instituto superior tØcnico - 1o semestre 2006/2007 cÆlculo

Instituto Superior Técnico - 1o Semestre 2006/2007

Cálculo Diferencial e Integral I

LEA-pB, LEM-pB, LEN-pB, LEAN, MEAer e MEMec

Soluções da 4a Ficha de Exercícios

1. Considere a sucessão (un) de números reais de�nida por:

u1 = � 2 Run+1 = (�1)nun +

unn, (para todo o n 2 N).

Suponhamos que (un) é convergente. Seja l = limun. Vejamos que limun = 0.

Tem-seu2n+1 = �u2n+1 +

u2n+12n+ 1

e u2n = u2n +u2n2n.

Como (u2n+1) é uma subsucessão de (un) e l = limun, então (u2n+1) converge e

limu2n+1 = limun = l.

Logo, tem-se

limu2n+1 = lim

��u2n+1 + u2n+1

1

2n+ 1

�, l = �l + l:0, 2l = 0, l = 0.

Logo, limun = 0.


u1 = 1

un+1 =2un + 3

4, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que un <3

2, para todo o n 2 N.

Para n = 1 tem-se u1 = 1 <3

2. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.

HI (hipótese de indução): un <3

2.

Tese: un+1 <3

2.

Demonstração (da tese):

un+1 =2un + 3

4<

por HI

23

2+ 3

4=3

2.

Deste modo, tem-se: un+1 <3

2.

Logo, tem-se: un <3


1

(b) Tem-se u2 � u1 =5

4� 1 = 1

4� 0. Vejamos que un+1 � un � 0, para todo o n 2 N.

Seja n 2 N. Tem-se

un+1 � un =2un + 3

4� un =

3� 2un4

>(a)

3� 232

4= 0.

Logo, tem-se un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é crescente.Em alternativa, sem recorrer à alínea (a), podemos mostrar por indução que un+1�un � 0,para todo o n 2 N.Ora já se viu que u2 � u1 � 0.HI (hipótese de indução): un+1 � un � 0.Tese: un+2 � un+1 � 0.Demonstração (da tese):

un+2 � un+1 =2un+1 + 3

4� 2un + 3

4=1

2(un+1 � un) �

por HI

1

20 = 0.

Deste modo, tem-se: un+2 � un+1 � 0.Logo, tem-se: un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é crescente.(c) A sucessão (un) é majorada e por ser crescente também é minorada. Logo, como (un) émonótona e limitada, então (un) é convergente.

Seja l = limun. Como (un+1) é uma subsucessão de (un), então (un+1) converge e

limun+1 = limun = l

Logo, tem-se

limun+1 = lim2un + 3

4, l =

2l + 3

4, 4l = 2l + 3, l =

3

2.

Logo, limun =3

2.

(d) Tem-se

jun+2 � un+1j =��2un+1 + 34

� 2un + 34

�� = 1

2jun+1 � unj �

1

2jun+1 � unj .

Logo, existe c =1

22 ]0; 1[ tal que para todo o n 2 N se tem

jun+2 � un+1j � c jun+1 � unj .

Deste modo, a sucessão (un) é contractiva.


u1 = 1

un+1 =2

3�un + 1, (para todo o n 2 N).

2

(a) Seja � = 1.

(a1) Vejamos que un < 3, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u1 = 1 < 3. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): un < 3.

Tese: un+1 < 3.


un+1 =2

3un + 1 <

por HI

2

33 + 1 = 3.

Deste modo, tem-se: un+1 < 3.

Logo, tem-se: un < 3, para todo o n 2 N.(a2) Vejamos que (un) é monótona.

Tem-se u2 � u1 =5

3� 1 = 2


Seja n 2 N. Tem-se

un+1 � un =2

3un + 1� un = �

1

3un + 1 >

(a1)�133 + 1 = 0.

Logo, tem-se un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é crescente.Em alternativa, sem recorrer à alínea (a1), podemos mostrar por indução que un+1�un � 0,para todo o n 2 N.Ora já se viu que u2 � u1 � 0.HI (hipótese de indução): un+1 � un � 0.Tese: un+2 � un+1 � 0.Demonstração (da tese):

un+2 � un+1 =�2

3un+1 + 1

��2

3un + 1

�=2

3(un+1 � un) �

por HI

2

30 = 0.

Deste modo, tem-se: un+2 � un+1 � 0.Logo, tem-se: un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é crescente.(a3) A sucessão (un) é majorada e por ser crescente também é minorada. Logo, como (un) émonótona e limitada, então (un) é convergente.


limun+1 = limun = l.

Logo, tem-se

limun+1 = lim

�2

3un + 1

�, l =

2

3l + 1, 1

3l = 1, l = 3.

Logo, limun = 3.

3

(b) Seja � = �1, neste caso, a sucessão (un) não é monótona pois:

un+2 � un+1 =��23un+1 + 1

��23un + 1

�=2

3(un � un+1)

e assim, as expressões un+2� un+1 e un� un+1 têm o mesmo sinal, quando deveriam ter sinalcontrário para que a sucessão (un) pudesse ser monótona.

Vejamos que (un) é contractiva.

Tem-se

jun+2 � un+1j =��23un+1 + 1

��23un + 1

�� = 2

3jun+1 � unj �

2

3jun+1 � unj .

Logo, existe c =2



Deste modo, a sucessão (un) é contractiva. Logo, (un) é convergente.


u1 =3

2

un+1 =u2n + 2

3, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que 1 < un < 2, para todo o n 2 N.

Para n = 1 tem-se 1 < u1 =3

2< 2. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): 1 < un < 2.

Tese: 1 < un+1 < 2.


1 =12 + 2

3<

por HIun+1 =

u2n + 2

3<

por HI

�3

2

�2+ 2

3=17

12< 2.

Deste modo, tem-se: 1 < un+1 < 2.

Logo, tem-se: 1 < un < 2, para todo o n 2 N.(b) Vejamos que (un) é decrescente.

Tem-se u2 � u1 =17

12� 32= � 1


Seja n 2 N. Tem-se

un+1 � un =u2n + 2

3� un =

u2n � 3un + 23

=1

3(un � 1) (un � 2) <

(a)

1

3:0 = 0.

Logo, tem-se un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é decrescente.

4

Em alternativa, podemos mostrar por indução que un+1 � un � 0, para todo o n 2 N.Ora já se viu que u2 � u1 � 0.HI (hipótese de indução): un+1 � un � 0.Tese: un+2 � un+1 � 0.Demonstração (da tese):

un+2 � un+1 =u2n+1 + 2

3� u

2n + 2

3=1

3(un+1 � un) (un+1 + un) �

por HI

1

30 = 0,

note-se que un > 0, para todo o n 2 N.Deste modo, tem-se: un+2 � un+1 � 0.Logo, tem-se: un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é decrescente.(c) Como (un) é monótona e limitada, então (un) é convergente.



Logo, tem-se

limun+1 = limu2n + 2

3, l =

l2 + 2

3, l2 � 3l + 2 = 0, (l = 1 ou l = 2) .

Como 1 < un < 2, para todo o n 2 N, e a sucessão (un) é decrescente, então limun = 1.


u1 = 0

un+1 =1

4

�1� u2n

�, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que 0 � un � 1, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se 0 � u1 = 0 � 1. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): 0 � un � 1.Tese: 0 � un+1 � 1.Demonstração (da tese):

0 =1

40 �por HI

un+1 =1

4(1� u2n) �

1

4(1� 0) = 1

4� 1.

Deste modo, tem-se: 0 � un+1 � 1.Logo, tem-se: 0 � un � 1, para todo o n 2 N.(b) Vejamos que (un) é contractiva.

Tem-se

jun+2 � un+1j =��14 �1� u2n+1�� 14 �1� u2n�

�� = 1

4jun+1 � unj jun+1 + unj �

5

� 1

4jun+1 � unj (jun+1j+ junj) �

(a)

1

4jun+1 � unj (1 + 1) =

1

2jun+1 � unj .

Logo, existe c =1




(c) Como a sucessão (un) é contractiva, então (un) é convergente.



Logo, tem-se

limun+1 = lim

�1

4

�1� u2n

��, l =

1

4

�1� l2

�, l2+4l�1 = 0,

�l = �2 +

p5 ou l = �2�

p5�.

Como 0 � un � 1, para todo o n 2 N, e �2�p5 < 0, então limun = �2 +

p5.


u1 = 1

un+1 =1

3 + 2un, (para todo o n 2 N).


0 � 1

5=

1

3 + 2�

por HIun+1 =

1

3 + 2un�

por HI

1

3� 1.

Deste modo, tem-se: 0 � un+1 � 1.Logo, tem-se: 0 � un � 1, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é limitada.(b) A sucessão (un) não é monótona pois:

un+2 � un+1 =1

3 + 2un+1� 1

3 + 2un=

2

(3 + 2un+1) (3 + 2un)(un � un+1)

e assim, as expressões un+2�un+1 e un�un+1 têm o mesmo sinal (un � 0, para todo o n 2 N),quando deveriam ter sinal contrário para que a sucessão (un) pudesse ser monótona.

(c) Vejamos que (un) é contractiva.

Tem-se

jun+2 � un+1j =�� 1

3 + 2un+1� 1

3 + 2un

�� =un�0; 8n2N

6

=2

(3 + 2un+1) (3 + 2un)jun+1 � unj �

un�0; 8n2N

2

9jun+1 � unj .

Logo, existe c =2




(d) Como a sucessão (un) é contractiva, então (un) é de Cauchy. Logo, (un) é convergente.



Logo, tem-se

limun+1 = lim1

3 + 2un, l =

1

3 + 2l, 2l2+3l�1 = 0,

l =

�3 +p17

4ou l =

�3�p17

4

!.

Como 0 � un � 1, para todo o n 2 N, e�3�

p17

4< 0, então limun =

�3 +p17

4.

7. Considere as expressões:

u1 = 1

un+1 =un2+2

un, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que un > 0, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u1 = 1 > 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): un > 0.

Tese: un+1 > 0.


un+1 =un2+2

un>

por HI0.

Deste modo, tem-se: un+1 > 0.

Logo, tem-se: un > 0, para todo o n 2 N.(b) Vejamos que un � 2, para todo o n � 2. Tem-se

un+1 � 2,un2+2

un� 2, u2n � 4un + 4

2un� 0, (un � 2)2

2un� 0.

Logo, como a condição(un � 2)2

2un� 0 é verdadeira, a condição un+1 � 2 também é verdadeira,

para todo o n 2 N. Deste modo, tem-se un � 2, para todo o n � 2.(c) Vejamos que (un) é monótona. Tem-se

un+1 � un =un2+2

un� un = �

un2+2

un=4� u2n2un

�un�2

0.

7

Logo, (un) é decrescente, para todo o n � 2.(d) A sucessão (un) é minorada e por ser decrescente também é majorada. Logo, como (un)é monótona e limitada, então (un) é convergente.


limun+1 = limun = l

Logo, tem-se

limun+1 = lim

�un2+2

un

�, l =

l

2+2

l, 2l2 = l2 + 4, (l = 2 ou l = �2) .

Como un � 2, para todo o n � 2, e �2 < 0, então limun = 2.

8. Considere as expressões:

u1 = 1

un+1 =2un

1 + 2un, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que un > 0, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u1 = 1 > 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.


Tese: un+1 > 0.


un+1 =2un

1 + 2un>

por HI0.

Deste modo, tem-se: un+1 > 0.

Logo, tem-se: un > 0, para todo o n 2 N.

(b) Vejamos que un �1


Para n = 1 tem-se u1 = 1 �1

2. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.

HI (hipótese de indução): un �1

2.

Tese: un+1 �1

2.


un+1 =2un

1 + 2un=2un + 1� 11 + 2un

= 1� 1

1 + 2un�

por HI1� 1

1 + 21

2

=1

2.

Deste modo, tem-se: un+1 �1

2.

8

Logo, tem-se: un �1


(c) Tem-se u2 � u1 =2

3� 1 = �1


Seja n 2 N. Tem-se

un+1 � un =2un

1 + 2un� un =

2un � un � 2u2n1 + 2un

=un � 2u2n1 + 2un

=1

1 + 2unun (1� 2un) �

(a) e (b)0.

Logo, tem-se un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é decrescente.Em alternativa, podemos mostrar por indução que un+1 � un � 0, para todo o n 2 N.Ora já se viu que u2 � u1 � 0.HI (hipótese de indução): un+1 � un � 0.Tese: un+2 � un+1 � 0.Demonstração (da tese):

un+2 � un+1 =�1� 1

1 + 2un+1

��1� 1

1 + 2un

�=

2 (un+1 � un)(1 + 2un) (1 + 2un+1)

= �por HI e por (a)

0,

note-se que un > 0, para todo o n 2 N.Deste modo, tem-se: un+2 � un+1 � 0.Logo, tem-se: un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é decrescente.(d) A sucessão (un) é minorada e por ser decrescente também é majorada. Logo, como (un)é monótona e limitada, então (un) é convergente.


limun+1 = limun = l

Logo, tem-se

limun+1 = lim2un

1 + 2un, l =

2l

1 + 2l, 2l2 + l = 2l, l (2l � 1) = 0,

�l = 0 ou l =

1

2

�.

Como un �1

2, para todo o n 2 N, então limun =

1

2.


u1 = 1, un+1 =p2un �

1

4n, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que un � 2, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u1 = 1 � 2. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): un � 2.Tese: un+1 � 2.Demonstração (da tese):

9

un+1 =p2un �

1

4n�

por HI

p2:2� 1

4n= 2� 1

4n� 2.

Deste modo, tem-se: un+1 � 2.Logo, tem-se: un � 2, para todo o n 2 N.(b) Vejamos que (un) é crescente, isto é, un+1 � un � 0, para todo o n 2 N.

Tem-se u2 � u1 =p2� 1

4� 1 =

p2� 5

4� 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

HI (hipótese de indução): un+1 � un � 0.Tese: un+2 � un+1 � 0.Demonstração (da tese):

un+2�un+1 =�p

2un+1 �1

4n+ 4

��p

2un �1

4n

�=�p

2un+1 �p2un

�+

�1

4n� 1

4n+ 4

�=

=2 (un+1 � un)p2un+1 +

p2un

+1

n (4n+ 4)= �por HI

0,

note-se que un > 0, para todo o n 2 N.Deste modo, tem-se: un+2 � un+1 � 0.Logo, tem-se: un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é crescente.(c) A sucessão (un) é majorada e por ser crescente também é minorada. Logo, como (un) émonótona e limitada, então (un) é convergente.


limun+1 = limun = l

Logo, tem-se

limun+1 = lim

�p2un �

1

4n

�, l =

p2l, l2 = 2l, l (l � 2) = 0, (l = 0 ou l = 2) .

Como a sucessão (un) é crescente, un � u1 = 1, para todo o n 2 N, e então limun = 2.


u1 = 2, un+1 =p1 + un, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que (un) é decrescente, isto é, un+1 � un � 0, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u2 � u1 =

p3� 2 � 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): un+1 � un � 0.Tese: un+2 � un+1 � 0.Demonstração (da tese):

un+2�un+1 =p1 + un+1�

p1 + un =

un+1 � unp1 + un+1 +

p1 + un

�por HI

0p1 + un+1 +

p1 + un

= 0,

10

Deste modo, tem-se: un+2 � un+1 � 0.Logo, tem-se: un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é decrescente.(b) A sucessão (un) é minorada pois un > 0, para todo o n 2 N, e por ser decrescente tambémé majorada. Logo, como (un) é monótona e limitada, então (un) é convergente.


limun+1 = limun = l

Logo, tem-se

limun+1 = limp1 + un , l =

p1 + l, l2 � l � 1 = 0,

l =

1 +p5

2ou l =

1�p5

2

!.

Como un > 0, para todo o n 2 N, e1�

p5


1 +p5

2.


u1 =p5, un+1 =

p5 + un, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que un � 0, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u1 =

p5 � 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): un � 0.Tese: un+1 � 0.Demonstração (da tese): un+1 =

p5 + un � 0.

Logo, tem-se: un � 0, para todo o n 2 N.(b) Vejamos que (un) é contractiva.

Tem-se jun+2 � un+1j =

=��p5 + un+1 �p5 + un�� = jun+1 � unjp

5 + un+1 +p5 + un

�un�0; 8n2N

jun+1 � unjp5 + 0 +

p5 + 0

=

p5

10jun+1 � unj .

Logo, existe c =

p5




(c) Como a sucessão (un) é contractiva, então (un) é de Cauchy. Logo, (un) é convergente.



Logo, tem-se

limun+1 = limp5 + un , l =

p5 + l, l2 � l� 5 = 0,

l =

1 +p21

2ou l =

1�p21

2

!.

Como un � 0, para todo o n 2 N, e1�

p21


1 +p21

2.

11


u1 = 2

un+1 =1

3� un+1

n, (para todo o n 2 N).


0 � 1

3+1

n�

por HIun+1 =

1

3� un+1

n�

por HI

1

3� 2 +1

n� 1

3� 2 + 1 = 2.

Deste modo, tem-se: 0 � un+1 � 2.Logo, tem-se: 0 � un � 2, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é limitada.(b) Vejamos que (un) é decrescente, isto é, un+1 � un � 0, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u2 � u1 = 2� 2 = 0 � 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.Seja n 2 N.HI (hipótese de indução): un+1 � un � 0.Tese: un+2 � un+1 � 0.Demonstração (da tese):

un+2�un+1 =�

1

3� un+1+

1

n+ 1

��

1

3� un+1

n

�=

�1

3� un+1� 1

3� un

�+

�1

n+ 1� 1

n

�=

=un+1 � un

(3� un+1) (3� un)+

�1

n+ 1� 1

n

��

por HI e por (a)0 +

�1

n+ 1� 1

n

�� 0,

Deste modo, tem-se: un+2 � un+1 � 0.Logo, tem-se: un+1 � un � 0, para todo o n 2 N, e assim, a sucessão (un) é decrescente.(c) Como a sucessão (un) é monótona (por (b)) e limitada (por (a)), então (un) é convergente.


limun+1 = limun = l

Logo, tem-se

limun+1 = lim

�1

3� un+1

n

�, l =

1

3� l , l2�3l+1 = 0, l =

3 +p5

2ou l =

3�p5

2

!.

Como 0 � un � 2, para todo o n 2 N, e3 +

p5

2> 2, então limun =

3�p5

2.

12


u1 = 1

un+1 = 1 +1

un, (para todo o n 2 N).

Vejamos primeiro que un > 0, para todo o n 2 N.Para n = 1 tem-se u1 = 1 > 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.


Tese: un+1 > 0.


un+1 = 1 +1

un>

por HI0.

Logo, tem-se: un > 0, para todo o n 2 N.(a) A sucessão (un) não é monótona pois:

un+2 � un+1 =�1 +

1

un+1

��1 +

1

un

�=

1

unun+1(un � un+1)

e assim, as expressões un+2 � un+1 e un � un+1 têm o mesmo sinal (note-se que un > 0, paratodo o n 2 N), quando deveriam ter sinal contrário para que a sucessão (un) pudesse sermonótona.

(b) Vejamos que p2 < un < 2,

para todo o n 2 N com n � 3.

Para n = 3 tem-sep2 < u3 =

3

2< 2. Logo, a proposição é verdadeira para n = 3.

Seja n 2 N com n � 3.HI (hipótese de indução):

p2 < un < 2.

Tese:p2 < un+1 < 2.

Demonstração (da tese):p2 <

3

2= 1 +

1

2<

por HIun+1 = 1 +

1

un<

por HI1 +

1p2< 2.

Logo, tem-se:p2 < un < 2, para todo o n 2 N com n � 3.

Por outro lado, tem-se

jun+2 � un+1j =��1 + 1

un+1

��1 +

1

un

�� =un>0; 8n2N

1

unun+1jun � un+1j <p

2<un; 8n�3

1

2jun+1 � unj ,

para todo o n 2 N com n � 3.Logo, tem-se

jun+2 � un+1j �1

2jun+1 � unj ,

13

para todo o n 2 N com n � 3.Para n = 1 tem-se

ju3 � u2j =��32 � 2

�� = 1

2� 1

2j2� 1j = 1

2ju2 � u1j .

Para n = 2 tem-se

ju4 � u3j =��53 � 32

�� = 1

6� 1

4=1

2

��32 � 2�� = 1

2ju3 � u2j .

Logo, tem-se

jun+2 � un+1j �1

2jun+1 � unj ,

para todo o n 2 N.

(c) Pela alínea (b), existe c =1


jun+2 � un+1j �1

2jun+1 � unj :

Logo, a sucessão (un) é contractiva. Como a sucessão (un) é contractiva, então (un) é deCauchy. Logo, (un) é convergente.



Logo, tem-se

limun+1 = lim

�1 +

1

un

�, l = 1 +

1

l, l2 � l � 1 = 0,

l =

1 +p5

2ou l =

1�p5

2

!.

Como un > 0, para todo o n 2 N, e1�

p5


1 +p5

2.


u1 = u2 =1

2

un+2 � un+1 +1

4un = 0, (para todo o n 2 N).

(a) Vejamos que un+1 >1

2un, para todo o n 2 N.

Para n = 1 tem-se u2 =1

2>1

2

1

2=1

2u1. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.

Seja n 2 N.

HI (hipótese de indução): un+1 >1

2un.

Tese: un+2 >1

2un+1.

14


un+2 = un+1 �1

4un =

1

2un+1 +

1

2un+1 �

1

4un =

1

2un+1 +

1

2

�un+1 �

1

2un

�>

por HI

1

2un+1:

Logo, tem-se: un+1 >1

2un, para todo o n 2 N.

(b) Vejamos que (un) é decrescente, isto é, un+1 � un � 0, para todo o n 2 N.Como

un+2 � un+1 = �1

4un;

para que se tenha un+2 � un+1 � 0, basta veri�car que un > 0, para todo o n 2 N.

Para n = 1 tem-se u1 =1

2> 0. Logo, a proposição é verdadeira para n = 1.


Tese: un+1 > 0.


un+1 >por (a)

1

2un >

por HI0.

Logo, tem-se: un > 0, para todo o n 2 N.

Deste modo, como u2 � u1 =1

2� 12= 0 e

un+2 � un+1 = �1

4un < 0,

para todo o n 2 N, então tem-seun+1 � un � 0,

para todo o n 2 N, e assim a sucessão (un) é decrescente.

(c) A sucessão (un) é minorada pois un > 0, para todo o n 2 N, e por ser decrescente tambémé majorada. Logo, como (un) é monótona e limitada, então (un) é convergente.

Seja l = limun. Como (un+1) e (un+2) são subsucessões de (un), então (un+1) e (un+2)convergem e

limun+1 = limun+2 = limun = l

Logo, tem-se

limun+2 = lim

�un+1 �

1

4un

�, l = l � 1

4l, l = 0.

Logo limun = 0.

19

(1) A série+1Pn=0

�1

n!� 1

(n+ 2)!

�é uma série de Mengoli do tipo

+1Pn=0

(xn � xn+k), com k = 2 e

xn =1

n!. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.

15

Como (xn) converge, a série de Mengoli+1Pn=0

�1

n!� 1

(n+ 2)!

�converge absolutamente, uma vez

que1

n!� 1

(n+ 2)!� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=0

�1

n!� 1

(n+ 2)!

�= x0 + x1 � 2 lim xn = 1 + 1� 2 lim

1

n!= 2.

(2) A série+1Pn=1

�cos

�

n+ 2� cos �

n


+1Pn=1

(xn+k � xn), com k = 2

e xn = cos�

n. Atendendo a que limxn = 1 2 R, então (xn) converge.


�cos

�

n+ 2� cos �

n

�converge absolutamente, pois

cos�

n+ 2� cos �

n� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�cos

�

n+ 2� cos �

n

�= 2 limxn � (x1 + x2) = 2� (�1) = 3.

(3) Tem-se+1Pn=1

1

4n2 � 1 =+1Pn=1

1

(2n� 1) (2n+ 1) =+1Pn=1

1

2

�1

2n� 1 �1

2n+ 1

�.

A série+1Pn=1

�1

2n� 1 �1

2n+ 1


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e

xn =1

2n� 1 . Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

2n� 1 �1

2n+ 1


1

2n� 1 �1

2n+ 1� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�1

2n� 1 �1

2n+ 1

�= x1 � limxn = 1� lim

1

2n� 1 = 1.

Logo, a série+1Pn=1

1

4n2 � 1 =+1Pn=1

1

2

�1

2n� 1 �1

2n+ 1

�converge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

1

4n2 � 1 =+1Xn=1

1

2

�1

2n� 1 �1

2n+ 1

�=1

2

+1Xn=1

�1

2n� 1 �1

2n+ 1

�=1

21 =

1

2.

(4) Tem-se+1Pn=3

1

n (n� 2) =+1Pn=3

1

2

�1

n� 2 �1

n

�.

A série+1Pn=3

�1

n� 2 �1

n


+1Pn=3

(xn � xn+2), com k = 2 e xn =

1

n� 2 . Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.

16


�1

n� 2 �1

n

�converge absolutamente, uma vez que

1

n� 2 �1

n� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=3

�1

n� 2 �1

n

�= x3 + x4 � 2 lim xn = 1 +

1

2� 2 lim 1

n� 2 =3

2.


1

n (n� 2) =+1Pn=3

1

2

�1

n� 2 �1

n


+1Xn=3

1

n (n� 2) =+1Xn=3

1

2

�1

n� 2 �1

n

�=1

2

+1Xn=3

�1

n� 2 �1

n

�=1

2

3

2=3

4.

(5) Tem-se+1Pn=1

1

(2n+ 1) (2n+ 3)=

+1Pn=1

1

2

�1

2n+ 1� 1

2n+ 3

�.

A série+1Pn=1

�1

2n+ 1� 1

2n+ 3


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e

xn =1

2n+ 1. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

2n+ 1� 1

2n+ 3


1

2n+ 1� 1

2n+ 3� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�1

2n+ 1� 1

2n+ 3

�= x1 � limxn =

1

3� lim 1

2n+ 1=1

3.


1

(2n+ 1) (2n+ 3)=

+1Pn=1

1

2

�1

2n+ 1� 1

2n+ 3

�converge absolutamente e a sua

soma é+1Xn=1

1

(2n+ 1) (2n+ 3)=

+1Xn=1

1

2

�1

2n+ 1� 1

2n+ 3

�=1

2

+1Xn=1

�1

2n+ 1� 1

2n+ 3

�=1

2

1

3=1

6.

(6) Tem-se+1Pn=1

pn+ 1�

pnp

n2 + n=

+1Pn=1

�1pn� 1p

n+ 1

�.

A série+1Pn=1

�1pn� 1p

n+ 1


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e

xn =1pn. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1pn� 1p

n+ 1


1pn� 1p

n+ 1� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�1pn� 1p

n+ 1


1pn= 1.

17

(7) Tem-se+1Pn=1

1

n2 + 2n=

+1Pn=1

1

2

�1

n� 1

n+ 2

�.

A série+1Pn=1

�1

n� 1

n+ 2


+1Pn=1

(xn � xn+2), com k = 2 e xn =1

n.

Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

n� 1

n+ 2


1

n� 1


+1Xn=1

�1

n� 1

n+ 2

�= x1 + x2 � 2 lim xn = 1 +

1

2� 2 lim 1

n=3

2.


1

n2 + 2n=

+1Pn=1

1

2

�1

n� 1

n+ 2


+1Xn=1

1

n2 + 2n=

+1Xn=1

1

2

�1

n� 1

n+ 2

�=1

2

+1Xn=1

�1

n� 1

n+ 2

�=1

2

3

2=3

4.

(8) Tem-se+1Pn=1

log

�n+ 1

n

�=

+1Pn=1

(log (n+ 1)� log n).

A série+1Pn=1

(log (n+ 1)� log n) é uma série de Mengoli do tipo+1Pn=1

(xn+1 � xn), com k = 1 e

xn = log n. Atendendo a que limxn = +1 =2 R, então (xn) diverge.

Como (xn) diverge, a série de Mengoli+1Pn=1

(log (n+ 1)� log n) diverge.

(9) Tem-se+1Pn=1

2n+ 1

n2 (n+ 1)2=

+1Pn=1

�1

n2� 1

(n+ 1)2

�.

A série+1Pn=1

�1

n2� 1

(n+ 1)2


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e

xn =1

n2. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

n2� 1

(n+ 1)2


1

n2� 1

(n+ 1)2� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�1

n2� 1

(n+ 1)2


1

n2= 1.

18

(10) Tem-se

+1Xn=1

n

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)=

+1Xn=1

n+ 1� 1(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)

=

=+1Xn=1

�n+ 1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)� 1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)

�=

=+1Xn=1

�1

(n+ 2) (n+ 3)� 1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)

�.

A série+1Pn=1

1

(n+ 2) (n+ 3)=

+1Pn=1

�1

n+ 2� 1

n+ 3


+1Pn=1

(xn � xn+1),

com k = 1 e xn =1

n+ 2. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

n+ 2� 1

n+ 3


1

n+ 2� 1


+1Xn=1

�1

n+ 2� 1

n+ 3

�= x1 � limxn =

1

3� lim 1

n+ 2=1

3.

Por outro lado, tem-se

+1Xn=1

1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)=

+1Xn=1

1

2

�1

(n+ 1) (n+ 2)� 1

(n+ 2) (n+ 3)

�.

A série+1Pn=1

�1

(n+ 1) (n+ 2)� 1

(n+ 2) (n+ 3)


+1Pn=1

(xn � xn+1),

com k = 1 e xn =1

(n+ 1) (n+ 2). Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

(n+ 1) (n+ 2)� 1

(n+ 2) (n+ 3)

�converge abso-

lutamente, pois1

(n+ 1) (n+ 2)� 1

(n+ 2) (n+ 3)� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�1

(n+ 1) (n+ 2)� 1

(n+ 2) (n+ 3)

�= x1 � limxn =

1

6� lim 1

(n+ 1) (n+ 2)=1

6.


1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)converge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)=

+1Xn=1

1

2

�1

(n+ 1) (n+ 2)� 1

(n+ 2) (n+ 3)

�=

=1

2

+1Xn=1

�1

(n+ 1) (n+ 2)� 1

(n+ 2) (n+ 3)

�=1

2

1

6=1

12.

19

Deste modo, a série+1Pn=1

n

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)converge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

n

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)=

+1Xn=1

�1

(n+ 2) (n+ 3)� 1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)

�=

=

+1Xn=1

1

(n+ 2) (n+ 3)�

+1Xn=1

1

(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)=1

3� 1

12=1

4.

(11) Tem-se+1Pn=1

(�1)n�1 (2n+ 1)n (n+ 1)

=+1Pn=1

�(�1)n�1 1

n� (�1)n 1

n+ 1

�.

A série+1Pn=1

�(�1)n�1 1

n� (�1)n 1

n+ 1


+1Pn=1

(xn � xn+1), com

k = 1 e xn = (�1)n�11

n. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�(�1)n�1 1

n� (�1)n 1

n+ 1

�converge e a sua soma é

+1Xn=1

�(�1)n�1 1

n� (�1)n 1

n+ 1


�(�1)n�1 1

n

�= 1.

A série de Mengoli

+1Xn=1

�(�1)n�1 1

n� (�1)n 1

n+ 1

�=

+1Xn=1

(�1)n�1 (2n+ 1)n (n+ 1)

converge simplesmente pois a série

+1Xn=1

��(�1)n�1 1n � (�1)n 1

n+ 1

�� = +1Xn=1

��(�1)n�1 (2n+ 1)n (n+ 1)

�� =+1Xn=1

(2n+ 1)

n (n+ 1)

diverge por comparação com a série divergente+1Pn=1

1

n:

(12) Tem-se+1Pn=1

n

2n=

+1Pn=1

�2

�n

2n� n+ 12n+1

�+

�1

2

�n�.

A série+1Pn=1

�n

2n� n+ 12n+1


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e xn =n

2n.

Atendendo a que limxn = 0 2 R, pela escala de sucessões, então (xn) converge.


�n

2n� n+ 12n+1

�converge absolutamente, uma vez

quen

2n� n+ 12n+1

=n� 12n+1

� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�n

2n� n+ 12n+1

�= x1 � limxn =

1

2� lim n

2n=1

2.

20


2

�n

2n� n+ 12n+1


+1Xn=1

2

�n

2n� n+ 12n+1

�= 2

+1Xn=1

�n

2n� n+ 12n+1

�= 2

1

2= 1.

A série+1Pn=1

�1

2

�né uma série geométrica de razão

1

2. Como

��12�� = 1

2< 1, a série

+1Pn=1

�1

2

�nconverge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

�1

2

�n=

1

2

1� 12

= 1.


n

2n=

+1Pn=1

�2

�n

2n� n+ 12n+1

�+

�1

2

�n�converge absolutamente, por ser a série soma

de duas séries absolutamente convergentes, e a sua soma é

+1Xn=1

n

2n=

+1Xn=1

�2

�n

2n� n+ 12n+1

�+

�1

2

�n�=

+1Xn=1

2

�n

2n� n+ 12n+1

�+

+1Xn=1

�1

2

�n= 1 + 1 = 2.

(13) Tem-se

+1Xn=1

�2npn+ 1 + (n+ 1)

pn=

+1Xn=1

�2pn+ 1

pn

1pn+ 1 +

pn=

=+1Xn=1

�2pn+ 1

pn

�pn+ 1�

pn�=

+1Xn=1

(�2)�1pn� 1p

n+ 1

�.

A série+1Pn=1

�1pn� 1p

n+ 1


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e

xn =1pn. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1pn� 1p

n+ 1


1pn� 1p


+1Xn=1

�1pn� 1p

n+ 1


1pn= 1.


�2npn+ 1 + (n+ 1)

pnconverge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

�2npn+ 1 + (n+ 1)

pn=

+1Xn=1

(�2)�1pn� 1p

n+ 1

�=

21

= (�2)+1Xn=1

�1pn� 1p

n+ 1

�= (�2) 1 = �2.

(14) Tem-se+1Pn=2

(�1)n e�n+1

2�n+1=

+1Pn=2

e

2

��2e

�n.

A série+1Pn=2

e

2

��2e

�né uma série geométrica de razão �2

e. Como

��2e�� = 2

e< 1, a série

+1Pn=2

e

2

��2e


+1Xn=2

e

2

��2e

�n=

e

2

��2e

�21�

��2e

� = 2

e

1 +2

e

=2

e+ 2.

(15) Tem-se+1Pn=1

5n�1

22n=

+1Pn=1

1

5

�5

4

�n.

A série+1Pn=1

1

5

�5

4


5

4. Como

��54�� = 5

4> 1, a série

+1Pn=1

1

5

�5

4

�ndiverge.

(16) Tem-se+1Pn=1

(�2)�n�1

5n�13�(2n+1)=

+1Pn=1

��152

�� 910

�n.

A série+1Pn=1

��152

�� 910

�né uma série geométrica de razão � 9

10. Como

�� 910�� = 9

10< 1, a

série+1Pn=1

��152

�� 910


+1Xn=1

��152

�� 910

�n=

��152

�� 910

�1�

�� 910

� =

27

419

10

=135

38.

(17) Tem-se+1Pn=1

2n + 3n

6n=

+1Pn=1

��1

3

�n+

�1

2

�n�.

A série+1Pn=1

�1

3


1

3. Como

��13�� = 1

3< 1, a série

+1Pn=1

�1

3


+1Xn=1

�1

3

�n=

1

3

1� 13

=

1

32

3

=1

2.

22

A série+1Pn=1

�1

2


1

2. Como

��12�� = 1

2< 1, a série

+1Pn=1

�1

2


+1Xn=1

�1

2

�n=

1

2

1� 12

=

1

21

2

= 1.


2n + 3n

6n=

+1Pn=1

��1

3

�n+

�1

2

�n�converge absolutamente, por ser a série soma

de duas séries absolutamente convergentes, e a sua soma é

+1Xn=1

2n + 3n

6n=

+1Xn=1

��1

3

�n+

�1

2

�n�=

+1Xn=1

�1

3

�n+

+1Xn=1

�1

2

�n=1

2+ 1 =

3

2.

(18) Tem-se+1Pn=1

5 + (�1)n3n�1

=+1Pn=1

"5

�1

3

�n�1+ (�1)

��13

�n�1#.

A série+1Pn=1

5

�1

3

�n�1é uma série geométrica de razão

1

3. Como

��13�� = 1

3< 1, a série

+1Pn=1

5

�1

3

�n�1converge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

5

�1

3

�n�1=

5

1� 13

=52

3

=15

2.

A série+1Pn=1

(�1)��13

�n�1é uma série geométrica de razão �1

3. Como

��13�� = 1

3< 1, a série

+1Pn=1

(�1)��13

�n�1converge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

(�1)��13

�n�1=

�1

1��13

� = �14

3

= �34.


5 + (�1)n3n�1

=+1Pn=1

"5

�1

3

�n�1+ (�1)

��13

�n�1#converge absolutamente, por

ser a série soma de duas séries absolutamente convergentes, e a sua soma é

+1Xn=1

5 + (�1)n3n�1

=+1Xn=1

"5

�1

3

�n�1+ (�1)

��13

�n�1#=

=

+1Xn=1

5

�1

3

�n�1+

+1Xn=1

(�1)��13

�n�1=15

2� 34=27

4.

(19) Tem-se+1Pn=1

2n + n2 + n

2n+1n(n+ 1)=

+1Pn=1

"1

2

�1

n� 1

n+ 1

�+

�1

2

�n+1#.

23

A série+1Pn=1

�1

n� 1

n+ 1


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e xn =1

n.

Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

n� 1

n+ 1


1

n� 1


+1Xn=1

�1

n� 1

n+ 1


1

n= 1.


1

2

�1

n� 1

n+ 1


+1Xn=1

1

2

�1

n� 1

n+ 1

�=1

2

+1Xn=1

�1

n� 1

n+ 1

�=1

21 =

1

2.

A série+1Pn=1

�1

2

�n+1é uma série geométrica de razão

1

2. Como

��12�� = 1

2< 1, a série

+1Pn=1

�1

2

�n+1converge absolutamente e a sua soma é

+1Xn=1

�1

2

�n+1=

�1

2

�21� 1

2

=1

2.


2n + n2 + n

2n+1n(n+ 1)=

+1Pn=1

"1

2

�1

n� 1

n+ 1

�+

�1

2

�n+1#converge absolutamente, por ser

a série soma de duas séries absolutamente convergentes, e a sua soma é

+1Xn=1

2n + n2 + n

2n+1n(n+ 1)=

+1Xn=1

"1

2

�1

n� 1

n+ 1

�+

�1

2

�n+1#=

=

+1Xn=1

1

2

�1

n� 1

n+ 1

�+

+1Xn=1

�1

2

�n+1=1

2+1

2= 1.

(20) Tem-se+1Pn=1

��2

3

�n+n� 1n!

�=

+1Pn=1

��2

3

�n+

�1

(n� 1)! �1

n!

��.

A série+1Pn=1

�1

(n� 1)! �1

n!


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e

xn =1

(n� 1)! . Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

(n� 1)! �1

n!


1

(n� 1)! �1

n!� 0 para todo o n 2 N, e a sua soma é

+1Xn=1

�1

(n� 1)! �1

n!


1

(n� 1)! = 1.

24

A série+1Pn=1

�2

3


2

3. Como

��23�� = 2

3< 1, a série

+1Pn=1

�2

3


+1Xn=1

�2

3

�n=

2

3

1� 23

= 2.


��2

3

�n+n� 1n!

�=

+1Pn=1

��2

3

�n+

�1

(n� 1)! �1

n!

��converge absolutamente, por

ser a série soma de duas séries absolutamente convergentes, e a sua soma é

+1Xn=1

��2

3

�n+n� 1n!

�=

+1Xn=1

��2

3

�n+

�1

(n� 1)! �1

n!

��=

=+1Xn=1

�2

3

�n+

+1Xn=1

�1

(n� 1)! �1

n!

�= 2 + 1 = 3.

(21) Tem-se+1Pn=1

�1

ne1=n � n �1

(n+ 1) e1=(n+1) � n� 1

�=

+1Pn=1

264 1

ne1=n � 1 �

1

n+ 1e1=(n+1) � 1

375.A série

+1Pn=1

264 1

ne1=n � 1 �

1

n+ 1e1=(n+1) � 1

375 é uma série de Mengoli do tipo +1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1

e xn =

1

ne1=n � 1 . Atendendo a que limxn = 1 2 R, então (xn) converge.


264 1

ne1=n � 1 �

1

n+ 1e1=(n+1) � 1

375 converge e a sua soma é+1Xn=1

264 1

ne1=n � 1 �

1

n+ 1e1=(n+1) � 1

375 = x1 � limxn =

=1

e� 1 � lim1

ne1=n � 1 =

1

e� 1 � 1 =2� ee� 1 .

(22) Tem-se+1Pn=2

(�1)n2e (��)�n+2

(�e)�n+1=

+1Pn=2

(�2�2)�� e�

�n.

25

A série+1Pn=2

(�2�2)�� e�

�né uma série geométrica de razão � e

�. Como

�� e�

�� = e

�< 1, a série

+1Pn=2

(�2�2)�� e�


+1Xn=2

��2�2

� �� e�

�n=(�2�2)

�� e�

�21�

�� e�

� =�2�e2� + e

.

(23) Tem-se

+1Xn=1

�(�1)n

�n sen

1

n+ 2+ (n+ 1) sen

1

n+ 3

��=

+1Xn=1

�(�1)n n sen 1

n+ 2� (�1)n+1 (n+ 1) sen 1

n+ 3

�.

A série+1Pn=1

�(�1)n n sen 1

n+ 2� (�1)n+1 (n+ 1) sen 1

n+ 3


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e xn = (�1)n n sen1

n+ 2. Atendendo a que

limx2n = lim

�2n sen

1

2n+ 2

�= lim

0B@sen1

2n+ 21

2n+ 2

2

2 +2

n

1CA = 1

e

limx2n+1 = lim

��(2n+ 1) sen

1

2n+ 3

��= lim

0B@�sen1

2n+ 31

2n+ 3

2 +1

n

2 +3

n

1CA = �1

tem-se limx2n 6= lim x2n+1, e então (xn) diverge.

Como (xn) diverge, a série de Mengoli+1Pn=1

�(�1)n n sen 1

n+ 2� (�1)n+1 (n+ 1) sen 1

n+ 3

�di-

verge.

(24) Tem-se+1Pn=1

1

n2 + 3n+ 2=

+1Pn=1

1

(n+ 1) (n+ 2)=

+1Pn=1

�1

n+ 1� 1

n+ 2

�.

A série+1Pn=1

�1

n+ 1� 1

n+ 2


+1Pn=1

(xn � xn+1), com k = 1 e

xn =1

n+ 1. Atendendo a que limxn = 0 2 R, então (xn) converge.


�1

n+ 1� 1

n+ 2


1

n+ 1� 1


+1Xn=1

�1

n+ 1� 1

n+ 2

�= x1 � limxn =

1

2� lim 1

n+ 1=1

2.

26

20

(1) Como22n

3n + 1=

4n

3n + 1=

�4

3

�n1

1 +1

3n

! (+1) 1

1 + 0= +1 6= 0, então a série

+1Pn=1

22n

3n + 1

diverge.

(2) Como2n� 13n+ 2

=2� 1

n

3 +2

n

! 2

36= 0, então a série

+1Pn=1

2n� 13n+ 2

diverge.

(3) Como lim�1

n2

� 1n

= lim

�1npn

�2=

0B@ 1

limn+ 1

n

1CA2

=

0BB@ 1

lim

�1 +

1

n

�1CCA2

= 12 = 1 6= 0,

então a série+1Pn=1

�1

n2

� 1n

diverge.

(4) Seja xn =(�1)nen+11 + 2n

. Como

limx2n = lime2n+1

1 + 22n= lim

264�e24

�ne

1

4n+ 1

375 = (+1) e

0 + 1= +1 6= 0,

então xn 9 0; e assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

(�1)nen+11 + 2n

diverge.

(5) Seja xn = (�1)n3n

n32n. Como

limx2n = lim32n

(2n)3 22n= lim

�1

8

9n

n34n

�= lim

0BB@18�9

4

�nn3

1CCA =1

8(+1) = +1 6= 0,


xn =+1Pn=1

(�1)n 3n

n32ndiverge.

(6) Seja xn = cos (n2�). Como

limx2n = lim cos�4n2�

�= lim 1 = 1 6= 0,


xn =+1Pn=1

cos (n2�) diverge.

27

(7) Como lim cos(e�n) = cos(e�1) = cos 0 = 1 6= 0, então a série+1Pn=1

cos(e�n) diverge.

(8) Como limn!

n2 + 2n= lim

0B@n!2n

1

n2

2n+ 1

1CA = (+1) 1

0 + 1= +1 6= 0, então a série

+1Pn=1

n!

n2 + 2n

diverge.

(9) Como cos21

nn! cos2

�1

+1

�= cos2 0 = 1 6= 0, então a série

+1Pn=1

cos21

nndiverge.

(10) Como�1 +

2

n

�n! e2 6= 0, então a série

+1Pn=1

�1 +

2

n

�ndiverge.

(11) Seja xn = (�1)n5pn

1 + log n. Como

limx2n = lim5p2n

1 + log (2n)= lim

0BB@ (2n)1=5

log (2n)

11

log (2n)+ 1

1CCA = (+1) 1

0 + 1= +1 6= 0,


xn =+1Pn=1

(�1)n5pn

1 + log ndiverge.

(12) Como e1=n! ! e1=(+1) = e0 = 1 6= 0, então a série+1Pn=1

e1=n! diverge.

(13) Seja xn =1

n! (�n)�n. Como x2n =

(2n)2n

(2n)!! +1 6= 0, então xn 9 0; e assim, a série

+1Pn=1

xn =+1Pn=1

1

n! (�n)�ndiverge.

(14) Como lim2 + n!

n!= lim

�1 +

2

n!

�= 1 6= 0, então a série

+1Pn=1

2 + n!

n!diverge.

(15) Como lim npe = lim

e

e= lim 1 = 1 6= 0, então a série

+1Pn=1

npe diverge.

(16) Seja xn = [1 + (�1)n]. Como x2n = 2 ! 2 6= 0, então xn 9 0; e assim, a série+1Pn=1

xn =

+1Pn=1

[1 + (�1)n] diverge.

28

(17) Seja xn = cos

�(�2)n

n!

�. Como limx2n = lim

�cos

�22n

(2n)!

��= cos 0 = 1 6= 0, então

xn 9 0, e assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

cos

�(�2)n

n!

�diverge.

(18) Seja xn =1

2 + cos (n�). Como limx2n = lim

1

2 + cos (2n�)= lim

1

2 + 1=1

36= 0, então

xn 9 0, e assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

1

2 + cos (n�)diverge.

(19) Seja xn =�1

n

�(�1)n. Como

limx2n+1 = lim

�1

2n+ 1

�(�1)2n+1= lim

�1

2n+ 1

��1= lim (2n+ 1) = +1 6= 0,

então xn 9 0, e assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

�1

n

�(�1)ndiverge.

(20) Comon2n

n+ 2n=

nn

2n+ 1

! +10 + 1

= +1 6= 0, então a série+1Pn=1

n2n

n+ 2ndiverge.

(21) Como arctgn

n+ 1= arctg

1

1 +1

n

! arctg1

1 + 0= arctg 1 =

�


+1Pn=1

arctgn

n+ 1diverge.

(22) Como1

n log (1 + 1=n)=

1=n

log (1 + 1=n)! 1 6= 0, então a série

+1Pn=1

1

n log (1 + 1=n)diverge.

(23) Seja xn = (�1)nn+ log n

2n+ log2 n. Como

limx2n = lim2n+ log (2n)

4n+ log2 (2n)= lim

1 +log (2n)

2n

2 +log2 (2n)

2n

=1 + 0

2 + 0=1

26= 0,

então xn 9 0, e assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

(�1)n n+ log n2n+ log2 n

diverge.

(24) Como 2�1=n ! 20 = 1 6= 0, então a série+1Pn=1

2�1=n diverge.

29

(25) Seja xn = (�1)n+2 n2

n2 + 2. Como x2n =

4n2

4n2 + 2=

1

1 +1

2n2

! 1

1 + 0= 1 6= 0, então

xn 9 0; e assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

(�1)n+2 n2

n2 + 2diverge.

(26) Seja xn = [1 + (�1)n]n. Como x2n = [1 + (�1)2n]2n = 22n ! +1 6= 0, então xn 9 0; e

assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

[1 + (�1)n]n diverge.

(27) Como nne�n =nn

en! +1 6= 0, então a série

+1Pn=1

nne�n diverge.

(28) Seja xn = (�1)n(n+ 1)n

nn. Como x2n =

(2n+ 1)2n

2n2n=

�1 +

1

2n

�2n! e 6= 0, então xn 9 0;

e assim, a série+1Pn=1

xn =+1Pn=1

(�1)n (n+ 1)n

nndiverge.

(29) Como2n

1 + arctg n! +11 +

�

2

= +1 6= 0, então a série+1Pn=1

2n

1 + arctg ndiverge.

(30) Como arcsen�1� 1

n!

�! arcsen 1 =

�


+1Pn=1

arcsen

�1� 1

n!

�diverge.

(31) Como n sen1

n=sen

1

n1

n

! 1 6= 0, então a série+1Pn=1

n sen1

ndiverge.

(32) Como

(n+ 1)n+2 + 2n + n!

log n+ (n2 + 1)nn=n2nn

n2nn

�1 +

1

n

�2�1 +

1

n

�n+1

n22n

nn+1

n2n!

nn

1

n2log n

nn+ 1 +

1

n2

=

=

�1 +

1

n

�2�1 +

1

n

�n+1

n22n

nn+1

n2n!

nn

1

n2log n

nn+ 1 +

1

n2

! (1 + 0)2 e+ 0:0 + 0:0

0:0 + 1 + 0= e 6= 0,

então a série+1Pn=1

(n+ 1)n+2 + 2n + n!

log n+ (n2 + 1)nndiverge.

30

instituto superior tØcnico - 1o semestre 2006/2007 cÆlculo

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