instituto universitario de tecnologÍa …galeon.com/damasorojas/intsustsimple.pdf · se llaman...

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”

EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II

Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

354 [email protected], [email protected], [email protected]

INTEGRAL INDEFINIDA

Función primitiva: Una función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x) cuando F'(x) = f(x), (si la derivada de F es ƒ). Por ejemplo F(x) = x2 es primitiva de f(x) = 2x Otra primitiva de f(x) = 2x podría ser F(x) = x2 + 5, o en general, F(x) = x2 + K, donde K es una constante. Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas. Al conjunto de todas las funciones

primitivas se le llama integral indefinida y se representa por f x dx( )∫

Demostración:

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) 0 ( )d d dF x K F x K f x f xdx dx dx

+ = + = + =

El símbolo ∫ se llama signo de integral, y se lee, “la integral indefinida de ƒ (x) es igual a F (x) más K”. El adjetivo “indefinida” se usa porque el segundo miembro de la ecuación no es una función definida, sino más bien todo un conjunto de funciones posibles; la constante K se denomina constante de integración. Es razonable preguntarse si no hay otras antiderivadas de ƒ que no puedan obtenerse sumando una constante a F. Siempre que sólo se consideren valores de x en un intervalo I, la respuesta es no. Para ver por qué, sea G(x) cualquier otra antiderivada de ƒ(x); entonces

[ ] [ ]ddx

F xddx

G x f x( ) ( ) ( )= = de modo que F y G sólo difieren por una constante, K, en I,

es decir, G (x) = F(x) + K, para x en I. En el siguiente teorema se resumen estas observaciones. Teorema Si F (x) es cualquier antiderivada de ƒ(x), entonces para cualquier valor de K, F(x) + K también es una antiderivada de ƒ(x); además, en cualquier intervalo todas las antiderivadas de f (x) pueden expresarse en la forma F (x) más constante.

( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x K F x f x′= + ⇔ =∫





Propiedades básicas de las antiderivadas

a) Un factor constante puede sacarse del signo de integral; c f x dx c f x dx( ) ( )∫ ∫=

b) La antiderivada de una suma o resta es la suma o restas de las antiderivadas;

[ ]f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )± = ±∫ ∫ ∫

Integrales inmediatas:

Se llaman integrales inmediatas las que se deducen directamente de las fórmulas de

derivación. (Se utilizan las tablas directamente, para la solución de las mismas)

Tabla de integrales inmediatas.

1

2 2

1) 2) ( 1)1

3) 4)

5) sec tan 6) csc cot

7) sec tan sec 8) csc cot csc

1 '( )9) 10) ( ) ( )

+

= + = + ≠−+

= + = − +

= + =− +

= + = − +

= + = +

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

nn xdx x K x dx K n

n

Cosxdx Senx K Senx dx Cosx K

x dx x K x dx g x K

x x dx x K x x dx x K

f xdx Lnx K dx Lnf x Kx f x

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

1

11) 12) '( )

13) 14) '( )

( )15) ( ) '( )1

+

= + = +

= + = +

=+

∫ ∫∫ ∫

x x f x f x

x x f x f x

nn

e dx e K e f x dx e K

a Lnadx a K a f x Lnadx a K

f xf x f x dxn

2 2

2 2

2

'( )16) log log ( )( )

1 '( )17) arcsen 18) arcsen ( )1 1 ( )

1 '( )19) arccos 20) arccos ( )1 1 ( )121) arctg

1

+ = +

= + = +− −

− −= + = +

− −

= ++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

a af xK e dx f x Kf x

f xdx x K dx f x Kx f x

f xdx x K dx f x Kx f x

dx x Kx 2

2 2

2 2

'( ) 22) arctg ( )1 ( )

1 '( )23) sec 24) sec ( )1 ( ) ( ) 1

1 '( )25) arccs 26) arccs ( )1 ( ) ( ) 1

= ++

= + = +− −

− −= + = +

− −

∫

∫ ∫

∫ ∫

f x dx f x Kf x

f xarc x K arc f x Kx x f x f x

f xcx K cf x Kx x f x f x





Nota: Están algunas de ellas, puede visitar enlaces importantes de mi página para verificar otras integrales inmediatas Ejemplos:

( )12 31

2 2

2

2

2

3

1 3

2 2 22

32 2

1 3 312

1 csc cot csc

cos 5 4 5co

1)

2)

3)

4) (cos 5 4)

5) (1 )

s 4

( )

+

= +

= = + = + ⇒ = ++

= = = − +

=− +

+

− + ⇒ + + +

= +

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫∫

∫∫

x K

xx dx K x K x dx x K

Cosx dx x x dx x KSenx Senx

xdx senx dx senx

x dx

x dx

Cosx dxSen x

x senx x K

ctg x ctg

dx

ctg x tg x dx x tg x

2 2

2 2

1 1 1cos cos cos

cos cos 1cos c

2

oscos

( 1) csc

cos coscos

1 sec seccos co

sec6)

7)cos s

+

⇒ + ⇒ =− +

= ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =− ++

= ⇒ = +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ x x xsenx x sen x x

x senx xsenxxsenx

x dxtgx ctgxsenx dx

dx ctg x dx xdx ctgx k

senx xdx dx dx dx senxdx x kx

senx dx tgx xdx xx xx

2

2

2

3 5

2

22

2 2 2

5 72

1 22 2 2 5

23 2 3 ( )

8) ( )2

2 19) (3 )

( 2 1) 2 110)

11) (

1

1

( ) 2 2

) 2 27 3

−

−

= + ⇒ + = + +

= + + = − + +

= + + = + + = + − +

=

+

+ +

+ +

− − = −

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

x xx

x

k

e edx x xdx e dx x dx x k

dyx dy y dy y x Ln y ky y

x x dxdx dx

e x x dx

x dyy y

x x dxx

t t dt

x dx x Lnx kx x x x x

t dt tdt t

12

3

3

2 4 3 5 2 4 6

2

2 2

( 1)12)

13

2 1 22 2

) (2 )

23

1(4 4 ) 4 4 26

−

+

− += = − + = − +

−+

= + + = + + = + + ++

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

x dxx

x x d

t k

x x dx xdx dx x dx x x x kx

x x x dx xdx x dx x dx x x xx k





MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, (a esto se le

denomina cambio de variable), por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se

debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para

que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la

variable original.

Este método puede usarse para transformar complicados problemas de integración en

otros más sencillos.

En la práctica este proceso de sustitución se lleva a cabo de la siguiente manera: sea la

integral

a) Elegir una u, dígase .

b) Calcular ´

c) Realizar los cambios respectivos de u y du (toda la integral en función de la nueva variable)

d) Evaluar la integral resultante, aplicando algunos artificios matemáticos y las tablas de integrales inmediatas.

e) Reemplazar u por , devolviendo el cambio de variable, para que la respuesta final esté en función de x.

Resolver las siguientes integrales utilizando el Método de Sustitución Simple.

121 1

2 212

2

1

12

2

2

2

1 2 22

1 1 1 1.2

var

2 2 2 12

11

:1) . . : 1

−− +

= + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞= = = ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

⇒+

= + ++

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

Cambi du duu x x du x dxo d xdxdx

du du du usust u du I K I

xdxx

e ib

u Ku u u

xdx x

l

x

e c v

k





( ) ( )

( ) ( )

32 2 2

2 2 3 4 3

5 44 3

33 2 1 : 1 22

1 1: 1 . 12 2

1 1

. .

2 2 5

1

4

2) + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

⇒ = − ⇒ − ⇒ −

⎡ ⎤⎡ ⎤− ⇒ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ ⇒ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

dux x xdx u x du xdx xdx

Despejamos x x u sust u u du u u du

u uu du

x

u d

x x

I

d

u

c v

k

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

5 42 233

4

3

2

45

27

54

2

3 2

2

33)

4) (5 3 )

1 1112 5 4

1: 3 22

32 2. 2 35 5

5: 5 3 6 ;6 3

(5 3

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥+ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + ⇒ = ⇒ = ⇒

+= + ⇒ = + +

−= − ⇒ =− ⇒− = =

=

+⇒

− ⇒

−

∫

∫

∫

∫ ∫

x xx x dx k

dx duCambio de Variable x u dxdu u u

uxsust x dx k du u ku

du uCambio de Variable u x du xdx x

udu

u

x x d xx dx

I x x ( )

( ) ( )

( )

8 97 7 7

8 92 2

23

2

3

23

5 1 1 5) 53 6 18 18 8 9

5 5 3 5 3144 162

1 : 1 252

2 1. 2 2

2

)1

−− −

⇒+

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤=− =− − =− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

− − −= + +

= + ⇒ = ⇒ =

/⇒ ⇒ = + ⇒ =− + ⇒ =− + ⇒/−

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

u du u uxdx u u u du k

x xI k

du dxCambio de Variable u x dudx x x

du u dxSust

dx

x x

u du I k I u k I ku u x ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2

3 2

2 2

2 23

1

31

2

22

3 2 23

3 1

1

1 1

1 1 1 : 1

1 1.2 2 2 2 1

: 1 33

6) 1

7) 1

1.

− −−

−= +

+ +

− ⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

−− ⇒− ⇒ =

⇒+

−

+ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +− +

= − = =⇒ ⇒ ⇒

∫

∫ ∫

∫

∫

u

u

u

kx x

dzCambio de Variable Z dz duu du u u

dx z zSust z dz I k I k I k I kzz

du duCambio de Va

d

riable u t t t dtdt

S

u

dt

ust

t t12 31

2 2

12 3

12

1 1 2 2 ( 1)3 3 3 1 9 9

+

⇒ ⇒ + ⇒ = + ⇒ = − ++∫ ∫

uu du u du k I u k I t k





( )( )

( )

( )

2 3 2

32 4

3

4

2

3

2

2

3

48 :) 4 3

4 3 2 6( )

6 1 1( ) . ( )6 6 6 3

118 (4 3 2 )

: 1 1 1

.

)

1

2

9 1

−−

= − − ⇒ = − +

−= + ⇒ ⇒ =− ⇒ =−

+

+ ⇒− −

= +− −

= − ⇒ = + ⇒ = ⇒

⇒−

− ⇒ =

+

−∫

∫

∫ ∫

Cambio de Variable u x x du x x dx

du du ux x dx Sust I u du I ku

I kx x

duCambio de Variable u t t

x xdx

x x

u du dtdt

S

t

ust

d

u

t t

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

1 4 1 4 13 3 3 3 3

7 74 43 3 3 3 7 73 3

7 43 3

12 2

23 132 1

21

2

2

5 3

3 3 3 31 17 4 7 4

1 1

10) : 1

1 1.

)

13

11

3

⇒ + ⇒ +

= + + ⇒ = + + ⇒ = − + − +

−= + ⇒ = ⇒− =

+⎡ ⎤− ⇒ = − + ⇒ ⇒ = − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+⇒

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

xx

xx

u du u u du u du u du

u u u uI k I k I t t k

du dxCambio de Variable u dudx x x

usust u du I k

dxx

d I k

x

x

x

x

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

3 3 3/2 2

3 3 2 2 2

3/2 5/2 3/2 5/2 3/2

37/2 5/2 7/2 5/2

7 52

3

2

( 1)

: 1 1 3 3 3

1 1 1. 13 3 3

2 11 1 2 2 13 3 7 5 3

1 −

= − ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⎡ ⎤+ ⇒ = + ⇒ +⎣ ⎦

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + ⇒ = + + ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

− ⇒∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

x x x dx

du duCambio de Variable u x x u x du x dx x dxdx

sust u u du I u u du u du u du

xu u u uI k I k I

dx

( )7/2 5/232 17 5

:12) 1

13)

1

. 1

. 1

. 1

1

1

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + ⇒ =

= + ⇒ = + +

= + ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ++

⇒+

⇒+

∫

∫ ∫

∫

∫ x x xx

x

x

xx

xk

Cambio de Variable u x du dx

dusust Ln u k I Ln x ku

duCambio de Variable u e e du e dxdx

du

dxx

e dxe

e dxsust Ln u k Ln e ku e





( ) ( )

( ) ( )

3 12 21 1

1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 23 12 2

5/ 2 3/ 2

: 1 1;

. 11 1

2 21 1 15 3

(1 )

14) 1

15)1 (1 )

:

+ +

−

− −

= − ⇒ = + =

+ = + ⇒ + ⇒ = + ++ +

− = + + −

− ⇒

⇒++

+

⇒+

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

x

x xx x

Cambio de Variable z x x z dz dx

x zSust z z dx z z dz z dz z dz I k

x x dx x x k

dx e dxe e e

Camb

x x

io de Varia

dx

de

ble

x

2 2

2 2

1 . 1

: 22

1 1 1.2 2 2

: 22

s

16)

17

ust. 2 2

)

− − −= + ⇒ =− ⇒ = + ⇒ = + +

= ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = +

= ⇒ = = ⇒ =

=

⇒

⇒

∫

∫

∫

∫

∫

∫

x

x

x x x

u u x x

u u

duu e du e dx sust Ln u k I Ln e ku

duCambio de Variable u x du xdx xdx

sust e du

xe dx

e dxx

e k xe dx e k

du dx dxCambio de Variable u x du dudx x x

e du e

( )

( )

22

18)

19)

2

1 :

.2 2

:

.

−

−− − −

−

−

+ ⇒ = +

= ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = +

= + ⇒ = − ⇒ = −

−= + ⇒ =

+

⇒

−⇒

+

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

x x

x x

xx

x x x x x x

x x

x x

ek dx e kx

du dxCambio de Variable u Lnx dudx x x

Ln xu Ln xsust udu k dx kx

duCambio de Variable u e e e e du e

Ln x dxx

e e dxdx

du e eSus

e

t Ln u k

dxe

dxu e e

e

L

2

22 22

2 2 2

2

11

: 1 22

1 1 1. 12 2 2

20)1

−

−

−−

− − −

−

+ +

⇒−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= − ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = −

⇒−

+

∫

∫ ∫∫

∫

x

x x

x

xx x

x x x

x

n e e k

dx e dxee e

duCambio de Variable u e du e dx e dx

dusust Ln u k I Ln eu

dxe

k





( )2 1

22 2

1/21/2

1/2

2

12

21) 1

122)1

: 1

1 1. ( ) 2 1 ( 1) 1

: 1 .

)

2 1

23

x x x

x

x

x

x

x

duCambio de Variable u e e du e dxdx

du u esust u du k I k dx ku u e e

duCambiodeVariable u x du dx

e dx

sust duuu

uI k I

e

xx

x k

d

− +−

−

= + ⇒ = ⇒ =

− −⇒ = + = + ⇒ = +

− + + +

= + ⇒ = ⇒ =

= + ⇒

⇒+

+

⇒

= +

+

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫∫

( )

( ) ( )

2

3 2

2

3 2 3

3 2 2

2 3 2

332

2 33 9 1

( )24)

25)

: 3 9 1 3 6 9

1 12 3 . 3 9 13 3 3

( ):3

(1 )

.3

CambiodeVariable u x x x du x x dx

du dux x dx sust I Ln x x x ku

dx LnxuCambiodeVariable u Lnx d

x x dxx x x

Lnx dxx

dx

u sus

x x

t I du C kux

C

= + + + ⇒ = + +

= + + ⇒ = = + + + +

= ⇒ = ⇒ = = +

+ +⇒

+ + +

= +⇒

⇒+

∫

∫

∫

∫∫

( )

3 2/33 2

3

2

2

3

2

3

126)

27)1

1: 1 33

3. 3 3 1

2: ( )2

1 1. ( )2 2

: 11

dxambiodeVariable u x du dx duxx

du dusust I Ln x ku u

dx du dxCambio de Variable u Ln x dux x

dusust I I Ln Ln x k

dxxLn x

x d

u

x dx Cambio de Variabxx

e x dx

l ux

−= + ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = + +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = +

= − ⇒−

⇒

⇒−

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

3

32

2 2. 13 31

xu dx

x dusust dx I I Ln x x kux

−=

⇒ =− ⇒ =− − +−

∫ ∫





( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

2 2 2

3 3

2

3

22

: 1 1;

1 1. 2 2 2 2 2 ( ) 21

22 11

: 1

228)1

22 1;

1 2 12.

9)1

1

= − ⇒ = + =

+ −⎡ ⎤⇒ ⇒ = + ⇒ = + +⎢ ⎥⎣ ⎦−

= − − +−

= − ⇒ =

⇒−

−⇒

−+ =

+ − +−=

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

Cambio de Variable u x x u du dx

u dux du dusust dx I I Ln u ku uu ux

I Ln x kx

Cambio de Variable u x x u du dx

u uxxsust d

x dxx

x xdx

x

xx

( )3

2

3

2 2

3 3

23

3 2 22

2

2 1 2 2 1

211

: 33

1 1.3 3 3

: 22

1.

30)

3

2

1)

+ + − − −= =

− ⇒ = − + +−

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = +

=

⇒

⇒ ⇒ = ⇒ =

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫u

u

u

u uu udu du d

x dxx e

axx d

uu u u

du du I Ln x Cu u x

duCambio de Variable u du dx dxx x x

due xsust du I ke e

duCambio de Variable u a du axdx xdxx a

sust

x

a

e

e

( ) ( ) ( )

2

3/2 2

2 2 2 0 2

3/

2

2 2 2

2

1 12 2

3 3 1 1: .3 3 3

2 2

2 :

32)

33

:

) − − −

−

= + ⇒ = +

−= ⇒ = ⇒− = ⇒ − ⇒ =− +

− + = − +

− + ⇒ ⇒ =

⇒

− ⇒

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

−

u

u x

x x x x x x

x

x

x

x x

x

axdu k I ka a

dx du dxCambio de Variable u du sust du I ke ex x x

dx dxe e e e e e e

dx dx dx para dx Cambio de Var

ex

d

iable ue e e

xe e

e e

2 21

2 2 23 1 2 3

2 22

1. ; : : 2 22 2

1 1 1. 22 2 2

−

− −

⇒ = ⇒ =

−= + ⇒ =− ⇒ =− ⇒ =

=− + ⇒ = + + ⇒ = − − +

∫x x

x x x

dxx du dx du

dxsust I k para dx Cambio de Variable u x du dx due e

sust I k I I I I I x ke e e





( )31/2 3/2

: 1

2 2. 13 3

1 1 1 111 1 1

1:

34) 1

2

: 1

51

1

)

( )

3

= − ⇒ = ⇒− =−

− ⇒ =− + =− − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⇒ + ⇒ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ = + ⇒ =

− ⇒

+

⇒ =+

⇒+

∫

∫ ∫

∫

∫

∫∫ ∫

∫

x xx xx

x

dxe e

x d

Cambio de Variable u du dx du dxe e e

sust du I k ku u e

x dx dx dx dxx x x

duPara dx Cambio de Variable u x du dxu

x

Ln

x

ux

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

23

2 2

3

2

2

2

1

: 1 1;1 1

2 11. 2 2 ( )

2(

36)

1 ) 2(1 ) (1 )2

37) :1

/

+

= + + +

⇒ ⇒ = + ⇒ = − =+ +/

− +−⇒ ⇒

⇒+

− + ⇒ = − + +

+= − + + + +

⇒− −

⇒

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

k

I x Ln x C

x dxx dx Cambio de Variable u x x u du dxx x x

u duu du u du usust udu du I u Ln u ku u u

xI x Ln x k

dx Cambio de Variable ux x

x dxx x

dxx x

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

238

112

1 1. 12 2

: 1 1;2

2 2 1

4 31 2 2 1 3 2 1. 2

3 ( 1)2 ( 4 ) 2( 4 3 ( )) 2( 4(

)

2

1

2

= − ⇒ =

⇒ = − +

= − ⇒ = + =

⇒ = → + =

+⇒

+ ++ + +⎡ ⎤ + +⎣ ⎦ ⇒ ⇒

−+ + ⇒ = + + + ⇒ =

−

+ −

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

x du dxx

dusust I Ln x ku

dxCambio de Variable u x x u dux

x du dx u du dx

u u duu u du u u dusust

u u uu xu du I u Ln u k I

x dxx

xu

( )

1) 3 ( 1)

: ;

1. 1

39)

+ − +

= − ⇒ = − =−

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠

= + + ⇒ = − + − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

Ln x k

Cambio de Variable u a x x a u du dx

x a u asust dx du du a du dua x u u u

I aLn u u k I aLn a x

dxx

a

a

x

x

k





( )

2 1 2 212 1 2 1

2 1 2: 2 1 2 . 1 12 2

1 1 1 12 2 2 1 2 2 12 2 2

12

2 340)2 1

x dx dxx x

duCambio deVariable u x du dx sust I duu u

I du du u Ln u C I x Ln x ku

I x

x

L

dx

n

x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ += +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= + = ⎡ + + ⎤ ⇒ = ⎡ + + + ⎤+ ⇒⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

= + +

⎛ ⎞+⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠∫∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

32

3 3 92 2

2 1

: 3 2 ; 2

1 3( ) 1 ( ) 1 3 11.2 2 2 2

1 3 1

1 341)3 2

1 1 3 11 3 112 2 2 2 2 2 4 4

u

u u

x k

Cambio deVariable u x x du dx

du du usust I I I duu u u

duI du I u Ln u k I u Ln u ku

x dxx

−

− −

+ +

= + ⇒ = =

− − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + ⇒ = − + + ⇒ =− + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

⎛ ⎞−⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

2

2

1 2

2

2 1

3 113 2 3 24 4

1 1 1 11 1 1 1

1; : 12 1

2 21 2

42)1

I x Ln x k

x x x xx I x dx I xdx dxx x x x

x xI k I dx Cambiode Variable u x du dxx

u xI dx du u Ln u k Iu

x dx

u

x

=− + + + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + += + ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+= + = ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞=

⎛ ⎞+⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠

= + = + + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

( )( )2

2

2

2

1

5 743)3

1 2 12

3 2 1 1 12 23 3 3

12 : 32 3

1. 2 32

x Ln x k

x xdx x dx xdx dx dx

x x x

xI x k dx Cambiode Variable u x du dxx

xsust I dx Ln u k I x Ln x k

x x dxx

u

+ − + − +

+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞= = + ⇒

⎛ ⎞+ +⎜

= + + + +⎜ ⎟⎝

+⎝ ⎠

⎠

⎟ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫





( )( )

( )

3 23 2

4 33 2 2

22 2

2

4 2

2

2 2 1 3 32 21 1

12 2

144)1

45

3 2 3 11 4 3

2) 2

x x x xdx x x x dx

x x

x xI x dx x dx xdx dx dx I x x Ln x kx

ab b dxa dx a dx abx a

x x dxx

ba dxx x aa

⎛ ⎞+ + + − + ⎛ ⎞⎜ ⎟ = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + + + ⇒ = + + + + − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟

⎜ ⎟−

⎛ ⎞+ +⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ⇒⎜ ⎟+⎝ ⎝⎠ − ⎠

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ( )

( )

( )

( )

22

2 22

1 2

2 222 2 21 12

4

1

12

1 :

1.

6

= 2

)

b dxx a x a

I a x abLn x a b dxx a

I dx Cambio de Variable u x a du dxx a

b bsust I b du I b u du

x Ln xdx

x

k I a x abLn x a ku x a x a

xx

−

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + − + ⇒⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⇒ = − ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⇒ = = − + ⇒ = + − − +⎜

⎛ ⎞+⇒⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎟ − −⎝ ⎠

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1/2

1/2

3

2

2

1

2

3 2

2 2 224

2

: ( ) .

2

7

2

2

)

Ln x Ln xdx x dx

x x

Ln x Ln xI x dx dx I x dx

x x

Ln x dx uI dx Cambio deVariable u Ln x du sust u du kx x

Ln xI x k

x a xdx xx

dxx a x

xa

−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⇒ = ⇒ = = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ( )2

2 2 2

22 2 2

2 2

2 2 2 2 22 2 2

: 22 2

1I=2 2 2 2 2 2

a xdx x dx dxa x a

x x duI a dx CambiodeVariable u x a du xdx xdxx a

x du x a x aa I Ln u k I Ln x a ku

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞− − ⇒ = − − + ⇒ = − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

∫





( )

( ) ( )

2

2 2

48) 4

4

: 4 44

1 1 1. ( ) ( ) 4 44 4 4

: 55

1 1. ( ) ( ) (

9) (5

) 5 ) (5 5

)

(

Cos x dx

S

duCambio de Variable u x du dx dx

Sust I Cos u du I Sen u k Cos x dx Sen x k

duCambio de Variable u x dx

sust Sec u du tg u k ver Tabla Se

ec x dx

c x dx tg

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = + ⇒ = +

= ⇒ =

= +

⇒

⇒ =

⇒

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

3 23 22 3

3

5 )

: 3 3

1 1 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

50) ( ) ( )

51) ( :6 ) ( 66

1. ( )6

6 )

x k

duCambio de Variable u x du x dx x dx

sust I ctg u Csc u du Csc u k ver tabla I Csc x k

d

x ctg x Csc x dx

ctg x Sen x dx uCambio de Variable u x dx

sust I ctg u S

⇒

⇒

+

= ⇒ = ⇒ =

= = − + ⇒ = − +

= ⇒ =

=

∫

∫

∫

2

2

1 1( ) ( ) ( )6 ( ) 6

1 1 (6 )6 6

: 22

1 1 ( ) 1 ( ). ( ) (

52) (2 ) (

) ( )2 2 ( ) 2 ( )

1 1 (2

2 )

Cos uen u du Sen u du Cos u duSen u

I Sen u k I sen x k


Sen u Sen usust I Sen u tg u du Sen u du duCos u Cos u

Cos uI

Sen x tg x dx

⇒ ⇒

= + ⇒ = +

= ⇒ =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

−=

⇒

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫2

1 2

) 1 1 1 ( ) ( )2 2

( ) ( ) ; ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) (2 ) (2 ) (2

53)

)2 2

Cos x

Cos udu I du I Sec u du Cos u duCos u Cos u Cosu

I Sec u du Ln Sec u tg u k I Cos u du Sen u k

I Ln Sec u tg u Sen u k I Ln Sec x tg

e

x Sen x k

Ic x

edxCs

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= = + + = = +

= ⎡ + − ⎤ + ⇒ = ⎡ + − ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

: ( ) ( )

.

Cos x

u u Cos x

Sen x dx Cambio de Variable u Cos x du Sen x dx

sust I e du e k I e k

⇒ = ⇒ − =

= − = + ⇒ = − +

∫

∫





12

2 2

2

2

2

54)

55)

: ( )

1.1

1:

Cambio de Variable u Cos x du Sen xdx

du u Sen xsust I u du I k I k dx Sec x ku u Cos x

Sen x dx Senx dx SenxOtra forma dx tgxSec x dx Secx kCos x CosxCosx Cos

Sen xCos x

tg x Sec x

x Co

dx

sx

−−

= ⇒ − =

−= − = − ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +

⇒

−

= = ⇒ = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫ 2

3/ 21/ 2 2 3

32

( )56)

: ( )

2. ( )3

1 :

( ). (

1

)

57) 3

tg Lnx

Cambio de Variable u tg x du Sec x dx

usust u du u du I k tg x Sec x dx tg k

Cambio de Variable u Ln x du dxx

tg Ln xsust I tg udu Ln Sec u k dx

dxx

Secxtgx dx

Ln Sec Ln

S

x kx

= ⇒ =

= ⇒ = + ⇒ = +

= ⇒ =

= = + ⇒ = +

⇒

⇒

+

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

2

: 1 3 33

1 1 1. 1 33 3 1 3sec 3

:

.

5 )

2

8

duCambio de Variable u Secx du Secx tgxdx Secx tgx dx

du Secx tg x dxsust I Ln u k Ln Secx ku x

Sen xCambio de Variable u Ln Cosx du dx du tg x dx

Cosusust I udu

ecx

Ln Cos x t

k

gx dx

= + ⇒ = ⇒ =

= = + ⇒ = + ++

−= ⇒ = ⇒ − =

= − = − + ⇒

⇒

⇒

∫

∫

∫ ∫

2

2

2

22

2

2

59)

60)

( )2

:

.

:1

.

1

1

ctg

ctg

xu u ctgx

x

Ln CosxI k

dxCambio de Variable u ctg x du Csc x dx duSen x

eSust I e du e k dx e kSen x

dCambio de Variab

eSen

le u ArcSen du

du ds

x

dArcs

ust I Ln u ku

enθ

θθθθ

θθ

−= +

= ⇒ =− ⇒ − =

= − = − + ⇒ =− +

=

⇒

⇒ ⇒ =−

= = + ⇒−

−

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

2Ln Arc Sen k

Arc Senθ

θ θ= +∫





( )

2

2

2

1

2

22

2

1 22

1

1 1

61)1

:1

.2 1 2

62) ( ) ( :

. ( )

) −

= ⇒ =+

= = + ⇒ = ++

= ⇒ = − ⇒− =

= − = − + ⇒ =−

⇒+

⇒

∫

∫

∫

∫

∫

∫

x

x

x

x

dxCambio de Variable u Arctgx dux

Arc tgxu Arctgx dxsust I udu k kx

dxCambio de Variables u x du x dx dux

sust I Cosudu Senu k

Arctgx dxx

Cos d

Co dx

x

s sen 1

2 2 2 2

21 2

21 1 2

2 2

2

( )

(2 )(2( )1 4 1 4 1 4 1 4

:

2 )63)

(1 4

1 41 4 8

1 1 1. 1 48 8 1 4 8

(2 )1 4

)

+

⎡ ⎤− ⇒ −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

= ⇒ = + ⇒ =+

= = + ⇒ =

−⇒

+

= + ++

=+

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫

x k

Arctg xx Arctg x x dxdx dxx x x x

x dx duI Cambiode Variable u x xdxx

du xdxsust I Ln u k I Ln x ku x

Arctg x

x A

I

rctg x dx

x

x

dx 2

3/23

2 2 232

2 32

: (2 )2 1 4

(2 )1 1 1. (2 )2 2 1 4 3

(2 ) 1 11 4 (2 )1 4 8 3

111

41

6 )1

⇒ = ⇒ =+

⎡ ⎤= = + ⇒ = = +⎢ ⎥/ +⎣ ⎦

−= + − +

+

−⎡ ⎤−=⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

⇒+

∫

∫

∫∫

∫

∫

du dxCambiode Variable u Arctg xx

Arctg xusust I u du k I dx Arctg x kx

x Arctg x dx

dxSen

Ln x Arctg x kx

Sendx Sen xSenx Sen xx

( )( )

( )

( ) ( )( )

22

2 2

21 2

2 2

65) c

11

1

1

1

: ( ) coos

−⇒

−

= −

= = = +

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + +

⇒ =⇒ =

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫sen x

x Senxdx dx

Cos xSen x

SenxI dxCos x Cos

I dx Sec x dx tgx kCos xSenx Senxdx SenxI dx dx tgxSecxdx Sec x k I tgx Sec x k

Cos x CosxCos x Cosx Cosx

cambiode Variable u sen x da ux dx

( ) ( )( )

( )

s( )

. 0 0= = + > ⇒ = + >∫sen xu

u

x dx

a aSust I a du k con a I C con aLn a Ln a





1(2 ) (2 ) 1 (2 )(2 ) (2 ) 1 (2 )

(2 ) (2 )

: 22

1 1.2 1 1 1

(2 )66) (2 ) (2 )

= =− −−

= ⇒ =

⎡ ⎤ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎢ ⎥− − +⎝ ⎠ ⎝

−

⎠⎣

⇒

⎠⎝⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Sec x dxCos xdx dxSen xSec x Tag x Sen xCos x Cos x


du du

Sec x dxSec x ta

Senusust ISenu Senu Senu

g x

( )

( )

2

2 2 2

21 2

2 2

1

2 22

1 12 1

1 1 1 2 2

2

:

. 1

−

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎟ −⎣ ⎦

⎡ + ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= = = + = +

= ⇒ = ⇒− =

= − = = −−

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

Sen udu

Sen u

Sen u du Sen uI du duCos u Cos u Cos u

duI Sec udu tgu k tg x kCos uSen uI du Cambio de Variable w Cosu dw SenuduCos u

dw wsust I Iw

( )

[ ]

2 2 2

2

67)

68)

1 2

1 (2 ) (2 )2

: s .

1 2

ec

⇒

⇒

+ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +

= + +

=

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +

+

∫ ∫∫

∫

∫

T

SecxSecx

u u Sec

Sec x

x

k I k I Secu k I Sec x kCosu

I tg x Sec x k

Senx e dx tan xSecx e dxCosx Cosx

Cambio de Variable u x du Secx tan xdx s

Senx e dxCos

ust e du e k Ix

dxCos x

e k

( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

4 42 4 2 2 4

; : 1 ; 2

1 1 1 2 2 2 22

9

6 )

+ = = −+ + −

= = = = ⇒ = + +

⇒+

= +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫∫

dx Donde Sen x Cos x Cos x Cos x Sen xSen x Cos x Cos x Sen x

dx dx dxI Secx dx I Ln Secx Tgx kCosxCosxCos x

Sen x Cos x dx Sen x dx Cos x dxSen x Co

dxSen x Cos s x Sen x Cos x Senx 2

1 22 2 2 2

1 4 2 2 2 2 2 2

(I ) (I )

+= = = =

∫

∫ ∫ ∫

x Cos x

Sen x dx dx Sen x Cos x Sen x dxI dxSen x Cos x Sen x Cos x Sen x Cos x Sen x Cos

2

2 2 2

3 4

22

3 2 2 2

(I ) (I )

+

= = = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Cos x dxx Sen x Cos x

Sen x dx dxI Sec x dxSen xCos x Cos x

( )

22

4 2 2 2

24 2 2 2 2

2 4 2 4

1

+

= = = = − +

= = = = = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

tan x k

Cos x dx dxI Csc x dx Ctgx kSen xCos x Sen x

Cos xdx dxI Csc x dx Csc xCsc x dx Ctg x Csc x dxSen xCos x Sen x





2 2 22

5 6

2 2 25

3 32

5 5

26

4 2

( ) ( )

:

.3 3

=

I Ctg x Csc x dx Csc x dx

I I

I Ctg x Csc x dx Cambio de Variable u ctgx du Csc xdx

u Ctg xsust I u du k I k

I Csc x dx Ctgx k

dxSen x Cos x

= +

= ⇒ = ⇒ − =

= = − + ⇒ = − +

= = − +

∫ ∫

∫

∫∫

∫

( )

3

2 2 2 2

2 4 2 4 2 4

1

2 4

23

( )

70)

Ctg xTgx Ctgx k

Sen x Cos x dx Sen x Cos xdx dxSen xCos x Sen xCos x Sen xCos x

I

dxSen xCos x

− − +

+⇒ = +∫ ∫ ∫∫

( )2

24 2 2 2 2

1 2 4 4

2 2 21

3 4

23

2 24

( )

1

( ) ( )

( )

( ) :

I

Sen x dxI dx Sec x dx Sec xSec x dx Sec x tan x dxSen xCos x Cos x

I Sec x dx Sec x Tan x dx

I I

I Sec x dx tanx k

I Sec xtan xdx Cambio deVariable

= ⇒ = = = +

= +

= = +

= ⇒

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

∫

( )

2

3 32

4 4

2 22 2 2

2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2

. ( ) ( )3 3

( )

( )

u tanx du Sec x dx

u tan xSust I u du k I k

Sen x Cos xCos x Sen x dx Cos x dxI dx dxSen xCos x Sen x Cos x Sen x Cos x Sen x Cos x

dx dxI Sec x dx Csc x dx tanx Ctgx kCos x Sen x

I

= ⇒ =

= = + ⇒ = +

+= = = +

= + = + = − +

∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3 3

2 2

2

2 22

2 2

2

2 2

2

7

23 3

1 1

2 112 1 1: 1

1 1

. 2 2 1

1)1

1

1

Ttan x tan xtanx tanx Ctgx k tanx Ctgx k

dx

x Ln x x

x x xdxx xCambio de Variable u Ln x x du du dx

x x x xdx dudu sust I u k

dx

x Ln x

I Ln x x kux

x

= + + − + = + − +

+ + +

⎡ ⎤ + ++⎢ ⎥+ +⎣ ⎦= + + ⇒ = ⇒ =

+ + + +

= ⇒ =

⇒

= + ⇒ = + ++

+

+

+ +

∫

∫ ∫





( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 tan 2 tan .cot cot tan 2 c72 ot

tan 1 1 cot tan 1 1 cot

sec csc tan c

) tan cot

( )73

ot

1:2

. 2

)

2 cos

+ + = + +

= + + + = + + +

= + = − +

= ⇒ =

= = − ⇒

⇒

⇒

+

+ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

∫

∫

∫

x x x x dx x x dx

I x x dx x dx x dx

I x dx x dx x x k

Cambio de Variable t x dt dxx

sust I s

x x dx

sen

en t dt

dx

t

x

k

x

2 2

1 2

21

2 2 2 2

2

2 cos

( ) ( )

( )

( )

174

)

+

= − +

+

= = − +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =

⇒ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

I x k

dx tgx dxtgx dxS Sen x Sen x

I I

I Csc x dx Ctgx k

Senx dxtgx dx Senx dx dxCosxISen x Sen x S

en x

en x Cosx Senx C

( ) ( )

2 2

2 2

2

75

( )

)2 2

: ( 2)

+⇒

+ = + = +

= + + ⇒ = − + + +

= − ⇒ =⇒− −

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

Sen x Cos x dxosx Senx Cosx

Sen x dx Cos x dx Senx dx Cosx dx Tgx dx Ctgx dxSenx Cosx Senx Cosx Cosx Senx

I Ln Secx Ln Senx k I Ctgx Ln Secx Ln Senx kdxCambio de Variable u Ln x d

Ln xudx

x

2 2

33 12

2 2 21 12 2

22 2

2

2

. (

176)

2)

1 1

1 1 ( )−−

−

= + ⇒ = − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡

⎡ ⎤−⇒⎢ ⎥

⎣

⎤= − ⇒ = − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

⎦

⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

x x

xx

x x

x x x

x xxx x

xdusust Ln u k I Ln Ln x ku

a aI dx dx I dx dxa aa a

I a dx dx I a dx dx I a

a d

dx a d

x

xa

a

a

I( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

32

2 2

3 12

2

2

32

3 12 2

2

2 2ln ln 3 lnln( )ln( ) ln

: 2

7. 72 2

77

7

) 7

− −

−− + ⇒ = − + ⇒= + +−

= ⇒ =

= ⇒ = +

⇒

∫

∫

xx x

xx x

x

u

x

u

a a a a a ak I k ka a aaa a a

Cambio de Variable u x du xdx

du

x dx

sust I I kLn





( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

2 2

1

22

1

cos 2 cos

1 2 cos 2 cos

2 cos : cos

22

78) cos

791 cos 2

2)

= + +

= + = +

= ⇒ = ⇒ =

= = + ⇒ = + +

−⎛ ⎞=

+

⎟⎠

⇒ ⎜⎝

⇒ ∫∫ ∫

∫

∫∫

∫

∫

∫

ax sen ax ax sen ax dx

I ax sen ax dx dx ax sen ax dx

I ax sen ax dx Cambio deVar

ax sen ax dx I

sen x dx

iable u sen ax du a ax dx

sen axuI u du k I x ka a

xI dx ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

22

2

14

80)

1

21 1 cos 22 2 2 4

cos 1 1

81)3cos 5

1

1

= − ⇒ = − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⇒

⎛ ⎞⇒⎜ ⎟⎜

⎠⎛ ⎞

= − =

⎟−⎝

− ⇒ = − − +⎜ ⎟⎟⎝ ⎠

⎠

⎜

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

sen xxdx x dx I k

ax sen axI dx dx dx

sen ax sen axsen ax

Ctg axI dx dx Csc ax dx dx I x k

se

ctg ax dx

d

n ax a

Cxx

ambio d

( )( ) ( )

14

1 1 115 15 15

1 1 115 4 4

2

21 1 12 2 2

2 2

2

: 5 55

1. ( ) ln ( ) ( )cos

5 5

:82)cos (

2

. ( )cos ( )

)

= − ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞= ⇒ = = + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠= − + − +

= ⇒ =

= =

⇒

⇒ =

∫ ∫

∫ ∫

∫

dueVariable u x du dx dx

sust I du I Sec u du Sec u tg u ku

I Ln Sec x tg x k

Cambio deVariable u x du xdx

dusust I Sec u du I

x dxx

tu

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

22 2

83) ( )

84)

: ( ) ( )

. ( )

: 2 2

1 1 1. ( ) ((

(

)2

2 )

2 2

−

−

−

+

= ⇒ = ⇒ − =−

= − = − + ⇒ = − +

= ⇒ =

= = + ⇒ =

⇒

⇒

∫

∫

∫

∫ xa b

x

x

u

b

a b

a

x

g x k

dxCambio deVariable u du a b du dxa b

sust I a b ctg u du a b Ln sen u k I a b Ln sen k

Ca

ctg dx

dxsen

mbio de Variable u x du dx

dusust I Ln tg k I Ln t

x

gsen u

) + k





INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

a) Para integrales del tipo: ( ) ; cos ( )n nsen x dx x dx∫ ∫

Si n es un número entero positivo impar, se comienza escribiendo: 1 1( ) ( ) ( ) ; cos ( ) cos ( )cos( )n n n nsen x dx sen x sen x dx x dx x x dx− −= =∫ ∫ ∫ ∫ , Como el entero n ‐ 1 es

par, se puede aplicar la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x+ = para obtener una integral más fácil.

b) Para integrales del tipo: ( )cos ( )m nsen x x dx∫

B1) Si m y n son enteros pares, reducir los exponentes de sen2 x y cos2 x usando las fórmulas para la mitad de un ángulo. B2) Si n es impar, escribir la integral como

1( ) cos ( ) ( ) cos ( ) cosm n m nsen x x dx sen x x xdx−=∫ ∫ , y expresar1cos ( )n x− en términos

de ( )sen x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x+ = . Usar la sustitución

( )u sen x= para evaluar la integral resultante.

B3) Si m es un entero impar, escribir la integral como

1( ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( )m n m nsen x x dx sen x x sen x dx−=∫ ∫ , y expresar 1( )msen x− en

términos de cos( )x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x+ = . Aplicar la

sustitución cos( )u x= para evaluar la integral resultante.

c) Para integrales del tipo: ( )sec ( )m ntag x x dx∫

C1 Si n es un número par, escribir la integral como

2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )m n m ntg x Sec x dx tg x Sec x Sec x dx−=∫ ∫ , y expresar 2( )nSec x− en

términos de ( )tg x tan x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2 1Sec x tg x− = . Usar

la sustitución ( )u tg x= para evaluar la integral resultante.





C2) Si m es un entero impar, escribir la integral como 1 1( ) ( ) ( ) ( )( )( )m n m ntg x Sec x dx tg x Sec x Secx tgx dx− −=∫ ∫ Como m‐1 es par,

1( )mtg x−

puede expresarse en términos de ( )Sec x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2 1Sec x tg x− = Usar la sustitución ( )u Sec x= para evaluar la integral resultante.

C3) Si m es par y n es impar, emplear otro método como, por ejemplo, integración por partes.

33

2 2 2

1

22

(cos )22 3

3

2

3

( ) (1 cos ) cos ( )

cos

cos ( ) : cos

. cos

1 1 cos (

85) ( )

86) cos 2

⇒ − = −

= = − +

= ⇒ = ⇒ = −

= − = − + ⇒ = − − +

=

⇒

⇒ +

∫ ∫ ∫ ∫∫∫

∫

∫

∫

xu

sen x senx dx x senxdx senxdx x senx dx

I senxdx x k

I x senx dx Cambio deVariable u x du senxdx

sust I u du k I x k

I

sen x dx

x dx ( )

( )

( ) ( )

3 4

2 4

2 4 2 4

5 5 72 4 4 6 71 11 15 57 7

87) cos

88) sec

1 1 (2 )2 ) cos (2 )2 2 2 4

cos 1 coscos: cos

. 1

= + ⇒ = + +

= = −

= ⇒ =

= − = − = − + ⇒ = − +

⇒

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

x sen xx dx dx x dx I k

I x x x dx x x x dxsen sen senCambiode Variable u sen x du x dx

u sensust I u du du k I x x kse

x x dxsen

tg

n

x

u u u u

xd

( )

5 3

2 2 22 2 2

2

32 2 4 2 51 15 3 5 3

2 23 2 2 2

( )sec ( )sec ( ) ( )( ( ) 1)sec

: tan sec

. ( 1) ( )

89) cos cos 1 cos cos

= = +

= ⇒ =

= + = + ⇒ = + + ⇒ = + +

= =

⇒

⇒ −

∫∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

tg x tg x

I x x x dx x x xdxtg tg tg

Cambio de Variable u x du xdx

sust I du du I u k

x

sen

I ku u u u u

I sen x x sx x dx en x dx x x sen x

( )

( )

2 4

3 5 3 52 4

cos cos : cos

cos cos.3 5 3 5

− ⇒ = ⇒ − =

−= − − =− + ⇒ = + +

∫

∫

dx

x x sen x dx Cambio de Variable u x du sen x dx

t t x xsust I t t dt I k





( ) ( )

( )( ) ( ) ( )3 1

2 2

3/ 2 3/233

3

2

3/22

2

(2 ) cos(2 ) (2 ) cos2 (2 )

1 cos (2 ) cos(2 ) (2 ) ( cos2 cos2 ) (2

(2 )89)(c

)

: cos(2 ) 2 (2 )

os(2 )

(

.

)

2 )

−

− −

−

−

⇒ = =

= − = −

= ⇒ = − ⇒ =

∫ ∫

∫ ∫

∫

du

I sen x x dx sen x x sen x dx

I x x sen x dx x x sen x dx

Cambio de Variable u x du se

sen x

n x dx sen x dx

s

xx

ust

d

312 23

1122

31 1

2 2

(cos(2 ))2 1( ) ( )2 3 3cos(2 )

−−

− −= − = − − + ⇒ = + +∫xu uI u u du k I k

x

( ) ( )

( )

( )

2224 21 cos(2 ) 1 1 2cos(2 ) cos (2 )

2 41 1 cos4 11 2cos2 2 4cos(2 ) 1 cos(4 )4 2 81 1 4 2 4 3 2 43 4cos(2 ) cos(4 ) 38 8 2 4 8 4 3

0)

2

9 xI sen x dx dx x x dx

xI x dx x x dx

sen x sen x x sen x sen xI x

sen x

x x x

d

d k

x

k

−⎛ ⎞= = = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞= − + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − + = − + + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

DÁMASO ROJAS MARZO 2008

instituto universitario de tecnologÍa …galeon.com/damasorojas/intsustsimple.pdf · se llaman...

Documents