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Ingeniería de control ITRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA Ingeniería de Control I ________________________________________________________________________________________
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M.Sc., Ing. Raúl Benites Saravia
1
Capítulo 1
Introducción a Sistemas de Control Digital El desarrollo y uso de computadores digitales cada vez más potentes, veloces y
económicos, han sido decisivos para el empleo de técnicas digitales para el control de
sistemas dinámicos, como por ejemplo, el control ‘inteligente’ en robots industriales, la
optimización económica en el uso de combustible en los automóviles, refinamiento en la
operación de equipos de uso doméstico, sistema de pilotaje de aviones, etc.
1.1 Sistemas de Control Digital
El esquema básico de un sistema de control digital, se muestra en la figura 1.1. El sistema
incluye un control prealimentado y realimentado. La estrategia de control a usar dependerá
del diseñador, en función a una determinada aplicación.
y
Salida r
Refer.
Muestreador
y
A/D
Computadora
Digital
D/A
y
retenedor Actuador
Planta
Transductor
o
sensor
Filtraje
-
n
Ruido
Controlador
Prealimentado
Perturbación
O
ruido
Controlador digital
Figura 1.1: Diagrama de bloques de un sistema de control digital.
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1.2 Muestreo y Retención
El proceso de muestreo es sumamente útil en sistemas de control donde se usa un
controlador digital. El muestreo de señales consiste en tomar muestras en puntos discretos
de tiempo, que luego son cuantificadas por un proceso de retención, para luego pasar a un
convertidor analógico/digital, produciéndose su conversión en códigos binarios. Tales
códigos, denominados también datos binarios pueden ser procesados por el computador,
para producir una determinada decisición.
En la gran mayoría de las aplicaciones de control realimentado, los procesos o plantas
(por naturaleza) utilizan actuadores que son controlados por señales analógicas, situación
que hace necesario la reconversión de la señal digital hacia analógico. Tal propósito se
logra por un proceso de conversión digital/analógico (D/A) y luego por un retenedor, que
haga posible la reconstrucción de la señal analógica, la cual excita al actuador controlando
directamente el proceso. En la figura 1.2 (a) se muestra un diagrama de bloques de un
sistema de adquisición de datos, y en la figura 1.2 (b) se muestra un diagrama de bloques de
un sistema de reconstrucción de la señal analógica.
PC
Computadora de Procesos
Microcontrolador
DSP
Implementación del
algoritmo de control
Al
actuador
Del controlador
o PC
Variable física
Transductor
Amplifica-
dor
Filtro
pasa-bajo
Multiplexor
Analógico
Muestreador
y retenedor
Convertidor
A/D
Al controlador digital
o PC (a)
Registro
Demultiplexor
Convertidor
D/A
Retenedor
(b)
Figura 1.2: a) Diagrama de bloques de un sistema de adquisición de datos;
b) diagram de bloques de un sistema de reconstrucción de señal analógica.
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Es importante anotar que la selección del periodo de muestreo T es determinante en los
resultados del sistema de control digital. Debemos recordar, por Nyquist, que la frecuencia
de muestreo debe ser
)1.1(2 ms ff
donde Fs es la frecuencia de muestreo y fm es la frecuencia máxima de la señal a ser
muestreada. Información amplia sobre sistemas de adquisición de datos y reconversión
analógica puede encontrarse en cualquier texto de control digital o control en tiempo
discreto (véase [5]).
La figura 1.3 muestra el proceso de muestreo y retención de la señal analógica u ,
permitiendo la reconstrucción de la señal por aproximaciones rectangulares.
La función de transferencia del retenedor de orden cero viene dada por
)2.1(1
)(
)(*0
s
e
su
suG
Ts
r
donde T es el periodo de muestreo.
A continuación se presenta una lista de métodos de retención usados con Matlab.
Muestreador ū(t) u(kT) u(t)
Retenedor de
orden cero
0 T 2T 6T 0 T 2T 6T t
ū(t) u(kT) u(t)
Figura 1.3: Muestreador y retenedor de orden cero.
u(s) u*(s) ū(s) ū(s)
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1.3 Discretización Directa
Es bastante útil discretizar directamente expresiones que contengan integrales y
derivadas.En el desarrollo del curso nos encontraremos frecuentemente con funciones que
contengan derivadas e integrales, las cuales pueden ser discretizadas usando ecuaciones en
diferencias. Veamos:
)4.1()()(
)3.1()()()(
)(
)()()()(
00
22
2
2
2
t k
i
TiTTedttf
T
TkTfkTf
T
kTftf
dt
d
T
TkTfkTf
T
kTftf
dt
d
Es necesario anotar que en este caso los períodos de muestreo deben ser pequeños para
que el resultado del proceso discreto sea bastante aproximado al obtenido mediante el
método de discretización general (que es el que usa Matlab).
Ejemplo 1.1: Considerando las ecuaciones de estado y de salida del circuito RLC
siguiente:
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5
)7.1(
)6.1(11
)5.1(1
1
212
21
xy
VL
xL
Rx
Lx
xc
x
in
Determine:
a) La discretización directa del sistema de ecuaciones
b) La gráfica de su respuesta a un escalón unitario
Asuma un periodo de muestreo de 0.01 segundos.
Solución
a) Del sistema de ecuaciones de estado y de salida del circuito RLC podemos
encontrar el equivalente discreto en adelanto de la derivada (un corrimiento a la
derecha), entonces, el sistema discreto para cada ecuación diferencial será:
)10.1()()(
)9.1()](1
)()(1
[)()1(
)8.1()()()1(
1
2122
211
kTxkTy
kTVL
kTxL
RkTx
LTkTxkTx
kTxc
TkTxkTx
in
Las ecuaciones (1.8), (1.9) y (1.10) pueden reescribirse implícitamente así:
)13.1()()(
)12.1()](1
)()(1
[)()1(
)11.1()()()1(
1
2122
211
kxky
kVL
kxL
Rkx
LTkxkx
kxc
Tkxkx
in
b) La gráfica de la respuesta al escalón unitario se obtiene mediante la ejecución del
siguiente programa en MATLAB (ejem3_1):
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6
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 00
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
1 .4
Te
ns
ión
en
el
ca
pa
cit
or
(V)
N ú m e ro d e m u e s t ra s (k )
1.4 La Transformada Z
La transformada Z es un método operacional sumamente potente en el trabajo con sistemas
en tiempo discreto.
La transformada Z de una función f(t), toma en cuenta sólo los valores muestreados
de f(t), es decir la secuencia de valores f(kT): f(0), f(T), f(2T), ... , donde k 0 y T es el
periodo de muestreo. Se define mediante la siguiente ecuación:
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)14.1()2()()0()()]([)]([)(0
21
k
k zTfzTffzkTfkTfZtfZzF
La relación entre la transformada z y la transformada s viene dada por:
)15.1(][cos)( TjsenTeeez TjTTs
Para una secuencia de números f(k), la transformada z se define como
)16.1()()]([)(0
k
kzkfkfZzF
La transformada z dadas por las ecuaciones (3.14) y (3.6) se denomina transformada z
unilateral.
Si - t , o si k adopta valores enteros (k = 0, 1, 2, ...), entonces la
transformada z de f(t) o de f(k) viene dada por:
)17.1()()]([)]([)(
k
kzkTfkTfZtfZzF
)18.1()()]([)(
k
kzkfkfZzF
Las ecuaciones (1.17) y (1.18) representan la transformada z bilateral.
1.4.1 Transformada z de algunas funciones elementales
La transformada z de algunas funciones elementales, considerando el caso unilateral, se
presenta a continuación:
Función escalón unitario: Dada la función escalón unitario definida por
)19.1(0,0
0),(1)(
t
tttf
la transformada z de f(t) usando la ecuación (1.14) viene dada por
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)20.1(11
1
1
1)](1[)(
1
21
00
z
z
z
zz
zztZzFk
k
k
k
Función rampa unitaria: Dada la función rampa unitaria definida por
)21.1(0,0
0,)(
t
tttf
la transformada z de f(t) viene dada por
)22.1()1()1(
)2(
)(][)]([)(
221
1
21
0 00
z
Tz
z
zT
zzT
kzTkTzzkTftZtfZzFk k
kk
k
k
Función exponencial: Dada la función exponencial definida por
)23.1(0,0
0,)(
t
tetf
at
la transformada z de f(t) viene dada por
)24.1(1
1
)1
][][)]([)(
1
221
0
aTaT
aTaT
k
kakTakTat
ez
z
ze
zeze
zeeZeZtfZzF
En la tabla 3.1 se presenta la transformada z de funciones muy útiles, y su correspondiente
transformada de Laplace.
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Tabla 1.1: Transformada de Laplace versus transformada z.
f(t) F(s) f(kT) o f(k) F(z)
1 (t) 1 (k)
1, k = 0
0, k 0
1
2 1(t) o (t)
s
1
1(k) o (k)
1z
z
3 ate
as
1
akTe aTez
z
4 t 2
1
s
kT 2)1( z
Tz
5 2t 3
2
s
2)(kT 3
2
)1(
)1(
z
zzT
6 ate1
)( ass
a
akTe1
))(1(
)1(aT
aT
ezz
ez
7 btat ee
))(( bsas
ab
bkTakT ee
))((
)(bTaT
bTaT
ezez
eez
8 atet 2)(
1
as
akTkTe 2)( aT
aT
ez
Tze
9 atet 2 3)(
2
as
akTekT 2)( 3
2
)(
)(aT
aTaT
ez
ezzeT
10 ateat )1( 2)( as
s
akTeakT )1( 2
2
)(
)1(aT
aT
ez
eaTzz
11 tsen
22
s
kTsen
1cos22 Tzz
Tsenz
12 tcos
22 s
s
kTcos
1cos2
cos2
2
Tzz
Tzz
13 tsene at 22)(
as
kTsene akT aTaT
aT
eTzez
Tsenze22 cos2
14 te at cos 22)(
as
as
kTe akT cos aTaT
aT
eTzez
Tezz22 cos2
)cos(
1.4.2 Propiedades y teoremas de la transformada z
En la tabla 1.2 se presenta un grupo de propiedades y teoremas de la transformada z
unilateral.
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Tabla 3.2: Propiedades y teoremas de la transformada z.
f(t) o f(k) Z[f(t)] o Z[f(k)]
1 )(tfa )(zFa
2 )()( 21 tfbtfa )()( 21 zFbzFa
3 )1()( kfoTtf )0()( fzzFz
4 )2( Ttf )()0()( 22 TfzfzzFz
5 )2( kf )1()0()( 22 fzfzzFz
6 )( kTtf )()()0()( 1 TkTzfTfzfzzFz kkk
7 )( kTtf )(zFz k
8 )( knf )1()1()0()( 1 kzffzfzzFz kkk
9 )( knf )(zFz k
10 )(tfe at )( aTzeF
11 )(kfak
a
zF
12
n
k
kf0
)( )(1
zFz
z
13
0
)(k
kf )1(F
14 )(kfk m )(zF
dz
dz
m
1.4.3 Forma general para obtener la transformada Z de una función
laplaciana.
La transformada z de una función laplaciana se puede obtener mediante el método de los
residuos, que a continuación se detalla.
Dada una función:
)25.1()(
)()(
sA
sBsG
donde el grado del polinomio A(s) es mayor que el de B(s), y suponiendo que todas las
raíces de B(s) poseen parte real negativa, entonces:
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)26.1()(
)()!1(
1
)()()]([)(
11
1
1
j
j
j
j
i
bs
Q
jTs
m
jm
m
j
as
P
iTsi
ez
zsGbs
ds
d
m
ez
zsGassGZzG
donde:
P es el número de polos ai no repetidos de G(s) .
Q es el número de polos bj que se repiten con multiplicidad mj.
Ejemplo 1.2: Determinar la transformada z de la función:
)1(
1)(
2
sssG
Solución
Para este caso: P = 1, a1 = -1, Q = 1, b1 = 0, m1 = 2. Luego:
)27.1()1(
)1(
)1(1)1(
1
)!12(
1
)1(
1)1()(
2
2
0
2
2
1
2
z
Tzz
ez
z
z
zT
z
z
ez
z
ez
z
sss
ds
d
ez
z
ssszG
T
T
s
Ts
s
Ts
1.5 La Transformada Z Inversa
Así como en sistemas de control en tiempo continuo la transformada s cumple un papel
muy importante, idénticamente, la transformada z juega un papel muy importante en
sistemas de control en tiempo discreto.
La notación para la transformada z inversa es Z-1. La transformada z inversa de G(z)
da como resultado una única g(kT), pero no da una única g(t), debido a que la transformada
z inversa sólo obtiene la secuencia de tiempo que especifica los valores de g(t) en los
valores discretos de tiempo t = 0, T, 2T, ..., y no está definido en los otros tiempos. Esto
implica entonces, que está definido en instantes de tiempo de muestreo T, el cual puede ser
por ejemplo 1 seg., 0.1 seg., 2 seg. ,etc.
)28.1()()]([1 kTgzGZ
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Para obtener g(kT) se recomienda seguir cualquier de los siguientes métodos:
a) Tabla de transformadas z.
b) Obtener la transformada z inversa sin usar la tabla de transformadas z. En este caso
se puede aplicar los métodos de división directa, computacional, expansión en
fracciones parciales y la integral de inversión (véase [1],[3]).