instrumentos de segunda ordem a definição matemática de equação de segunda ordem: para o caso...
TRANSCRIPT
Instrumentos de Segunda Ordem
iooo qbqa
dt
dqa
dt
qda 0012
2
2
A definição matemática de equação de segunda ordem:
im
mm
mo qbDbDbqadt
dqa
dt
qda 0
110
012
02
2 ...
Para o caso somente são importantes os parâmetros a2, a1, a0 e b0
iooo qbqa
dt
dqa
dt
qda 0012
2
2
iooo q
a
bq
a
a
dt
dq
a
a
dt
qd
a
a
0
0
0
0
0
12
2
0
2
iooo Kqq
dt
dq
a
a
dt
qd
a
a
0
12
2
0
2
Manipulações Algébricas da Equação de 2a ordem
Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)
0
2
0
2
0
1
0
1
2,1
2
4
aa
aa
aa
jaa
2
02
a
an
2
0
a
an
Sensibilidade Estática
0
0
a
bK
Freqüência Natural não amortecida
Definições para a Equação de 2a Ordem
20
1
2 aa
a
é chamado de coeficiente de amortecimento
2
0
a
an
0
0
a
bK
20
1
2 aa
a
Sensibilidade Estática
Freqüência Natural não amortecida (rad/seg)
coeficiente de amortecimento (adimensional)
Definições para a Equação de 2a Ordem
iooo Kqq
dt
dq
a
a
dt
qd
a
a
0
12
2
0
2
io KqqDa
aD
a
a
1
0
12
0
2
ionn
KqqDD
1
22
2
Usando as Definições
12
)(
2
2
nn
i
o
DD
KD
q
q
Função de Transferência de um Sistema de 2o grau
k c
F
Sistema Mecânico com Mola e
Amortecedorm
Um sistema Masa-Mola-Amortecedor
k c
F
Podemos identificar como entrada a força
externa aplicada ao sistema
m
Identificando entradas e saídas do sistema
•A saída do sistema será identificada como o deslocamento da massa
•Denominaremos este deslocamento de x
F_mola
F_amortecedor
m
F_aplicada
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico (neste caso de segunda
ordem)•Um primeiro passo é abstrair os elementos mecânicos
•Neste caso nos importam os com os efeitos destes elementos sobre o Sistema
•Em particular, nos interessam as forças ligadas a estes elementos
F_mola
F_amortecedor
+m
F_aplicada
Tomando uma convenção podemos estabelecer sinais para as forças:
para acima
=
positivo
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_mola
F_amortecedor
+m
F_aplicada
Agora podemos aplicar a 2a lei de Newton:
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
maF
F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma
F_mola
F_amortecedor
+m
F_aplicada
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
•Neste caso, obtemos a equação:
maF
F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma
•Na equação podemos identificar facilmente os elementos:
F_mola = kx
k = constante da mola
x = deslocamento
F_amortecedor = cv
c = constante do amortecedor
v = velocidade
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_aplicada - kx - cv = ma
•Podemos obter, então:
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
•Podemos assumir as convenções:
aceleração = a =
velocidade = v =
Força_aplicada = F
2
2
dt
xd
dt
xd
x
x
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_aplicada - kx - cv = ma
xmxckxF
•Desta maneira, o nosso modelo fica:
Na verdade o nosso modelo está representado por uma equação ordinária de segundo grau
Fkxxcxm
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
xmxckxF Fazendo manipulações algébricas temos:
•Este modelo pode ser trabalhado usando Transformada de LAPLACE
•Queremos levar o nosso modelo para o Domínio D
Fkxxcxm
FxkcDmD )( 2
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
•Aplicando o operador D temos:
kcDmDF
x
2
1
Obtendo a Função de Transferência
•Desta maneira podemos obter a expressão:
•Esta equação representa um relação entre entrada e saída do sistema
•Esta forma é denominada de Função de Transferência
Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)
0
2
0
2
0
1
0
1
2,1
2
4
aa
aa
aa
jaa
Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)
2
2,1 22 m
c
m
kj
m
c
pp j 2,1
p e denominado de “decay rate”
p é denominada de freqüência natural amortecida correspondente à freqüência natural não-amortecida n .
Assumimos p < n
2
0
a
an
0
0
a
bK
20
1
2 aa
a
Sensibilidade Estática
Freqüência Natural não- amortecida (rad/seg)
coeficiente de amortecimento (adimensional)
Aplicando as nossas Definições
12
1)(
2
2
nn
i
o
DDD
q
q
kK
1
m
kn
mk
c
2
Aplicando as nossas Definições
isonn
KqqDD
1
22
2
Resposta ao Degrau
Cond. Ini.:
00
00
temdt
dq
temq
o
o
qis
isonn
KqqDD
1
22
2
Solução Particular: qopi = Kqis
Solução da função complementar (homogênea):
Caso 1: raízes reais diferentes (caso sobre-amortecido)
Caso 2: raízes reais iguais (caso criticamente amortecido)
Caso 3: raízes conjugadas complexas (caso sub-amortecido)
A Solução da Equação Diferencial de 2o grau
acb
a
b
a
b
4
222
21
isonn
KqqDD
1
22
2
2
2
2
22
2
2
122
2
442
n
nn
n
nnn
12 nni
ni 12
Obtendo as raízes da Equação Característica
Discriminante
ni 12
is
tt
o KqeCeCqnn
1
2
1
1
22
012 para
Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1: sobre-amortecido)
Avaliando Condições Iniciais obtemos os valores para C1 e C2
qis
qis
KC
KC
12
1
12
1
2
2
2
2
2
1
qo(t=0+) = 0
qo´ (t=0+) = 0
112
1
12
1 1
2
21
2
2 22
tt
is
o nn
eeKq
q
Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1)
012
ni 12
istt
o KqteCeCq nn 21
1,012 para
Solução para raízes reais iguais (Caso 2: criticamente amortecido)
Avaliando Condições Iniciais obtemos os valores para C1 e C2
ni
tn
ttno
nnn teCeCeCq 221'
istt
o KqteCeCq nn 21
isKqC 10
210 CCn
ist
nqist
qiso KqteKeKq nn
11 tn
is
o netKq
q
Solução para raízes reais iguais (Caso 2)
Solução para raízes reais e iguais (Caso 2)
Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3: sub-amortecido)
)sencos()( qxBqxAexy px Forma da solução
homogênea
ni 12
tBtAetq nnt
ocfn 1sen1cos)( 22
012 para
11sen1
2
2
te
Kq
qn
t
is
on
isnnt
o KqtBtAetq n 1sen1cos)( 22
Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3)
1sen 1
Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3)
tqKqDD
isonn
1
22
2
Resposta a Rampa para Instrumentos de Segunda Ordem
Cond. Ini.:
00
00
temdt
dq
temq
o
o
tqtf is
)(
Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1: sobre-amortecido)
tt
n
isis
o nn
eeq
tqK
q
1
2
221
2
22 22
14
1212
14
12121
2
Para este caso a solução é:012 para
Solução para raízes reais e diferentes (Caso 2: criticamente amortecido)
211
2 te
qtq
K
q nt
n
isis
o n
Para este caso a solução é:
1,012 para
Solução para raízes reais e diferentes (Caso 3: sub-amortecido)
teq
tqK
qn
t
n
isis
on
2
21sen
121
2
Para este caso a solução é:
12
12tan
2
2
Onde:
012 para
Erro e Atraso de Estado Estacionário
Erro de Estado Estacionário:
n
isss
qe
2
Atraso em Estado Estacionário:
nsst
2
O erro estacionário pode ser reduzido incrementando n ou reduzindo
Erro de medida adimensional para a função Rampa
Para um dado n decrementos em levam a grandes oscilações