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Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 2º año

Repasamos CONJUNTOS TEORIA BASICA DE CONJUNTOS

Cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. El termino

conjunto no tiene una definición matemática, sino que es un concepto primitivo.

Ejemplos de conjuntos son el conjunto de los números naturales, de los

televisores de la ciudad de Córdoba y de los peces en los océanos. Nuestro

objetivo será estudiar aquellos conjuntos que están relacionados con el campo de

la matemática, especialmente los conjuntos numéricos. La teoría de conjuntos es

fundamental en matemática y de suma importancia en informática, donde

encuentra aplicaciones en áreas tales como inteligencia artificial, bases de datos y

lenguajes de programación.

Conjuntos y pertenencia Un conjunto es una colección de elementos diferentes. Los objetos que integran

un conjunto se llaman elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los

siguientes:

El conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9.

El conjunto formado por los estudiantes de primer año de IRSO

El conjunto formado las rectas que pasan por un punto P.

En general usaremos letras mayúsculas para designar a los conjuntos y letras

minúsculas para designar a sus elementos. Si “a” es un elemento de un conjunto

A se escribe a ∈A y se lee “a pertenece a A “ o “a es un elemento de A” . Si “a” no

es un elemento del conjunto A se escribe a ∉ A y se lee “a no pertenece a A” o “a

no es elemento de A”.

Los sımbolos N, Z, Q y R servirán para nombrar a los siguientes conjuntos:

N: el conjunto de los números naturales.

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Z: el conjunto de los números enteros.

Q: el conjunto de los números

racionales.

I : el conjunto de los números

irracionales.

R: el conjunto de los números reales.

¿Cómo podemos definir un conjunto? Definir un conjunto es describir de una manera

precisa, sin ambigüedades, cuales son los elementos de dicho conjunto. Existen


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distintas maneras de definir un conjunto. La forma mas simple, pero que no

siempre es posible, es por extensión, es decir listando todos los elementos del

conjunto separados por comas y encerrando todo entre llaves:

A = {1, 2, 3, 5, _},

G = {a, e, i, o, u}

M = { River, San Lorenzo, Boca}.

El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los

elementos se consideran una sola vez.

EJEMPLO: {1, 2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 2, 2, 3} describen al mismo conjunto.

En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los

suficientes y se usan los puntos suspensivos “. . . ”para sugerir los elementos

faltantes:

EJEMPLO: B = {3, 5, 7, . . . }, C = {2, 4, . . . , 32}.

Sin embargo esta forma de nombrarlos es siempre ambigua, no puede saberse de

antemano que elementos son los que se han omitido. Por ejemplo, B podrıa ser el

conjunto de los números impares, o podrıa ser el conjunto de los números primos

mayores que 2. Del mismo modo, C podrıa ser todos los pares entre 2 y 32 o bien

todas las potencias de 2 menores que 34.

Otra forma de describir un conjunto es por comprensión, es decir enunciando una

propiedad de los elementos que lo integran:

A = {x | x cumple la propiedad P}.

Esto se lee: “el conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P.

EJEMPLO. El conjunto

B = {x | x es natural e impar y x ≥ 3}

esta formado por todos los números naturales impares mayores o iguales a 3. En

este caso se trata de un conjunto con un numero infinito de elementos, y por lo

tanto no podemos definirlo por extensión.

EJEMPLO. El conjunto

C = {x | x es natural y 2 ≤ x ≤ 26 y x es potencia de 2}

es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16. El conjunto C se define

también por extensión como:

C = {2, 4, 8, 16 }.

Diagramas de Venn.

Es frecuente utilizar ciertos diagramas, llamados diagramas de Venn, para

representar a los conjuntos. Un conjunto se representa con una lınea curva


cerrada, y sus elementos con puntos en el interior. Por ejemplo, el diagrama de

Venn para el conjunto

A = {a, b } es

a•

b•

c•

d•

EL CONJUNTO VACIO Es un conjunto sin elementos. Se lo indica con el sımbolo Φ o { }.

EJEMPLO El conjunto A = {x | x > 0 y x < 0} no tiene elementos, ya que ningún

numero es positivo y además negativo. Por lo tanto A es un conjunto vacıo, y lo

indicamos:

A = Φ o A = { }.

EL CONJUNTO UNIVERSAL o REFERENCIAL

No necesariamente los elementos de un conjunto son de la misma naturaleza, por

ejemplo, el conjunto C formado por la Torre Eiffel y el numero π es valido como

conjunto. Sin embargo, es muy poco interesante en la teorıa.

En general nos referiremos a conjuntos cuyos elementos tienen una propiedad en

común.

A

U

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EJEMPLO.(1)

A = {x | x es un natural par},

B = {x | x es un natural mayor que 4}

C = {x | x es un natural menor que 23}

son conjuntos cuyos elementos son números naturales.

EJEMPLO (2) Los elementos de los conjuntos X, Y y Z,

X = {cuadrado, rectángulo, rombo}

Y = {triangulo, hexágono}

W = { octágono, pentágono}

tienen la propiedad de ser polıgonos.

Resulta entonces conveniente considerar un conjunto que contenga a todos los

conjuntos que se estén considerando. A dicho conjunto se lo denomina conjunto universal, y lo denotamos con la letra U.

En el Ejemplo (1) todos los conjuntos son subconjuntos de N, y podemos

considerar a N

como conjunto universal:

U = N.

Notemos que A, B y C son también subconjuntos del conjunto Z de números

enteros, por lo que también podrıa fijarse U = Z. Por ello siempre debe dejarse

expresado explıcitamente el conjunto universal que se desee considerar.

U

W

X Y

En el EJEMPLO (2)

Si indicamos con P al

conjunto formado por todos

los polıgonos, entonces

podemos tomar U = P. Pero

también podemos

considerar

U = {cuadrado, rectángulo, rombo, triangulo, hexágono, trapecio, octágono, pentágono}.

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En un diagrama de Venn el conjunto universal se indica con un rectángulo, y el

conjunto que nos interesa representar, digamos X, Y, W, se lo indica con una

curva cerrada dentro del rectángulo.

Una de las propiedades mas útiles de los diagramas de Venn es que dan una

forma grafica de visualizar las relaciones entre conjuntos, por ejemplo, en la

Figura representamos que todo elemento de B, es también elemento de A.

A B

U CARDINALIDAD: Si un conjunto A tiene una cantidad finita de elementos, diremos que es un

conjunto finito y llamaremos cardinal de A al numero de elementos de A. El

cardinal del conjunto vacıo es 0, y si el conjunto tiene una cantidad no finita de

elementos diremos que es un conjunto infinito y que su cardinal es infinito. En

todos los casos, el cardinal del conjunto A se indica: |A| o también #A.

EJEMPLOS:

1. Si A = {a, b, c, 5, 4}, entonces |A| = 5.

2. Si B = {n | n ε N y n2 = 2}, entonces |B| = 0.

3. Si C = {a, a, b}, entonces |C| = 2.

4. |Z| es infinito (siendo Z el conjunto de los números enteros)

Resolve los

ejercicios 1 y 2

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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Disjuntos:

Cuando dos conjuntos no tienen ningún elemento en común se dice que son

disjuntos.

EJEMPLO Los conjuntos C = {2, 4, 6, 7} y D = {1, 3, 5 } son disjuntos.

Inclusión: En cambio:

Si dados dos conjuntos A y B, todos los elementos del conjunto A pertenecen

al conjunto B, se dice que:

El conjunto A está incluido en el conjunto B.

El conjunto A es un subconjunto del conjunto B.

A está incluido en B si para todo x tal que x pertenece a A implica que x pertenece

a B.

Se debe tener cuidado en no confundir pertenencia con inclusión:

La pertenencia vincula un elemento con un conjunto.

La inclusión vincula dos conjuntos.

De acuerdo a la definición de inclusión, pueden darse los siguientes casos:

Inclusión del conjunto vacío: El conjunto vacío está incluido en todo

conjunto.

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Es decir que para todo conjunto A se verifica que φ ⊆ A.

Inclusión estricta: Si existe algún elemento de B que no pertenece A.

Un conjunto A está estrictamente incluido en otro conjunto B cuando todos

los elementos de A pertenecen a B pero existe por lo menos un elemento del

conjunto B que no pertenece a A.

A ⊂ B

Inclusión amplia: Si todos los elementos de B pertenecen a A. Esta

permite la igualdad entre conjuntos.

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EJEMPLOS:

Consideremos los conjuntos

A = {1, 3, 5}, y B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Como podemos ver, los elementos de A: 1, 3 y 5, también son elementos de B.

Decimos entonces que A es un subconjunto de B, o que A esta incluido en B.

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es

también elemento de B.

Se denota A ⊆ B y se dice que A esta incluido o contenido en B.

En particular, todo conjunto esta incluıdo en sı mismo.

A = {1, 3, 5} esta incluido en A, y lo escribimos A ⊆ A.

A = {1, 4} y B = {1, 4, 6} son distintos pero el 1 y 4 son elementos de ambos

conjuntos. Si A es un subconjunto de B, pero distinto de B, se dice que A es un

subconjunto propio de B. La notación A ⊆ B es correcta, pero si queremos

resaltar que A y B son distintos, escribimos A ⊂ B.

Consideremos los conjuntos A = {x | x es un natural par y x < 10}, y B = {2, 4, 6,

8, 10}.

En este caso, todo elemento de A es un elemento de B, y por lo tanto A es un

subconjunto de B: A ⊂ B.

Además se cumple que 10 pertenece a B pero no pertenece a A, por lo cual A y B

no son los mismos conjuntos.

Notemos que dos conjuntos pueden ser distintos pero tener uno o mas elementos

en común.

El conjunto N de los números naturales es un subconjunto del conjunto Z de los

números enteros, y se escribe N ⊆ Z.

IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS:

Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan

de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también

en B y todo elemento de B está en A. En símbolos:

A = B ⇔A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇔(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (y ∈ B ⇒ y ∈ A)

O dicho de otra manera: Dos conjuntos A y B son iguales si los elementos de A

son elementos de B, y viceversa. Es decir, si A ⊆ B y también B ⊆ A.

Dos conjuntos A y B son distintos si no son iguales.

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Es posible que la definición de conjuntos iguales y distintos, resulte un tanto obvia, sin embargo es necesaria y no siempre es tan sencillo detectar la igualdad de dos conjuntos. EJEMPLO.

Consideremos los conjuntos A = {1,−3} y B = {n | n2 − 4n = −3}.

En principio A y B están definidos de manera diferente, por lo cual no podemos

asegurar si son iguales o distintos.

Los elementos de A son 1 y −3. Notemos que 1 y −3 verifican la propiedad que

define a B.

En efecto: 12 − 4 x 1 = 1 − 4 = −3 y 32 − 4 x 3 = 9 − 12 = −3.

Luego podemos afirmar que A ⊆ B.

Además, los elementos de B son los números que satisfacen la ecuación

n2 − 4.n + 3 = 0,

y esta ecuación tiene exactamente como raıces a 1 y −3. Por lo tanto también es

cierto que todo elemento de B es un elemento de A, es decir B ⊆ A.

Concluimos entonces que A = B.

Resolve los ejercicios del 3 al 7

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Así como pueden definirse diversas operaciones entre números, también existen

operaciones entre conjuntos. El resultado de una operación entre conjuntos es a

su vez un conjunto.

LA UNIÓN DE CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos. La unión de A con B (se indica:

A ∪ B) es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A o pertenecen a B.

Por comprensión, la unión entre los conjuntos A y B se define ası:

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

En particular, A y B son subconjuntos de A ∪ B, pues todos los elementos de A y

todos los elementos de B pertenecen a A ∪ B.

Es decir

))((: BxAxBAxx ∈∨∈⇔∪∈∀

En un diagrama de Venn representamos la unión de dos conjuntos sombreando el

área que cubren ambos conjuntos

Podemos considerar que los dos conjuntos sean disjuntos, tengan algún elemento

en común o este uno incluido en el otro, según sea el caso la unión será:

EJEMPLOS

Si A = {1, 3, 5} y B = {2, 5}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 5}.

Si B es un subconjunto de A, esto es, B ⊆ A, entonces A ∪ B = A.

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A B

U

Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {1, 4, 9}, entonces

A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Si A = {x | x es múltiplo de 10} y B = {x | x es múltiplo de 5}, entonces

A ∪ B = {x | x es múltiplo de 5 },

dado que todo numero múltiplo de 10 es también múltiplo de 5.

En este caso, A ⊆ B.

La unión de un conjunto A con el conjunto vacıo es el mismo conjunto A,

puesto que φ no tiene elementos:

A ∪ φ = A.

La unión de un conjunto A con A es el mismo conjunto A:

A ∪ A = A.

Si tenemos los conjuntos

Entonces

LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos. La intersección entre A y B (se lo indica: A ∩ B) es

el conjunto cuyos elementos pertenecen a A y pertenecen a B.

Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de

y , representado por .

Por comprensión, la intersección de los conjuntos A y B se define como:

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.

Es claro que el hecho de que es condición necesaria y suficiente para afirmar que

y . Es decir

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))((: BxAxBAxx ∈∧∈⇔∩∈∀

En un diagrama de Venn la intersección de dos conjuntos se representa por la

región que esta determinada por el interior de las curvas cerradas que determinan

los conjuntos. Esta región se la destaca con un sombreado. Obsérvese que la

intersección de dos conjuntos es vacıa si y solo si no hay elementos comunes

entre ellos. Esto se grafica con dos curvas cerradas que no se cortan.

EJEMPLOS

Sean U = N (los naturales)

A = {n | n ≤ 11}, P = {n | n es primo} y B = {n |n es impar y n ≤ 20}, entonces

A ∩ B ={1, 3, 5 , 7, 9, 11}

A ∩ P ={2, 3 , 5 , 7 , 11}

B ∩ P ={3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Si B es un subconjunto de A, esto es B ⊆ A, entonces

B

A

U A ∩ B = B.

Si tenemos los conjuntos

Entonces:

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Casos particulares: A ∩ A = A y A ∩ φ =φ.

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice

que son conjuntos disjuntos. Entonces Dos conjuntos son disjuntos si y solo si su intersección es vacıa.

B A

U COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Llamamos U al conjunto universal y A un subconjunto de U.

El complemento de A con respecto a U es el conjunto cuyos elementos son

todos los elementos de U que no pertenecen a A y se denota por Ac.

En sımbolos,

Ac = {x |x ∈ U ∧ x ∉ A}.

A

U

En un diagrama de Venn el complemento de A es la región exterior de la curva

cerrada que determina A y lo destacamos con un subrayado o sombreado.

El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. φ ⊆ A

El complemento del conjunto vacío con respecto a cualquier conjunto A

es el conjunto A. El complemento del conjunto vacío con respecto del

universal es el conjunto universal.

φc = U

El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío.

U c = φ

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EJEMPLOS

Si U = N (naturales) y P es el conjunto de los números pares, entonces Pc

es el conjunto de los números naturales impares.

Si U es un plano, y P es un punto en el plano, entonces Pc son los puntos

del plano sin el punto P.

Sea U = Z (enteros). Entonces Zc = φ.

Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas

rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia o complemento relativo A − B entre A

y B

es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

A − B = {x | x ∈ A y x ∉ B}

. A − B

B − A

En un diagrama de Venn representamos la diferencia entre los conjuntos A y B, y

entre B y A destacando la región que es dicha diferencia.

Observemos que Ac = U − A

EJEMPLOS

Z − N = {n | n ∈ Z y n ≤ 0}.

{1, 2, 3, 4, 5} − {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5}

Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple

A - φ = A

φ − A = φ

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{0,1, 2, 3} − {2, 3} = {0,1} DIFERENCIA SIMÉTRICA:

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica A ∆ B, entre A y B es el

conjunto de todos los elementos de los dos conjuntos, A y B a excepción de

aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos.

A ∆ B = {x | x ∈ A o x ∈ B y x∉ (A ∩ B)}

A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

Resolver los ejercicios del 8 al

11

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Relaciones entre Conjuntos Juguemos a la batalla naval:

Ubiquemos cada posición del barco poniendo adelante la letra y detrás el número.

A B C D E F G H I J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Por ejemplo:

Barco de un casillero : (D; 2)

Barco de dos casilleros: (E; 4) (E; 5)

Barco de tres casilleros: (A; 6) (B; 6) (C; 6)

Barco de cinco casilleros: (G; 1) (G; 2) (G; 3) (G; 4)

Reemplacemos las letras por números

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10

¿Cómo quedarían las coordenadas de las barcos ?

Barco de un casillero : (4; 2) Barco de dos casilleros: (5; 4) (5; 5) Barco de tres casilleros: (1; 6) (1; 6) (1; 6) Barco de cinco casilleros: (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5)

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Coloquemos los puntos en un par de ejes cartesianos (como estaban en el juego)

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Fíjate que la primera

componente del punto siempre es x y la segunda componente siempre será y; a

partir de esta característica se lo denomina "par ordenado”.

Sobre las abscisas siempre va el conjunto llamado "de partida" cuyo elementos

se suelen llamar preimagenes. Sobre las ordenadas va el conjunto denominado

"de llegada" cuyos elementos reciben el nombre de imágenes.

Definamos, por extensión, ambos conjuntos, (fíjate el gráfico).

x = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10}

y = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Observemos detenidamente la gráfica, con todos los elementos del primer

conjunto (el de partida) que tengan por lo menos una imagen podemos formar

otro conjunto, llamemos dominio a ese conjunto.

Dominio: { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}

“6” no tienen imagen, por lo tanto no forma parte del dominio.

Todas los elementos del segundo conjunto ( el de llegada) que sean por lo

menos imagen de algún elemento formarán al conjunto imagen.

Imagen:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}

En este caso “7” ha quedado sin ningún elemento del conjunto de partida por

lo tanto no forma parte de la imagen. En algunos libros, al conjunto de llegada se lo suele llamar codominio, y en

otros textos el “codominio” es sinónimo de conjunto imagen, depende del criterio

del autor.


Como podemos relacionar los elementos del primer y segundo conjunto a

través de una relación establecida entre ambos, veamos un ejemplo tomando

como conjuntos de partida y llegada los siguientes.

x = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

y = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

“y es menor que x”" o escrito en símbolos “y < x”.

De acuerdo al valor que se tome para "x" tendremos el valor en "y", siempre

más chico. De allí que el par (2;1) si pertenece a la relación pero el par (1;2) no.

Escribamos todos los pares que satisfagan la relación " y < x ".

R = {(2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 1); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2); (7, 2); (4, 3); (5, 3);

(6, 3); (7, 3); (5, 4); (6, 4); (7, 4); (6, 5); (7, 5); (7, 6)}

Si representamos los pares en un par de ejes cartesianos, veremos claramente

que “1” no pertenece al dominio y “7 ” no es imagen de ningún número.

Dominio: {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Imagen: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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