institut für mathematik - opus.bibliothek.uni-augsburg.de fileu n i v e r s i t ä t a u g s b u r...
TRANSCRIPT
U n i v e r s i t ä t A u g s b u r g
Institut fürMathematik
Lothar Heinrich
On Lower Bounds of Second-Order Chord Power Integrals ofConvex Discs
Preprint Nr. 27/2009 — 19. Oktober 2009Institut fur Mathematik, Universitatsstraße, D-86135 Augsburg http://www.math.uni-augsburg.de/
Impressum:
Herausgeber:
Institut fur MathematikUniversitat Augsburg86135 Augsburghttp://www.math.uni-augsburg.de/pages/de/forschung/preprints.shtml
ViSdP:
Lothar HeinrichInstitut fur MathematikUniversitat Augsburg86135 Augsburg
Preprint: Samtliche Rechte verbleiben den Autoren c© 2009
� � ����� �� ��� ��� � ������������������� ������� � ��!�"�# ��� ��� $��&%'�)(!��*!+,� ����� �-�-.��0/ 1 2,�'�0�
3"465�798&: 76;<>=6:?<>@?7
ABDCFEHG,IKJLCFMONQPSRUTWVYXHJLZ[VDI\XD]_^WG,IK`�abBHN
cedHfhgOi\jlkLgmonKprqlsut\v,t\pDwhnKvyx>z|{"}�~���wh�
K � ~����"q�nL��~���~�x>z�t\p�zOt A(K) �>� nK�lvo}ot\p���s�z�vl�L��� L(∂K)t\vo}
��zhwhnKvo}���nKp�}lz�p�w��onKp�}'q�n � z�pH~�vy��z��Lp�t\s I2(K) �\� zD�����o}������ozYp�t\��~�n L(∂K) I2(K)/A2(K)t\vo}��L~�x>z�p�zOtK��nKvo�����lqlq�nKp���~�vl�"���oz�whnKvK��zhw����lp�z����,t\��~������lvl~��FnKp�� s�n � z�p � nK�lvo}�~��_¡L¢>£K¡t\����t\~�vozh}¤z|{otKw���s���¥nKp¦w�~�p�w�s�zh�¨§e©ªv�q,t\p���~�w��lsut\p � �o��~�vl�0���oz"«_� � t\p���¬h�l��~ut\v���®s�z�~ ��z�s¯p�z�q��p�zh��z�v°��t\��~�nKv6n\�I2(K) � z�}lz�p�~�x>z±�FnKp��¦�lsutK�U�FnKp I2(K)
~�v!wOtK��z±n\�_�>z�voz�p�t\s¯��p�~ut\vl�Ls�zh� �p�zhw���t\vl�Ls�zh� � t\vo}�p�z��L�lsut\p N�²�>nKvo�O§Y©ªv0���ozh��z�wOtK��zh��t\vo}��FnKp�z�s�s�~�qo��zh� � z¦wOt\v0qlp�n¨x>z����l~��~�vozh³°�,t\s�~����>§�«¤p�z�sut\��zh}'whnKvK�´zhw����lp�zY~����FnKp��¦�lsut\��zh}¦�¥nKpµ���ozrw�sutK���bn\�lwhnKvyx>z|{
N�²�>nKvo� � �l~�w��z|{��l~ � ~�����t¶����p�z�vl�L���oz�vl~�vl��n\�®���oz¦~���nKq�z�p�~��"z���p�~�w'~�vozh³y�,t\s�~��ª�)tK� � z�s�s®tK�_n\�D·¯t\p�s�z��et\vS¸¹�~�vozh³°�,t\s�~����±�¥nKp_whnKvyx>z|{
N�²�>nKvo�O§[«�v0z|{���z�vo��~�nKv0��n"�l~��L�oz�p�}�~��"z�vo��~�nKvo��~��_}�~���w��o����zh}0t\�
���oz�z�vo}0n\�����oz�q,t\q�z�pO§º�»|¼K½Y¾K¿�À\Á¯ÂDÃ_ÄÆŵÇÈÄHÉ�Ê�ÇÈɵË>ÌÆ͵ÇuÌÆɵÅÏÎ�ÄHÇÈÐÑШÄHÉ?Ò°ÇÈÉbÓÔoÍÕÄÆÖ�ÓoÐÑШÓoа×�ÇÈÐÑÄÆÔoÓ,͵ǥÃ_Ólŵ͵ÇØÖ9ÇØÉ�ÊÓoÙHÚ�ÌÆÒ°ÇuÅÕÛD×�Ü_ÌH͵ÒyÓÕÃ�ÌÆÉrÝ�Ð0ÇØÉSÓoÙHÚ�ÌÆÒ°ÇuÅÕÛD×�Ã_Ó�ÌHÉ-Þ�͵Ó�ÌÆßbŵàr×�Ö�àSÄH͵ß�ÒyÓ,ÉSáHÅ�àâßÆÇÈÐhÊŵ͵ÇÈÞ�ڵŵÇØÄÆÉr×�͵Óoá�ÚSÒ>ÌÆÍ
NÊ�á�ÄHÉSÐy×HÓoÒ°ÒyÇØÔoШÓoÐ
ã0äH夢LæLæLæ¯Â[Î�͵ÇFÃ�ÌÆÍKÛâçlè°éUêoë�ìlë,í�ë,ç�î�ÓoÖ�ÄHÉSßÕÌÆÍKÛ�çlè°éUë,ïçlè°é�èlè
ð ñbò�ó®ôDõ�öW÷Wø_órùÑõ¶ò ú û�õ¶ürùÑò�ý óYþ�ÿ û ô[õ ��� ÿ��
������ ����������������������� ! "�� $#%���&���� $�(')�����&���� +*��� ��,�&�����&��*�*-�%�&���� Tλ =
⋃
i∈Z1 g(Pi, Φi) .���&/+*��� ��
���� 0�&���21� 3�� 4�� ���&�5�%�&�� 0687�*-�% 9���,�&��6�����
% K . �:��/ 1 ≤ % ↑ ∞ ;<. /0���&� K��������=�?>0@!���
��� $#��A@B�����&C��� $�D���� ��� 06o
���E�� 0 ����E7F���� G��HJIK���&� ; g(p, ϕ)���� ����&���J�� 3L� 0���&���� $�����3�����&����6�/G�
*��� ��C�� M�ONP���Q�������-�� x1x2
2��!���&���� 9�%������1R���&��� . ���&/S 0���&�=��*TL0 ����U#�����&���( cosϕ, sin ϕ )
���: �&��������V�� ��&/��PL�707<���T/9��*:W- 27�*��� ��X�� ��C����6� 0���C7F����7<�� ������L�*-�%�T�������D�% ���
p ∈ R1 WY�&���Z�&/��[���&��6���
o ; WY���&�=��*�*:1 . �&�:�&����
g(p, ϕ) = { (x1, x2) ∈ R2 : x1 cos ϕ + x2 sin ϕ = p } , ϕ ∈ [0, π) , p ∈ R
1 .
T��U�0�&��#��� B\$1B�� B�� 0����7F�� ��0�� $��*:13�]�%�&^����B���D�_������ 9����14')�����&���� M7��&�R����&�
Πλ = {[Pi, Φi] :i ∈ Z
1} �� 8��/0�E�&����*<*��� �� R1 . �:��/+�� G�&�� ������21 λ
�% ��]�21R7������*`�=����^Φ0
L0 ���WY�����=*:1a�����Q������\�L0�&�����
[0, π) ; ������N[/9��70��Hcba�� MdfehgiWY��������������*���H
j
' L0�
X% =√
%( ΨL(% K)
L(∂(% K))− λ
π
) �� ��Y% =
√%( ΨV (% K)
A(% K)− λ2
π
)
,
. /������ ΨL(% K)�&���&7 H
ΨV (% K)���� ��%�����(��/0�,�&���D��*0 RL0�C\<���X�%W`*��� ����c�%W
Tλ
/��������� �6% K
�&���&7 H��/��C�&���D�%*) GL��C\F���U�%WX*��� �� ������&���� �6��U6��� ������%�&���B\$1
Tλ
�� % K
H��2 d b%g . �V/9�5#��a7���� #����B��/��WY��*�*�� . �� �6C\0��#%���&���%���K��� G�&����* *��������c��/������&�����
(
X%
Y%
)
=⇒%→∞
N(
(
00
)
,
(
λπ L(∂K)
2 λ2
π L(∂K)2 λ2
π L(∂K)4 λ3
π3
I2(K)A2(K)
))
� j��
. ���&/������&�&��A��*:137<���&���&��#��A 2�0��>9 ��:���a��h#%�����-�� ���a�]�%�&�&� @3�� B��/0��J��L����&�-�% S*�������� � j�� ����7�*�1R�� �6��/9�_�
I2(K)
A2(K)>
π2
L(∂K)≈ 9.8696
L(∂K).
�� �
IK���&� ; WY��� n = 0, 1, 2, . . . ;
In(K) =
π∫
0
∫
R1
Ln(K ∩ g(p, ϕ)) dp dϕ
���� 0�������,�&/��n��/R 2��������� ������������������������ !�#"$��%$& � \��&���('�1)�+*�,+- � ��W
KH
.9�&��� �� $����6�����*`6����������&��1]��� . ��*�* 2^G �� . ; �����=d0/%gi���?dfehg ; �&/9�%� I0(K) = L(∂K) ;
I1(K) = π A(K) , I2(K) =
∫
K
∫
K
dx dy
‖y − x‖ , I3(K) = 3 A2(K) .
1K���&�M�&/9�%����/0� NP'2�2�In(K) , n ≥ 0 ; ���&�M��� � ���A����� . ���&/ �&���=�BL� ��43GL��5���������6&7���8"$ ��
�$�79� ��:�<;>=8 ��#����?:=@�A�� <�#���CK(x) , x ≥ 0 ; �&L0D/O�&/9�%����/0� n
��/������=�� $����WCK
�(3RL���*��P�&/��J���%�&���In(K)/I0(K)
HOIK� . ��#���� ; CK�0�!���� �������* . �51R�����A�����&���� ��������7�*�������*�1 �&/��]��/9��7F�]��W[��/����� $#��A@ �0���&
K ; �%�]�&/0� . >��&���8\G1 NHCB H+D4��*�*�� . �=�� ��FE0HGDSHfNH�N[*-�%�&^ �� jIHKJ$L ; �&��� d0/�g H
1K�A#����Q��/���*����&� ; �� B���=��6��C�� 9��*:1!�����J�� 0�S���&/����U>9��*����J��W[��7�70*�����%������ CK
�� ��M��#��� �� �*�1 ��/��>9�&�Q�[WY��L0�[NP'2�2�
I0(K), ..., I4(K)���&�,L��&���8�����fD/�������A�����&�������G��/��K�&/9�%7<�K��Wi��� G#��A@]79���Q�����*�����H
.9L����&/���� ;�. �,�=�� $������ C��/9�%� �&/������%�&��� I2(K)/A2(K)5�% =\F���� $�����&7������&���=���(�=���� a�&�����7����!���*
� L��*��������� C�������D�% ���E‖PK−QK‖−1 ��W9� . �U�� 0����7F�� ��0�� $�(�� ��VL0 ���WY�����=*:1U������������\�L!������7<���� $���
PK
�% ��QK
�� KH���/0���P���L�*��+\F�UL�����WYL�*`WY���P�����7�L0�&��� 2\9�������+�����CL�*��%������ ��c��W ��/���&����� ��!
���&�0���KNP'2�I2(K)
H.9�&��� ��/�� #R��� . 7F���� $�+�%W ���) <� %$&����(�����:� ���� #%$& �8��9�� "$� �:�+���8�&/��M����� ��� ���� ����=� ������/��*����=�:���� 06a#%�����-�� 0��C��W
Y%
�� � jI� 6���#��� B��H 6�H?��/��V7F���������������L(∂K)
�������/����U�&�����V��� 0�����&���� ��
KH �2 M���&/���� . ���&��� ;i. ��/9�5#��a���+>9 ��B��/0�����]�%*�*������U7F�����&��\0*��C�&�%����� I2(K)/A2(K)
�� 0���/��J���� ����=� ���� �6 �0���&
K ;�. /��� L(∂K)���P>0@!��� H
�2 ��/�� �&�����U��W �&/����K79��7F��� . �C�����&�L��&�U����#�������*T�&7F�������* 5������� . /���D/3�=���&��#%�%�&�?�� 79���Q�����L�*������/��J*�� . ���������&���=�%���U��
��������������������� . ������ $1+��� $#��A@ ��������K . ����/O�� 0 �����7F���� $�P�&/��J�� ��*�L�������
10.6667
L(∂K)≈ 32
3 L(∂K)≤ I2(K)
A2(K)≤ 16
3√
π A(K)
� b �
/���*���� . /���D/+���Q�D��\�*�����/������ �&*���6�/$�[�Q������ �6��&/��� 0�� �6V��W`��/�� . ��*�*: "^R 0� . +���&��7F�����������&�&����� ��>3GL9��* ���21 ; �&���C��H 6�HVd /�g ;<. �:��/ �(3RL���*��:�21 �� 3\<���&/ �&���������W(�� 0� �� �*:1 �:W K����]����&�*�� . �:��/ �0�-�������&���
L(∂K)/πH
� �� "!#��$&% ��/0�CL�7�7F���K\<��L0 �� �� � b � ���K�=���*���\��&�%����� �&���&L�*:�\$1'�UH NP����*����]�� O7�L�\0*�����/������*����5���!1��� jIH!jIH ; �&���(��/�� H*)0H,+0H-+=�� d e_g WY���6��� �������*����5�_������ ������]/0��6�/����Q "���&�����UNP'2�2�E�� 3�� $1�������� 0�&���� H/. /��� G���&�a�&/��J*�� . ����\F��L� ��O����6��:#��� �� Sd j g H
0 1�ÿ�ø�õ¶òWö)ú32�ôDöWÿ ô54 û ñÆü76yõeô81�õ � ÿ 4 õ¶ò�9±ÿ;: < ùÑürø ü
.9���T�% G1 ����&�L�*-��� �����&Br = { x ∈ R
2 : ‖x‖ ≤ r } . ����/���������L�� r > 0 ; �:�T���T�������7�*��c�A@!���&����&����?��� !>9�&� ��/��%�I2(Br) = 16 π r3/3
�� �������6�����/0��� . ����/ L(∂Br) = 2 π r , A(Br) = π r2 . ��&���?�&/9�%��*�� . ������ 0� L�707<���,\F��L� 0� �� � b � ����� �������%H.9������ ��*�*���7����
Eab = { (x1, x2) ∈ R2 : b2 x2
1 + a2 x22 ≤ a2 b2 } . ���&/ �������: � @0���
a , b���%�&���QW 1!�� �6a ≥ b > 0
�� �� GL������&��5��*�A@!��� G�&�&������21ε =
√a2 − b2/a ;K. �S���&����#��M�%W �&���
*��� �6���/$1+�����7�L0�D�_������ ����%� ; �&���]d b%g2�
I2(Eab) =32 a b2
3
π2∫
0
dϕ√
1 − ε2 sin2 ϕ=
32 a b2
3F(
π
2, ε) ,
b
. /������ F(π2, ε)
��� Bi��6��� �������� � ����D�_������ WY���T������7�*������X��*�*���7!����(�� G�&��6��&��*R��W9>9�&�Q� ^G�� ��`H��E C��/������/0���/��� �� ; L��&�� �6]��/0������=7�*����&� ��*�*���70����J�� $����6�����* ��W �&����� ��B^G�� �� E(π
2, ε) . �C��� � @070�&�������/��J7F���������������
L(∂Eab)\$1
L(∂Eab) = 4 a E(π
2, ε) = 4 a
π2∫
0
√
1 − ε2 sin2 ϕ dϕ .
�X1���7�7�*:1!�� �6�&/���NP��L�D/$1$ ��RD/ . ������� 0�>3GL9��*����21 �� ��C�&/�� . ��*�* 2^G �� . a�����5�WY�����CL�*-� A(Eab) =π a b . �?��\0������ 8�&/9�%�
32
3=
32
3
2
π
π2∫
0
( 1 − ε2 sin2 ϕ )1/4
( 1 − ε2 sin2 ϕ )1/4dϕ
2
≤ 128
3 π2E(
π
2, ε) F(
π
2, ε)
=128
π2
L(∂Eab)
4 a
3 I2(Eab)
32 a b2=
L(∂Eab) I2(Eab)
A2(Eab),
. /������ �= ��/���*�������� ε = 0H���/GL�� ;9. �J/9�5#��?7���� #����
�� � � ���� %� ��� %$� � ��&�& �G��9I�Eab
;��� �� ���A���>= %$& �� <�#��9 ��������������& � %$�)� ���>= %$& �� �� ��� � %8��� 9��<�8��79�%$ < %$���A� � � �
a = bH
��/��M�����7�L0���%������ ��WCNP' �2�OWY����� �&��A�D�� 06�*��Rab . �:��/ �&�������
a�% ��
b������ �����=�����-�%�&�
��� 0�&�>3GL��� ���=��WX�+�=�����C6��� ����&��*TWY�����CL�*-��WY���E��� G#��A@N− 6��� �� PN . /���D/ . ��*�* \<�V�0���&�:#������ +��/0�? 0�A@R���!��A�5Hcb0H �S�?6�������/��UWY�����CL�*��
I2(Rab) =2 ( a3 + b3 ) − 8 (
√a2 + b2 )3
3+ 4 a b2 I
( a
b
)
+ 4 a2 b I( b
a
)
,
. /������
I(x) =
x∫
0
√t2 + 1dt =
1
2
[
x√
x2 + 1 + log(
x +√
x2 + 1)]
.� / �
1K���&�U��/9�%�I(−x) = I(x) ; I ′(x) > 0 ; I ′′(x) > 0
�� ��I ′′′(x) > 0
WY���x > 0
H
�� � � ���� � � ���$���5 ���� 9I� �G�����:� �� ���s = a + b � ���� ��%$ <�#�
I2(Rab)/a2 b2 %��K��9 �� �9
����� = ? ���� ����9 �>= %$� � �2�� �9��<�8��&7���8"$ �s/2 � �"!<� !
I2(Rab)
A2(Rab)≥ 8
3 s
[
3 log( 1 +√
2 ) + 1 −√
2]
≈ 11.8928
L(∂Rab).
� e �
/
� ���3��� .,W �����P�����0����L������*��L�*-�%�&���� 0� . �?>9 0�O�&/9�%����/0�?����*��%������ � e � �����>3GL��:#��%*��� $���&�
3(a + b)
2 a2 b2I2(Rab) = f(
a
a + b) + f(
b
a + b) ≥ 2 f(
1
2) ,
. /������
f(x) =3
xlog
x +√
1 − 2 x (1 − x)
1 − x− 1
1 − x +√
1 − 2 x (1 − x)
WY���0 < x < 1 .
�2 3W ���� ; ���5�� B\F�V�&/�� . 3��/9�_� f ′′(x) > 0WY���
0 < x < 1 ; � H ��H ; f(·) ���E�Q���&����&*�1 ��� $#�� @B�&���/9�_�( f(x) + f(1 − x) )/2 ≥ f(1/2) = 2 ( 3 log( 1 +
√2 ) + 1 −
√2 )
� @!/���\��:����]�&7F����-��*5�����J��W2E��� ��&�� 3� ��� 0�>3GL9��*����21�H
2
.T�� ���*�*:1 ;�. �C��� 0�&���0���U�� ���&\��:���&����1+�&�&�-�% �6�*�� ∆abc .�:��/4������� 2*��� �6��&/��
a, b ; �� �� c�� ��3�������:
7<���&���=�A�����s = (a + b + c)/2
�&L�D/B��/��%�J�5��D/M�&�����V����&/����Q�����E��/9�� 3�&/��a�&L�� ��WX�&/��V���&/����� . �3����������H4�S�8L����]��/0�8\<��*�� . WY�����CL�*-� � + � ��� ��� . ������� I2(K3)
�� ��&���&�����%W���/��]WYL0 ���&���� � / � �� �� � @!7��&���&�C��/0�]������6��� 0���=�A������CWYL� �A������ ��C��W[��/��+�% �6�*�����\$1M��/��=�&���0���
a, b, c ; �� 0� sH
�!L����]�%�&������ �6���*�*`�A@!7<���&������ ��,*��������������&�����*:1]�&�a�&/��J�����79���&�%���:#���*�18������7�*��,WY���&��L�*-�
I2(∆abc)
A2(∆abc)=
4
3
[
1
alog( s
s − a
)
+1
blog( s
s − b
)
+1
clog( s
s − c
)
]
,� + �
. /�������I,������ 3� ��WY���&�CL�*��C6���#���� A(∆abc) =√
s (s − a) (s − b) (s − c)H
�� � � ���� � � ���8" %$&�& �)& %$�)%$� <�:�<%$�8"$&7��9 �2�� � ������� �� !���2 s = a + b + c � ���� ��%$ ��#�
I2(∆abc)/A2(∆abc)
%$ < %$��� 9 �� 9* ����� =� ? ��� ���� ���>=8��& %$ !��� %$&) <���<%$�8"$&7� � �"!<� ! WY��� a = b = c =2 s/3
H
� ���3����� �&�� �6V��/�� � �Q�������� � ��� $#��A@!���21���W ��/0�JWYL0 ���&����
g(x) =1
xlog( s
s − x
)
=1
s
∞∑
k=1
1
k
(x
s
)k−1 WY���0 < x < s ,
. �J�=�51���7�7�*:1 E��� ��&�� 3� �K�� ��(3GL9��*��:�21=1R����*��0�� �6
I2(∆abc)
A2(∆abc)=
4
3
(
g(a) + g(b) + g(c))
≥ 4 g( a + b + c
3
)
=12 log 3
L(∂∆abc)
. ���&/O�(3GL9��*��:�218��� a = b = c = 2s/3H2
e
� � ù¨ý±þ�ÿ ôrú32�ôDö�ÿ ô 4 û ñÆü 6yõeô54 õ±ò 9�ÿ;: û õ ��� ýeõ±òWü
.9��*�*�� . �� �6V��/������������K�%W .�H<'(*���������* � jIH e + � �% ����JH��H�.K�C\9���Q� ��L0�=���� � jIHKJ$L J / � ; �&�����&��WY���Q �� �����)�� �d0/%g ; . �X5�� ?�A@!7�������� In(K)��� ����L�\�*��(�� G�&��6��&��*$�h#���� �&/��(\<��L0 ��9���Q1
∂KH N[���C\��� 0�� �6
� . �aWY�����CL�*-�%�[WY��� In(K)6���#��� ��� Md0/%g ; �&���CN[/9�%70�5H �DH b0H e ; 7 H(b J ;�. �?��\0�D�%��
In(K) = − n
2 (n − 1)
∫
∂K
∫
∂K
‖s1 − s2‖n−1 cos(θ1 + θ2) ds1 ∧ ds2
WY���n ≥ 1 ;G. /0���&� θ1 = θ1(s1)
� �&���&7 Hθ2 = θ2(s2)
� �0�� ����&���[�&/��K�� �6�*��,\F��� . ���� 8��/����D�% �6��� $��%�s1
� �&���&7 Hs2� ��
∂K�� �����/0�?D/0���&������� 0�� �6
s1
�� ��s2
H1K� .J; *��A� K = KN
\F�?����� $#�� @47F��*:1!6��� �/9�5#!�� �6N
#����Q��������A1, . . . , AN
� �% G�&�: "�*��RD^ . ����� �. ���&/ �� � 0���U�� 06�*�� αi
�_�Ai
�% ��3����6����Li = Ai Ai+1 ;<.
/������AN+i = Ai ; LN+i = Li
�� ��αN+i = αi
WY���i = 1, . . . , N
H �E\G#R����L��&*:1 ; ∂KN = L1 ∪ · · · ∪ LN
H2�"Ws1 ∈ Li \ {Ai+1}
�� 0�s2 ∈ Li+j \ {Ai+j} ;
��/��� . �?6����K� (j + 2)− 6��� . �:��/+#������&������ s1, Ai+1, . . . , Ai+j, s2
�&L0D/��/9�_�
θ1+θ2+αi+1+ · · ·+αi+j = j π���=7�*:1R�� �6
cos(θ1+θ2) = (−1)j cos(αi+1+ · · ·+αi+j)H
.KW �&�����&���=�J�&���=70*��E���5�������� �6������� $� . �J>9 �����/��%� n�&/! 2���������KNP'2�
In(KN)�>3GL9��*��
N∑
i=1
N−1∑
j=1
(−1)j+1 cos(
j∑
k=1
αi+k
)
In(Li, Li+j) −1
n2 − 1
N∑
i=1
|Li|n+1
= 2
bN−1
2c
∑
j=1
(−1)j+1
N∑
i=1
cos(
j∑
k=1
αi+k
)
In(Li, Li+j) −1
n2 − 1
N∑
i=1
|Li|n+1
−(
1 + (−1)N)
(−1)N/2
N/2∑
i=1
cos(
N/2∑
k=1
αi+k
)
In(Li, Li+ N2
) ,� J �
. /������ |Li| = ‖Ai − Ai+1‖�� 0�
In(Li, Li+j) =n
2 (n − 1)
∫
Li
∫
Li+j
‖s1 − s2‖n−1 ds1 ∧ ds2 .
��� . ��*�* ��707�*�1���/0��7�����#R����L0�WY���&��L�*-���� �*�1+WY��� n = 2�&�8��/��%�E�:������=���� ��,���8�����7�L0���?��/��
�� $����6����%*I2(AB, CD)
WY�����V��� $#��A@ 3GL9�����&�� �6�*��2ABCD
�
Jε1,ε2(a, c, e) =
a∫
0
c∫
0
‖A − C +s
a(B − A) − t
c(D − C) ‖ dt ds
=
a∫
0
c∫
0
√
s2 + t2 + e2 − 2 s e cos ε1 − 2 t e cos ε2 + 2 s t cos(ε2 − ε1) dt ds ,
+
. /������ a = ‖A − B‖ , c = ‖C − D‖ , e = ‖A − C‖ , ε1 = ∠(CAB) ; �� �� ε2 = ∠(ACD)�����&�����=�� ��2ABCD
H �����=����^%�%\�*�1 ; �&/�������L�\�*��=�� $����6�����* Jε1,ε2(a, c, e)
5�� S\<���A@!7������&��������O�*����&��� WY���&��L�*-� �� �����&������W��&/��SWYL� 0������� � / � H ��/��M����������*��O�%W���/0�S�&�%��/���� *��� �6%��/$1�����7�L0���%������ ������U���=�:�&�&��� HT�S�J��\0������ +��/��%� ; WY��� ε1 6= ε2 ;
Jε1,ε2(a, c, e) =
e3 sin3 ε1
3 sin(ε2 − ε1)
[
I( e cos ε1 − a
e sin ε1
)
−I(
cot ε1
)
]
− e3 sin3 ε2
3 sin(ε2 − ε1)
[
I( e cos ε2 − c
e sin ε2
)
−I(
cot ε2
)
]
+( e1 sin ε1 + c sin(ε2 − ε1) )3
3 sin(ε2 − ε1)
[
I( e cos ε1 − c cos(ε2 − ε1)
e sin ε1 + c sin(ε2 − ε1)
)
−I( e cos ε1 − c cos(ε2 − ε1) − a
e sin ε1 + c sin(ε2 − ε1)
) ]
− (e2 sin ε2 − a sin(ε2 − ε1))3
3 sin(ε2 − ε1)
[
I( e cos ε2 − a cos(ε2 − ε1)
e sin ε2 − a sin(ε2 − ε1)
)
− I( e cos ε2 − a cos(ε2 − ε1) − c
e sin ε2 − a sin(ε2 − ε1)
) ]
�� ��
Jε,ε(a, c, e) =e3 sin3 ε
3
[
J(a + c − e cos ε
e sin ε
)
− J(c − e cos ε
e sin ε
)
− J(a − e cos ε
e sin ε
)
+ J(
cot ε)
]
WY���ε = ε1 = ε2 . ����/ J(x) = 3 x I(x) − (
√x2 + 1)3 H
�"Wε1 = 0 ; � H �%H e = a
�� ��C ≡ B ; �&/���
J0,ε(a, c, a) =a3 sin2 ε
3
[
I(c − a cos ε
a sin ε
)
+ I(
cot ε)
]
+c3 sin2 ε
3
[
I(a − c cos ε
c sin ε
)
+ I(
cot ε)
]
.
�2 ��&�����&�� �6Jε,ε(a, a, e)
������7 HJ0,ε(a, c, a)
�� � J � WY���N = 4
�&����7 HN = 3 . ���&/B�����>3GL9�_����*:1D/������� �� �6�*����?�A@!7������&����� �� M�������=� ��W���/0�8�&������� *��5�%��� �&�4��/��=WY���&�CL0*-���UWY���
I2(Rab)�&���&7 H
I2(∆abc)6��:#��� O�� �!�����H H
�2 7������&���L0*-���cWY�����a�&�&���� �6�*��∆abc .
����/��� � ������% �6�*����α, β, γ
�� 0� �������: 27F�����������&���s = (a + b + c)/2 . � L0�&�U��/��J����*-�_������ ��
tanα
2=
A(∆abc)
s (s − a), tan
β
2=
A(∆abc)
s (s − b), tan
γ
2=
A(∆abc)
s (s − c),
�% ��4I,������ 3� ��WY���&�CL�*��A(∆abc) =
√
s (s − a) (s − b), (s − c)�&�=��\0�D���� � + � H
J
� 1�ÿ�ø�õ¶òWö)ú32�ôDöWÿ ô54 û ñÆü76yõeô�� ÿ�ý¶÷ ��� ôN− ýeõ±òWü
���]��� ����������C�4����6�L0*-���N− 6��� PN . ���&/�#������&������
A1, ..., AN ;����6��]*��� 06���/
a6���#R�� �6O��/��
����&�L0�=�&������L0�rN = a/2 sin ϕN . ���&/ ϕN = π/N
H ��/��?#����Q��������A1, ..., AN (= A0)
5�� \<������� $����>���� . �:��/S�CL�*��&��7�*����U��W[��/��=L� ���� �&�R���&�
Ak = rN ( cos(2kϕN), sin(2kϕN) )H�IK�� 0�� ;WY���
k = 0, 1, ..., N − 1 ;0. �?/9�5#��
‖A0 Ak‖ = 2 rN sin(kϕN) = asin(k ϕN)
sin(ϕN).
.7�70*�1R�� �6+WY�����CL�*�� � + � WY���I2(KN)
�� S����&�=��W����&��6�L�*����N− 6��� PN
�����\��� ���� . �:��/B��/���� $����6����%*)� @070�&�����&���� ��U�� �!��A�5H?b8�� ��A(PN) = N a2/4 tan ϕN
�� ��L(∂PN ) = N a
*��5���0����V��/0�JWY��*�*�� . �� �6C�*����&���! "�&����� �A@!7��������&���� 4��W
I2(PN)�
�� � � ���� � ��� %$� �N = 3, 4, 5, ...
��� � % �$�
I2(PN) =A2(PN)
L(∂PN )cN =
a3 N cN
16 tan2 ϕN
�2�� ��cN = bN − aN ,
� ����� �
aN =16
3 cos ϕN
bN−3
2c
∑
k=1
sin2(k ϕN) sin2((k + 1) ϕN)
cos(k ϕN) cos((k + 1) ϕN)log( tan (k+1) ϕN
2
tan k ϕN
2
)
%$�)�
bN =16(
1 + cos ϕN
)3
3 sin ϕN sin( 2 ϕN )log( 1 + sin ϕN
2
cos ϕN
2
) ? ��� �>�K�N ≥ 3 ,
bN =16
3
[ 1 + sin2 ϕN
sin2 ϕN
log( 1 + sin ϕN
cos ϕN
)
− tanϕN
2
] ? ��� � �$���N ≥ 4 .
.9���N ∈ {3, 4, 5, 6} . ���&/ cos ϕN
�A@!7��&���&����\�*�� \$1+��3RL����&�?�&�R���P�&���&��� . �J6��A� �
c3 = 12 log 3 , c5 =10 (2 +
√5)
3
[
2 log(2 +√
5) − (8 − 3√
5) log 5]
c4 =16
3
[
3 log( 1 +√
2 ) + 1 −√
2]
, c6 =4
3
[
11 log 3 − 2 log(2 +√
3) − 4(2 −√
3)]
c8 =16
3
[
(5 + 2√
2) log(
1 +
√
4 + 2√
2)
− (8 +√
2) log(1 +√
2) − (1 +√
2)(
√
4 − 2√
2 − 1)]
+8
3
[
(2 +√
2) log(√
2 − 1 +
√
4 − 2√
2)
− (3√
2 − 4) log(
1 +√
2 +
√
4 + 2√
2) ]
)
� � ����� � !����#!�� � ������� � � ����! �� �cN = L(∂PN ) I2(PN)/A2(PN)
N cN N cN N cN N cN N cNb j b0H j )�b�b$/ J j�j jIL H,) j e jIJ jIH jIL H J!j e H / J jIL H,+ H L J b L / L jIL H,+ J J + H/ j�j H-) H )�b ) j jIL H J ) H L b�+ L jIL H J!jIL e�/Ge ) jIL H,+ ) H$L / j e L jIL H,+ J b +�)�be j�j HC/ j L /$b j b jIL H J J$L ) j j jIL H J$L +$/ + L H jIL H,+ ) J e / + L jIL H,+ J!j e%b H+ j�j H jIJ L b L j / jIL H J e�+$/ L!j jIL H J$L H j b L jIL H,+ ) + j e�+ J$L jIL H,+ J$L / JJ j�j H L b�b j�j j e jIL H J / / J )�) b jIL H,+ H H )�b$/ b j jIL H,+ )$/ H0jIH ) L jIL H,+ + H / L )) j L H H /Ge j ) ) j + jIL H J b$e H J / jIL H,+ HKJ!j + b jIL H,+ )�b J$H + H L jIL H,+ + ) )�b H j L H-)�)$e�+ H j�J jIL H J J /$b H e jIL H,+ H / J b + b�b jIL H,+ ) J J b jIL L jIL H,+ + )$/ jjIL j L H-) /$b$e b j ) jIL H J L )$e H + jIL H,+ H + j�J b / jIL H,+ ) j )$/ L jIL L L jIL H,+ + + +�)$/
���J��� 70�&�h#��U��/��%�cN > 32/3
WY���N ≥ 3
�� ��cN ↓ 32/3
���N → ∞ H
�T�%^R�� �63�� $�&�B������L� $�V��/�� � �����&������&�+���&��7<���&�������&�&��=�� ��>3GL9��*����21 �)WY���N− 6��� 0� KN ; 9������*:1
4 N tanϕN A(KN ) ≤ L2(∂KN ) ; ����� d gVWY���B� �&L��Q#��A1 ; �� ��Z��/�� ��\F�h#�� WY�����CL�*-�%�4WY���I2(Rab), I2(∆abc), I2(PN)
� �% ��+��*��&�C�%�[��� ��&�(3RL0�� ���U��Wi GL������&��5��* � @07F���������� $��� � . �E/9�5#���� ���L�6�/O�&�5�%�&�� ���WY���
������������������� � � .K�=�� �6+��*�*)��� $#��A@N "6��� ��
KN . ���&/ >0@!���B7<���&���=�A����� L(∂KN )��/��C�&�_
�����I2(KN )/A2(KN )
�%�&������ ��U�:���J���� ����CL�� WY���U��/��a�&��6�L�*����N "6���
PN . ���&/S����6���*��� 06���/L(∂KN )/N
H DO���&�J7���������&��*�1 ; �&/�� �f�0���&��&�A������#%�����-�� $����W � b �
cN
L(∂KN )≤ I2(KN)
A2(KN)≤ cN√
4 N tan ϕN A(KN)
� ) �
�&/���L�*���\F�?7F�����&��\0*���&��70�&�h#�� . ���&/8��/��J��� ������� $��� cN
�0��>9 ����4�� ��/���������� /�H �23GL9��*��:�218�� �5��D/O�&�����J/���*������ �
KN
��������6�L0*-���N− 6��� �� PN
H
� �� "!#��$ � ��/��=�&��6�/$�� 2/��� ��M�� ��(3RL���*��:�213���J��/�� � ��������&�A��� �)���L� $�����&79���Q�C��W�NP���&*����=�� 3� � �� ! �>3GL9��*����21�H �)�M��/��O\F�����]��W�&/�� �%L0��/������ �=^G �� . *�����6��4�M����6�������L��a7����!��W��WU�:�=�������=�a���S\<�L� �^G �� . H
� ò � :órÿ�òWürù¨õ¶ò órõ � ùÑý¶þ�ÿ ô < ù�� ÿ�òWü®ù¨õ±òWü
Bi�����&/������]\F�]6��:#��� �4�����%������ 9���Q1M�� ��S���&�%���&��7���=')�����&���� /$1R7<���&7�*��� ��=�&�����&��*�*-�%�&���� T
(d)λ =
⋃
i∈Z1 H(Pi, Vi)��
Rd ������#��� S\$1B�% M�� �����7<�� ����� $�&*�13�=���&^%���B�����%������ 9���Q13' �������&�� B7����!����&�
Πλ = {[Pi, Vi] : i ∈ Z1} �� ��&/����&����*�*��� �� . �:��/a�� $���� ��&�:�21 λ
�� ��V�21R7���5��*9�=���&^V0
L� ��:WY���&��*�1�����Q������\�L0�&��� �� �&/��4L07�7<���=/0�������&70/������
Sd−1+
��WE�&/�� L0 ����=\9��*�*B
(d)1 ; �&����d b_g,WY�����0���D�%��*���H
. L� ����&���� $����� /$1R7<���&7�*��� ����� R
d ���V����>9 0��� \$1H(p, v) = {x ∈ R
d : 〈v, x〉 = p} WY����� $1
p ∈ R1 �� 0�
v ∈ Sd−1+
H .9L����&/���� ; \$1 Hd
������7 H Hd−1 . �S���� ��%���3��/��d− �&���&7 H
(d − 1)− �������� ������� ���* IK��L��&�0��� �B���5����L��&�J�� Rd �� ���7�L0� κd = Hd(B
(d)1 )
H
H
��/��8�&�� ������ GL��C\F������W�#�������������ΨV (% K)
6��� ����&�%����� \G1T
(d)λ
�� % K
������7�7����h@!���]�%�&��*:1 ������]��*�*�1�������������\�L!�����+WY����*����&6��
% ; �&��� ��/��OH(b0H j �� Md b%g��
√%( ΨV (% K)
Hd(% K)− κd
(
λκd−1
d κd
)d )
=⇒%→∞
N(
0 ,κd−1
d − 1
(
λκd−1
d κd
)2d−1 Jd(K)
H2d(K)
)
. ���&/
Jd(K) =2
(d − 1)κd−1
∫
R1
∫
Sd−1+
H2d−1(K ∩ H(p, v))Hd−1(dv)dp =
∫
K
∫
K
dxdy
‖x − y‖ .
��/��J�&��6�/$�� 2/��� ��8�(3RL���*��:�2185�% O\F�U�&/0� . O\$1+����C\��� 0�� �6?��/��?���� �� �[*����&D/0^��A [' ����^_�� $�&�&D/��� WY���&��L�*-�E��W ��/��OH J H H J . ���&/ ��/0� H )0H-+!HC/?�� dfe g H/.K�[�J\$1$ 27����!��L0��c���(��L0�& ��c��L0�(��/��%� Jd(K)����� ��������� � L�7 �&�,�,��� ������� $� � . ���&/?�&/�� d
��/! "���&�0��� NP'2� ��WR��/��(��� $#��A@ \F�!�!1K ⊂ R
d H �)��^G�� �6�� $���C������L� $����/9�_�
L(∂K) = π b2(K)WY���[�� $18��� G#��A@O�����&
K ∈ R2 ;R. /������ bd(K)
���� 0���������/�� � %$� ;>� � %K�$ �J�%Wi� ��� $#�� @8\F�!�!1
K ∈ Rd ;G. �KWY�����CL�*-�_�������[�? 9�_��L��&��* �A@R���� ��&���� 8��W � b ���/��UWY��*�*�� . �� 06
��������������������� � � .9������ $1+��� $#�� @4\F�R�01K ⊂ R
d . ����/��� � �����7F���� $�&� ; �:��/���*����
( 2d d! )2 κd−1
(d − 1) (2 d)! κd
2
bd(K)≤ Jd(K)
H2d(K)
≤ ( 2d d! )2 κd−1
(d − 1) (2 d)! κd
(
κd
Hd(K)
) 1
d � HK�
. ���&/O�(3GL9��*��:�218�� O�5�%D/ �������J� � K�����
d− \9��*�* B(d)r . �:��/��&���=�U�&������L0� r > 0
H
�L��U���C�&/��J6��� 0�����%*��������ONP����*����]�� +�� ��>3GL9�%*����21�WY����NP'2�2� ; ����� ��/��OH )0H,+0H-+C�� Bdfe g ; �&/��JL�7�7F���\<��L� ��?���i^G �� . WY���i*��� �6������=� ;5. /������5��� ��/0�c*�� . ��� \F��L� 0� ��W � H � �&�����=� ����\F�(������*�*%L� �7���� #���� H�2 #R��� . ��W)��/�� . ��*�* 2^G �� . 4�� ��>3GL9�%*����21 2/bd(K) ≤
(
d κd/Hd−1(∂K))1/(d−1) ; �&������H 6�Hdfe_g ;�� ��=���L�*�� ���&�&�� �6�/$���� �&/��]*�� . ���C\<��L� �� ��W � HK� �� �� ���\$#!����L�� . �51�H3I,� . �A#���� ; ����7�*������ �6
2/bd(K)\$1 (
d κd/Hd−1(∂K))1/(d−1) �� � HK� ���?����7F���&����\�*����A#��� �� �����&�]��W���*�*���7��&�������J��
R3 H���/����������&���� OWY�&��� ��/��J\F��*�� . WY���&��L�*-�����������#���� WY�����C�&/��&���A 2�0������ ������� 9�%*`��*�*���7��&�����
Eabc ={
(x1, x2, x3) ∈ R3 :
x21
a2+
x22
b2+
x23
c2≤ 1}
. ���&/3�&�����: 2�_@!��� a, b, c > 0H .9���,��/��VL� 0���#���A�������
vα,β = (sin α cos β, sinα sin β, cosβ) ;0 ≤ α ≤ π , 0 ≤ β ≤ 2π ; �&/��U�������D�% ��������Wi��/��U��L�7�7F������70*-�� ���� H(pα,β, vα,β)
��WEabc
WY�&�����/��J������6���
o
� . /���D/��L����,6��:#����P��/��J�&L07�7<������WYL� �A������ h(vα,β)
��WEabc
� �����U�>3GL9��*i���
|pα,β| =
√
a2 sin2 α cos2 β + b2 sin2 α sin2 β + c2 cos2 α7��&�h#R���0�� �6C�&/��J�=���� �\��&�����0��/
b3(Eabc) =4
π
π/2∫
0
π/2∫
0
|pα,β| sin α dα dβ =1
2π
∫
S2+
(
h(−v) + h(v))
H2(dv) .
j L
.9L����&/���� ; �%W �&�����3*��� �6���/$1 ���*��L�*-�_������ �� ��*�L����� �6 ��/0�O�0�������&���� 9�_������ ��WK�&/����&���=� �_@!���a��W��/�� ��*�*���70�&�
Eabc ∩ H(p, vα,β)WY���
0 ≤ p ≤ |pα,β| ;���,��L��� ����L!�K�&/9�%��&/����h#������OWYL� ���&���� ���*
J3(Eabc)5�� O\<�J� @070�&�����&���3����WY��*�*�� . ���:�
J3(Eabc) =64
15π a2 b2 c2
π/2∫
0
π/2∫
0
sin α
|pα,β|dα dβ =
6
5πH2
3(Eabc)
∫
S2+
H2(dv)
h(−v) + h(v).
IK�� ��� ; \$18�&/�� NP��L�D/$1$ ��!D/ . ��� ���� ��(3RL���*��:�21 ; �:���������=���������%����*�1��&���� ���/9�_�
b3(Eabc) J3(Eabc)
H23(Eabc)
=3
5 π2
∫
S2+
H2(dv)
h(−v) + h(v)
∫
S2+
(
h(−v)+h(v))
H2(dv) ≥ 3
5 π2H2
2(S2+) =
12
5,
. /���D/M���J ��%��/��� �6���*���� ; \�L0�J��/0��*���W �Q 2/9�� 0�M7������?��W � HK� WY��� d = 3�� 0�
K = Eabc
H �2 M��/��79���Q�����L�*-�%�)����&����W<�E7�����*-�_���[��7�/����&����� ; ��H 6�H a ≥ b = c ;�. ��6���� �&/��P�*����&���! "�&����� �A@!7��������&���� ��
J3(Eabb)
H23(Eabb)
=6
5 a εlog
a
b
(
1 + ε) �� �� H2(∂Eabb) = 2π b2 + 2π a b
arcsin ε
ε
. ���&/O GL������������* �A@!��� $��������:�21 ε =√
a2 − b2/a�&�a��/��%� . �?/9�5#��
√
H2(∂Eabb)J3(Eabb)
H23(Eabb)
∼ 6 π√
b log a
5√
a−→a→∞
0���
a → ∞ .
� ÿ 6°ÿ ô[ÿ�òWø�ÿ�ü
d j g�������� , ����� � jIH )$/ � H �2 ��(3GL9��*��:�������JWY������������ $���?��W��&��5�� $�a*��� �6��&/ H�� !�� %��8� 9I�����������& �#��� �K���� 9� ��������:�#� �$���:� ! � �>;>�#�� !����� ; /�b�� / +!H
d g����! #"$%�'&(*)+� � jIH H b � H �T@R���&���CL�� 7��&��\�*����=�aWY������� $#�� @ �����&��]�� �� 7F��*:1!/0�����&� ; �2 �,�%$�)�K;��I� � � ?.- ��� �$��� � ��� �� <� � ; ' H DSH �J��L�\<���C�� 0� E0H2DSH � ��*�*�� � � ����H � ; � *�����#R����� ;1K���Q��/! 2IK��*�*-�� 0� ; j�J$J � j Hd b%g�/*01$2&3"3$2465(�78� �# L L J � H5N B � � WY���`�=���&���� R 2�� $#%�����-�� $�`')�����&�&�� ?/$1R7F���&70*-�� ����)�� U�A@!79�� 0���� �6
��� $#��A@�\<�R��������H_' �&��7��&�� G� L /�b�9 L L J � /$�&��7A�:9;9 .�.�. H �=�%��/`H L� 0�: �%L�6��&\0L��&6�H ���<9 � ; �&L�\�������������>= ���)� !?- ��� � !@ %$ !3A %$&7��� �_Hd /�gCB1�D&3E!�'�!F887��() � jIHKJ + � H3G��� !�#"$��%$& � ��� �� �� � %$�)� � ��� �� ��:�#�HA ���$;�%K;>��& �� "�_H .��0�������� !
�����&*���1 ; ���5���0�� �6 � D4���&��H � Hd e_gCB�4653&D01$2I'01"JLKC�M�'&3I NO01$2��PNQ� �# L L ) � HSR !�I��� %�9� ��#� %$�)�TG:�� �#"$��%$& � ��� �� <� �_H
�!7����� �6���� ; �[���&*��� H
')���Q�D��* �%�����&���&�(� � ���#����&�����VU%� .L�6��&\�L���6 ; ) + j b$e(.L�6��&\�L���6 ; �J���&�=�� $1�T 2�=����*<�������������>��W�XZY<[]\1Y_^`Wbadc�e;f�W8gih_[jY_kdedh]l1m`n_h]\]l�gpo]Xqsrut�vw`vyx{z}|�~:�b����xit�|:���yz}~��y��~�z�xi|��}����v��ivj�������iv�wJ���`x�������x{��w��Z��z�xit!����t��{|:��x{|�z}�?�j�p���_���3��|��;�b���;������������i�
j�j