insa toulouse 1a maths analyse

8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Analyse

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Analyse I

Franoise Bernis

Fabrice Dodu

FORMATION CONTINUE : DUT+3

DPARTEMENT DE MATHMATIQUES : INSA TOULOUSE2001-2002

Version 1.0

FD


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Sommaire

I Le cours 1

1 Fonctions relles de la variable relle 51.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 Intervalle de IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Voisinage de x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Gnralits sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Graphe de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Fonction majore-minore-borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Fonction paire, fonction impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.6 Fonction priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.7 Oprations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Limite de f en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 Limite de f en linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.4 Limite droite, limite gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.5 Oprations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1 Continuit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Continuit sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3 Oprations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.4 Maximum-Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Fonction diffrentiable ou drivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1 Dfinition du nombre drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Approximation au voisinage dun point dune fonction drivable en ce point,

par une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 Diffrentielle en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iii


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iv SOMMAIRE

1.5.4 Oprations sur les drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.5 Fonction drivable sur un intervalle, Fonction de classe n sur un intervalle . . 291.5.6 Tableau des drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6 Thorme de Rolle, thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7 Etude dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Fonctions usuelles 32

2.1 Fonctions rciproques des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1 Thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.3 Fonction Arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.4 Fonction Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Fonction logarithme, exponentielle et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.1 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.3 Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.4 Comparaisons fonctions logarithme, puissance et exponentielle . . . . . . . . 45

2.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.1 Fonction sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Fonction cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.3 Fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.4 Formules hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4 Fonctions rciproques de fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.1 Fonction argument sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.2 Fonction argument cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.3 Fonction argument tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Calcul de limite 57

3.1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1.1 Formule de Taylor Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1.2 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Dveloppements limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3 Dveloppements limits au V(0) de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . 633.2.4 Rgles de Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.5 Dveloppements limits pour x0 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.6 Dveloppements limits gnraliss ou asymptotiques . . . . . . . . . . . . . 673.2.7 Etude des branches infinies dune courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


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SOMMAIRE v

3.3 Fonctions quivalentes au voisinage dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.3 Piges avec les quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.4 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.5 Equivalents de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Exercices bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4.1 Exercices bilan : d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4.2 Exercices bilan : quivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

II Les annexes 79

A Les exemples 81

A.1 Exemples du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.1 Voisinage dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.2 Fonctions relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.3 Domaine de dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.4 Fonction strictement croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.5 Fonction borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.6 Fonction minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.1.7 Parit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1.8 Priodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.1.9 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.1.10 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.1.11 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.1.12 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.1.13 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.1.14 Continuit droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.15 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.16 Maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.1.17 Maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.18 Taux daccroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.19 Tangente une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.1.20 Diffrentielle dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.1.21 Fonction de classe Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2 Exemples du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.2.1 Rciproque dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


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vi SOMMAIRE

A.2.2 Comparaison de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.2.3 Comparaison de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.3 Exemples du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.3.1 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.3.2 Formule de Mac-Laurin Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.3.3 Approximation de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.3.4 Formule de Mac-Laurin Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.3.5 Formule de Mac-Laurin Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.3.6 D.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.3.7 d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.3.8 d.l. et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.3.9 Addition de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.3.10 Produit de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.3.11 Composition de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.3.12 Quotient de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.3.13 Quotient de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.3.14 D.l. en un point non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.3.15 D.l. linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.3.16 D.l gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.3.17 D.l. gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.3.18 Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.3.19 Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.3.20 Oprations sur les quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.3.21 Oprations sur les quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.3.22 Somme de deux quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.3.23 Composition de deux quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.3.24 Fonctions ngligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.3.25 Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B Les exercices 99

B.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101B.1.1 Graphes de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

B.1.2 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101B.1.3 Priodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101B.1.4 Opration sur des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101B.1.5 Calcul de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102B.1.6 Calcul de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102B.1.7 Calcul de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102B.1.8 Calcul de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


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SOMMAIRE vii

B.1.9 Calcul de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.1.10 Calcul de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102B.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B.2.1 Simplification Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2.2 Simplification Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2.3 Simplification Arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2.4 Simplification Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2.5 Simplification Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2.6 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.2.7 Equation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.2.8 Drive de fonction logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

B.2.9 Equation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.2.10 Inquation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.2.11 Drive sous forme dexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.2.12 Equation hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.2.13 Equation hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3.1 Produit de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3.2 D.l en un point non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3.3 D.l en un point non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3.4 Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3.5 Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

B.3.6 Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3.7 Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3.8 Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.3.9 Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.3.10 Calcul de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.3.11 Calcul de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.3.12 Calcul dquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.3.13 Asymptote une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.3.14 Asymptote une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.3.15 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

B.3.16 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.3.17 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.3.18 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.3.19 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.3.20 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.3.21 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.3.22 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


8/126

viii SOMMAIRE

B.3.23 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B.3.24 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.3.25 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.3.26 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.3.27 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.3.28 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.3.29 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110B.3.30 Exo bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

C Les documents 111

C.1 Documents du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112C.1.1 Dmonstration des fonctions compares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112C.1.2 Formule hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112C.1.3 Expression de Argsh en fonction du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . 113C.1.4 Expression de Argch en fonction du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . 113C.1.5 Expression de Argth en fonction du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

C.2 Documents du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115C.2.1 Quotient de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115C.2.2 Dmonstration sur la composition des quivalents particuliers . . . . . . . . . 115


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Premire partie

Le cours

1


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11/126

3

Ce cours est dispens lINSAToulouse pour la Formation Continue DUT+3. Nous remercions aima-

blement Mme Sandrine Scott pour ces exercices bilan.


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1 Fonctions relles de la variable relle

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Gnralits sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Fonction diffrentiable ou drivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 Thorme de Rolle, thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


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6 CHAPITRE 1. FONCTIONS RELLES DE LA VARIABLE RELLE

1.1 Rappels

Intervalle de IR

notion cl :Intervalle, segment

Dfinition 1.1

On appelle intervalle born ferm de IR ou segment de IR lensemble

[a, b] = {x IR | a x b} .

On distingue dans IR plusieurs types dintervalles :i) Intervalle ouvert born :

]a, b[= {x IR | a < x < b} a IR et b IR.

ii) Intervalle ouvert non born :] , a[= {x IR |x < a} a IR ou a = +.]a, +[= {x IR |x > a} a IR ou a = .

iii) Intervalle ferm non born :] , a] = {x IR |x a} a IR.[a, +[= {x IR |x a} a IR.

iv) Intervalle semi-ouvert born :[a, b[=

{x

IR

|x

a < b

}a

IR et b

IR.

]a, b] = {x IR |x < a b} a IR et b IR.


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1.1. RAPPELS 7

Voisinage de x0

notion cl :Voisinage

Exemples :exemple A.1.1

Dfinition 1.2

i) x0 est un rel.

On dit que V(x0), sous-ensemble de IR, est un voisinage de x0 sil existe unintervalle ]a, b[ tel x0 ]a, b[ et]a, b[ V(x0).

Dans la pratique, on prendra : V(x0) =]x0 ,x0 + [, > 0.

ii) x0 = +.On dit que V(+) , sous-ensemble de IR, est un voisinage de + sil existea IR tel ]a, +[ V(+).

Dans la pratique, on prendra : V(+) =]a, +[.

iii) x0 = .On dit que V() , sous-ensemble de IR, est un voisinage de sil existea IR tel ] , a[ V().

Dans la pratique, on prendra : V() =] , a[.


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1.2 Gnralits sur les fonctions

Dfinition

notion cl :Fonction

Exemples :exemple A.1.2exemple A.1.3

Dfinition 1.3

On appelle fonction relle de la variable relle toute relation qui une valeur

relle x, appele variable, associe au plus un rel y appel image.

On dsigne la fonction par une lettre f, g, h,....

Le sous-ensemble D des rels pour lequel y = f(x) existe sappelle le domainede dfinition de f .


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1.2. GNRALITS SUR LES FONCTIONS 9

Graphe de f

notion cl :Graphe

Exercices :exercice B.1.1

Dfinition 1.4

Le graphe de f est lensemble des points M de coordonnes (x,f(x)) dans unrepre donn que lon aura choisi, sauf avis contraire, orthonorm.


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Fonction monotone

notion cl :Monotone


Dfinition 1.5

i) f dfinie sur D est monotone croissante sur D si :

(x,x) D, (x > x f(x) f(x)).

ii) f dfinie sur D est monotone strictement croissante sur D si :

(x,x) D, (x > x f(x) > f(x)).iii) f dfinie sur D est monotone dcroissante sur D si :

(x,x) D, (x < x f(x) f(x)).

iv) f dfinie sur D est monotone strictement dcroissante sur D si :

(x,x) D, (x < x f(x) > f(x)).


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Fonction majore-minore-borne

notion cl :Majore, minore,

borne


Dfinition 1.6f est majore sur D (A IR | x D, f(x) A) .f est minore sur D (A IR | x D, f(x) A) .f est borne sur D (A,B) IR2 | x D, A f(x) B .

(C IR | x D, |f(x)| C) .

Remarque 1.1f est dite positive sur D si : x D, f(x) 0.f est dite ngative sur D si : x D, f(x) 0.


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Fonction paire,fonction impaire

notion cl :Parit



Dfinition 1.7

Soit f dfinie sur D tel que O soit centre de symtrie pour D. Alors

f paire (x D, f(x) = f(x)) .f impaire (x D, f(x) = f(x)) .

Remarque 1.2

Le graphe dune fonction paire admet laxe des ordonnes comme axe de sy-mtrie.

Le graphe dune fonction impaire admet lorigine du repre comme centre de

symtrie.


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Fonction priodique

notion cl :Priodicit



Dfinition 1.8

f est dite priodique sil existe T IR tel que

x IR, f(x + T) = f(x).

On appelle priode le plus petit T > 0.


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Oprations sur lesfonctions

notion cl :Composition


Proprits 1.1

Soient f et g deux fonctions dfinies sur D, soit IR :

h = f + g (x D, h(x) = f(x) + g(x)) .k = f g (x D, k(x) = f(x)g(x)) .

m = f (x D, m(x) = f(x)) .

Remarque 1.3Lensemble des fonctions dfinies sur D forme un espace vectoriel sur IR.

Proprits 1.2

Si f est dfinie sur D et si g est dfinie sur D tel que f (D) D alors

s = g f (x D, s(x) = g (f(x))) .


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1.3. LIMITE 15

1.3 Limite

Position du problme

notion cl :Limite


x0 est un rel ou .

On cherchera la limite dune fonction au point x0 quand on voudra tudier lecomportement de la fonction au V(x0) (x = x0).

Cest une tude locale.Cest un problme que lon posera souvent quand f est dfinie dans un V(x0)

sauf peut-tre en x0.

On naura pas toujours une limite : x sin(x) na pas de limite en x0 = +.Si il y a une limite alors sera soit un nombre rel, soit .

On dira que la limite est finie si est un rel.

On dira que la limite est infinie si est gale + ou .

On notera = limxx0f(x) ou f(x) xx0 ou limx0 f = .


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Limite de f en un point

notion cl :Limite en un point

Dfinition 1.9 (Limite de f quand x

x0

IR)

i) limxx0

f(x) = a IR

> 0, > 0, x V(x0){x0}, (|x x0| < |f(x) a| < )

ii) lim

xx0f(x) = +

A > 0, > 0, x V(x0){x0}, (|x x0| < |f(x) a| > A)

iii) lim

xx0f(x) =

A > 0, > 0, x V(x0){x0}, (|x x0| < |f(x) a| < A


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1.3. LIMITE 17

Limite de f en linfini

notion cl :Limite en linfini

Dfinition 1.10 (Limite de f quand x

)

i) limx+f(x) = a IR

> 0, > 0, x V(+), (x > A |f(x) a| < )

.

ii) limx+f(x) = +

A > 0, B > 0, x V(+), (x > B f(x) > A)

.

iii) limx+f(x) =

A > 0, B > 0, x V(+), (x > B f(x) < A)

.

iv) limxf(x) = a IR

> 0, A > 0, x V(), (x < A |f(x) a| < ).v) lim

xf(x) = +

A > 0, B > 0, x V(), (x < B f(x) > A)

.

vi) limxf(x) =

A > 0, B > 0, x V(), (x < B f(x) < A)

.


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Limite droite, limite gauche

notion cl :Limite droite,

gauche

Exemples :exemple A.1.10exemple A.1.11exemple A.1.12

Soit x0 IR.x x+0 (x x0 et x > x0) .x x0 (x x0 et x < x0) .

Dfinition 1.11

f a une limite finie droite en x0 ssi

a

IR

|lim

xx+0f(x) = a.

f a une limite finie gauche en x0 ssi a IR | limxx0

f(x) = a.

f a une limite infinie droite en x0 ssi limxx+0

f(x) = + ou limxx+0

f(x) = .

f a une limite infinie gauche en x0 ssi limxx0

f(x) = + ou limxx0

f(x) = .

Thorme 1.1

limxx0

f(x) = a

limx

x0

f(x) = limx

x+0

f(x) = a


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1.3. LIMITE 19

Oprations sur leslimites

notion cl :Oprations sue les

limites

f, g et h sont des fonctions dfinies au V(a) sauf peut-tre au point a.

Proprits 1.3

i) Addition.lim

af IR et lim

ag IR

= lim

a(f + g) = lim

af + lim

ag.

lima

f = et lima

g IR

= lima

(f + g) = lima

f.lim

af = + et lim

ag = +

= lim

a(f + g) = +.

lim

af = et lim

ag =

= lim

a(f + g) = .

lima f = + et lima g = = lima (f + g) =???.

Formes indtermines : lima

f = + etlima

g = .ii) Multiplication.

lima

f IR et lima

g IR

= lima

(f g) = lima

f lima

g.lim

af = et lim

ag IR+

= lim

a(f g) = lim

af.

lima

f = + et lima

g IR

= lima

(f g) = lima

f.

lima

f = +

et lima

g = + = lima (f g) = +.

lima

f = et lima

g =

= lima

(f g) = +.lim

af = + et lim

ag =

= lim

a(f g) = .

lima

f = et lima

g = 0

= lima

(f g) =???.

Formes indtermines : lima

f = etlima

g = 0.

iii) Multiplication par un scalaire.

Soit IR,

lima f IR = lima f = lima f.lim

af = et > 0

= (lim

af) = lim

af.

lima

f = et < 0

= (lima

f) = lima

f.

iv) Inverse.

On suppose que 0 / f (V(0)).


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lima

f = b IR = lima

1f

= 1b

.

lima

f = = lima

1f

= 0.lim

af = 0 etx V(a), f(x) > 0

= (lim

a

1f

) = +.lim

af = 0 etx V(a), f(x) < 0

= (lim

a

1f

) = .

Proprits 1.4 (Comparaison)

i) Si x V(x0) {x0}, f(x) g(x) alors :

limxx0

f(x) = + = limxx0

g(x) = +.lim

xx0g(x) = = lim

xx0f(x) = .

ii) Si x V(x0) {x0}, f(x) g(x) h(x) alors :

limxx0

f(x) = limxx0

h(x) = b = limxx0

g(x) = b.


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1.4. CONTINUIT 21

1.4 Continuit

Continuit en un point

notion cl :Continuit en un point


Dfinition 1.12 (Continuit)

f est continue en a

IR si f a une limite finie en a gale f(a) cest--dire :

limxaf(x) = f(a).

Dfinition 1.13 (Continuit droite)

f est continue droite en a IR si limxa+

f(x) = f(a).

Dfinition 1.14 (Continuit gauche)

f est continue gauche en a IR si limxa

f(x) = f(a).


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Continuit sur unintervalle

notion cl :Continuit sur un

intervalle


Dfinition 1.15

f est continue sur un intervalle I si f est continue en tout point de I.

Remarque 1.4 f continue sur [a, b] signifie que f est continue en tout point de]a, b[ et que f est continue droite au point a et gauche au point b.

Soit f continue sur [a, b]. Posons A = (a,f(a)) et B = (b,f(b)) alors on trace

la courbe reprsentant f sur [a, b] en allant de A B sans lever le crayon.

ba ba c

f est continue sur [a, b].f nest pas continue au point c

: f est continue par morceau sur [a, b].

ba c

f nest pas continue sur [a, b].


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1.4. CONTINUIT 23

Oprations sur lesfonctions continues

notion cl :Oprations sur les

fonctions continues

Proprits 1.5

i) Si f et g sont continues au point a, il en est de mme de :

f + g, f, f g, fg

si g(a) = 0.

ii) Si f est continue au point a et si g est continue au point b = f(a) alors g fest continue au point a.


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Maximum-Minimum

notion cl :Maximum-Minimum


Thorme 1.2

Toute fonction continue sur [a, b] admet un maximum M et un minimum m,cest--dire il existe c1 [a, b] et c2 [a, b] tel que M = f(c1) et m = f(c2).

De plus, f([a, b]) = [m,M].

Remarque 1.5 On remarquera que lintervalle est ferm et born. c1 et c2 ne sont

pas ncessairement uniques.


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1.5. FONCTION DIFFRENTIABLE OU DRIVABLE 25

1.5 Fonction diffrentiable ou drivable

Dfinition du nombre

drive

notion cl :Drive


Dfinition 1.16

Soit f une fonction dfinie dans un voisinage de x0.

On pose x0 (h) =f(x0+h)f(x0)

h

.

x0 est la fonction taux daccroissement de f au point x0.

Si x0 a une limite finie c quand h 0, on dit que f est drivable au point x0 etc sappelle le nombre drive au point x0 et on note c = f

(x0).

f est drivable au point x0 f(x0 + h) f(x0)h

h0

c = f(x0).

f est drivable droite au point x0 f(x0 + h) f(x0)h

h0+

c = fd(x0).

f est drivable gauche au point x0 f(x0 + h)

f(x0)

h h0c = fg(x0)f est drivable au point x0 fg(x0) = fd(x0)


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Approximation auvoisinage dun point

dune fonction

drivable en ce point,

par une fonction affine

notion cl :Tangente une courbe


La dfinition de la drive au point x0 est quivalente :

f(x0 + h) = f(x0) + f(x0)h + h(h) o lim

h0(h) = 0.

En posant x = x0 + h, on a :

f(x) = f(x0) + f(x0)(x x0) + (x x0)(x x0) o lim

xx0(x x0) = 0.

La droite dquation y = f(x0) + f(x0)(x x0) est une approximation localeen x0 de f. Donc f est approche par cette fonction affine au voisinage de x0.

Cette droite est tangente la courbe Cf au point de coordonnes (x0,f(x0)) .

f(a)

a

Tangente la courbe Cf au point de coordonnes (a,f(a)).


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Diffrentielle en unpoint

notion cl :Diffrentielle


Quand on fait subir une variation x autour de x0 cest--dire x0 subit unevariation de h alors f(x0) subit une variation de f(x0 + h) f(x0).

On prend comme approximation de cette variation f(x0)h pour tout h petit(cest ce que lon fait souvent en physique).

On a nglig le terme en (voir 1.5.2).On note dx(h) = h, par suite dfx0 = f

(x0)dx : cest la diffrentielle de f en x0.On fait ceci pour tout x0

I o f est drivable et on crit

df = f(x)dx.

Interprtation graphique

f(x0 + h) f(x0) = HMdfx0 (h) = HP

HMHP = PM = h(h)

x_0

H

P

M

x=x_0+h

M_0f(x_0)

f(x)


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Oprations sur lesdrives

notion cl :Oprations sur les

drives

Proprits 1.6

Soient f et g deux fonctions drivables au point x0 et soit IR. Alors :i) f + g est drivable au point x0 : (f + g)

= f + g.ii) f est drivable au point x0 : (f)

= f.iii) f g est drivable au point x0 : (f g) = f g + f g.iv)

f

gest drivable au point x0 si g(x0) = 0 :

f

g

=

fg fgg2

.

Proprits 1.7

Si f est drivable au point x0 et si g est drivable au point f(x0). Alors, on a :(g f) (x0) = g (f(x0)) f(x0).


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Fonction drivable surun intervalle, Fonction

de classe n sur un

intervalle

notion cl :Classe Cn


Dfinition 1.17

f est drivable sur I si f est drivable en tout point de I.

f est de classe Cn sur I si f admet n drives successives sur I et de plus f(n)est continue sur I.

f est de classe

C sur I si f est indfiniment drivable sur I.

Remarque 1.6 Toute fonction drivable en un point est continue en ce point.


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Tableau des drives

notion cl :Tableau des drives

Exercices :exercice B.1.5exercice B.1.6exercice B.1.7exercice B.1.8exercice B.1.9exercice B.1.10

On drive par rapport la variable x relle.u et v dsignent des fonctions de x drivables sur un intervalle.

u et v dsignent les fonctions drives respectives : u =du

dxet v =

dv

dx.

a dsigne une constante relle.

(u + v) = u + v (a u) = a u (uv) = uv + uv

uv

= u

vuvv2

(u v) = u(v) v u = cte u = 0

(x) = x1, IR {1} (sin(x)) = cos(x) (cos(x)) = sin(x)

(tan(x)) = 1 + tan2(x) = 1cos2(x)

(ch (x)) = sh (x) (sh (x)) = ch (x)

(ln(x)) = 1x

(Arcsin (x)) = 11x2

(Arccos (x)) = 1

(Arctan (x)) = 11+x2 (Argth (x)) = 11x2 (Argsh (x))

= 11+x2

(Argch (x)) = 11+x2

(th (x)) = 1 th 2(x) = 1ch 2(x)


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1.6. THORME DE ROLLE, THORME DES ACCROISSEMENTS FINIS 31

1.6 Thorme de Rolle, thorme desaccroissements finis

Thorme 1.3 (Rolle)

f continue sur[a, b]f drivable sur]a, b[

f(a) = f(b)

= c ]a, b[ |f(c) = 0.

a bc_2c_1

f(a)=f(b)

f(c1) = f(c2) = 0.

Remarque 1.7 Si f dsigne un mouvement rectiligne, le thorme signifie que si f est continue et drivable

entre le temps a et le temps b (b > a) et si on se situe au mme lieu au temps a et au temps b alors unmoment donn un instant c (a < c < b) du parcours, la vitesse est nulle.

Thorme 1.4 (Accroissements finies)

f continue sur[a, b]f drivable sur]a, b[

= c ]a, b[ |f(b) f(a) = f(c)(b a).

a bc_2c_1

f(b)

f(a)


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32 CHAPITRE 2. FONCTIONS USUELLES

Remarque 1.8 Si f dsigne un mouvement rectiligne, le thorme signifie que si f est continue et drivable

entre le temps a et le temps b (b > a =) alors il existe un instant c (a < c < b) du parcours o la vitesseinstantane est gale la vitesse moyenne entre a et b.

1.7 Etude dune fonctionOn dtermine :i) D domaine de dfinition de la fonction.

ii) D domaine de continuit de la fonction.

iii) Les proprits particulires de la fonction (paire, impaire, priodique).

iv) D domaine de dfinition de la drive.

On tudie les variations de f sur les intervalles I de continuit de f :i) si f > 0 sur I alors f est strictement croissante sur I.

ii) si f < 0 sur I alors f est strictement dcroissante sur I.

Si la drive sannule en un point x0 intrieur lintervalle I en changeant de signe alors f admet unextremum local en ce point.

Quand f(x0) = 0, la tangente la courbe au point (x0,f(x0)) est horizontale.Quand x0 (h)

h0 , la tangente au point (x0,f(x0)) est verticale.

On recherche ensuite les asymptotes la courbe (voir 3.2).

2 Fonctions usuelles

1.7 Etude dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1 Fonctions rciproques des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Fonction logarithme, exponentielle et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Fonctions rciproques de fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


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2.1. FONCTIONS RCIPROQUES DES FONCTIONS CIRCULAIRES 33

2.1 Fonctions rciproques des fonctions circulaires

Thorme

notion cl :Rciproque


Thorme 2.1

Toute fonction f continue et strictement croissante sur un intervalle I admet

une fonction g continue et strictement croissante sur f(I).

Toute fonction f continue et strictement dcroissante sur un intervalle I admet

une fonction g continue et strictement dcroissante sur f(I).

On dit que g est la fonction rciproque de f .

La courbe Cf est symtrique de Cg par rapport la droite dquation y = x.


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Fonction Arcsinus

notion cl :Arcsin

Exercices :exercice B.2.1exercice B.2.2

Dfinition 2.1

Soit f la restriction de la fonction sin lintervalle I = [2 , 2 ].

Soit J = f(I) = [1, 1].

On a : f continue et strictement croissante sur un intervalle I.

Alors f admet une fonction g rciproque continue et strictement croissante sur

J.

On appelle g Arcsinus et on note g = Arcsin .

y = Arcsin (x)

x = sin(y) et y [2

,

2]

x ] 1, 1[, (Arcsin (x)) = 11x2

.

Arcsin est de classe C sur] 1, 1[ et de classe C0 sur[1, 1].

Arcsin est impaire.


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Arcsin

sin

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

1.5 1 0.5 0.5 1 1.5x

Arcsin (0) = 0, Arcsin 12 =6 , Arcsin

2

2 =4 , Arcsin

3

2 =3 , Arcsin (1) =

2 .


44/126


Fonction Arccos

notion cl :Arccos


Dfinition 2.2

Soit f la restriction de la fonction cos lintervalle I = [0, ].Soit J = f(I) = [1, 1].

On a : f continue et strictement dcroissante sur un intervalle I.

Alors f admet une fonction g rciproque continue et strictement dcroissante

sur J.

On appelle g Arccosinus et on note g = Arccos .

y = Arccos (x) (x = cos(y) et y [0, ])x ] 1, 1[, (Arccos (x)) = 1

1x2.

Arccos est de classe C sur] 1, 1[ et de classe C0 sur[1, 1].


45/126


Arccos (1) = 0, Arccos

32 =

6 , Arccos

2

2 =4 , Arccos

12 =

3 , Arccos (0) =

2 .


46/126


Fonction Arctan

notion cl :Arctan


Dfinition 2.3

Soit f la restriction de la fonction tan lintervalle I =]2 , 2 [.

Soit J = f(I) = IR.

On a : f continue et strictement croissante sur un intervalle I.

Alors f admet une fonction g rciproque continue et strictement croissante sur

J.

On appelle g Arctangente et on note g = Arctan .

y = Arctan (x)

x = tan(y) et y ]2

,

2[

x IR, (Arctan (x)) = 11+x2 .

Arctan est de classe C surIR.

Arctan est impaire.


47/126


tan

Arctan

4

2

2

4

4 2 2 4x

Arctan (0) = 0, Arctan 13

= 6 , Arctan

3 = 3 , Arctan1 =4 .


48/126


2.2 Fonction logarithme, exponentielle et puissance

Fonction logarithme

notion cl :Ln

Exercices :exercice B.2.6exercice B.2.7exercice B.2.8

Dfinition 2.4

La fonction x : 1x

continue surIR+ admet une primitive surIR+ (voir courssur les primitives).

La primitive qui sannule pour x = 1 sappelle la fonction logarithme.

on la note : x lnx.

Proprits 2.1

i) f : x lnx est dfinie et de classe C surIR+.ii) si a > 0 et b > 0 alors : ln(ab) = ln a + ln b.

En consquence ln 1a

= ln a.iii) ln est une fonction strictement croissante non majore.

limx+ lnx = +, limx0+ lnx = .

iv) ln 1 = 0 et il existe un seul rel c > 0 tel que ln c = 1.Ce rel c sappelle e : e 2.718 par dfaut 103 prs.


49/126

2.2. FONCTION LOGARITHME, EXPONENTIELLE ET PUISSANCE 41

ln

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1 2 3 4 5 6 7x


50/126


Fonction exponentielle

notion cl :Exp

Exercices :exercice B.2.9exercice B.2.10exercice B.2.11

Dfinition 2.5

y x = lny est continue et strictement croissante sur I = IR+, elle admetdonc une fonction rciproque que lon appelle exponentielle dfinie sur J = IR.

exp : x expx = ex.

Proprits 2.2

f : x ex est de classe C surIR.f(x) = ex.

f est strictement croissante surIR et non majore.

limx+ e

x = +, limx e

x = 0.

x IR, ex > 0, (a, b) IR2, e a+b = e ae b.

i) e0

= 1.

ii) ex = 1ex .

iii) x IR, ln(ex) = x.

iv) x > 0, e ln(x) = x.


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ln

exp

0

2

4

6

2 4 6x

Remarque 2.1 f(x) = u(x)v(x) = e v(x) ln(u(x)).

Chaque fois que lon tudiera une fonction qui aura la variable dans lexpo-

sant, on la mettra sous la forme dune exponentielle.


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Fonction puissance

notion cl :Puissance

Proprits 2.3

Soit a IR, la fonction x : xa est dfinie pour x > 0 par

xa = e a lnx

Cest la fonction puissance.

Les rgles doprations sur les fonctions puissances marchent.

(a, b) IR2, x > 0,

i) xa = e a lnx.

ii) xa+b = xaxb.

ii) xab = (xa)b =xba

.

iv) xaya = (xy)a.

ATTENTION : Ces rgles ne marchent quelque soit a rel que si x > 0.


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Comparaisonsfonctions logarithme,

puissance et

exponentielle

notion cl :Comparaison fonction


Documents :document C.1.1

Proprits 2.4

i) au V(+)a) lim

x+ lnx = +, > 0, limx+x = , lim

x+ ex = +.

b) limx+

lnx

x= 0, > 0, lim

x+lnx

x= 0, lim

x+ex

x= +.

( > 0, > 0), limx+(lnx)

x = 0, limx+e x

x = +.Consquence :

> 0, V(+), x V(+), 1 < lnx < x < ex. ( > 0, > 0, > 0) , V(+), x V(+), 1 < (lnx) < x 0, > 0) , V(+), x V(+), ex < 1x

.

ii) au V(0+)a) lim

x0+lnx = , > 0, lim

x0+x = 0.

b) limx0+x lnx = 0, > 0, limx0+x lnx = 0 ( > 0, > 0) , x| lnx| = 0+.

Consquence :

> 0, V(0+), x V(0+), 1 < | lnx| < 1x

.

Pour dmontrer, on utilise les rsultats au V(+) en posant t = 1x .

Ces rsultats seront utiliss dans le calcul de limite et dans les intgrales gn-ralises.


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2.3 Fonctions hyperboliques

Fonction sinus

hyperbolique

notion cl :Sh

Dfinition 2.6 On pose

sh : x ex ex

2= shx.

Proprits 2.5

i) sh est une fonction impaire : sh (x) = sh (x).

ii) sh est de classeC

surIR.

x IR, sh (x) = ex + ex

2.

sh (x) > 0 pour tout x rel.

iii) sh est une fonction croissante surIR qui sannule si et seulement si x = 0.

10

5

0

5

10

3 2 1 1 2 3x


55/126

2.3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 47

Fonction cosinushyperbolique

notion cl :Ch



ch : x ex + ex

2= chx = sh (x).

Proprits 2.6

i) ch est une fonction paire : ch (x) = ch (x).

ii) ch est de classe C surIR.

x IR, ch (x) = ex ex

2= shx.

ch (x) 0 pour tout x rel positif ou nul.

ch x = 0 x = 0.

ch est une fonction strictement croissante surIR+ et strictement dcroissantesurIR.

iii) ) x IR, chx > shx carchx shx = ex > 0.) x IR, ch 2x sh 2x = 1.


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sh

ch

2

1

0

1

2

3

4

5

y

3 2 1 1 2 3x


57/126

2.3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 49

Fonction tangentehyperbolique

notion cl :Th


th : x shxchx

.

On a aussi : thx =ex exex + ex

=e 2x 1e 2x + 1

=1 e2x1 + e2x

.

Proprits 2.7

i) th est une fonction impaire : th (x) = th (x).

ii) th est de classe C surIR.

x IR, th (x) =1

ch 2x = 1 th2

x.

th (x) > 0 pour tout x rel.iii) th est une fonction strictement croissante surIR et sannule si et seulement

si x = 0.

iv) limx+ thx = 1, limx thx = 1.

1

0.5

0.5

1

4 2 2 4x


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Formuleshyperboliques

notion cl :Formules hyperboliques


Proprits 2.8

(a, b) IR2,

ch 2a sh 2a = 1.ch (a

b) = ch ach b

sh ash b.

sh (a b) = sh ach b ch ash b.

th (a b) = th a th b1 th ath b .

ch (2a) = ch 2a + sh 2a = 2ch 2a 1 = 2sh 2a + 1.sh (2a) = 2sh ach a.

th (2a) =2th a

1 + th 2a.


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2.4. FONCTIONS RCIPROQUES DE FONCTIONS HYPERBOLIQUES 51

2.4 Fonctions rciproques de fonctions hyperboliques

Fonction argument

sinus hyperbolique

notion cl :Argsh


Dfinition 2.9

Sachant que sh est une fonction de I = IR dans J = sh (I) = IR qui est conti-nue et strictement croissante, elle admet une fonction rciproque g que lon appelle

argument sinus hyperbolique.

g se note Argsh .

x IR, y = Argshx x = shy.

Proprits 2.9

i) Argsh est impaire.

ii) x IR, Argsh x = 1x2 + 1

.


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sh

Argsh

3

2

1

1

2

3

y

4 2 2 4x

iii) Argshx = ln

x +

1 + x2

.


61/126


Fonction argumentcosinus hyperbolique

notion cl :Argch


Dfinition 2.10

Soit f la restriction I = IR+ de ch .

On a : J = ch (I) = [1, +[.f est continue et strictement croissante, elle admet une fonction rciproque g

que lon appelle argument cosinus hyperbolique.

g se note Argch .

x 1, y = Argchx (x = chy et y 0) .Proprits 2.10

i) x ]1, +[, Argch x = 1x2 1 .

ch

Argch

1

0

1

2

3

y

1 1 2 3 4x


62/126


ii)

x

1, Argchx = lnx + x2 1 .


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Fonction argumenttangente hyperbolique

notion cl :Argth


Dfinition 2.11

th est une fonction de I = IR dans J = th (I) =] 1, 1[.th est continue et strictement croissante sur I, elle admet une fonction rci-

proque g que lon appelle argument tangente hyperbolique.

g se note Argth .

x ] 1, 1[, y = Argthx x = thy.Proprits 2.11

i) x ] 1, 1[, Argth x = 11 th 2y =

11 x2 .

ii) Argth est impaire.

th

Argth

3

2

1

1

2

3

y

3 2 1 1 2 3x


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ii)

x

]

1, 1[, Argthx =1

2ln1

x

1 + x .

Remarque 2.2 On doit connatre les expressions sous formes logarithme des fonc-

tions Argsh, Argch etArgth car elles apparaissent dans le calcul de primitives.


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57

3 Calcul de limite

3.1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Dveloppements limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3 Fonctions quivalentes au voisinage dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Exercices bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


66/126

58 CHAPITRE 3. CALCUL DE LIMITE

3.1 Formules de Taylor

Formule de Taylor

Lagrange

notion cl :Taylor

Exemples :exemple A.3.1exemple A.3.2exemple A.3.3

Dfinition 3.1 (Taylor-Lagrange)

On suppose que f est de classe C sur[a, b]. Alors :pour tout n IN, il existe cn ]a, b[ tel que :

f(b) = f(a)+f

(a)(ba)+f

(a)

2!(ba)2+ +f

(n)(a)

n!(ba)n+f

(n+1)(cn)

(n + 1)!(ba)n+1

Et mme : pour tout x ]a, b], il existe cn(x) ]a,x[ tel que :

f(x) = f(a)+f

(a)(xa)+f

(a)

2!(xa)2+ +f

(n)(a)

n!(xa)n+f

(n+1)(cn(x))

(n + 1)!(xa)n+1

Rn =f(n+1)(cn)

(n + 1)!(b a)n+1 ou Rn(x) = f

(n+1)(cn(x))

(n + 1)!(x a)n+1 sappellent

reste de Lagrange.

Dfinition 3.2 (Mac-Laurin Lagrange)

Cest la formule de Taylor-Lagrange pour a = 0.Pour tout x ]0, b], il existe cn(x) ]0,x[ tel que :

f(x) = f(0) + f

(0)x +f

(0)2!

x2 + + f(n)(0)

n!xn +

f(n+1)(cn)

(n + 1)!xn+1

Remarque 3.1 Ces formules seront utilises

i) pour encadrer une fonction par des fonctions polynmes.

ii) pour le dveloppement dune fonction en srie entire (voir dans un autre

regroupement).


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3.1. FORMULES DE TAYLOR 59

Formule deTaylor-Young

notion cl :Taylor-Young


Dfinition 3.3 (Formule de Taylor-Young)

On suppose que f est de classe C sur [a, b] alors pour tout n IN, il existeune fonction n avec lim

xa n(x a) = 0 tel que

f(x) = f(a)+f

(a)(xa)+f

(a)

2!(xa)2 + +f

(n)(a)

n!(xa)n +(xa)nn(xa).

Dfinition 3.4 (Formule de Mac-Laurin Young)

Cest la formule de Taylor-Young pour a = 0.

n, n avec limx0

n(x) = 0 tel que

f(x) = f(0) + f

(0)x +f

(0)2!

x2 + + f(n)(0)

n!xn + xnn(x).

Remarque 3.2 Ce dveloppement est essentiellement local ; il interviendra dans

le dveloppement limit dune fonction au voisinage dun point.


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3.2 Dveloppements limit

Dfinition

notion cl :Dveloppement limit


Dfinition 3.5

Cest lapproche quand cest possible dune fonction par une fonction poly-

nme au voisinage dun point x0 (x0 IR ou x0 = ).i) x

0= 0.

Soit f une fonction dfinie dans un voisinage de 0 sauf peut-tre en 0 ; on

dit que f admet un dveloppement limit (d.l.) lordre n IN au V(0) silexiste un polynme Pn de degr n tel que

f(x) = Pn(x) + xn(x), (x)

x00

La partie polynomiale dun dveloppement limit sappelle la partie rgu-

lire.

ii) x0 IR.On pose t= x x0 alors f(x) = f(t+ x0) = g(t) et t V(0).

f aura un d.l. lordre n au V(x0) si et seulement si g admet un d.l. au V(0) lordre n

g(t) = Pn(t) + tn(t)

f(x) = Pn(x x0) + (x x0)n(x x0)iii) x0 = .

On pose t= 1x alors f(x) = f(1t) = g(t) et t V(0).

f aura un d.l. lordre n au V(+) (resp. V()) si et seulement si gadmet un d.l. au V(0) lordre n

g(t) = Pn(t) + tn(t)

f(x) = Pn( 1x ) + 1xn ( 1x )

Par la suite, on tudiera les proprits et les rgles pour x 0 = 0.

Remarque 3.3 Si f est dfinie au V(x+0 ) (resp. V(x0 )), on dit que f admet un d.l.

lordre n au V(x+0 ) (resp. V(x0 )).


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3.2. DVELOPPEMENTS LIMIT 61

Proprits

notion cl :Proprits sur les d.l.


Proprits 3.1

i) Unicit.

Si f(x) = An(x) + xn(x) = Bn(x) + x

n(x) avec deg An n et deg bn nalors An = Bn

ii) Troncature.

Si f(x) =

nk=0

akxk + xn(x) avec (x) 0 quand x 0 alors

f(x) =

pk=0

akx+xp(x) avec (x) 0 quand x 0, pour tout p, 0 p n

iii) Parit.

Si f est paire, alors le polynme An est pair.

Si f est impaire, alors le polynme An est impair.

iv) Limite.

Si f admet un d.l. au V(0) lordre n avec An(x) =n

k=0

akxk alors f admet

une limite en 0 qui est a0.

f est donc prolongeable par continuit en 0.

f admet une limite finie en 0 est donc une condition ncessaire pour que f

admette un d.l. en 0.

v) Drivabilit.

Si f admet un d.l. au V(0) lordre n 1 avec An(x) =n

k=0

akxk et si g

est le prolongement par continuit de f en 0 alors g est drivable en 0 et

g(0) = a1.

vi) Primitive.

Si f admet un d.l. au V(0) lordre n avec An(x) =n

k=0

akxk et si f admet


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une primitive F au V(0) alors F admet un d.l. au V(0) lordre n + 1 avec

An+1(x) =n

k=0

akxk+1

k+ 1+ F(0).


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Dveloppementslimits au V(0) de

fonctions usuelles

notion cl :Tableau de d.l.

Toutes les fonctions qui vrifient la formule de Mac-Laurin Young ont pour tout n

un d.l. au V(0) lordre n qui est donn par cette formule.Ce sera le cas pour les fonctions qui figurent dans ce tableau.

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ +x

n

n!+ xn(x)

chx = 1 +x2

2!+

x4

4!+ + x

2n

(2n)!+ x2n+1(x)

shx = x +x3

3!+

x5

5!+ + x

2n+1

(2n + 1)!+ x2n+2(x)

cosx = 1

x2

2!

+x4

4!

+

+(

1)n

x2n

(2n)!

+ x2n+1(x)

sinx = x x3

3!+

x5

5!+ +(1)n x

2n+1

(2n + 1)!+ x2n+2(x)

11 + x

= 1 x + x2 +(1)nxn + xn(x)1

1 x = 1 + x + x2+ +xn + xn(x)

ln(1 + x) = x x2

2+

x3

3 +(1)n+1x

n

n+ xn(x)

ln(1 x) = x x2

2 x

3

3 x

n

n+ xn(x)

Arctanx = x x3

3 +x5

5 +(1)n x

2n+1

2n + 1 + x2n

+2

(x)

Argthx = x +x3

3+

x5

5+ + x

2n+1

2n + 1+ x2n+2(x)

(1 + x) = 1 + x +( 1)

2!+ +( 1)( 2) ( n + 1)

n!xn

Remarque 3.4 Les dveloppements de Arcsin etArgsh sobtiennent partir des

dveloppements de1

1 x2 et1

1 + x2.


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Rgles de Calcul

notion cl :Rgles de Calcul des d.l.

Exemples :exemple A.3.9exemple A.3.10exemple A.3.11exemple A.3.12exemple A.3.13



Proprits 3.2

i) Somme.

Si f(x) = An(x) +xn(x) et si g(x) = Bn(x) +x

n(x) alors h = (f + g) admetun d.l. au V(0) lordre n

h(x) = (An(x) + Bn(x)) + xn(x).

ii) Multiplication par un scalaire.

Si f(x) = An(x) + xn(x) et si IR alors h = f admet un d.l. au V(0)

lordre n

h(x) = An(x) + xn(x).

iii) Produit.

Si f(x) = An(x) + xn(x) et si g(x) = Bn(x) + x

n(x) alors h = fg admet und.l. au V(0) lordre n

h(x) = Cn(x) + xn(x).

Cn(x) est le produit An(x)Bn(x) en ne gardant que les termes de degr n.

iv) Composition.

Soit u(x) = An(x) + xn(x) au V(0) tel que u = u(x) 0.

Soit f(u) = Bn(u) + un(u) alors : g = f u admet un d.l. lordre n

g(x) = Cn(x) + xn(x)

o Cn est form par les termes de degr au plus n de la fonction polynme

Bn (An(x)) .

Attention : bien sassurer que u V(0) pour pouvoir utiliser les d.l. connusdans le tableau des d.l. au V(0).

v) Inverse et quotient.

Soient f(x) = An(x) + xn(x) et g(x) = Bn(x) + x

n(x)


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a) limx0

g(x)

= 0 alors

h =f

gadmet un d.l. au V(0) lordre n :

h(x) = Cn(x) + xn(x)

Cn est le quotient de la division suivant les puissances croissantes lordre

n de An par Bn.

b) limx0

g(x) = 0

) limx0

f(x) = 0 alors h na pas de limite finie et par suite h = fg

na pas

de d.l.

) limx0

f(x) = 0 alors h aura un d.l. si et seulement si limx0

h(x) est finie.

La dmonstration sera donne dans le document annexe, il y a aussi un

exemple qui lillustre.


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Dveloppementslimits pour x0 = 0.

notion cl :D.l. prs dun point



Dfinition 3.6

i) x0 IREn gnral, on pose t = x x0 et f(x) = f(t+ x0) = g(t).

f admet un d.l. au V(x0) lordre n si et seulement si g admet un d.l. au V(0) lordre n.

g(t) =n

k=0

aktk + tn(t) avec limt0

(t) = 0.

f(x) =

nk=0

ak(x x0)k + (x x0)n(x x0) avec limxx0

(x x0) = 0.

Attention La partie polynomiale est en puissance de (x x0). On ne dve-loppe pas.

ii) x0 = On pose t= 1x et f(x) = f(

1t) = g(t) alors t V(0).

f admet un d.l. au V()

lordre n si et seulement si g admet un d.l. au

V(0) lordre n.

g(t) =n

k=0

aktk + tn(t) avec lim

t0(t) = 0.

f(x) =n

k=0

ak1

xk+

1xn

(1x

) avec limx (

1x

) = 0.

Attention La partie polynomiale est en puissance de 1x

, on ne doit pas rduire

au mme dnominateur.


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Dveloppementslimits gnraliss ou

asymptotiques

notion cl :D.l. Gnralis ou

asymptotique


Dfinition 3.7

Soit f une fonction dfinie au V(0) et de limite infinie en 0.

On dit que f admet un dveloppement limit gnralis lordre n au V(0)lorsque la fonction g dfinie par

g(x) = xp

f(x)

admet un d.l. limit lordre n + p au V(0) cest--dire on a :

xpf(x) = a0 + a1x + + an+pxn+p + xn+p(x)do

f(x) =a0

xp+

a1

xp1+ + ap + + an+pxn + xn(x)

On peut encore dire si f est de la formeg(x)

xpet g a un d.l. en 0 lordre n + p

alors f a un d.l. gnralis lordre n en 0.

Remarque 3.5 On peut remarquer quun d.l. gnralis au V(0) a comme partiergulire une fonction polynme en x et un nombre fini de termes (au maximum p)

en puissances ngatives de x.

On peut remarquer quun d.l. gnralis au V() a comme partie rgulireune fonction polynme en 1

xet un nombre fini de termes (au maximum p) en puis-

sances ngatives de 1x

donc un nombre fini de termes (au maximum p) en puissances

positives de x. Au V(), on dit aussi dveloppement asymptotique.

Si f admet un d.l. gnralis en 0, alors il existe p IN tel que xpf(x) a unelimite finie en 0.


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Etude des branchesinfinies dune courbe

notion cl :Asymptote



Dfinition 3.8

On tudie au V(+).i) lim

x+f(x) = b IR. La droite dquation y = b est asymptote la courbe Cf quand x est auV(+).

ii) limxaf(x) = .

La droite dquation x = a est asymptote la courbe Cf quand x est au V(a).

iii limx+f(x) = .

Si f admet un dveloppement gnralis au voisinage de + cest--dire :

f(x) = a0xp + a1x

p1 + + ap + ap+1 1x

+ + an+p 1xn

+1

xn(

1x

)

alors la courbe Cg o g(x) = a0xp + a1xp1 + + ap est asymptote lacourbe

Cfquand x est au V(+

).

limx+f(x) g(x) = 0Le signe de f(x) g(x) au voisinage de + permet davoir la position deCf par rapport Cg.Si f(x) g(x) > 0, Cf est au dessus de Cg au V(+).Si f(x) g(x) < 0, Cf est au dessous de Cg au V(+).

Il en serait de mme pour x au voisinage de .


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3.3. FONCTIONS QUIVALENTES AU VOISINAGE DUN POINT 69

3.3 Fonctions quivalentes au voisinage dun point

Dfinitions

notion cl :Equivalent



I dsigne un intervalle qui est V(x0) ou V(x+0 ) ou V(x

0 ), x0 IR ou x0 = .

Dfinition 3.9

f est quivalente g au voisinage de x0 et on note

fx0

g

si

I, x I, f(x) = g(x) (1 + (x)) = g(x)+g(x)(x) o (x) 0 quand x x0

Si I = V(x+0 ), on note fx+0

g et a une limite droite gale 0.

Si I = V(x0 ), on note fx0

g et a une limite gauche gale 0.

Dfinition 3.10 (la plus souvent utilise)

Si g ne sannule pas dans un voisinage de x0 sauf peut-tre en x0 alors

fx0

g limxx0

f(x)

g(x)= 1

Pour une fonction f donne, il y aura plusieurs fonctions quivalentes f au

V(x0) : on cherchera toujours, si possible, la plus simple.

Dfinition 3.11

Si limxx0

f(x) = , on dit que f est un infiniment grand au voisinage de x0.Si lim

xx0f(x) = 0, on dit que f est un infiniment petit au voisinage de x0.

Equivalent dune fonction qui admet un d.l. au V(x0).


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Proprits 3.3

i) x0 IRf(x) = ap(xx0)p+ap+1(xx0)p+1+ +an(xx0)n+(xx0)n(x), ap =0alors

f(x)0

ap(x x0)p

f est quivalent au terme non nuldu d.l. de degr le plus bas par rapport x.

b) x0 = f(x) = ap

1xp + ap+1

1xp+1

+ + an 1xn + 1xn (x), ap = 0alors

f(x)0

ap 1xp

f est quivalent au terme non nuldu d.l. de degr le plus bas par rapport 1x

.


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Proprits

notion cl :Proprits des

quivalents


Proprits 3.4

i) est une relation dquivalence sur lensemble des fonctions dfiniessur I {x0} cest--dire :a) f(x)

x0f(x).

b) Si f(x)x0

g(x) alors g(x)x0

f(x).

c) Si f(x)x0

g(x) et g(x)x0

h(x) alors f(x)x0

h(x).

ii)

u(x)

x0v(x) et lim

xx0u(x) = a

= lim

xx0v(x) = a

cest--dire deux fonctions qui sont quivalentes au voisinage dun point ont

mme limite en ce point.

On utilisera souvent cette proprit ; quand on voudra trouver la limite dune

fonction en un point, on essaiera souvent de trouver une fonction quivalente

au voisinage de ce point.

Attention ! ! ! La rciproque nest pas vraie.

u(x) = x et v(x) = x2, x0

= 0.

On a u qui nest pas quivalente v car (seconde dfinition)v(x)

u(x)x0

0 et

pourtant elles ont mme limite.

iii)

u(x)

x0u1(x) et v(x)

x0v1(x)

= u(x)v(x)

x0u1(x)v1(x)

Si de plus : x I, x = x0, v(x) = 0,

u(x)x0

u1(x) et v(x)x0

v1(x)

=

u(x)

v(x)x0

u1(x)

v1(x)cest--dire lquivalent dun produit est le produit des quivalents et lqui-

valent dun quotient est le quotient des quivalents.

On appliquera cette proprit chaque fois que lon fera ltude locale dune

fonction f qui se prsentera sous la forme dun produit ou dun quotient.

iv) u(x)x0

v(x) = (x I, u(x) et v(x) ont le mme signe)


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cest--dire ltude locale du signe de u est amene ltude locale du signe

de v.

v) si u(x)xx0

a IR alors u(x)x0

a.


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Piges avec lesquivalents

notion cl :Piges avec les

quivalents


ATTENTION

i) u(x)x0

0!!! est faux sauf si x V(x0), u(x) = 0 : cas qui ne prsenteaucun intrt.

ii)u1(x)

0v1(x)

u2(x)0 v2(x) nimplique pas u1(x) + u2(x)0 v1(x) + v2(x)On ne peut le faire que pour le produit ou le quotient mais pas pour la somme.

iii) u(x)0

v(x) nimplique pas f (u(x)) 0

f (v(x)).

En gnral, on ne peut pas composer les quivalents.


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Cas particulier

notion cl :Ngligeable




Proprits 3.5

i) Somme

Si au V(x0), f est ngligeable par rapport g alors

(f(x) + g(x)) x0

g(x)

RemarqueOn dit que f est ngligeable au V(x0) par rapport g si f(x) = g(x)(x)avec lim

xx0(x) = 0.

f(x) = x et g(x) = x2.

f est ngligeable par rapport g au V(+) car f(x) = g(x)1x

, limx+

1x

=

0.g est ngligeable par rapport f au V(0) car g(x) = f(x) x, lim

x0x = 0.

ii) Composition

a)

u(x)x0

v(x) et

limxx0

u(x) = 1 ou limxx0

u(x) = = ln u(x)x0

ln v(

On peut composer les quivalents avec ln condition que u / V(1).

b) IR,

u(x)x0

v(x) et u(x) > 0

= u(x)

x0v(x).

c)

u(x)

x0v(x) et lim

xx0u(x) v(x) = 0

= e u(x)

x0e v(x).


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Equivalents defonctions usuelles

notion cl :Equivalents de fonctions

usuelles


Proprits 3.6

i) x V(0)

sinx0

x, (ex 1) 0

x, ln (1 + x) 0

x, (cosx 1) 0

x2

2

((1 + x) 1) 0 x, tanx0x, shx0x, Arctanx0x, (chx 1)0x2

2

ii) x V(1)

lnx1

(x 1), x 11

(x 1)

Attention ! !

i) x V(+), IR,

lnx +x

et e x +x

ii) x V(0), IR, lnx0

x


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Applications

notion cl :Applications

Exercices :exercice B.3.10exercice B.3.11exercice B.3.12exercice B.3.13exercice B.3.14

Les dveloppements limits et les quivalents sont des outils puissants utilisslocalement pour la recherche dquivalents, le calcul de limite et le comportementasymptotique (branche infinies) dune fonction en un lieu.

On essaiera au maximum dutiliser les quivalents car cest plus rapide que lesd.l. condition de pouvoir appliquer les rgles sur les quivalents sinon on passerapar les d.l.

Ils serviront aussi dans ce regroupement pour ltude dintgrale gnralise etdans un autre regroupement pour ltude des suites ou sries numriques.


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3.4. EXERCICES BILAN 77

3.4 Exercices bilan

Exercices bilan : d.l.

notion cl :Exercices bilan d.l.

Exercices :exercice B.3.15exercice B.3.16exercice B.3.17exercice B.3.18


Dans tous les exercices ci-dessus,

DLn(x0) de f signifie d.l. de f en x0 lordre n.


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Exercices bilan :quivalent

notion cl :Exercices bilan

quivalent




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Deuxime partie

Les annexes

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Annexe A

Les exemples

Table des exemples

A.1 : Exemples du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exemple A.1.1 : Voisinage dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exemple A.1.2 : Fonctions relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exemple A.1.3 : Domaine de dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exemple A.1.4 : Fonction strictement croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exemple A.1.5 : Fonction borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exemple A.1.6 : Fonction minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Exemple A.1.7 : Parit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Exemple A.1.8 : Priodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exemple A.1.9 : Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exemple A.1.10 : Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exemple A.1.11 : Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exemple A.1.12 : Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exemple A.1.13 : Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Exemple A.1.14 : Continuit droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Exemple A.1.15 : Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Exemple A.1.16 : Maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Exemple A.1.17 : Maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Exemple A.1.18 : Taux daccroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Exemple A.1.19 : Tangente une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Exemple A.1.20 : Diffrentielle dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Exemple A.1.21 : Fonction de classe Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2 : Exemples du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Exemple A.2.1 : Rciproque dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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82 ANNEXE A. LES EXEMPLES

Exemple A.2.2 : Comparaison de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Exemple A.2.3 : Comparaison de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.3 : Exemples du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Exemple A.3.1 : Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Exemple A.3.2 : Formule de Mac-Laurin Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Exemple A.3.3 : Approximation de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Exemple A.3.4 : Formule de Mac-Laurin Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exemple A.3.5 : Formule de Mac-Laurin Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exemple A.3.6 : D.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exemple A.3.7 : d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exemple A.3.8 : d.l. et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Exemple A.3.9 : Addition de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Exemple A.3.10 : Produit de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Exemple A.3.11 : Composition de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Exemple A.3.12 : Quotient de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Exemple A.3.13 : Quotient de d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Exemple A.3.14 : D.l. en un point non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Exemple A.3.15 : D.l. linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Exemple A.3.16 : D.l gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Exemple A.3.17 : D.l. gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Exemple A.3.18 : Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Exemple A.3.19 : Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Exemple A.3.20 : Oprations sur les quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Exemple A.3.21 : Oprations sur les quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Exemple A.3.22 : Somme de deux quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Exemple A.3.23 : Composition de deux quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Exemple A.3.24 : Fonctions ngligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Exemple A.3.25 : Equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


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A.1. EXEMPLES DU CHAPITRE 1 83

A.1 Exemples du chapitre 1

Exemple A.1.1 Voisinage dun point

32 , 12 , ]1.1, 0.9] sont des V(1).Exemple A.1.2 Fonctions relles

f : x

x2, g : x

x, h : x

sin(x).

f, g et h sont trois fonctions de la variable relle valeurs relles.

Exemple A.1.3 Domaine de dfinition

f1 : x 2x + 1. D = IR, fonction affine.f2 : x x3 + 3x2 + 1. D = IR, fonction polynme.f3 : x x

2+1x . D = IR {0}, fonction rationnelle.

f4 : x sin(x). D = IR.f5 : x

x2

1. D =

{x

IR

|x

1 ou x

1

}.

Exemple A.1.4 Fonction strictement croissante

f : x x2 est strictement croissante sur [1, 2] mais nest pas monotone sur [1, 2].Exemple A.1.5 Fonction borne

f(x) = sin(x) est borne sur IR car 1 sin(x) 1.Exemple A.1.6 Fonction minore

g(x) = x2 1 est minore sur IR car g(x) 1 mais nest pas majore.Exemple A.1.7 Parit

f(x) = 2 + x2 3x4 est paire sur IR.g(x) = x3 + x est impaire sur IR.


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84 ANNEXE A. LES EXEMPLES

Exemple A.1.8 Priodicit

f(x) = sin(x) : la priode de f est 2.g(x) = sin(3x) : la priode de g est 23 .

Exemple A.1.9 Limites de fonctions

limx3

x2 = 9, limx+x

2 = +, limx+

1x

= 0.

Exemple A.1.10 Limites

k(x) = x2.

On a limx2+

k(x) = limx2

k(x) = 4. ka une limite au point x = 2.


f(x) = 1 + 11x .

On a limx1+

f(x) =

, limx1

f(x) = +

.

f a une limite droite diffrente de la limite gauche au point x = 1 donc f na pas de limite au point x = 1.


g(x) = |x1|x1 .

On a limx1+

g(x) = 1, limx1

g(x) = 1.g a une limite droite diffrente de la limite gauche au point x = 1 donc g na pas de limite au point

x = 1.

Exemple A.1.13 Continuit

f(x) = x2.On a f(2) = 4 et lim

x2f(x) = 4. Donc f est continue au point x = 2.


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A.1. EXEMPLES DU CHAPITRE 1 85

Exemple A.1.14 Continuit droite

f(x) =

|x1]x1 si x 11 si x = 1

.

limx1+

f(x) = 1 = f(1), limx1

f(x) = 1 = f(1).f est donc continue droite en x = 1 mais nest pas continue gauche, par suite f nest pas continue enx = 1.

Exemple A.1.15 Fonctions continues

a) Les fonctions polynmes sont continues sur IR.

b) Les fonctions rationnelles P(x)Q(x) sont continues sur IR {x | Q(x) = 0}.

c) Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur IR.

d) Les fonctions

P(x) o P est une fonction polynme sont continues sur