institut für mathematik - opus.bibliothek.uni-augsburg.de fileu n i v e r s i t ä t a u g s b u r...

13
U n i v e r s i t ä t A u g s b u r g Institut für Mathematik Lothar Heinrich On Lower Bounds of Second-Order Chord Power Integrals of Convex Discs Preprint Nr. 27/2009 — 19. Oktober 2009 Institut f¨ ur Mathematik, Universit¨ atsstraße, D-86135 Augsburg http://www.math.uni-augsburg.de/

Upload: others

Post on 18-Sep-2019

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

U n i v e r s i t ä t A u g s b u r g

Institut fürMathematik

Lothar Heinrich

On Lower Bounds of Second-Order Chord Power Integrals ofConvex Discs

Preprint Nr. 27/2009 — 19. Oktober 2009Institut fur Mathematik, Universitatsstraße, D-86135 Augsburg http://www.math.uni-augsburg.de/

Impressum:

Herausgeber:

Institut fur MathematikUniversitat Augsburg86135 Augsburghttp://www.math.uni-augsburg.de/pages/de/forschung/preprints.shtml

ViSdP:

Lothar HeinrichInstitut fur MathematikUniversitat Augsburg86135 Augsburg

Preprint: Samtliche Rechte verbleiben den Autoren c© 2009

� � ����� �� ��� ��� � ������������������� ������� � ��!�"�# ��� ��� $��&%'�)(!��*!+,� ����� �-�-.��0/ 1 2,�'�0�

3"465�798&: 76;<>=6:?<>@?7

ABDCFEHG,IKJLCFMONQPSRUTWVYXHJLZ[VDI\XD]_^WG,IK`�abBHN

cedHfhgOi\jlkLgmonKprqlsut\v,t\pDwhnKvyx>z|{"}�~���wh�

K � ~����"q�nL��~���~�x>z�t\p�zOt A(K) �>� nK�lvo}ot\p���s�z�vl�L��� L(∂K)t\vo}

��zhwhnKvo}���nKp�}lz�p�w��onKp�}'q�n � z�pH~�vy��z��Lp�t\s I2(K) �\� zD�����o}������ozYp�t\��~�n L(∂K) I2(K)/A2(K)t\vo}��L~�x>z�p�zOtK��nKvo�����lqlq�nKp���~�vl�"���oz�whnKvK��zhw����lp�z����,t\��~������lvl~��FnKp�� s�n � z�p � nK�lvo}�~��_¡L¢>£K¡t\����t\~�vozh}¤z|{otKw���s���¥nKp¦w�~�p�w�s�zh�¨§e©ªv�q,t\p���~�w��lsut\p � �o��~�vl�0���oz"«_� � t\p���¬h�l��~ut\v���­®s�z�~ ��z�s¯p�z�q��p�zh��z�v°��t\��~�nKv6n\�I2(K) � z�}lz�p�~�x>z±�FnKp��¦�lsutK�U�FnKp I2(K)

~�v!wOtK��z±n\�_�>z�voz�p�t\s¯��p�~ut\vl�Ls�zh� �p�zhw���t\vl�Ls�zh� � t\vo}�p�z��L�lsut\p N�²�>nKvo�O§Y©ªv0���ozh��z�wOtK��zh��t\vo}��FnKp�z�s�s�~�qo��zh� � z¦wOt\v0qlp�n¨x>z����l~��~�vozh³°�,t\s�~����>§�«¤p�z�sut\��zh}'whnKvK�´zhw����lp�zY~����FnKp��¦�lsut\��zh}¦�¥nKpµ���ozrw�sutK���bn\�lwhnKvyx>z|{

N�²�>nKvo� � �l~�w��z|{��l~ � ~�����t¶����p�z�vl�L���oz�vl~�vl��n\�®���oz¦~���nKq�z�p�~��"z���p�~�w'~�vozh³y�,t\s�~��ª�)tK� � z�s�s®tK�_n\�D·¯t\p�s�z��et\vS¸¹�~�vozh³°�,t\s�~����±�¥nKp_whnKvyx>z|{

N�²�>nKvo�O§[«�v0z|{���z�vo��~�nKv0��n"�l~��L�oz�p�}�~��"z�vo��~�nKvo��~��_}�~���w��o����zh}0t\�

���oz�z�vo}0n\�����oz�q,t\q�z�pO§º�»|¼K½Y¾K¿�À\Á¯ÂDÃ_ÄÆŵÇÈÄHÉ�Ê�ÇÈɵË>ÌÆ͵ÇuÌÆɵÅÏÎ�ÄHÇÈÐÑШÄHÉ?Ò°ÇÈÉbÓÔoÍÕÄÆÖ�ÓoÐÑШÓoа×�ÇÈÐÑÄÆÔoÓ,͵ǥÃ_Ólŵ͵ÇØÖ9ÇØÉ�ÊÓoÙHÚ�ÌÆÒ°ÇuÅÕÛD×�Ü_ÌH͵ÒyÓÕÃ�ÌÆÉrÝ�Ð0ÇØÉSÓoÙHÚ�ÌÆÒ°ÇuÅÕÛD×�Ã_Ó�ÌHÉ-Þ�͵Ó�ÌÆßbŵàr×�Ö�àSÄH͵ß�ÒyÓ,ÉSáHÅ�àâßÆÇÈÐhÊŵ͵ÇÈÞ�ڵŵÇØÄÆÉr×�͵Óoá�ÚSÒ>ÌÆÍ

NÊ�á�ÄHÉSÐy×HÓoÒ°ÒyÇØÔoШÓoÐ

ã0äH夢LæLæLæ¯Â[Î�͵ÇFÃ�ÌÆÍKÛâçlè°éUêoë�ìlë,í�ë,ç�î�ÓoÖ�ÄHÉSßÕÌÆÍKÛ�çlè°éUë,ïçlè°é�èlè

ð ñbò�ó®ôDõ�öW÷Wø_órùÑõ¶ò ú û�õ¶ürùÑò�ý óYþ�ÿ û ô[õ ��� ÿ��

������ ����������������������� ! "�� $#%���&���� $�(')�����&���� +*��� ��,�&�����&��*�*-�%�&���� Tλ =

i∈Z1 g(Pi, Φi) .���&/+*��� ��

���� 0�&���21� 3�� 4�� ���&�5�%�&�� 0687�*-�% 9���,�&��6�����

% K . �:��/ 1 ≤ % ↑ ∞ ;<. /0���&� K��������=�?>0@!���

��� $#��A@B�����&C��� $�D���� ��� 06o

���E�� 0 ����E7F���� G��HJIK���&� ; g(p, ϕ)���� ����&���J�� 3L� 0���&���� $�����3�����&����6�/G�

*��� ��C�� M�ONP���Q�������-�� x1x2

2��!���&���� 9�%������1R���&��� . ���&/S 0���&�=��*TL0 ����U#�����&���( cosϕ, sin ϕ )

���: �&��������V�� ��&/��PL�707<���T/9��*:W- 27�*��� ��X�� ��C����6� 0���C7F����7<�� ������L�*-�%�T�������D�% ���

p ∈ R1 WY�&���Z�&/��[���&��6���

o ; WY���&�=��*�*:1 . �&�:�&����

g(p, ϕ) = { (x1, x2) ∈ R2 : x1 cos ϕ + x2 sin ϕ = p } , ϕ ∈ [0, π) , p ∈ R

1 .

T��U�0�&��#��� B\$1B�� B�� 0����7F�� ��0�� $��*:13�]�%�&^����B���D�_������ 9����14')�����&���� M7��&�R����&�

Πλ = {[Pi, Φi] :i ∈ Z

1} �� 8��/0�E�&����*<*��� �� R1 . �:��/+�� G�&�� ������21 λ

�% ��]�21R7������*`�=����^Φ0

L0 ���WY�����=*:1a�����Q������\�L0�&�����

[0, π) ; ������N[/9��70��Hcba�� MdfehgiWY��������������*���H

j

' L0�

X% =√

%( ΨL(% K)

L(∂(% K))− λ

π

) �� ��Y% =

√%( ΨV (% K)

A(% K)− λ2

π

)

,

. /������ ΨL(% K)�&���&7 H

ΨV (% K)���� ��%�����(��/0�,�&���D��*0 RL0�C\<���X�%W`*��� ����c�%W

/��������� �6% K

�&���&7 H��/��C�&���D�%*) GL��C\F���U�%WX*��� �� ������&���� �6��U6��� ������%�&���B\$1

�� % K

H��2 d b%g . �V/9�5#��a7���� #����B��/��WY��*�*�� . �� �6C\0��#%���&���%���K��� G�&����* *��������c��/������&�����

(

X%

Y%

)

=⇒%→∞

N(

(

00

)

,

(

λπ L(∂K)

2 λ2

π L(∂K)2 λ2

π L(∂K)4 λ3

π3

I2(K)A2(K)

))

� j��

. ���&/������&�&��A��*:137<���&���&��#��A 2�0��>9 ��:���a��h#%�����-�� ���a�]�%�&�&� @3�� B��/0��J��L����&�-�% S*�������� � j�� ����7�*�1R�� �6��/9�_�

I2(K)

A2(K)>

π2

L(∂K)≈ 9.8696

L(∂K).

�� �

IK���&� ; WY��� n = 0, 1, 2, . . . ;

In(K) =

π∫

0

R1

Ln(K ∩ g(p, ϕ)) dp dϕ

���� 0�������,�&/��n��/R 2��������� ������������������������ !�#"$��%$& � \��&���('�1)�+*�,+- � ��W

KH

.9�&��� �� $����6�����*`6����������&��1]��� . ��*�* 2^G �� . ; �����=d0/%gi���?dfehg ; �&/9�%� I0(K) = L(∂K) ;

I1(K) = π A(K) , I2(K) =

K

K

dx dy

‖y − x‖ , I3(K) = 3 A2(K) .

1K���&�M�&/9�%����/0� NP'2�2�In(K) , n ≥ 0 ; ���&�M��� � ���A����� . ���&/ �&���=�BL� ��43GL��5���������6&7���8"$ ��

�$�79� ��:�<;>=8 ��#����?:=@�A�� <�#���CK(x) , x ≥ 0 ; �&L0D/O�&/9�%����/0� n

��/������=�� $����WCK

�(3RL���*��P�&/��J���%�&���In(K)/I0(K)

HOIK� . ��#���� ; CK�0�!���� �������* . �51R�����A�����&���� ��������7�*�������*�1 �&/��]��/9��7F�]��W[��/����� $#��A@ �0���&

K ; �%�]�&/0� . >��&���8\G1 NHCB H+D4��*�*�� . �=�� ��FE0HGDSHfNH�N[*-�%�&^ �� jIHKJ$L ; �&��� d0/�g H

1K�A#����Q��/���*����&� ; �� B���=��6��C�� 9��*:1!�����J�� 0�S���&/����U>9��*����J��W[��7�70*�����%������ CK

�� ��M��#��� �� �*�1 ��/��>9�&�Q�[WY��L0�[NP'2�2�

I0(K), ..., I4(K)���&�,L��&���8�����fD/�������A�����&�������G��/��K�&/9�%7<�K��Wi��� G#��A@]79���Q�����*�����H

.9L����&/���� ;�. �,�=�� $������ C��/9�%� �&/������%�&��� I2(K)/A2(K)5�% =\F���� $�����&7������&���=���(�=���� a�&�����7����!���*

� L��*��������� C�������D�% ���E‖PK−QK‖−1 ��W9� . �U�� 0����7F�� ��0�� $�(�� ��VL0 ���WY�����=*:1U������������\�L!������7<���� $���

PK

�% ��QK

�� KH���/0���P���L�*��+\F�UL�����WYL�*`WY���P�����7�L0�&��� 2\9�������+�����CL�*��%������ ��c��W ��/���&����� ��!

���&�0���KNP'2�I2(K)

H.9�&��� ��/�� #R��� . 7F���� $�+�%W ���) <� %$&����(�����:� ���� #%$& �8��9�� "$� �:�+���8�&/��M����� ��� ���� ����=� ������/��*����=�:���� 06a#%�����-�� 0��C��W

Y%

�� � jI� 6���#��� B��H 6�H?��/��V7F���������������L(∂K)

�������/����U�&�����V��� 0�����&���� ��

KH �2 M���&/���� . ���&��� ;i. ��/9�5#��a���+>9 ��B��/0�����]�%*�*������U7F�����&��\0*��C�&�%����� I2(K)/A2(K)

�� 0���/��J���� ����=� ���� �6 �0���&

K ;�. /��� L(∂K)���P>0@!��� H

�2 ��/�� �&�����U��W �&/����K79��7F��� . �C�����&�L��&�U����#�������*T�&7F�������* 5������� . /���D/3�=���&��#%�%�&�?�� 79���Q�����L�*������/��J*�� . ���������&���=�%���U��

��������������������� . ������ $1+��� $#��A@ ��������K . ����/O�� 0 �����7F���� $�P�&/��J�� ��*�L�������

10.6667

L(∂K)≈ 32

3 L(∂K)≤ I2(K)

A2(K)≤ 16

3√

π A(K)

� b �

/���*���� . /���D/+���Q�D��\�*�����/������ �&*���6�/$�[�Q������ �6��&/��� 0�� �6V��W`��/�� . ��*�*: "^R 0� . +���&��7F�����������&�&����� ��>3GL9��* ���21 ; �&���C��H 6�HVd /�g ;<. �:��/ �(3RL���*��:�21 �� 3\<���&/ �&���������W(�� 0� �� �*:1 �:W K����]����&�*�� . �:��/ �0�-�������&���

L(∂K)/πH

� �� "!#��$&% ��/0�CL�7�7F���K\<��L0 �� �� � b � ���K�=���*���\��&�%����� �&���&L�*:�\$1'�UH NP����*����]�� O7�L�\0*�����/������*����5���!1��� jIH!jIH ; �&���(��/�� H*)0H,+0H-+=�� d e_g WY���6��� �������*����5�_������ ������]/0��6�/����Q "���&�����UNP'2�2�E�� 3�� $1�������� 0�&���� H/. /��� G���&�a�&/��J*�� . ����\F��L� ��O����6��:#��� �� Sd j g H

0 1�ÿ�ø�õ¶òWö)ú32�ôDöWÿ ô54 û ñÆü76yõeô81�õ � ÿ 4 õ¶ò�9±ÿ;: < ùÑürø ü

.9���T�% G1 ����&�L�*-��� �����&Br = { x ∈ R

2 : ‖x‖ ≤ r } . ����/���������L�� r > 0 ; �:�T���T�������7�*��c�A@!���&����&����?��� !>9�&� ��/��%�I2(Br) = 16 π r3/3

�� �������6�����/0��� . ����/ L(∂Br) = 2 π r , A(Br) = π r2 . ��&���?�&/9�%��*�� . ������ 0� L�707<���,\F��L� 0� �� � b � ����� �������%H.9������ ��*�*���7����

Eab = { (x1, x2) ∈ R2 : b2 x2

1 + a2 x22 ≤ a2 b2 } . ���&/ �������: � @0���

a , b���%�&���QW 1!�� �6a ≥ b > 0

�� �� GL������&��5��*�A@!��� G�&�&������21ε =

√a2 − b2/a ;K. �S���&����#��M�%W �&���

*��� �6���/$1+�����7�L0�D�_������ ����%� ; �&���]d b%g2�

I2(Eab) =32 a b2

3

π2∫

0

dϕ√

1 − ε2 sin2 ϕ=

32 a b2

3F(

π

2, ε) ,

b

. /������ F(π2, ε)

��� Bi��6��� �������� � ����D�_������ WY���T������7�*������X��*�*���7!����(�� G�&��6��&��*R��W9>9�&�Q� ^G�� ��`H��E C��/������/0���/��� �� ; L��&�� �6]��/0������=7�*����&� ��*�*���70����J�� $����6�����* ��W �&����� ��B^G�� �� E(π

2, ε) . �C��� � @070�&�������/��J7F���������������

L(∂Eab)\$1

L(∂Eab) = 4 a E(π

2, ε) = 4 a

π2∫

0

1 − ε2 sin2 ϕ dϕ .

�X1���7�7�*:1!�� �6�&/���NP��L�D/$1$ ��RD/ . ������� 0�>3GL9��*����21 �� ��C�&/�� . ��*�* 2^G �� . a�����5�WY�����CL�*-� A(Eab) =π a b . �?��\0������ 8�&/9�%�

32

3=

32

3

2

π

π2∫

0

( 1 − ε2 sin2 ϕ )1/4

( 1 − ε2 sin2 ϕ )1/4dϕ

2

≤ 128

3 π2E(

π

2, ε) F(

π

2, ε)

=128

π2

L(∂Eab)

4 a

3 I2(Eab)

32 a b2=

L(∂Eab) I2(Eab)

A2(Eab),

. /������ �= ��/���*�������� ε = 0H���/GL�� ;9. �J/9�5#��?7���� #����

�� � � ���� %� ��� %$� � ��&�& �G��9I�Eab

;��� �� ���A���>= %$& �� <�#��9 ��������������& � %$�)� ���>= %$& �� �� ��� � %8��� 9��<�8��79�%$ < %$���A� � � �

a = bH

��/��M�����7�L0���%������ ��WCNP' �2�OWY����� �&��A�D�� 06�*��Rab . �:��/ �&�������

a�% ��

b������ �����=�����-�%�&�

��� 0�&�>3GL��� ���=��WX�+�=�����C6��� ����&��*TWY�����CL�*-��WY���E��� G#��A@N− 6��� �� PN . /���D/ . ��*�* \<�V�0���&�:#������ +��/0�? 0�A@R���!��A�5Hcb0H �S�?6�������/��UWY�����CL�*��

I2(Rab) =2 ( a3 + b3 ) − 8 (

√a2 + b2 )3

3+ 4 a b2 I

( a

b

)

+ 4 a2 b I( b

a

)

,

. /������

I(x) =

x∫

0

√t2 + 1dt =

1

2

[

x√

x2 + 1 + log(

x +√

x2 + 1)]

.� / �

1K���&�U��/9�%�I(−x) = I(x) ; I ′(x) > 0 ; I ′′(x) > 0

�� ��I ′′′(x) > 0

WY���x > 0

H

�� � � ���� � � ���$���5 ���� 9I� �G�����:� �� ���s = a + b � ���� ��%$ <�#�

I2(Rab)/a2 b2 %��K��9 �� �9

����� = ? ���� ����9 �>= %$� � �2�� �9��<�8��&7���8"$ �s/2 � �"!<� !

I2(Rab)

A2(Rab)≥ 8

3 s

[

3 log( 1 +√

2 ) + 1 −√

2]

≈ 11.8928

L(∂Rab).

� e �

/

� ���3��� .,W �����P�����0����L������*��L�*-�%�&���� 0� . �?>9 0�O�&/9�%����/0�?����*��%������ � e � �����>3GL��:#��%*��� $���&�

3(a + b)

2 a2 b2I2(Rab) = f(

a

a + b) + f(

b

a + b) ≥ 2 f(

1

2) ,

. /������

f(x) =3

xlog

x +√

1 − 2 x (1 − x)

1 − x− 1

1 − x +√

1 − 2 x (1 − x)

WY���0 < x < 1 .

�2 3W ���� ; ���5�� B\F�V�&/�� . 3��/9�_� f ′′(x) > 0WY���

0 < x < 1 ; � H ��H ; f(·) ���E�Q���&����&*�1 ��� $#�� @B�&���/9�_�( f(x) + f(1 − x) )/2 ≥ f(1/2) = 2 ( 3 log( 1 +

√2 ) + 1 −

√2 )

� @!/���\��:����]�&7F����-��*5�����J��W2E��� ��&�� 3� ��� 0�>3GL9��*����21�H

2

.T�� ���*�*:1 ;�. �C��� 0�&���0���U�� ���&\��:���&����1+�&�&�-�% �6�*�� ∆abc .�:��/4������� 2*��� �6��&/��

a, b ; �� �� c�� ��3�������:

7<���&���=�A�����s = (a + b + c)/2

�&L�D/B��/��%�J�5��D/M�&�����V����&/����Q�����E��/9�� 3�&/��a�&L�� ��WX�&/��V���&/����� . �3����������H4�S�8L����]��/0�8\<��*�� . WY�����CL�*-� � + � ��� ��� . ������� I2(K3)

�� ��&���&�����%W���/��]WYL0 ���&���� � / � �� �� � @!7��&���&�C��/0�]������6��� 0���=�A������CWYL� �A������ ��C��W[��/��+�% �6�*�����\$1M��/��=�&���0���

a, b, c ; �� 0� sH

�!L����]�%�&������ �6���*�*`�A@!7<���&������ ��,*��������������&�����*:1]�&�a�&/��J�����79���&�%���:#���*�18������7�*��,WY���&��L�*-�

I2(∆abc)

A2(∆abc)=

4

3

[

1

alog( s

s − a

)

+1

blog( s

s − b

)

+1

clog( s

s − c

)

]

,� + �

. /�������I,������ 3� ��WY���&�CL�*��C6���#���� A(∆abc) =√

s (s − a) (s − b) (s − c)H

�� � � ���� � � ���8" %$&�& �)& %$�)%$� <�:�<%$�8"$&7��9 �2�� � ������� �� !���2 s = a + b + c � ���� ��%$ ��#�

I2(∆abc)/A2(∆abc)

%$ < %$��� 9 �� 9* ����� =� ? ��� ���� ���>=8��& %$ !��� %$&) <���<%$�8"$&7� � �"!<� ! WY��� a = b = c =2 s/3

H

� ���3����� �&�� �6V��/�� � �Q�������� � ��� $#��A@!���21���W ��/0�JWYL0 ���&����

g(x) =1

xlog( s

s − x

)

=1

s

∞∑

k=1

1

k

(x

s

)k−1 WY���0 < x < s ,

. �J�=�51���7�7�*:1 E��� ��&�� 3� �K�� ��(3GL9��*��:�21=1R����*��0�� �6

I2(∆abc)

A2(∆abc)=

4

3

(

g(a) + g(b) + g(c))

≥ 4 g( a + b + c

3

)

=12 log 3

L(∂∆abc)

. ���&/O�(3GL9��*��:�218��� a = b = c = 2s/3H2

e

� � ù¨ý±þ�ÿ ôrú32�ôDö�ÿ ô 4 û ñÆü 6yõeô54 õ±ò 9�ÿ;: û õ ��� ýeõ±òWü

.9��*�*�� . �� �6V��/������������K�%W .�H<'(*���������* � jIH e + � �% ����JH��H�.K�C\9���Q� ��L0�=���� � jIHKJ$L J / � ; �&�����&��WY���Q �� �����)�� �d0/%g ; . �X5�� ?�A@!7�������� In(K)��� ����L�\�*��(�� G�&��6��&��*$�h#���� �&/��(\<��L0 ��9���Q1

∂KH N[���C\��� 0�� �6

� . �aWY�����CL�*-�%�[WY��� In(K)6���#��� ��� Md0/%g ; �&���CN[/9�%70�5H �DH b0H e ; 7 H(b J ;�. �?��\0�D�%��

In(K) = − n

2 (n − 1)

∂K

∂K

‖s1 − s2‖n−1 cos(θ1 + θ2) ds1 ∧ ds2

WY���n ≥ 1 ;G. /0���&� θ1 = θ1(s1)

� �&���&7 Hθ2 = θ2(s2)

� �0�� ����&���[�&/��K�� �6�*��,\F��� . ���� 8��/����D�% �6��� $��%�s1

� �&���&7 Hs2� ��

∂K�� �����/0�?D/0���&������� 0�� �6

s1

�� ��s2

H1K� .J; *��A� K = KN

\F�?����� $#�� @47F��*:1!6��� �/9�5#!�� �6N

#����Q��������A1, . . . , AN

� �% G�&�: "�*��RD^ . ����� �. ���&/ �� � 0���U�� 06�*�� αi

�_�Ai

�% ��3����6����Li = Ai Ai+1 ;<.

/������AN+i = Ai ; LN+i = Li

�� ��αN+i = αi

WY���i = 1, . . . , N

H �E\G#R����L��&*:1 ; ∂KN = L1 ∪ · · · ∪ LN

H2�"Ws1 ∈ Li \ {Ai+1}

�� 0�s2 ∈ Li+j \ {Ai+j} ;

��/��� . �?6����K� (j + 2)− 6��� . �:��/+#������&������ s1, Ai+1, . . . , Ai+j, s2

�&L0D/��/9�_�

θ1+θ2+αi+1+ · · ·+αi+j = j π���=7�*:1R�� �6

cos(θ1+θ2) = (−1)j cos(αi+1+ · · ·+αi+j)H

.KW �&�����&���=�J�&���=70*��E���5�������� �6������� $� . �J>9 �����/��%� n�&/! 2���������KNP'2�

In(KN)�>3GL9��*��

N∑

i=1

N−1∑

j=1

(−1)j+1 cos(

j∑

k=1

αi+k

)

In(Li, Li+j) −1

n2 − 1

N∑

i=1

|Li|n+1

= 2

bN−1

2c

j=1

(−1)j+1

N∑

i=1

cos(

j∑

k=1

αi+k

)

In(Li, Li+j) −1

n2 − 1

N∑

i=1

|Li|n+1

−(

1 + (−1)N)

(−1)N/2

N/2∑

i=1

cos(

N/2∑

k=1

αi+k

)

In(Li, Li+ N2

) ,� J �

. /������ |Li| = ‖Ai − Ai+1‖�� 0�

In(Li, Li+j) =n

2 (n − 1)

Li

Li+j

‖s1 − s2‖n−1 ds1 ∧ ds2 .

��� . ��*�* ��707�*�1���/0��7�����#R����L0�WY���&��L�*-���� �*�1+WY��� n = 2�&�8��/��%�E�:������=���� ��,���8�����7�L0���?��/��

�� $����6����%*I2(AB, CD)

WY�����V��� $#��A@ 3GL9�����&�� �6�*��2ABCD

Jε1,ε2(a, c, e) =

a∫

0

c∫

0

‖A − C +s

a(B − A) − t

c(D − C) ‖ dt ds

=

a∫

0

c∫

0

s2 + t2 + e2 − 2 s e cos ε1 − 2 t e cos ε2 + 2 s t cos(ε2 − ε1) dt ds ,

+

. /������ a = ‖A − B‖ , c = ‖C − D‖ , e = ‖A − C‖ , ε1 = ∠(CAB) ; �� �� ε2 = ∠(ACD)�����&�����=�� ��2ABCD

H �����=����^%�%\�*�1 ; �&/�������L�\�*��=�� $����6�����* Jε1,ε2(a, c, e)

5�� S\<���A@!7������&��������O�*����&��� WY���&��L�*-� �� �����&������W��&/��SWYL� 0������� � / � H ��/��M����������*��O�%W���/0�S�&�%��/���� *��� �6%��/$1�����7�L0���%������ ������U���=�:�&�&��� HT�S�J��\0������ +��/��%� ; WY��� ε1 6= ε2 ;

Jε1,ε2(a, c, e) =

e3 sin3 ε1

3 sin(ε2 − ε1)

[

I( e cos ε1 − a

e sin ε1

)

−I(

cot ε1

)

]

− e3 sin3 ε2

3 sin(ε2 − ε1)

[

I( e cos ε2 − c

e sin ε2

)

−I(

cot ε2

)

]

+( e1 sin ε1 + c sin(ε2 − ε1) )3

3 sin(ε2 − ε1)

[

I( e cos ε1 − c cos(ε2 − ε1)

e sin ε1 + c sin(ε2 − ε1)

)

−I( e cos ε1 − c cos(ε2 − ε1) − a

e sin ε1 + c sin(ε2 − ε1)

) ]

− (e2 sin ε2 − a sin(ε2 − ε1))3

3 sin(ε2 − ε1)

[

I( e cos ε2 − a cos(ε2 − ε1)

e sin ε2 − a sin(ε2 − ε1)

)

− I( e cos ε2 − a cos(ε2 − ε1) − c

e sin ε2 − a sin(ε2 − ε1)

) ]

�� ��

Jε,ε(a, c, e) =e3 sin3 ε

3

[

J(a + c − e cos ε

e sin ε

)

− J(c − e cos ε

e sin ε

)

− J(a − e cos ε

e sin ε

)

+ J(

cot ε)

]

WY���ε = ε1 = ε2 . ����/ J(x) = 3 x I(x) − (

√x2 + 1)3 H

�"Wε1 = 0 ; � H �%H e = a

�� ��C ≡ B ; �&/���

J0,ε(a, c, a) =a3 sin2 ε

3

[

I(c − a cos ε

a sin ε

)

+ I(

cot ε)

]

+c3 sin2 ε

3

[

I(a − c cos ε

c sin ε

)

+ I(

cot ε)

]

.

�2 ��&�����&�� �6Jε,ε(a, a, e)

������7 HJ0,ε(a, c, a)

�� � J � WY���N = 4

�&����7 HN = 3 . ���&/B�����>3GL9�_����*:1D/������� �� �6�*����?�A@!7������&����� �� M�������=� ��W���/0�8�&������� *��5�%��� �&�4��/��=WY���&�CL0*-���UWY���

I2(Rab)�&���&7 H

I2(∆abc)6��:#��� O�� �!�����H H

�2 7������&���L0*-���cWY�����a�&�&���� �6�*��∆abc .

����/��� � ������% �6�*����α, β, γ

�� 0� �������: 27F�����������&���s = (a + b + c)/2 . � L0�&�U��/��J����*-�_������ ��

tanα

2=

A(∆abc)

s (s − a), tan

β

2=

A(∆abc)

s (s − b), tan

γ

2=

A(∆abc)

s (s − c),

�% ��4I,������ 3� ��WY���&�CL�*��A(∆abc) =

s (s − a) (s − b), (s − c)�&�=��\0�D���� � + � H

J

� 1�ÿ�ø�õ¶òWö)ú32�ôDöWÿ ô54 û ñÆü76yõeô�� ÿ�ý¶÷ ��� ôN− ýeõ±òWü

���]��� ����������C�4����6�L0*-���N− 6��� PN . ���&/�#������&������

A1, ..., AN ;����6��]*��� 06���/

a6���#R�� �6O��/��

����&�L0�=�&������L0�rN = a/2 sin ϕN . ���&/ ϕN = π/N

H ��/��?#����Q��������A1, ..., AN (= A0)

5�� \<������� $����>���� . �:��/S�CL�*��&��7�*����U��W[��/��=L� ���� �&�R���&�

Ak = rN ( cos(2kϕN), sin(2kϕN) )H�IK�� 0�� ;WY���

k = 0, 1, ..., N − 1 ;0. �?/9�5#��

‖A0 Ak‖ = 2 rN sin(kϕN) = asin(k ϕN)

sin(ϕN).

.7�70*�1R�� �6+WY�����CL�*�� � + � WY���I2(KN)

�� S����&�=��W����&��6�L�*����N− 6��� PN

�����\��� ���� . �:��/B��/���� $����6����%*)� @070�&�����&���� ��U�� �!��A�5H?b8�� ��A(PN) = N a2/4 tan ϕN

�� ��L(∂PN ) = N a

*��5���0����V��/0�JWY��*�*�� . �� �6C�*����&���! "�&����� �A@!7��������&���� 4��W

I2(PN)�

�� � � ���� � ��� %$� �N = 3, 4, 5, ...

��� � % �$�

I2(PN) =A2(PN)

L(∂PN )cN =

a3 N cN

16 tan2 ϕN

�2�� ��cN = bN − aN ,

� ����� �

aN =16

3 cos ϕN

bN−3

2c

k=1

sin2(k ϕN) sin2((k + 1) ϕN)

cos(k ϕN) cos((k + 1) ϕN)log( tan (k+1) ϕN

2

tan k ϕN

2

)

%$�)�

bN =16(

1 + cos ϕN

)3

3 sin ϕN sin( 2 ϕN )log( 1 + sin ϕN

2

cos ϕN

2

) ? ��� �>�K�N ≥ 3 ,

bN =16

3

[ 1 + sin2 ϕN

sin2 ϕN

log( 1 + sin ϕN

cos ϕN

)

− tanϕN

2

] ? ��� � �$���N ≥ 4 .

.9���N ∈ {3, 4, 5, 6} . ���&/ cos ϕN

�A@!7��&���&����\�*�� \$1+��3RL����&�?�&�R���P�&���&��� . �J6��A� �

c3 = 12 log 3 , c5 =10 (2 +

√5)

3

[

2 log(2 +√

5) − (8 − 3√

5) log 5]

c4 =16

3

[

3 log( 1 +√

2 ) + 1 −√

2]

, c6 =4

3

[

11 log 3 − 2 log(2 +√

3) − 4(2 −√

3)]

c8 =16

3

[

(5 + 2√

2) log(

1 +

4 + 2√

2)

− (8 +√

2) log(1 +√

2) − (1 +√

2)(

4 − 2√

2 − 1)]

+8

3

[

(2 +√

2) log(√

2 − 1 +

4 − 2√

2)

− (3√

2 − 4) log(

1 +√

2 +

4 + 2√

2) ]

)

� � ����� � !����#!�� � ������� � � ����! �� �cN = L(∂PN ) I2(PN)/A2(PN)

N cN N cN N cN N cN N cNb j b0H j )�b�b$/ J j�j jIL H,) j e jIJ jIH jIL H J!j e H / J jIL H,+ H L J b L / L jIL H,+ J J + H/ j�j H-) H )�b ) j jIL H J ) H L b�+ L jIL H J!jIL e�/Ge ) jIL H,+ ) H$L / j e L jIL H,+ J b +�)�be j�j HC/ j L /$b j b jIL H J J$L ) j j jIL H J$L +$/ + L H jIL H,+ ) J e / + L jIL H,+ J!j e%b H+ j�j H jIJ L b L j / jIL H J e�+$/ L!j jIL H J$L H j b L jIL H,+ ) + j e�+ J$L jIL H,+ J$L / JJ j�j H L b�b j�j j e jIL H J / / J )�) b jIL H,+ H H )�b$/ b j jIL H,+ )$/ H0jIH ) L jIL H,+ + H / L )) j L H H /Ge j ) ) j + jIL H J b$e H J / jIL H,+ HKJ!j + b jIL H,+ )�b J$H + H L jIL H,+ + ) )�b H j L H-)�)$e�+ H j�J jIL H J J /$b H e jIL H,+ H / J b + b�b jIL H,+ ) J J b jIL L jIL H,+ + )$/ jjIL j L H-) /$b$e b j ) jIL H J L )$e H + jIL H,+ H + j�J b / jIL H,+ ) j )$/ L jIL L L jIL H,+ + + +�)$/

���J��� 70�&�h#��U��/��%�cN > 32/3

WY���N ≥ 3

�� ��cN ↓ 32/3

���N → ∞ H

�T�%^R�� �63�� $�&�B������L� $�V��/�� � �����&������&�+���&��7<���&�������&�&��=�� ��>3GL9��*����21 �)WY���N− 6��� 0� KN ; 9������*:1

4 N tanϕN A(KN ) ≤ L2(∂KN ) ; ����� d gVWY���B� �&L��Q#��A1 ; �� ��Z��/�� ��\F�h#�� WY�����CL�*-�%�4WY���I2(Rab), I2(∆abc), I2(PN)

� �% ��+��*��&�C�%�[��� ��&�(3RL0�� ���U��Wi GL������&��5��* � @07F���������� $��� � . �E/9�5#���� ���L�6�/O�&�5�%�&�� ���WY���

������������������� � � .K�=�� �6+��*�*)��� $#��A@N "6��� ��

KN . ���&/ >0@!���B7<���&���=�A����� L(∂KN )��/��C�&�_

�����I2(KN )/A2(KN )

�%�&������ ��U�:���J���� ����CL�� WY���U��/��a�&��6�L�*����N "6���

PN . ���&/S����6���*��� 06���/L(∂KN )/N

H DO���&�J7���������&��*�1 ; �&/�� �f�0���&��&�A������#%�����-�� $����W � b �

cN

L(∂KN )≤ I2(KN)

A2(KN)≤ cN√

4 N tan ϕN A(KN)

� ) �

�&/���L�*���\F�?7F�����&��\0*���&��70�&�h#�� . ���&/8��/��J��� ������� $��� cN

�0��>9 ����4�� ��/���������� /�H �23GL9��*��:�218�� �5��D/O�&�����J/���*������ �

KN

��������6�L0*-���N− 6��� �� PN

H

� �� "!#��$ � ��/��=�&��6�/$�� 2/��� ��M�� ��(3RL���*��:�213���J��/�� � ��������&�A��� �)���L� $�����&79���Q�C��W�NP���&*����=�� 3� � �� ! �>3GL9��*����21�H �)�M��/��O\F�����]��W�&/�� �%L0��/������ �=^G �� . *�����6��4�M����6�������L��a7����!��W��WU�:�=�������=�a���S\<�L� �^G �� . H

� ò � :órÿ�òWürù¨õ¶ò órõ � ùÑý¶þ�ÿ ô < ù�� ÿ�òWü®ù¨õ±òWü

Bi�����&/������]\F�]6��:#��� �4�����%������ 9���Q1M�� ��S���&�%���&��7���=')�����&���� /$1R7<���&7�*��� ��=�&�����&��*�*-�%�&���� T

(d)λ =

i∈Z1 H(Pi, Vi)��

Rd ������#��� S\$1B�% M�� �����7<�� ����� $�&*�13�=���&^%���B�����%������ 9���Q13' �������&�� B7����!����&�

Πλ = {[Pi, Vi] : i ∈ Z1} �� ��&/����&����*�*��� �� . �:��/a�� $���� ��&�:�21 λ

�� ��V�21R7���5��*9�=���&^V0

L� ��:WY���&��*�1�����Q������\�L0�&��� �� �&/��4L07�7<���=/0�������&70/������

Sd−1+

��WE�&/�� L0 ����=\9��*�*B

(d)1 ; �&����d b_g,WY�����0���D�%��*���H

. L� ����&���� $����� /$1R7<���&7�*��� ����� R

d ���V����>9 0��� \$1H(p, v) = {x ∈ R

d : 〈v, x〉 = p} WY����� $1

p ∈ R1 �� 0�

v ∈ Sd−1+

H .9L����&/���� ; \$1 Hd

������7 H Hd−1 . �S���� ��%���3��/��d− �&���&7 H

(d − 1)− �������� ������� ���* IK��L��&�0��� �B���5����L��&�J�� Rd �� ���7�L0� κd = Hd(B

(d)1 )

H

H

��/��8�&�� ������ GL��C\F������W�#�������������ΨV (% K)

6��� ����&�%����� \G1T

(d)λ

�� % K

������7�7����h@!���]�%�&��*:1 ������]��*�*�1�������������\�L!�����+WY����*����&6��

% ; �&��� ��/��OH(b0H j �� Md b%g��

√%( ΨV (% K)

Hd(% K)− κd

(

λκd−1

d κd

)d )

=⇒%→∞

N(

0 ,κd−1

d − 1

(

λκd−1

d κd

)2d−1 Jd(K)

H2d(K)

)

. ���&/

Jd(K) =2

(d − 1)κd−1

R1

Sd−1+

H2d−1(K ∩ H(p, v))Hd−1(dv)dp =

K

K

dxdy

‖x − y‖ .

��/��J�&��6�/$�� 2/��� ��8�(3RL���*��:�2185�% O\F�U�&/0� . O\$1+����C\��� 0�� �6?��/��?���� �� �[*����&D/0^��A [' ����^_�� $�&�&D/��� WY���&��L�*-�E��W ��/��OH J H H J . ���&/ ��/0� H )0H-+!HC/?�� dfe g H/.K�[�J\$1$ 27����!��L0��c���(��L0�& ��c��L0�(��/��%� Jd(K)����� ��������� � L�7 �&�,�,��� ������� $� � . ���&/?�&/�� d

��/! "���&�0��� NP'2� ��WR��/��(��� $#��A@ \F�!�!1K ⊂ R

d H �)��^G�� �6�� $���C������L� $����/9�_�

L(∂K) = π b2(K)WY���[�� $18��� G#��A@O�����&

K ∈ R2 ;R. /������ bd(K)

���� 0���������/�� � %$� ;>� � %K�$ �J�%Wi� ��� $#�� @8\F�!�!1

K ∈ Rd ;G. �KWY�����CL�*-�_�������[�? 9�_��L��&��* �A@R���� ��&���� 8��W � b ���/��UWY��*�*�� . �� 06

��������������������� � � .9������ $1+��� $#�� @4\F�R�01K ⊂ R

d . ����/��� � �����7F���� $�&� ; �:��/���*����

( 2d d! )2 κd−1

(d − 1) (2 d)! κd

2

bd(K)≤ Jd(K)

H2d(K)

≤ ( 2d d! )2 κd−1

(d − 1) (2 d)! κd

(

κd

Hd(K)

) 1

d � HK�

. ���&/O�(3GL9��*��:�218�� O�5�%D/ �������J� � K�����

d− \9��*�* B(d)r . �:��/��&���=�U�&������L0� r > 0

H

�L��U���C�&/��J6��� 0�����%*��������ONP����*����]�� +�� ��>3GL9�%*����21�WY����NP'2�2� ; ����� ��/��OH )0H,+0H-+C�� Bdfe g ; �&/��JL�7�7F���\<��L� ��?���i^G �� . WY���i*��� �6������=� ;5. /������5��� ��/0�c*�� . ��� \F��L� 0� ��W � H � �&�����=� ����\F�(������*�*%L� �7���� #���� H�2 #R��� . ��W)��/�� . ��*�* 2^G �� . 4�� ��>3GL9�%*����21 2/bd(K) ≤

(

d κd/Hd−1(∂K))1/(d−1) ; �&������H 6�Hdfe_g ;�� ��=���L�*�� ���&�&�� �6�/$���� �&/��]*�� . ���C\<��L� �� ��W � HK� �� �� ���\$#!����L�� . �51�H3I,� . �A#���� ; ����7�*������ �6

2/bd(K)\$1 (

d κd/Hd−1(∂K))1/(d−1) �� � HK� ���?����7F���&����\�*����A#��� �� �����&�]��W���*�*���7��&�������J��

R3 H���/����������&���� OWY�&��� ��/��J\F��*�� . WY���&��L�*-�����������#���� WY�����C�&/��&���A 2�0������ ������� 9�%*`��*�*���7��&�����

Eabc ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 :

x21

a2+

x22

b2+

x23

c2≤ 1}

. ���&/3�&�����: 2�_@!��� a, b, c > 0H .9���,��/��VL� 0���#���A�������

vα,β = (sin α cos β, sinα sin β, cosβ) ;0 ≤ α ≤ π , 0 ≤ β ≤ 2π ; �&/��U�������D�% ��������Wi��/��U��L�7�7F������70*-�� ���� H(pα,β, vα,β)

��WEabc

WY�&�����/��J������6���

o

� . /���D/��L����,6��:#����P��/��J�&L07�7<������WYL� �A������ h(vα,β)

��WEabc

� �����U�>3GL9��*i���

|pα,β| =

a2 sin2 α cos2 β + b2 sin2 α sin2 β + c2 cos2 α7��&�h#R���0�� �6C�&/��J�=���� �\��&�����0��/

b3(Eabc) =4

π

π/2∫

0

π/2∫

0

|pα,β| sin α dα dβ =1

S2+

(

h(−v) + h(v))

H2(dv) .

j L

.9L����&/���� ; �%W �&�����3*��� �6���/$1 ���*��L�*-�_������ �� ��*�L����� �6 ��/0�O�0�������&���� 9�_������ ��WK�&/����&���=� �_@!���a��W��/�� ��*�*���70�&�

Eabc ∩ H(p, vα,β)WY���

0 ≤ p ≤ |pα,β| ;���,��L��� ����L!�K�&/9�%��&/����h#������OWYL� ���&���� ���*

J3(Eabc)5�� O\<�J� @070�&�����&���3����WY��*�*�� . ���:�

J3(Eabc) =64

15π a2 b2 c2

π/2∫

0

π/2∫

0

sin α

|pα,β|dα dβ =

6

5πH2

3(Eabc)

S2+

H2(dv)

h(−v) + h(v).

IK�� ��� ; \$18�&/�� NP��L�D/$1$ ��!D/ . ��� ���� ��(3RL���*��:�21 ; �:���������=���������%����*�1��&���� ���/9�_�

b3(Eabc) J3(Eabc)

H23(Eabc)

=3

5 π2

S2+

H2(dv)

h(−v) + h(v)

S2+

(

h(−v)+h(v))

H2(dv) ≥ 3

5 π2H2

2(S2+) =

12

5,

. /���D/M���J ��%��/��� �6���*���� ; \�L0�J��/0��*���W �Q 2/9�� 0�M7������?��W � HK� WY��� d = 3�� 0�

K = Eabc

H �2 M��/��79���Q�����L�*-�%�)����&����W<�E7�����*-�_���[��7�/����&����� ; ��H 6�H a ≥ b = c ;�. ��6���� �&/��P�*����&���! "�&����� �A@!7��������&���� ��

J3(Eabb)

H23(Eabb)

=6

5 a εlog

a

b

(

1 + ε) �� �� H2(∂Eabb) = 2π b2 + 2π a b

arcsin ε

ε

. ���&/O GL������������* �A@!��� $��������:�21 ε =√

a2 − b2/a�&�a��/��%� . �?/9�5#��

H2(∂Eabb)J3(Eabb)

H23(Eabb)

∼ 6 π√

b log a

5√

a−→a→∞

0���

a → ∞ .

� ÿ 6°ÿ ô[ÿ�òWø�ÿ�ü

d j g�������� , ����� � jIH )$/ � H �2 ��(3GL9��*��:�������JWY������������ $���?��W��&��5�� $�a*��� �6��&/ H�� !�� %��8� 9I�����������& �#��� �K���� 9� ��������:�#� �$���:� ! � �>;>�#�� !����� ; /�b�� / +!H

d g����! #"$%�'&(*)+� � jIH H b � H �T@R���&���CL�� 7��&��\�*����=�aWY������� $#�� @ �����&��]�� �� 7F��*:1!/0�����&� ; �2 �,�%$�)�K;��I� � � ?.- ��� �$��� � ��� �� <� � ; ' H DSH �J��L�\<���C�� 0� E0H2DSH � ��*�*�� � � ����H � ; � *�����#R����� ;1K���Q��/! 2IK��*�*-�� 0� ; j�J$J � j Hd b%g�/*01$2&3"3$2465(�78� �# L L J � H5N B � � WY���`�=���&���� R 2�� $#%�����-�� $�`')�����&�&�� ?/$1R7F���&70*-�� ����)�� U�A@!79�� 0���� �6

��� $#��A@�\<�R��������H_' �&��7��&�� G� L /�b�9 L L J � /$�&��7A�:9;9 .�.�. H �=�%��/`H L� 0�: �%L�6��&\0L��&6�H ���<9 � ; �&L�\�������������>= ���)� !?- ��� � !@ %$ !3A %$&7��� �_Hd /�gCB1�D&3E!�'�!F887��() � jIHKJ + � H3G��� !�#"$��%$& � ��� �� �� � %$�)� � ��� �� ��:�#�HA ���$;�%K;>��& �� "�_H .��0�������� !

�����&*���1 ; ���5���0�� �6 � D4���&��H � Hd e_gCB�4653&D01$2I'01"JLKC�M�'&3I NO01$2��PNQ� �# L L ) � HSR !�I��� %�9� ��#� %$�)�TG:�� �#"$��%$& � ��� �� <� �_H

�!7����� �6���� ; �[���&*��� H

')���Q�D��* �%�����&���&�(� � ���#����&�����VU%� .L�6��&\�L���6 ; ) + j b$e(.L�6��&\�L���6 ; �J���&�=�� $1�T 2�=����*<�������������>��W�XZY<[]\1Y_^`Wbadc�e;f�W8gih_[jY_kdedh]l1m`n_h]\]l�gpo]Xqsrut�vw`vyx{z}|�~:�b����xit�|:���yz}~��y��~�z�xi|��}����v��ivj�������iv�wJ���`x�������x{��w��Z��z�xit!����t��{|:��x{|�z}�?�j�p���_���3��|��;�b���;������������i�

j�j