ingeniería de control m.c. adrián garcía mederez capítulo 2 sesión 5 #1 capÍtulo 2 modelaciÓn...
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Capítulo 2
Sesión 5
#1
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2
MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
INGENIERÍA DE CONTROLINGENIERÍA DE CONTROL
Sesión 5Sesión 5
Objetivo:Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los conocimientos y de las habilidades necesarias para la los conocimientos y de las habilidades necesarias para la representación matemática del comportamiento de representación matemática del comportamiento de componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas completos, para que completos, para que adquiera la Competencia Competencia de Modelación de Modelación Matemática y algunas representaciones gráficas.Matemática y algunas representaciones gráficas.
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#2
GRÁFICAS O DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑALGRÁFICAS O DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL
Es una red de puntos y líneas. Los puntos (nodos) representan las variables o señales del sistema. Las líneas (ramas) representan a los elementos del sistema y mediante una flecha indican la dirección y sentido de la señal.
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Es equivalente a un diagrama de bloques, por lo tanto, proporciona la misma información.
nodosramasFunción de
Transmisión
2.5.1. Conceptos básicos.-2.5.1. Conceptos básicos.-
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• La representación gráfica en los Diagramas de Flujo de Señal se realiza por medio de nodos unidos por ramas, los nodos son variables que se representan por puntos y se nombran por letras mayúsculas si es dominio de Laplace y por letras minúsculas si es dominio del tiempo, generalmente se utiliza el dominio de Laplace.
• Las ramas se representan por líneas que unen a los puntos que representan a los nodos y llevan una punta de flecha en el centro que indica el sentido de la transmisión.
• Las ramas llevan asociada una Función de TransmisiónFunción de Transmisión que es la función matemática con que se trasmitirá la señal de un nodo a otro y si se trata del dominio del tiempo es una Función Algebraica Función Algebraica y en el dominio de Laplace se vuelve una Función de TransferenciaFunción de Transferencia.
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GRÁFICAS O DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑALGRÁFICAS O DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL
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112 XGX
)()( tt mxy
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
2.5.2. Álgebra de las gráficas o diagramas de flujo de señal.-2.5.2. Álgebra de las gráficas o diagramas de flujo de señal.-
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
mmxx(t)(t)
yy(t)(t)
11bb
yy(t)(t)=mx=mx(t)(t)+b+b
Xi
La regla de la AdiciónLa regla de la Adición
Xi=ΣAijXj
X1
X2
X3
Xk
Xn
Ai1
Ai2
Ai3
Aik
Ain
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
XX
WWYY
ZZ
33
2020
1515
X=3W; Y= 20 W y Z=15W X=3W; Y= 20 W y Z=15W XXii=A=AikikXXkk i=1, 2,…….,n k fijo i=1, 2,…….,n k fijo
XXkk
XX11
AA 1k1k XX22
XX33
XXjj
XXnn
AA 2k2k
AA 3k3k
AAjkjk
AAnknk
La regla de la TransmisiónLa regla de la Transmisión
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
La regla de la MultiplicaciónLa regla de la Multiplicación
2800028000
X= 35W Y=40X Z=20Y X= 35W Y=40X Z=20Y
WW ZZ
WW XX YY ZZ3535 4040 2020
XX11 XX22XX(n-1)(n-1) XXnn
AA2121 AAn(n-1)n(n-1)
XX11 XXnn
AA2121•• A A3232• • • •• • • •AAn(n-1)n(n-1)
XXnn=A=A2121•A•A3232•A•A4343•……•A•……•An(n-1)n(n-1)•X•X11
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Elementos de la Gráfica o DiagramaElementos de la Gráfica o Diagrama
Nodo:Nodo: Representa a una variable o señal del sistema.
Rama:Rama: Línea que conecta a dos nodos y que mediante una flecha indica el flujo de la señal.
Transmitancia:Transmitancia: Es una ganancia (equivalente a F.T.), localizada entre
dos nodos. También llamada Función de Transmisión.
Factor multiplicador de la señal de entrada a unarama.
Trayecto:Trayecto: Es una sucesión de ramas. Si el trayecto va de un nodoa otro y ningún nodo se repite más de una vez es: trayectoabierto.
2.5.3 Definiciones.-2.5.3 Definiciones.-
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Si el trayecto comienza y termina en el mismo nodoy ningún otro nodo se repite más de una vez es: trayecto cerrado.
Lazo:Lazo: Es un trayecto cerrado.
Ganancia deGanancia deLazo:Lazo: Es el producto de las ganancias de las ramas que
forman el lazo.
LazosLazosdisjuntos:disjuntos: Son lazos que no tienen nodos en común.
Elementos de la Gráfica o DiagramaElementos de la Gráfica o Diagrama
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
TrayectoTrayectoDirecto:Directo: Es un trayecto abierto que relaciona la señal de
entrada con la señal de salida.
Ganancia deGanancia deTrayectoTrayectoDirecto:Directo: Es el producto de las ganancias de las ramas que
forman el trayecto directo.
Elementos de la Gráfica o DiagramaElementos de la Gráfica o Diagrama
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Fórmula de MasonFórmula de Mason
PPK K :: Ganancia de trayecto directo, del K-ésimo trayecto directo dela gráfica.(Identificar cada trayecto directo y definir sus ganancias)
ΔΔ : : Determinante del gráfico = 1 – (Σ lazos distintos de la gráfica)+ (Σ de los productos de las ganancias de lazo de las combina-ciones posibles de dos lazos disjuntos) – (Σ de los productos de las ganancias de lazo de las combinaciones posibles de treslazos disjuntos)
KK
1K)(
)(P
1
n
s
s
R
C
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
(Identificar lazos disjuntos definiendo sus ganancias; identificar combinaciones de lazos disjuntos, definiendo el
producto de sus ganancias)
ΔΔKK : : Cofactor del K-ésimo trayecto directo.
ΔΔKK = 1; = 1; si todos los lazos son comunes al K-ésimo trayecto directo.
Si un o más lazos son disjuntos al K-ésimo trayecto directo; ΔΔKK = 1 = 1 – (Σ de las ganancias de los lazos disjuntos al K-ésimo trayecto directo)
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Solución de una Gráfica de Flujo de SeñalSolución de una Gráfica de Flujo de Señal
astrayectoridendonde
n
s
s
R
C#:,
1K)(
)(KKP
1?
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
1. Trayecto(s) directo(s) y sus ganancias:1. Trayecto(s) directo(s) y sus ganancias:
543214321 GGGGGCXXXRXP 1K
5461431 GGGGCXXRXP 2K
72121 GGGCXRXP 3K
2. Lazos distintos y sus ganancias:2. Lazos distintos y sus ganancias:
143431 HGXXXL
25432143212 HGGGGCXXXXXL
265414313 HGGGCXXXXL
2721214 HGGCXXXL
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
3. Lazos disjuntos:3. Lazos disjuntos:
4. Determinante:4. Determinante:
4y1 LL
)LL()LLLL(1 4*14321
)HGG)(HG()HGGHGGGHGGGGHG(1 2721427226542543214
)HHGGGHGGHGGGHGGGGHG1 2174227226542543214
5. Cofactores:5. Cofactores:
1P 1K1K
1ΔP 2K2K
14141 HG1)HG(1)L(1ΔP 3K3K
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
6. F.T.=Salida/Entrada:6. F.T.=Salida/Entrada:
2174227226542543214
14721654154321
(s)
(s)
HHGGGHGGHGGGHGGGGHG1
)HG(1GGG(1)GGGG(1)GGGGG
R
C
3K3K2K2K1K1K PPP
R
C
(s)
(s)
2174227226542543214
17421721654154321
(s)
(s)
HHGGGHGGHGGGHGGGGHG1
HGGGGGGGGGGGGGGGG
R
C
Resultado:Resultado:
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Diagramade Bloques
Gráfica de Flujo de Señal
Comprobación de la Gráfica de Flujo de Señal transformándola a Diagrama Comprobación de la Gráfica de Flujo de Señal transformándola a Diagrama de Bloques y simplificándolo utilizando el Método del Álgebra de Bloques:de Bloques y simplificándolo utilizando el Método del Álgebra de Bloques:
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Diagrama de Bloques
Comprobación de la Gráfica de Flujo de Señal transformándola a Diagrama Comprobación de la Gráfica de Flujo de Señal transformándola a Diagrama de Bloques y simplificándolo utilizando el Método del Álgebra de Bloques:de Bloques y simplificándolo utilizando el Método del Álgebra de Bloques:
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Aplicando la Regla 6Aplicando la Regla 6 Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
1er. Transformación
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
2a. Transformación
Aplicando la Regla 3Aplicando la Regla 3
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
3er. Transformación
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
4a. Transformación
Aplicando la Regla 3Aplicando la Regla 3
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CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
5a. Transformación
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 86a. Transformación
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
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2174227226542543214
17421721654154321
(s)
(s)
HHGGGHGGHGGGHGGGGHG1
HGGGGGGGGGGGGGGGG
R
C
Resultado de la Gráfica de Flujo de Señal:Resultado de la Gráfica de Flujo de Señal:
Comprobación –mismo resultado
Resultado del Diagrama de Bloques:Resultado del Diagrama de Bloques:
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En la Figura siguiente se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control automático en su forma canónica
G(s)
H(s)
R(s)
B(s)
E(s) C(s)
El diagrama de flujo de señal puede construirse fácilmente a partir de la Figura anterior y lo tenemos en la Figura siguiente. Nótese que los signos + o – del punto de suma del diagrama de bloques se asocian con H en el Diagrama de flujo de señal.
CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL
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#24
CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL
El Diagrama de Flujo de Señal de un sistema descrito por un conjunto de ecuaciones simultaneas puede construirse de la forma general siguiente:
Regla 1.- Escriba el sistema de ecuaciones en la forma:
nmnmmm
nn
nn
XAXAXAX
XAXAXAX
XAXAXAX
2211
22221212
12121111
Regla 2.- Ordene los m ó n (el mayor de los dos) nodos de izquierda a derecha. Los nodos pueden reacomodarse si los lazos requeridos más tarde parecen demasiado complicados.
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Sesión 5
#25
Regla 4.- Si el nodo de salida deseado tiene ramas saliendo de él, agregue un nodo ficticio y una rama de ganancia unitaria.
Regla 5.- Reacomode los nodos y/o lazos en el diagrama de flujo de señales para lograr la máxima claridad gráfica.
Regla 3.- Conecte los nodos con ramas apropiadas de acuerdo a las ecuaciones
CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL
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