integraciÓn numÉrica con...

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Informática y Programación. Curso 2018-19

C. Conde, A. Fidalgo, R. Gómez, A. López, M. Pilar Martínez de la Calle

Sesión10ª INTEGRACIÓN NUMÉRICA

CON MATLAB

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C. Conde, A. Fidalgo, R. Gómez, A. López, M. Pilar Martínez de la Calle 2

PRIMER OBJETIVO: Utilizar fórmulas numéricas, de las que se conocen sus coeficientes y las abscisas del soporte que utilizan, para evaluar integrales en un intervalo dado

USO DE FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

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Las fórmulas de integración numérica que aproximan derivadas de orden k en una abscisa x* son de la forma:


n(k

J JJ 1

f (x*) c·f(s )=

≈ ∑donde cJ son los coeficientes de la fórmula y sJ las abscisas del soporte sobre el que se construye la fórmula Si {c} es el vector de coeficientes y {s} el de abscisas del soporte, el uso de la fórmula se reduce a realizar el producto escalar del vector {c} por el vector {f(s)}. Esto en MATLAB se puede realizar de distintas maneras, como se ilustra en el siguiente ejemplo

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Prográmese en MATLAB el cálculo del valor aproximado de siendo f(x) = sen(x·π/2), mediante la fórmula del trapecio compuesta, para el caso a=0, b=1, y subdividiendo (a, b) en 20 subintervalos de idéntica longitud.

EJERCICIO (P8_EJ1)

Solución: Si dividimos (0,1) en 20 subintervalos de la misma longitud, cada uno tiene una longitud de 0.05. Si en cada uno de ellos integramos mediante la regla del trapecio ….


b

a

f(x)·dx∫

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con h =0.05 y sJ = (J-1)·0.05.


f(si-1) f(si)

si-1 si J 1

J

sJ J 1

s

f(s ) f(s )f(x)·dx h· (J 1,2,...,20)2

+

++ ≈ = ∫

( )J 1

J

s1 20 201 21

JJ 1 J 20 s

f(s ) f(s )f(x)·dx f(x)·dx h· f s2

+

= =

+ = ≈ +

∑ ∑∫ ∫

h h si+1

f(si+1)

si+2

f(si+2)

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En resumen:

f(x)= sin(x·π/2)

s={0, 0.05, 0.1, 0.15, …., (J-1)·0.05, ….0.90, 0.95, 1.00}

c={0.025, 0.05, 0.05, …., 0.05, ….0.05, 0.05, 0.025}

DATOS

Función:

RESULTADOS:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 21 21VAP c ·f s c ·f s ... c ·f s= + + +

1

0

VEX f(x)·dx= ∫ (Comando int)

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clear syms x N=20; h=1/N; s=[0:1:N]*h; c(1,2:1:N)=h; c(1,1)=h/2; c(1,N+1)=h/2; funcion(x)= sin(pi*x./2); vex=eval(int(funcion(x),0, 1)); f=eval(funcion(s)); vap=0; for J=1:1:N+1 vap=vap+f(J)*c(J); end disp(['Valor exacto = ', num2str(vex),... ' Valor aproximado = ', num2str(vap)])

Con un bucle


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En resumen:

f(x)= sin(x·π/2)

s={0, 0.05, 0.1, 0.15, …., (J-1)·0.05, ….0.90, 0.95, 1.00}

c={0.025, 0.05, 0.05, …., 0.05, ….0.05, 0.05, 0.025}

DATOS

Función:

RESULTADOS:

( )21

J JJ 1

VAP c ·f s=

= ∑1

0

VEX f(x)·dx= ∫

(Sumatorio; comando sum)

(Comando int)

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clear syms x N=20; h=1/N; s=[0:1:N]*h; c(1,2:1:N)=h; c(1,1)=h/2; c(1,N+1)=h/2; funcion(x)= sin(pi*x./2); vex=eval(int(funcion(x),0, 1)); f=eval(funcion(s));

vap=sum(c.*f); disp(['Valor exacto = ', num2str(vex),... ' Valor aproximado = ', num2str(vap)])


Sumando elementos del vector obtenido multiplicando elemento a elemento

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En resumen:

f(x)= sin(x·π/2)

s={0, 0.05, 0.1, 0.15, …., (J-1)·0.05, ….0.90, 0.95, 1.00}

c={0.025, 0.05, 0.05, …., 0.05, ….0.05, 0.05, 0.025}

DATOS

Función:

RESULTADOS:

c f(s)VAP = •1

0

VEX f(x)·dx= ∫

(Producto escalar; comando dot)

(Comando int)

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vap=dot(c,f); disp(['Valor exacto = ', num2str(vex),... ' Valor aproximado = ', num2str(vap)])

Usando el comando dot( )


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En resumen:

f(x)= sin(x·π/2)

s={0, 0.05, 0.1, 0.15, …., (J-1)·0.05, ….0.90, 0.95, 1.00}

c={0.025, 0.05, 0.05, …., 0.05, ….0.05, 0.05, 0.025}

DATOS

Función:

RESULTADOS:

{ }{ }·c f(s) TVAP =

1

0

VEX f(x)·dx= ∫

(Producto matricial; operador *)

(Comando int)

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vap=c*f.’; disp(['Valor exacto = ', num2str(vex),... ' Valor aproximado = ', num2str(vap)])


Producto de vector fila por vector columna

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EN TODOS LOS CASOS

>> P8_EJ1 Valor exacto = 0.63662 Valor aproximado = 0.63629


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EJERCICIO PROPUESTO P10_EP1

Prográmese en MATLAB el cálculo del valor aproximado de siendo f(x) = sen(x·π/2) para el caso a = 0, b=1, y subdividiendo (a, b) en 20 subintervalos de idéntica longitud (s2J-1, s2J+1), e integrando en cada uno de ellos mediante la fórmula de Simpson:

b

a

f(x)·dx∫

( ) ( ) ( )( )2J 1

2J 1

s2J 1 2J 1

2J 1 2J 2J 1s

s sf(x)·dx f (s 4·f (s f (s6

+

−

+ −− +

−≈ + +∫

C={ h/6, 2h/3, h/3, 2h/3,h/3, 2h/3, ……,2h/3, h/6}

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( ) ( ) ( )( )2J 1

2J 1

s

2J 1 2J 2J 1s

hf(x)·dx f (s 4·f (s f (s (J 1,...,20)6

+

−

− +≈ + + =∫

f(s2J-1) f(s2J+1) f(s2J)

h

s2J-1 s2J+1 s2J

( )2J 1

2J 1

s1 20 40 39

1 41 J JJ 1 J 2 J 30 s

J 2 J 2

0.05f(x)·dx f(x)·dx f (s f(s ) 4· f(s ) 2· f(s )6

+

−= = =

∆ = ∆ =

= ≈ + + +

∑ ∑ ∑∫ ∫

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EJERCICIO PROPUESTO P10_EP1 clear syms x f(x) N=20; h=1/N; s=[0:1:2*N]*h/2; c(1,1)=h/6;c(1,3:2:2*N-1)=1*h/3; c(1,2:2:2*N)=2*h/3;c(1,2*N+1)=h/6; funcion(x)= sin(pi*x./2); vex=eval(int(funcion(x),0, 1)); f=eval(funcion(s)); vap=dot(c,f); disp(['Valor exacto = ', num2str(vex),... ' Valor aproximado = ', num2str(vap)]) >> P7_EP1 Valor exacto = 0.63662 Valor aproximado = 0.63662

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EVOLUCIÓN DEL ERROR EN F. INT. NUMÉRICA

SEGUNDO OBJETIVO: Analizar la evolución del error entre el valor exacto y los valores aproximados por fórmulas numéricas al aplicarlas para estimar integrales cuando se varía la distancia entre puntos del soporte

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2-1º) Escribir una función MATLAB llamada WEDDLE_S, en la que tomando como argumentos de entrada: a (extremo izqdo. del intervalo de integr.) b (extremo dcho. del intervalo de integr.) F= {F1, F2, … ,F7} (valores en el soporte) calcule el valor aproximado de la integral de f(x) en el intervalo [a, b] mediante la fórmula de Weddle:

( )b 7

J JJ 1a

f(x)dx VAPROX (b a)· c ·F x=

≈ = − ∑∫

donde c={41/840, 216/840, 27/840, 272/840, 27/840, 216/840, 41/840}


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2-2º) La fórmula de Weddle utiliza un soporte equidistante de 7 puntos en [a, b], con s1 = a y s7 = b. Usando la función anterior, escríbase un script que permita evaluar aproximadamente:

hx

h

e ·dx−∫

para los siguientes valores de h: 1., 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 y 0.0150625 Sabiendo que el valor exacto de la integral es: VEXAC = eh – e-h represéntese en escala logarítmica la evolución del error y obténgase el factor de reducción de error al utilizar un tamaño de h respecto al anterior.


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function [valor]=weddleS(a,b,F) c=[41,216,27,272,27,216,41]*(b-a)/840; valor=dot(c,F); end


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clear syms x h=1; funcion(x)= exp(x); for J=1:1:7 vex(J)=eval(int(funcion(x),-h, h)); h7=2*h/6; s=[-h:h7:h]; F=eval(funcion(s)); [vap(J)]=weddleS(-h,h,F); disp(['2^',num2str(1-J),... ' Valor exacto = ', num2str(vex(J)),... ' Valor aproximado = ', num2str(vap(J))]) errtr(J)=vex(J)-vap(J); h=h/2; end


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errtr plot([0:-1:-6],log10(abs(errtr)),'-sb')

>> P10_EJ2 2^0 Valor exacto = 2.3504 Valor aproximado = 2.3504 2^-1 Valor exacto = 1.0422 Valor aproximado = 1.0422 2^-2 Valor exacto = 0.50522 Valor aproximado = 0.50522 2^-3 Valor exacto = 0.25065 Valor aproximado = 0.25065 2^-4 Valor exacto = 0.12508 Valor aproximado = 0.12508 2^-5 Valor exacto = 0.06251 Valor aproximado = 0.06251 2^-6 Valor exacto = 0.031251 Valor aproximado = 0.031251


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errtr plot([0:-1:-6],log10(abs(errtr)),'-sb')

errtr = 1.0e-06 * Columns 1 through 3 -0.335323150579825 -0.000642119468708 -0.000001248001702 Columns 4 through 6 -0.000000002498002 0.000000000083267 0.000000000041633 Column 7 -0.000000000062450

Reducciones de 2-9

Los errores de redondeo

impiden la reducción del

error


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Una fórmula que permite aproximar la integral entre a=1 y b= 1+3h es la siguiente: donde h es un valor real positivo. Se pide: 1º) Escríbase una función MATLAB, en la que tomando como argumentos de entrada: h (valor real estrictamente positivo) F (valores de una función en {1, 1+h, 1+2h, 1+3h}. se calcule un valor aproximado de la integral de la función entre 1 y 1+3h.


( )1 3

1

3( )· (1) 3 (1 ) 3· (1 2 ) (1 3 )8

+

≈ + + + + + +∫h hf x dx f f h f h f h

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2º) Escríbase un programa en el que usando la función desarrollada en el apartado anterior se evalúen las aproximaciones de las integrales de la función f(x)=ex·cos(x) en el punto x*=0, utilizando los valores de h = 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, …, 2-20. Además, el programa debe obtener para cada valor de h el error cometido y representar la evolución del error en una gráfica logarítmica.


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function [valor]=fP10_EP2(h,F) c=[1,3,3,1]*3*h/8; valor=dot(c,F); end


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clear syms x f(x) h=1; funcion(x)= exp(x)*cos(x); for J=1:1:21 vex(J)=eval(int(funcion(x),1, 1+3*h)); s=[1:h:1+3*h]; F=eval(funcion(s)); [vap(J)]=fP10_EP2(h,F); disp(['2^',num2str(1-J),... ' Valor exacto = ', num2str(vex(J)),... ' Valor aproximado = ', num2str(vap(J))]) errtr(J)=vex(J)-vap(J); h=h/2; end (…)


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errtr plot([0:-1:-20],log10(abs(errtr)),'-sb') xlabel('2^p (POTENCIA)') ylabel('log10(|ERROR|)')

>> P10_EP2 2^0 Valor exacto = -40.3819 Valor aproximado = -38.6615 2^-1 Valor exacto = -3.1125 Valor aproximado = -3.1059 2^-2 Valor exacto = 0.44033 Valor aproximado = 0.44023 2^-3 Valor exacto = 0.44645 Valor aproximado = 0.44645 2^-4 Valor exacto = 0.25557 Valor aproximado = 0.25557 2^-5 Valor exacto = 0.13344 Valor aproximado = 0.13344 2^-6 Valor exacto = 0.067866 Valor aproximado = 0.067866 2^-7 Valor exacto = 0.034188 Valor aproximado = 0.034188 2^-8 Valor exacto = 0.017154 Valor aproximado = 0.017154 2^-9 Valor exacto = 0.0085914 Valor aproximado = 0.0085914 2^-10 Valor exacto = 0.0042993 Valor aproximado = 0.0042993 2^-11 Valor exacto = 0.0021505 Valor aproximado = 0.0021505 2^-12 Valor exacto = 0.0010755 Valor aproximado = 0.0010755


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2^-13 Valor exacto=0.0005378 Valor aproximado = 0.0005378 2^-14 Valor exacto=0.00026891 Valor aproximado = 0.00026891 2^-15 Valor exacto=0.00013446 Valor aproximado = 0.00013446 2^-16 Valor exacto=6.7231e-05 Valor aproximado = 6.7231e-05 2^-17 Valor exacto=3.3616e-05 Valor aproximado = 3.3616e-05 2^-18 Valor exacto=1.6808e-05 Valor aproximado = 1.6808e-05 2^-19 Valor exacto=8.4039e-06 Valor aproximado = 8.4039e-06 2^-20 Valor exacto=4.202e-06 Valor aproximado = 4.202e-06


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errtr = Columns 1 through 3 -1.720363432786186 -0.006615880230806 0.000102975188247 Columns 4 through 6 0.000005553650871 0.000000195687271 0.000000006368027 Columns 7 through 9 0.000000000202294 0.000000000006368 0.000000000000200 Columns 10 through 12 0.000000000000006 0.000000000000000 -0.000000000000000 Columns 13 through 15 -0.000000000000000 -0.000000000000000 -0.000000000000000 Columns 16 through 18 -0.000000000000000 -0.000000000000000 -0.000000000000000 Columns 19 through 21 -0.000000000000000 0.000000000000000 -0.000000000000000


Dep

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ad P

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CÁLCULO DE FÓRM. DE DERIVACIÓN NUMÉRICA

TERCER OBJETIVO: Utilizar las capacidades de CÁLCULO SIMBÓLICO de MATLAB para determinar fórmulas de integración numérica sobre un soporte dado, integrando el polinomio interpolador de Lagrange.

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3º) Para los siguientes valores de h: 1., 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 y 0.0150625, se quiere obtener el valor aproximado de: Escribe una función que calcule la tabla de diferencias divididas a partir del soporte y de los valores de una función en él, y un script que calcule el valor aproximado de la integral de la función a través de la integración del polinomio interpolador de Lagrange evaluado mediante la fórmula de Newton. Se utilizará como soporte: {x1=-h, x2 = 0, x3 = h/2, x4 = h, x5 =3h/2, x6 = 2h}

2·hx

h

e ·sin(x)·dx−

−∫

CÁLCULO DE FÓRM. DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

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function [A]=difdiv(s,F) N=length(s); A=zeros(N); for I=1:1:N A(I,1)=F(I); end for J=2:1:N mfil=N-J+1; for I=1:1:mfil A(I,J)=(A(I+1,J-1)-A(I,J-1))/... (s(I+J-1)-s(I)); end end

% Inicializo la tabla de diferencias % 1ª columna con valores nodales

% Fórmula de Newton de Dif. Div.

% mfil: último elemento que se % calculará en la columna J


% Nº de abscisas del soporte

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clear all % Declaramos la variable independiente(x) % y definimos la función syms x f=@(x) exp(-x).*sin(x); % Asignamos valores al nº de puntos (N=6) % y al nº de casos con distintos valores % del parámetro h (NCASOS = 7), iniciali- % zando h al doble de su mayor valor. N=6; NCASOS=7; h=2; (continúa)


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% La variable de control del siguiente % bucle (ICASO) representa el “caso de % valor distinto de h” tratado. for ICASO=1:1:NCASOS % Comenzamos cada caso dividiendo h a la % mitad, definiendo los extremos del in- % tervalo de integración (a = -h, b = 2h), % los 6 puntos del soporte de integración %(vector s) y los 6 valores que toma la % función a integrar en cada abscisa del % soporte (vector f)... h=h/2; a=-h; b=2*h; S=[a; 0; h/2; h; 3*h/2; b]; F=f(S); (continúa)


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% ... Calculamos la tabla de diferencias % divididas(almacenadas en la matriz DD).. DD=difdiv(S,F); %... y usamos la fórmula de Lagrange para % calcular el polinomio interpolador ... p(x)=DD(1,1)+x-x; for I=2:1:N aux=1; for K=1:1:I-1 aux=aux*(x-S(K)); end p(x)=simplify(p(x)+DD(1,I)*aux); end

(continúa)


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% ... que integrado entre a y b nos % proporciona el valor aproximado de % la integral. VAPR(ICASO)=eval(int(p(x),x,a,b)); VEX(ICASO)=eval(int(f(x),x,a,b)); end

Save as P10_EJ3.m

>> P10_EJ3 >> format short >> VAPR VAPR=-0.4336 0.0742 0.0517 0.0179 0.0051 0.0014 0.0004 >> VEX VEX =-0.4427 0.0741 0.0517 0.0179 0.0051 0.0014 0.0004


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(continúa)

EJERCICIO PROPUESTO P10_EP3 3º) a) Escribe una función que calcule las integrales en el intervalo (a, b) de los n polinomios de base de Lagrange asociados a un soporte de n abscisas . Se considerarán argumentos de entrada de la función: s Vector de n abscisas distintas a extremo izquierdo del intervalo de integración b Extremo derecho del intervalo de integración. Y el argumento de salida será un vector c conteniendo los n coeficientes de la fórmula.

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EJERCICIO PROPUESTO P10_EP3 b) Escríbase un programa MATLAB que utilice la función anterior para calcular los valores aproximados de la integral en el intervalo (-h/2, 3h/2) de la función f(x) = sen(x)·e1-cos(x), sobre el soporte: {s1=-h, s2 = 0, s3 = h/2, s4 = h, s5 =3h/2, s6 = 2h} asignándole sucesivamente a h los valores:10, 5, 2.5 y 1.25. El programa deberá representar en una gráfica la evolución del del error cometido.

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INICIO Datos: s, a,b n longitud de s

1º) Para I, desde 1, con paso 1, hasta n, hacer:

2º) Para I, desde 1 , con paso 1, hasta n, hacer:

Integrar entre a y b:

Fin bucle en I.

Fin bucle en I.

Resultados: c FIN

← ∫b

I Ia

c L (x)·dx


( )( )=

≠

−←

−∏n

JI

J 1 I JJ I

x sL (x)

s s

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INICIO Datos: s, a,b n longitud de s

Para I, desde 1, con paso 1, hasta n, hacer: aux 1 Para J, desde 1, con paso 1 , hasta n, hacer: Si (I ≠ J) entonces hacer: aux aux·((x-sj)/(si-sj)) Fin condición. Fin bucle en J. Li aux Fin bucle en I.

(Detalles de la “1ª Parte”)

….


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Para I, desde 1, con paso 1, hasta n, hacer:

Fin bucle en I.

(Detalles de la “2ª Parte”)

….

Resultados: c FIN


← ∫b

I Ia

c L (x)·dx

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function [c]=fP10_EP3(s,a,b) syms aux x L % PARTE 1ª: Cálculo de los polinomios de % base de Lagrange asociados al soporte n=length(s); for I=1:1:n aux=1; for J=1:1:n if (J~=I) aux=aux*(x-s(J))/(s(I)-s(J)); end end L(I)=aux; end (…)


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% PARTE 2ª: Integramos entre a y b cada una % de las expresiones de los polinomios de % base. for I=1:1:n c(I)=eval(int(L(I),a,b)); end end

(…)

ARCHIVAMOS ESTA FUNCIÓN EN EL FICHERO: fP10_EP3.m


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clear % DEFINO LA FUNCIÓN SIMBÓLICA syms x f(x)=sin(x).*exp(1-cos(x)); % DEFINO LOS VALORES DE h Y EL Nº DE CASOS h=[10,5,2.5,1.25,0.625]; NCASOS=length(h); for ICASO=1:1:NCASOS % PARA CADA CASO .... % ... SELECCIONO EL VALOR DE h A USAR H=h(ICASO); % ... DEFINO EL SOPORTE Y LOS EXTREMOS % DEL INTERVALO s=[-H, 0,H/2,H,3*H/2,2*H]; a=-H/2; b=3*H/2;


(…)

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% ... CALCULO LOS COEFICIENTES [c]=fP10_EP3(s,a,b); % ... EVALÚO f(x)EN EL SOPORTE... F=eval(f(s)); % ... EVALÚO VALOR APROXIMADO Y EXACTO VAPR(ICASO)=sum(c.*F); VEX(ICASO)=eval(int(f(x),a,b)); % ... Y EL ERROR COMETIDO ERRT(ICASO)=... abs(VEX(ICASO)- VAPR(ICASO)); end % DIBUJO LOS ERRORES (EN ESCALA LOG) plot(log(h),log(ERRT),'-or')


SALVO EN EL FICHERO: P10_EP3.m

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>> P10_EP3

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

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CÁLCULO DE FÓRM. DE DERIVACIÓN NUMÉRICA

CUARTO OBJETIVO: Utilizar el Método de Coeficientes Indeterminados para encontrar fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio y la expresión de su error de truncamiento

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C. Conde, A. Fidalgo, R. Gómez, A. López, M. Pilar Martínez de la Calle

P10-EJ4: Mét. de Coefs. Indeterminados

51

4º) a) Dado un soporte de n abscisas sobre el que se quiere calcular una Fórmula de Integración Numérica de Tipo Interpolatorio que aproxime integrales sobre el intervalo (a, b), escríbase una función MATLAB que calcule las abscisas equivalentes en un intervalo (α, β ) utilizando la expresión de la transformación que proceda entre las que se recogen en la figura siguiente.

α β

ξ1 ξ2 ξJ ξn

a b

s1 s2 sJ sn

· ·a b b x·a− −+

β αξ

β α β α=

− −

· ·b a xb

·a b a

− −= +

−β α−

α βξ

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La función pedida consiste en programar:

JJ· ·b a sb a b a

·− −= +

−α

−α β β

ξ (J = 1, 2, …, n)

function [xi]=fP10_EJ4(s,a, b, alpha, beta)

A= (alpha*b - beta*a)/(b-a);

B= (beta-alpha)/(b-a);

xi= A+B*s;

end


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b) Dado un soporte ξ de n abscisas con las que se quiere calcular una F.I.N.T.I. para aproximar el valor de integrales definidas sobre el intervalo (-1, 1), utilícese el Método de Coeficientes Indeterminados para calcular los coeficientes de dicha fórmula y la expresión del error de truncatura de la misma.

Solución: La fórmula buscada será de la forma:

Error Soporte

Coeficientes


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Obligamos a que la fórmula sea exacta para g(ξ)=1:

Obligamos a que la fórmula sea exacta para g(ξ)=ξ :

Obligamos a que la fórmula sea exacta para g(ξ)=ξk (k=2,…n-1):

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...


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En resumen debemos resolver el sistema:

con:


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En cuanto al error, buscaremos el menor entero m > n para el que se verifique:

siendo la expresión del error: Rg(-1,1)=K·g(m(ξ*)

con:


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function [omega,K,m]=fP10_MCIREF(xi) n=length(xi); % CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES M=ones(n,n); b=zeros(n,1); for J=2:1:n M(J,1:n)=M(J-1,1:n).*xi(1:n); end for J=1:2:n b(J,1)=2/J; end omega=inv(M)*b;

(cont.)


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% CÁLCULO DEL ORDEN DE EXACTITUD Y % DE LA CONSTANTE DE ERROR xip=M(n,1:n).*xi(1:n); Vap=dot(omega,xip); m=n; if(m~=2*floor(m/2)) Vex=0; else Vex=2/(m+1); end

(cont.)

(cont.) P10-EJ4: Mét. de Coefs. Indeterminados

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while ((Vex==Vap)&(m<2*n)) m=m+1; if(m~=2*floor(m/2)) Vex=0; else Vex=2/(m+1); end xipp=xip; xip(1:n)=xipp(1:n).*xi(1:n); Vap=dot(omega,xip); end K=(Vex-Vap)/factorial(m); end

(cont.) P10-EJ4: Mét. de Coefs. Indeterminados

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c) Escríbase una función que tomando como argumentos de entrada: ξ un vector conteniendo las n abscisas para una fórmula que aproxime integrales en (-1, 1) ω un vector conteniendo los n pesos para una fórmula que aproxime integrales en (-1, 1) K Escalar que contiene la constante del error de la fórmula m Entero representando el orden de exactitud de la fórmula. a Extremo izquierdo de un intervalo b Extremo derecho de un intervalo obtenga la fórmula equivalente en el intervalo (a, b) así como la expresión del error de truncatura


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function [s, c, OEX, CTE]= ...

fP10_EJ4c(xi,omega, K, m, a, b)

A= (a+b)/2;

B= (b-a)/2;

s= A+B*xi; % Abscisas de la fórmula

c= B*omega; % Pesos de la fórmula

OEX= m-1; % Orden de exactitud

% Constante de la expresión del error

CTE= (K/2^(m+1))*(b-a)^(m+1);

end


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d) Utilícense las funciones anteriores en un programa que nos permita obtener la fórmula de tipo interpolatorio y su expresión del error, para integrar en el intervalo (a=2, b=5), una función f(x) sobre el soporte {1.8, 2.5, 3.2, 3.9, 4.6, 5.3}. Utilícese la fórmula anterior para calcular los valores aproximados de las integrales sobre (2, 5) de las funciones (x-a)p con p = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Compárese con el valor exacto y confírmese que no se contradice el orden de exactitud determinado por el programa.


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clear syms x f(x) a=2; b=5; sop=[1.8, 2.5, 3.2, 3.9, 4.6, 5.3]; [xi]=fP10_EJ4(sop,a, b, -1, 1); [omega,K,m]=fP10_MCIREF(xi); [s, c, OEX, CTE]= ... fP10_EJ4c(xi,omega, K, m, a, b) vfs=f(s); Vapr=vfs*c

(cont.)


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for p=0:1:10 vf=(s-a).^p; VA(p+1)=dot(c,vf); VE(p+1)=((b-a)^(p+1))/(p+1); ErrorT(p+1)=abs(VE(p+1)-VA(p+1)); end plot([0:1:10],ErrorT,'-sr')

(cont.)


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>> P10_EJ4d s = 1.8000 2.5000 3.2000 3.9000 4.6000 5.3000 c = 0.0800 0.8431 0.5904 0.7278 0.7153 0.0434 OEX = 5 CTE = -8.8755e-04 Vapr = (8097*f(5/2))/9604 + (192*f(9/5))/2401 + (405*f(16/5))/686 + (3435*f(23/5))/4802 + (3495*f(39/10))/4802+(417*f(53/10))/9604


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geni

eros

de

Min

as y

Ene

rgía

U

nive

rsid

ad P

olité

cnic

a de

Mad

rid



>> ErrorT ErrorT = 1.0e+03 * Columns 1 through 6 0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0.0000 Columns 7 through 11 0.0006 0.0066 0.0436 0.2320 1.0937

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

int((x-a)p

,2..5), (Potencia)

0

200

400

600

800

1000

1200

Err

or


Dep

to. d

e In

geni

ería

Geo

lógi

ca y

Min

era

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.S. d

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geni

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de

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ad P

olité

cnic

a de

Mad

rid



EJERCICIO PROPUESTO (P10_EP4) P10_EP4. a) Escribir una función llamada fP10_TaylorR, en la que dado un soporte ξ de n abscisas con las que se quiere calcular una F.I.N.T.I. para aproximar el valor de integrales definidas sobre el intervalo (-1, 1), se combinen desarrollos en serie de Taylor para calcular los coeficientes de dicha fórmula así como la expresión del error de truncatura de la misma.

b) Utilícese la función anterior, así como las funciones fP10_EJ4 y fP10_EJ4c en un programa que nos permita obtener la fórmula de tipo interpolatorio y su expresión del error, para integrar en el intervalo (a= -π/2, b= π/2), una función f(x) sobre el soporte {-π/2, -π/4, 0, π/4, π/2}.

Dep

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Mad

rid



P10_EP4. c) Utilícese la fórmula anterior para calcular los valores aproximados de las integrales de las funciones xp con p = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 sobre el intervalo (a= -π/2, b= π/2) Compárense con el valor exacto y confírmese que no se contradice el orden de exactitud determinado por el programa.

EJERCICIO PROPUESTO (P10_EP4)

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SOLUCIÓN: -1 1

ξ1 ξ2 ξJ ξn

Siendo G(ξ) una primitiva de g(ξ):

exact1

o

1

g G 1V ( )d ( ) ( )G 1 G 0 1 G 0 )1( ) (−

= = − −ξ = + −ξ =∫(iv (v (viG 0 G 0 G 0 G 0 G1 1 1 1 1( ) '( ) · "( ) · '''( ) · ( ) · ( ) · ( ) ...

2 6 24 1200

720G 0 G 0= + + + + + + + −

(iv (v (viG 0 G 0 G 0 G 0 G1 1 1 1 1( ) '( ) · "( ) · '''( ) · ( ) · ( ) · ( ) ...2 6 24 120

0720

G 0 G 0− + − + − + − + =

(v (vii1 1 12 '( ) · '''( ) · ( ) · ( ) ...3 60 2520

G 0 G 0 G 0 G 0= + + + + =

(iv (vig 0 g 0 g 01 1 12 ( ) · ''( ) · ( ) · ( ) ...3 60 25

g20

0= + + + +


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rid



-1 1

ξ1 ξ2 ξJ ξn Por otra parte, la fórmula nos conduce a:

n n

aprox J J J JJ 1 J 1

V · ( ) · ( )g g 0= =

γ ξ γ ξ= = + =∑ ∑n

2 3 4 (ivJ J J J J

J 1

1 1 1· ( ) · '( ) · "( ) ·g 0 g 0 g 0 g 0 g'''( ) · ( )2 6 24

0=

= + + + + + γ ξ ξ ξ ξ∑

5 (v 6 (viJ J

1 1· ( ) · ( ) ...120 720

g 0 g 0 + +ξ +

ξ =

n n n n2 3

J J J J J J JJ 1 J 1 J 1 J 1

1 1· ( ) · · '( ) · · "(g 0 g 0 g 0 g) · · 0'''( )2 6= = = =

= + + + +

ξ

γ ξ γ γ ξ γ∑ ∑ ∑ ∑n n n

4 (iv 5 (v 6 (viJ J J J J J

J 1 J 1 J 1

1 1 1· · ( ) · · ( ) · · ( ) ...24 1

g 0 g 0 g 020 720= = =

+ + + +

ξ γ ξ γ

ξ γ∑ ∑ ∑


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-1 1

ξ1 ξ2 ξJ ξn Obligando a coincidir los coeficientes de g(0), g’(0), …, g(n-1(0) en los desarrollos de Vexacto y Vaprox se tiene:

Coef. de g(0): n

J 1 2 nJ 1

2 ... 2=

= → + +γ γ +γ γ =∑n

J J 1 1 2 2 n nJ 1

· 0 · · ... · 0=

= → +ξ γ ξ γ + ξ+ξ γ γ =∑Coef. de g‘(0): n

2 2 2 2J J 1 1 2 2 n n

J 1

2 2· · · ... ·3 3=

= → +ξ γ ξ γ ξ ξ+ γ+ =γ∑Coef. de g”(0):

nn 1 (n 1) (n 1) (n 1)J J n 1 1 2 2 n n n

J 1· b · · ... · b− − − −

=

ξ γ ξ γ ξ γ ξ γ= → + + + =∑

Coef. de g(n-1(0): ……………………………………………………..


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-1 1

ξ1 ξ2 ξJ ξn En resumen debemos resolver el sistema:

1 1

1 2 3 n 2 22 2 2 21 2 3 n 3 3

n 1 n 1 n 1 n 11 2 3 n n n

1 1 1 ... 1...

·.

bbb

b

..

...− − − −

γ ξ ξ ξ ξ γ ξ ξ ξ ξ γ ξ

= ξ ξ ξ γ

con: 2 si J es imparb JJ

0 si J es par

=

El mismo que en la función fP8_MCIREF


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-1 1

ξ1 ξ2 ξJ ξn Como hemos obligado a que coincidan los términos con derivadas anteriores a g(n(0) el error estará dado por :

(mexacto aprox mg

m nR ( ) V V r · (1,1 g 0)

∞

=

− =− = ∑donde: n

mJ J

J 1

m nm

J JJ 1

·si m es impar

m!r·

2 si m es par(m 1)! m!

=

=

γ ξ

−= γ ξ − +

∑

∑

Y todo consiste en buscar el primer valor de m > n para el que rm NO es nulo

El mismo que en la función fP108_MCIREF


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EN CONCLUSIÓN: La función fP10_Taylor_R coincide con la función fP10_MCIREF antes escrita.


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function [gamma,K,m]=fP10_TaylorR(xi) % DETERMINACIÓN COEFICIENTES FÓRMULA n=length(xi); M=ones(n,n); b=zeros(n,1); for J=2:1:n M(J,1:n)=M(J-1,1:n).*xi(1:n); end for J=1:2:n b(J,1)=2/J; end gamma=inv(M)*b;

(cont.)


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% CÁLCULO DE EXPRESÓN DEL ERROR xip=M(n,1:n).*xi(1:n); Vap=dot(gamma,xip); % Valor con fórmula m=n; if(m~=2*floor(m/2)) % Valor exacto Vex=0; else Vex=2/(m+1); end

(cont.)

(cont.)


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% SI DIFIEREN MENOS QUE EL epsilon DE % MATLAB SE INCREMENTA ORDEN Y SE % RECALCULAN VALOR EXACTO Y APROXIMADO while ((abs(Vex-Vap)<eps)&(m<2*n)) m=m+1; if(m~=2*floor(m/2)) Vex=0; else Vex=2/(m+1); end xipp=xip; xip(1:n)=xipp(1:n).*xi(1:n); Vap=dot(gamma,xip); end

(cont.)

(cont.)


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% CONSTANTE DE EXPRESIÓN DE ERROR K=(Vex-Vap)/factorial(m); end

(cont.) EJERCICIO PROPUESTO (P10_EP4)

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b) clear syms x f(x) a=-pi/2; b=pi/2; sop=[a, -pi/4, 0, pi/4, b]; [xi]=fP10_EJ4(sop,a, b, -1, 1); [gamma,K,m]=fP10_TaylorR(xi); [s, c, OEX, CTE]=fP10_EJ4c(xi,gamma, K,... m, a, b) vfs=f(s); Vapr=vfs*c


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>> P10_EP4 s = Columns 1 through 3 -1.570796326794897 -0.785398163397448 0 Columns 4 through 5 0.785398163397448 1.570796326794897 c = 0.244346095279207 1.117010721276370 0.418879020478640 1.117010721276372 0.244346095279206 OEX = 5 CTE = -0.001560584711773 ...


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... OEX = 5 CTE = -0.001560584711773 (-14/8971) Vapr = (2*pi*f(0))/15 + (7*pi*f(-pi/2))/90 + (7*pi*f(pi/2))/90 + (16*pi*f(-pi/4))/45 + (16*pi*f(pi/4))/45

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

2

f(x)·dx · 7·f 32·f 12·f 0 32·f 7·f2 4 4 290

π

π−

π π π π π= − + − + + + −∫

( )6 (v14 ·f z8971

− π


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% COMPLETAMOS P10_EP4 con lo que sigue: for p=0:1:10 vf=(s-a).^p; VA(p+1)=dot(c,vf); VE(p+1)=((b-a)^(p+1))/(p+1); ErrorT(p+1)=abs(VE(p+1)-VA(p+1)); end plot([0:1:10],ErrorT,'-sr') xlabel(... 'int((x-a)^p,-pi/2..pi/2), (Potencia)') ylabel('Error')

c) EJERCICIO PROPUESTO (P10_EP4)

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0 1 2 3 4 5 6 7

int((x-a)p

,-pi/2..pi/2), (Potencia)

0

2

4

6

8

10

12

14

Err

or

Detalle con potencias 0 a 7ª


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FÓRMULAS COMPUESTAS

QUINTO OBJETIVO: Construir fórmulas de intergación numérica de tipo interpolatorio COMPUESTAS a partir de fórmulas simples.

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Se denominan fórmulas de integración numérica COMPUESTAS a aquellas que se resultan de subdividir el intervalo de integración en N subintervalos y aplicando en cada uno de ellos una fórmula de integración numérica simple

a b

a1 b1≡a2 bJ-1≡aJ bJ≡aJ+1 bN-1≡aN bN≡aN+1

J

J

bb N

J 1a a

f(x)·dx f(x)·dx=

=

∑∫ ∫

I1 IJ IN


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a b

a1 b1≡a2 bJ-1≡aJ bJ≡aJ+1 bN-1≡aN bN≡aN+1

( )J J

J

bb nN N(J) (J)k k

J 1 J 1 k 1a a

f(x)·dx f(x)·dx c ·f s= = =

= ≈ ∑ ∑ ∑∫ ∫

I1 IJ IN

bJ-1≡aJ bJ≡aJ+1 s1

(J) sk(J) snJ

(J)


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Caso más frecuente: Todos los subintervalos tienen la misma longitud y en todos ellos se usa la misma fórmula simple. EJERCICIO P10_EJ4: a) Escríbase un subprograma que calcule una aproximación del valor de la integral sobre (a, b) de una función f(x), subdividiendo el intervalo en N subintervalos y utilizando en cada uno de ellos la fórmula de Simpson. Serán argumentos de entrada N, a, b y la función f(x).


b) Utilícese la función anterior para evaluar la aproximación de la integral sobre (-π, π ) de la función f(x) =x6- x4 + x , con N = 2, 4, 8, 16, ….,1024.

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J

J

bb N

J 1a a

f(x)·dx f(x)·dx=

= ≈

∑∫ ∫

( ) ( )N

J J 1J J 1

J 1

a aH· f a 4·f f a6 2

++

=

+ = + + = ∑

( ) ( )N N

J J 1J

J 1 J 2

a aH· f a f(b) 4· f 2· f a6 2

+

= =

+ = + + + ∑ ∑

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FÓRMULAS COMPUESTAS function vapr=SimpsonC(a, b, N,f) % Definimos la longitud de cada intervalo % n=2N+1 abscisas que se utilizan H=(b-a)/N; s=[a:H/2:b]; n=length(s); % Sumamos el valor de la función en los % extremos del intervalo .... vapr=f(s(1))+f(s(n)); % ... más 4 veces el valor de la función % en los puntos medios de cada % subintervalo ... vapr=vapr+4*sum(f(s(2:2:n-1)));

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% ... más 2 veces el valor de la función % en los extremos de cada subintervalo % (con excepción del 1º y del último)... vapr=vapr+2*sum(f(s(3:2:n-2))); % ... y multiplicamos la suma por H/6 vapr=H*vapr/6; end

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clear % Declaramos simbólica la variable x % y la función f(x) syms x f(x) % Definimos los extremos del intervalo % de integración y la función a integrar a=0; b=10; f(x)= x^6-x^4+x; % Para N=2,4,8,16,32,64,128, 256, 512 y % 1024 usamos la función simpsonC para % aproximar el valor aproximado % de la integral en cada caso

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N=1; for J=1:1:11 N=N*2; H(J)=(b-a)/N; s=[a:H(J)/2:b]; valor=SimpsonC(a,b,N,f); vapr(J)=valor; H(J)=(b-a)/N; end % Calculamos el valor exacto y % el valor absoluto del error % cometido vex =eval(int(f(x),x,a,b)); ErrT=abs(vex-vapr);

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% Dibujamos la evolución del error plot(log10(H),log10(ErrT),'-sr') xlabel('Tamaño de los subintervalos') ylabel('log10(Error)')

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EJERCICIO P10_EP5: a) Escríbase un subprograma que calcule una aproximación del valor de la integral sobre (a, b) de una función f(x), subdividiendo el intervalo en N subintervalos y utilizando en cada uno de ellos la fórmula de 3/8. Serán argumentos de entrada N, a, b y la función f(x).

b) Utilícese la función anterior para evaluar la aproximación de la integral sobre (2, 12 ) de la función f(x) =x6-x4+x , con N = 2, 4, 8, 16, ….,1024.

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J

J

bb N

J 1a a

f(x)·dx f(x)·dx=

= ≈

∑∫ ∫

( ) ( )N

J J 1 J J 1J J 1

J 1

2a a a 2aH· f a 3·f 3·f f a8 3 3

+ ++

=

+ + = + + = ∑

( )N

J J 1 J J 1

J 1

2a a a 2aH· f a f(b) 3· f f8 3 3

+ +

=

+ + = + + + + ∑

( )N

JJ 2

2· f a=

+

∑


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SEXTO OBJETIVO: Conocer algunos comandos utilizados por MATLAB para evaluar numéricamente integrales (los comandos trapz( ) e integral( )).

Comandos de integración numérica en MATLAB

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v = trapz(Y,X,dim)

Evalúa mediante la fórmula del trapecio compuesta una función que en las abscisas especificadas en el vector X toma los valores indicados en el vector Y. Si no se especifica X se considera que todas las abscisas distanuna de otra el valor 1. En otros términos, este comando realiza la operación: ( )

N 1 N 1J 1 J 1i 1 i 2 1 N N 1

i i 1 1 J NJ 1 J 2

X XX X X X X Xv · Y Y Y · Y · Y ·2 2 2 2

− −+ −+ −

+= =

−− − − = + = + +

∑ ∑ X e Y pueden ser una matrices y en ese caso se integra cada columna de Y sobre cada fila o columna de X. El argumento dim se utiliza para indicar si se actúa sobre filas (dim=1) o sobre columnas (dim = 2) de X.


Dep

to. d

e In

geni

ería

Geo

lógi

ca y

Min

era

E.T

.S. d

e In

geni

eros

de

Min

as y

Ene

rgía

U

nive

rsid

ad P

olité

cnic

a de

Mad

rid



v = integral(f,a,b,nombre,valor)

Evalúa numéricamente la integral entre a y b de la función handle (on line) f. Utiliza un método compuesto, en el que va intoduciendo cada vez más subintervalos hasta obtener dos valores aproximados suficientemente precisos (por defecto, subdivide hasta que coincidan los 10 primeros decimales). Los pares de argumentos nombre y valor son opcionales y pueden ser alguno de los siguientes:


Dep

to. d

e In

geni

ería

Geo

lógi

ca y

Min

era

E.T

.S. d

e In

geni

eros

de

Min

as y

Ene

rgía

U

nive

rsid

ad P

olité

cnic

a de

Mad

rid



v = integral(f,a,b,nombre,valor)

'AbsTol' nombre

número>0 valor

Asegura error absoluto me- nor o igual al valor especifi-cado. Por defecto es 10-10

'RelTol' Número>0 Idem. con error relativo

'Waypoints' Vector Integra utilizando, entre otras, las abscisas que se escriban como elementos del Vector

'ArrayValued' 0 o 1 false o true

Si se elige 1 o True se indica que f es una función vectorial.


Dep

to. d

e In

geni

ería

Geo

lógi

ca y

Min

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E.T

.S. d

e In

geni

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de

Min

as y

Ene

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U

nive

rsid

ad P

olité

cnic

a de

Mad

rid



>> syms x f(x) >> f(x)= x.^3.*sin(x); >> vex=eval(int(f(x),1.,2.93)) vex = 11.3766 >> XX=[1.,1.43, 1.87,2.16,2.93]; FF=f(XX); >> vtrap= eval(trapz(XX,FF)) vtrap = 10.1955 >>vint=integral(@(x) x.^3.*sin(x),... XX(1),XX(end)) vint = 11.3766


Dep

to. d

e In

geni

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Geo

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ca y

Min

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E.T

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de

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as y

Ene

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ad P

olité

cnic

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Mad

rid



integraciÓn numÉrica con...

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