iniciación a la resistencia de los materiales tensiones y deformaciones en materiales elÁsticos de...
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Iniciación a la Resistencia de los Materiales
TENSIONES Y DEFORMACIONES EN
MATERIALES ELÁSTICOSde J.A.G. Taboada
Texto de referencia:
PARTE 1 : Resistencia
Objeto:COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS
DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE MATERIALES.
CAPITULO II :
•TRACCIÓN - COMPRESION.
y
•CORTADURA
Lección 3 :2011
Lección 3 :• 3.1 .- Barra prismática sometida a tracción.
Influencia del peso propio.
Sólido de igual resistencia.
• 3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.
• 3.3 .- Tracción y compresión hiperestáticas.
• 3.4 .- Tensiones originadas por variaciones térmicas o defectos de montaje.
Alargamiento de un elemento
LF F
3.1 .- Barra prismática sometida a tracción.
• Longitud inicial
• Deformación longitudinal total
• Deformación longitudinal unitaria
• Relación Tensión deformación
• Deformación diferencial.
F
E F. L
L S.EF
E S
Li
= Lf - Li
Li
3.1 .- Influencia del Peso propio.
P = pe . L . S
Pxpe . S. x = ’x . S
’x = pe.x
max =F
S+ pe . L
F + P
F
L
S
x
x =FS + pe.xF + Px
S =
3.1 .- Influencia del Peso propio.
F + P
F
L
x
dx
x =FS + pe.x
F L
S E+
pe L2
2.E =
= pe.x ) .
0
L
( +dxE
F S
d = pe.x ) .+dxE
F S(
3.1 .- Sólido de igual resistencia
• Sólido de igual resistencia a la barra prismática tal que se cumple que la tensión sea la misma en todas sus secciones rectas.
x =F+ Px
Sx
= adm
F L
S E+
pe L2
2.E =
F L
S E+
pe SL·L
2·E·S =
3.1 .- Sólido de igual resistencia
F + P
F
L
x
dx
x =F+ Px
Sx
= adm
x+dx =F + Px + pe.Sx.dx
Sx + dSx
Sx = F
adm
. e( pe . x/ adm)
3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.
F
F
dF
F’
’ d
dW = (F + dF) · d F · dF·L/SE+ dF·d
W =1
2F .
Teorema de Clapeyron
L
W = L
S. E
F . dF
0
F F 2. L
2 . S. E
= 2. S .E
2 . L=
3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.
FW =
1
2F .
Teorema de Clapeyron
L
=F 2
2·S·E·Su =
V
W=
2·E
2 L2=
2
2 E=
2·E
2
Energía de deformación por unidad de Volumen
= F 2. L
2·S·E·V
a b
3.3 Tracción y Compresión Hiperestáticas
= 0
FRa RbRa + Rb + F = 0
Ecuaciones útiles : 1 => Fh = 0
Incognitas : 2 => Ra y Rb
Grado de Hiperestaticidad : 1
Ecuación de deformación : 1
+Rb *bS Eb =
a + b = L
F L
S E =
a + b = = 0
Rb*b - Ra*a = 0
-Ra *aS Ea =
Rb*b – (-F-Rb)*a = 0
Rb = -F*a / L Ra = - F*b / L
RaRa
RbRb
Tracción y Compresión Hiperestáticas
Concepto Symb Unidades Valor Fórmula A C B
Longitud Total L cm 1200 ====> ====> ====>
Long AC a cm 500Long BC b cm 700Fuerza F Kg 3500 F1+F2 + F = 0
Alargamiento Total cm 0 F*L*(S*E)-1
Alargamiento de AC cm 1,52E-02 F1*a*(S*E)-1
Alargamiento de BC cm -1,52E-02 F2*b*(S*E)-2
Fuerza en AC F1 Kg -2042 -F*b / L
Fuerza en BC F2 Kg -1458 -F*a / L
Sección Normal a X S cm2 32
Tensión en AC Kg/cm263,80 - F1*(S)-1
Tensión en BC Kg/cm2-45,57 + F2*(S)-1
Alargamiento Unit AC 3,04E-05 3,04E-05 /a
Alargamiento Unit BC -2,17E-05 -2,17E-05 /b
Tensión max ad ADM Kg/cm2
1200 FL/c.s.
Módulo de Young E Kg/cm2 2,10E+06
Calculo de Tracción - Compresión Hiperestáticas
= 0
Lf = Li + Li . (Tf - Ti )
= T
= - T. E
=
Ra Rb
Tensiones por variaciones térmicas
T
F = S *
RaS *
Ra = Rb = - .S = - .T.E
= 0 = /E + .DT
3.4 Tensiones originadas por variaciones térmicas o defectos de Montaje.
Concepto Symb Unidades Valor Fórmula A L B
Longitud Total L cm 1200
Long AC a cm 600
Long BC b cm 600 F1 A C B F2
Fuerza F Kg 10000 - (F1+F2) ====> ====> ====>
Variación Temperatura T ºC 35 F
Alargamiento Total cm 0 * T*L+F*L*(S*E)-1
Alargamiento de AC cm 0,29 * T*a+F1*a*(S*E)-1
Alargamiento de BC cm -0,42 * T*b+F2*b*(S*E)-2
Fuerza en A F1 Kg -4081,3 -F*b / L+ * T*E
Fuerza en B F2 Kg -5918,8 -F*a / L - * T*E
Sección Normal a X S cm24
Tensión en AC Kg/cm21020 - F1*(S)-1 + * T*E
Tensión en BC Kg/cm2-1480 + F2*(S)-1+ * T*E
Alargamiento Unit AC - 0,00049 /a
Alargamiento Unit BC - -0,00070 /b
Tensión max ad ADM
Kg/cm21200
FL/c.s.
Coef dilat Térmica ºC-11,25E-05
Módulo de Young E Kg/cm22,10E+06
Calculo de Tracción - Compresión Hiperestáticas
= 0
0 = 0/E
= + 0
= Ra Rb
Tensiones por defectos de Montaje
0
F = S *
RaS *
Ra = Rb = + .S = - 0·S
t = 0 = - /E + 0/E
Si 0 es positivo (tracción) las reacciones son a compresión
Lección 4 :
• 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones.
• 4.2 .- Círculos de Mohr.
• 4.3 .- Planos y tensiones principales.
• 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson.
• 4.5 .- Deformación por esfuerzos triaxiales.
Deformación Trasversal
y = - x
coeficiente de deformación trasversal o de Poisson
y
x
Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
x = x
E+ -
y
E -
z
E + T
y = y
E+ -
x
E -
z
E + T
z = z
E+ -
x
E -
y
E + T
Invariante lineal de deformaciones
Invariante lineal de tensiones
e = x + y + z
= x + y+ z
Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
Invariante lineal de deformaciones
Invariante lineal de tensiones
e = x + y + z
= x + y+ z
x = x
E+ -
y
E -
z
E + T
0
E+
y = y
E+ -
x
E -
z
E + T
0
E+
z = z
E+ -
x
E -
y
E + T
0
E+
4.1.- Matriz de Tensiones
x d = nx d + yx d + zx d
y d = xy d + ny d + zy d
z d = xz d + yz d+ nz d
x
y
z
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz
cosenos directores[ [ [ u
4.3.- Tensiones y direcciones principales
1
2
3
1 2 3
2
3
1
Direcciones principales
1
2
3
x
y
z
=
=>
x = 1
y = 2
z = 3
=>
12 2
2 32
x2 y2 z2+ + = 1
4.2.- Círculo de Mohr
13 2
C1
O1
C2
O2
C3
O3
n
n
p
’p
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz x
y
z
x
cos
cos(90-0
F/S
x
F
n = u = (F/S . cos ) . 1 . cos = F/S . cos2
N
n
2
= (F/S . sen ) . 1 . cos = F/S . (sen 2)
2
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz 1
2
3
x
cos
cos(90-0
nx
ny
x
Fx
n = nx. cos2 + ny. cos2 (90 – ) =
N
n
2
Fy
1
2
nx+ ny 2
+nx- ny
2cos 2 n =
nx- ny
2sen 2 =
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
Fx
N
n
2
Fy
1
2
nx- ny
tan 2=
nx+ ny 2
+ nx- ny
2 1 = )2(
nx+ ny 2
- nx- ny
2 2 = )2(