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INGENIEURVERMESSUNG VOR 2000 JAHREN Referent: Gerhard Pscheidt Vermessungsdirektor

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Wir bewundern heute noch immer die steinernen Kolossalbauten aus dem Altertum: die gyptischen Pyramiden und die griechischen Tempel aus dem rmischen Weltreich sind uns die Stdte mit ihren Amphitheatern und das ausgedehnte Straennetz bekannt. Nicht zuletzt staunen wir ber die alten rmischen Wasserleitungen mit ihren aus Bgen bestehenden Aqudukten, die Flsse und Schluchten berspannten und deren Rohrleitungen durch Gebirgstunnel gingen. Beispielhaft finden wir solch eine antike Wasserleitung heute noch in Frankreich in der Gegend von Nimes. Ihr Anfang liegt bei den Quellen von Uzs. Von der Quellfassung gespeist und die Neigung der Terrains ausntzend, gelangt sie nach Zwischenschaltung eines Wasserverteilers nach Nimes. Bemerkenswert ist die Meisterschaft der rmischen Vermessungsingenieure bei der Berechnung des Geflles. Gelndeschwierigkeiten erlaubten keine gerade Fhrung und wegen der Berge mussten die Umleitungen geplant werden. Bei nur 25 km Luftlinie musste die Leitung deshalb auf fast 50 km ausgebaut werden. Der Hhenunterschied zwischen Quelle und Wasserverteiler betrug ganze 17 m auf 41 km Leitung, also 40 cm auf 1 km. Die Wasserleitung erreichte am Tal des Flusses Gardon einen starken Einschnitt. Die Brcke des Point du Gard selbst bildete nur einen kleinen, aber bemerkenswerten Abschnitt dieser Leitung und ist durch ihre Khnheit ein Wunderwerk der antiken Ingenieurbaukunst. Die groen (57 cm hohen), mit der Zeit gelblich gewordenen Blcke des Bauwerks sind ohne Bindemittel, wie z.B. Mrtel, aufeinander eingepasst worden. Der Pont ist 49 m hoch und an der Basis 142 m lang. Die obere Lnge betrgt 275 m mit 35 Bgen. Der Kanal, der tglich 20 000 m Wasser liefern konnte, ist mit Platten abgedeckt und ruht auf 3 Arkadenreihen, die jeweils 21,87 m, 19,5 m und 7,4 m hoch sind. Dabei ist das komplizierte technisch Bauwerk nicht geradlinig, sondern in einer leichten gleichmigen Krmmung in der Trasse errichtet worden. Als Bauherr dieser und noch anderer Wasserleitungen gilt der grte Baulwe der Antike, unter dessen Leitung auch viele Brcken, Strassen und Denkmler, ja ganze Stadtteile errichtet wurden. Er hie Marcus Vipsanius Agrippa (63 12 v. Chr.) und war der Freund, Feldherr und spter auch der Schwiegersohn Kaiser Augustus. Whrend bei den Wasserleitungsbauten Umleitungen in Kauf genommen wurden, vermieden die rmischen Vermessungsinge- nieure Umwege bei den Planungen ihrer schnurgeraden Strassen. Man trug deshalb Hgel ab und fllte Tler auf.

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Messgerte der Antike Hhenmessgert Chorobates Der aus Holz gefertigte rmische Choro- bates ist nur in der Beschreibung des Ingenieurs und Schriftstellers Vitruv (1 Jh. V. Chr.) berliefert. Er bestandaus einem 20 Fu (= 6 m) langen Trger mit senk- rechten Sttzen, die mit dem Trger ver- strebt waren. An den Streben waren Linien markiert. Wenn die Schnre der vom Trger herabhngenden Lote die Marken verdeckten, lag die Trgerober-kante horizontal. Bei Wind pendelten die Lote hin und her. Dann wurde die Rinne auf dem Trger bis zum Rand mit Wasser gefllt. Man hatte so ebenfalls eine horizontale Visierlinie. gyptische Setzwaage Die Setzwaage war bereits im antiken gypten als Nivelliergert bekannt und wurde vermutlich beim Pyramidenbau im 3. Jahrtausend v. Chr. benutzt. Im gleichschenkligen Dreieck wird die Grundlinie durch ihre Hhe halbiert. Wenn die freihngende Lotschnur der Setzwaage die Marke in der Mitte des Querholzes ver- deckt, ist die Schnur Seitenhalbierende und Hhe des Dreiecks. Das Querholz liegt jetzt senkrecht zur lotrechten Schnur, also waagerecht. Die zum Querholz parallelen Setzkanten der Schenkelhlzer geben nun die horizontale Richtung an.

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Die Dioptra, das Mehrzweck-Instrument der Antike Heron aus Alexandria (um 100 n. Chr.) beschreibt in seinem gleichnamigen Lehrbuch die Dioptra, das am vielsei- tigsten verwendbare Vermessungsinstrument der Antike. Das Gert besteht aus einem Stnder mit zwei Schnecken- getrieben, mit denen eine kreisfrmige Scheibe in der waagerechten und senkrechten Ebene gedreht werden kann. Auf der Scheibe sind zwei senkrecht zueinander stehende Durchmesser eingezeichnet. Durch Zielen ber diese beiden Durchmesser mit Hilfe eines um den Scheibenmittelpunkt drehbaren Visierlineals mit Diopter knnen rechte Winkel abgesteckt werden. Hhenunterschiede lassen sich ausmessen, wenn man die Kreisscheibe gegen ein U-fr- miges, mit Wasser geflltes Glasrohr austauscht. Die gedachte Verbindungslinie der Wasserspiegel in den beiden senkrechten Enden des U-Rohres ist stets waagerecht. Visiert man entlag dieser Linie eine Melatte an, die senkrecht auf einem Punkt steht, so kann an der Lngenteilung der Latte der Abstand des Punktes von der Visierlinie abgelesen werden. Wird der Messvorgang fr einen zweiten Punkt wiederholt, so erhlt man dessen Abstand von der Visierlinie. Die Differenz der beiden Abstnde ist der Hhenunterschied zwischen den Punkten. Mit der Dioptra und ihrem Zu- behr lsst sich eine ganze Reihe von vermessungstechnischen Aufgaben lsen, die Heron in seinem Lehrbuch be- schreibt. Dazu gehrt das indirekte Ausmessen von Turm- und Berghhen oder von unzugnglichen Entfernungen, etwa zu einem Punkt jenseits eines Flusses. Sogar fr astronomische Beobachtungen war die Dioptra geeignet. Dioptra nach Heron Es ist keine Dioptra aus der Antike berliefert. Wir kennen aber sie Schriften Herons, dessen Name uns gelufig ist durch die nach ihm benannte Formel zur Berechnung des Flcheninhalts eines Dreiecks. In seinem Buch ber die Dioptra gibt er eine solch gute Beschreibung mit Maangaben, dass die Dioptra rekonstruiert werden konnte. Nachbau der Dioptra Das Visierlineal mit Diopter ist um den Schei- benmittelpunkt drehbar. Bei horizontaler Lage der Scheibe lassen sich durch Visieren ent- lang der beiden Durchmesser rechte Winkel abstecken. Durch Drehen der Kurbeln nimmt die Scheibe jede gewnschte Lage ein. Wird sie in die Ebene zweier Zielpunkte gebracht, so kann der Winkel zwischen den Richtungen zu den Punkten gemessen werden (sog. Positionswinkel).

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Indirekte Streckenmessung Gesucht ist die Lnge der Strecke AB. Die Gerade AB wird bis D verlngert. In B und D werden mit der Dioptra rechte Winkel abgesteckt. Auf ihren freien Schenkeln werden die Punkte C und F so festgelegt, dass sie mit A eine Gerade bilden. Aus den hnlichen Dreiecken ADF und CEF kann man die Proportionen ablesen: AD : DF = CE : EF mit CE = BD und EF = DF BC Die horizontalen Strecken BD, DF und BC werden gemessen. Man errechnet: AD = DF x und AB = AD BD. AB C F D E CE EF

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Messlatte Die Messlatte wurde ebenfalls nach Herons Be- schreibungen rekonstruiert. Mit einem Schnurlot wurde die Latte beim Messen lotrecht gestellt. ber eine Rolle lief ein Seil, mit dem die Zieltafel so lange an der Latte auf- oder abbewegt wurde, bis der Beobachter die Trenn- linie der Farbflchen genau im Visier der Kanal- waage hatte. Mit Hilfe des Zeigers wurde an der Lattenteilung der Hhenunterschied zwischen dem Punkt, auf dem die Latte stand und der horizontalen Ziellinie abgelesen.

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Die rmische Groma Zum Absetzen rechter Winkel benutzen die rmischen Feld- messer die Groma. Sie wurde neben dem gekennzeichneten Punkt, auf dem Bild neben dem Stein, der den Schnittpunkt von Cardo und Decumanus festlegt, in den Boden gestoen uns so ausgerichtet, dass die Mittelpunkte des Winkelkreuzes und des Steins genau senkrecht bereinander lagen. Das Kreuz wurde nun so gedreht, dass zwei sich gegenberhngende Lot- schnre in die vorher festgelegte Richtung des Cardo wiesen. Im rechten Winkel dazu wurde durch Visieren ber das andere Lotschnurpaar die Richtung des Decumanus abgesetzt. Rekonstruktion der Groma Es ist keine Groma aus rmischer Zeit erhalten geblieben, da sie weitgehend aus Holz gefertigt war, das im Verlauf der Jahr- hunderte vermoderte. Bei Ausgrabungen in Pompeji, das im Jahr 79 n. Chr. durch einen Vesuvausbruch verschttet wurde, fand man Bauteile aus Eisen und Bronze. Nach diesen und Beschreibung durch rmische Feldmesser ist die Groma rekonstruiert worden. Die rmische Groma

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Landschaft mit Centuriation Diese moderne topographische Karte zeigt einen Ausschnitt aus der oberitalienischen Poebene bei Lugo in der Nhe von Ravenna. Straen, Wege und Grben begrenzen noch heute die quadratischen Felder, die vor zwei Jahr- tausenden durch die rmische Centuration ent- standen waren. Die rmischen Centuriationen

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Centurien auf Steintafeln Orange/Sdfrankreich, 1. Jh. n. Chr.. Das Gitternetz der Centuration wurde in Metall- und Steintafeln eingraviert und diese bei der Gemeindeverwaltung aufbewahrt. Auf landschaftliche Ge- gebenheiten wurden eingetragen: von links nach rechts verluft eine Strae, von oben nach unten in geschlngelter Doppellinie ein Fluss. Die einzelnen Centurien enthielten Angaben ber ihre Lage, bezogen auf Decumanus und Cardo, die Gre der innerhalb der Centruie verpachteten Flchen, die Hhe des Pachtzinses, die Namen der Pchter und hnliches.

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Grundriss der Cheops-Pyramide Der Grundriss der Cheops-Pyramide ist ein nahezu vollkommenes Quadrat. Die Eck- winkel weichen von 90 um Winkelwerte ab, die nur mit einem modernen Theodolit nach- gewiesen werden konnten. Die Seiten sind im Durchschnitt 230,364 m lang. Das ent- spricht im altgyptischen Lngenmass 440 Ellen. Vom Sollma unterscheiden sich die Seitenlngen um hchstens ein Dezi- meter.

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Absteckung von rechten Winkeln Die gyptischen Ingenieure benutzten fr die Absteckung der Pyramiden das Mess- seil, mit dem sie auch die Felder aus- maen. Es war in gleichen Abstnden durch Knoten unterteilt. Vermutlich wand- ten die Seilspanner zum Abstecken der rechten Winkel die dargestellte Methode an. Sie machten sich die Tatsache zu- nutze, dass in einem Dreieck mit dem Seitenverhltnis 3:4:5 die beiden kurzen Seiten stets einen rechten Winkel ein- schlieen. Jahrtausende spter formu- lierte Pythagoras dies als Lehrsatz.

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Hhenmessung Erstaunlich sind die geringen Abweichungen der Hhenangaben fr die Eckpunkte, obwohl die gypter bei der Absteckung nur ein recht einfaches Hhenmessgert benutzt hatten, die Setzwaage. Die Setz- waage war ein gleichschenkliges Holzdreieck, das auf der Grundseite hochkant aufgestellt wurde. Von der Spitze hing an einer Schnur ein Lot herab. Wenn das Lot an einer Marke, die in der Mitte der Grund- seite eingekerbt war, einpendelte, lag die Grundseite waagerecht.

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Der Tunnel von Samos Selbst heute ist es eine groartige vermessungstechnische Leistung, wenn ein Straen- oder Eisenbahntunnel von zwei Seiten gleichzeitig vorgetrieben wird und nach der letzten Sprengung die beiden Stollen lage- und hhenmig genau zusammen treffen. Zum Baubeginn gibt der Vermessungsingenieur die Lage der Stollenmundlcher an und dann arbeiten die Tunnelbauer aufeinander zu, ohne sich sehen zu knnen nur durch die Mithilfe des Vermessungs- ingenieurs ist es ihnen mglich, die Richtung der beiden Stollen einzuhalten. Nicht anders war es in der Antike, aus der uns eine ganze Reihe von Tunnelbauten bekannt ist. Mit Sicherheit wei man jedoch nur von dem Tunnel auf der griechischen Insel Samos, dass er - um die Bauzeit zu verkrzen - von zwei Seiten gleichzeitig vorgetrieben wurde. Um 550 v. Chr. erbaut, durchstt er mit einer Lnge von ber einem Kilometer den Berg Kastro. Am nrdlichen Tunneleingang nahm er das Wasser einer Quelle auf und leitete es bis zum sdlichen Ausgang, der innerhalb der Mauern der Stadt Samos lag. So war die lebenswichtige Wasserleitung vor Feinden geschtzt.

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Der Tunnel des Eupalinos Unter der Herrschaft des Tyrannen Polykrates (573 522 v. Chr.) wurde der Tunnel von Samos erbaut. Den Auftrag erteilte er dem Eupalinos. Festlegung der Tunnelachse Vor Baubeginn hatte Eupalinos die Richtung der Tunnelachse beiderseits des Berges festzulegen. Er lie um den Berg herum die Lngen der Strecken a bis g ausmessen. Durch Addition und Subtraktion der Streckenlngen erhielt er die Lngen der Drei- ecksseiten A und B. Fr die Hilfsdreiecke 1 und 2 lie er die Strecken B 1 und B 2 ausmessen und senkrecht dazu die Strecken A 1 und A 2 abstecken, deren Lngen er aus den Verhltnisgleichungen A 1 = B 1 x und A 2 = B 2 x errechnet hatte. Durch die Richtungen R 1 und R 2 lag die Richtung der Tunnelachse fest. ABAB ABAB A B A1A1 B1B1 R1R1 R2R2 A2A2 B2B2 g a b c d e f Eingang Ausgang 1 2 Berg Kastro

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Eingang Ausgang Berg Kastro Vortrieb der beiden Stollen Dem Eupalinos war bewusst, dass seine Ver- messung zum Festlegen der Tunnelachse dies- seits und jenseits des Berges fehlerhaft sein konnte. Eine geringe Abweichung der Richtungen R 1 und R 2 von der geplanten Achse musste be- wirken, dass die Stollenrichtungen um so mehr auseinander klafften, je weiter die Stollen in den Berg gehauen wurden. Deshalb lie Eupalinos den sdlichen Stollen geradlinig und den nrd- lichen auf seinem letzten Teilstck zickzack- frmig vortreiben. Auf diese Weise musste der Sdstollen unbedingt auf den Nordstollen treffen.

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Was Eratosthemes berlegte Wenn der Brunnen in Syene schattenlos ist, dann steht die Sonnen genau senkrecht ber dem Brunnen, also in Verlngerung der Brunnenachse. Da der Brunnen lotrecht in die Erde gegraben ist, luft die gedanklich nach unten verlngerte Brunnenachse durch den Mittelpunkt der Erde. Der Obelisk in Alexandria steht lotrecht auf der Erde. Verlngert man gedanklich dessen Achse, so luft auch diese durch den Erdmittelpunkt und schneidet dort die Verlngerung der Brunnenachse.

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Was Eratosthenes ausrechnete Den Winkel an der Spitze des Obelisken errechnete Eratosthenes aus dem Verhltnis der Lnge des Obelisken zur Lnge seines Schattens. Er war 7,2 gro. Somit hatte er auch den Winkel im Erdmittelpunkt. Eratosthenes kannte die Formel: Umfang = Bogen x fr die Berechnung des Erdumfangs. Er setzte den Bogen 748,44 km und den Winkel 7,2 ein und rechnete: Umfang = 748,44 km x Der von Eratosthenes ermittelte Erdumfang war 37422 km. 360 Winkel 360 7,2

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Was Eratosthenes zeichnete Eratosthenes machte sich eine Zeichnung mit zwei Parallelen, die von einer Geraden geschnitten werden. Die rechte Parallele stellt die verlngerte Brunnenachse dar, die linke den Sonnenstrahl, der gerade noch an der Spitze des Obelisken vorbeiluft und dann auf den Erd- boden fllt. Die schneidende Gerade ist die verlngerte Achse des Obelisken. Auerdem zeichnete Eratosthenes vier Winkel ein. Man erkennt, dass die waagerecht und die senkrecht schraf- fierten Winkel jeweils gleich gro sind.

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Was Eratosthenes brauchte Fr Eratosthenes waren die beiden spitzen Winkel wichtig. Um den Erdumfang berechnen zu knnen, brauchte er den Winkel im Erdmittelpunkt, den er jedoch nicht messen konnte. Es lie sich aber der gleichgroe Winkel an der Spitze des Obelisken er- mitteln. Eratosthenes brauchte noch die Lnge des Kreisbogens, also die Entfernung zwischen Syene und Alexandria. Er kannte sie aus Angaben von Handelskarawanen, die zwischen beiden Orten ver- kehrten. In heutiger Maeinheit betrug sie 748,44 km.

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Vielen Dank fr die Aufmerksamkeit!

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Internetadresse: http://home.t-online.de/home/va.zwiesel Email: poststelle@va-zwi.bayern.de Juni 2000