ingenierÍa de control i dra. nancy visairo...

Dra. Nancy Visairo Cruz

INGENIERÍA DE CONTROL I

Tema 1. Introducción a los sistemas de control

1.1 Definiciones y clasificación de control

1.2 Retroalimentación

1.3 Transformada de Laplace, funciones de

transferencia y diagramas de bloques

1.4 Respuesta transitoria y transformada

inversa de Laplace

Contenido

Fallas

Procesamiento de señales

Decisión

Cambio de operación

Paro de operación

Evaluación de la señal

Alarma

Protección

Detección de cambios

Diagnóstico de fallas

Evaluación de fallas

Reparación

Mantenimiento

Reconfi- guración

Control

Mediciones

U W

Esquema de supervisión Clase de daño Fallas Síntomas

Acciones

Y

Monitoreo

Supervisión con diagnóstico de fallas

Planta

Supervisón: Monitorear un sistema físico y tomar acciones

apropiadas para mantener la operación en el caso de fallas.

Monitoreo: Una tarea en tiempo real continua para

determinar las condiciones de un sistema físico registrando la

información y reconociendo e indicando anomalías en el

comportamiento.

Protección: En el caso de un comportamiento peligroso se

suspende el proceso para evitar consecuencias peligrosas.

CONTROL: Significa medir el valor de una variable

controlada del sistema y aplicar una variable manipulada para

corregir o limitar una desviación del valor medido, respecto

del valor deseado.

Definiciones básicas

La sociedad depende de procesos tecnológicos complejos.

Sistemas de manufactura deben satisfacer correctamente su propósito para asegurar una producción eficiente y de alta calidad.

La economía y vida diaria dependen de grandes redes de distribución de eléctrica y sistemas de transporte donde es necesaria la calidad y un buen desempeño del sistema global.

Importancia de sistemas controlados

Sistemas tecnológicos son vulnerables a fallas.

Actuadores reducen el desempeño de los sistemas de control.

Lecturas erróneas de los sensores causan que los puntos de operación estén lejos de los óptimos.

Importancia de sistemas controlados

SISTEMA DE CONTROL Objetivos Resultados

Objetivos de control: entradas, señales actuantes (u)

Sistema de Control: Planta o proceso

Resultados: Salidas

Definiciones básicas

Planta: es un equipo cuyo objetivo es realizar una operación

determinada. En control se llama planta a cualquier objeto que

deba controlarse.

Perturbación: Es una señal que tiende a afectar adversamente

el valor de la salida de un sistema.

Proceso

controlado

Entrada de

referencia

r

Variable

controlada

y

Controlador

Variable

manipulada

u

Sistemas controlados en lazo abierto

Características:

• Simplicidad

• Pobre desempeño

V ref

+

-

e(t) CONTROLADOR PLANTA

y(t) u(t)

TRANSDUCTOR

V s

Sistemas controlados en lazo cerrado

Características:

• Relativamente insensible a perturbaciones

• Robusto a variación de parámetros

Se define como la relación que existe entre la transformada de

Laplace (TL) de la salida y la TL de la entrada bajo la suposición

de que todas las condiciones iniciales son cero

.

.

.

.

.

.

u1

u2

un

y1

y2

yn

G(s)

Función de transferencia

)()(

...)()(

)()(

...)()(

01

11

011

1

1

1

tubdt

tdub

dt

tudb

dt

tudb

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyd

m

n

mm

m

m

m

n

n

n

n


1 11 1 0 1 1 0... ( ) ( ... ) ( )n n m m

n m ms a s a s a Y s b s b s b s b U s

La función de transferencia se obtiene tomando la TL con c. i. cero:

Sea el sistema lineal invariante en el tiempo:

La representación externa Entrada – Salida del sistema queda

expresada como:

01

1

1

01

1

1

...

...

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sU

sYsG

n

n

n

m

m

m

m


)(

)()(

sU

sYsG

G(s) Y(s) U(s)

Las raíces del numerador se conocen como los CEROS

Las raíces del denominador conocen como los POLOS

Propiedades:

Está definida únicamente para sistemas lineales invariantes en

el tiempo

Las condiciones iniciales del sistema son cero

La función de transferencia es independiente de la entrada del

sistema

La función de transferencia se obtiene usualmente en función

de la variable s cuya parte imaginaria es la frecuencia.


Definiciones importantes:

Función de transferencia estrictamente propia: si el grado del

polinomio del numerador es mayor que el del numerador (n>m)

Función de transferencia propia: si n = m

Función de transferencia impropia: si n<m

Ecuación característica: es la ecuación que se obtiene al hacer el

denominador de la FT igual a cero


Transformada de Laplace

Ec. diferencial

para y(t)

Ec. algebraica

para Y(s)

Transformada

Y(s)

Función del

tiempo y(t)

Transformada de

Laplace

Transformada

inversa de

Laplace

Transformada inversa de Laplace

Considere la función de transferencia con polos reales y distintos

1 2

1 2

( ) ( )( )...( )( )

( ) ( )( )...( )

m

n

Y s s z s z s zG s

U s s p s p s p

1

1 1 0

1

1 1 0

( ) ...( ) ,

( ) ...

m m

m m

n n

n

Y s b s b s b s bG s m n

U s s a s a s a

1 2

( )( )

( ) n

Y s A B NG s

U s s p s p s p


Considere la función de transferencia con polos reales y distintos

2

( ) 3 3( ) =

( ) 3 2 ( 1)( 2)

Y s s sG s

U s s s s s

( ) 2 1( )

( ) 1 2

Y sG s

U s s s

2( ) 2 t tg t e e


Considere la función de transferencia con polos complejos conjugados

1 2

2 2

( ) ( )( )...( )( )

( ) ( )...( )

mY s s z s z s zG s

U s s as b s ps q

1

1 1 0

1

1 1 0

( ) ...( ) ,

( ) ...

m m

m m

n n

n


U s s a s a s a

2 2

( )( )

( ) ( ) ( )

Y s As B Ps QG s

U s s as b s ps q


Considere la función de transferencia con polos complejos conjugados

2

( ) 2 12 2 12( )

( ) 2 5 ( 1 2 )( 1 2 )

Y s s sG s

U s s s s j s j

( ) 5 (2 ) 2 cos(2 ) 0t tg t e sen t e t t

2 2 2

2 2 2 2

( ) 2 12 10 2( 1)( )

( ) 2 5 ( 1) 2

2 1 5 2

( 1) 2 ( 1) 2

Y s s sG s

U s s s s

s

s s


Considere la FT con polos repetidos

1 2

1

1 2

1 1

( ) ( )( )...( )( )

( ) ( )

( )( )...( )

( ) ( )

m

n

m

Y s s z s z s zG s

U s s p

s z s z s z

s p s p

1

1 1 0

1

1 1 0

( ) ...( ) ,

( ) ...

m m

m m

n n

n


U s s a s a s a

1

1 1 1

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )n n

Y s A B NG s

U s s p s p s p


Considere la FT con polos repetidos

2

3 3 2

( ) 2 3( )

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

Y s s s A B CG s

U s s s s s

2 2( ) = ( +1) 0t t tg t t e e e t t

2

3 3 2

( ) 2 3 2 0 1( )

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

Y s s sG s

U s s s s s


Solución de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo

( ) 2 ( ) 5 ( ) 3, (0) 0; (0) 0x t x t x t x x

2

2 2

3( ) 2 ( ) 5 ( )

3( )

( 2 5) 2 5

s X s sX s X ss

A Bs CX s

s s s s s s


Solución de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo

2

2 2 2 2

3 65 1 5 5( )3 2 5

5 1 3 2 3 1

3 10 ( 1) 2 5 ( 1) 2

sX s

s s s

s

s s s

3 3 3( ) (2 ) cos(2 ) 0

5 10 5

t tx t e sen t e t t

Diagrama de bloques

Es una representación gráfica de las funciones realizadas por

cada componente y del flujo de las señales.

Procedimiento para trazar diagramas de bloques:

Escribir las ecuaciones que describen el comportamiento

dinámico de cada componente

Cada TL representa individualmente un bloque.

Hacer la transformada de Laplace de cada ecuación con c.i. = 0

Se integran los elementos en un diagrama de bloques completo

G2(s) U(s)

G1(s)

Sistema en cascada

Diagrama de bloques

Y(s)

1 2

( )( ) ( )

( )

Y sG s G s

U s

Sistema en paralelo

G2(s)

G1(s) U(s) Y(s) +

+

1 2

( )( ) ( )

( )

Y sG s G s

U s

G1 G2

G3

+C1

-

C

C2

R1

R2

M

1 2C G M 1 1M G R 2 3 2C G R

1 2 1 3 2C G G R G R

Punto suma

Diagrama de bloques

+ -

CONTROLADOR PLANTA

TRANSDUCTOR

Sistemas en lazo cerrado

R(s)

G1(s)

Y(s)

1 2

1 2 3

( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

G s G sY s

R s G s G s G s

G2(s)

G3(s)

Diagrama de bloques

+ -

Sistemas en lazo cerrado sometido a una perturbación

En un sistema lineal, cada entrada puede tratarse de forma independiente y

las salidas correspondientes se pueden sumar para obtener la salida total

R(s) G1(s)

Y(s)

21

1 2 3

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

N RY s Y s Y s

G sG s R s N s

G s G s G s

G2(s)

G3(s)

Diagrama de bloques

+ +

N(s)

2

1 2 3

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

NY s G s

N s G s G s G s

1 2

1 2 3

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

RY s G s G s

R s G s G s G s

Diagrama de bloques

G1

H1

+ - + +

+ -

Y(s) R(s)

H2

Obtenga la función de transferencia por medio de la reducción de

bloques Y(s)/R(s)

G2

G1

H3

G2 G3 G4

H1 H2

+ + + + - - U(s) Y(s)

Diagrama de bloques


bloques Y(s)/U(s)

H2

G1 G2 G3

H1

+ + + + -

- U(s) Y(s)

Diagrama de bloques


bloques Y(s)/U(s)

Modelado de sistemas eléctricos

Las leyes básicas que rigen a los circuitos eléctricos son las leyes de

voltaje y de corriente de Kirchhoff:

• Para corriente, la suma algebraica de todas las corrientes que

entran y salen de un nodo es cero.

• Para voltaje, la suma algebraica de las tensiones a lo largo de una

malla es cero en cualquier instante.

Procedimiento:

• Definir la entrada y salida de la función de transferencia

• Aplicar las leyes de Kirchhoff

• Aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones con c.i. 0

• Manipular algebraicamente para obtenerla


( ) 1( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )LL C C R R

di tv t L v t i t dt v t Ri t

dt C

Otra alternativa: Considere el circuito con impedancias complejas

• Defina la entrada y la salida de la función de transferencia

• Resuelva por un divisor de voltaje


1; z ; zL C Rz Ls R

Cs


0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

10

20

vo

lta

je (

Vo

lts)

Resultados con el diagrama del circuito RLC serie

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

10

20

vo

lta

je (

Vo

lts)

Resultados con la función de transferencia del circuito RLC serie

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-4

-2

0

2x 10

-14

tiempo (seg)

vo

lta

je (

Vo

lts)

Error entre los resultados

vc(t)

vi(t)

vi(t)

vc(t)

2 1 1 21 2

1 2 1 2 1 1 2 1 1 2

( )( )

R L s R RG s

R R L C s R L R L s R R


Respuestas de la tarea

2 3 2 32 2

2 2 1 3 2 1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 1 1 3

( )( ) ( ) ( )

R R C s RG s

R C L R C L s R R C R R C R R C L s R R

3 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1( )

( ) 1G s

R R C C s R C R C R C s

Modelado de sistemas mecánicos

•Grúas

•Brazos de robots

•Sistemas

mecánicos

rotatorios

•Barcos


SISTEMAS TRASLACIONALES

La ley que rige los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton

∑fuerzas es la suma de todas las fuerzas aplicadas a cada cuerpo (N)

M es la masa del cuerpo (kg)

a es el vector de la aceleración de cada cuerpo (m/s2)

Se define en términos de aceleración, velocidad y desplazamiento

Sus partes básicas son masas, resortes y amortiguadores

Mafuerzas

f(t)

y(t)

dt

tdvM

dt

tydMtMatf

)()()()(

2

M


1. Masa: Es la propiedad de un elemento de almacenar

energía cinética del movimiento de traslación (análogo a la

inductancia)


2. Resorte: La fuerza en un resorte ideal es proporcional a su

estiramiento y, es un elemento que almacena energía

potencial, su análogo eléctrico es un capacitor

( ) ( )f t ky t k constante de rigidez del resorte (N/m)

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ( ) ( ))

k

k

f t k y t x t

f t k y t x t

b

k

x y

m1 m2 u

Para m1 , la fuerza ejercida por el resorte es:

Para m2 ,la fuerza ejercida por el resorte es:


3. Amortiguador: La fuerza de un amortiguador es

proporcional a la velocidad con la cual se comprime o

descomprime ( )

( )dy t

f t bdt

b constante de amortiguamiento

( ) ( )( )

( ) ( )( )

b

b

dy t dx tf t b

dt dt

dy t dx tf t b

dt dt

b

k

x y

m1 m2 u

Para m2 , fuerza ejercida por el

amortiguador:

Para m1 , fuerza ejercida por el

amortiguador:

Existen 3 tipos de fricción: Fricción viscosa, fricción estática y

fricción de coulomb


3. Fricción: La fuerza producida por una fricción también es

proporcional a la velocidad

Modelado de sistemas mecánicos Procedimiento:

• Definir las coordenadas adecuadas para el movimiento del

cuerpo –posición, velocidad y aceleración- que determinan las

fuerzas que actúan sobre él

• Hacer los diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo

• Escribir las ecuaciones de movimiento

• Obtener la transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes

• Manipular algebraicamente para obtener la Función de

transferencia


Suponga que se tiene

M u

Se supone que la inercia rotacional de las ruedas es despreciable y

que una fricción retarda el movimiento del carro

x

M u bf bx

u bx Mx

Ecuación de movimiento

Diagrama de cuerpo libre


Considere dos masas interconectadas por un resorte y un

amortiguador

b

k

x y

m1 m2 u

•La fuerza del resorte actúa sobre ambas masas en proporción

a sus desplazamiento relativos

•El amortiguador ejerce una fuerza sobre cada masa

proporcional a su velocidad relativa


Diagramas de cuerpo libre

x

m1 u

y

m2

( )k

b

f k y x

f b y x

( )k

b

f k y x

f b y x

1( )u k y x b y x m x

2( )k y x b y x m y

Ecuaciones de movimiento


1

2

( )

( )

u k y x b y x m x

k y x b y x m y

2

1

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

U s kY s kX s bsY s bsX s m s X s

kY s kX s bsY s bsX s m s Y s

Ecuaciones de movimiento

Transformada de Laplace con c. i. = 0

Se define u(t) como entrada y y(t) como salida, la función de

transferencia queda como:

4 3 2

1 2 1 2 1 2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Y s k bs

U s m m s b m m s k m m s

b k

y1 y2

m1 m2 u

x1

x0

y

k1

k2

b1

b2

Obtenga las ecuaciones de movimiento del siguiente sistema,

considere que la fricción de las llantas es despreciable.


.

.

. . C2

R2 R1

v1 v0

C1

Obtenga las funciones de transferencia de cada uno de los sistemas

X0/X1 y V0/V1, respectivamente y demuestre que las FT son

idénticas

SISTEMAS ROTACIONALES

Considere el sistema que consiste en una carga inercial y un

amortiguamiento de fricción viscosa

J es el momento de inercia de la carga, Kg-m2

es la aceleración angular de la carga, rad/s2

T es el par aplicado al sistema, N-m (torque)


T J

T

J

b


Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ECUACIÓN

DE MOVIMIENTO

( ) ( ) ( )J t b t T t

donde

J es el momento de inercia de la carga, Kg-m2

b es el coeficiente de fricción viscosa, N-m/rad/s

Es la velocidad angular, rad/s

T es el par aplicado al sistema, N-m (torque)


Se puede reescribir como

( ) ( ) ( )J t b t T t

Considerando como entrada T(t) y salida (t) se puede obtener la

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

( ) 1

( )

s

T s Js b

Ω(s) T(s) 1

Js b

MODELADO DEL MOTOR DE CD

El motor se compone de una parte eléctrica y otra mecánica.

El torque en el rotor se expresa en términos de la corriente de

armadura y una constante del motor km

que proviene de la ecuación básica de uso de un campo magnético

para convertir energía eléctrica a partir de una fuente de corriente i

en energía mecánica haciendo que la fuerza F trabaje en algún

objeto mecánico (ley del motor)

l longitud del conductor, m

B campo de intensidad, Teslas


m aT k i

F Bli

MODELADO DEL MOTOR DE CD

Para expresar el voltaje generado se considera la velocidad

rotacional del eje d/dt y una constante del generador kg

que se obtiene de la ley del generador que establece que un

conductor de longitud l se mueve a una velocidad v a través de un

campo constante B en ángulo recto a la dirección del campo,

entonces, el voltaje en sus extremos está dado por

l longitud del conductor, m

B campo de intensidad, Teslas

v velocidad, m/s


ge k

e Blv

Y(s) R(s) ( )G s

Sistemas con retroalimentación

Característica de la respuesta transitoria y estabilidad

Base de comparación del comportamiento de diversos sistemas de

control:

•Sistemas de primer orden

•Sistemas de segundo orden

Señales de prueba:

o Rampa: para entradas que cambian gradualmente

o Escalón: si el sistema está sujeto a cambios repentinos

o Impulso: Si el sistema está sujeto a entradas de choque

Relación entre la ecuación característica y la estabilidad

Caso 1

)3)(2)(1(

20)(

ssssG

Ecuación

característica

La ecuación característica

tiene 3 polos ubicados en

s=-1; s=-2 y s=-3


Característica de la respuesta transitoria y estabilidad

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.3 0.52 0.7 0.82 0.9 0.95

0.978

0.994

0.3 0.52 0.7 0.82 0.9 0.95

0.978

0.994

0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5

Ubicacion de Polos

Eje Real

Eje

Im

ag

ina

rio

Cómo quedan ubicados los polos en el plano


Característica de la respuesta transitoria

0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Cómo es su respuesta ante un escalón



Caso 2

1

1)(

2

ssG

Ecuación

característica


tiene 2 polos ubicados en

s=-j y s=j




-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.16 0.34 0.5 0.64

0.76

0.86

0.94

0.985

0.16 0.34 0.5 0.64

0.76

0.86

0.94

0.985

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis




800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600-0.5

0

0.5

1

1.5

2



Caso 3

1

1)(

ssG

Ecuación

característica


tiene 1 polo ubicado en

s=1




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Root Locus

Real Axis

Ima

gin

ary

Axis



0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5




Sistemas de primer orden

1 21/

( )1/ 1/

K KTC s

s s T s s T

1

0

1/1

1/ s

TK

s T

2

1/

1/1

s T

TK

s

/( ) 1 t Tc t e

R C1

1Ts

Para una entrada escalón unitario R(s) = 1/s

-1/T 0

El primer término es la solución forzada debida a la entrada,

y el segundo es la solución transitoria debida a los polos del sistema.



T 4T

0.632

1

t

/( ) 1 t Tc t e

T 4T

0.368

1

/t Te

t

Constante de tiempo: Es el tiempo en segundos en que la respuesta se reduce al 36.8% de su

valor inicial.

La constante de tiempo de un sistema de primer orden 1/(Ts +1) es T segundos

El sistema toma 4T segundos para que la respuesta permanezca dentro del 2% del valor final.

Características importantes:

Para estabilidad, el polo – 1/T debe estar en el semiplano izquierdo del plano s.

Para incrementar la velocidad de respuesta del sistema (reducir su constante de tiempo T),

el polo -1/T debe moverse hacia la izquierda.




2

2 2

1 1 1( )

1 1

T TC s

Ts s s s Ts

/( ) t Tc t t T e

R C1

1Ts

Para una entrada rampa unitaria R(s) = 1/s2

-1/T 0



/

( ) ( ) ( )

(1 )t T

e t r t c t

T e



Conforme T tiende a ∞, se aproxima a cero; por lo tanto, e(∞)=T.

El error es igual a T para una t suficientemente grande.

Cuanto más pequeña sea T, menor será el error en estado estacionario.

/t Te

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

y(t) respuesta o salida

r(t) entrada rampa

error en estado estacionario

T

T

T


1( )

1C s

Ts

/1( ) t Tc t e

T

R C1

1Ts

Para una entrada impulso unitario R(s) = 1

-1/T 0



2

2 2( )

2

n

n n

G ss s

n = Frecuencia natural no amortiguada

= Razón de amortiguamiento

Para una entrada escalón unitario R(s) = 1/s, la transformada de la salida es:

2

2 2( )

2

n

n n

C ss s s

Hay tres posibilidades, dependiendo de las raíces de la ecuación característica del sistema

2 22 0n ns s

Los polos del sistema dependen de :

2

1,2

1,2

2

1,2

1: Sobreamortiguado: 1

1: Críticamente amortiguado:

1: Subamortiguado: 1

n n

n

n n

s

s

s j

2

1,2 1n ns

Sistemas de segundo orden



j

21nj

n

n

n

Para los polos están en ambos lados de 1 n

Para los polos coinciden en 1 n

Para los polos se mueven a lo largo del

círculo de radio centrado en el origen 1

n

1/ 2

22 2

1,2 1n n ns

cos La razón de amortiguamiento

Para , cuando los polos son reales y distintos

la respuesta transitoria es la suma de dos

exponenciales que decaen, cada una con su

constante de tiempo. La exponencial

correspondiente al polo más cercano al origen

tiene la constante de tiempo más grande y toma

más tiempo en decaer. Éste es llamado POLO

DOMINANTE, y para incrementar la velocidad

de respuesta se debe mover a la izquierda.

1




0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0.1

0.2

0.4

0.7

1.0

2.0

8nt

( )c t




Constante de tiempo T: Es el tiempo en segundos para que la amplitud de la oscilación

decaiga de su valor inicial: . Por lo tanto 1e 1nte e

1

n

T

Análogo a un primer orden, la amplitud decae al 2 % de su valor inicial

en 4T segundos

Correlaciones entre el comportamiento dinámico y la posición de los polos

1. Estabilidad absoluta: La parte real de los polos debe ser negativa para que el transitorio

decaiga. Los polos deben estar en la parte izquierda del plano s.

2. Estabilidad relativa: Para evitar sobretiros excesivos y comportamientos oscilatorios

indebidos , la razón de amortiguamiento debe ser adecuada.

3. Constante de tiempo: Se reduce incrementando la parte real de los polos.

4. Velocidad de respuesta: Se incrementa ampliando la distancia de los polos al origen.

5. Frecuencia natural no amortiguada : Es igual a la distancia de los polos al origen.

Moviendo los polos radialmente ( constante) se incrementa la velocidad de respuesta

mientras que el porcentaje de sobretiro se mantiene constante .

6. Frecuencia de oscilaciones transitorias : Esta frecuencia, también llamada

frecuencia de resonancia o frecuencia natural amortiguada, es igual a la parte imaginaria de

los polos.

n

n

n

21n




Ejemplo

2

2 2( )

3 2 1 2G s

s s s s

Para una entrada escalón unitario

31 22

( )1 2 1 2

KK KC s

s s s s s s

2( ) 1 2 t tc t e e

Las constantes de tiempo T1 = 1 y T2 = 0.5 se pueden predecir

por inspección del diagrama de polos y ceros.

(T2 = 0.5) (T1 = 1)

-1-2

Polo dominante







Asuma que el sistema es subamortiguado

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t

)

5%2%

tolerancias permitidas

Mp

td

0.5

tr

tp

ts

Tiempo de retardo td

Tiempo de subida tr

Tiempo pico tp

Tiempo de asentamiento ts

Sobreimpulso Mp

2

1

1

1tan con

4 4 (criterio del 2%)

3 3 (criterio del 5%)

d

dr n

d

p

d

p

s

n

s

n

t

t

M e e

t

t




Las especificaciones se dan en términos del factor de

amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada.

Mp se determina con

ts se determina con n

La duración de la respuesta

transitoria se puede variar sin

modificar el sobreimpulso máximo

Métodos para calcular la estabilidad de un sistema

1. Criterio de Routh Hurwitz: Representa un

método para determinar la localización de los polos

de un polinomio con coeficientes constantes reales

con respecto al semiplano izquierdo o derecho del

plano complejo s, sin obtener los ceros

Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz

Tabulación de Routh

Considerar la siguiente ecuación característica de un sistema

lineal SISO e invariante en el tiempo

1 2 3 2

1 2 3 2 1 0( ) 0n n n n

n n n nF s a s a s a s a s a s a s a

Se deben ordenar los coeficientes de la ecuación anterior en

dos renglones. En el primero van el primero, tercero,

quinto,…, coeficientes y en el segundo van el segundo, cuarto,

sexto,…, coeficientes, todos contados desde el término de

orden más alto

2 4 6

1 3 5 7

n n n n

n n n n

a a a a

a a a a


El siguiente paso es formar el arreglo de ecuaciones en la

siguiente forma: suponer una ecuación de sexto orden

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6 asasasasasasa

0000

000

0000

000

00

0

00

01

002

5051533

0

5

605

5

1625

5

36454

135

5

0246

6

F

EFas

FE

CaEDs

C

ACa

C

ACaE

C

ADBCs

A

aAD

A

aaAaC

A

BaAas

aa

aaaB

a

aaaaA

a

aaaas

aaas

aaaas


De la tabulación anterior, el último paso en la aplicación

del criterio es:

Investigar los signos de los coeficientes de la primera

columna (sombreada) y se obtienen las siguientes

conclusiones:

•Las raíces de la ecuación están todas en el semiplano

izquierdo del plano s si todos los elementos de la primera

columna de la tabulación de Routh son del mismo signo.

•El número de cambios de signos en los elementos de la

primera columna es igual al número de raíces con partes

reales positivas en el semiplano derecho de s.


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Root Locus

Real Axis

Imag

inary

Axi

s

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Root Locus

Real Axis

Imag

inary

Axi

s

2

1( )

3 2H s

s s

2

1( )

3 2H s

s s


Ejemplo 1. Considere la siguiente ecuación

065.2

)0)(4()6)(5.2(

05.24

)1)(6()1)(4(64

11

0

1

2

3

s

s

s

s

Cambio de signo


El sistema no es estable porque hay dos cambios de signo

Ejemplo 2. Considere la siguiente ecuación

010532 234 ssss

0010

0043.67

)10)(1()5)(7(

01071

)5)(2()3)(1(051

1032

0

1

2

3

4

s

s

s

s

s

Cambio de signo


El sistema no es estable porque hay dos cambios de signo

Casos especiales:

1) Cuando el primer elemento en cualquiera de los renglones de

la tabulación es cero.

Solución: se propone un número arbitrario pequeño y positivo

y después se continúa con el arreglo.

1) Cuando los elementos en un renglón son todos cero

Solución: los coeficiente del renglón con ceros se sustituye

por los coeficientes de la derivada del polinomio formado con

el renglón anterior y se continúa con el arreglo.


Ejemplo Caso 1. Considere la siguiente ecuación

0322 234 ssss

031

)3)(1(0

1

)2)(1()2)(1(021

321

2

3

4

s

s

s

Como en la fila de s2 hay un cero, en la fila correspondiente a s1

todos los coeficientes darían infinito. Es en este caso, se usa el

número positivo


0322 234 ssss

003

003)3)(1())(2(

03

021

321

0

1

2

3

4

s

s

s

s

s

Continuación…..

Cambio de signo

Cambio de signo


Caso especial 2: queda un renglón de ceros

Solución:

a) Formar la ecuación auxiliar A(s)=0 mediante el uso de los

coeficientes del renglón que se encuentra justo antes del renglón

de ceros.

b) Tomar la derivada de la ecuación auxiliar con respecto de s, esto

es: dA(s)/ds=0

c) Reemplazar el renglón de ceros con los coeficientes de

dA(s)/ds=0

d) Continuar con la tabulación de Routh en la forma usual con le

nuevo renglón de coeficientes reemplazando el renglón de ceros

e) Interpretar en la forma usual el cambio de signos.


Ejemplo Caso 2. Considere la siguiente ecuación

047884 2345 sssss

000

044

066

484

781

1

2

3

4

5

s

s

s

s

s

Renglón

de ceros

• Se forma el polinomio

A(s)=0=4s2+4s

• Se obtiene la derivada:

08)(

sds

sdA

Con la derivada se sustituye el renglón de ceros, entonces la tabla

queda de la siguiente forma


Continuación…..

047884 2345 sssss

004

008

044

066

484

781

0

1

2

3

4

5

s

s

s

s

s

s

08)(

sds

sdA


Este criterio puede ayudar a encontrar los coeficientes para

estabilidad de un controlador en lazo cerrado.

Sea el sistema siguiente:

6

1

)3)(2(

12

ssss

Kp

U(s) Y(s)

+

-


Se desea conocer el valor mínimo de Kp para garantizar estabilidad

al sistema en lazo cerrado

La función de transferencia en lazo cerrado es:

KpsssGsH

sG

sU

sY

6

1

)()(1

)(

)(

)(2

2 1 ( 6 )

1 1 0

0 ( 6 ) 0

6 0 6

s Kp

s

s Kp

Kp Kp

Esta condición deberá

cumplirse para que no

haya cambio de signo



1.-Considere el sistema de control

2

( )

( ) ( 1)( 2)

Y s k

U s s s s s k

Determine el intervalo de k que hace estable el sistema.

2.-Determine el intervalo de k que hace estable el sistema con la

siguiente ecuación característica

4 3 22 (4 ) 9 25 0s s k s s

+ -

CONTROLADOR PLANTA R(s)

G1(s)

Y(s)

G2(s)


E(s) U(s)

Proporcional ( ) ( ) ( ) ( )

Integral ( ) ( ) ( ) ( )

( )Derivativo ( )

p p

ii

d

u t k e t U s k E s

ku t k e t dt U s E s

s

de tu t k

dt

( ) ( )

PI ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )PID ( ) ( ) ( ) ( )

d

ip i p

ip i d p d

U s k sE s

ku t k e t k e t dt U s k E s

s

kde tu t k e t k e t dt k U s k k s

dt s

( )E s

Análisis de la respuesta en frecuencia: DIAGRAMAS DE

BODE Supóngase la siguiente entrada:

tXsentx )(

La función de transferencia puede escribirse

como:

)())((

)(

)(

)()(

321 ssssss

sp

sq

spsG

La transformada de Laplace de la salida es:

)()(

)()()()( sX

sq

spsXsGsY

Diagramas de Bode


BODE Al llegar el sistema al estado estacionario y sustituyendo s =

j MMejG j)(

Ejemplo:

1)(

1)(

jT

KjG

j por sdosustituyen

Ts

KsG

221)(

T

KjG

TjG 1tan)(

Magnitud

Fase


BODE

Un diagrama de Bode está formado por dos gráficas:

una es la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función

de transferencia y la otra es la gráfica del ángulo de fase;

ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica

ingenierÍa de control i dra. nancy visairo...

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