informe lab 4

Informe de la practica “Control PID”.

YINFORME DE LA PRÁCTICA“Control PID”

Hernández Vargas, Deyvit Leonardo– 285693e-mail: [email protected]

Baquero Ariza, Sergio – 285e-mail: [email protected]

Murillo Arango, Juan David – 285e-mail: [email protected]

Rodríguez Ortiz, Juan David – 285e-mail: [email protected]

RESUMEN: En esta práctica, se analizaron los efectos de cada una de las acciones de control P, I y D en un sistema de control, y se diseñaron e implementaron sistemas de control PID para los lazos de velocidad y posición de un motor LEGO usando diferentes métodos de sintonización.

PALABRAS CLAVE: Control, PID, Sintonización, Polos, Ceros, Estabilización, Sobrenivel, Error.

1 INTRODUCCIÓN

Los sistemas de control diseñados para la industria, dependen en gran medida de varios factores, costos, tiempos de fabricación y lo más importante determinados criterios de diseño como el tiempo de en qué se estabiliza la señal, el tiempo en que llega al valor deseado y el sobrepico que pueda tener. Para poder manipulas estas últimas tres características de las señales de entrada de la mejor manera, se utilizan unos modelos simples que facilitan el trabajo de diseño, los controladores P, I y D, los cuales hacen referencia a controladores Proporcionales, Integrales y Derivativos.

Para poder obtener buenos resultados en los sistemas planteados se recomienda utilizar controladores P, PI y PID, aunque en algunos casos específicos se usa el controlador PD. En esta práctica revisaremos las configuraciones de las últimas cuatro estructuras mencionadas de controladores, sus ventajas, desventajas y métodos para lograr los valores correctos para un buen planteamiento.

2 OBJETIVOS

Determinar el efecto de las diferentes acciones de control P, I, y D en el comportamiento dinámico yestático de un sistema.

Sintonizar controladores PID mediante los métodos clásicos de Ziegler&Nichols y con criterios de optimización como IAEe ITAE.

Diseñar e implementar sistemas de control PID usando métodos de síntesis/ubicación de polos, cancelación polo-cero y el lugar geométrico de las raíces, para cumplir requerimientos de tiempo de estabilización, errorpermanente y sobrenivel porcentual para los lazos de velocidad y posición de un motor LEGO.

3 MARCO TEORICO

La sintonía de controladores es el ajuste de parámetros de los controladores para lograr una respuesta deseada de lazo cerrado. La sintonía de compensadores ha venido evolucionando desde los años 40 hasta la actualidad, encontrando métodos de sintonía de compensadores PID muy simples como el método de ensayo y error hasta métodos que utilizan técnicas de optimización o basados en índices de robustez.

Usualmente se tienen dos tipos básicos de compensadores PID: el PID paralelo y el PID serie. Estas dos formas de compensadores pueden usarse de acuerdo al proceso o la aplicación.

De igual forma, si se tienen las constantes de sintonización de un PID paralelo y se desea convertirlas a las o constantes de un PID serie o viceversa, se pueden utilizar las conversiones obtenidas por medio de constantes de multiplicación de conversión.

Los métodos clásicos de sintonización de compensadores PID más conocidos son:

3.1 Sintonización de Compensadores PID para Respuesta de Asentamiento por Ganancia Ultima

Este método pionero también conocido como método de sintonización en línea, fue propuesto por Ziegler&Nichols en 1942. En este método y las características dinámicas del proceso son representadas por la ganancia última de

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un controlador proporcional y el período último de oscilación del lazo. Estos parámetros, debido a que usualmente no son conocidos, se determinan de forma experimental en el proceso real siguiendo el siguiente procedimiento.

1. Deshabilite/inactive los modos integral y derivativo del compensador PID de tal forma que solosea un controlador proporcional. En algunos controladores, el modo integral no puede ser eliminado totalmente pero puede ser ajustado de forma que el tiempo integral sea el máximo valor o, equivalentemente la tasa de integración (1/Ti ) ajustada a su mínimo valor.

2. Con el controlador en automático (sistema en lazo cerrado), incremente la ganancia proporcional(o reduzca la banda proporcional) hasta que la respuesta del sistema en lazo cerrado oscile con amplitud constante. Registre el valor de la ganancia proporcional que produce oscilaciones sostenidas como Ku o ganancia última. Este paso se lleva a cabo usando pequeños incrementos de la ganancia, y aplicando pequeños cambios en el setpoint en cada cambio de la ganancia. Para prevenir que el lazo sea inestable, se requieren incrementos más pequeños en la ganancia a medida que se está acercando a la ganancia última.

3. Una vez se llega a la ganancia última, el sistema deber oscilar con amplitud constante. El periodo de oscilación del sistema a la ganancia última se conoce como Tu o periodo ultimo.

Una vez se han determinado la ganancia y el periodo últimos, estos se usan en las de la Tabla de sintonización a un controlador PID usando ganancia y periodo últimos. Para calcular los parámetros de sintonización del controlador que produce una razón de asentamiento de un cuarto.

3.2 Sintonización de Compensadores PID para Respuesta de Asentamiento usando Modelo de Primer Orden (Tiempo Muerto (FOPDT))

El anterior método de Ziegler&Nichols caracteriza el proceso mediante dos constantes, la ganancia ultima y el periodo último. Algunos otros métodos de sintonización de controladores caracterizan el proceso mediante un modelo matemático de primer o segundo orden con tiempo muerto.

El modelo FOPDT es en el que se basan muchas de las de sintonización de controladores. Este modelo caracteriza el proceso con tres parámetros: la ganancia k, el tiempo muerto to , y la constante de tiempo τ . Se debe realizar una prueba dinámica en el proceso real para obtener estos tres parámetros, Prueba de

Respuesta al Escalón:

1. Con el controlador en ’manual’ (sistema en lazo abierto) aplique un escalón a la señal de control que va al proceso. La magnitud de este cambio deber ser lo suficientemente grande como para que el transmisor sea capaz de medir la respuesta obtenida, pero no deber ser tan grande como para que la respuesta se vea distorsionada por no linealidades del proceso.

2. Registre la respuesta que entrega el transmisor en un dispositivo donde se pueda observar todala señal desde donde ocurrió el escalón de entrada hasta donde el sistema alcanza un nuevo valor de estado estable. Comúnmente, una prueba al escalón puede durar entre unos minutos hasta varias horas, dependiendo de la velocidad de respuesta del proceso.

El siguiente paso es ajustar la curva de reacción a un modelo de primer orden con tiempo muerto (FOPDT).

Figura 1: Curva de reacción del proceso o respuesta al escalón en lazo abierto.

Luego, se halla t1 y t2 , los cuales son el tiempo al cual la salida alcanza el 28.3 % y 63.2 % del cambio total (ver Figura 2), respectivamente. Finalmente, se aplican a las ecuaciones para encontrar la constante de tiempo

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efectiva del proceso τ y el tiempo muerto to:

Figura 2: Parámetros para ajustar el modelo FOPDT.

Además de las para sintonización de compensadores usando la ganancia y periodo últimos, Ziegler&Nichols también propusieron un conjunto de fórmulas de sintonización PID basadas en parámetros de un modelo de primer orden con tiempo muerto (FOPDT). Se hace énfasis en que estas fórmulas son empíricas y no deben ser extrapoladas más allá del rango 0.1 <to /τ < 0.5.

3.3 Sintonización de Compensadores PID por criterios de Optimización IAE e ITAE

Además de los anteriores métodos, se desarrollaron otros métodos de sintonización que usan parámetros de modelos FOPDT.

La especificación de estos métodos para la respuesta en lazo cerrado es básicamente lograr un mínimo error entre la variable controlada y la referencia. El error es una función del tiempo para toda la duración de la respuesta, de tal manera que la suma del error en cada instante de tiempo se minimice. Existen diferentes criterios de minimización del error como lo son: La Integral del Valor Absoluto del Error (IAE), La Integral del Cuadrado del Error (ISE), La Integral del Valor Absoluto del Error con Peso en el Tiempo(ITAE), y La Integral del Cuadrado del Error con Peso en el Tiempo(ITSE). Se hace énfasis en que estas fórmulas son empíricas y no deber ser extrapoladas más allá delrango 0.1 <to /τ < 1.0.

Para entender mejor el uso de las fórmulas revisar cada uno de los literales con su respectiva respuesta.

4 PROCEDIMIENTO

La práctica está dividida en dos partes: Método Clásico de Sintonización PID, y Control PID por Síntesis, Cancelación Polo-Cero y LGR.

4.1 MÉTODO CLÁSICO DE SINTONIZACIÓN PID

Esta primera parte corresponde al análisis del efecto que tienen las diferentes acciones de control PID en un sistema de control de un proceso de orden superior, específicamente un sistema de intercambio de calor, cuyo objetivo de control es regular la temperatura dentro de un tanque.

La Figura 3 muestra el diagrama P&ID del sistema de control de temperatura para el proceso de intercambio de calor.

Figura 3. Diagrama P&ID del sistema de intercambio de calor

a) Inicialmente se pide realizar la construcción de un sistema en Simulink el cual es una representación matemática de aproximada de todo el sistema de intercambio de calor en un punto de operación.

En la Figura 4 se muestra el sistema construido.

b) A continuación se pide la respuesta del sistema en lazo abierto ante una entrada de tipo escalón, la cual se observa en la Figura 5.

A continuación se procede a obtener un modelo matemático de primer orden más tiempo muerto FOPDT del resultado obtenido, para este proceso se emplea la herramienta Ident de MatLAB. El modelo obtenido se muestra en la Figura 6.

Figura 4. Diagrama de bloques del sistema de intercambio de calor en lazo abierto.

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0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 5. Respuesta en lazo abierto del sistema ante una entrada escalón.

Figura 6. Modelo matemático de primer orden más tiempo muerto FOPDT dela respuesta del sistema.

El resultado obtenido presenta un 93.18% de similitud, por lo cual se considera una muy buena aproximación y se procede con esta; a continuación se muestra la ecuación obtenida.

G(s)=1.2465

1+6.0332 s×e−1.5 s

c) A continuación, se realizo la construcción de un controlador PID en paralelo, y se agrego al sistema de intercambio de calor, y se cerró el lazo de control; en la Figura 5 se muestra el sistema obtenido.

Figura 7. Diagrama en Simulink del sistema de Intercambio de Calor con control PID.

Al realizar las variaciones de los valores de kp, kiy kdse llego a los siguientes resultados, mostrados en la tabla a continuación:

K TS SP eee

KP Poco cambio Sube BajaKI Sube Sube EliminaKD Baja Baja Poco cambio

Tabla 1. Parámetros de respuesta

d) Este método es el pionero en la sintonización de controladores, es conocido por método de lazo cerrado o sintonización en línea, fue propuesto por Ziegler y Nichols en 1942 y se sigue usando hoy en día. Para determinar el valor de la ganancia última procedemos de la siguiente forma:

Colocamos el controlador en acción proporcional, eliminando la acción integral y la derivativa (τi = ∞; τd = 0).

Aplique una perturbación en el lazo, aplicamos una entrada escalón del 20% del valor deseado y ajuste la ganancia kc, hasta que la respuesta oscile a una amplitud constante.

Figura 1. Variación de parámetros integral. Ti = 15

Tabla 2. Criterios sintonización ganancia última.

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0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

Time

Measured and simulated model output


Figura 9. Determinación de Kcu último.

Por medio de la simulación obtenemos un valor de Kcu último de 3.27, y un Tu aproximado de 10 segundos. Ajustando este valor a los compensadores de la tabla obtenemos para el modelo PI y PID las siguientes constantes:

Modelo PI:

Kc=Kcu2.2

=3.272.2

=1.48

Ti= Tu1.2

= 101.2

=8.33

Figura 10. Respuesta ajuste por ganancia última PI.

Como podemos ver en la figura 12 el objetivo de la sintonización se logró de manera satisfactoria, dado que obtuvimos un tiempo de asentamiento de ¼ y un tiempo de subida mucho menor, cabe notar que se genera un sobrepico a causa del incremento en esta velocidad de respuesta. Dependiendo de los requerimientos y especificaciones del tipo de respuesta que se desea en el sistema esta puede ser una solución adecuada al tiempo de estabilización.

Modelo PID

Kc=Kcu1.7

=3.271.7

=1.923

Ti=Tu2

=102

=5

Td=Tu8

=108

=1.25

Como se ve en la figura 13 el compensador PID es mucho más robusto en términos de respuesta y velocidad de actuación, el error en estado estable es despreciable, y el tiempo de asentamiento es casi la mitad que el obtenido en el modelo PI, esto se obtiene a cambio de un sobrepico mayor (casi del 35%) pero la oscilación se atenúa en menos cambios, nuevamente dependiendo de nuestra aplicación decidimos cual es el controlador que presenta un mejor desempeño a las necesidades y requerimientos a controlar.

Figura 11. Respuesta ajuste por ganancia última PID.

e) Se realizó un código en MatLAB junto con Simulink, para simular los distintos compensadores, a continuación se muestran las salidas para el método FOPDT:

5


Figura 12. Control PI

Figura 13. Control PID

Este método garantiza error de posición cero, el sistema en lazo cerrado es de segundo orden y oscila bastante para el caso del PID, se observa que es más efectivo para el caso de un controlador PI.

f) Se realizó un código en MatLAB junto con Simulink, para simular los distintos compensadores, a continuación se muestran las salidas para el método IAE:

Figura 14. Control PI

Figura 15. Control PID

Para el método ITAE:

Figura 16. PI criterio ITAE

Figura 17. PID criterio ITAE

g) Comparación entre los sistemas y criterios de sintonización

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Cada uno de los sistemas presenta variaciones fuertes en términos de respuesta; los sistemas modelados con el criterio de ultima ganancia tienes respuestas por lo general más rápidas que lo demás criterios de sintonización, pero dado eso también tienen sobre picos porcentuales en el PI y PID siendo este último más crítico debido a que casi alcanzamos un sobre valor de 35%, no es un valor alto pero dependiendo de las especificaciones nos podemos permitir este tipo de respuesta.

Los sistemas modelados a partir de la aproximación a un sistema de primer orden, no presentan sobre picos, y su respuesta es típica de primer orden, no tenemos error en estado estable pero el tiempo de respuesta es muy elevado (para PI) a comparación de los demás modelos.

Los modelos IAE e ITAE presentan respuestas en cierto modo más deseables, menores sobre-picos y para los controles PID el tiempo de respuesta es considerablemente menor. Cabe resaltar que la mayor importancia de escogencia de los criterios de sintonización ya en una aplicación real, están restringidos a las limitaciones de los elementos y como punto fundamental, a las condiciones de diseño requeridas, ciertas aplicaciones permitirán sobre niveles, ciertas tiempos más largos, en todo caso es una buena manera de obtener respuestas aproximadas.

4.2 CONTROL PID POR SÍNTESIS, CANCELACIÓN POLO-CERO Y LGR

a) Por medio de la función ident de Matlab obtenemos la función general del motor descrita como un sistema de primer orden:

G (s )= 8.5242(0.07011s+1)

b) Usando la herramienta sisotool de Matlab, se realizó un proceso de diseño en el lugar de las raíces, buscando el compensador que cumpliera los requerimientos SP<7%, ts=0.5seg, ep=0.

Al final se encontró el siguiente compensador:

Figura 18. LGR para SP< 7% y ts=0.5seg

Por medio de la ubicación de polos resultante tenemos la respuesta mostrada en la figura 19 para una entrada escalón al sistema:

Figura 20. Respuesta cancelación de polos

La implementación en el Bricx arrojó como resultado:

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Figura 21. Respuesta del motor control ubicación de polos.

La simulación del controlador responde exactamente a las solicitudes del sistema, al realizar la implementación en el brick, se puede observar que aparentemente el sobrepico es mayor, pero esto es debido al filtrado realizado por el programa, en cuanto al tiempo de establecimiento, se puede observar que lo cumple a cabalidad, se puede concluir que el sistema está correctamente diseñado.

c) La función G (s )= 8.5242(0.07011s+1)

tiene un

polo (S=14.263). A partir de esta función del sistema se realiza el diseño del controlador por el método de cancelación Polo-Cero.

Se desea implementar un controlador PI:

C(s )=k is+k p=

k i+k p ss

A continuación:

L( s)=C ( s)×G( s)=(k¿¿ i+k p s)8.5242

s (0.07011s+1 )¿

¿8.5242k i+8.5242k p s

s (0.07011 s+1 )

¿1+

8.5242k p s

8.5242k is (0.07011 s+1 )

8.5242k i

En este caso, se iguala:

8.5242k p s

8.5242k i+1=0.07011s+1

k pk i

=0.07011

Si se cumple lo anterior, entonces:

L( s)=8.5242k i

s

T (s )=L(s)

1+L(s)

=8.5242k is+8.5242k i

¿ 1

1+s

8.5242 k i

En este caso, para obtener el tiempo de respuesta deseado, 0.5 segundos, se debe de garantizar un τ de 0.1, por lo cual:

k i=0.1

8.5242=0.011731

Y por lo tanto:

k p=0.07011

0.011731=5.97632

A partir de la implementación de los valores obtenidos para el controlador PI en el Bricx, con base en el programa controlPIDvelanexo a la guía de laboratorio, se obtuvieron los siguientes resultados.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

1

2

3

4

5

6

7

Figura 22. Control PI cancelación polo cero.

Se logra observar que el sistema se logra estabilizar cerca de los 0.5 segundos como se había propuesto, el

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error permanente es cerca del 0%, ya que se propuso una referencia de 600, en este caso se realizó la gráfica a escala 1:100 en el eje y, velocidad, y el sobre nivel porcentual es menor al 7%; realmente el sobrepico es del 0% ya que el sistema es de primer orden.

d) La función G (s )= 8.5242S (0.07011 s+1)

tiene

dos polos (S=0,S=14.263), el lugar de las raíces queda de la siguiente manera:

Figura 23. LGR para el sistema lazo abierto

El punto de ruptura está ubicado en s=7.1316.

Se encuentra el ζ:

ζ=¿ ln (0.35)∨ ¿√π2+ ln (0.35)2

=0.3169¿

El ángulo requerido será:

θ=cos−1 (ζ )=71.52°

Del diagrama mostrado requerimos conocer el valor de x para conocer la ganancia proporcional que cumple con los criterios de diseño especificados.

Figura 3. Determinación de ganancia proporcional.

Por trigonometría: x=21.34, por lo tanto:

s0=−7.1315± j21.34

k=|D ( s0 )||N ( s0 )|

¿|−7.1315+ j21.34||0.07011 (−7.1315+ j21.34 )+1|

|8.5242|

¿4.1638

Finalmente se determinó el valor de k.

Realizando una simulación en MatLAB con los valores obtenidos se tiene:

Figura 24. Respuesta simulada control por LGR

En la prueba realizada con el motor lego se obtuvieron los siguientes resultados:

Figura 25. Respuesta del motor para LGR

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Con un SP=26.6%

La simulación llevada a cabo en MatLAB arroja el resultado de que el factor k está bien calculado, aun así cuando se implementa en el Bricx, y se compara la salida con la simulación, se puede observar que la forma de la señal es la misma, pero hay diferencias en cuanto al valor de esta estacionario y el sobrepico, esto puede deberse a que el motor usado para la prueba, fue diferente al usado para calcular la función de transferencia del motor, por lo tanto la planta cambia y al ser un controlador proporcional, no es tan robusto a los cambios.

e) Mediante cálculo aproximado para un sistema de segundo orden con un cero en el denominador se determinaron las constantes asociadas a los requerimientos deseados, para garantizar los requerimientos dados se requirió la adición de un cero adicional al controlador.

Tenemos:

G (s )= 8.5242(0.07011s+1)

C(s )=k is+k p=

k i+k p ss

Dado que el controlador cuenta con un integrador, se garantiza la condición de error permanente cero para una entrada escalón. De la función de lazo cerrado

obtenemos los parámetros ζ y ωn que nos darán una aproximación al comportamiento deseado.

DenT (s )=s ( τm+1 )+(kp∗s+ki)kc

DenT (s )=s (0.0711+1 )+(kp∗s+ki ) 525

DenT (s )=0.07011s1+ (8.525kp+1 ) s+8.525ki

Para cumplir con los requerimientos tenemos:

ζ=¿ ln (0.07)∨ ¿√π2+ ln (0.07)2

=0.9903¿

El ángulo requerido será:

θ=cos−1 (ζ )=7.9717 °

De esta manera

ζ ωn=22.5

De la expresión obtenemos los valores de kp y ki

s (0.0711+1 )+( kp∗s+ki ) 525=s2+22.5 s+516.21

Kp = 0.070123, ki = 4.305

Figura 26. LGR para el controlador PI

Como se ve en la figura 26 los valores determinados no satisfacen las especificaciones de diseño, de manera que se ajusta el polo para obligar al controlador a mantener los parámetros deseados.

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Figura 27. Respuesta por LGR por ajuste manual.

De acuerdo a las variaciones debido al ajuste tenemos modificaciones en los valores de kp y ki, ki = 5.7474, kp = 0.218.

Para la implementación en el brick ajustamos los valores de ambos parámetros en el archivo de simulación controlPIDpos.nxc.

En la figura 28 se muestra la comparación entre las dos respuestas obtenidas, la real y la simulada en el brick, inicialmente se tienes fuertes variaciones entre ambas respuestas principalmente por limitaciones físicas de los actuadores, la señal de control en el sistema real presenta saturación al inicio al inicio del estado transitorio, lo que sin lugar a duda implica una diferencia entres el valor deseado, el sobre-pico es mayor, cerca del 16%, por tanto el tiempo de establecimiento será mayor también, tenemos que el tiempo aproximado en que el motor alcanza un nivel estable esta cerca de los 0.97 segundos, y el valor en estado estable es de 0.94 lo que representa un error del 6%.

A las limitaciones físicas de los actuadores sumamos el problema de no contar con el mismo motor para el cual se había obtenido la función de transferencia, de modo que la acción del control varía si consideramos esto como un porcentaje de variación porcentual de los parámetros de la planta.

Figura 28. Acción de control real.

Figura 29. Análisis ideal vs implementación real.

5 CONCLUSIONES

Las implementación de sistemas de control en procesos reales implícitamente tienen variaciones debido a los errores suministrados por; aproximaciones de modelos, aproximaciones en medidas, limitación en los procesos de adquisición de datos e incluso por variaciones paramétricas de la planta, con lo cual la finalidad es proporcionar un control robusto sobre el sistema, pueden presentarse variaciones porcentuales, pero la acción de un control, por cualquiera de los métodos utilizados, es garantizar condiciones aceptables en el desempeño de los sistemas.

Las técnicas de sintonización nos brindan una herramienta de gran utilidad a la hora de diseñar controladores, pero no representan criterios absolutos a la hora de implementarse, sirven de guía pero no son camisa de fuerza, adicionalmente son resultados obtenidos experimentalmente que no siempre pueden garantizar los requerimientos deseados. Por otra parte

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son métodos que ya se han probado de modo que pueden representar ahorro en tiempos de investigación e incluso acelerar el proceso de diseño por ensayo y error.

Las técnicas de diseño de controladores por medio de modelos matemáticos son una poderosa herramienta si se llevan a la par con software de simulación, se pueden obtener valores considerablemente aproximados a los deseados con el inconveniente de que su implementación física implique costos muy elevados o que no se puede llevar a cabo por limitaciones físicas de los sistemas de control, de manera que siempre un diseño de control mediante métodos matemáticos debe ir restringido por las condiciones reales con que se dispone.

6 REFERENCIAS

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[5] Smith, Carlos A.; Corripio, Armando B.: Principles and practice of automatic process control. 2nd. Wiley, 1997. - 784 p.

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