...

qp;1(n) ¢ ¢ ¢ qp;p(n)

1

CCCCCCCCCCA

0

BBBBBBBBBB@

g(tn)

g0(tn)1!

...

g(p¡1)(tn)(p¡1)!

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp)

O(Hp¡1)

...

O(H)

1

CCCCCCCCCCA

y como qi;j+1(n) = hi;j en los argumentos Hn; :::;Hn¡(i¡1), podemos escribir

0

BBBBBBBBBB@

g[tn]

g[tn; tn¡1]

...

g[tn;:::; tn¡(p¡1)]

1

CCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

1 h1;1 ¢ ¢ ¢ h1;p¡1

0 1 ¢ ¢ ¢ h2;p¡2

......

. . ....

0 0 ¢ ¢ ¢ 1

1

CCCCCCCCCCA

0

BBBBBBBBBB@

g(tn)

g0(tn)1!

...

g(p¡1)(tn)(p¡1)!

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp)

O(Hp¡1)

...

O(H)

1

CCCCCCCCCCA

La siguiente proposición nos permite el cálculo recurrente de la matriz Sp;n.

Proposition 43

¾i;j(n) = ¾i¡1;j¡1(n) ¡ Hn¡j+2¾i;j¡1(n)

con i; j = 2.

D/.

Es inmediata. [89]Ä

72

Si consideramos t¤ = tn, entonces:

Sp;n =

0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0

0 1 ! ¾2;3(n) ! ¾2;4(n) ! ¾2;5(n) ¢ ¢ ¢ ! ¾2;p(n)

& & &

0 0 1 ¾3;4(n) ! ¾3;5(n) ¢ ¢ ¢ ! ¾3;p(n)

& &

0 0 0 1 ! ¾4;5(n) ¢ ¢ ¢ ! ¾4;p(n)

......

......

.... . .

...

0 0 0 0 1

1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

El siguiente teorema nos permite obtener de forma recurrente la matriz A¡tp de…-

nida en el capítulo dos.

Theorem 44

A¡tp = Mp;n £ S tp;n £ Np;n

donde

Mp;n =

0

BBBBBBBBBB@

10!

11!

. ..

1(p¡1)!

1

CCCCCCCCCCA

y

Np;n =

0

BBBBBBBBBB@

0!

1!

. ..

(p¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCA

73

D/.

Como t¤ = tn y qi;j+1(n) = tj [0;¡H1; :::;¡Hi¡1] = j!Pj [0;¡H1; :::;¡Hi¡1], resulta

Pp;n =

0

BBBBBBBBBB@

0!P0[0] ¢ ¢ ¢ (p ¡ 1)!Pp¡1[0]

0!P0[0;¡H1] ¢ ¢ ¢ (p ¡ 1)!Pp¡1[0;¡H1]

......

0!P0[0;¡H1; :::;¡Hp¡1] ¢ ¢ ¢ (p ¡ 1)!Pp¡1[0;¡H1; :::;¡Hp¡1]

1

CCCCCCCCCCA

efectuando el producto Np;n £ Pp;n £ Mp;n se obtiene la matriz Ap. Trasponiendo e

invirtiendo el producto anterior se consigue:

A¡tp = Mp;n £ P¡tp;n £ Np;n = Mp;n £ S tp;n £ Np;n =

µ(j ¡ 1)!¾j;i(n)

(i ¡ 1)!

¶

Ä

La expresión precedente, permite obtener la matriz A¡tp por recurrencia, a partir

de la matriz Stp;n; tal y como se indicaba en la introducción al capítulo. Basándonos en

esta recurrencia, se podrían calcular, directamente, relaciones recurrentes análogas,

para los elementos di;j de la matriz A¡tp , en efecto:

Como

¾i;j =(j ¡ 1)!

(i ¡ 1)!dj;i

despejando di;j según los casos y sutituyendo en la relación propuesta en (proposición

no43), tenemos

d1;1 = 1

d1;j = 0 con j = 2; :::; p

di;1 = 0 con i = 2; :::; p

di;j =j ¡ 1

i ¡ 1di¡1;j¡1 ¡

1

i¡ 1di¡1;jHn¡i+2 con 2 · i; j · p

74

3.3.2 Cálculo recurrente de B¡tp .

Lemma 45 Sea hn+1 = tn+1¡t¤.Las diferencias divididas de una función g satisfacen

la siguiente propiedad

g[tn+1; tn; :::; tn¡(i¡1)] =1X

j=0

qi+1;j+1(n)1

j !gj)(t¤)

D/.

La demostración es realmente sencilla, si reemplazamos los desarrollos en t¤ de

g(tn+1); :::; g(tn¡i+1) en una adecuada expresión de diferencias …nitas.

g[tn+1; tn; :::; tn¡(i¡1)] =1X

j=0

tj [tn+1 ¡ t¤; :::; tn¡(i¡1) ¡ t¤]

j!g j)(t¤) =

=1X

j=0

qi+1;j+1(n)1

j !gj)(t¤) Ä

Si H = max©jhn+1j ; jHnj ; :::;

¯¯Hn¡(i¡1)

¯¯ª, como las qi;j(n) tienen orden j ¡ i en H

el (lema no45), nos permite escribir:

g[tn+1; tn; :::; tn¡(i¡1)] =p¡1X

j=0

qi+1;j+1(n)1

j !gj)(t¤) +O(Hp¡(i¡1))

con i = 1; :::; p.

Considerando t¤ = tn y expresando matricialmente estas igualdades, tenemos

0

BBBBBBBBBB@

g[tn+1]

g[tn+1; tn]

...

g[tn+1;:::; tn¡(p¡1) ]

1

CCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

q1;1(n) ¢ ¢ ¢ q1;p+1(n)

q2;1(n) ¢ ¢ ¢ q2;p+1(n)

.... . .

...

qp+1;1(n) ¢ ¢ ¢ qp+1;p+1(n)

1

CCCCCCCCCCA

0

BBBBBBBBBB@

g(tn)

g0(tn)1!

...

gp)(tn)p!

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp+1)

O(Hp)

...

O(H)

1

CCCCCCCCCCA

75

y como qi+1;j+1(n) = hi+1;j¡i en los argumentos hn+1;Hn; :::;Hn¡(i¡1), podemos escri-

bir0

BBBBBBBBBB@

g[tn+1]

g[tn+1; tn]

...

g[tn+1;:::; tn¡(p¡1) ]

1

CCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

1 h1;1 ¢ ¢ ¢ h1;p+1

0 1 ¢ ¢ ¢ h2;p+1

......

. . ....

0 0 ¢ ¢ ¢ 1

1

CCCCCCCCCCA

0

BBBBBBBBBB@

g(tn)

g0(tn)1!

...

gp)(tn)p!

1

CCCCCCCCCCA

+

0

BBBBBBBBBB@

O(Hp+1)

O(Hp)

...

O(H)

1

CCCCCCCCCCA

La siguiente proposición nos permite el cálculo recurrente de la matriz Sp;n+1.

Proposition 46

¾i;j(n) = ¾i¡1;j¡1(n) ¡ Hn¡j+3¾i;j¡1(n)

con i; j = 2.

D/.

Análoga a la proposición no 43, [89] Ä

Si consideramos t¤ = tn, entonces:

Sp;n+1 =

0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

1 ¡hn+1 0 0 0 0

0 1 ! ¾2;3(n) ! ¾2;4(n) ! ¾2;5(n) ¢ ¢ ¢ ! ¾2;p+1(n)

& & &

0 0 1 ¾3;4(n) ! ¾3;5(n) ¢ ¢ ¢ ! ¾3;p+1(n)

& &

0 0 0 1 ! ¾4;5(n) ¢ ¢ ¢ ! ¾4;p+1(n)

......

......

.... . .

...

0 0 0 0 1

1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

El siguiente teorema nos permite obtener de forma recurrente la matriz B¡tp de…-

nida en el capítulo dos.

76

Theorem 47

B¡tp =Mp;n+1 £ Stp;n+1 £ Np;n+1

donde

Mp;n+1 =

0

BBBBBBBBBB@

10!

11!

. ..

1p!

1

CCCCCCCCCCA

y

Np;n+1 =

0

BBBBBBBBBB@

0!

1!

.. .

p!

1

CCCCCCCCCCA

D/.

Como tn = t¤ y qi+1;j+1(n) = tj [hn+1; 0;¡H1; :::;¡Hi¡1] = j!Pj[hn+1; 0;¡H1; :::;¡Hi¡1],

resulta

Pp;n+1 =

0

BBBBBBBBBB@

0!P0[hn+1] ¢ ¢ ¢ p!Pp¡1[hn+1]

0!P0[hn+1; 0] ¢ ¢ ¢ p!Pp¡1[hn+1; 0]

......

0!P0[hn+1; 0; :::;¡Hp¡1] ¢ ¢ ¢ p!Pp¡1[hn+1; 0; :::;¡Hp¡1]

1

CCCCCCCCCCA

efectuando el producto Np;n+1 £ Pp;n+1 £Mp;n+1 resulta la matriz Bp. Trasponiendo

e invirtiendo el producto anterior obtenemos

B¡tp =Mp;n+1£ P¡tp;n+1£ Np;n+1 = Mp;n+1£ Stp;n+1 £Np;n+1 =

µ(j ¡ 1)!¾j;i(n)

(i ¡ 1)!

¶

Ä

77

La expresión anterior, permite obtener la matriz B¡tp por recurrencia, a partir de

la matriz S tp;n+1; tal y como se indicaba en la introducción al capítulo. Basándonos en

esta recurrencia, se podrían obtener, directamente, relaciones recurrentes análogas,

para los elementos di;j de la matriz B¡tp , en efecto:

Como

¾i;j =(j ¡ 1)!

(i ¡ 1)!dj;i

despejando di;j según los casos y sutituyendo en la relación propuesta en (proposición

no46), tenemos

d1;1 = 1

d1;j = 0 con j = 2; :::; p+ 1

d2;1 = ¡hn+1

di;1 = 0 con i = 3; :::; p + 1

di;j =j ¡ 1

i ¡ 1di¡1;j¡1 ¡

1

i ¡ 1di¡1;jHn¡i+3 con 2 · i; j · p+ 1

3.4 Rede…nición de los métodos: E.I.pE, E.I.pI y

E.I.pPC

3.4.1 Método E.I.pE

En el capítulo dos, se de…nió el método E.I.pE, de paso variable, mediante la expresión:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "pX

j=1

Gj(hn+1)pj

siendo pj con j = 1; :::; p la j-ésima columna de la matriz Z t. Es decir:

78

pj =

0

BBBBBBBBBBB@

pP

i=1g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

pP

i=1g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

...

pP

i=1gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

Basándonos en la relación:

A¡tp =

µ(j ¡ 1)!¾j;i(n)

(i ¡ 1)!

¶

se obtiene:

pj =

0

BBBBBBBBBBB@

pP

i=1

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)](j ¡ 1)!¾j;i(n)

pP

i=1g2[tn; :::; tn¡(i¡1)](j ¡ 1)!¾j;i(n)

...

pP

i=1

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)](j ¡ 1)!¾j;i(n)

1

CCCCCCCCCCCA

= (j¡1)!

0

BBBBBBBBBBB@

pP

i=1

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]¾j;i(n)

pP

i=1g2[tn; :::; tn¡(i¡1)]¾j;i(n)

...

pP

i=1

gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]¾j;i(n)

1

CCCCCCCCCCCA


²xnes la aproximación al valor de la solución en tn.

²¤i =pP

j=1(j ¡ 1)!¾j;i(n)Gj(hn+1)

²F tn;i =

µ

g1[tn; :::; tn¡(i¡1)]; ¢ ¢ ¢ ; gm[tn; :::; tn¡(i¡1)]

¶


Podemos proponer una nueva de…nición del método E.I.pE.

De…nition 49 El método explícito de p pasos E.I.pE, para sistemas lineales pertur-

bados se formula,mediante la ecuación:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "pX

i=1

¤iFn;i con n ¸ p¡ 1

79

Métodos E.I.pE, de orden bajo.

² Orden 1:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

0

BBBBBB@

G1(hn+1)

0

BBBBBB@

g1(tn)

...

gm(tn)

1

CCCCCCA

+ G2(hn+1)

0

BBBBBB@

g1 [tn; tn¡1]

...

gm [tn; tn¡1]

1

CCCCCCA

1

CCCCCCA

² Orden 2:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

0

BBBBBB@

G1(hn+1)

0

BBBBBB@

g1(tn)

...

gm(tn)

1

CCCCCCA

+

+G2(hn+1)

0

BBBBBB@

g1 [tn; tn¡1] + hng1 [tn; tn¡1; tn¡2]

...

gm [tn; tn¡1] + hngm [tn; tn¡1; tn¡2]

1

CCCCCCA

+

+ 2G3(hn+1)

0

BBBBBB@

g1 [tn; tn¡1; tn¡2]

...

gm [tn; tn¡1; tn¡2]

1

CCCCCCA

1

CCCCCCA

3.4.2 Método E.I.pI

En el capítulo dos, se de…nió el método E.I.pI, mediante la expresión:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "p+1X

j=1

Gj(hn+1)pj

80

siendo pj con j = 1; :::; p+ 1 la j-ésima columna de la matriz Z t = Dp;n+1£ B¡tp .

pj =

0

BBBBBBBBBBB@

p+1P

i=1

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

p+1P

i=1

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

...

p+1P

i=1

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]dij(i ¡ 1)!

1

CCCCCCCCCCCA

Como

B¡tp =

µ(j ¡ 1)!¾j;i(n)

(i ¡ 1)!

¶

se tiene:

pj =

0

BBBBBBBBBBB@

p+1P

i=1

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)](j ¡ 1)!¾j;i(n)

p+1P

i=1

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)](j ¡ 1)!¾j;i(n)

...

p+1P

i=1

gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)](j ¡ 1)!¾j;i(n)

1

CCCCCCCCCCCA

=

= (j ¡ 1)!

0

BBBBBBBBBBB@

p+1P

i=1g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]¾j;i(n)

p+1P

i=1

g2[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]¾j;i(n)

...

p+1P

i=1gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]¾j;i(n)

1

CCCCCCCCCCCA

dando lugar a una nueva de…nición del método E.I.pI.



²¡i =p+1P

j=1

(j ¡ 1)!¾j;i(n)Gj(hn+1)

81

²T tn;i =

µ

g1[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1) ]; ¢ ¢ ¢ ; gm[tn+1; :::; tn+1¡(i¡1)]

¶


De…nition 51 Se de…ne el método implícito de p pasos E.I.pI, para sistemas lineales

perturbados mediante la ecuación:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

p+1X

i=1

¡iTn;i con n ¸ p ¡ 1

Métodos E.I.pI, de orden bajo.

² Orden 1:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

0

BBBBBB@

G1(hn+1)

0

BBBBBB@

g1(tn+1) ¡ hn+1g1 [tn+1; tn]

...

gm(tn+1) ¡ hn+1gm [tn+1; tn]

1

CCCCCCA

+

+G2(hn+1)

0

BBBBBB@

g1 [tn+1; tn]

...

gm [tn+1; tn]

1

CCCCCCA

1

CCCCCCA

² Orden 2:

xn+1 = G0(hn+1)xn + "

0

BBBBBB@

G1(hn+1)

0

BBBBBB@

g1(tn+1) ¡ hn+1g1 [tn+1; tn]

...

gm(tn+1) ¡ hn+1gm [tn+1; tn]

1

CCCCCCA

+

+G2(hn+1)

0

BBBBBB@

g1 [tn+1; tn]¡ hn+1g1 [tn+1; tn; tn¡1]

...

gm [tn+1; tn]¡ hn+1gm [tn+1; tn; tn¡1]

1

CCCCCCA

+

82

+ 2G3(hn+1)

0

BBBBBB@

g1 [tn+1; tn; tn¡1]

...

gm [tn+1; tn; tn¡1]

1

CCCCCCA

1

CCCCCCA

3.4.3 Método E.I.pPC

De…nition 52 De…nimos el nuevo método predictor-corrector de p pasos E.I.pPC pa-

ra sistemas lineales perturbados como el que tiene como predictor a E.I.pE (de…nición

no49)y como corrector a E.I.pI(de…nición no51).

3.5 Códigos para los métodos: E.I.pE y E.I.pPC

3.5.1 Código para E.I.pE

Las variables de entrada son:

Número de ecuaciones del sistema: q

Número de pasos del método: p

Número de iteraciones: n

Tamaño de paso: h

Matriz del sistema: A

Ecuaciones del sistema: sys

Condiciones iniciales: init

Componentes de la función de perturbación: f.k con k: 1, ... ,q

Para el cálculo de las G-funciones de Scheifele se utilizan los algoritmos descritos

en el capítulo 1, cuyos códigos …guran en los anexos.

83

Se implementa la matriz recurrente A¡tp , mediante las fórmulas descritas en la

sección: ”Cálculo recurrente de las matrices A¡tp y B¡tp .” , de este capítulo.

Como inicializador del código, se ha utilizado el LSODE[adamsfunc] de Maple V.

Se obtiene la tabla de diferencias divididas, en los i primeros puntos con i =

0; :::; p¡ 1.

Por (de…nición no 49), calculamos la aproximación xp, que permite escribir la

siguiente línea de la tabla de diferencias divididas y obtener la aproximación xp+1:

Ver Anexo V.

3.5.2 Código para E.I.pPC

Las variables de entrada son:

Número de ecuaciones del sistema: q

Número de pasos del método: p

Número de iteraciones: n

Tamaño de paso: h

Matriz del sistema: A

Ecuaciones del sistema: sys

Condiciones iniciales: init

Componentes de la función de perturbación: f.k con k: 1, ... ,q

Para el cálculo de las G-funciones de Scheifele se utilizan los algoritmos descritos

en el capítulo 1, cuyos códigos …guran en los anexos.

Se implementan las matrices recurrentes A¡tp y B¡tp , mediante las fórmulas descri-

84

tas en la sección: ”Cálculo recurrente de las matrices A¡tp y B¡tp .” , de este capítulo.

Como inicializador del código, se ha utilizado el LSODE[adamsfunc] de Maple V.

Se obtiene la tabla de diferencias divididas, en los i primeros puntos con i =

0; :::; p¡ 1.

Por (de…nición no 49), calculamos la aproximación xp, que permite escribir la

siguiente línea de la tabla de diferencias divididas y obtener la aproximación xp+1:

Tomando la …la p de la tabla de diferencias divididas, por (de…nición no 51),

calculamos una corrección.

Ver Anexo VI.

3.6 Ejemplos numéricos

3.6.1 Problemas sti¤

Los modelos matemáticos de los fenómenos físicos dan lugar muchas veces a sistemas

de ecuaciones diferenciales ordinarias y P.V.I. Los PVI sti¤ aparecen por primera vez

en el estudio de resortes elásticos de rigidez variable, de ahí su nombre, [43]. Los

métodos de diferencias …nitas son excelentes para el tratamiento numérico de dichos

problemas desde que fue posible su implementación a un ordenador. El desarrollo

de los algoritmos se ha fundamentado en gran parte tanto en los teoremas sobre

convergencia y estabilidad de Dahlquist [9],[10],[11],[12], como en los tratados de

Henrici [44] , Stetter [80] y los trabajos de Gear [40] y Lambert [50]. Muchos de estos

P.V.I., presentan di…cultades de integración por los métodos numéricos tradicionales.

85

Lambert [50] propone los dos problemas siguientes:

Problema no10

BB@

x0

1

x0

2

1

CCA =

0

BB@

¡2 1

1 ¡2

1

CCA

0

BB@

x1

x2

1

CCA +

0

BB@

2 sin(t)

2(cos(t)¡ sin(t))

1

CCA

0

BB@

x1(0)

x2(0)

1

CCA =

0

BB@

2

3

1

CCA

Problema no20

BB@

x0

1

x0

2

1

CCA =

0

BB@

¡2 1

998 ¡999

1

CCA

0

BB@

x1

x2

1

CCA +

0

BB@

2 sin(t)

999(cos(t) ¡ sin(t))

1

CCA

0

BB@

x1(0)

x2(0)

1

CCA =

0

BB@

2

3

1

CCA

ambos tienen la misma solución exacta:0

BB@

x1

x2

1

CCA = 2e¡t

0

BB@

1

1

1

CCA +

0

BB@

sin(t)

cos(t)

1

CCA

Para integrar los dos problemas anteriores en el intervalo [0; 10], aplica el código

RKF45 al problema no1, con TOL = 0:01 y h0 = 0:1 necesitando un número N = 60

evaluaciones para la integración completa en este intervalo. Aplicando el mismo

código con los mismos valores de TOL y h0 se requieren N = 3373 evaluaciones para

completar la solución. Sin embargo cuando les aplica el método 2-step Gauss, (que

tiene orden cuatro como el RKF45, pero es implícito), necesita N = 29 y N = 24

evaluaciones, para el problema no1 y el problema no2, respectivamente. Se tiene dos

problemas similares que se comportan de manera muy diferente cuando se intentan

resolver numéricamente.

86

El fenómeno aquí mostrado se conoce como sti¤ness (rigidez); el problema no2 es

sti¤, el problema no1 no lo es. Ver Lambert [50].

El fenómeno no puede depender de la solución exacta, ya que es la misma para

ambos problemas, y debe ser una característica del sistema diferencial en sí mismo,

por tanto es más apropiado hablar de sistemas sti¤ antes que de problemas sti¤. Esto

induce a considerar no las soluciones particulares de los problemas no1 y no2 que

satisfacen las condiciones iniciales dadas, sino las soluciones generales del sistema, en

las que se requiere calcular los autovalores de la matriz de coe…cientes. En el problema

no1, los autovalores son ¡1 y ¡3; en el problema no2 son ¡1 y ¡1000. Aunque dar

una de…nición rigurosa de sti¤ness, es difícil, Lambert en 1973, propuso la siguiente

”de…nición”.

Sea un sistema lineal no homogéneo de coe…cientes constantes

x0= Ax + g(t)

donde x; g 2Rm y A es una matriz constante de orden m con autovalores ¸i 2 C que

se consideran distintos, con i = 1; :::; m y autovectores correspondientes ci 2 Cm. La

solución general viene dada en la forma

x(t) =mX

i=1

·iet¸ici + xp(t)

donde ·i es una constante arbitraria y xp(t) es una solución particular del sistema

anterior.

Supongamos que Re(¸i) < 0 con i = 1; :::; m. Sean ¸, ¸ 2 f¸i; i = 1; :::; mg

de…nidas del modo siguiente

¯¯Re¸

¯¯ = jRe ¸ij = jRe¸j

87

con i = 1; :::; m. Consideramos la ratio sti¤ness como la razónjRe¸jjRe¸j

que proporciona

una medida de la rigidez del sistema.

En estos términos un sistema lineal de coe…cientes constantes es sti¤ si todos sus

autovalores tienen parte real negativa y la ratio sti¤ness es grande.

Sin embargo esta ”de…nición” no es enteramente satisfactoria, pues se encuentran

ejemplos que la cumplen y no son estrictamente sti¤. [50].

Quizá la mejor ”de…nición” sea la que interpreta lo que ocurre en la práctica: ”Si

un método numérico con una región …nita de estabilidad absoluta, aplicado a un sis-

tema con cualesquiera condiciones iniciales, se ve forzado a usar en un cierto intervalo

de integración, un tamaño de paso que es excesivamente pequeño con respecto a la

suavidad de la solución exacta, en ese intervalo, entonces el sistema se dice sti¤ en

ese intervalo.” [50]

3.6.2 Ejemplo 1

En este ejemplo numérico, vamos a comparar las aproximaciones obtenidas mediante

el método E.I.pPC, aplicado al problema no1 de Lambert, del que sabemos que es no

sti¤ [50], con las obtenidas por el LSODE.

0

BB@

x0

1

x0

2

1

CCA =

0

BB@

¡2 1

1 ¡2

1

CCA

0

BB@

x1

x2

1

CCA +

0

BB@

2 sin(t)

2(cos(t)¡ sin(t))

1

CCA

0

BB@

x1(0)

x2(0)

1

CCA =

0

BB@

2

3

1

CCA

88

con solución exacta:0

BB@

x1

x2

1

CCA = 2e¡t

0

BB@

1

1

1

CCA +

0

BB@

sin(t)

cos(t)

1

CCA

y autovalores ¸ = ¡3 y ¸ = ¡1.

Para un método explícito de p = 7 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de paso h =

0:01), obtenemos la grá…ca, (Figura no 3.3) del logaritmo decimal del módulo del error

relativo del método E.I.pE (grá…ca azul), contrastada con la del logaritmo decimal

del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10¡15(grá…ca

roja).

Para un método predictor-corrector de p = 7 pasos y 1000 iteraciones (tamaño

de paso h = 0:01), obtenemos la grá…ca, (Figura no 3.4) del logaritmo decimal del

módulo del error relativo del método E.I.pPC (grá…ca azul), contrastada con la del

logaritmo decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con

tol = 10¡15(grá…ca roja).

Vamos ahora a comparar las aproximaciones obtenidas mediante el método E.I.pPC,

aplicado al problema sti¤ no2 de Lambert [50] con las obtenidas mediante el código

LSODE, Hindmarsh 1980 [1], de paso y orden variable que incorpora Adams Moulton

de orden p : 1 5 p 5 12 para la fase no sti¤ y BDF de orden 1 5 p 5 5 para la

fase sti¤. Este método combina las capacidades de los códigos Gear y GearB, para

resolver problemas sti¤. Ola Fatunla, S [64].

0

BB@

x0

1

x0

2

1

CCA =

0

BB@

¡2 1

998 ¡999

1

CCA

0

BB@

x1

x2

1

CCA +

0

BB@

2 sin(t)

999(cos(t) ¡ sin(t))

1

CCA

89

0

BB@

x1(0)

x2(0)

1

CCA =

0

BB@

2

3

1

CCA

con solución exacta, idéntica a la del problema no 1 anterior, y valores propios ¸ =

¡1000 y ¸ = ¡1.





roja).





tol = 10¡15(grá…ca roja).

Si comparamos los resultados obtenidos en el problema no 1 y el no 2, de este

ejemplo, se observa que un método numérico potente, como es el LSODE, no presenta

mayor di…cultad en la integración del problema no 1, pero es de resaltar la diferencia

de coste computacional, ver …guras 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, cuando se trata de un problema

sti¤, como es el no 2.

Para un método predictor-corrector de p = 7 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de

paso h = 0:01), obtenemos la grá…ca (Figura no 3.7) del logaritmo decimal del módulo

del error relativo del método E.I.pE (grá…ca azul), contrastada con la del logaritmo

90

decimal del módulo del error relativo de los siguientes códigos:

- MGEAR[msteppart], Maple V, con errorper = Float(1;¡13) (grá…ca ver-

de).

- LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10¡15(grá…ca roja).

- GEAR, Maple V, con errorper = F loat(1;¡12) (grá…ca negra).

Las grá…cas de tiempo de acceso a la CPU, medido en seg., para el método E.I.pE

de tres, cinco, siete y diez pasos, contrastadas con los tiempos de acceso a la CPU del

LSODE[backfunc], MGEAR[msteppart], GEAR, están representadas en la (Figura no

3.8).

Las grá…cas de tiempo de acceso a la CPU, medido en seg., para el método E.I.pPC

de tres, cinco, siete y diez pasos, contrastadas con los tiempos de acceso a la CPU del

LSODE[backfunc], MGEAR[msteppart], GEAR, están representadas en la siguiente

(Figura no 3.9).

3.6.3 Ejemplo 2

Consideremos el problema siguiente, propuesto, en [57], donde la matriz de coe…cientes

del sistema, tiene autovalores con parte real negativa.

0

BBBBBB@

x0

1

x0

2

x0

3

1

CCCCCCA

=

0

BBBBBB@

0 2 ¡1

¡2 ¡4 2

¡2 ¡3 1

1

CCCCCCA

0

BBBBBB@

x1

x2

x3

1

CCCCCCA

+2"(x3¡ x2)2

0

BBBBBB@

0

1

1

1

CCCCCCA

91

con las condiciones iniciales0

BBBBBB@

x1(0)

x2(0)

x3(0)

1

CCCCCCA

=

0

BBBBBB@

1

1

2

1

CCCCCCA

+ "

0

BBBBBB@

1

¡2

¡2

1

CCCCCCA

solución exacta0

BBBBBB@

x1(t)

x2(t)

x3(t)

1

CCCCCCA

= e¡t

0

BBBBBB@

1 + sin(t)

cos(t) ¡ sin(t)

1 + cos(t) ¡ sin(t)

1

CCCCCCA

+ "e¡2t

0

BBBBBB@

1

¡2

¡2

1

CCCCCCA

y autovalores ¸ = ¡1, ¸ = ¡1 + i, ¸ = ¡1¡ i.





roja), y " = 10¡3.





tol = 10¡15(grá…ca roja), y " = 10¡3:


de paso h = 0:01), obtenemos la grá…ca (Figura no 3.12) del logaritmo decimal del


logaritmo decimal del módulo del error relativo de los siguientes códigos:

92


de).



3.6.4 Ejemplo 3

Consideramos el sistema, propuesto en [57], con autovalores imaginarios puros, si-

guiente:

0

BBBBBBBBBB@

x0

1

x0

2

x0

3

x0

4

1

CCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

¡1 1 1 0

¡1 1 1 1

¡1 0 0 ¡1

4 ¡4 0 0

1

CCCCCCCCCCA

0

BBBBBBBBBB@

x1

x2

x3

x4

1

CCCCCCCCCCA

+ "

0

BBBBBBBBBB@

0

0

¡8 sin(3t)

¡5e¡t

1

CCCCCCCCCCA

con las condiciones iniciales0

BBBBBBBBBB@

x1(0)

x2(0)

x3(0)

x4(0)

1

CCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

1

1

0

2

1

CCCCCCCCCCA

+ "

0

BBBBBBBBBB@

0

¡1

4

1

1

CCCCCCCCCCA

solución exacta0

BBBBBBBBBB@

x1(t)

x2(t)

x3(t)

x4(t)

1

CCCCCCCCCCA

=

0

BBBBBBBBBB@

cos(t)

cos(t) + sin(2t)

¡ sin(t)¡ sin(2t)

2 cos(2t)

1

CCCCCCCCCCA

+ "

0

BBBBBBBBBB@

sin(3t)

sin(3t) ¡ e¡t

3 cos(3t) + e¡t

e¡t

1

CCCCCCCCCCA

93

y autovalores: ¸ = i, ¸ = ¡i, ¸ = 2i, ¸ = ¡2i.

Para un método explícito de p = 8 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de paso

h = 0:1), obtenemos la grá…ca, (Figura no 3.13) del logaritmo decimal del módulo


decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10¡10

(grá…ca roja), y " = 10¡3.





tol = 10¡10(grá…ca roja), y " = 10¡3:






de).



94

3.6.5 Ejemplo 4

Veamos un caso inestable de autovalores con parte real positiva.

0

BB@

x0

1

x0

2

1

CCA =

0

BB@

1 0

0 1

1

CCA

0

BB@

x1

x2

1

CCA + "

px1

0

BB@

0

1

1

CCA

con las condiciones iniciales

0

BB@

x1(0)

x2(0)

1

CCA =

0

BB@

1

0

1

CCA

y solución exacta 0

BB@

x1

x2

1

CCA = et

0

BB@

1

2"(1¡ e¡t2 )

1

CCA

Para un método explícito de p = 8 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de paso

h = 0:1), obtenemos la grá…ca, (Figura no 16) del logaritmo decimal del módulo


decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, (grá…ca roja).

Con tol = 10¡12 y " = 10¡3.



módulo del error relativo del método E.I.pPC (grá…ca azul), contrastada con la del lo-

garitmo decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, (grá…ca

roja).Con tol = 10¡12 y " = 10¡3.



95




de).



3.6.6 Ejemplo 5

Para aproximar la solución de un PVI de segundo orden como:

x00

= f (t; x; x0

) con x(t0) = x0 y x0

(t0) = x0

0

se reduce la ecuación diferencial a un sistema de dos ecuaciones de primer orden.

Para ello bastará sustituir x0= v transformándose el PVI anterior en:

x0

= v

v0= f(t; x; v)

x(t0) = x0 y v(t0) = x0

0

Si empleamos un procedimiento como el que acabamos de describir, con frecuencia

podemos reducir un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior a uno de

ecuaciones de primer orden, despejando primero la derivada de orden máximo de cada

variable dependiente y luego haciendo las sustituciones adecuadas para las derivadas

de orden menor.[94].

Consideremos el PVI:

96

x00

1 + 2x00

2 = x0

1¡ 5x1 + et

x00

2 = 2x1 ¡ 2x2 +3t2

x1(0) = 1; x0

1(0) = 0

x2(0) = 0; x0

2(0) = 0

Si de…nimos x0

1 = v y x0

2 = w, las ecuaciones anteriores se transforman en:

x0

1 = v

x0

2 = w

v0= ¡9x1+ 4x2 + v + e

t ¡ 6t2

w0= 2x1 ¡ 2x2+ 3t

2

x1(0) = 1, x2(0) = 0; v(0) = 0; w(0) = 0

y autovalores ¸ = 0:444315 § 3:11327i ,¸ = 0:0556848§ 1:004i.






de).



97

3.6.7 Ejemplo 6

Consideremos el problema, altamente oscilatorio, propuesto por G. Denk [14].

0

BB@

x0

1

x0

2

1

CCA =

0

BB@

0 1

¡{2 0

1

CCA

0

BB@

x1

x2

1

CCA +{2

0

BB@

0

t

1

CCA

con { = 314:16, t 2 [0; 1] y condiciones iniciales

0

BB@

x1(0)

x2(0)

1

CCA =

0

BB@

10¡5

1¡ 10¡5{cos{

sin {

1

CCA

solución exacta0

BB@

x1

x2

1

CCA =

0

BB@

t+ 10¡5³cos({ t)¡

cos{

sin {sin({ t)

´

1¡ 10¡5{³sin({ t) +

cos{

sin{cos({ t)

´

1

CCA

y autovalores: ¸ = { i = 314:16i y ¸ = ¡{ i = ¡314:16i.






de).



98

3.7 Figuras capítulo 3

3.7.1 Ejemplo 1

LSODE

Método adaptado

t

log(error)

LSODE

Método adaptado

t

log(error)

Figura no 3.3.

Método explícito de 7 pasos, tamaño de paso 0.01



Método adaptado = 262.60 seg

99

LSODE

Método adaptado

t

log(error)

LSODE

Método adaptado

t

log(error)

Figura no 3.4.

Método PC de 7 pasos, tamaño de paso 0.01




100

t

log(error)

LSODE

Métodoadaptado

Figura no 3.5.

Método explícito de 7 pasos, tamaño de paso 0.01




101

t

log(error)

Método

adaptado

LSODE

Figura no 3.6.





102

t

log (error)

MGEAR

LSODE

GEAR

Método adaptado

Figura no 3.7.


MGEAR[msteppart] con errorper Float(1,-13)


GEAR con errorper Float(1,-12)

Tiempos de CPU.

LSODE = 574.27 seg

MGEAR = 13.44 seg

GEAR= = 1830.45 seg


103

Tiempos de la CPU en seg..

log (error)LSODE

GEARMGEAR

Método de tres pasos

Método decinco pasos

Método de siete pasos

Método dediez pasos

Figura no 3.8.

Grá…cas de tiempo de acceso a la CPU, del método

E.I.pE, contrastadas con los métodos LSODE,

MGEAR y GEAR.

104

Método detres pasos

Método de cinco pasos

Método de siete pasos

Métodode diezpasos

LSODE

GEAR

MGEAR

Tiempos de la CPU en seg

log (error)

Figura no 3.9.

Grá…cas de tiempo de acceso a la CPU, del método

E.I.pPC, contrastadas con los métodos LSODE,

MGEAR y GEAR.

105

3.7.2 Ejemplo 2

t

log(error)

LSODE

Método

adaptado

Figura no 3.10.

Método explícito de 8 pasos, tamaño de paso 0.1 y " igual a 10¡3

LSODE[backfunc] con tolerancia 10¡15.

Tiempos de CPU.LSODE =75.76 seg

Método adaptado =167.67 seg

106

t

log(error)LSODE

Método

adaptado

Figura no 3.11.

Método PC de 8 pasos, tamaño de paso 0.1 y " igual a 10¡3

LSODE[backfunc] con tolerancia 10¡15.



107

t

log (error)

Método adaptado

LSODE

GEAR

MGEAR

Figura no 3.12.


MGEAR con errorper Float(1,-15)



Tiempos de CPU.

LSODE = 153.61 seg

MGEAR = 60.27 seg

GEAR = 42.2 seg


108

3.7.3 Ejemplo 3

t

log(error)

LSODE

Mëtodo

adaptado

Figura no 3.13.





109

t

log(error)

LSODE

Método adaptado

Figura no 3.14





110

LSODE

t

log (error)

Métodoadaptado

GEAR

MGEAR

Figura no 3.15





Tiempos de CPU.

LSODE = 982.65 seg

MGEAR = 307.11 seg

GEAR = 90.82 seg


111

3.7.4 Ejemplo 4

t

log(error)

LSODE

Método

adaptado

Figura no 3.16





112

t

log(error)

Método

adaptado

LSODE

Figura no 3.17





113

t

log (error)

MGEAR

LSODE

GEAR

Método adaptado

Figura no 3.18





Tiempos de CPU.

LSODE = 574.27 seg

MGEAR = 263.58 seg

GEAR = 102.53 seg


114

3.7.5 Ejemplo 5

t

log(error)

MGEAR

LSODE

GEAR

Método adaptado

Figura no 3.19

Método PC de 8 pasos, tamaño de paso 0.01.




Tiempos de CPU.

LSODE = 544.27 seg

MGEAR = 55.60 seg

GEAR = 48.36 seg


115

3.7.6 Ejemplo 6

LSODE

MGEAR

GEAR

Método adaptado

t

log(error)

LSODE

MGEAR

GEAR

Método adaptado

t

log(error)

Figura no 3.20

Método PC de 9 pasos, tamaño de paso 0.01.




Tiempos de CPU.

LSODE = 8848.92 seg

MGEAR = 3534.13 seg

GEAR = 196.60 seg


Anexo I

> w0:=proc(kmax)

> local Y,i,k,g0,C,sigma;

> with(linalg):

> Digits:=:

> Y:=array(0..kmax,0..kmax);

> sigma:=proc(indice,matriz)

> local f,c,resultado;

> f:=rowdim(matriz);

> c:=coldim(matriz);

> resultado:=(array(1..f,1..c,identity)+matriz/indice)^indice;

> RETURN(resultado);

> end;

> for i from 0 to kmax do Y[i,0]:=sigma(2^i,H) od;

> for k from 1 to kmax do

> for i from 0 to kmax-k do

> Y[i,k]:=Y[i+1,k-1]+1/(2^k-1)*(Y[i+1,k-1]-Y[i,k-1]);

117

118

> od;

> od;

>Y[0,kmax];

> C:= evalf(evalm(Y[0,kmax]));

> RETURN(C);

> end:

Anexo II

> w1:=proc(kmax)

> local Y,i,k,g1,C,sigma1;

> with(linalg):

> Digits:=:

> Y:=array(0..kmax,0..kmax):

> sigma1:=proc(n,matriz)

> local resultado:

> resultado:=sum(’(product((n-p),p=0..(j-1))/(j!*n^j))*matriz^(j-1)’,’j=1..n’):

> RETURN(resultado):

> end:

> for i from 0 to kmax do Y[i,0]:=sigma1(2^i,H) od:



> Y[i,k]:=Y[i+1,k-1]+1/(2^(k-1))*(Y[i+1,k-1]-Y[i,k-1]):

> od

> od:

119

120

> Y[0,kmax]:

> C:= evalf(evalm(Y[0,kmax])):

> RETURN(t*C):

> end:

Anexo III

> w2:=proc(kmax)


> with(linalg):

> Digits:=:



> local resultado:



> end:




> Y[i,k]:=Y[i+1,k-1]+1/(2^(k-1))*(Y[i+1,k-1]-Y[i,k-1]):

> od

> od:

121

122

> Y[0,kmax]:


> RETURN(t^2*C):

> end:

Anexo IV

> w3:=proc(kmax)


> with(linalg):

> Digits:=:



> local resultado:



> end:




> Y[i,k]:=Y[i+1,k-1]+1/(2^(k-1))*(Y[i+1,k-1]-Y[i,k-1]):

> od

> od:

123

124

> Y[0,kmax]:


> RETURN(t^3*C):

> end:

Anexo V

> restart:

> Digits:=:

> with(linalg):

> q:=:

> p:=:

> n:=:

> h:=:

Matriz del sistema

> A:=matrix(q,q,[]);

> zz:=array(1..q,1..1):

Ecuaciones del sistema

> f.1:=;

> f.2:=:

> sys:=:

> init:=:

> fcns :=[]:

125

126

Cálculo de las funciones G

> P:=inverse(A):

> J:=evalm(array(identity,1..q,1..q)):

> H:=evalm(h*A):

> w0:=proc(kmax)









> end;



> for i from 0 to kmax-k do Y[i,k]:=Y[i+1,k-1]+1/(2^k-1)*(Y[i+1,k-1]-Y[i,k-1]);

> od

> od;

> Y[0,kmax];


> RETURN(C);

> end:

127

> kmax:=15:

> g0:=w0(kmax):

> g:=array(0..p):

> g[0]:=evalm(w0(kmax)):

> for j from 1 to p do:

> g[j]:=evalm(P&*(g[j-1]-h^(j-1)/(j-1)!*J)):

> od:

Matriz recurrente.

> S:=array(1..p,1..p):

> S[1,1]:=1:

> for i from 2 to p do

> S[i,1]:=0:

> od:

> for j from 2 to p do

> S[1,j]:=0:

> od:



> S[i,j]:=S[i-1,j-1]-S[i,j-1]*(2-j)*h:

> od:

> od:

Cálculo de ¤i

> l:=array(0..p):

128


> l[j]:=evalm(sum(’S[i,j]*(i-1)!*g[i]’, ’i’=1..j));

> od:

Cálculo de las diferencias divididas.

> x:=array(0..n):

> for i from 0 to n do

> x[i]:=array(1..q,1..1);

> od:

> t:=array(0..n):

> for i from 0 to n do t[i]:=h*i od:

> for j from 1 to q do y.j:=array(0..n):

> od:

> for k from 1 to q do

> for i from 0 to (p-1) do y.k[i]:=evalf(f.k(t[i],x[i])) od:

> od:

> for j from 1 to q do DIF.j:=array(0..n,0..(p-1)) od:


> for i from 0 to (p-1) do DIF.k[i,0]:=y.k[i] od:

> od:


> for j from 1 to (p-1) do

> for i from j to (p-1) do

> DIF.k[i,j]:=(DIF.k[i,j-1]-DIF.k[i-1,j-1])/(t[i]-t[i-j]);

129

> od:

> od:

> od:

Aplicación del método explícito.

> a:=array(1..p):


> a[i]:=array(1..q,1..1);

> od:

> for i from (p-1) to (n-1) do



> a[j][k,1]:=DIF.k[i,j-1];

> od:

> od:

> x[i+1]:=evalm(g[0]&*x[i]+sum(’l[j]&*a[j]’,’j’=1..p));


> y.k[i+1]:=evalf(f.k(t[i+1],x[i+1])):

> od:

> for j from 1 to q do

> DIF.j[i+1,0]:=y.j[i+1]:

> od:

> for k from 1 to (p-1) do

> for u from 1 to q do

130

> DIF.u[i+1,k]:=(DIF.u[i+1,k-1]-DIF.u[i,k-1])/(t[i+1]-t[i+1-k]):

> od:

> od:

> od:

Anexo VI

> restart:

> Digits:=:

> with(linalg):

> q:=:

> p:=:

> n:=:

> h:=:

Matriz del sistema.

> A:=matrix(q,q,[]);

Ecuaciones del sistema.

> f.1:=

> f.2:=

> sys:=:

> init:=:

> fcns :=

Cálculo de las funciones G

131

132

> P:=inverse(A):

> J:=evalm(array(identity,1..q,1..q)):

> H :=evalm(h*A):

> w0:=proc(kmax)


> with(linalg):








> end;



> for i from 0 to kmax-k do Y[i,k]:=Y[i+1,k-1]+1/(2^k-1)*(Y[i+1,k-1]-Y[i,k-1]);

> od

> od;

> Y[0,kmax];


> RETURN(C);

> end:

133

> kmax:=15:

> g0:=w0(kmax):

> g:=array(0..p+1):

> g[0]:=evalm(w0(kmax)):

> for j from 1 to p+1 do:

> g[j]:=evalm(P&*(g[j-1]-h^(j-1)/(j-1)!*J)):

> od:

Cálculo de la matriz recurrente, explícito.

> S:=array(1..p,1..p):

> S[1,1]:=1:


> S[i,1]:=0:

> od:


> S[1,j]:=0:

> od:



> S[i,j]:=S[i-1,j-1]-S[i,j-1]*(2-j)*h:

> od:

> od:

Cálculo de la matriz recurrente, implícito.

> Q:=array(1..p+1,1..p+1):

134

> Q[1,1]:=1:

> Q[1,2]:=-h:

> for i from 2 to p+1 do

> Q[i,1]:=0:

> od:

> for j from 3 to p+1 do

> Q[1,j]:=0:

> od:



> Q[i,j]:=Q[i-1,j-1]-Q[i,j-1]*(3-j)*h:

> od:

> od:

Cálculo de las ¤i.

> l:=array(0..p):


> l[j]:=evalm(sum(’S[i,j]*(i-1)!*g[i]’, ’i’=1..j));

> od:

Cálculo de las ¡i.

> ll:=array(0..p+1):


> ll[j]:=evalm(sum(’Q[i,j]*(i-1)!*g[i]’, ’i’=1..j));

> od:

135

Cálculo de las diferencias divididas.

> x:=array(0..n):


> x[i]:=array(1..q,1..1);

> od:

> X:=array(0..n):


> X[i]:=array(1..q,1..1);

> od:

> t:=array(0..n):

> for i from 0 to n do t[i]:=h*i od:

> for j from 1 to q do y.j:=array(0..n):

> od:


> for i from 0 to (p-1) do y.k[i]:=evalf(f.k(t[i],x[i])) od:

> od:

> for j from 1 to q do DIF.j:=array(0..n,0..p) od:


> for i from 0 to (p-1) do DIF.k[i,0]:=y.k[i] od:

> od:


> for j from 1 to (p-1) do

> for i from j to (p-1) do

136

> DIF.k[i,j]:=(DIF.k[i,j-1]-DIF.k[i-1,j-1])/(t[i]-t[i-j]);

> od:

> od:

> od:

Aplicación del método predictor-corrector.

> a:=array(1..p):


> a[i]:=array(1..q,1..1);

> od:

> b:=array(1..p+1):


> b[i]:=array(1..q,1..1);

> od:

> for i from (p-1) to (n-1) do



> a[j][k,1]:=DIF.k[i,j-1];

> od:

> od:

> x[i+1]:=evalm(g[0]&*x[i]+sum(’l[j]&*a[j]’,’j’=1..p));


> y.k[i+1]:=evalf(f.k(t[i+1],x[i+1])):

> od:

137

> for j from 1 to q do

> DIF.j[i+1,0]:=y.j[i+1]:

> od:

> for k from 1 to p do

> for u from 1 to q do

> DIF.u[i+1,k]:=(DIF.u[i+1,k-1]-DIF.u[i,k-1])/(t[i+1]-t[i+1-k]):

> od:

> od:



> b[j][k,1]:=DIF.k[i+1,j-1];

> od;

> od;

> X[i+1]:=evalm(g[0]&*x[i]+sum(’ll[j]&*b[j]’,’j’=1..p+1));

> x[i+1]:=evalm(X[i+1]):

> od:

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integración numérica de sistemas lineales...

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