informe final de tesis maestría en educación centro de
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INFORME FINAL DE TESIS
Maestría en Educación
Universidad de Los Andes – Centro de Investigación y Formación en Educación
(CIFE)
TIPOLOGÍA DE ERRORES PRESENTADOS POR ESTUDIANTES DE PRIMER
CURSO DE MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
(Análisis epistemológico, didáctico y semiótico)
Presentado por:
Henry Alexander Ramírez Bernal
Dirigido por:
Ph. D. Bruno D’Amore
Ph. D. Ángela Restrepo
Lector
M Sc. Luis Ángel Bohórquez
Bogotá, Noviembre de 2012
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………….…5
JUSTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA……………………………..6
OBJETIVOS……………………………………………………………………………11
2.1 Objetivo General……………………………………………………………….…...11
2.2 Objetivos Específicos…………………………………………………………..…..11
3. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN……………………………………………...12
3.1 Pregunta de Investigación…………………………………………………………..12
3.2 Preguntas específicas…………………………………………………………...…..12
4. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA………………………………………………..…….12
4.1 Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas……..…….13
4.1.1 Errores en el aprendizaje de las matemáticas…………………………………….13
4.1.2 Obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas………………………………..14
4.1.3 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas………………………….……17
4.2 Errores y obstáculos en la construcción del conocimiento científico…………..…19
4.3 Algunos antecedentes de investigación sobre los errores y dificultades en el
aprendizaje de las matemáticas…………………………………………………..……..22
4.4 Importancia de la epistemología para el análisis de las dificultades de aprendizaje de
las matemáticas…………………………………………………………………………27
4.5 Análisis epistemológico de los errores y dificultades de aprendizaje de las
matemáticas………………………………………………………………………...…..29
4.5 Misconcepciones en el aprendizaje de las matemáticas………………………..….30
4.6 Aspectos semióticos en el aprendizaje de las matemáticas…………………….…32
4.7 Consideraciones didácticas para el análisis de los errores y dificultades en el
aprendizaje de las matemáticas……………………………………………..…..……..35
3
4.8 Estructura de los cursos de matemáticas de primer semestre en algunos programas
de pregrado en Colombia………………………………………………………..…...…36
5. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN………………………………….…..40
5.1 Naturaleza del estudio………………………………………………………...……40
5.2 Diseño y desarrollo de la investigación………………………………….…….…..40
5.3 Análisis e interpretación de la información recolectada…………………….….…44
5.4 Contexto y participantes……………………………………………………...……44
5.5 Validez…………………………………………………………………………..….46
5.6 Significancia y limitaciones del estudio……………………………………...…….46
5.7 Aspectos éticos………………………………………………..……………………47
6. RESULTADOS……………………………………………………………….……..47
6.1 Percepciones de los docentes sobre error y dificultad en el aprendizaje de las
matemáticas…………………………………………………………………..…….…..50
6.1.1 Percepciones sobre error y dificultad………………………………………..…..51
6.1.2 Dificultades y errores conceptuales…………………………………………..….52
6.1.3 Posible responsabilidad del docente en las dificultades de los estudiantes….…56
6.2 Errores y dificultades asociadas a la comprensión de los conjuntos numéricos,
propiedades y operaciones……………………………………………………….….…60
6.3 Errores y dificultades asociadas a la representación de objetos matemáticos……66
6.3.1 Dificultades asociadas a la resolución de problemas………………………….…67
6.4 Errores y dificultades asociadas al Álgebra……………………………………...…71
6.4.1 Errores y dificultades asociados a operaciones algebraicas…………….………..71
6.4.2 Errores y dificultades asociados a la resolución de ecuaciones…….……………73
6.5 Errores y dificultades asociadas a la comprensión de funciones y relaciones…….75
6.6 Errores y dificultades asociados a la comprensión del cálculo…..…………..……81
4
7. CONCLUSIONES……………………………………………………………..……82
8. REFERENCIAS………………………………………………………………….….87
9. ANEXOS……………………………………………………………………….……91
9.1 Indagación inicial……………………………………………………………….….91
9.2 Algunos errores identificados por docentes en el primer curso de matemáticas en
universidad - entrevista escrita……………………………………………………...….97
9.3 Entrevistas escritas. Transcripciones……………………………………………102
9.4 Entrevistas audio. Transcripciones………………………………………….…..127
9. 5 Tabla de apoyo para la categorización de la información………………………..179
5
INTRODUCCIÓN.
El reconocimiento de la presencia de errores y dificultades en el aprendizaje de las
matemáticas es una preocupación de la mayoría de docentes de matemáticas. Sin
embargo muchos de ellos desconocen las razones que existen detrás de tales
dificultades y errores. Esta situación es especialmente crítica en el primer curso de
matemáticas universitarias, el cual constituye usualmente una transición entre las
matemáticas del bachillerato y las de la universidad. Las falencias que los estudiantes
puedan tener en este punto de su formación matemática, podrían repercutir
negativamente a futuro si estas persisten. Lo anterior sustenta el propósito de la presente
investigación, a través de la cual se realiza un análisis epistemológico, didáctico y
semiótico de algunas de estas dificultades y errores identificados por un grupo de
docentes en el primer curso de matemáticas universitarias, contrastando las
explicaciones que ellos dan a las causas de estos errores y dificultades con algunos
referentes teóricos.
En este documento inicialmente se hace una descripción y justificación del problema,
objeto de la presente propuesta de investigación. Los objetivos y preguntas de
investigación fundamentan la construcción de la revisión bibliográfica, en la cual se
indaga sobre la investigación relacionada con los errores en el aprendizaje de las
matemáticas, la noción de obstáculo epistemológico, misconcepciones y algunos
aspectos semióticos en relación con el aprendizaje de las matemáticas. Posteriormente
se muestran aspectos metodológicos considerados en la realización del presente estudio
como diseño del estudio, recolección de la información, selección del contexto y
participantes, aspectos éticos, validez, significancia y limitaciones del estudio.
Finalmente se presentan los resultados de la investigación a través de los hallazgos y
discusión y las conclusiones. En los anexos se incluye un consolidado de la información
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recolectada y una tabla usada como apoyo para la organización y análisis de la
información.
1. JUSTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.
Aunque la presencia de errores1 de aprendizaje de las matemáticas preocupa
constantemente a los docentes (Engler, Gregorini, Müller, Vrancken y Hecklein, 2002),
su preparación para tratar dificultades y errores de aprendizaje resulta inapropiada
como lo señalan D’Amore, Fandiño, Marazzani y Sbaragli (2010):
Lamentablemente, no obstante el fracaso de los estudiantes en el proceso de
aprendizaje de las matemáticas (que a menudo podemos interpretar como un
fracaso en el proceso de enseñanza de ésta) está a la vista de todos, la
preparación específica de los docentes sobre este tema, es decadente, no nos
parece apropiada. No decimos que sea ausente: ya sea en los cursos de
formación inicial de docentes de primaria, ya sea en los cursos de formación
postgrado de los docentes de la escuela secundaria, donde se dictan cursos sobre
cuestiones pedagógicas y psicológicas que tienen una gran relación con el tema
en cuestión pero que a menudo son genéricos, no específicos. En los cursos de
formación postgrado de docentes especializados, además, la actividad específica
de recuperación en matemática a veces parece estar ausente y a veces es
inexistente. Por lo cual el docente es a menudo abandonado a si mismo
afrontando los casos más complejos que, por desgracia, son también los más
numerosos (p. 32).
Una de las razones para justificar lo anterior radica en el desconocimiento sobre la
naturaleza de los errores y dificultades de aprendizaje de las matemáticas que tienen los
1 En la primera parte de este documento aparecen algunas palabras como error o dificultad en letra
cursiva cuyo sentido será aclarado posteriormente.
7
estudiantes y que puede llevar a los docentes a responsabilizarlos erróneamente por
tales errores; por ejemplo, un docente podría argumentar que las dificultades de algunos
de sus estudiantes se deben a que ellos no estudian o no le dedican el tiempo suficiente a
la realización de sus tareas. Varios investigadores señalan la importancia de analizar los
errores de aprendizaje de los estudiantes y utilizar esta información como fuente para
mejorar la forma como son abordados en el ambiente escolar. En este sentido, Socas
(2007, p. 20) afirma que la información obtenida de los diagnósticos de los errores de
los alumnos permitirá “al profesorado arbitrar procedimientos y remedios efectivos para
ayudar a los alumnos en la corrección de dichos errores”. Por su parte Engler et al.
(2002) establecen que tal análisis “sirve para ayudar al docente a organizar estrategias
para un mejor aprendizaje insistiendo en aquellos aspectos que generan más
dificultades, y contribuyen a una mejor preparación de instancias de corrección” (p. 23).
Puede afirmarse adicionalmente que si el docente no conoce las razones por las cuales
se presentan tales errores y dificultades, difícilmente podrá actuar en consecuencia para
orientar apropiadamente al estudiante y apoyarlo para superarlas, lo cual supone un
fuerte inconveniente a superar. Sobre lo anterior D’Amore (comunicación personal, 3 de
noviembre, 2012) señala que “para tener una acción válida cuyo propósito sea ayudar al
estudiante que se equivoca, no sirve únicamente revelar el error, debe conocerse su
causa; no se interviene sobre el error, pero sí sobre su causa”.
Ahora bien, las razones de esos errores podrían hallarse en lo que éstos revelan: las
dificultades y obstáculos que los estudiantes tienen en su proceso de aprendizaje de las
matemáticas. Los errores no son simples hechos accidentales (salvo ciertas
excepciones), sino que evidencian un trasfondo complejo que responde a diferentes
aspectos de la comprensión de las matemáticas y del proceso de enseñanza/aprendizaje
de las mismas:
8
Si bien el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a ser
considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el
alumno y no solamente como consecuencia de una falta específica de
conocimientos. Es de destacar que los errores no aparecen por azar sino que
surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientos
adquiridos previamente, y todo proceso de instrucción es potencialmente
generador de errores, debido a diferentes causas, algunas de las cuales se
presentan inevitablemente. También se debe tener en cuenta que las
oportunidades de los estudiantes para aprender Matemática dependen del
entorno y del tipo de tareas y discurso en que participan, dependiendo lo que
aprenden de cómo se implican en las actividades matemáticas, lo que marca, a su
vez, las actitudes que tienen hacia esta ciencia (Pochulu, 2005, p. 1).
Un caso particular que puede considerarse especialmente crítico es el primer curso de
matemáticas en Educación Superior2, el cual constituye una especie de transición entre
las matemáticas asociadas al álgebra generalmente estudiadas en la educación
secundaria y las matemáticas universitarias (con gran presencia del cálculo, el cual hace
parte de varios programas curriculares de pregrado de Ingeniería y Administración de
Empresas, entre otros). En tales cursos se evidencian errores y dificultades de
aprendizaje que ponen de relieve aspectos cruciales sobre la comprensión de las
matemáticas que los alumnos tienen desde su paso por la educación básica primaria,
secundaria y este curso inicial del ciclo profesional. Por otra parte “estas matemáticas”
que los alumnos han aprendido, con sus aciertos y posibles falencias, constituyen el
soporte sobre el cuál construirán las matemáticas posteriores (cálculos diferencial e
integral, estadística, etc). Además, si esos errores y dificultades persisten, podrían
2 En un apartado posterior del presente documento se realiza una descripción de la estructura de algunos
de estos cursos.
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truncar u obstaculizar la comprensión de las matemáticas y por tanto repercutir
negativamente en el desempeño de los estudiantes en su proceso de formación
profesional. Por ejemplo, considérese el caso de un estudiante de Precálculo que puede
calcular el valor de )2(f , dada la función
1x)x(f 2
pero no puede evaluar o encuentra un valor incorrecto para )h(f o )1h(f . Este
hecho podría revelar dificultades en la comprensión del objeto función de una variable
real. Además si tal dificultad persiste en el estudiante, es factible que posteriormente, en
su curso de Cálculo Diferencial, tenga inconvenientes en la comprensión de la derivada
y en su interpretación como función de una variable real.
El caso mencionado es sólo un ejemplo de una gama amplia de tales errores; de acuerdo
con algunos profesores universitarios de matemáticas, consultados al inicio de esta
investigación, se pudo evidenciar la presencia de los siguientes errores, en algunos
casos muy frecuentes:
graficar una función cuadrática como una línea recta;
las funciones trigonométricas son un producto. Ejemplo: xcos , pensar que es
“cos por x”;
tener problemas con igualdades notables como nnn yx)yx(
ó baba .
Esta lista breve e incompleta muestra variedad de errores que pueden esconder causas
diversas y complejas. Un mismo error puede tener causas distintas como lo señalan
D’Amore, Fandiño, Marazzani y Sbaragli:
El mismo error que se manifiesta con una respuesta errónea, puede tener causas
totalmente diferentes. Esto sucede a menudo, pero si un docente se limita a mirar
10
el resultado y no el proceso, no comprende que hay detrás de cada error (2010,
p. 22)
Las investigaciones en didáctica de las matemáticas han permitido determinar que el
error puede ser manifestación de una dificultad, puede esconder un obstáculo asociado a
la construcción del propio objeto matemático (obstáculo epistemológico) o evidenciar
dificultades relacionadas con las representaciones de los objetos matemáticos (aspectos
semióticos) entre otros.
En síntesis puede señalarse siguiendo a Rico (1995, p. 76) que todo proceso de
instrucción es potencialmente generador de errores, los errores pueden contribuir
positivamente al proceso de aprendizaje, debe modificarse la tendencia a condenar los
errores y culpar de éstos a los estudiantes, reemplazándose esta tendencia por la
previsión de errores.
Las anteriores reflexiones junto con el interés específico del autor de este estudio en los
errores y dificultades presentadas por los estudiantes en el primer curso de matemáticas
universitarias, han permitido establecer la siguiente pregunta de investigación:
¿Cómo pueden categorizarse las explicaciones de un grupo de docentes sobre los errores
y dificultades cometidos por estudiantes de primer curso de matemáticas universitarias
en su proceso de aprendizaje a partir de una tipología que comprende el análisis
epistemológico, didáctico y semiótico de tales errores?
Con el fin de responder esta pregunta de investigación se entrevistó a un grupo de
profesores de matemáticas con amplia experiencia docente, y que han tenido la
oportunidad de orientar el primer curso de matemáticas universitarias, buscando
responder a la pregunta:
11
¿Cuáles son los errores y dificultades de aprendizaje típicos identificados por docentes
de matemáticas que son cometidos por sus estudiantes en el primer curso de
matemáticas universitarias y cómo las explican?
A partir de la información suministrada por los docentes se procedió a realizar un
análisis de tales errores con el fin de responder la segunda pregunta específica
orientadora de esta investigación:
¿Cuál es la categorización de esos errores típicos cometidos por estudiantes de primer
curso de matemáticas universitarias analizados en el marco teórico de las nociones de
obstáculo epistemológico, misconcepciones, obstáculos didáctico y paradoja de Duval?
2. OBJETIVOS.
2.1 Objetivo General.
Realizar un análisis epistemológico, didáctico y semiótico de una tipología de errores
cometidos por estudiantes de primer curso de matemáticas universitarias en su proceso
de aprendizaje, caracterizando además las explicaciones dadas por los docentes a tales
errores.
2.2. Objetivos Específicos.
Determinar a partir de la identificación que hacen algunos docentes, errores
típicos de aprendizaje cometidos por estudiantes en el primer curso de
matemáticas universitarias.
Categorizar las explicaciones dadas por los docentes a los errores típicos de los
estudiantes de primer curso de matemáticas universitarias en su aprendizaje de
12
las matemáticas, en términos de obstáculo epistemológico, misconcepciones,
obstáculo didáctico y paradoja de Duval.
3. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN.
3.1 Pregunta de Investigación.
¿Cómo pueden categorizarse las explicaciones de un grupo de docentes sobre los errores
y dificultades cometidos por estudiantes de primer curso de matemáticas universitarias
en su proceso de aprendizaje a partir de una tipología que comprende el análisis
epistemológico, didáctico y semiótico de tales errores?
3.2 Preguntas específicas.
1. ¿Cuáles son los errores y dificultades de aprendizaje típicos identificados por
docentes de matemáticas que son cometidos por sus estudiantes en el primer curso
de matemáticas universitarias y cómo las explican?
2. ¿Cuál es la categorización de esos errores típicos cometidos por estudiantes de
primer curso de matemáticas universitarias analizados en el marco teórico de las
nociones de obstáculo epistemológico, misconcepciones, obstáculos didáctico y
paradoja de Duval?
4. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.
En la presente revisión bibliográfica se hace inicialmente una descripción de los
conceptos de error, dificultad y obstáculos y su importancia en la explicación de las
razones de las dificultades de aprendizaje de los estudiantes. Posteriormente se
muestran algunos resultados de investigación sobre los errores en el aprendizaje de las
matemáticas. Se presenta además una descripción de las nociones de misconcepción,
13
transposición y contrato didáctico; finalmente, y dado que el aprendizaje de los objetos
matemáticos implica el trabajo con representaciones de esos objetos se abordan las
nociones de semiosis y noesis, representación semiótica, registro semiótico y paradoja
de Duval.
4.1 Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas.
En los párrafos precedentes se han presentado las expresiones errores y dificultades sin
realizar ninguna descripción de su significado. Sin embargo es absolutamente necesario
y pertinente establecer una caracterización los más clara posible de lo que se entiende,
para los propósitos de la presente investigación por dificultad y error. En lo que sigue
se realiza una descripción de estos términos junto con el de la noción de obstáculo,
fundamental para la comprensión de los errores y las dificultades en el aprendizaje de
las matemáticas.
4.1.1 Errores en el aprendizaje de las matemáticas.
En referencia a los errores de aprendizaje Ruano, Socas y Palarea (2008) indican que
“los errores aparecen en el trabajo de los alumnos principalmente cuando se enfrentan a
conocimientos novedosos que los obligan a hacer una revisión o reestructuración de lo
que ya saben” (p. 2). Una definición de error coherente con lo anterior es debida a
Matz: “los errores son intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento
adquirido a una nueva situación” (1980, como se cita en Ruano, Socas y Palarea, 2008,
p. 2). Adicionalmente para Ruano y otros, el error “puede tener distintas procedencias
pero siempre se considera como un esquema cognitivo inadecuado y no sólo como
consecuencia de falta de conocimiento o de un despiste” (2008, p. 2).
14
El hecho que mismo error pueda tener causas o explicaciones distintas (lo cual podría
no ser reconocido por el docente) se puede ilustrar mediante el siguiente ejemplo. La
situación presentada por D’Amore, Fandiño, Marazzani y Sbaragli (2010, p. 22) da
cuenta de cómo dos estudiantes, que los autores denominan X e Y, realizan el producto
de dos binomios. Inicialmente se pide a los estudiantes efectuar el producto
)1x)(1x( a lo que ambos estudiantes responden correctamente 1x2 .
Posteriormente al proponer a los mismos estudiantes el producto )2x)(2x( , X
da la solución 2x2 . Puede afirmarse, siguiendo a D’Amore et al., que la
comprensión de X sobre la multiplicación )ax)(ax( es la de este producto
como igual a ax2; ahora bien, si el docente “se hubiera limitado a la primera
prueba, habría concluido que X ha construido el concepto de producto notable; mientras
que por el contrario X está muy lejos de éste” (D’Amore et al., 2010, p. 22).
El estudiante Y por su parte contesta también 2x2 a la segunda pregunta, pero su
forma de operar es la siguiente: a partir del producto )ax)(ax( se obtiene
22 aaxaxx con lo que las ax se simplifican, obteniéndose
22 aaax ; en este punto, pueden también simplificarse a y 2a
obteniéndose ax2. El mismo error, como lo muestran D’Amore y otros pero con
causas diferentes; además “si un docente se limita a mirar el resultado y no el proceso,
no comprende que hay detrás de cada error” (D’Amore y otros, 2010, p. 22).
4.1.2 Obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas.
Los obstáculos se consideran como fenómenos evidentes de resistencia al aprendizaje, o
más simplemente “obstáculo es sinónimo de cualquier cosa que se interpone al
15
aprendizaje esperado en la dirección docente – estudiante cualquiera sea su naturaleza”
(D’Amore et al., 2010, p. 48).
La noción de obstáculo ha mostrado ser importante como un enfoque para pensar sobre
la construcción del conocimiento científico y también se ha revelado fundamental para
comprender aspectos del aprendizaje de las ciencias y en particular de las matemáticas.
La razón de esto puede encontrarse en la forma como esta noción permite replantear la
manera de pensar sobre el error en el aprendizaje de las matemáticas; como recuerda
Artigue (1990, p. 7), Brousseau ve en la noción de obstáculo la manera de cambiar el
significado del error, sustentándolo en lo expresado por el propio autor:
Los trabajos conformes a las concepciones de Bachelard y Piaget muestran
también que el error y el fracaso no tienen el rol simplificado que en ocasiones
uno quiere hacerles jugar. El error no es solamente el efecto de la ignorancia, de
la incertitud, del azar que uno cree en las teorías empiristas o conductistas del
aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, su
éxito, pero que, ahora, se revela falso, o simplemente inadaptado. Los errores de
este tipo no son erráticos e imprevisibles, están constituidos de obstáculos. Tanto
en el funcionamiento del maestro como en el del alumno, el error es constitutivo
del sentido del conocimiento adquirido (Brousseau, 1976, p. 6).
Brousseau (1976, p. 7) señala adicionalmente que los obstáculos se manifiestan por
errores que no son debidos al azar, son erráticos, reproducibles y persistentes. Además
tales errores en un mismo sujeto muestran una manera de conocer y una concepción
característica, persistiendo, resurgiendo y resistiéndose a desaparecer e incluso
manifestándose mucho tiempo después que el sujeto haya rechazado de su sistema
cognoscitivo consciente el modelo defectuoso.
16
De forma específica pueden establecerse las siguientes características de los obstáculos
(D’Amore et al., 2010, p. 49):
en general un obstáculo no es la falta de conocimiento, es un conocimiento;
el estudiante utiliza este conocimiento para dar respuesta adecuada en un contexto
conocido, encontrado en precedencia;
si el estudiante trata de usar este conocimiento fuera del contexto conocido, ya
encontrado, fracasa, generando respuestas incorrectas; entonces nos damos cuenta
que se necesitan diferentes puntos de vista;
el obstáculo produce contradicciones, pero el estudiante se resiste a tales
contradicciones; pareciera que requiere de un conocimiento más general, mas
grande, más profundo, que generalice la situación conocida y resuelta, y que
comprenda la nueva en la cual ha fracasado; es necesario que este punto se haga
explícito y que el estudiante sea consciente de esto;
aunque una vez superado, de modo esporádico el obstáculo reaparece a lo largo del
curso de la ruta cognitiva del estudiante.
Por otra parte Brousseau (1976, p. 9) identifica tres tipos de obstáculos (por su origen
o naturaleza) que corresponden además a los que se distinguen en didáctica de las
matemáticas (D’Amore et al., 2010, p. 50):
ontogenéticos
didácticos
epistemológicos.
De acuerdo con Brousseau los obstáculos ontogenéticos sobreviven del hecho de las
limitaciones, por ejemplo neurofisiológicas, del sujeto al momento de su desarrollo y
están unidas a las limitaciones de las capacidades cognitivas de los estudiantes
17
comprometidos dentro del proceso de enseñanza (Artigue, 1990, p. 8) y “a su madurez
(desde muchos puntos de vista)” (D’Amore, 2006a, p. 225).
Por otra parte los obstáculos de naturaleza didáctica “son los que parecen no depender
más que de una elección o de un proyecto de sistema educativo” (Brousseau, 1976, p.
10). Para Brousseau los obstáculos epistemológicos “son aquellos a los cuales uno no
puede, ni debe escapar, del hecho mismo de su rol constitutivo en el conocimiento a que
se apunta. Uno puede encontrarlos en la historia de los conceptos mismos” o
equivalentemente relacionados “a la resistencia a un saber mal adaptado, es decir los
obstáculos al sentido de Bachelard” (Artigue, 1990, p. 8). Sin embargo, D’Amore
(2006a, p. 228) resalta que mientras para Bachelard el obstáculo epistemológico ocurre
en el pensamiento mismo, para Brousseau reside en la comunicación.
4.1.3 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.
En el presente estudio se asume la noción de dificultad en matemáticas presentada en
D’Amore, Fandiño, Marazzani y Sbaragli (2010, p. 17) según la cual, ésta puede asumir
por lo menos tres sentidos distintos: la dificultad en matemáticas del estudiante, la
dificultad específica de algunos argumentos de la matemática y la dificultad del
docente en la gestión de una situación matemática. Además el análisis de la dificultad
en matemáticas debe hacerse “de forma mucho más específica, siguiendo una indicación
que distingue varias componentes en el aprendizaje de las matemáticas” (Fandiño, 2005,
como se cita en D’Amore et al., 2010, p. 18). Los componentes del aprendizaje de las
matemáticas, referencia para un análisis de las dificultades, tienen como base los
diferentes tipos de aprendizajes inmersos en el proceso de aprendizaje de las
matemáticas, identificados por Fandiño (2010, p. 17):
conceptual (noética)
18
algorítmico (saber llevar a término una operación o secuencias compuestas de
operaciones elementales,…);
estratégico (resolución de problemas, …);
comunicativo (argumentaciones, validaciones, demostraciones,…);
de la gestión de diversos registros semióticos.
Fandiño (2010, p. 17) señala que la anterior división “no debe ser tomada literalmente,
dado que, estas componentes se entrelazan reforzándose la una con la otra; sin embargo,
dicha división ofrece una indudable comodidad de análisis y de lectura interpretativa de
los errores”; para D’Amore et al., las dificultades específicas de estos tipos de
aprendizaje son evidentes pues:
Están a la vista de todos: en efecto hay estudiantes que han construido
conceptos, pero no saben ejecutar algoritmos; estudiantes que llevan a término
un algoritmo, pero no saben que conceptos están a la base de dicha ejecución;
estudiantes que han construido conceptos y saben ejecutar algoritmos, pero no
saben resolver problemas; estudiantes que han construido conceptos y saben
ejecutar algoritmos, pero no saben resolver problemas; estudiantes que han
construido conceptos, saben ejecutar algoritmos, saben resolver los problemas
pero no saben comunicar aquello que han construido personalmente…y así
sucesivamente (2010, p. 18).
Las dificultades de aprendizaje de las matemáticas constituyen un hecho recurrente,
indistintamente del nivel escolar de los estudiantes. Tales dificultades “se conectan y
refuerzan en redes complejas que se concretan en la práctica en forma de obstáculos y
se manifiestan en los alumnos en forma de errores” (Socas, 1997, p. 125), siendo
además, objeto de investigación en didáctica de las matemáticas y estando vinculadas
naturalmente con el estudio de los errores.
19
Un hecho reconocido en las investigaciones sobre las dificultades de aprendizaje de las
matemáticas, es que éstas se deben a diferentes factores y su caracterización resulta
compleja. Por ejemplo, para Socas (1997, p. 126) las dificultades “en la enseñanza
aprendizaje de las matemáticas son de naturaleza diferente y se pueden abordar,
obviamente, desde perspectivas distintas.”
4.2 Errores y obstáculos en la construcción del conocimiento científico.
La ciencia y por tanto las matemáticas al estar en permanente construcción y siendo
desarrolladas por seres humanos, son falibles, por lo que no son ajenas a la existencia de
posibles errores. Al respecto señala Rico (1995, p. 70):
La falibilidad del conocimiento humano, es decir la capacidad de considerar
como verdaderos conceptos y procedimientos que están deficientemente
desarrollados, que incluyen ideas contradictorias o interpretaciones o
justificaciones falsas, ha sido una preocupación constante en filósofos y
pensadores que se han ocupado de estudiar la capacidad del hombre por conocer
y comprender. El error es una posibilidad permanente en la adquisición y
consolidación del conocimiento y puede llegar a formar parte del conocimiento
científico que emplean las personas o los colectivos. Esta posibilidad no es una
mera hipótesis, basta con observar lo que ha ocurrido a lo largo de la historia de
diversas disciplinas en las que se ha aceptado como conocimiento válido
multitud de conceptos que, hoy día, sabemos que son erróneos.
Un ejemplo de lo anterior podría ser el caso del matemático Leonhard Euler y su
manejo equivocado de las series infinitas divergentes:
La falta de cuidado con la que Euler maneja el infinito se evidencia también en
su uso de series divergentes. Como Leibniz había sugerido que
20
2
11111 ,
así Euler consideró que de
4
1
)11(
12
podría concluirse que
4
154321 (Boyer, 1949, p.246).
Más allá de una situación particular como la planteada, los errores en las ciencias
adquieren relevancia en tanto dinamizan y enriquecen la producción del conocimiento
científico, y pueden considerarse como obstáculos que posibilitan tal producción.
Como lo planteó inicialmente Bachelard (1938, p. 15):
Cuando se investigan las condiciones psicológicas del progreso de la ciencia, se
llega muy pronto a la convicción de que hay que plantear el problema del
conocimiento científico en términos de obstáculos. No se trata de considerar los
obstáculos externos como la complejidad o la fugacidad de los fenómenos, ni de
incriminar a la debilidad de los sentidos o del espíritu humano: es en el acto
mismo de conocer, íntimamente donde aparecen, por una especie de necesidad
funcional, los entorpecimientos y las confusiones.
Para Bachelard además, al conocer se va en contra de conocimientos anteriores,
destruyendo conocimientos mal adquiridos. El error se convierte entonces en una
“instancia que posibilita el progreso científico en su superación” (Puelles, 1997) o en
palabras de Bachelard (1949, como se cita en Puelles, 1997, p.75) “por obra de
rectificación, hasta el error viene a cumplir su función de utilidad para un progreso del
conocimiento”. Bachelard (1938) identifica además algunos tipos de obstáculos en las
ciencias tales como: la primera experiencia, el conocimiento general, el obstáculo
21
verbal, la utilización con abuso de las imágenes familiares, el conocimiento unitario y
pragmático, el obstáculo substancialista, el obstáculo realista, el obstáculo animista, el
que está al final del conocimiento cuantitativo. Bachelard sin embargo, en su
aproximación a los obstáculos descarta las matemáticas, sobre lo cual escribe:
Realmente, la historia de las matemáticas es una maravilla de regularidad. Ella
conoce los periodos de estancamiento. Ella no conoce los periodos de errores.
Ninguna de las tesis que sustentamos en este libro apunta hacia el conocimiento
matemático. Ellas no tratan sino del conocimiento del mundo objetivo (1938,
como se cita en Artigue, 1990, p.7)
El matemático Enriques (1942, como se cita en D’Amore, 2006a, p. 226) presenta una
clasificación de errores comunes en matemáticas haciendo relevante el error conectado
con situaciones históricas; respecto a la posición de Enriques sobre el error en
matemáticas señala D’Amore (2006a, p. 227), éste “no pertenece ni a la facultad lógica,
ni a la intuición, introduciéndose en el momento delicado de su articulación”. Para
D’Amore, el error no necesariamente surge
De la ignorancia, sino que en cambio podría ser el resultado de un conocimiento
precedente que ha tenido éxitos, que ha producido resultados positivos pero que
no resiste la prueba de hechos mas circunstanciales o mas generales. Por lo que
no se trata siempre de errores de origen desconocido, imprevisibles sino de
obstáculos en el sentido de Bachelard. (2006, p. 227).
El ejemplo sobre el manejo de las series infinitas divergentes por parte de Euler da un
indicio del hecho reconocido posteriormente por Brousseau, sobre los obstáculos
epistemológicos en matemáticas. El obstáculo a superar en este caso radicaba en no
tener aún establecida la noción de convergencia de una serie infinita, la cual, al parecer,
no era conocida por Euler, con los consecuentes errores que esto implicaba.
22
Finalmente, D’Amore señala algunas características que permiten identificar un
obstáculo epistemológico:
se tiene un obstáculo cuando en el análisis histórico de una idea se reconoce una
fractura, un pasaje brusco, una no-continuidad en la evolución histórico – crítica
de la idea misma;
se tiene un obstáculo cuando un mismo error se verifica de manera recurrente
más o menos en los mismos términos (2006a, p.228).
Como se mencionó, las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas se manifiestan
a través de errores, por lo que gran parte de la investigación sobre las dificultades de
aprendizaje de las matemáticas se ha concentrado en estudiar los errores cometidos por
los estudiantes, intentando caracterizarlos y describir sus causas y proponiendo posibles
soluciones. En el siguiente apartado se hace una breve descripción de algunos resultados
obtenidos en la investigación sobre los errores en el aprendizaje de las matemáticas.
4.3 Algunos antecedentes de investigación sobre los errores en el aprendizaje de las
matemáticas.
Una semblanza de las primeras investigaciones sobre el análisis de errores en el
aprendizaje de las matemáticas de comienzos del siglo XX se encuentra en Cury (1995,
p. 41):
colaboradores de Thorndike estudiaron las dificultades encontradas por los
alumnos en la resolución de problemas de aritmética (Resnick y Ford, 1990)
en esta misma época Smith realizó una investigación con estudiantes de “high
school sobre errores en Geometría Plana” (Cury, 1995, p. 41)
en Alemania también hubo interés en el análisis de los errores bajo la influencia
de la Gestalt y el psicoanálisis (Cury, 1995, p. 41)
23
también en Alemania, Weimer realiza un análisis de errores didácticamente
orientado y cuyo interés está vinculado al establecimiento de patrones
individuales de error (Radatz, 1980).
Por otra parte en Rico (1995) se presenta un estado sobre el estudio de los errores en el
aprendizaje de las matemáticas hasta comienzo de los años noventa. De los resultados
mostrados en este documento pueden resaltarse los siguientes, en relación con sus
posibles características:
los estudiantes piensan frecuentemente acerca de sus tareas matemáticas de un
modo muy original, bastante diferente de lo que piensan sus profesores; estas
formas de pensar pueden ser inesperadamente útiles en algunos casos pero en
otros pueden omitir aspectos esenciales, caso en el cual se dice que el estudiante
cometió un error; algo común en las dos situaciones es que las ideas en la mente
del alumno no son las que el profesor espera (Brousseau, Davis y Werner,
1986);
los errores de los alumnos frecuentemente son el resultado de un procedimiento
sistemático con alguna imperfección, el cual es usado por el alumno de forma
consistente y con confianza. Por otra parte los alumnos frecuentemente tienen
concepciones inadecuadas o misconcepciones3 acerca de aspectos fundamentales
de las matemáticas; además estas misconcepciones pueden no son reconocidos
por sus profesores. (Brousseau, Davis y Werner, 1986);
los errores cometidos por los estudiantes frecuentemente surgen de forma
sorprendente, pues se han mantenido ocultos para los profesores por algún
tiempo; los errores son extremadamente persistentes, siendo resistentes a
cambiar por sí mismos ya que su corrección puede requerir una reorganización
3 La noción de misconcepción se presenta posteriormente en el documento.
24
fundamental del conocimiento de los alumnos; los errores pueden ser
sistemáticos, siendo efectivos para revelar procesos mentales subyacentes que
señalan hacia un método o comprensión equivocada que es considerada correcta
por el alumno; por otra parte los alumnos que cometen un error no consideran el
significado de los símbolos y conceptos con los que trabajan (Mulhern, 1989).
Rico (1995, p. 85) identifica, además, cuatro polos en torno a los cuales se articulan
(hasta ese momento) las investigaciones sobre los errores en el aprendizaje de las
matemáticas. En primer lugar están los estudios relativos al análisis de los errores,
causas que los producen o elementos que los explican, y taxonomías y clasificaciones
de errores detectados; en estas investigaciones se ubican las aproximaciones teóricas
hechas desde un planteamiento epistemológico o estrictamente matemático, que tratan
de establecer causas estructurales para los errores debidas a la propia naturaleza del
conocimiento matemático (por ejemplo el estudio de los obstáculos). Otros estudios se
dedican al tratamiento curricular de los errores del aprendizaje de las matemáticas. En
un tercer polo se identifican los estudios dedicados a determinar que conviene que
aprendan los profesores en formación en relación con los errores que cometen los
alumnos. Finalmente están los estudios técnicos que implementan y sostienen una
determinada clase de análisis sobre los errores, sustentados en análisis psicométricos y
procedimientos estadísticos.
Radatz (1979, como se cita en Rico, 1995, p. 88) llama la atención sobre la complejidad
para el análisis de los errores en matemáticas y la necesidad de tener marcos teóricos
para analizarlos y explicarlos aduciendo razones como:
1. El desacuerdo y escepticismo tanto respecto de los test con relación a norma
como con los test con relación a criterio para medir los logros en matemáticas
han aumentado la atención por los aspectos diagnósticos de la enseñanza.
25
2. Las reformas sucesivas del currículo de matemáticas probablemente no han
conducido a nuevos errores y dificultades, pero con seguridad han surgido
nuevos errores debido a los contenidos específicos.
3. La individualización y diferenciación de la instrucción matemática requirió,
como posteriormente la socialización y las relaciones de comunicación en el
aula, de una gran destreza en el diagnóstico de dificultades específicas; los
profesores necesitan de modelos de actuación para diagnosticar la enseñanza en
los que los aspectos del contenido matemático estén integrados con ayuda de la
psicología educativa y la psicología social.
4. La crítica sobre los paradigmas tradicionales en la investigación educativa han
estimulado otros métodos de investigación en educación matemática:
investigación clínica, estudio de casos y fenomenología didáctica.
Puede observarse en relación al segundo punto de esta lista que no se menciona el
contexto de las reformas curriculares mencionadas, por ejemplo ¿en cuáles países?,
¿en cuáles instituciones?, ¿en cuáles niveles?. Sobre el tercer punto, no es claro el
sentido dado a la expresión “diagnosticar la enseñanza”.
También Radatz (1979, como se cita en Rico, 1995, p. 88) presenta una clasificación
de los errores a partir del procesamiento de la información estableciendo cinco
categorías así: errores debidos a dificultades del lenguaje; errores debidos a
dificultades para obtener información espacial; errores debidos a un aprendizaje
deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos; errores debidos a asociaciones
incorrectas o a rigidez del pensamiento y errores debidos a la aplicación de reglas o
estrategias irrelevantes.
Por otra parte, Davis (1984, como se cita en Rico, 1995, p. 87) elaboró una teoría de
esquemas o constructos personales que se caracteriza por esquemas que permiten
26
asimilar la información para organizar los datos de entrada; cada estructura de
representación puede identificarse por los errores presentados revelando parte de su
modo interno de trabajo, cada estructura de representación tiene un origen legítimo en
un aprendizaje correcto al principio y el cual requiere un tipo de información inicial
necesaria para su correcto funcionamiento, además los esquemas son persistentes y
operan bajo ciertas reglas ordenadas, finalmente un alumno que realiza una tarea
matemática con éxito encuentra gran parte de la información necesaria en los esquemas
que utiliza.
Una clasificación empírica de errores es debida a Movshovitz- Hadar, Inbar y Zaslavsky
(1987, como se cita en Rico, 1995, p. 90) quienes establecen seis categorías
descriptivas: datos mal utilizados, interpretación incorrecta del lenguaje, inferencias no
válidas lógicamente, teoremas o definiciones deformados, falta de verificación en la
solución y errores técnicos.
Al considerar que la naturaleza de las dificultades del aprendizaje de las matemáticas es
de diversa índole y que tales dificultades interactúan en redes complejas. Socas propone
una categorización de éstas:
Aceptando que la naturaleza de las dificultades del aprendizaje de las
Matemáticas es de diversa índole y que se conectan y se refuerzan en redes
complejas, éstas pueden ser agrupadas en cinco grandes categorías: las dos
primeras asociadas a la propia disciplina (objetos matemáticos y procesos de
pensamiento), la tercera ligada a los procesos de enseñanza de las Matemáticas,
la cuarta en conexión con los procesos cognitivos de los alumnos, y una quinta,
relacionada con la falta de una actitud racional hacia las Matemáticas (1997, p.
126).
27
Algunas investigaciones abordan el estudio de errores y dificultades específicas. En Van
Dooren, De Bock y Verschaffel (2006) se analiza el uso de modelos lineales en
situaciones en las que estos no son aplicables; específicamente estos autores se refieren
a aplicaciones impropias de la linealidad en la resolución de problemas aritméticos
verbales, el exceso de dependencia en entornos gráficos, la aplicación impropia de la
linealidad en situaciones probabilísticas y la generalización de patrones numéricos al
álgebra y al cálculo (Van Dooren, De Bock y Verschaffel, 2006, p. 3). Otro ejemplo es
el estudio de Cerdán (2010, p. 2) quien presenta un “catálogo de errores en los que los
estudiantes pueden incurrir en el proceso de traducción algebraico” en igualdades.
Cerdán clasifica “los errores para la traducción de problemas a ecuaciones en tres
categorías: (a) errores en el uso de letras, (b) errores en la construcción de expresiones
aritméticas o algebraicas y (c) error de igualdad.”
Por otra parte una postura teórica que busca explicar y analizar los errores de los
estudiantes se fundamenta en la noción de obstáculo epistemológico; aquí la noción de
error trasciende el sentido de manifestación de una dificultad de aprendizaje, y debe
comprenderse en cuanto su rol en el desarrollo científico y, consecuentemente cómo se
proyecta en el aprendizaje de las matemáticas.
4.4 Importancia de la epistemología para el análisis de las dificultades de
aprendizaje de las matemáticas
Un hecho usual es que los objetos y conceptos de las matemáticas sean presentados a
manera de resultados completamente terminados, lo cual puede resultar inconveniente
como lo señalan Brousseau (1986) y Schwartz (1997, como se cita en Arboleda, 2011,
p.22) pues las teorías una vez formalizadas ocultan la actividad matemática que las
produjo; también Schwartz observa que generalmente:
28
Las personas se representan los procesos constitutivos de las teorías de una manera
muy diferente a como ocurrieron. La imagen predominante es que “se progresa de
principio a fin mediante razonamientos rigurosos perfectamente lineales, en un
orden bien determinado y único que corresponde a una lógica perfecta. No se
reconocen los zig zags.” Ello es lamentable, porque si se considera que en las
matemáticas y las ciencias en general no hay derecho a dudas y errores, entonces
ellas serán percibidas como demasiado rígidas, menos humanas y más inaccesibles
(1997, como se cita en Arboleda, 2011, p.22)
Adicionalmente al no considerar la ocurrencia de errores que marcaron la construcción
histórica de los conceptos científicos (y específicamente en matemáticas) se pierde un
escenario que contribuye a explicar las razones de las dificultades de aprendizaje de los
estudiantes. Sobre lo anterior Vailati menciona “la importancia que tiene la reflexión
sobre actitudes relevadas erróneas en el pasado, en la construcción de conceptos
matemáticos, incluso en actividades didácticas” (1896, como se cita en D’Amore, 2007,
p. 10). De acuerdo con D’Amore
Cuando en la historia de la evolución de un concepto se identifica una no
continuidad, una fractura, cambios radicales de concepción, entonces se supone
que ese concepto tiene en su interior obstáculos de carácter epistemológico tanto
para ser concebido, como para ser aceptado por la comunidad de los
matemáticos, como para ser aprendido (2006, p. 225).
Asimismo, D’Amore (2006, p. 225) señala ejemplos de investigaciones sobre
obstáculos epistemológicos como los realizados por Cornu (1983) y Sierpinska (1985)
acerca del aprendizaje del concepto de límite.
29
4.5 Análisis epistemológico de los errores y dificultades de aprendizaje de las
matemáticas.
Las dificultades de aprendizaje de las matemáticas están íntimamente ligadas a la
noción de obstáculo y en particular a la de obstáculo epistemológico. Como se ha
mencionado, Bachelard (1938, p.15) fue pionero en reconocer la importancia de los
obstáculos en la construcción del conocimiento científico, al observar que “en el acto de
conocer aparecen entorpecimientos y confusiones”, además de “ir en contra de
conocimientos anteriores y destruyendo conocimientos mal adquiridos”. Brousseau
enuncia la idea de obstáculo epistemológico, ubicándola además en el contexto de la
Didáctica de la Matemática, en los años 70 (D’Amore, Radford y Bagni, 2007, p. 10)
tomando como referente los argumentos de Bacherlard, y resaltando además su
importancia en la enseñanza y el aprendizaje: “El mecanismo de la adquisición de
conocimientos tal como lo hemos descrito antes puede aplicarse tanto a la epistemología
o a la historia de las ciencias, como al aprendizaje y a la enseñanza” (Brousseau, 1976).
La importancia de la noción de obstáculo epistemológico para analizar las dificultades
en el aprendizaje de las matemáticas, puede sustentarse en lo expresado por D’Amore
(2007, p. 15), en el sentido del aprendizaje de las matemáticas como un hecho que tiene
que ver con la Epistemología, pues “el cómo se aprende matemáticas está estrechamente
ligado al que” y dado que el obstáculo epistemológico está fuertemente vinculado a
factores conceptuales y sociales, “en los cuales la historia pura de la matemática entra
en contacto con las prácticas humanas” (D’Amore, Radford y Bagni, 2007, p. 10).
Como se mencionó anteriormente, los obstáculos pueden ser ontogenéticos, didácticos o
epistemológicos; éstos últimos de acuerdo con Brousseau, son aquellos:
A los cuales uno no puede, ni debe escapar, del hecho mismo de su rol
constitutivo en el conocimiento a que se apunta. Uno puede encontrarlos en la
historia de los conceptos mismos. Eso no quiere decir que se deba amplificar su
30
efecto ni que deban reproducirse en el medio escolar las condiciones históricas
en las que han sido vencidos. (Brousseau, 1976, p. 10).
Por otra parte, los obstáculos epistemológicos que evidencian dificultades de
aprendizaje de las matemáticas, de acuerdo con Brousseau (1976, p. 7), se manifiestan a
través de errores que no son debidos al azar, además de ser fugaces, erráticos,
reproducibles y persistentes, siendo de acuerdo a Barrantes (2006, p. 5) los más
difíciles de franquear (superar).
4.5 Misconcepciones en el aprendizaje de las matemáticas.
En el proceso de aprendizaje, los estudiantes pueden hacerse imágenes débiles e
inestables de los conceptos, correspondiendo en algunos casos a interpretaciones erradas
de la información recibida. Estas imágenes denominadas misconcepción, al estar
continuamente evolucionando hacia la construcción de un concepto, “no siempre
resultan en un obstáculo para el futuro aprendizaje de los estudiantes, a menos que se
conviertan en fuertes y estables modelos erróneos de tal concepto” (D’Amore, 2001,
como se cita en Sbaragli, 2005, p. 2). Aquí imágenes y modelos se entienden en el
sentido dado por D’Amore (1999, como se cita en Sbaragli, 2005, p. 2): “hacerse un
modelo de un concepto, por tanto significa reelaborar sucesivas imágenes (débiles,
inestables) para llegar a una de ellas definitiva (fuerte, estable)”.
La idea de misconcepción referida en el párrafo precedente, adquiere sentido en cuanto
se pretenda comprender el complejo proceso que implica la construcción de un
concepto. Desde una perspectiva constructiva, para D’Amore:
Una misconcepción es un concepto erróneo y, por tanto constituye
genéricamente un acontecimiento que se debe evitar, pero no debe ser visto
siempre como una situación del todo o ciertamente negativa: no se excluye que,
para poder lograr la construcción de un concepto, sea necesario pasar a través de
31
una misconcepción momentánea, en el transcurso de la sistematización. (1999,
como se cita en D’Amore, Fandiño, Marazzani y Sbaragli, 2010, p. 78).
De acuerdo con Fischbein (1985,1992 como se cita en Sbaragli, 2005, p. 15) cuando un
profesor propone una imagen fuerte, convincente, persistente y posiblemente unívoca de
un concepto, la imagen se transforma en un modelo intuitivo; se crea entonces una
“especie de correspondencia entre la situación propuesta y el concepto matemático que
se está utilizando; pero este modelo podría no reflejar el saber matemático puesto en
juego, generando así un modelo parásito” (Fischbein, 1985,1992 como se cita en
Sbaragli, 2005). Por otra parte de acuerdo con D’Amore (2010, p. 80) cuanto más
fuerte es el modelo intuitivo, resulta más difícil infringirlo para acomodarlo a una
imagen nueva más comprensiva del objeto. En estos casos, las misconcepciones, que
podrían no ser consideradas en sentido negativo, propuestas como un momento de
transición, pasan a ser fuertes obstáculos difíciles de ser superados para sucesivos
aprendizajes.
Algunas misconcepciones pueden derivarse directamente de la transposición didáctica
del saber y de la Ingeniería didáctica, pues se constituyen en consecuencia directa de las
decisiones de los docentes: tales misconcepciones se conocen como evitables (Sbaragli,
2005, p. 6). Por otra parte, si las misconcepciones derivan indirectamente de la
transposición didáctica, estas pueden verse como “momentos inevitables de transición
derivados de las representaciones que los maestros se ven obligados a ofrecer a fin de
presentar un concepto que puede contener información parásita en relación con el
concepto matemático que quiere ser tratado”; estas misconcepciones denominadas
inevitables se vinculan con el papel de las representaciones de los objetos matemáticos,
es decir con la semiótica, la cual se aborda en el siguiente apartado.
32
4.6 Aspectos semióticos en el aprendizaje de las matemáticas
El rol de las representaciones es central en la construcción de conocimiento matemático.
De acuerdo con Hoffman (2006, p. 279) “los signos y representaciones juegan un papel
esencial en las matemáticas. Podría incluso decirse que la esencia de las matemáticas
consiste en trabajar con representaciones”. Más adelante, en el mismo documento este
autor afirma:
La cognición Matemática está mediada por representaciones. La actividad
matemática es realizada por medio de signos visibles, y por la interpretación
y transformación de signos desarrollamos conocimiento matemático. Por un
lado, los signos son medios para pensar acerca de las
relaciones matemáticas y los objetos, y por el otro son los productos de este tipo
de pensamiento ya que generan nuevos signos matemáticos signos -
por "abstracción hipostática", como diría Peirce – cuando hay una necesidad de
significar nuevas relaciones matemáticas y objetos (Hoffman, 2006, p. 279)
Por otra parte para D’Amore (2004, p. 5)
todo concepto matemático se ve obligado a servirse de representaciones, dado que
no se dispone de “objetos” para exhibir en su lugar; por lo que la conceptualización
debe necesariamente pasar a través de registros representativos que, por varios
motivos, sobre todo si son de carácter lingüístico, no pueden ser unívocos.
De lo anterior se desprende que para comprender cómo ocurre el aprendizaje
matemático es necesario indagar críticamente sobre las representaciones que se hacen
los estudiantes de los objetos matemáticos, pues como señala Duval (1999, p. 25) “no
es posible estudiar los fenómenos relativos al conocimiento sin recurrir a la noción de
representación”, a lo que posteriormente añade “no hay conocimiento que un sujeto
pueda movilizar sin una actividad de representación”.
33
Ahora bien, los objetos matemáticos son distintos de sus representaciones, hecho que
podría no ser claro para los sujetos inmersos en un proceso de aprendizaje; pero si este
es el caso, es decir si no se distingue el objeto de su representación no puede haber
comprensión en matemáticas (Duval, 1999, p. 13) (Duval, 1993, cita correcta, buscar)
. La comprensión de las diferentes representaciones de un objeto dado y del objeto
mismo aluden a las nociones de semiosis y de noesis, caracterizables de acuerdo a
Duval (1999, p. 14) como:
“aprehensión o producción de una representación semiótica” para la semiosis, y
los “actos cognitivos como aprehensión conceptual de un objeto” para la noesis.
La noesis hace entonces referencia a la adquisición conceptual de un objeto, mientras la
semiosis lo hace a la representación del objeto mediante signos. Las representaciones se
manifiestan a través de registros semióticos, los cuales constituyen los “grados de
libertad de los que puede disponer un sujeto para objetivarse él mismo una idea aún
confusa, un sentimiento latente, para explorar las informaciones, o simplemente para
comunicarlas a un interlocutor” (Duval, 1999, p. 29). Además cuando se hacen
representaciones de objetos matemáticos se realizan ciertas actividades cognitivas
fundamentales (ligadas a la semiosis), las cuales de acuerdo a Duval (1999, p.40) son:
la formación de representaciones en un registro semiótico particular, para
expresar una representación mental o para evocar un objeto real;
el tratamiento cuando se realiza una transformación de representaciones en el
mismo registro;
la conversión cuando una transformación produce una representación en un
registro distinto al de la representación inicial;
34
El hecho de trabajar con representaciones de los objetos matemáticos en lugar de
hacerlo con los objetos mismos, implica ciertas dificultades de aprendizaje que pueden
sintetizarse en la paradoja de Duval:
De una parte, el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser más que un
aprendizaje conceptual y, de otra, es sólo por medio de representaciones
semióticas que es posible una actividad sobre los objetos matemáticos. Esta
paradoja puede constituir un verdadero círculo vicioso para el aprendizaje.
¿Cómo sujetos en fase de aprendizaje no podrían no confundir los objetos
matemáticos con sus representaciones semióticas si ellos sólo pueden tener
relación con las representaciones semióticas? La imposibilidad de un acceso
directo a los objetos matemáticos, fuera de toda representación semiótica,
vuelve la confusión casi inevitable. Y, por el contrario, ¿cómo pueden ellos
adquirir el dominio de los tratamientos matemáticos, necesariamente ligados con
las representaciones semióticas, si no tienen ya un aprendizaje conceptual de los
objetos representados? Esta paradoja es aún más fuerte si se identifican
actividades matemáticas y actividades conceptuales y si se consideran las
representaciones semióticas como secundarias o extrínsecas (1993, como se cita
en D’Amore, 2006b, p. 4)
Por otra parte debe considerarse también la idea de signo que de acuerdo con D’Amore
(2006b, p. 5) es una forma de representación específica de la matemática, siendo
especificación de lo particular, pero que puede ser interpretado dando sentido a lo
general. También los signos que son artefactos lingüísticos, tienen el objetivo de
representar para indicar y son fundamentales para la objetivación de acuerdo a Radford:
[La] objetivación es un proceso cuyo objetivo es mostrar algo (un objeto) a
alguien. Ahora bien, ¿cuáles son los medios para mostrar el objeto? Esos medios
35
son los que llamo medios semióticos de objetivación. Estos son objetos,
artefactos, términos lingüísticos y signos en general que se utilizan con el fin de
volver aparente una intención y de llevar a cabo una acción. (2005, como se cita
en D’Amore, 2006b, p. 5)
4.7 Consideraciones didácticas para el análisis de los errores y dificultades en el
aprendizaje de las matemáticas.
Las dificultades y errores que presentan los estudiantes en su proceso de aprendizaje de
las matemáticas pueden deberse a problemas de naturaleza didáctica; tales problemas
son obstáculos didácticos y sus causas pueden ubicarse en la transposición didáctica y el
contrato didáctico, entre otros. D’Amore, Fandiño, Marazzani y Sbaragli precisan el
significado de obstáculo didáctico:
Cada docente elige un proyecto, un currículo, una metodología, interpreta de
forma personal la transposición didáctica de acuerdo con sus convicciones ya sea
científicas o didácticas; él cree en dicha elección y la propone a la clase porque
la considera eficaz; pero lo que es realmente eficaz para algunos estudiantes, no
está dicho que lo sea para otros. Para estos otros, la elección de este proyecto se
revela un obstáculo didáctico. (2010, p. 51).
El concepto de transposición didáctica, se originó en el grupo de investigación
coordinado por Chevallard, con sede en el IREM de Aix-Marsella, (Schneider, 1979;
Tonelle, 1979, como se cita en D’Amore, 2006a, p. 234). Para Chevallard (1985, como
se cita en D’Amore, 2006a, p. 235) la “transposición didáctica nace de la relatividad del
saber al interior del cual se presenta” refiriéndose específicamente a la “adaptación del
conocimiento matemático para transformarlo en conocimiento para ser enseñado”
(1985, como se cita en D’Amore, 2006a, p. 235).
36
4.8 Estructura de los cursos de matemáticas de primer semestre en programas de
pregrado en Colombia.
La tabla 1 muestra los contenidos de algunos cursos de matemáticas de primer semestre
en Instituciones de Educación Superior ubicados en la ciudad de Bogotá (Colombia).
Tabla 1
Contenidos de algunos cursos de matemáticas de primer semestre en Universidades de la
ciudad de Bogotá
Universidad Universidad 1 Universidad 2 Universidad 1 Universidad 3
Programa Ing. de Sistemas
Distancia
Ingeniería Contaduría
(Distancia)
Administración de
Empresas.
(Distancia)
Administración
de Empresas y
Contaduría
Pública
Denominación Precálculo Matemáticas
Básicas
Fundamentos de
Matemáticas
Distribución Semanal Semanal. Semanal Unidades
1 Conjuntos: Definiciones;
Operaciones entre
conjuntos.
Conjuntos numéricos.
Propiedades de los
números reales. Relación
de orden. Propiedades.
Intervalos.
Los números reales.
Exponentes y
Radicales:
Propiedades.
racionalización
Lógica y conjuntos Números reales:
aritmética,
fracciones,
propiedades,
exponentes y
radicales.
Intervalos.
Proporciones y
porcentajes.
Notación de
sumatoria,
productoria y
factorial.
2 Exponentes y radicales:
potenciación, leyes de los
exponentes, radicación,
propiedades de la
radicación, expresiones
algebraicas, grado de un
polinomio, operaciones
con expresiones
algebraicas, teorema de la
división
Expresiones
algebraicas:
operaciones, productos
notables.
Factorización.
Conjuntos
Numéricos
Expresiones
algebraicas:
variables,
traducción de
enunciados,
operaciones,
productos
notables,
factorización,
fracciones
algebraicas.
3 Factorización: productos
notables, factorización de
trinomios de la forma
cbxax 2,
fracciones algebraicas;
operaciones con fracciones
algebraicas.
Expresiones
racionales.
Ecuaciones: Lineal
y cuadrática.
Expresiones
Algebraicas
Ecuaciones
lineales:
reducción de
ecuaciones
fraccionarias y
con radicales,
rectas (gráficas).
Problemas de
aplicación.
4 Igualdad, identidad y
ecuación: definición,
clases, propiedades,
solución de problemas con
ecuaciones lineales;
Desigualdades: definición,
solución de problemas
Otros tipos de
Ecuaciones. Modelado
mediante ecuaciones.
Función lineal y
función cuadrática.
Ecuaciones
cuadráticas:
reducción de
ecuaciones
fraccionarias y
con radicales,
formas
37
con desigualdades. cuadráticas,
parábolas
(gráficas,
máximos,
mínimos).
Problemas de
aplicación.
5 Distancia entre dos puntos,
coordenadas del punto
medio de un segmento,
ecuación de la
circunferencia. La Línea
recta: ecuación general de
la recta, condiciones de
paralelismo y
perpendicularidad.
Modelado mediante
ecuaciones.
Desigualdades:
Lineales y cuadráticas.
Ecuaciones y
sistemas de
ecuaciones
Inecuaciones:
lineales,
cuadráticas,
fraccionarias, con
valor absoluto.
Problemas de
aplicación.
6 Concepto de relación y
función: Dominio y rango.
Funciones reales de una
variable: Criterio de la
vertical, Tipos de
funciones y sus gráficas.
Transformación de
funciones.
Desigualdades con
valor absoluto.
Matrices Funciones:
gráfica, dominio,
rango, aritmética
de funciones,
composición,
función inversa.
Funciones
algebraicas
(polinomios,
racionales,
radicales).
7 La función cuadrática:
características; ecuación
cuadrática.
Plano coordenado.
Distancia, intersección
con los ejes. Graficas.
Ecuaciones de la
circunferencia
Ecuación de la
parábola
Inecuaciones Funciones
definidas por
partes.
Transformaciones
de funciones
(traslación,
reflexión,
simetrías).
Funciones
trascendentes
(exponencial,
logarítmica).
Problemas de
aplicación.
8 Polinomios: teoremas de
factorización; bosquejo de
la gráfica de un polinomio;
ceros reales de un
polinomio; tablas de
signos; inecuaciones
polinómicas.
Elipse.
Hipérbola.
Aplicaciones en
Economía.
Sistemas de
ecuaciones
lineales.
Intersección entre
curvas. Gráficas.
9 Cónicas Desplazadas.
Ecuación de línea
Recta. Rectas paralelas
y perpendiculares.
Aplicaciones.
10 Modelos de Variación.
Funciones: Definición,
dominio, rango,
gráfica
11 Función creciente y
decreciente.
Transformaciones de
funciones. Funciones
cuadráticas.
12 Modelado con
Funciones.
13 Operaciones entre
funciones.
38
Funciones uno a uno e
inversas.
14 Función Exponencial.
Función Logaritmo:
Propiedades de los
Logaritmos.
15 Ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas.
Funciones
trigonométricas de
ángulos rectos.
16 Funciones
trigonométricas de
números reales. Ley de
senos y
cosenos.
La información contenida en esta tabla se obtuvo directamente de programas académicos de universidades ubicadas
en la ciudad de Bogotá.
Aunque la anterior tabla es específica para algunos pocos programas de pregrado, esta
información es un buen indicio de los contenidos abordados en estos cursos.
Posiblemente la única diferencia notable (en cuanto a contenidos) radica en que los
cursos de matemáticas básicas (o Precálculo) para programas relacionados con las
ciencias económicas cubren menos temas que los programas de Ingeniería. Por ejemplo,
tópicos como secciones cónicas, funciones trigonométricas y leyes del seno y del
coseno están presentes en programas de Precálculo para Ingeniería y no lo están en
programas como Administración o Contaduría. Puede afirmarse que un curso de
matemáticas básicas en programas de Pregrado comprende, en general, el estudio de:
Conjunto de los números reales sin definición formal: Propiedades de los
números reales. Relación de orden (menor que, mayor que). Propiedades.
Intervalos. En este caso se hace una presentación no formal.
Álgebra: potenciación y radicación con sus propiedades, expresiones
algebraicas, operaciones entre expresiones algebraicas (adición, producto,
división), polinomios, factorización y productos notables.
Ecuaciones: resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas. Resolución de
problemas y ejercicios que involucran ecuaciones lineales o cuadráticas.
39
Desigualdades: resolución de desigualdades.
Relaciones y funciones: definición de relación y función, plano cartesiano.
representaciones de funciones: gráficas en el plano cartesiano, nociones de
dominio y rango, traslaciones, dilataciones, contracciones, reflexión, simetría de
funciones, funciones uno a uno y funciones inversas.
Función lineal: ecuación de la recta, pendiente de una recta, representación
gráfica de la función lineal, paralelismo y perpendicularidad entre rectas,
modelación mediante funciones lineales.
Función cuadrática: ecuación de la función cuadrática (parábola), representación
gráfica de la función cuadrática, modelación mediante funciones cuadráticas.
Otras funciones: exponencial, logarítmica, representación gráfica de funciones
exponencial y logarítmica.
En programas de Ingeniería, adicionalmente se tiene:
Geometría analítica y trigonometría: distancia entre dos puntos, ley del seno y
del coseno. Aplicaciones.
Cónicas: definición, ecuaciones, gráficas (circunferencia, elipse, hipérbola,
parábola). Aplicaciones.
Funciones trigonométricas. Propiedades. Gráficas. Aplicaciones.
La primera parte de estos cursos corresponde generalmente a una revisión de los
conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, irracionales y finalmente reales),
con su representación en la recta real, operaciones y relaciones de orden, para pasar
posteriormente al estudio del álgebra y de las funciones de una variable real y otros
tópicos de geometría analítica y trigonometría. Se debe señalar adicionalmente, que el
conjunto de los números complejos no siempre es abordado en estos cursos; su estudio
en algunos programas de Ingeniería (en Colombia) se pospone hasta cursos posteriores
40
(matemáticas especiales o variable compleja).
5. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
5.1 Naturaleza del estudio.
Para responder las preguntas que orientan esta investigación, se optó por un estudio
cualitativo al permitir un acercamiento detallado a las explicaciones de los docentes
participantes sobre los errores y dificultades, que ellos identificaron, cometidos por sus
estudiantes de matemáticas de primer semestre. Lo anterior se sustenta en lo expresado
por Bonilla y Rodríguez sobre el interés de la investigación cualitativa en “captar la
realidad social a través de los ojos de la gente que está siendo estudiada, es decir a partir
de la percepción que tiene el sujeto de sus propio contexto” (1997, p. 47). Además, para
Johnson y Christensen, en la investigación cualitativa se busca explorar, descubrir,
construir y describir a través de una gran lente, examinando el alcance y profundidad de
los fenómenos para aprender más sobre ellos (2008, p. 34).
El método de investigación seguido en el presente estudio se sustentó parcialmente en la
Teoría Fundamentada, la cual es definida por Strauss y Corbin como “una metodología
general para desarrollar teoría que está fundamentada en la recolección y análisis
sistemático de datos. La teoría se desarrolla durante la investigación, a través de una
continua interpelación entre el análisis y la recogida de datos” (l994, como se cita en
Centro de Estudios de Opinión, s.f., p. 6).
5.2 Diseño y desarrollo de la investigación.
El proceso de investigación siguió seis de las etapas identificadas por Bonilla y
41
Rodríguez (1997, p. 76): exploración de la situación, diseño, recolección de datos
cualitativos, organización, análisis e interpretación de datos. A continuación se describe
la realización de cómo se realizaron estas etapas en el presente estudio:
1. Exploración de la situación y diseño: de acuerdo a Bonilla y Rodríguez (1997, p. 77)
el “primer canon que debe cumplirse en cualquier proceso de investigación, pero
específicamente cuando se usan métodos cualitativos, es la formulación clara del
problema a partir de sus propiedades esenciales”. En la presente investigación se
estableció inicialmente la formulación del problema, definiendo las preguntas y
objetivos de investigación pertinentes. Se determinó así mismo el tipo de estudio y
la forma de recolectar la información.
2. Recolección de datos cualitativos: todo el proceso de recolección de la información
tomó un tiempo aproximado de tres meses y se desarrolló de la siguiente manera:
Indagación inicial a docentes con experiencia en el primer curso de matemáticas
universitarias. En esta indagación inicial se pidió a profesores de cursos de
primer semestre de Universidad indicar algunas dificultades o errores que
hubiesen identificado en sus estudiantes. Estas respuestas las enviaron los
profesores vía correo electrónico. En el anexo 9.1 se encuentra una síntesis de
las respuestas dadas por estos docentes, junto con algunos errores y dificultades
identificados por el autor del presente estudio. Los resultados de esta indagación
se incluyeron en el instrumento escrito, con el fin de determinar posibles
explicaciones de los docentes participantes a estos errores y dificultades.
Selección de los participantes. Se eligieron siete profesores con experiencia en el
primer curso de matemáticas universitarias como participantes del estudio. En
el apartado 5.4 correspondiente a contexto y participantes se hace una
descripción de los profesores seleccionados y el criterio de selección.
42
Diseño, elaboración y aplicación de instrumento escrito. Se decidió realizar
entrevistas cualitativas individuales pues éstos son instrumentos idóneos que
permiten la recolección de información cualitativa; de acuerdo con Patton “el
objetivo de la entrevista cualitativa es conocer la perspectiva y el marco de
referencia a partir del cual las personas organizan su entorno y orientan su
comportamiento.” (1980, como se cita en Bonilla y Rodríguez, 1997, p. 93). Las
entrevistas se realizaron en dos momentos: a través de un cuestionario escrito y
posteriormente mediante la realización de entrevistas personales. El cuestionario
escrito correspondió a una entrevista semiestructurada compuesta por diez
preguntas abiertas, través de las cuales se pretendió: 1. Conocer percepciones de
los participantes sobre error y dificultad; 2. Determinar errores y dificultades de
los estudiantes que los docentes participantes han identificado en su práctica
docente con el primer curso de matemáticas universitarias; 3. Determinar
explicaciones de los docentes sobre estos errores y dificultades; 4. Determinar
cuáles de los errores y dificultades establecidos en la indagación inicial también
eran identificados por estos docentes; 5. Cuáles eran sus explicaciones para estos
errores. El instrumento se entregó a algunos de los participantes en físico
(impreso en papel) y a otros se les envió por correo electrónico. Las respuestas
de los participantes se transcribieron y organizaron en tablas para su análisis.
(Ver anexos 9.2 y 9.3).
Realización de entrevistas personales con los participantes. Con el fin de
complementar, contrastar, verificar y profundizar sobre las respuestas dadas en
el instrumento escrito por los profesores participantes, se realizaron entrevistas
personales con seis de ellos. La elección de este instrumento se sustenta en que
43
La entrevista cualitativa con fines investigativos se centra en el
conocimiento o la opinión individual sólo en la medida en que dicha
opinión puede ser representativa de un conocimiento cultural más
amplio. En este sentido las entrevistas individuales en profundidad son el
instrumento más adecuado cuando se han identificado informantes o
personas claves dentro de la comunidad. (Bonilla y Rodríguez, 1997, p.
93)
El tipo de entrevista realizada fue estructurada con una guía; en esta entrevista el
investigador define previamente un conjunto de tópicos que deben abordarse con los
participantes, puede formular o dirigir las preguntas de la manera que crea
conveniente pero debe tratar los mismos temas con todas las personas y garantizar
que se recolecte la misma información (Bonilla y Rodríguez, 1997, p. 96; Johnson y
Christensen, 2008, p. 208). Cada entrevista se preparó con algunas preguntas
formuladas por el investigador a partir de las respuestas dadas por los profesores
participantes al instrumento escrito. En el desarrollo de estas entrevistas surgieron
algunas preguntas adicionales que buscaban profundizar sobre aspectos de las
respuestas de los participantes, siempre con el objetivo de responder las preguntas
orientadoras de la presente investigación. Además para la realización de las
entrevistas con los participantes se siguió lo expuesto en Pochulu (2005, p. 4):
Explicar previamente los objetivos del trabajo y acordar momentos
posteriores para la entrevista, con la intención de dar tiempo suficiente
para que los docentes participantes organicen y reorganicen la
información solicitada, y evitar, por otro parte, obtener respuestas
triviales o fútiles.
44
Las entrevistas se registraron en audio y se transcribieron. En el anexo 9.4 se
encuentra el consolidado de estas entrevistas.
3. Organización, análisis e interpretación de datos. El proceso de organización y
análisis de la información recolectada se explica en el siguiente apartado.
5.3 Análisis e interpretación de la información recolectada.
El análisis de los datos obtenidos siguió lo planteado desde la Teoría Fundamentada
para el proceso de análisis de la información. Este proceso incluye, de acuerdo a
Johnson y Christensen (2008, p. 413) una codificación abierta, categorización y
saturación teórica. A continuación se explica en detalle este proceso.
Simultáneamente con el proceso de recolección de la información brindada por los
docentes entrevistados se organizó inicialmente la información, tomando en
consideración posibles errores coincidentes y agrupándolos en posibles categorías
emergentes del estudio. La identificación de ciertos patrones y tópicos recurrentes en las
respuestas de los participantes permitió establecer la categorización definitiva
presentada en el apartado correspondiente a hallazgos y discusión.
El análisis de las respuestas de los docentes permitió aproximar posibles explicaciones
tanto de las respuestas de los docentes como de las causas de los errores y dificultades
reportados en la investigación. Las posibles explicaciones se realizaron bajo el marco
de la Didáctica de las Matemáticas, considerando específicamente los referentes
teóricos, citados en la revisión bibliográfica.
Finalmente se realizó una discusión de los resultados de la investigación a través de una
narrativa teórica presentada en el documento como hallazgos y discusión.
5.4 Contexto y participantes.
Para la recolección de la información se entrevistaron docentes universitarios que han
45
orientado este tipo de cursos en algunas instituciones de Educación Superior, en la
ciudad de Bogotá, y cuya experiencia docente oscila entre los diez y quince años. El
tipo de formación y la experiencia docente de los participantes es variada como se
describe a continuación:
Profesora Juliana: docente universitaria con título de pregrado como Licenciada
en Matemáticas, Magister en Docencia de la Matemática y con cerca de 20 años
de experiencia como docente de cursos de matemáticas universitarias.
Profesor Fernando: Licenciado en Matemáticas con Maestría en Educación y
con una experiencia de aproximadamente tres años en docencia universitaria de
las matemáticas.
Profesor Javier: Ingeniero Químico con título de Maestría en Pedagogía y
experiencia docente de doce años.
Profesor Miguel: Ingeniero Mecánico con Maestría en Educación y
aproximadamente 7 años de experiencia docente con cursos universitarios de
matemáticas.
Profesora Liliana: Licenciada en Matemáticas, Especialista en Matemática
Aplicada con estudios de Maestría en Filosofía y aproximadamente 2 años de
experiencia docente con cursos de matemáticas en Educación Superior.
Profesor Ricardo: Ingeniero Mecánico con Maestría en Educación y
aproximadamente nueve años de experiencia docente con cursos de
matemáticas universitarias.
Profesor Diego: Físico con Maestría en Física y experiencia docente de
aproximadamente diez años en Educación Superior.
La elección de estos docentes se realizó bajo el criterio de escoger participantes que
conocen y pueden brindar la información pertinente y con la experiencia suficiente para
46
poder identificar errores y dificultades frecuentes en los estudiantes de los primeros
cursos de Matemáticas Universitarias.
5.5 Validez.
Los participantes se seleccionan adecuadamente en tanto permiten obtener
específicamente la información requerida, lo cual se garantiza por su contexto:
profesores en ejercicio en Educación Superior con experiencia en docencia universitaria
y quienes han orientado primeros cursos de matemáticas universitarias.
Las transcripciones y posibles interpretaciones de lo expresado por los participantes en
la entrevista se confirmaron gracias a unas discusiones con los participantes (member
checking). Por la especificidad del estudio, el análisis de la información se realizó
tomando referentes teóricos dentro del marco de la Didáctica de las Matemáticas.
5.6 Significancia y limitaciones del estudio.
El estudio parece relevante en cuanto puede contribuir a la comprensión de cuáles son
las posibles interpretaciones de las causas de los errores de los estudiantes en su
aprendizaje de las matemáticas por parte de sus profesores, pudiéndose convertir en un
referente para investigaciones posteriores que pretendan profundizar o realizar estudios
similares en otros contextos y buscar soluciones a los problemas de falta de
construcción cognitiva por parte de los estudiantes, gracias a oportunas intervenciones
miradas por parte de los profesores no sólo de las universidades, pero también de los
cursos precedentes.
Por otra parte, el presente estudio parece significativo en cuanto son los propios
docentes quienes identifican e intentan dar explicaciones de los errores y dificultades
mencionadas.
47
Una limitación de la presente investigación radica en la imposibilidad de analizar todos
los errores, pues el foco está en algunos errores típicos que han identificado algunos
docentes de matemáticas; tales casos podrían hacer parte de estudios posteriores.
Además la gran variedad y complejidad de los diferentes errores y dificultades
reportadas exige un acercamiento de mayor profundidad que permita ser mucho más
específico sobre las posibles razones de cada error y dificultad reportada.
5.7 Aspectos éticos.
Para garantizar que la presente investigación se realizó de forma ética, se informó a los
profesores entrevistados sobre la naturaleza del estudio, formas de recolección de la
información y su rol en el mismo. Esta información se suministró por escrito y en forma
verbal durante la entrevista con cada uno de ellos. Por otra parte se decidió utilizar
nombres diferentes (pseudónimos) para los participantes en todas las citas y
comentarios referenciados en la investigación.
6. RESULTADOS
De la información obtenida se encontró que existen ciertas percepciones intuitivas de
los profesores entrevistados sobre los errores y dificultades que tienen los estudiantes
en su proceso de aprendizaje de las matemáticas. Esto permite establecer una primera
categoría de análisis denominada Percepciones de los docentes sobre error y dificultad
en el aprendizaje de las matemáticas, la cual podría ser considerada como una
supracategoría4; esta engloba las categorías identificadas más adelante y puede dar
4 Supracategoría: de acuerdo con Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua el prefijo supra
significa “arriba o encima de” (Real Academia Española de la Lengua, 2001). Se concibe, entonces, en la
presente investigación la supracategoría como una categoría con mayor jerarquía en cuanto engloba las
categorías de análisis identificadas.
48
indicios del por qué de las explicaciones de los docentes entrevistados. En esta categoría
se identifican percepciones de los docentes entrevistados sobre lo que es para ellos error
y dificultad y posibles factores que inciden en su presencia durante el aprendizaje de las
matemáticas.
En esta primera categoría se han incluido tres aspectos sobre los cuales los participantes
se han referido específicamente:
Percepción sobre error y dificultad: ésta se refiere a las percepciones de algunos
de los entrevistados sobre lo que es para ellos error y dificultad en el aprendizaje
de las matemáticas y las posibles relaciones y diferencias entre estas nociones.
Dificultades conceptuales: los entrevistados enfatizan recurrentemente en que
muchas de las dificultades y errores de los estudiantes se relacionan con la no
comprensión de conceptos matemáticos.
Posible responsabilidad de los docentes en los errores y dificultades de los
estudiantes presenta consideraciones de los entrevistados sobre cómo pueden
influir los docentes en la presencia de los errores y dificultades de los
estudiantes.
Asimismo los entrevistados han aportado diferentes evidencias y explicaciones de esas
diferentes dificultades y errores que se han clasificado mediante las siguientes
categorías, las cuales emergen de las respuestas de los participantes y del instrumento
inicial:
Errores y dificultades asociados a la comprensión de conjuntos numéricos,
propiedades y operaciones. Los entrevistados reportan sus opiniones sobre
situaciones relacionadas con operaciones y propiedades de los números reales en
las cuales los estudiantes presentan dificultades y presentan sus explicaciones
sobre estos hechos.
49
Errores y dificultades asociados a la representación de objetos matemáticos.
Para los docentes entrevistados es frecuente la presencia de dificultades ligadas a
la comprensión de los símbolos, del lenguaje y de la representación de los
objetos matemáticos; también en este caso los entrevistados presentan sus
explicaciones posibles.
Errores y dificultades asociados al álgebra. Los cursos de matemáticas de
primer semestre en Educación Superior tienen un fuerte contenido algebraico; en
el álgebra son variadas las situaciones en las que los estudiantes presentan
dificultades de aprendizaje como la factorización, operaciones con expresiones
algebraicas y resolución de ecuaciones, entre otras. Esta categoría permite
conocer las explicaciones de los entrevistados sobre este tópico.
Errores y dificultades asociados a la comprensión de función y relación. Las
relaciones y funciones constituyen conceptos matemáticos que resultan
problemáticos para los estudiantes en cuanto su comprensión en términos de
interpretación de las variables y su dependencia, notación y representación
gráfica entre otros, por lo cual son tratados en una categoría específica.
Errores y dificultades asociados a conceptos de cálculo. Aunque conceptos
como límites y derivadas de funciones de una variable real son tratados
generalmente en cursos de cálculo, excepcionalmente pueden hacer parte de un
curso de matemáticas de primer semestre; se incluyen como categoría dado que
algunos docentes hacen algunas menciones relacionadas con el cálculo.
La categoría Errores y dificultades asociadas a la representación de objetos
matemáticos incluye la subcategoría:
Errores y dificultades asociados a la resolución de problemas, por cuanto los
docentes manifiestan que existen dificultades de interpretación, por ejemplo, del
50
enunciado de los problemas y su posterior transformación a un modelo
matemático.
Por otra parte en Errores y dificultades asociados al álgebra se incluyen las
subcategorías:
Errores y dificultades asociados a operaciones algebraicas. En esta
subcategoría se incluyen dificultades y errores de los estudiantes cuando realizan
operaciones con expresiones algebraicas como adiciones, productos y
factorizaciones entre otros.
Errores y dificultades asociados a la resolución de ecuaciones. Los estudiantes
presentan dificultades en la resolución de ecuaciones tales como despejes
incorrectos o problemas en la interpretación de la ecuación.
A continuación se presenta una síntesis de los hallazgos evidenciados en los diferentes
momentos de la recolección de la información (instrumento inicial de indagación,
instrumento escrito y entrevista) y una discusión de los mismos para cada una de las
categorías establecidas.
6.1 Percepciones de los docentes sobre error y dificultad en el aprendizaje de las
matemáticas.
A continuación se presentan las percepciones de los docentes y sus explicaciones sobre
error y dificultad, errores y dificultades conceptuales de los estudiantes y la posible
responsabilidad de los docentes en la presencia de estas dificultades en los estudiantes.
6.1.1 Percepciones sobre error y dificultad.
51
Las percepciones de los docentes entrevistados sobre error y dificultad en el aprendizaje
de las matemáticas constituyen referentes que permiten matizar y contextualizar sus
respuestas y explicaciones a los tópicos tratados en el presente estudio. Un primer
aspecto que puede reconocerse es que al hablar de errores y dificultades en el
aprendizaje de las matemáticas los docentes inicialmente no se refieren específicamente
a algún campo particular de las matemáticas de forma explícita (es decir no las ubican
particularmente en aritmética, álgebra, geometría, cálculo o en relación a algún
concepto u objeto). Por ejemplo Juliana ve las dificultades de manera general: “yo
concibo las dificultades en términos más generales…eh estamos hablando del
aprendizaje de las matemáticas”. El profesor Javier coincide con Juliana en que los
estudiantes presentan dificultades en su aprendizaje: “Bueno yo creo que realmente lo
que tienen nuestros estudiantes son dificultades y es lo que tenemos que trabajar”.
Además estas dificultades se pueden percibir de diferentes formas, como lo evidencia lo
expresado por la profesora Juliana quien las asocia en parte a obstáculos en el
aprendizaje: “dificultades lo veo como toda la gama de obstáculos didácticos que puede
encontrar un estudiante para aprender” y en parte a otros factores (por ejemplo
vocacionales): “las dificultades que puede encontrar un estudiante pues nos tocaría
tratar de categorizarlas porque las veo a título ¿cómo las ponemos? Personal, que
podríamos ver la parte vocacional, cuando un muchacho está mal ubicado
vocacionalmente”.
En cuanto a los errores, éstos se reconocen como “manifestaciones de las dificultades”
como lo señala Javier o como parte de los obstáculos didácticos según lo expresa
Juliana “y dentro de esos obstáculos didácticos encuentro que hay unos errores, hay
unos que se clasifican como errores”.
52
En sus respuestas, los entrevistados tienden a enfatizar en el reconocimiento de las
dificultades y errores de aprendizaje de las matemáticas en términos conceptuales
presentando diversos argumentos para explicar en qué sentidos las conciben, tal como
se describe a continuación.
6.1.2 Dificultades y errores conceptuales.
Algunos de los profesores entrevistados coinciden en identificar dificultades y errores
ligados a la comprensión de los conceptos matemáticos citando situaciones en las cuales
se evidencian. Una de estas situaciones, mencionada por Javier, ocurre cuando los
estudiantes no diferencian entre ciertos objetos o conceptos matemáticos: “a la mayoría
de los estudiantes se les dificulta distinguir entre los diferentes objetos y conceptos
matemáticos, por ejemplo para un estudiante promedio es muy difícil distinguir entre un
polinomio cuadrático, una ecuación cuadrática y una función cuadrática”.
Los errores en el aprendizaje de las matemáticas son asociados a la comprensión de los
conceptos como lo explica también Juliana: “los errores, veo yo que son…eh una mala
concepción y una mala aplicación, entonces los veo conceptuales”. La profesora Juliana
menciona que la comprensión de los conceptos puede ser deficiente e incluso nula pues
los alumnos “no tienen el concepto claro, o lo desconocen; o tienen mal el concepto o
ignora el concepto”.
Adicionalmente para Juliana las dificultades se reflejan en las actuaciones de los
estudiantes cuando se enfrentan a otras situaciones que involucran el uso de las
matemáticas, como en el caso de lo que ella denomina aplicaciones:
Se tiene o no se tiene [el concepto], y en la aplicación, teniendo el concepto
puede venir una aplicación buena o una mala aplicación, y no teniendo el
concepto, yo diría que lo más seguro es que la aplicación es mala aplicación.
53
Los entrevistados ofrecen múltiples explicaciones para las razones que podrían llevar a
los estudiantes a tener estas dificultades y errores. De acuerdo al profesor Javier puede
deberse a lo que denomina “enseñanza tradicional de las matemáticas” en la que se
privilegia “el desarrollo de procesos operativos”, lo cual lleva a que los estudiantes no
tengan espacio para la conceptualización: “la mecanización de rutinas y algoritmos de
solución no da espacio al estudiante para intentar conceptualizar la matemática”.
Para los docentes entrevistados, las actitudes de los estudiantes hacia el aprendizaje de
las matemáticas parecen jugar también un papel central en la existencia de estas
dificultades. Por ejemplo, para Ricardo, la causa puede estar en la actitud como asumen
los estudiantes su curso de matemáticas: “los estudiantes abordan la materia con la
concepción de que son fórmulas y no establecen procesos para desarrollar pensamiento
sistémico respecto al desarrollo de las matemáticas.” De manera similar, Diego expresa,
lo que él cree que el estudiante piensa respecto al concepto:
El concepto no se retiene, el concepto no permanece, el estudiante piensa que el
concepto debe memorizarlo o debe intentarlo mínimamente en una situación
coyuntural, pero no es algo que deba permanecer en su cabeza, pero no es algo
que deba permanecer para integrarlo con conceptos o que se integre a una
formación posterior.
En algunos casos se trasladan las causas de los errores conceptuales a los procesos de
formación anteriores a la universidad, como lo afirma Miguel:
Yo creo que es un conjunto de elementos, que se conjugan para que los
estudiantes, digamos, cometan este tipo de errores, uno de ellos es digamos el
lastre que llevan desde la primaria, digamos, a veces errores de tipo conceptual,
que se han trabajado de manera inadecuada en los cursos de la educación básicas
primaria.
54
Sobre esto Diego señala que hay un descenso en lo que él denomina “niveles de lectura”
lo cual incide en la comprensión de los estudiantes:
Los niveles de comprensión de simplemente términos, por ejemplo términos que
se definen bien, que el estudiante debe identificar en el enunciado de un
problema, en el enunciado de una situación problémica, no son claros para una
persona que ya tiene una formación finalizada por ejemplo, en la secundaria y
entran a la universidad.
En la opinión presentada, cuando Diego menciona “términos que se definen bien” se
refiere a ciertas expresiones que eventualmente aparecen en el enunciado de un
problema como “un objeto que parte del reposo” y que no son interpretadas por los
estudiantes, aunque hayan sido abordadas o presentadas por los docentes en ciclos de
formación previos (por ejemplo un curso anterior o el bachillerato) ya finalizados.
Juliana afirma en un sentido similar a los anteriores que son varios los conceptos que no
se abordan en el colegio, lo cual implica consecuencias en términos de las dificultades
de aprendizaje de las matemáticas:
Sé por experiencia y que los estudiantes inclusive los muy juiciosos le traen a
uno hasta el cuaderno y los libros y le cuentan a uno [que] no abordaron
problemas, no abordaron conceptos ni definiciones ni de logaritmo ni de
geometría; es que muchos ni siquiera llegaron a derivadas. Entonces sin esa
experiencia o sin trigonometría llegan aquí a pensar en términos de variables; no
tienen herramientas ni de madurez mental para asumir una variable sino tienen
un pensamiento muy concreto y por eso para todo piden un ejemplo. Pensar en
límites, para ellos los límites es una cosa muy fuerte porque ellos no ven la
tendencia y las imágenes sino ¿cuánto da? Reemplace.
Puede afirmarse a partir de los párrafos precedentes que las dificultades y errores en la
55
comprensión de los conceptos (objetos) matemáticos por parte de los estudiantes, son
atribuidas por estos docentes a factores como: actitudes del estudiante frente a las
matemáticas y al proceso de aprendizaje de las mismas, fallas en los procesos de
formación anteriores a la universidad (primaria y bachillerato) y una “enseñanza
tradicional de las matemáticas”. También puede inferirse que para ellos los conceptos
no son construidos por los estudiantes, lo cual incide en la presencia de sus errores y
dificultades. Sin embargo, explicaciones como la dada en el sentido de que “el concepto
se tiene o no se tiene” podrían dejar de lado la visión del error como una oportunidad de
aprendizaje e ignora completamente la noción de misconcepción que podría contribuir a
explicar algunas de las dificultades y errores de los estudiantes.
La explicación sobre la comprensión de “términos que se definen bien” podría ignorar
factores que inciden en la comprensión de un objeto matemático (como sus aspectos
epistemológicos y sus diferentes representaciones). Esto es, un objeto no se aprende
porque se dé su definición al estudiante. Por otra parte, explicaciones como que los
estudiantes no desarrollan pensamiento sistémico resultan un poco oscuras en el sentido
que no es claro lo que el profesor entiende por pensamiento sistémico. Un posible
contraste con lo anterior, está en la posición del profesor Javier al referirse a la
incidencia de la “enseñanza tradicional de las matemáticas” pues al privilegiar
cuestiones memorísticas y procesos operativos podría privar al estudiante de la
oportunidad de conocer la riqueza conceptual que hay detrás de cada objeto matemático,
constituyéndose este tipo de enseñanza en terreno fértil para la aparición de obstáculos
didácticos.
56
6.1.3 Posible responsabilidad del docente en las dificultades de los estudiantes.
La posible influencia de los docentes sobre las dificultades y errores de los estudiantes
también es reconocida por los entrevistados como se evidencia en lo expresado por
Javier: “Pues yo creo que gran parte de las dificultades pues provienen de nosotros los
profesores”. Para Juliana los errores conceptuales de los estudiantes pueden ser debidos
a los profesores, incluso para los alumnos que denomina buenos estudiantes: “hay
estudiantes que son buenos: buen estudiante […] el estudiante metódico, juicioso con
ganas de trabajar y trae errores conceptuales y se los podemos atribuir al profesor; un
error conceptual en un buen estudiante es un error del profesor”.
Por otra parte, ciertas actuaciones de los docentes, conscientes o no, podrían incidir en
la presencia de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo actitudes
arrogantes como la mencionada por Juliana:
Hay una variable, también con la que yo he peleado mucho y es el profesor; si el
profesor utiliza la matemática, para encubrir sus complejos, le muestra una
matemática difícil al estudiante: somos genios, somos magos y somos más
inteligentes que el resto del mundo. Entonces pues para poder justificar
semejantes argumentos, semejantes sentencias pues tenemos que engañar al
estudiante mostrándole que la matemática es difícil.
Por otra parte, se reconoce la responsabilidad que le corresponde al docente en cuanto a
que debe contribuir a que los estudiantes superen sus dificultades. Miguel señala sobre
este punto:
Fundamentalmente yo creo que el profesor, el docente debe estar alerta a este
tipo de errores y sobre todo de destacarlos y hacer una pausa dentro de su
ejercicio docente para que todos los estudiantes sean conscientes de esos errores
que comúnmente se cometen.
57
Miguel complementa lo anterior sugiriendo que si las dificultades están relacionadas
con los conceptos, estos deben exponerse “de manera muy clara” incluyendo las
estrategias didácticas que cada docente pueda desarrollar. En un sentido muy similar se
expresa Javier: “yo creo que el trabajo de nosotros es pensar cómo ayudamos a resolver
ese tipo de dificultades y los errores pues finalmente se vuelven son sistemáticos”. En
este mismo sentido Juliana señala:
En esto yo insisto que los profesores de matemáticas jugamos un papel
importantísimo, porque un estudiante no comprende cómo está escrita la ciencia,
y nosotros tenemos la obligación, digamos, es nuestro compromiso porque
nosotros trabajamos al servicio de unos programas.
También se identifica, aunque no de forma explícita, la importancia de reflexionar sobre
el propio ejercicio docente en cuanto a la gestión de las matemáticas en el aula; por
ejemplo sobre la forma de mostrar las matemáticas a los alumnos y cómo esto puede
influir en su aprendizaje. A propósito, Javier señala en el contexto de la resolución de
problemas:
Nosotros los profesores de matemáticas no planteamos problemas…damos unas
situaciones que son ejercicios tipo, donde algunas veces les cambiamos el
componente numérico y ya…es un nuevo problema entre comillas…pero la
estructura de solución es la misma: aplique esta ecuación y ya.
Además se identifican ciertas acciones que el docente debería llevar a cabo en el
proceso de enseñanza aprendizaje y que al parecer no siempre se ejecutan de la mejor
manera. Juliana se refiere a la importancia de enseñarle a leer y escribir matemáticas al
estudiante, por la importancia que tiene este aspecto en la evaluación que generalmente
es escrita: “yo creo que es importantísimo que un profesor le enseñe a leer y le enseñe a
escribir. ¿Por qué la escritura? Porque es que en estos sistemas formales, la evaluación,
58
la mayoría es escrita”. Juliana además hace referencia a situaciones en las cuales las
respuestas de los estudiantes son válidas en unos casos y en otros no y lo que esto puede
generar en ellos: “cómo hace un pobre estudiante para saber por qué caprichosamente
un profesor a veces si le vale, a veces no le vale”. Esta idea puede además
complementarse con el hecho de que al estudiante no se le suele explicar el porqué de lo
anterior. Aunque Juliana reconoce la importancia de enseñarle a leer y representar en
matemáticas a los alumnos, no presenta una justificación muy clara para esto: “entonces
hay que enseñarlos a escribir bien, a representar bien, esto me parece fundamental”.
Al parecer también existe cierta conciencia, en algunos de los entrevistados, de la
importancia de reflexionar sobre cómo ocurre el aprendizaje del estudiante, qué factores
influyen o facilitan el aprendizaje y cómo tener en cuenta estos elementos en la
planeación o el desarrollo de la clase. Sobre este aspecto Javier señala:
Quizás muchos de nuestros estudiantes que nosotros denominamos problemas o
que tienen problemas en matemáticas, sus dificultades, [podrían] hacer parte de
otro tipo de situaciones …lo que le decía, si un estudiante es predominantemente
visual, quizás el discurso verbal no le ayude mucho en matemáticas; si por el
contrario es más auditivo, lo que yo hago en el tablero a él puede que no le diga
nada.
Los docentes también reconocen que las dificultades de los estudiantes pueden influir de
forma adversa tanto en sus desempeños posteriores, como en la comprensión de otros
conceptos matemáticos o relacionados con las matemáticas (por ejemplo del Cálculo o
la Física). Para la primera situación el profesor Ricardo señala “si no se tienen claras las
propiedades básicas de la suma y la multiplicación, no se va a poder hacer un proceso
de factorización, por ejemplo, o de resolución de ecuaciones, así sean de las más
complejas”. Una situación similar podría ocurrir con el uso de las matemáticas en otros
59
contextos como lo evidencia lo expresado por la profesora Juliana en relación con la
necesidad de contar con unos elementos teóricos (de la matemática) “para comprender
más adelante las asignaturas del campo de aplicación, las troncales de su carrera y a su
vez una parte de madurez de pensamiento. Pero la matemática, claro, con unos
elementos teóricos necesarios”.
Ricardo señala además que parte de las dificultades pueden deberse a la comunicación
del docente al estudiante “el problema es la fragmentación que se da en la comunicación
del profesor al estudiante”.
Las reflexiones de los docentes mencionadas en este apartado, los llevan a identificar
diversos aspectos de las dificultades de aprendizaje de los estudiantes. Para los docentes
estas dificultades podrían estar asociadas al docente; sin embargo esto no es suficiente
en el sentido que no basta identificarlas e intentar dar explicaciones posibles
(explicaciones que aunque bien intencionadas pueden ser parciales o ingenuas). El
docente debe conocer las verdaderas causas de las dificultades de los estudiantes con el
fin de realizar acciones pertinentes que permitan superar o al menos minimizar los
efectos de las dificultades de los estudiantes en su aprendizaje de las matemáticas. Esto
es consecuente con lo que expresa D’Amore sobre la figura del profesor de matemáticas
quien “no es un creador de teoremas ni de teorías, es un profesional experto en
Matemática, a quien la sociedad le propone de hacer sí que los jóvenes ciudadanos
construyan y aprendan a usar competencias matemáticas” (2007, p. 8).
Por otra parte la transposición didáctica juega un papel muy importante en los
comentarios de los profesores entrevistados, aunque no se refieran a ella de forma
explícita: los profesores reconocen que existen dificultades de aprendizaje de los
estudiantes que podrían estar ligadas a la forma como son presentadas las matemáticas a
los alumnos.
60
6.2 Errores y dificultades asociadas a la comprensión de los conjuntos numéricos,
propiedades y operaciones.
Los docentes participantes del estudio coinciden en la existencia de errores y
dificultades relacionados con la comprensión de los conjuntos numéricos, sus
propiedades y las operaciones que pueden efectuarse entre ellos, al ser recurrentes sus
menciones a este tipo de errores y dificultades.
Con respeto a la comprensión de los conjuntos numéricos, Diego señala que no los
diferencian: “no entiendan por ejemplo muy bien cuál es la diferencia entre los números
naturales y los números enteros”. Además pueden existir comprensiones insuficientes o
parciales de tales conjuntos como lo indica Javier: “la mayoría de estudiantes insisto
tienen problemas en los conjuntos numéricos:
El que medio dominan es el de los naturales; de ahí para allá empiezan a tener
problemas pues un grupo de estudiantes apreciable… Ya cuando empiezan los
enteros, el manejo y la noción de signo es algo supercomplejo, que se empieza a
evidenciar en muchos estudiantes esos errores en todas sus operaciones básicas.
Las comprensiones parciales o insuficientes de los estudiantes en el caso mencionado
podrían ser evidencia de la presencia de misconcepciones en los estudiantes.
De otro lado, Ricardo identifica dificultades con la comprensión de las relaciones de
orden, aspecto sobre el cual comenta Javier: “La relación de orden aunque parece obvia
para nosotros, preguntarle a un estudiante, bueno, que sigue después del uno, pues ahí lo
va a encontrar pero qué número es más grande que ½ ahí ya tiene todo…O ¿qué número
sigue después de ½ en los reales?”; además Javier también conecta estas dificultades
con el desconocimiento de la densidad de Q y :
61
Cuando uno evidencia al estudiante cualquier tipo de representación que recurre
a lo numérico siempre cae en los naturales, pidámosles que hagan una gráfica
de una línea recta ¿Cuáles son sus tablas? 1, 2, 3 no se salen porque ese es su
orden lógico…Pero plantéele la misma gráfica, en un conjunto más amplio…De
hecho el concepto de densidad de número él no lo tiene, la mayoría no lo tienen,
para ellos la escala y su representación de la recta numérica es eso, una escala
discreta no continua.
Por otra parte se señalan otras dificultades y errores en el aprendizaje de los conjuntos
numéricos: Diego indica que “los estudiantes presentan problemas con la aritmética
básica” y “no hacen cálculos sencillos y dependen de la calculadora” como lo expresa
Juliana. Estas dificultades pueden estar asociadas a la realización de operaciones sobre
los diferentes conjuntos numéricos: algunas se refieren a que los estudiantes no tienen
“claridad con el orden de las operaciones” como lo expresa Ricardo; otras con “el
manejo de las leyes de los signos para la suma y para la multiplicación” como lo señala
Fernando. Para Diego no hay claridad con “las propiedades de la adición, las
propiedades de la multiplicación” y existe confusión en las operaciones con números
enteros como lo indica Liliana: “Suma de enteros se confunde con el producto; ejemplo
4105 , multiplican y convierten en positivos los números”. Al parecer los docentes
utilizan la expresión “no tener claridad” asociándola a las dificultades que presentan los
estudiantes al realizar operaciones como sumas y productos entre números.
Un ejemplo reportado en la indagación inicial permite ilustrar algunas opiniones de los
docentes sobre este tipo de dificultades; considérese la siguiente situación en la cual se
da una valor incorrecto para la suma de dos enteros:
918
62
Diego señala que en esta situación “parece que los signos no existieran” mientras que
Liliana argumenta que los estudiantes “confunden la suma con el producto y hacen
multiplicación de signos”.
Existe también una fuerte coincidencia al reconocer las dificultades en el uso de las
propiedades asociativa, distributiva (para el producto respecto de la adición, por
ejemplo) y conmutativa. Ricardo identifica como dificultad de los estudiantes la
comprensión de lo que el denomina “asociatividad en las expresiones”, haciendo
referencia a la propiedad asociativa. Diego indica por su parte que “hay mucha
confusión, por ejemplo en entender la diferencia entre ley asociativa y la distributiva.”
En una situación como la siguiente:
1x421x2
el profesor Fernando anota “es recurrente que los estudiantes no multiplican todo el
paréntesis” lo cual es una evidencia explícita de las dificultades existentes en la
comprensión de la propiedad distributiva.
Posiblemente un tópico en el cual existe mayor concordancia en las respuestas dadas
por los profesores, es en las dificultades asociadas a la comprensión de las fracciones y
las operaciones entre ellas. La comprensión de la fracción en sí misma resulta
problemática, como lo señala Ricardo: “es una cosa diferente que se suma diferente, que
se multiplica diferente, y no significa que es que es una cantidad”. Esto puede
complementarse con lo expresado por Diego “cosas que uno debería tener claras como
los fraccionarios, desde la primaria, crean grandes dificultades y son problemas de
aritmética”. Sobre las operaciones con fracciones, Javier comenta que los estudiantes
“presentan dificultades aritméticas en el manejo de operaciones básicas especialmente
en el conjunto de los números racionales (representación fraccionaria) y los números
irracionales”; además algunos estudiantes realizan operaciones entre fracciones
63
acudiendo a procedimientos incorrectos “suman fracciones como si las multiplicaran”
como lo indica Fernando. La profesora Liliana afirma que las dificultades pueden
presentarse si las operaciones se hacen con calculadora, lo cual podría ocurrir si los
estudiantes no tienen clara la precedencia de las operaciones o propiedades como la
asociativa; Miguel reporta dificultades en la simplificación de fracciones: “los
estudiantes evidencian serios vacíos de operaciones con fraccionarios, cometiendo
errores cuando simplifican”. Por otra parte las dificultades con fracciones pueden
trascender al álgebra como lo señala Liliana: “Existe la dificultad de extender las
propiedades de las fracciones a las expresiones racionales” e incluso más allá como se
evidencia en lo expresado por Javier:
Dichas dificultades se trasladan a la estructura algebraica lo cual dificulta la
realización de procesos de transformación del objeto expresión algebraica, de
igual manera estos se trasladan a la estructura funcional, dificultando los
procesos de representación y transformación de la misma.
Para el profesor Diego, las operaciones con las fracciones pueden dificultarse por la no
comprensión del máximo común divisor, del mínimo común múltiplo y sus posibles
usos: “a veces los conceptos de mínimo común múltiplo y máximo común divisor no
son claros ni se entienden, para qué se utilizan; por ejemplo, en una operación como
suma y resta de fraccionarios, no se entiende la equivalencia entre particiones.”
Por otra parte, los docentes presentan diferentes explicaciones para los posibles motivos
de estas dificultades. Frente a las dificultades sobre la comprensión de las leyes de los
exponentes, Fernando cree que la causa está en la formación recibida en el colegio por
los estudiantes: “el error que ellos cometen se debe al tipo de formación que han sufrido
por decirlo de alguna manera porque el estudiante no ha contado con una buena
formación”. Por otra parte, al intentar explicar las dificultades de los estudiantes en el
64
ejemplo citado anteriormente ( 918 ), Diego argumenta que se debe a falta de
concentración y lo que él llama inmediatez gráfica y pictórica:
Es un error me parece que es de concentración…Si tú le vuelves a hacer la
pregunta al estudiante, le dices “piénsalo mejor” el estudiante lo resuelve…El
estudiante como que tiene una inmediatez pictórica digamos una inmediatez
gráfica y a veces o trata de adivinar el resultado o simplemente no se lo piensa
con suficiente detenimiento.
Para Diego, algunos conceptos que él considera básicos, no han sido construidos
suficientemente por los estudiantes lo cual explicaría parte de las dificultades:
Una cosa tan básica como las tablas de multiplicación se han aprendido, se han
asimilado de manera nemotécnica… Yo creo que todos aprendimos de esa
manera ¿cierto? Digamos que en la infancia, en los procesos de aprendizaje de
esas cosas de esa aritmética básica no ha habido una construcción de las
operaciones, no ha habido un desarrollo digamos lúdico de esas operaciones lo
suficientemente vivenciado para que el estudiante lo aprenda, lo entienda, lo
construya, le vea sus diferentes aspectos.
Esta explicación de Diego en el sentido que al parecer para él, una presentación lúdica
de los conceptos le garantizrá al estudiante aprenderlo; tampoco se entiende lo que
Diego quiere decir por “suficientemente vivenciado”. Por otra parte Miguel y Fernando
sitúan las posibles razones en los estudiantes. Miguel ubica el problema en la “falta de
observación de las cifras representadas”, similar explicación a la dada por Diego sobre
la falta de concentración. Para Fernando, ésta puede deberse a “desconocimiento de la
ley de signos para la adición.”
Una posición que contrasta con las anteriores es la del profesor Javier quien al intentar
explicar porqué los estudiantes no diferencian los conjuntos numéricos (enteros y
65
naturales) aduce razones asociadas a la inconsciencia de los docentes sobre la
epistemología de la matemática y cómo esto puede influir en lo que piensa el estudiante
de las matemáticas:
Si! Yo creo que el estudiante y muchos de nosotros no somos conscientes de que
la matemática ha sido un constructo social, que lleva muchos años y como no
tenemos esa conciencia y no la hacemos explícita, pues el estudiante también
piensa que la matemática no se ha construido sobre errores, sobre problemáticas,
sobre cosas; creo que la didáctica se ha centrado en que esto es clack (Javier
hace explícitamente este sonido) 2+2 es 4 y nunca se ha hecho una construcción
de eso, o sea, para que el hombre llegara a afirmar que 2+2 es 4 en su constructo
matemático histórico pasaron muchas cosas.
Por su parte Juliana sustenta su explicación en que los conjuntos tienen ciertas
características que “son” y se deben respetar:
Los reales se comportan porque son los reales, o sea, estos y son estas sus
propiedades, por lo tanto puede sumar así, puedo multiplicar así, no puedo
dividir por cero, ¿ya? Porque cero no tiene inverso multiplicativo, así de
sencillo. No es porque esté prohibido o porque sea pecado, es porque el cero no
tiene inverso multiplicativo así de sencillo. ¿Qué cosas puedo y qué no puedo
hacer?. El actuar sigue al ser.
Algunas de las explicaciones de los profesores sobre las causas de las dificultades
asociadas a la comprensión de los conjuntos numéricos son ingenuas (como la
presentada por Miguel sobre las dificultades en las operaciones: se debe a la “falta de
observación del estudiante”) y podrían ignorar, reducir o simplificar las verdaderas
razones de estas dificultades, pues para determinar las razones de estas dificultades debe
realizarse un análisis epistemológico, didáctico y semiótico.
66
Algunas dificultades de los estudiantes reportados en esta sección son ejemplos de
posibles misconcepciones. Un ejemplo de esto lo contituye el mencionado por Diego
sobre los errores en las operaciones con fracciones: “cosas que uno debería tener claras
como los fraccionarios, desde la primaria, crean grandes dificultades y son problemas de
aritmética”. Debe añadirse que aunque algunas son observadas desde la primaria, éstas
suelen persistir.
Dificultades como las relacionadas con la densidad de los conjuntos numéricos podrían
tener sus raíces en aspectos didácticos por una inadecuada transposición didáctica. Por
otra parte las dificultades en la representación de los conjuntos numéricos (dificultades a
las cuales hacen referencia varios de los entrevistados) son de naturaleza semiótica. Las
dificultades en la representación identificadas por los participantes se encuentran
también en relación con otros objetos matemáticos; estas dificultades son abordadas de
forma específica en la siguiente categoría.
6.3 Errores y dificultades asociadas a la representación de objetos matemáticos.
En algunas respuestas de los docentes se evidencia el reconocimiento de ciertas
dificultades que podrían corresponder a la representación de los objetos matemáticos.
Como ejemplo puede citarse la dificultad de los estudiantes para diferenciar entre
números naturales y números enteros. Diego intenta explicar este hecho relacionándolo
con posibles confusiones de los estudiantes con el símbolo y con la forma del objeto
representado: “hay una confusión incluso con el símbolo, con la forma, con el objeto
que representa”. Diego además identifica otras: “Si claro, cuestiones lingüísticas y
semánticas, cuestiones como no entender qué es una raíz, qué es una potencia por
ejemplo; no integrar esa concepción, no entender que una raíz es una potencia
fraccionaria”. Liliana menciona problemas para ubicar puntos en la recta numérica y en
67
el plano cartesiano, lo cual es una dificultad relacionada con la representación de los
números reales.
6.3.1 Dificultades asociadas a la resolución de problemas.
Es recurrente en las respuestas de los entrevistados identificar múltiples dificultades de
los estudiantes cuando se enfrentan a la resolución de problemas. Miguel llama la
atención sobre los problemas de “interpretación” o de “identificación de qué es lo que
se pregunta”:
Una de las principales dificultades, y a mi parecer una de las más graves es la
dificultad que tienen a la hora de interpretar un enunciado en un problema,
identificar qué es lo que le están preguntando y las variables involucradas en un
problema especifico.
En un sentido similar se expresan Ricardo, Miguel, Liliana y Fernando, quienes
identifican además problemas en la comprensión de lectura. Sobre esto Ricardo señala:
“comprensión de lectura en los problemas, normalmente el estudiante si no entiende
[de] qué le están hablando, llevarlo a términos matemáticos va a ser imposible para él”.
Por su parte Miguel indica: “Otro aspecto que se evidencia en muchos estudiantes es la
falta de lectura y de interpretación, en básicamente problemas que se colocan de
enunciados, para plantear una ecuación”. Esta misma idea la manifiestan Fernando y
Liliana.
Los profesores identifican otros factores que podrían incidir en el desempeño de los
estudiantes al resolver problemas. Por ejemplo Diego establece dificultades en las
estrategias de los estudiantes para resolver problemas: “el estudiante en gran cantidad de
casos, no puede desglosar un problema de cierta complejidad, en problemas sencillos
equivalentes, para regresar con soluciones parciales y rematar el problema original”.
68
Para Liliana hay “problemas de lógica”, es decir “no ponen sentido a lo que están
resolviendo.” Miguel menciona otras dificultades, relativas a las posibles estrategias de
los estudiantes para resolver problemas, como falta de observación y tiempo para pensar
y analizar el problema:
Yo creo que básicamente o muchas veces, debido a la falta de observación y de
hacer una pausa, es decir verlos con detenimiento, antes de ejecutarlos, antes de
hacerlos, antes de resolverlos, deberían hacer como una pausa y verlos
detenidamente y una vez interpretadas las operaciones que están indicadas, ahí si
proceder a resolverlos.
Los docentes también se refieren a la necesidad de los estudiantes de dar siempre una
respuesta a los problemas como lo indica Miguel: “uno observa en los estudiantes como
el afán de encontrar una respuesta a un problema específico”. Fernando coincide con
Miguel en lo anterior y añade que esto ocurre, incluso, aunque sean conscientes de sus
errores:
El estudiante así no sepa, requiere dar algún tipo de cierre a las situaciones con
las que se enfrenta en una sesión de clase, entonces eso hace que el estudiante a
veces prefiera equivocarse, sabiendo que lo está haciendo, antes de describir o
simplemente dejar el enunciado o el problema sin resolver.
El afán de dar siempre una respuesta está asociada al contrato didáctico: el estudiante
siente que siempre debe dar una respuesta, no importa que ésta sea incorrecta. También
puede ocurrir que se den respuestas a los problemas sin ubicarlas o contextualizarlas en
la situación planteada como se evidencia en lo expresado por Juliana: “Una edad te da la
dan negativa con tranquilidad y se extrañan de ver que uno les califica”.
Las dificultades en la resolución de problemas de matemáticas de los estudiantes pueden
trascender a otros escenarios, como lo indica Javier al referirse a las dificultades de los
69
estudiantes para utilizar las matemáticas en otros contextos: “dificultad para aplicar en
diferentes contextos los procedimientos y conceptos matemáticos, es otra dificultad
eminente en los estudiantes en la solución de problemas”. Para Javier lo anterior podría
llegar incluso a su campo profesional “la posibilidad de aplicar los conceptos
matemáticos desarrollados en el curso a situaciones propias de su quehacer profesional
es una dificultad”.
Por otra parte, Javier cree que deben buscarse las causas en los problemas que se
proponen a los estudiantes, pues usualmente el estudiante resuelve ejercicios tipo que
“intenta solucionar de la misma manera que lo hacemos los profesores en el tablero”.
Además el profesor Javier argumenta que no aportamos (los profesores) técnicas de
solución de problemas ni situaciones problemas que “reten al estudiante y le permitan
ver en las matemáticas una verdadera herramienta para su desempeño profesional.”
Algunos de los participantes sugieren conectar la enseñanza de las matemáticas con
contextos “reales” como un posible remedio para algunas de las dificultades
mencionadas como se desprende del siguiente comentario del profesor Ricardo:
“Contextualizar la matemática a situaciones reales y cómo ha sido lo que ha
desarrollado la ciencia” quien además añade:
La enseñanza de las matemáticas y física sin contexto, se dicta como una materia
difícil por profesores que por su formación no le pueden dar aplicación, ni
explicar al estudiante su importancia en el desarrollo de la humanidad, los cursos
son fragmentos dictados por profesores formados de la misma manera
estableciendo un círculo vicioso.
Esta contextualización se debería enfatizar en la Educación Superior, como se infiere de
lo expresado por el profesor Javier en relación a las matemáticas que debería aprender
un estudiante de Ingeniería:
70
Lo mismo si estoy trabajando con un ingeniero, no es lo mismo trabajar con un
ingeniero de sistemas que con un ingeniero químico, mecánico; los problemas
que él va a enfrentar son diferentes ¿cuál es la idea? La idea es que cada profesor
se contextualice en donde está trabajando, porque eso haría que busque
situaciones problema que le pueden dar pie para comenzar hacer la reflexión
sobre la utilidad de ese objeto matemático.
De acuerdo a Duval (1999, p. 40), cuando se hacen representaciones de objetos
matemáticos se realizan operaciones cognitivas fundamentales (formación de
representaciones en un registro particular, tratamiento o transformación en un mismo
registro y conversión cuando hay una transformación entre diferentes registros
semióticos); tales operaciones podrían resultar problemáticas para los estudiantes y
explicar por tanto la existencia de errores y dificultades en la representación de
diferentes objetos matemáticos.
La resolución de problemas puede involucrar dificultades cuya explicación podría
buscarse precisamente en la semiótica. Los estudiantes deben interpretar los enunciados
de los problemas que en muchos casos están dados en un lenguaje natural y
posteriormente deben transformarlos a objetos matemáticos (un modelo, una ecuación,
un sistema de ecuaciones entre otros) para su resolución. Los alumnos deben por tanto
realizar las operaciones cognitivas de transformación y conversión, mencionadas por
Duval.
Para el caso de dar respuestas a cada problema puede decirse que este tipo de dificultad
podría estar ligada al contrato didáctico; el estudiante en razón del contrato didáctico
cree que el docente siempre espera una respuesta, y que además las respuestas tienen
que ser siempre numéricas, sin importar su interpretación.
71
6.4 Errores y dificultades asociadas al Álgebra.
Como se ha mencionado los cursos de matemáticas de primer semestre en Educación
Superior usualmente tienen un gran contenido algebraico. En el Álgebra son diversas las
situaciones en las que los estudiantes presentan dificultades de aprendizaje como la
factorización, operaciones con expresiones algebraicas y resolución de ecuaciones, entre
otras. Esta categoría permite conocer lo que piensan los docentes participantes en el
presente estudio sobre estas dificultades y sus posibles explicaciones.
6.4.1 Errores y dificultades asociados a operaciones algebraicas.
Los estudiantes presentan también diferentes errores y dificultades algebraicas de
acuerdo a lo identificado por los docentes entrevistados. Juliana señala en relación a las
operaciones con expresiones algebraicas que los estudiantes “no pueden sumar
polinomios, expresiones, simplificar con cierta agilidad”. Liliana hace alusión a las
dificultades en la factorización y productos notables mencionando el siguiente ejemplo:
222 baba
Para Diego y Fernando errores como los mostrados a continuación se presentan con
bastante frecuencia:
yxyx
yxyx
yxyx
nnn
222
Diego resalta además que incluso estos errores no los cometen únicamente estudiantes
de primer curso de matemáticas universitarias sino que persisten: “no solo en
estudiantes de Precálculo o de primer curso de matemáticas universitarias, sino también
en estudiantes avanzados”. En relación a este mismo error, según Liliana los estudiantes
“extienden las propiedades de la potencia del producto a la suma.” Un ejemplo de lo
72
expresado por Liliana puede ser el siguiente, en el cual un estudiante podría extender la
propiedad de la potencia
333 yxxy
a la adición:
333 yxyx
Al intentar explicar el porqué de estos errores, Fernando señala que se debe al
desconocimiento de las leyes de los exponentes.
Los estudiantes realizan simplificaciones inapropiadas como en el caso de los siguientes
ejemplos reportados en el instrumento de indagación inicial:
)x2(xx
)x2(xx2
2
)x2(x1
x
)x2(xx2
2
3
x1
x3
xx2
2
La profesora Liliana justifica estas simplificaciones incorrectas en el “mal uso de la
propiedad distributiva”. En relación con el último caso, Miguel cree que este error se
comete “cuando el estudiante se preocupa por identificar rápidamente términos
similares en el numerador y el denominador, y simplificarlos apresuradamente sin tener
en cuenta las variables involucradas”.
Las explicaciones sobre las dificultades algebraicas mencionadas por algunos docentes
apuntan a responsabilizar al estudiante en cuanto a sus posibles actitudes. Por ejemplo
para Miguel errores como los mostrados ocurren porque “[los estudiantes] toman los
ejercicios con la intención de resolverlos rápidamente y sin tener en cuenta las
operaciones indicadas.” Diego anota a este respecto que el estudiante siente la necesidad
de hacer “un ejercicio nemotécnico sobre fórmulas” pero sin comprenderlas como
ocurre con el binomio de Newton: “el estudiante no va a entender que eso es un
binomio de Newton, ni siquiera tiene claro el binomio de Newton”.
73
En el caso de la factorización, Javier afirma que ésta no es comprendida y por tanto no
la pueden usar en otras situaciones, a no ser que se les pida explícitamente. Los
problemas con la factorización pueden venir, de acuerdo a Diego, de la forma como les
es presentada a los alumnos: “A veces temas conectados, por ejemplo los casos de
factorización, se presentan de manera disconexa y sin una formulación unificada que
permita sintetizar las ideas más relevantes al estudiante.” Las dificultades algebraicas
de los estudiantes y en particular las relacionadas con la factorización, podrían deberse
al momento en que se realiza la transición de la aritmética al álgebra pues la edad de los
alumnos para este paso no sería la adecuada como lo indica Fernando, ni se da un
tratamiento apropiada a la letra y la variable:
Cuando el estudiante en Colombia aborda el estudio o la transición de lo
aritmético a lo algebraico lo hace más o menos a los 13 años 14 años, uno, yo
creo que no es una buena edad para hacerlo y dos creo que el tipo de currículo
que establece el Ministerio de Educación Nacional obliga a los profesores a
abordarlo ahí y en muy poco tiempo…entonces el manejo de la variable, de la
letra en matemáticas no se estudia en los currículos ni siquiera en la
Universidad.
6.4.2 Errores y dificultades asociados a la resolución de ecuaciones.
Los profesores también reconocen dificultades en el proceso de resolución de
ecuaciones. Fernando menciona que “el despeje de las variables les ocasiona muchas
dificultades”; la profesora Liliana señala que los estudiantes despejan ecuaciones “sin
tener en cuenta la jerarquía de las operaciones”, además “razonan en un solo sentido” y
“no comprenden el significado de la igualdad”.
74
Para Juliana, la explicación a estas dificultades radica en que no se comprenden la
estructura de cuerpo de y sus propiedades algebraicas: “para mí despejar ecuaciones,
depende de las propiedades algebraicas, propiedades algebraicas de , o sea la
estructura de campo, x,, , campo, ahí está el problema”. Por su parte, Javier señala
que los estudiantes “no ubican el igual” y “no ubican las dos partes” que conforman la
ecuación; además para Javier los alumnos “muchas veces no saben qué procedimientos
hay que hacer”.
La presencia del cero en las ecuaciones también puede ser problemática para los
estudiantes, como ocurre en el siguiente ejemplo (identificado en el instrumento piloto
inicial):
0xx 23
Al respecto Javier plantea que el cero no es un concepto natural y nosotros (los
docentes) creemos que los estudiantes lo tienen claro; además añade:
Hay una ecuación donde al factorizarla, una de las raíces es cero…Para muchos
estudiantes el cero no es un número porque [no] es un concepto natural: contar
nada, como que uno no lo tiene presente…Entonces eso…Si le da cero en una
respuesta, para él no es la respuesta, y uno lo asume como un error porque uno
no tiene consciencia de que son conceptos que dentro de la lógica natural no se
dan.
Adicional al cero, Javier menciona la factorización como un camino posible para la
solución de ecuaciones polinómicas; sin embargo para Liliana ésta podría representar
una dificultad: “En este caso los estudiantes presentan dificultades para factorizar.”
En ecuaciones que incluyan constantes como factores tales como la siguiente:
0)1x(x10
al resolverla algunos estudiantes establecen la igualdad:
75
010
sin darle sentido a esta expresión. Para Miguel, esto ocurre porque “existe en el
estudiante un conformismo por encontrar rápidamente una respuesta sin preocuparse por
darle algún tipo de interpretación a la misma”.
Las razones de los errores y dificultades algebraicas identificadas por los docentes,
pueden obedecer a hechos semióticos. Sin embargo la naturaleza de algunos de esos
errores y dificultades puede ser más elaborada; por ejemplo en la resolución de una
ecuación polinómica en una variable de grado 3, podría tenerse la presencia de un
obstáculo didáctico; si el estudiante no tiene claridad sobre el teorema fundamental del
álgebra, él sólo buscaría una de las raíces (en lugar de las tres). La comprensión del
signo = puede ser problemática; sobre esto Fandiño (2010) señala:
El signo = la mayor parte de las veces no representa el objeto matemático
relacional igualdad, como quisiera el docente o como lo ha estructurado el saber
matemático; en ocasiones, asume la característica de un signo de procedimiento;
la igualdad en matemática es reflexiva, simétrica y transitiva, pero el signo = en
la escuela no lo es: los números que están a la izquierda son los datos, el que está
a la derecha es el resultado, todo menos que simétrica. (p. 170).
6.5 Errores y dificultades asociadas a la comprensión de funciones y relaciones.
Los entrevistados llaman la atención sobre varios aspectos que dificultan la
comprensión de las funciones y las relaciones. Para Ricardo, un concepto como el de
relación es problemático para los estudiantes porque ellos sólo identifican letras y
símbolos sin darle ningún significado: “Pues en realidad lo que se da es que el concepto
de relación de dos variables es muy difícil para que el estudiante conceptualice, ya que
él mira allá son letras y signos que no tienen ninguna relación”.
76
Es usual que en estos cursos se aborde el estudio de las relaciones y funciones a través
de su representación gráfica, aspecto en el cual se evidencian coincidencias respecto a
las dificultades de los estudiantes en su comprensión. Sobre lo anterior Juliana expresa:
Lectura e interpretación de gráficos; que puedan ver cómo se escribe y cómo se
lee en el plano cartesiano, para poder ver si está creciendo, decreciendo, si se
mantiene constante, si está definida, sino está definida; inclusive hay
herramientas para saber si es inyectiva, si es sobre, identificar dominio, rango
¿ehm? Entonces, es importantísimo.
Juliana conecta estas dificultades con el manejo del plano cartesiano y las variables
dependiente e independiente: “es manejar el plano cartesiano y es la primera
aproximación a manejar variable dependiente, variable independiente, que es lo que
mínimo que trabaja uno para manejo de gráficos en matemática uno”.
Por otra parte la notación funcional usual )x(fy también causa dificultades a los
alumnos. Esta notación podría indicar un producto, como lo señala Diego: “si a veces
uno escribe )x(f , [que a veces se lee f de x ] la gente tiende a pensar que es f por x
”. Un ejemplo adicional que puede citarse ocurre cuando se da la función:
2x)x(f
a los estudiantes y se les pide evaluar )h(f ó )3x(f , es probable que algunos de
ellos lo evalúen incorrectamente o no lo evalúen. En este caso, Liliana cree que “no se
comprende la notación de la función”. Por su parte Juliana cree que este error se debe a
dificultades de lectura:
Este [error] ya sería lectura, esto es lectura; esto sí, esto es responsabilidad
nuestra (señalando los ejemplos referenciados como notación en la tabla del
instrumento escrito) porque esto es lectura; entonces ellos no saben qué es eso,
porque no asocian, la función como un modelo de transformación.
77
Juliana coincide con sus colegas sobre las dificultades en la notación funcional,
proponiendo además un ejemplo: “Si! Me parece significativo [las dificultades en la
notación funcional]; esto por ejemplo, hay estudiantes que usan la notación funcional
…, Ellos, dice uno, 8)x(f , [entonces] x/8f ”.
Otra aspecto a considerar en las dificultades sobre la comprensión de la función radica
en el uso de letras distintas a las utilizadas frecuentemente (generalmente x, y). Sobre
esto Diego comenta
Si tú tienes que bmxy que es la ecuación de una recta en general y tú lo
cambias por bmtz , cuando tú haces un cambio en las variables, los
estudiantes no sé por qué rayos ya no identifican eso. A mí me parece
increíble…El solo hecho de cambiar símbolos hace que el estudiante se enrede.
Ahora bien, las dificultades en la representación gráfica de una función y el uso de letras
distintas podrían aparecer en un mismo hecho, como lo menciona el profesor Diego (al
referirse a la representación gráfica una función cuadrática que algunos estudiantes
hacen como si fuera una función lineal):
Si tu presentas una cuadrática en términos de t , en física eso [t ] representa
tiempo; el estudiante se va a volver un ocho, a él le parece como que el plano
cartesiano ya no es el mismo… No sé porqué… Que ya como que esa
representación no se puede hacer… Entra en una duda que a mí me parece que
es como lingüística… Porque a la final eso simplemente tiene que ver con el
abecedario… Yo le digo al estudiante que las variables se pueden llamar x, y, z, t
o como me dé la gana…Para él, el abecedario parece que se redujera a x y a y.
Sobre las dificultades relacionadas con el uso de diferentes letras para las variables,
Miguel cree que la explicación está en que el estudiante “se acostumbra a utilizar ciertas
letras para identificar variables y se confunde cuando se utilizan otras.”
78
Ahora bien, en relación a la graficación de funciones cuadráticas como si fueran
lineales, Miguel cree que el error ocurre por una falta de observación “de las potencias
de las variables involucradas”, mientras que Liliana estima que el problema está en “no
comprender la gráfica de la función tipo y resolver gráficas dando valores a la función”.
Por su parte, Fernando ubica las razones en problemas con el uso de la letra en
matemáticas y las traducciones entre diferentes sistemas de representación; sobre el uso
de la letra en matemáticas señala:
Si usted lo recuerda, el manejo de la variable en matemáticas de la letra en
matemáticas, tiene como seis tipos diferentes de interpretación… Se puede
interpretar como objeto, como número generalizado, como variable, como
incógnita, y a lo que nosotros le tenemos que apuntar en un curso de Precálculo
en una universidad es que el estudiante logre interpretar y hacer uso de la letra
en matemáticas como variable y como incógnita; pero cuando el estudiante llega
no lo hace. Al estudiante se le dificulta el uso de la letra en matemáticas, eso
hace que el estudio del álgebra y por ende del cálculo posteriormente, sea muy
complicado para algunos estudiantes.
Y sobre los sistemas de representación añade:
El estudiante no es capaz de hacer una buena traducción entre sistemas de
representación; por ejemplo, si uno le presenta al estudiante la gráfica de la
cuadrática y le dice al estudiante que haga una función, el estudiante debe hacer
una traducción entre diferentes sistemas de representación; tienen que coger lo
gráfico y ahora tienen que transponerlo y tienen que traducirlo a un lenguaje
algebraico, ahí puede haber problemas.
Un ejemplo referenciado en el instrumento inicial, tiene que ver con la forma como los
estudiantes ven las funciones trigonométricas. El error citado consiste en considerar
79
xcos como el producto de cos por x , el cual es considerado por los entrevistados
como de comprensión de la función. Este error se asemeja al mencionado anteriormente
sobre la interpretación de f(x) como el producto de f por x. El profesor Diego reconoce
este error observando que “se presenta de manera más grave; a veces el estudiante
escribe solamente cos y olvida que eso es una función y que tiene un argumento”. Para
Liliana la explicación radica en que los estudiantes “no comprenden el concepto de
función”, mientras que para Miguel este error denota “fuertes vacíos conceptuales e
interpretativos ya que toman la función misma como otra variable.” La explicación de
Diego ubica por una parte la dificultad en la forma como los estudiantes ven la
matemática: “el estudiante entiende la matemática de una manera netamente operativa,
verdad, el estudiante entiende que debe hacer una serie de operaciones aritméticas,
privilegiadamente aritméticas sobre una ecuación y llegar a un resultado” y por otra en
que los estudiantes no construyen conceptualmente las funciones trigonométricas “no
hay una construcción conceptual de qué es el coseno, no hay una construcción
conceptual de que es el seno”.
La identificación de las ecuaciones de las secciones cónicas es una dificultad
mencionada en la indagación inicial; Diego intenta explicar las causas de esta situación
considerando que todas las parejas (x,y) que cumplen la ecuación de una cónica se
pueden graficar y “uno puede ver eso de una manera funcional, digamos realmente de
una manera relacional, y uno puede hacer la gráfica de ese conjunto de puntos, puede
decir inmediatamente si eso corresponde a un círculo, si eso corresponde a una elipse o
si eso corresponde a una hipérbola, si se ha entendido perfectamente qué son las
secciones cónicas”, pero para un estudiante esto puede ser problemático, como lo
complementa Diego, el estudiante no sabe si las letras representan incógnitas o
variables, y por tanto no sabe si el objeto es una ecuación o una función: “a veces el
80
estudiante no va a entender si se trata de una ecuación o si se trata de una representación
de una función; él no va a saber si las letras representan incógnitas o representan
variables”.
En las explicaciones anteriores de los docentes, se evidencia un reconocimiento de la
dificultad de los estudiantes para el manejo de las letras, que si bien es mencionado
particularmente en este apartado trasciende a la comprensión de otros conceptos
matemáticos (por ejemplo en el álgebra). Para Ricardo esto podría deberse a que no
existe una conexión de las matemáticas con la realidad y propone un camino para su
tratamiento:
La no realidad que se da por parte del proceso educativo en niveles inferiores, ya
que en alguna parte se desconecta ¿si? Ya no se empieza a hablar de cantidades
si no se empiezan a hablar de de cosas x, y y z que para el muchacho no
representan nada; si se siguiera insistiendo que son cantidades que vienen de la
naturaleza, que sirven para contar, que todo se deriva de ahí, que todo el proceso
matemático es eso, el estudiante tendría una facultad de tener un proceso
sistémico de apropiación de la matemática que es el que no se da.
Diego atribuye las causas de este error a la conceptualización de símbolos y de lenguaje
formal: “lo que está de por medio es la conceptualización de los símbolos, cierto, o sea
la adquisición de un lenguaje formal que es inequívoco, que tiene unos referentes, y
esos referentes pueden ser algebraicos o funcionales”.
Los errores y dificultades asociados a la comprensión de las funciones y relaciones
pueden deberse a obstáculos de diversos tipos y posibles misconcepciones. Por ejemplo
para el estudiante, la función lineal podría ser el objeto matemático que le permite
modelar cualquier situación, generalizando el uso de esta función a contextos en los
81
cuales no resulta apropiada, como la interpretación de gráficas de funciones cuadráticas,
constituyéndose en un caso de misconcepción.
6.6 Errores y dificultades asociados a la comprensión del cálculo.
Eventualmente en algunos cursos de matemáticas de primer semestre se tratan algunos
conceptos de cálculo. Algunos docentes también han llamado la atención sobre
dificultades relacionadas con nociones de cálculo. Por ejemplo el profesor Ricardo
identifica dificultades con la comprensión de las variables y las conecta nuevamente
con la no conexión con el mundo real: “Los conceptos de variables no son fácilmente
aceptados; sólo piensan que lo que se exponen son letras que no corresponden a
variables físicas.”
Juliana identifica dificultades con el uso del infinito: “por ejemplo ellos hacen con el
infinito algo muy bonito; por ejemplo infinito menos infinito igual cero” y añade
dificultades con conceptos como los de límite y derivada:
Tenemos por ejemplo en límites, te lo pongo en límites; o sea las formas
indeterminadas: uno a la infinito para ellos es uno, mmm… La derivada de un
producto, por ejemplo, bueno, de f(x) por g(x), o de cociente, es f’ por g’; es
decir, eso hacen un álgebra maravillosa ahí; lo mismo del producto, cociente y
potencia; el logaritmo de una suma.
Es un hecho reconocido por las investigaciones en didáctica del cálculo que “la
comprensión de la noción de derivada presenta dificultades para los estudiantes de
Bachillerato y primeros años de Cálculo en la Universidad” (Sánchez, García y Llinares,
2008, p. 267). Sánchez, García y Llinares señalan que el concepto de derivada:
Conlleva diversos aspectos: su perspectiva gráfica, como pendiente de la
tangente de la curva; su perspectiva analítica, como límite del cociente
82
incremental; su carácter puntual o global –es decir, en intervalos- y, según exija
la resolución de una determinada tarea se pueden utilizar aspectos que relacionan
a 'f con ''f (2008, p. 269).
Lo anterior evidencia la complejidad que puede implicar la comprensión de un objeto
como la derivada; cada uno de los aspectos señalados puede presentar por tanto
obstáculos en su comprensión a los estudiantes.
7. CONCLUSIONES
Del análisis de la información brindada por los docentes pueden identificarse ciertas
ideas y hechos, que pueden considerarse transversales a todas las categorías analizadas
en el sentido que son recurrentes en sus respuestas y son presentadas como
explicaciones para diferentes dificultades y errores. A continuación y a manera de
conclusiones se comentan algunas de estas ideas y hechos:
Algunos de los errores y dificultades identificados por los docentes entrevistados
coinciden o se asemejan con algunos errores mencionados en la revisión
bibliográfica. Por ejemplo, existe coincidencia con los errores debidos a dificultades
del lenguaje y errores debidos a aprendizajes deficientes de hechos, destrezas y
conceptos previos mencionados en la clasificación de Radatz (1979, como se cita en
Rico, 1995, p. 88). Las menciones recurrentes a las dificultades de interpretación
del lenguaje podrían asociarse a la categoría “interpretación incorrecta del lenguaje”
señalada en la categorización de Movshovitz- Hadar, Inbar y Zaslavsky (1987, como
se cita en Rico, 1995, p. 90). Los errores y dificultades asociados a operaciones
algebraicas y resolución de ecuaciones identificados en el presente estudio coinciden
con los errores de procedimiento y del álgebra debidos a las características propias
del lenguaje algebraico identificados en Ruano, Socas y Palarea (2008, p. 4).
83
También hay coincidencias con Cerdán (2010, p. 2) sobre los errores presentados
por los estudiantes en la resolución de problemas durante el proceso de traducción
algebraico, la construcción de expresiones aritméticas o algebraicas y errores de
igualdad.
Los docentes enfatizan en que las dificultades y errores de aprendizaje de las
matemáticas de sus estudiantes se deben en gran medida a la falta de comprensión
de los conceptos matemáticos. Esta falta de comprensión es atribuida por los
participantes a factores como: actitudes del estudiante frente a las matemáticas y su
proceso de aprendizaje, fallas en los procesos de formación anteriores a la
universidad (primaria y bachillerato), una enseñanza tradicional de las matemáticas
y la no construcción de los conceptos matemáticos.
Para los entrevistados, los docentes pueden influir en diversos modos en las
dificultades de aprendizaje de sus estudiantes; algunos afirman que las dificultades
de los estudiantes son atribuibles al profesor y a sus actitudes; por otra parte, los
docentes creen que es posible ayudarles a superar tales dificultades como lo señala
Javier: “yo creo que el trabajo de nosotros es pensar cómo ayudamos a resolver ese
tipo de dificultades”.
Es recurrente el llamado de atención de los docentes en el sentido de conectar los
conceptos matemáticos con ciertos contextos como el mundo real o su programa de
formación profesional.
Muchas de las explicaciones dadas por los profesores a las causas de los errores y
dificultades de los estudiantes son ingenuas e ignoran nociones de la Didáctica de la
Matemática como: misconcepción, obstáculo epistemológico, transposición
didáctica, contrato didáctico, semiótica (tratamiento y conversión); estas nociones
son necesarias para comprender las dificultades de aprendizaje de los estudiantes;
84
entre las explicaciones ingenuas dadas por lo docentes se tiene como ejemplo la
explicación de Miguel que recurre a la falta de concentración y de observación para
justificar las dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas y en la
comprensión de los conjuntos numéricos.
Los participantes identifican errores y dificultades que se constituyen en casos de
misconcepción, aunque los docentes no las identifican explícitamente de esta forma.
Por ejemplo en relación a la construcción cognitiva de las funciones y relaciones, se
menciona el caso del uso de la función lineal para graficar funciones cuadráticas.
Para el estudiante, la función lineal podría ser el objeto matemático que le permite
modelar cualquier situación, generalizando el uso de esta función a contextos en los
cuales no resulta apropiada, como la interpretación de gráficas de funciones
cuadráticas. El ejemplo mencionado por Diego sobre los errores en las operaciones
con fracciones “cosas que uno debería tener claras como los fraccionarios, desde la
primaria, crean grandes dificultades y son problemas de aritmética” puede
constituirse en una posible misconcepción. Puede añadirse que aunque algunas de
estas misconcepciones observadas desde la primaria, persisten.
Los docentes reconocen dificultades asociadas a la representación de los objetos
matemáticos en casi todas las categorías de análisis definidas. Estas dificultades
pueden ser explicadas desde la semiótica. De acuerdo a Duval (1999, p. 40), cuando
se hacen representaciones de objetos matemáticos se realizan operaciones cognitivas
fundamentales (formación de representaciones en un registro particular, tratamiento
y conversión). Tales operaciones semióticas podrían resultar problemáticas para los
estudiantes y explicar por tanto la existencia de errores y dificultades en la
representación de objetos matemáticos.
85
La resolución de problemas puede involucrar dificultades cuya explicación podría
buscarse en la semiótica. Los estudiantes deben interpretar los enunciados de los
problemas que en muchos casos están dados en un lenguaje natural y posteriormente
deben transformarlos a diferentes representaciones semióticas: un modelo, una
ecuación, un sistema de ecuaciones que debe ser resuelto; los alumnos deben por
tanto realizar las operaciones cognitivas de tratamiento y conversión, mencionadas
por Duval.
En algunos casos los errores y dificultades mencionados por los docentes pueden
deberse a hechos didácticos. Por ejemplo, dificultades como las relacionadas con la
densidad de los conjuntos numéricos podrían tener sus raíces en una inadecuada
transposición didáctica (Arrigo y D’Amore, 1999). Otras se deben al contrato
didáctico, como en la mencionada sobre la necesidad de los estudiantes de encontrar
siempre respuestas a los problemas o que estas respuestas siempre tengan que ser
numéricas, sin importar su interpretación (D’Amore, 2006a).
La información recolectada evidencia que aunque los docentes entrevistados
identifican errores y dificultades recurrentes en el aprendizaje de las matemáticas de
primer semestre, ellos muestran desconocimiento de los conceptos de la Didáctica
de las Matemáticas que permiten aproximarse a explicar las razones de tales errores
y dificultades. Esto muestra falencias en su formación profesional como profesor de
Matemáticas, el cual de acuerdo a D’Amore “no es un creador de teoremas ni de
teorías, es un profesional experto en Matemática, a quien la sociedad le propone de
hacer sí que los jóvenes ciudadanos construyan y aprendan a usar competencias
matemáticas” (2007, p. 8). Adicionalmente el profesor tiene dos deberes
principales: efectuar la transposición didáctica y comunicar la matemática
(D’Amore, 2007, p. 9).
86
La variedad de errores y dificultades y sus posibles explicaciones reveladas por los
docentes participantes en el estudio y su contrastación con las explicaciones desde la
Didáctica de las Matemáticas, evidencian la necesidad de emprender nuevas
investigaciones que profundicen sobre las concepciones de los docentes sobre tales
dificultades y sobre las posibles relaciones entre éstas.
87
8. REFERENCIAS
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spublicacions/actas/Actas11SEIEM/XISimposio.pdf
91
9. ANEXOS
9.1 Indagación inicial.
A continuación se muestra un listado de algunos errores y dificultades que presentan
estudiantes en su primer curso de matemáticas universitarias, identificados por algunos
profesores con experiencia como docentes en este contexto. Se formuló la siguiente
pregunta:
¿Podría usted indicarme algunas dificultades o errores que ha identificado en su
ejercicio docente cometen sus estudiantes en el curso de Matemáticas de Primer
Semestre de Universidad?
Las citas se transcriben textualmente tal como las escribieron los profesores indagados.
Grafican una función cuadrática como una línea recta.
Confunden las leyes de los signos para la adición y la multiplicación.
Ejemplo:
918
Confunden las ecuaciones de la parábola, la circunferencia y la hipérbola.
No identifican el caso de factorización adecuado.
Dificultad para comprender una situación problema y modelar con lenguaje
matemático.
Distribución de la exponenciación respecto a la suma
Las funciones trigonométricas son un producto. Ejemplo: cos(x), piensan que es cos
por x
Factorización de expresiones racionales
Concepto de lo que es una fracción
Operaciones de Fraccionarios
Concepto de las raíces de polinomios
92
Errores comunes en matemáticas básicas
yxyx 22
222)( yxyx
En general:
nnn yxyx )(
3
1
3 2
2 x
x
xx
Operaciones con racionales:
Ejemplo:
15
14:
10
1
5
3
15
14:
15
4 =
210
60
Ley de signos y eliminación de signos de agrupación:
3a + (4 - b) - (a + c - 5) - (2b + 5b - 2ab) = 3a + 4 - b - a + c - 5 - 2b + 5b - 2ab =
2a – 2b – 2ab + 1
Factorización y productos notables:
(2x – 1)2 = 4x – 1
Despeje de variables:
-4x + 4 = -8 + 12x
-4x +12x = 8 + 4
8x = 12
x = 3/2
Dificultades para despejar en una ecuación cuadrática.
Ejemplo: en la ecuación
09x2
93
los estudiantes no saben como despejar x; algunos estudiantes hacen el despeje
22 9x
Algunos despejan:
9x2
Y después extraen raíz cuadrada como
9x
Es decir no consideran la raíz negativa.
Dificultades para despejar en una ecuación; “pasan” incorrectamente un número a
dividir.
Ejemplo: en la ecuación
10y2x3
“pasan el 3 a dividir”
3
10y2x
No saben factor compuesto:
Ejemplo: en la expresión:
)yx(3yx 2222
No identifican la presencia del factor común 22 yx
No saben multiplicar ni dividir sin calculadora.
Confusión de sumas o diferencias de cuadrados con binomios al cuadrado.
Ejemplo:
222 )yx(yx
222 )yx(yx
94
No identifican que la suma de cuadrados 22 ba no es factorizable .
No comprenden la operatividad. Es posible que puedan identificar un trinomio
cuadrado perfecto pero no saben porque tiene una factorización determinada.
Tienen problemas con el concepto. Por ejemplo en 2x no saben cuál es el
significado del 2 en el exponente.
Uso de la notación funcional:
2x)x(f
42)x(f 2
?)h(f
?)3x(f
Cancelaciones incorrectas:
)x2(xx
)x2(xx2
2
)x2(x1x
)x2(xx2
2
Despeje incorrecto en ecuaciones:
10x4 2
Entonces
410x2
Cambio de escala para trazado de curvas.
95
Productos que incluyen multiplicación por un factor negativo y propiedad
distributiva:
Ejemplo: al realizar simplificar la expresión:
)2x4x(3x4 25
Se pueden presentar las siguientes situaciones:
2x4x3x4)2x4x(3x4 2525 (Situación 1)
2x4x3x4)2x4x(3x4 2525 (Situación 2)
6x12x3x4)2x4x(3x4 2525 (Situación 3)
Solución de ecuaciones cuadráticas por “extracción de raíz cuadrada” y desechando o
no teniendo en cuenta la raíz negativa:
9x2
Entonces
3x
Factorización (Productos notables) que incluyen sumas o diferencias de cuadrados:
222 ba)ba(
222 ba)ba(
Distribuir raíces:
96
baba
bababa 2222
No uso del mínimo común denominador para sumar y/o restar fracciones:
6
1
135
3630
6
1
15*9
9*415*2
6
1
15
4
9
2
6*135
135*16*66
6
1
135
66
Dificultades en la resolución de ecuaciones que incluyan constantes como factores:
0)1x(x10
Algunos estudiantes hacen la igualación:
010
Sin darle sentido a esta expresión.
Sumar potencias distintas de una misma variable:
2x102x6x4 22
2x102x6x4 32
97
9.2 Algunos errores identificados por docentes en el primer curso de matemáticas en
universidad - entrevista escrita.
La presente entrevista tiene como propósito indagar algunas características de los errores
y dificultades de los estudiantes que cursan el primer curso de matemáticas universitarias
y que han sido evidenciados por docentes de diferentes instituciones de educación
superior (en Bogotá, Colombia) a través de su experiencia profesional. La información
obtenida se analizará en el marco del proyecto de investigación “Tipología de errores
presentados por estudiantes de primer curso de matemáticas universitarias: Análisis
epistemológico, didáctico y semiótico”. Agradezco de antemano su colaboración y
tiempo.
1. ¿Ha orientado cursos de matemáticas de primer semestre de pregrado? Si este es el
caso ¿en qué programas?
2. De acuerdo con su experiencia, describa la organización y contenido de tales cursos.
3. ¿Podría usted indicarme algunos errores que ha identificado en su ejercicio docente,
son cometidos por sus estudiantes en el curso de Matemáticas de Primer Semestre
de Universidad? Se agradece ser lo más descriptivo y específico posible?
4. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los estudiantes tengan tales
errores?
5. ¿Podría indicarme algunas dificultades (observadas o evidenciadas por usted)
presentadas por sus estudiantes de primer curso de matemáticas universitarias? Se
agradece ser lo más descriptivo y específico posible.
6. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los estudiantes tengan tales
dificultades?.
7. ¿Cómo identifica usted estos errores?
98
8. ¿Realiza algún tipo de acción (didáctica, curricular u de otro tipo) con el fin de
eliminar o reducir tales errores y/o dificultades? ¿De qué tipo? Explicar.
9. ¿Cómo sustenta usted las acciones que realiza para eliminar o reducir tales errores
y/o dificultades?
10. La siguiente tabla muestra un conjunto de situaciones identificadas por otros
profesores, en las cuales los estudiantes evidencian algún tipo de error o dificultad.
¿De estas cuál o cuáles ha evidenciado en su práctica docente? Describir el tipo de
error presente en cada situación.
SITUACIÓN OBSERVACIONES DEL ENTREVISTADO
Graficar una función cuadrática como una recta.
918
A qué tipo de curva corresponden las siguientes
ecuaciones?
925
1y
4
2x
925
1y
4
2x
91y2x
22
22
22
SITUACIÓN OBSERVACIONES DEL ENTREVISTADO
Usan las siguientes “igualdades”
yxyx
yxyx
yxyx
nnn
222
99
xcos es el producto de cos por x
Encontrar todas las raíces de la ecuación:
023 xx
Simplificar:
3
22
97
5431
Simplificar:
4x
x4
2x
3
2x
22
3
x1
x3
xx2
2
1x421x2
2
3x
12x8
48x12x4
x1284x4
SITUACIÓN OBSERVACIONES DEL
ENTREVISTADO
Solución de una ecuación cuadrática
3x
9x
9x
09x
2
2
100
4x
0x4
22xx5
x22x5
1x12x5
)1x(12x5
bababa 22
¿Cuál es el significado de 2 en ?x 2
Uso de la notación funcional:
2x)x(f
42)x(f 2
?)h(f
?)3x(f
Cancelaciones incorrectas:
)x2(xx
)x2(xx2
2
)x2(x1x
)x2(xx2
2
SITUACIÓN OBSERVACIONES DEL
ENTREVISTADO
Despeje en ecuaciones:
10x4 2
410x2
Simplificar la expresión:
101
)2x4x(3x4 25
Se pueden presentar las siguientes situaciones:
2x4x3x4)2x4x(3x4 2525
(Situación 1)
2x4x3x4)2x4x(3x4 2525
(Situación 2)
6x12x3x4)2x4x(3x4 2525
(Situación 3)
Dificultades en la resolución de ecuaciones que incluyan
constantes como factores:
0)1x(x10
Algunos estudiantes hacen la igualación:
010
Sin darle sentido a esta expresión.
102
9. 3 Entrevistas escritas. Transcripciones.
ENTREVISTA ESCRITA – DIEGO
Profesor Pregunta Respuesta
Diego 1. Ha orientado cursos de matemáticas de primer semestre
de pregrado? Si este es el caso ¿en qué programas?
Sí.
Administración de Empresas, modalidad Distancia en la Universidad San Martín
Diego 2. De acuerdo con su experiencia, describa la organización
y contenido de tales cursos.
El curso se definía básicamente en torno al álgebra usual de la secundaria,
una introducción al álgebra lineal muy operativa
y a las inecuaciones o desigualdades,
terminando con una presentación básica del concepto de función.
Diego 3. ¿Podría usted indicarme algunos errores que ha
identificado en su ejercicio docente, son cometidos por sus
estudiantes en el curso de Matemáticas de Primer Semestre
de Universidad? Se agradece ser lo más descriptivo y
específico posible?.
Precaria conceptualización que recorre toda la formación matemática previa.
Problemas con la aritmética básica.
Confusiones en la identificación de los conjuntos numéricos.
Conocimiento precario del álgebra
Conocimiento casi nulo de la trigonometría.
Tienden a preferir procesos nemotécnicos a los de análisis y temor a las
propuestas de abstracción
Dudan en la identificación y diferenciación de las propiedades de las
operaciones básicas, hay mucha confusión, por ejemplo en entender la diferencia
entre ley asociativa y la distributiva.
103
Profesor Pregunta Respuesta
Diego 4. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que
los estudiantes tengan tales errores?.
Por mi propia experiencia formativa y como formador por los procesos de reforma y
las políticas públicas en cuanto a la educación opino que se debe a la decadencia y
deficiencia en los procesos de formación a todos los niveles. Se ha privilegiado la
cobertura en la educación sobre la calidad. También opino que se ha hecho una muy
mala asimilación de nuevos pedagógicos y de las llamadas tecnologías de la
información y la comunicación (TIC`S)
Diego 5. ¿Podría indicarme algunas dificultades (observadas o
evidenciadas por usted) presentadas por sus estudiantes de
primer curso de matemáticas universitarias? Se agradece
ser lo más descriptivo y específico posible.
Lo más importante es la imposibilidad de los estudiantes por lograr
profundidad conceptual en un tema.
El estudiante tiene una inclinación operativa que pretende que existan métodos
rígidos suficientemente generales que le permiten resolver cualquier situación
posible.
Otro problema es la dificultad de integrar el conocimiento, de adquirir lo que se
ha dado en llamar el lenguaje de las competencias, el aprendizaje significativo.
El estudiante en gran cantidad de casos, no puede desglosar un problema de
cierta complejidad, en problemas sencillos equivalentes, para regresar con
soluciones parciales y rematar el problema original.
104
Profesor Pregunta Respuesta
Diego 6. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que
los estudiantes tengan tales dificultades?.
Es debido a la forma como se presentan los conocimientos. A veces temas
conectados (por ejemplo los casos de factorización) se presentan de manera
disconexa y sin una formulación unificada que permita sintetizar las ideas más
relevantes al estudiante. Un hecho gravísimo es el abandono en la enseñanza de las
nociones y resultados de la geometría.
Diego 7. ¿Cómo identifica usted estos errores?
Al enfrentar al estudiante ante nuevos conceptos, al intentar lograr en él, que realice
por sí solo una aplicación o identificación de la pertinencia de un método.
Diego 8. ¿Realiza algún tipo de acción (didáctica, curricular u de
otro tipo) con el fin de eliminar o reducir tales errores y/o
dificultades? ¿De qué tipo? Explicar.
Trato de integrar conceptos, trato de hacer visibles los resultados desde
construcciones geométricas. Recurro a desarrollar las destrezas operativas en el
desarrollo de talleres y les dejo situaciones problémicas con aplicaciones al mundo
real.
Diego 9. ¿Cómo sustenta usted las acciones que realiza para
eliminar o reducir tales errores y/o dificultades?
Las sustento en el interés de los estudiantes por evidenciar la utilidad de los
conceptos. En la satisfacción que siente una persona en dominar conceptos que le
parecían oscuros y entender que están dentro de sus capacidades.
105
ENTREVISTA ESCRITA – LILIANA
Profesor Pregunta Respuesta
Liliana 1. Ha orientado cursos de matemáticas de primer
semestre de pregrado? Si este es el caso ¿en qué
programas?
Sí. Ingeniería, Administración, Fonoaudiología, Fisioterapia, Educación
Especial
Liliana 2. De acuerdo con su experiencia, describa la
organización y contenido de tales cursos.
Se inició con un repaso sobre enteros y racionales.
Luego álgebra
Concepto de función
Y ecuaciones
Finalmente resolución de ecuaciones y planteamiento de problemas.
Liliana 3. ¿Podría usted indicarme algunos errores que ha
identificado en su ejercicio docente, son
cometidos por sus estudiantes en el curso de
Matemáticas de Primer Semestre de Universidad?
Se agradece ser lo más descriptivo y específico
posible?.
Suma de enteros se confunde con el producto; ejemplo 4105 , multiplican
y convierten en positivos los números.
Liliana Factorización y productos notables:
222 baba
Liliana Problemas para ubicar puntos en la recta numérica y más aún en el plano
cartesiano.
106
Profesor Pregunta Respuesta
Liliana Problemas para ubicar puntos en la recta numérica y más aún en el plano
cartesiano.
Confundir rectas con curvas.
Despejar ecuaciones sin tener en cuenta la jerarquía de las operaciones.
Liliana 4. A qué atribuye usted o como explica en cada
caso que los estudiantes tengan tales errores?.
Considero que no se han detectado a tiempo y ya en estos niveles es muy
difícil corregirlos. Los estudiantes apelan a su “propio sentido común” y
extienden teoremas a todas las cosas, es decir hacen generalizaciones
inadecuadas. Se les ha enseñado un solo sentido en las ecuaciones y no pueden
razonar en ambos sentidos.
Liliana 5. ¿Podría indicarme algunas dificultades
(observadas o evidenciadas por usted) presentadas
por sus estudiantes de primer curso de
matemáticas universitarias? Se agradece ser lo
más descriptivo y específico posible.
Manejo de la calculadora. Problemas de lógica, es decir no ponen sentido a lo
que están resolviendo. Lectura para comprender los problemas propuestos.
Liliana 6. A qué atribuye usted o como explica en cada
caso que los estudiantes tengan tales dificultades?.
En el manejo de la calculadora, se ha asumido que es obvio porque todos
tienen estos instrumentos y no se ha hecho una capacitación apropiada.
Liliana No usar la lógica porque ellos consideran que la matemática es tan abstracta
que no tiene nada que ver con la realidad.
Liliana Se considera que la matemática sólo se relaciona con lo numérico y se olvida
que la comprensión lectora es muy importante.
107
Profesor Pregunta Respuesta
Liliana 7. ¿Cómo identifica usted estos errores?
En las evaluaciones.
Cuando pasan al tablero.
En el desarrollo de las clases observando su trabajo en el salón.
Liliana 8. ¿Realiza algún tipo de acción (didáctica,
curricular u de otro tipo) con el fin de eliminar o
reducir tales errores y/o dificultades? ¿De qué
tipo? Explicar.
Didáctica: me adelanto a los errores que normalmente se cometen, se los
indico, los escribo y les muestro porque están equivocados. Todo el tiempo
estoy recordando y resuelvo problemas con los errores que ellos cometen y
luego los confronto para ver sus respuestas posibles e intentar que no se
vuelvan a cometer.
Liliana 9. ¿Cómo sustenta usted las acciones que realiza
para eliminar o reducir tales errores y/o
dificultades?
Liliana 10. La siguiente tabla muestra un conjunto de
situaciones identificadas por otros profesores, en
las cuales los estudiantes evidencian algún tipo de
error o dificultad. ¿De estas cuál o cuáles ha
evidenciado en su práctica docente? Describir el
tipo de error presente en cada situación.
Liliana Graficar una función cuadrática como una recta.
Es un error frecuente en general. El problema está en no comprender la gráfica
de la función tipo y resolver gráficas dando valores a la función.
108
Profesor Pregunta Respuesta
Liliana 918 Confunden la suma con el producto y hacen “multiplicación de signos”
Liliana
Usan las siguientes “igualdades”
yxyx
yxyx
yxyx
nnn
222
Extienden las propiedades de la potencia del producto a la suma.
Liliana xcos es el producto de cos por x
No comprenden el concepto de función
Liliana Encontrar todas las raíces de la ecuación:
0xx 23
En este caso los estudiantes presentan dificultades para factorizar.
Liliana Simplificar:
3
22
97
5431
El primer problema es el manejo de fracciones heterogéneas y si utilizan la
calculadora tienen problemas para introducir la expresión porque no manejan
bien los paréntesis.
Liliana Simplificar:
4x
x4
2x
3
2x
22
Existe la dificultad de extender las propiedades de las facciones a las
expresiones racionales.
109
Profesor Pregunta Respuesta
Liliana 1x421x2 Problemas con la propiedad conmutativa.
Liliana
2
3x
12x8
48x12x4
x1284x4
Despejar una ecuación trae dificultades por no comprender el orden de las
operaciones y el significado de la igualdad.
Liliana Solución de una ecuación cuadrática
3x
9x
9x
09x
2
2
Olvidar que las raíces pares dan solución positiva y negativa:
933
Liliana Uso de la notación funcional:
2x)x(f
42)x(f 2
?)h(f
?)3x(f
Extender las propiedades de la potencia en enteros a expresiones algebraicas.
No se comprende la notación de la función.
110
Profesor Pregunta Respuesta
Liliana Cancelaciones incorrectas:
)x2(xx
)x2(xx2
2
)x2(x1x
)x2(xx2
2
Mal uso de la propiedad distributiva.
Problemas de simplificación.
Liliana Despeje en ecuaciones:
10x4 2
410x2
No comprenden el orden, la jerarquía de las operaciones.
111
ENTREVISTA ESCRITA - FERNANDO
Profesor Pregunta Respuesta
Fernando 1. Ha orientado cursos de matemáticas de primer
semestre de pregrado? Si este es el caso ¿en qué
programas?
Sí.
Programas de Ingeniería de Sistemas en la Universidad San Martín como en la
Fundación Universitaria San Mateo.
Fernando 2. De acuerdo con su experiencia, describa la
organización y contenido de tales cursos.
Esos cursos se desarrollan a partir de dos modelos. El primero dura 16 semanas
con una intensidad de tres horas semanales. El segundo modelo se desarrolla
durante 8 semanas con una intensidad de 4 horas semanales. En ambos cursos
los contenidos implican abordar los conceptos matemáticos relacionados con
la aritmética,
el álgebra,
la trigonometría
y la geometría analítica
Fernando 3. ¿Podría usted indicarme algunos errores que ha
identificado en su ejercicio docente, son
cometidos por sus estudiantes en el curso de
Matemáticas de Primer Semestre de Universidad?
Se agradece ser lo más descriptivo y específico
posible?.
Quisiera comentar que personalmente noto que los errores que cometen los
estudiantes están directamente relacionados con la “mala lectura” y/o
interpretación que ellos hacen de los enunciados usuales de los problemas
matemáticos, así como de las sentencias canónicas de los mismos.
112
Profesor Pregunta Respuesta
Fernando Además el “afán” y la necesidad casi inherente de resolver un problema
matemático, casi que inevitablemente los lanza a cometer errores, por ejemplo:
los problemas que requieren usar exponentes son (en un comienzo) piedra de
tropiezo de los estudiantes:
Resuelva:
222 yxyx
Fernando 4. A qué atribuye usted o como explica en cada
caso que los estudiantes tengan tales errores?.
Como ya lo comenté, creo que la mala interpretación de los enunciados de los
problemas.
Fernando Así como el deficiente uso que se le da a las propiedades de los números y las
posibles operaciones que se pueden establecer entre ellos.
Fernando 5. ¿Podría indicarme algunas dificultades
(observadas o evidenciadas por usted) presentadas
por sus estudiantes de primer curso de
matemáticas universitarias? Se agradece ser lo
más descriptivo y específico posible.
Frecuentemente los estudiantes tienen problemas con el uso y la interpretación
de la letra en matemáticas, es decir el uso de la letra como variable o como
incógnita.
Fernando Por otro lado el mal uso de las leyes de los signos para la adición y la
multiplicación.
Fernando 6. A qué atribuye usted o como explica en cada
caso que los estudiantes tengan tales dificultades?.
Considero que la falta de estudio reciente hacen que los estudiantes incurran en
estos tipos de errores. Además no se puede descartar la mala formación que en
algunos casos reciben los estudiantes durante su formación escolar.
113
Profesor Pregunta Respuesta
Fernando ¿Cómo identifica usted estos errores? A partir de la aplicación de pruebas diagnósticas.
A través de la revisión de los procedimientos que desarrollan los estudiantes
en sus quices, parciales y trabajos.
A través de los procedimientos que desarrollan en el tablero.
Por el tipo de preguntas que formulan.
Fernando 8. ¿Realiza algún tipo de acción (didáctica,
curricular u de otro tipo) con el fin de eliminar o
reducir tales errores y/o dificultades? ¿De qué
tipo? Explicar.
Claro. Curricularmente, reviso y replanteo los contenidos de tal manera que se
garantice buena comprensión de los conceptos estudiados. A mi personalmente
no me preocupa mucho abordar el estudio de todas las temáticas programadas
en un curso de Precálculo; me interesa que lo que se estudie se comprenda.
Fernando Busco explicar de múltiples formas los conceptos de tal manera que el error se
haga evidente para el estudiante.
Fernando 9. ¿Cómo sustenta usted las acciones que realiza
para eliminar o reducir tales errores y/o
dificultades?
La inclusión de nuevos ejemplos, así como de las respectivas explicaciones, las
sustento en el previo análisis de las pruebas diagnósticas que se han practicado.
Teóricamente hablando, la metodología de resolución de problemas fundamenta
en gran medida mi práctica docente.
Fernando 10. La siguiente tabla muestra un conjunto de
situaciones identificadas por otros profesores, en
las cuales los estudiantes evidencian algún tipo de
error o dificultad. ¿De estas cuál o cuáles ha
evidenciado en su práctica docente? Describir el
114
Profesor Pregunta Respuesta
tipo de error presente en cada situación.
Graficar una función cuadrática como una recta.
Problemas con las traducciones entre diferentes sistemas de representación.
Fernando 918 Desconocimiento de la ley de signos para la adición.
Fernando
Usan las siguientes “igualdades”
yxyx
yxyx
yxyx
nnn
222
Este tipo de error es muy frecuente. Se da debido a desconocimiento total o
parcial de las propiedades de los exponentes.
Fernando Simplificar:
3
22
97
5431
Las operaciones con fracciones son complejas para los estudiantes. Suman
fracciones como si las multiplicaran.
Fernando
3
x1
x3
xx2
2
El despeje de las variables les ocasiona muchas dificultades.
Fernando 1x421x2 Es recurrente que los estudiantes no multiplican todo el paréntesis.
115
ENTREVISTA ESCRITA – MIGUEL
Profesor Pregunta Respuesta
Miguel 1. Ha orientado cursos de matemáticas de primer semestre de
pregrado? Si este es el caso ¿en qué programas?
Ingeniería de Sistemas, Procesos Industriales, Diseño de Máquinas,
Ingeniería Aeronáutica, Ingeniería de Sonido, Ingeniería de
Telecomunicaciones, Ingeniería Mecatrónica, Ingeniería Electrónica.
Miguel 2. De acuerdo con su experiencia, describa la organización y
contenido de tales cursos.
La organización de los cursos comienza con una descripción del
conjunto de números,
Posteriormente se abordan temas como operaciones básicas,
Luego expresiones algebraicas,
Representaciones gráficas como rectas y secciones cónicas.
En algunos casos se cierra el curso con el concepto de funciones.
Miguel 3. ¿Podría usted indicarme algunos errores que ha identificado
en su ejercicio docente, son cometidos por sus estudiantes en el
curso de Matemáticas de Primer Semestre de Universidad? Se
agradece ser lo más descriptivo y específico posible?.
Uno de los errores reiterativos en los estudiantes es cuando tienen
binomios elevados a potencias y lo desarrollan erróneamente elevando
cada término del binomio a dicha potencia. Es de aclarar que no
solamente para binomios sino para polinomios en general.
Miguel Otro error que cometen los estudiantes es simplificar en expresiones
fraccionarias cuando hay involucradas operaciones de suma y resta en
el numerador o en el denominador.
Miguel 4. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los
estudiantes tengan tales errores?.
Muchas veces los estudiantes cometen tales errores por la ligereza con
que abordan los ejercicios; cuando me refiero a ligereza lo digo en el
sentido de que los estudiantes no se detienen a observar las
116
Profesor Pregunta Respuesta
operaciones que están representadas, sino que en medio de su afán por
responder rápidamente cometen esta serie de errores.
Miguel 5. ¿Podría indicarme algunas dificultades (observadas o
evidenciadas por usted) presentadas por sus estudiantes de
primer curso de matemáticas universitarias? Se agradece ser lo
más descriptivo y específico posible.
Una de las principales dificultades y a mi parecer una de las más
graves es la dificultad que tienen a la hora de interpretar un enunciado
en un problema, identificar que es lo que le están preguntando y las
variables involucradas en un problema especifico.
Miguel 6. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los
estudiantes tengan tales dificultades?.
Considero que los estudiantes presentan dichas dificultades como
consecuencia de una pobre capacidad interpretativa y a una mala
lectura
Miguel 7. ¿Cómo identifica usted estos errores? Estos errores se evidencian principalmente cuando se plantean
problemas a partir de casos específicos.
Miguel 8. ¿Realiza algún tipo de acción (didáctica, curricular u de otro
tipo) con el fin de eliminar o reducir tales errores y/o
dificultades? ¿De qué tipo? Explicar.
Siempre que algún estudiante comete ese tipo de errores, hago la
observación respectiva a todo el curso socializando este tipo de errores
y explicando el porqué está mal.
Miguel 9. ¿Cómo sustenta usted las acciones que realiza para eliminar
o reducir tales errores y/o dificultades?
Es importante ser inquisitivo en este tipo de errores ya que si bien,
algunos estudiantes no cometen este tipo de errores pueden estar
susceptibles de cometerlos en el futuro si no se hacen este tipo de
observaciones.
117
Profesor Pregunta Respuesta
Miguel 10. La siguiente tabla muestra un conjunto de situaciones
identificadas por otros profesores, en las cuales los estudiantes
evidencian algún tipo de error o dificultad. ¿De estas cuál o
cuáles ha evidenciado en su práctica docente? Describir el tipo
de error presente en cada situación.
Miguel Graficar una función cuadrática como una recta.
Este error es cometido por la falta de observación de las potencias de
las variables involucradas.
Miguel 918 Falta de observación de las cifras representadas.
Miguel
Usan las siguientes “igualdades”
yxyx
yxyx
yxyx
nnn
222
Toman los ejercicios con la intención de resolverlos rápidamente y sin
tener en cuenta las operaciones indicadas.
Miguel xcos es el producto de cos por x
Este error denota fuertes vacíos conceptuales e interpretativos ya que
toman la función misma como otra variable.
Miguel
Simplificar: 3
22
97
5431
En este tipo de planteamientos los estudiantes evidencian serios vacíos
de operaciones con fraccionarios, cometiendo errores cuando
simplifican.
118
Profesor Pregunta Respuesta
Miguel
3
x1
x3
xx2
2
Este tipo de error se comete cuando el estudiante se preocupa por
identificar rápidamente términos similares en el numerador y el
denominador y simplificarlos apresuradamente sin tener en cuenta las
variables involucradas.
Miguel Solución de una ecuación cuadrática
3x
9x
9x
09x
2
2
Este error es común y a mi parecer un lastre que se tiene desde la
primaria.
Miguel
4x
0x4
22xx5
x22x5
1x12x5
)1x(12x5
Es un error frecuente ya que no aplican la ley de los signos a la hora de
simplificar expresiones.
119
Profesor Pregunta Respuesta
Miguel bababa 22
Este error lo cometen a mi parecer por precipitud y falta de
observación.
Miguel ¿Cuál es el significado de 2 en ?x 2
En este tipo de preguntas muchos estudiantes no saben que responder
ya que aprender a resolver ejercicios mecánicamente sin reflexionar
sobre las operaciones involucradas y el concepto asociado a ellas.
Miguel Uso de la notación funcional:
2x)x(f
42)x(f 2
?)h(f
?)3x(f
El estudiante se acostumbra a utilizar ciertas letras para identificar
variables y se confunde cuando se utilizan otras.
Miguel Despeje en ecuaciones:
10x4 2
410x2
No identifican las operaciones involucradas, no hacen una lectura
correcta de las ecuaciones.
Miguel Simplificar la expresión:
)2x4x(3x4 25
Se pueden presentar las siguientes situaciones:
2x4x3x4)2x4x(3x4 2525
No identifican lo que representan los elementos de asociación como
los paréntesis.
120
(Situación 1)
2x4x3x4)2x4x(3x4 2525
(Situación 2)
6x12x3x4)2x4x(3x4 2525
(Situación 3)
Miguel Dificultades en la resolución de ecuaciones que incluyan
constantes como factores:
0)1x(x10
Algunos estudiantes hacen la igualación:
010
Sin darle sentido a esta expresión.
Existe en el estudiante un conformismo por encontrar rápidamente una
respuesta sin preocuparse por darle algún tipo de interpretación a la
misma.
121
ENTREVISTA ESCRITA – RICARDO
Profesor Pregunta Respuesta
Ricardo 1. Ha orientado cursos de matemáticas de primer semestre de
pregrado? Si este es el caso ¿en qué programas?
Si USB, FUSM, Ing. de Sistemas, Ing. Mecatrónica, Ing. Industrial,
Ing. Telecomunicaciones, Ing. Aeronáutica, Ing. de Sonido.
Ricardo 2. De acuerdo con su experiencia, describa la organización y
contenido de tales cursos.
Factorización, álgebra, dominios, concepto de función, funciones,
cónicas.
Ricardo 3. ¿Podría usted indicarme algunos errores que ha identificado
en su ejercicio docente, son cometidos por sus estudiantes en el
curso de Matemáticas de Primer Semestre de Universidad? Se
agradece ser lo más descriptivo y específico posible?.
Los estudiantes abordan la materia con la concepción de que son
fórmulas y no establecen procesos para desarrollar pensamiento
sistémico respecto a el desarrollo de las matemáticas.
Los conceptos de variables no son fácilmente aceptados; sólo
piensan que lo que se exponen son letras que no corresponden a
variables físicas.
El concepto de función.
Manejo de fracción
Recta numérica.
Ricardo 4. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los
estudiantes tengan tales errores?.
La enseñanza de las matemáticas y física sin contexto, se dicta como
una materia difícil por profesores que por su formación no le pueden
dar aplicación ni explicar al estudiante su importancia en el
desarrollo de la humanidad, los cursos son fragmentos dictados por
122
Profesor Pregunta Respuesta
profesores formados de la misma manera estableciendo un círculo
vicioso.
Ricardo 5. ¿Podría indicarme algunas dificultades (observadas o
evidenciadas por usted) presentadas por sus estudiantes de
primer curso de matemáticas universitarias? Se agradece ser lo
más descriptivo y específico posible.
La asociatividad en las expresiones.
El orden en las operaciones.
Los conceptos de mayor y menor
La incapacidad de dividir fenómenos de una situación macro.
La comprensión de lectura.
Ricardo 6. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los
estudiantes tengan tales dificultades?.
En una formación que carece de complejidad simplista sin estudiar
los aspectos de aplicación de las matemáticas.
Ricardo 7. ¿Cómo identifica usted estos errores?
En el comportamiento y actitud de los estudiantes.
Ricardo 8. ¿Realiza algún tipo de acción (didáctica, curricular u de otro
tipo) con el fin de eliminar o reducir tales errores y/o
dificultades? ¿De qué tipo? Explicar.
Contextualizar la matemática a situaciones reales y cómo ha sido lo
que ha desarrollado la ciencia.
Ricardo 9. ¿Cómo sustenta usted las acciones que realiza para eliminar
o reducir tales errores y/o dificultades?
En los resultados que he obtenido en cursos que realizado y
abordando la metodología sistémica en los cursos.
123
ENTREVISTA ESCRITA - JAVIER
Profesor Pregunta Respuesta
Javier 1. Ha orientado cursos de matemáticas de primer semestre de
pregrado? Si este es el caso ¿en qué programas?
Si, en los programas de Administración de Empresas,
Administración de Negocios Internacionales, Administración de
Instituciones de Servicio, Contaduría Pública e Ingeniería de
Sistemas.
Javier 2. De acuerdo con su experiencia, describa la organización y
contenido de tales cursos.
Conjunto de números reales.
Algebra de polinomios
Funciones polinomiales
Función lineal
Función cuadrática
Funciones polinomiales de grado superior
Función racional
Función a trozos
Funciones exponenciales y logarítmicas.
Funciones trigonométricas (Ingeniería)
Javier 3. ¿Podría usted indicarme algunos errores que ha identificado
en su ejercicio docente, son cometidos por sus estudiantes en el
curso de Matemáticas de Primer Semestre de Universidad? Se
agradece ser lo más descriptivo y específico posible?.
Operativamente presentan dificultades aritméticas manejo de
operaciones básicas especialmente en el conjunto de los números
racionales (representación fraccionaria) y los números irracionales.
Dichas dificultades se trasladan a la estructura algebraica lo cual
dificulta la realización de procesos de transformación del objeto
expresión algebraica, de igual manera estos se trasladan a la
124
estructura funcional, dificultando los procesos de representación y
Profesor Pregunta Respuesta
transformación de la misma.
Javier 4. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los
estudiantes tengan tales errores?.
Javier 5. ¿Podría indicarme algunas dificultades (observadas o
evidenciadas por usted) presentadas por sus estudiantes de
primer curso de matemáticas universitarias? Se agradece ser lo
más descriptivo y específico posible.
Las dificultades que se pueden observar en los estudiantes de primer
semestre, en mi concepto, se pueden agrupar en dos grandes
categorías:
Dificultades conceptuales. A la mayoría de los estudiantes se les
dificulta distinguir entre los diferentes objetos y conceptos
matemáticos, por ejemplo para un estudiante promedio es muy
difícil distinguir entre un polinomio cuadrático, una ecuación
cuadrática y una función cuadrática; definir cada uno de los
conceptos anteriormente descritos, encontrar diferencias o
semejanzas entre estos son procesos que presentan un alto nivel de
dificultad para los estudiantes.
Dificultad para aplicar en diferentes contextos los procedimientos y
conceptos matemáticos, es otra dificultad eminente en los
estudiantes en la solución de problemas; desde la lectura de la
situación, la identificación de la pregunta o preguntas, la posibilidad
de matematizarla y la comparación o verificación de una respuesta
numérica son complicaciones de la mayoría de los estudiantes de
125
primer semestre. La posibilidad de aplicar los conceptos
Profesor Pregunta Respuesta
matemáticos desarrollados en el curso a situaciones propias de su
quehacer profesional es una dificultad que la mayoría de los
estudiantes hace explícita en los procesos de autoevaluación.
Javier 6. A qué atribuye usted o como explica en cada caso que los
estudiantes tengan tales dificultades?.
Tradicionalmente la enseñanza de la matemática se ha centrado en el
desarrollo de procesos operativos, factorizar polinomios, resolver
ecuaciones, graficar funciones, multiplicar y sumar emplean la
mayoría del tiempo en las aulas de clase; la mecanización de rutinas
y algoritmos de solución no da espacio al estudiante para intentar
conceptualizar la matemática, no es común que en la clase de
matemática se invite al estudiante a leer o escribir sobre esta, no se
incentiva a que este busque relaciones entre los diferentes conceptos
trabajados, que encuentre semejanzas y diferencias entre los mismos,
a que verbalice sus procedimientos de solución que los describa y
que los pueda modificar de acuerdo a su comprensión.
Por otra parte la aplicación la realizamos la mayoría del tiempo
sobre la base de solución de ejercicios tipo que el estudiante intenta
solucionar de la misma manera que lo hacemos los profesores en el
tablero. No aportamos técnicas de solución de problemas ni
pensamos en situaciones problemas que reten al estudiante y le
permitan ver en las matemáticas una verdadera herramienta para su
126
desempeño profesional.
Pregunta Respuesta
Javier 7. ¿Cómo identifica usted estos errores?
Javier 8. ¿Realiza algún tipo de acción (didáctica, curricular u de otro
tipo) con el fin de eliminar o reducir tales errores y/o
dificultades? ¿De qué tipo? Explicar.
Se intenta explicitar con los estudiantes los tres tipos de procesos los
operativos, los conceptuales y los de aplicación, Los procesos
operativos se descargan en gran parte en el uso de tecnología
(calculadoras o computador), en los procesos conceptuales se trata
de invitar al estudiante a escribir acerca de los procedimientos y
conceptos matemáticos desrrollados y finalmente se trata de invitar
al estudiante de hablar en términos e modelos matemáticos aplicados
a algunos conceptos relacionados con su futuro entorno profesional.
Javier 9. ¿Cómo sustenta usted las acciones que realiza para eliminar o
reducir tales errores y/o dificultades?
El estudiante universitario se encuentra en un nivel de desarrollo
cognitivo y actitudinal diferente al de bachillerato, el mostrar lo
importante de la matemática para su desarrollo profesional ayuda a
que este se comprometa con su proceso de comprensión facilitando
la labor docente, el cambio de un enfoque operativo a uno más
conceptual y aplicado sirve como eje motivador. El uso de
tecnología le permite al estudiante, verificar sus respuestas, generar
preguntas y agilizar procedimientos dando mayor espacio para la
reflexión y el análisis.
127
9.4 Entrevistas audio. Transcripciones.
Entrevista audio - Javier
Profesor Pregunta Respuesta
Javier En las preguntas 5 y 6 se pide identificar las
dificultades que presentan los estudiantes y las
razones por las cuales se presentan estas
dificultades… Pues menciona básicamente
dificultades conceptuales y dificultades para la
resolución de problemas y la explicación se
centra en procesos operativos y también
propiedades en los profesores… Al parecer
solo se centran en cierto tipo de resolución de
problemas ¿usted cree que existen otras
posibles explicaciones para estas dificultades
en el aprendizaje de los estudiantes?
Pues yo creo que gran parte de las dificultades pues provienen de nosotros los
profesores, entonces claro, hay otro tipo de podemos decir dificultades en
términos del pensamiento matemático que puedan tener algunos estudiantes, lo
cual les hace más difícil la comprensión de los mismos conceptos …esas
dificultades, toca es mirar cómo se intervienen en ellas …generalmente los
profesores de matemáticas por nuestra misma estructura vamos muy a la
respuesta de lo que nos da el estudiante… Como que las cosas son muy
predeterminadas, las ecuaciones se resuelven de las misma manera, las
derivadas de la misma manera, pero muchos de esos problemas que el
estudiante presenta pues están asociados a problemas un poco más de fondo: si
un estudiante tiene problemas en la observación, seguir un procedimiento
matemático puede ser muy complejo para ellos, entonces esas dificultades
pueden estar asociadas a otro tipo problemas de habilidad que tenga el
estudiante… Que por tenerlos, no lo hace menos capaz de aprender
matemáticas.
Javier Quizás muchos de nuestros estudiantes que nosotros denominamos problemas
o que tienen problemas en matemáticas… Sus dificultades… [Podrían] hacer
parte de otro tipo de situaciones… Lo que le decía, si un estudiante es
predominantemente visual quizás el discurso verbal no le ayude mucho en
matemáticas, si por el contrario es mas auditivo, lo que yo hago en el tablero a
él puede que no le diga nada y muchas veces nuestra explicación recae en eso:
este paso, este mas, este menos, problemas operativos en operaciones largas
donde se arrastra simplemente el signo que le pertenece a un número, el
estudiante no lo identificó como parte del número pues hace que de ahí para
allá se desprendan una serie de problemas.
128
Profesor Pregunta Respuesta
Javier Sería muy interesante, claro, a nivel universitario, ya es más complicado
porque los tiempos son cortos y todo esto, pero desde el colegio ir mirando
que es lo que realmente le ocurre al estudiante porque no logra esos resultados
que nosotros esperamos, nosotros muchas veces pretendemos que los
estudiantes en una clase de matemáticas se concentren: la clase ideal es todo el
mundo en silencio y poniendo atención, pero si un estudiante tiene dificultades
de concentración, este tipo de metodología no le va a aportar nada para
resolver este tipo de problemas; y el problema que tiene la matemática al ser
una estructura cíclica pues todos esos vacíos conceptuales, todas esas dudas,
todos esos errores van haciendo que la base se complique.
Javier Profesor usted menciona que por ejemplo un
estudiante predominantemente visual, de
pronto el discurso o la explicación del profesor
de pronto no sea tan importante en su
aprendizaje, no tenga el mismo efecto… Aparte
de los que menciona, en sus ejemplos, ¿Qué
otros podría mencionar, en los cuales las
dificultades asociadas a lo que usted menciona,
[sean] de pensamiento matemático o
dificultades propias del estudiante?
La experiencia que tengo en el colegio, que eso lo aprendí los últimos años, es
que muchos estudiantes no pueden estarse quietos, una clase de una hora, 45
minutos para ellos es una dificultad muy grande, estos estudiantes
generalmente tienden a dispersarse muy fácil y una clase magistral para ellos
no es nada efectiva, de hecho 10 minutos de atención es lo máximo que uno
logra con ellos, el tipo de interacción con ellos es en otro tipo de espacios:
buscar espacios de trabajo en grupo, espacios de talleres, donde uno pueda
interactuar más fácil con el estudiante, facilita más que el simple discurso, que
la simple clase magistral.
Javier Claro estos estudiantes pues no se pueden concentrar, necesitan moverse,
mucho de su aprendizaje lo hacen por movimiento; entonces hay que dar
espacios en la clase para que eso se dé, y generalmente una clase de
matemáticas es complicado por el tipo de cosas, pero uno puede pensar en
actividades de roles, de juegos donde el estudiante pueda interactuar …
Moverse… Darle como esa libertad… Generalmente el movimiento que le
damos es pase al tablero… Pero es como buscar otro tipo de interacción…
Juegos donde el pueda hacer otro rol…
129
Profesor Pregunta Respuesta
Javier Ahí va algo que se hablaba en términos de la solución de problemas…nosotros
los profesores de matemáticas no planteamos problemas… Damos unas
situaciones que son ejercicios tipo, donde algunas veces les cambiamos el
componente numérico y ya… Es un nuevo problema entre comillas… Pero la
estructura de solución es la misma: aplique esta ecuación y ya.
Javier Muchas veces esos son problemas tomados del
libro
Exacto y son cosas que… No, pero si uno plantea un problema, donde el
estudiante tenga que construir, tenga que medir, tenga que matematizar esa
situación recurriendo a varias cosas, estudiantes con este tipo de problemas
generalmente se sienten cómodos y pueden aportar al problema… No se dan
los datos, tienen que buscarlos, tienen que construir una tabla, tienen que ir y
recolectar medidas, tienen que construir físicamente lo que se está planteando,
Javier problemas en el pensamiento espacial, en el pensamiento métrico de los
estudiantes es porque eso no se ha trabajado desde lo concreto; entonces si les
da uno un sistema de unidades pero él no se enfrenta después al problema de
construir eso que midió o verificar eso que midió… Porque en teoría el
problema está hecho no, o sea, se da la velocidad, se dan las medidas y se pide
que calcule la caja de máximo volumen, pero el estudiante no se ha enfrentado
a hacerlo y a verificar que hay cajas que tienen menor capacidad y otras que
tienen mayor.
Javier Quizás eso le ayude mas a comprender que yo resuelva 3 problemas con
derivadas de maximización; porque si el problema es de visualizar el problema
pues el estudiante siempre me va a escuchar es un mismo discurso…pero el no
tiene otro referente para resolucionarlo… Para resolverlo.
Javier Cuando se hacen estos ejercicios, por ejemplo el ejercicio típico de la
maximización de la caja es… A mí me ha funcionado mucho darles la hoja y
que construya cada uno una caja y a partir de construir esas caja pues hay
estudiantes que se logran enganchar a través del ejercicio manual,
130
Profesor Pregunta Respuesta
Javier pero con el ejercicio manual tengo 5 o 6 cajas diferentes ya se plantea un
nuevo reto: cuál de estas tienen mayor capacidad, eso puede invitar a tomar
otra vez el ejercicio teórico y mirarlo desde el componente derivada
Javier Incluso se puede hacer desde otro componente, simplemente desde un
componente funcional: que construyan la gráfica, pero es como dar otro
espacio, pues como siempre está el inconveniente de tiempo, en la universidad
es un poco más complejo, pero yo creo que esos espacios hay que darlos
Javier Me llama la atención sobre lo que usted está
mencionando que la resolución de problemas
presenta muchas dificultades para los
estudiantes y eso es algo que, digamos todos
hemos evidenciado, pero normalmente la
estructura del primer curso de matemáticas en
la universidad está fuertemente centrado en
álgebra y procesos algebraicos…Usted que
recomendaciones haría para mejorar ese
curso… ¿Cómo cree usted que se podría
replantear?
Bueno yo lo que he intentado hacer con los diferentes cursos es tratar de
involucrarme con la carrera de ellos, o sea no puede ser lo mismo un curso de
matemáticas básicas para un administrador que un curso de matemáticas
básicas para un ingeniero o para un contador, creo que ahí las situaciones
problemas que uno puede plantear las puede hacer muy amarradas de ese
quehacer profesional que ellos van a desarrollar más adelante; cuando yo me
dirijo a un grupo de estudiantes de primer semestre de Administración les
hablo a ellos en términos de gerente y trato de hablar de modelos que ellos
vayan a utilizar desde su profesión de gerente, eso logra enganchar, porque
con el estudiante universitario uno tiene una ventaja y es que el en cierta
manera ha decantado su interés, y si yo me agarro del interés puedo plantearle
ejercicios y problemas que él le vea utilidad.
Javier Entonces desde un modelo lineal yo puedo plantear muchas situaciones
gerenciales: una depreciación, eh, un punto de equilibrio cierto… Con un
modelo cuadrático puedo plantear un máximo en la utilidad, un máximo en el
ingreso, pero ese tipo de lenguaje, hace que el estudiante vea la matemática
con otros ojos… Si mi curso de matemáticas básicas es factorizar, es resolver
ecuaciones y al final si me queda tiempo tomar unos ejercicios del libro para
que resuelvan, pues el estudiante que ha tenido problemas en el colegio va a
seguir teniendo los mismos, problemas en la universidad; no digo que todos
van a resolver eso, pero el que realmente tiene interés en su carrera pues de ahí
lo toman,
131
Profesor Pregunta Respuesta
Javier Lo mismo si estoy trabajando con un ingeniero, no es lo mismo trabajar con un
ingeniero de sistemas que con un ingeniero químico, mecánico; los problemas
que él va a enfrentar son diferentes ¿cuál es la idea? La idea es que cada
profesor se contextualice en donde está trabajando, porque eso haría que
busque situaciones problema que le pueden dar pie para comenzar hacer la
reflexión sobre la utilidad de ese objeto matemático.
Javier O sea una representación lineal en cualquier profesión, finalmente va a ser una
herramienta de solución de algún problema puntual. Eso sería una estrategia.
Javier Y la otra que yo insisto mucho es liberar al estudiante de la carga operativa. El
estudiante que no aprendió, que no tiene claro el concepto de fracción, es un
concepto que todavía uno encuentra en los estudiantes… El todavía no
reconoce una unidad ni su división en partes, por ende no puede sumarlas, no
puede multiplicarlas… Esa estructura aritmética le genera problemas en la
estructura algebraica necesariamente y necesariamente esa estructura
algebraica, no le permite comprender una estructura de función; entonces
¿cuál es la idea? La idea es que si ya no lo hizo en 3 meses que lo tengo yo en
el salón no puedo pretender que aprenda a sumar, multiplicar y dividir
fracciones, pero para eso le puedo dar la seguridad que le da una calculadora y
decirle listo: dejémosle el peso operativo a la calculadora, ahí obviamente hay
que enseñar unos procesos operativos de orden de operación que son básicos
para que eso se pueda hacer, pero descárguese en la calculadora y empiece a
trabajar con los resultados; finalmente el va adquiriendo confianza y eso le da
a uno pie para repasar cuáles son esas propiedades cuáles son esos
fundamentos de porque existe un mínimo común múltiplo, de porque existe un
máximo común divisor, y porque es importante en el uso de
Profesor Pregunta Respuesta
Javier fracciones, ya visto desde la parte conceptual, el afán del estudiante es hacer la
132
suma, no comprender la suma; pero cuando la suma la hace la calculadora
queda tiempo para comprender que es la suma y porque se hace así y no se
hace de otra manera
Javier Bueno otra cosa que observo profesor Javier de
las respuestas que usted da en el cuestionario
escrito, es que usted se centró bastante mas en
las preguntas que hablaban de dificultades que
en las de errores ¿Por qué? Y cuál es digamos
su percepción sobre dificultad …error
Bueno yo creo que realmente lo que tienen nuestros estudiantes son
dificultades y es lo que tenemos que trabajar, los errores simplemente son
como las manifestaciones de esas dificultades… Si yo me centro en el error
que es lo que generalmente hacemos cuando calificamos un parcial, con un
esfero rojo, es marcar el error pero no pensar que lleva al error; de hecho
muchos de nuestro comentarios es “que chino tan bruto” y le comentamos a
nuestro colegas “cómo se le ocurre a este” para mencionar un ejemplo que
tenían ahí que “-8+1 da -9” y eso es lo que resaltamos pero no nos
preguntamos ¿Qué llevó al estudiante a cometer ese error? Entonces yo siento
que muchas son dificultades
Javier Muchas de las dificultades parten de nosotros como docentes… Yo creo que el
trabajo de nosotros es pensar como ayudamos a resolver ese tipo de
dificultades y los errores pues finalmente se vuelven son sistemáticos, si uno
lo ve, la mayoría de estudiantes insisto tienen problemas en los conjuntos
numéricos: el que medio dominan es el de los naturales de ahí para allá
empiezan a tener problemas pues un grupo de estudiantes apreciable, ya
cuando empiezan los enteros, el manejo y la noción de signo es algo
supercomplejo, que se empieza a evidenciar en muchos estudiantes esos
errores, en todas sus operaciones básicas
Javier Pero cuando pasa uno al conjunto de los racionales ahí sí que ven toda la
cantidad de errores conceptuales, porque el mismo concepto numérico en sí es
complejo… Pero nosotros no pensamos en eso, incluso no vamos a y no nos
damos cuenta que esas secuencias históricamente en la construcción de ese
concepto de número han tenido un orden o sea para nosotros lo natural es
contar, lo demás se sale de esa estructura natural; por eso cuando uno
Profesor Pregunta Respuesta
Javier evidencia al estudiante cualquier tipo de representación que recurre a lo
133
numérico siempre cae en los naturales, pidámosles que hagan una gráfica de
una línea recta ¿Cuáles son sus tablas? 1, 2, 3 no se salen porque ese es su
orden lógico… Pero plantéele la misma gráfica, en un conjunto más amplio…
De hecho el concepto de densidad de número él no lo tiene, la mayoría no lo
tienen, para ellos la escala y su representación de la recta numérica es eso, una
escala discreta no continua, y sin esa conceptualización pretende uno pasar a
un concepto elaborado como función, y luego trabajar sobre ese concepto
límites, derivadas, cuando eso es lo que no hay para ellos.
Javier La relación de orden aunque parece obvia para nosotros, preguntarle a un
estudiante, bueno, que sigue después del uno, pues ahí lo va a encontrar pero
que número es más grande que ½ ahí ya tiene todo…O ¿qué número sigue
después de ½ en los reales? Esos conceptos son duros de digerir y uno entra a
enseñarles límites asumiendo que eso es claro como el agua para todos,
entonces es muy difícil.
Javier Javier, usted menciona ahí la construcción
histórica de los números y pues lo que eso
implica… ¿Usted cree que eso se puede reflejar
en el aprendizaje de los estudiantes… De las
dificultades que tienen? ¿Cómo lo visualiza?
Si!...Yo creo que el estudiante y muchos de nosotros no somos conscientes de
que la matemática ha sido un constructo social, que lleva muchos años y como
no tenemos esa conciencia y no la hacemos explicita pues el estudiante
también piensa que la matemática no se ha construido sobre errores, sobre
problemáticas, sobre cosas, creo que la didáctica se ha centrado en que esto es
(clack) 2+2 es 4 y nunca se ha hecho una construcción de eso, o sea, para que
el hombre llegara a afirmar que 2+2 es 4 en su constructo matemático
histórico pasaron muchas cosas.
Javier Ahora, lo que uno está enseñando en primer semestre por ejemplo, es una
matemática reciente, es una matemática donde se condensa mucho del trabajo
de muchos siglos de esto; el no reconocer nosotros como profesores, eso,
porque para nosotros tampoco es consciente, nosotros, muchas veces cuando
los estudiantes nos hacen ese tipo de preguntas quedamos…porque no
tenemos la consciencia de que es que eso viene…
Profesor Pregunta Respuesta
Javier O sea si a uno le preguntan y como contaban los mayas y cómo contaban los
134
chibchas y eso… Como que uno se pierde… ¿Cómo así? ¿contaban? como
que esos sistemas numéricos alternos que han venido con el hombre y han ido
evolucionando no los tenemos en cuenta y yo creo que el estudiante aprende
de una manera natural.
Javier Obviamente, un concepto como el cero, que no es un concepto natural, es un
concepto bien enredado, nosotros asumimos que todos los estudiantes tienen
claro el cero, cierto… Entonces por ahí hay una ecuación donde al factorizarla,
una de las raíces es cero… Para muchos estudiantes el cero no es un número
porque es un concepto natural: contar nada, como que uno no lo tiene
presente…entonces eso… Si le da cero en una respuesta para él no es la
respuesta y uno lo asume como un error porque uno no tiene consciencia de
que son conceptos que dentro de la lógica natural no se dan
Javier Lo mismo los enteros, la parte negativa de los enteros, tampoco es un concepto
natural, también es construcción reciente… Eso yo creo que más que enseñar
historia de la matemática, más que… Es hacerse uno consciente que eso nunca
fue fácil armarlo ni ha sido fácil… A nosotros nos llega una matemática ya
organizada y estructurada en un libro… Pero eso no fue así de la noche a la
mañana, que a alguien se le ocurrió que un polinomio se podía transformar…
Que existía un polinomio, empezando por ahí… Si, entonces como que
muchas de las soluciones son soluciones mágicas que ni el profesor sabe de
donde salieron…
Javier Una técnica de integración… Pues uno sabe que existe esa técnica pero el
porqué y cómo se ocurrió y de dónde salió no y si a uno lo ponen como
profesor a hacerlo, creo que nunca lo haría… Porque… Entonces lo que uno le
transmite al estudiante: eso ya está hecho, eso es así, pero eso tiene detrás una
lógica y una construcción histórica que tiene que uno preocuparse también por
averiguar también de donde viene.
Profesor Pregunta Respuesta
Javier Bueno y aparte de ese análisis histórico y de No se… Pues yo siento que también la matemática trae también un peso social
135
cómo se puede tener en cuenta en el momento
en que uno interactúa con los estudiantes para
el trabajo de los estudiantes, aparte de esto, que
otros aspectos cree usted que influyen en esas
dificultades que tienen los estudiantes…
Hemos hablado de lo que tiene que ver con la
parte del trabajo del docente, lo que el pone en
juego en el aula, la reflexión que estamos
haciendo sobre la parte histórica, todo lo que
usted menciona, pero aparte de esas ¿qué otras
cree usted que pueden estar incidiendo?
y es que la matemática siempre nos la han pintado como el “coco” y es difícil,
o sea que también eso genera dificultad y aversión… Por los errores que
tengamos como maestros por la misma estructura social como se ha manejado
la matemática, creo que esa también es una dificultad, creo que muchos de
nuestros estudiantes se han creado un falso, una falsa expectativa “que no
sirven para la matemática” cierto… Y también socialmente se le ha dado eso;
entonces si uno recibe un estudiante de Ingeniería, en teoría el tiene que saber,
tiene que ser buen matemático, y en otras carreras donde yo he trabajado por
ejemplo administradores, muchos están ahí porque su traba fue la matemática,
en el colegio, entonces eso también es una dificultad… Como que le huyen…
La matemática es sólo para genios, en teoría y para cierto tipo de carreras que
tienen un estatus de conocimiento más alto y para otros no, y eso también se
convierte en una dificultad, una dificultad en el momento de tratar interactuar;
Javier Es quitarle al estudiante esa idea que muchos tienen arraigada que la
matemática no es para ellos.
Javier Yo hago un ejercicio de autoevaluación siempre al final de mis cursos, y mis
estudiantes me dicen eso: no es que yo nunca fui… Es que yo pase
matemáticas porque el profesor me pasó, porque era promoción automática me
dicen muchos, entonces vengo con una predisposición que ese curso que voy a
tener ahí va a ser… Me va a dar duro, entonces yo creo que esa también se
convierte en otra dificultad al momento de intentar abordarla en primer
semestre.
Javier Insisto con los ingenieros puede que no sea tan difícil, pero igual uno tiene
ingenieros que tienen esa traba, aunque en teoría ellos son buenos en
matemáticas y por eso estudian Ingeniería, así la Ingeniería sea una cosa
diferente a la matemática que es otra concepción que es complicada de
manejar.
Profesor Pregunta Respuesta
136
Javier Bueno muchas gracias mi estimado Ing. Javier.
Yo quiero hacerle otro par de pregunticas sobre
esto que aparece al final del cuestionario… Eh
aparte de estas situaciones que se presentan
acá, usted tiene algún error o alguna dificultad
que a usted le ha llamado la atención o de
pronto que esta es persistente, de pronto que no
la haya visto (en el cuestionario) o si la vió la
recuerda…
Yo siento que aquí muchas son como en esos procesos operativos de… Que se
siguen creo que hay muchas que están relacionadas con la ecuación y lo que
yo he percibido en algunos estudiantes, es que ellos no identifican diferentes
objetos matemáticos; entonces para ellos es lo mismo, por ahí creo que lo
escribí en una de las reflexiones, un polinomio cuadrático, una ecuación
cuadrática y una función cuadrática… Para ellos esos 3 objetos cuyo centro es
el mismo… 3x2x2 es lo mismo, pero no identifican que son diferentes
objetos, y al no identificar que son, pues no saben que hacer con eso,
Javier en la igualdad, no ubican el igual, no ubican las dos partes, o sea siento, que
esos procesos llevan a errores sistemáticos que siempre se verán… Ellos
muchas veces no saben que procedimientos hay que hacer, entonces tienen
dificultad… Si uno les dice factorice, ellos saben que tienen que factorizar
pero en otro contexto en el que tengan que factorizar ese polinomio no saben
lo que deben hacer porque no saben el porque, es un error recurrente;
Javier también aparecía algo del coseno por x, que lo leen como un operador…
Como 2 objetos… No ubican el objeto… No sólo pasa con trigonométricas,
con logaritmo que muchos leen “in” y no “ln” y logaritmo en cualquier otra
base
Javier Como logaritmo por x Si…
Javier Exponencial que también lo menciona usted Ellos no identifican ese componente y esa notación, ellos no notan la
diferencia que hay en la notación… Muchos visualizan xe como e por x ,
porque no hay una distinción entre los 2 tamaños simbólicos que hay, entonces
como que es muy recurrente, asociar todo lo que sean elementos en
matemáticas que sean consecutivos con producto: todo se está multiplicando,
pero no hay distinción, logaritmos, exponenciales
Javier Muchos en su escritura no lo evidencian, uno lo evidencia en los que ellos…en
sus procedimientos escritos, que no hay distinción ni de posición ni de tamaño
y eso les dificulta.
137
Profesor Pregunta Respuesta
Javier Por ejemplo, hay uno que se presenta bastante: 222 baba
O 222 baba
¿ese se le ha presentado?
Ese se presenta bastante, pero hay una forma que, y creo que es donde
tenemos que recurrir, yo creo que el error va hacia atrás, el error es aritmético;
cuando al estudiante se le hace la verificación numérica de ese tipo de
inconsistencias, ellos la detectan fácilmente, todo lo que tiene que ver con
radicales, o sea todo lo que es la relación producto frente a potenciación,
radicación y logaritmación para ellos se hace muy evidente cuando se pasa al
conjunto de los números, entonces si yo le digo 223
y le pido que lo resuelva como 22 23
Y él hace esa comparación numérica que le permite verificar, se da cuenta que
eso no es;
Javier Muchas veces nosotros nos amarramos del concepto algebraico que es
memorístico, porque se ve como un simple caso de factorización, pero no se
ha hecho el desarrollo, o sea el estudiante no lo ha… No ha pasado por esa
etapa… En este caso sería para él concreto, el número que es menos abstracto
que la variable
Javier No sé si le ha pasado que cuando a usted este
tipo de errores o dificultades, de pronto muy
operativas, usted hace una observación o hace
una explicación de por qué y propone
actividades a los estudiantes para que
verifiquen y se den cuenta de pronto por ellos
mismos que ahí hay una inconsistencia, una
incoherencia; sin embargo muchas veces ocurre
que los estudiantes persisten en ese error ¿Por
qué cree que existe esa persistencia? Puede que
en el momento, en la siguiente sesión, el
profesor ya nos indicó esto, pero después de un
Yo creo que gran parte es en el mismo fin que le damos, como nos centramos
en lo operativo, para el estudiante ese preconcepto ya quedó grabado o sea
cambiarle la estructura es difícil, ¡claro! el va a decir mientras tanto si! Pero el
ya tiene interiorizado que no es así... Implica hacer no solo una vez sino
muchas veces y cambiar la estrategia… Yo lo que trato de usar mucho es en la
parte conceptual, obligarlos a que escriban, y ese tipo de procedimientos y ese
tipo de resultados, ellos lo escriban y den un ¿por qué? Porque en ese ejercicio
de la verbalización y sobretodo de la escritura se hace un proceso de
reacomodo conceptual, mientras que en el operativo básico matemático, lo
hago una vez pero no lo estoy interiorizando.
138
Profesor Pregunta Respuesta
tiempo muy posiblemente vuelven y caen
Javier Cuando ellos están escribiendo como que se les
obliga a reflexionar sobre…
Exacto … Yo intento que eso lo hagan… Eso les cuesta muchísimo, sobre
todo escribir y muchos me dicen y ¿en matemáticas porque me tiene
escribiendo? Porque yo les insisto que ese ejercicio, cuando uno escribe,
organiza ideas; necesariamente el obligar a escribir, y no solo a escribir, a
tratar de llevarlo a otra situación puede ayudar, lo que le digo; el solo hecho de
pasar de ese campo algebraico otra vez al aritmético y hacerlo varias veces en
el aritmético puede ayudar a romper el esquema que se interiorizó; porque la
parte sobre todo en álgebra y en esta parte de factorizaciones y de productos
notables se vuelve un trabajo muy memorístico y muy mecánico, entonces por
ejemplo, ahí distinguir un signo es muy complicado, entonces muchos de los
errores parten de eso;
Javier De hecho 22 ba
Muchos no lo distinguen de 22 ba
Porque es que la cosa fue mecánica, o sea no hay una interiorización; claro!, el
proceso es largo y yo insisto que eso tiene que estar es atrás donde hay
espacios en el colegio, donde uno tiene 2 meses para abordar esa temática
debería hacerse.
139
Transcripción entrevista audio - Ricardo
Profesor Pregunta Respuesta
Ricardo Profesor Duarte, Buenos días…. El objetivo de
esta parte de la entrevista es profundizar en
algunos aspectos de los que usted mencionaba
en el instrumento escrito que muy gentilmente
me colaboró con su respuesta… Entonces
tengo un par de preguntas…
Claro con mucho gusto
Ricardo La primera es… En la pregunta 3, se refiere a
algunos errores que usted haya identificado en
su ejercicio docente, usted menciona aquí el
caso del concepto de función, el manejo de
fracciones y la recta numérica… Me gustaría
que profundizara un poco… ¿Qué ha
observado, específicamente de estos errores?
Como describirlos con mas detalles… ¿Qué
específicamente ha observado en relación con
esos conceptos?
Pues en realidad lo que se da es que el concepto de relación de 2
variables es muy difícil para que el estudiante conceptualice, ya que el
mira allá son letras y signos que no tienen ninguna relación, entonces la
idea es que esas variables representen algo… O sea es muy interesante
por ejemplo en un concepto, expresar que una función puede ser por
decir algo una temperatura y otro puede ser un calor o que uno pueda ser
un volumen y el otro pueda ser un área, o sea relacionar las variables con
cosas reales que el pueda observar, no solamente que sean letras en un
cuaderno o que tenga un cuaderno lleno de x y de y porque en realidad
eso no es ningún aprendizaje ni ninguna cosa que se pueda aprovechar
después para que el muchacho pueda conceptualizar mas allá de eso…de
tener un cuaderno lleno de x y y
Ricardo En la parte del manejo de fracciones todo está relacionado con la recta
numérica o sea, no mas... Eh… Yo cuando acostumbro a dictar estos
cursos yo lo que empiezo a mirar es ¿cómo es la recta numérica como
tal? Identifico cuáles son los números, por qué hay fracciones, por qué
hay racionales, por qué hay irracionales, que a la derecha un número es
más grande, que a la izquierda es más pequeño y por qué se da este
fenómeno… Eso es fundamental para que un estudiante pueda empezar a
mirar la noción de orden de número y pueda saber después que es mayor
o menor y esa de la recta numérica me parece que es una de las falencias
que trae el muchacho siempre siempre en un curso de estos
140
Profesor Pregunta Respuesta
Ricardo El manejo de fracciones, pues como no saben que es un número, o sea
para ellos eso no es un número, es una cosa
Ricardo Una fracción no es un número? Si… Es una cosa diferente que se suma diferente que se multiplica
diferente, y no significa que es que es una cantidad, entonces para mí
creo que ese es el error cuando tienen, cuando les habla uno de factor
común o de cosas de esas, ellos piensan que es una cosa diferente a lo
que es un número como tal que no tienen representación de cantidad…
Ricardo O sea, según lo que usted observa es un objeto
distinto a un número como tal
Es un objeto diferente a un número como tal, entonces yo lo que busco es
que, bien o sea que piensen en fracciones como un número que
representan una cantidad entonces lo que yo busco que haya una
representación de esas, de esas, ehh, unidades, que sepan que un
irracional también es un número, que una raíz también es un número, que
un logaritmo es un número en realidad, ¿sí? que son cantidades que se
manejan de la naturaleza… Esa yo creo que es la conexión que tiene el
muchacho como tal... Entonces para mí eso se da es por la fragmentación
de los cursos que se dan ¿si? La no realidad que se da por parte del
proceso educativo en niveles inferiores, ya que en alguna parte se
desconecta ¿sí? Ya no se empieza a hablar de cantidades si no se
empiezan a hablar dee de cosas x, y y z que para el muchacho no
representan nada, si se siguiera insistiendo que son cantidades que vienen
de la naturaleza, que sirven para contar que todo se deriva de ahí, que
todo el proceso matemático es eso, el estudiante tendría una facultad de
de tener un proceso sistémico de apropiación de la matemática que es el
que no se da, que es el que en algún momento se parte que se rompe,
Ricardo y lo que yo busco en mis cursos es que ese proceso vuelva otra vez a
darse ¿sí? que todo esto está relacionado con el fenómeno natural y a
través de la historia esto es muy importante porque el otro problema es
eso ¿sí? el pensar que esto son cosas del otro cuando en realidad son
cosas cotidianas de todos los días para un muchacho de estos.
141
Profesor Pregunta Respuesta
Ricardo Usted menciona la historia ¿cómo lo conecta
usted con …?
Mmm… Normalmente yo lo que son fenómenos físicos por ejemplo hay
que explicar que es lo que… Muchas veces yo me valgo (inaudible) de lo
que hizo Newton explicando como el pudo explicar y desarrollar los
términos de velocidad y todo lo que estábamos hablando ahorita ehh, en
base al cálculo, entonces relacionar de verdad cómo la física es eh, la
manera como la matemática se ha podido desarrollar …
Ricardo Yo siempre en todo momento busco es que haya como coherencia en lo
que está enseñando y darle un significado a lo que está diciendo ¿si?
entonces por ejemplo a la historia por ejemplo lo que son los fenómenos
de la naturaleza en términos de la temperatura, de cómo la revolución
industrial se da es porque se pudo estudiar el vapor, de como la velocidad
explicó y determina la verdadera… Desarrollo científico tecnológico en
el siglo que se dió… O sea siempre la matemática ha sido la formadora
de esas, de esos fenómenos, entonces no mirarlo como si fuera el
enemigo porque el estudiante lo asocia con el enemigo.
Ricardo Profesor Ricardo, en la pregunta 5 menciona
usted otras dificultades, también me gustaría lo
mismo ehh, ser un poco mas especifico en
cuanto lo que usted observaba de cada una de
las que usted menciona ahí, por ejemplo usted
menciona asociatividad en las expresiones,
orden en las operaciones, los conceptos de
mayor y menor, la incapacidad de dividir
fenómenos de una situación macro, la
comprensión de lectura, entonces ¿qué es lo
que usted ha observado en cada uno de esos
casos y si es posible que explicación da a esas
dificultades de los estudiantes desde lo que
usted ha visto?
Retomando básicamente es lo mismo, o sea el problema es la
fragmentación que se da en la comunicación del profesor al estudiante, o
sea, si no se tienen claras las propiedades básicas de la suma y la
multiplicación no se va a poder hacer un proceso de factorización por
ejemplo o de resolución de ecuaciones así sean de los más complejas
porque es que en realidad todo se, todo se va hacia ese mismo tema a
cómo usted puede asociar, a cómo puede simplificar, a cómo puede
conmutar a cómo puede tener cosas conmutativas… Todo el proceso de
matemáticas se hace a leyes hacia esa simpleza de las leyes; entonces si
no se tiene un concepto de esas leyes básicas de la suma y la
multiplicación, lógicamente va a ser muy dificultoso para el estudiante
seguir, entonces a eso me refiero cuando digo la asociatividad en las
expresiones, en el orden de las operaciones.
142
Profesor Pregunta Respuesta
Ricardo Los conceptos de mayor y menor no se manejan como habíamos
mencionado antes la recta numérica no se maneja como tal y una cosa
que si es importante es la comprensión de lectura en los problemas,
normalmente el estudiante sino entiende que le están hablando, llevarlo a
términos matemáticos va a ser imposible para él y eso también se ha
dejado de dar, o sea no es que el problema sea matemático en algunos
casos sino simplemente no se entiende lo que le están hablando, entonces
eso es muy delicado para eso,
Ricardo Ese “no se entiende” podría ser referido a
problemas con el lenguaje utilizado? ¿a la
redacción? ¿a la representación?
De pronto al imaginario que tiene el estudiante cuando por ejemplo le
están preguntando cosas de velocidades, normalmente quieren que le
digan que es una velocidad … Si él no comprende que es una razón de
cambio, que la velocidad es una razón de cambio, ya de ahí para allá no
va a poder mirar, entonces la matemática tiene que desarrollarse con el
lenguaje estrechamente para que un estudiante pueda mirar
Ricardo Y entonces ahí me refiero cuando es la forma de dividir las cosas ¿sí? O
sea si se les dió un texto y no puede fragmentarlo ¿sí? mentalmente en su
mente y saber de qué le están hablando pues lógicamente no va a poder
relacionarlo con la siguiente parte del texto y no podrá abordar el tema
porque simplemente no lo va a entender, entonces si... Si no es capaz de
fragmentar las cosas de subdividirlas para poder relacionarlas, entonces
es muy importante esa comprensión de la lectura de manera que se pueda
después de que usted comprenda lo que están diciendo poder llevarlo a
términos matemáticos que es muy grave y no se da solamente en
estudiantes de primer semestre… En cursos superiores que yo he dictado
tienen la misma incapacidad de poder llevar situaciones técnicas a
situaciones matemáticas es muy difícil para ellos.
Ricardo Esa dificultad trasciende, o sea va más allá… ¡Claro! Trasciende todo el tiempo, hay profesionales que no son capaces
de poder interpretar una situación, es muy difícil, y… Llevarla a términos
matemáticos… Pues ya, o sea, si no tiene un paso normalmente el
143
Profesor Pregunta Respuesta
siguiente no va a poder hacerlo…
Ricardo Bueno… quiero hacerle otras dos preguntas
profesor Ricardo que de pronto si no están
enteramente evidenciadas en el cuestionario y
son relacionadas una con el rol del docente y
con la matemática en sí…Entonces la primera
es ¿usted cómo ve el rol del docente o el
papel del docente en el proceso de aprendizaje
de las matemáticas en estos estudiantes, o sea
¿cuál cree que es la participación del docente
en cuanto estas dificultades? O sea… Que
percepción tiene sobre esto?
Bueno yo le hablo desde el punto desde la Ingeniería… Para mí el
docente sobre todo en ciencias básicas debería ser un docente con
experiencia en Ingeniería, o sea me parece un error lo que se lleva a cabo
en muchas universidades que lo que ponen son licenciados porque es que
ellos realmente no van a ser licenciados… El ingeniero va a tener que
enfrentar situaciones reales y no basta con que usted les enseñe lo básico
de operaciones sino tiene que de una vez contextualizarlo y meterlo
dentro de la Ingeniería, o sea no puede ser que se den cinco semestres de
básicas y después otros cinco semestres de Ingeniería ¡no! la Ingeniería
es una sola, entonces normalmente las matemáticas tendrían que
enseñarse con conceptos y con orientación a problemas físicos de su
propia Ingeniería.
Ricardo Conectados … Conectados claro! O sea no es posible que se esté viendo cinco
semestres, donde el muchacho está una cantidad de horas x aprendiendo
matemáticas sin tener a donde orientarlas, entonces el docente tiene que
ser una persona que oriente y que lleve a sus cursos hacia lo que en
realidad va a desempeñarse, la especialización del trabajo en estos
tiempos es así, o sea no no no, no se puede perder tiempo, la velocidad
ahorita es crítica en términos dee… Educativos entonces eh, esos cinco
semestres de pronto el estudiante se pierde no sabe para donde va…si
usted quiere estudiar Ingeniería por ejemplo Ingeniería Agromédica y
está pensando en que va a desarrollar cosas relacionadas con la medicina
y tiene cinco semestres que le están hablando el estudiante muy
seguramente el estudiante va a replantear si está estudiando lo que es …
Por eso es que para mí el docente de Ingeniería en los primeros semestres
tendrían que ser ingenieros que de una vez estén orientando al muchacho
para donde va…aunque sean materias básicas hay que por ejemplo los
términos de presión, de temperatura
144
Profesor Pregunta Respuesta
Ricardo El caso de la Ingeniería Mecánica los tiempos de velocidades, de flujos
de todas maneras tienen que estarse conceptualizando desde el principio;
las razones de cambio tienen que orientarse hacia lo que es…Usted no
puede estarle hablando a un ingeniero mecánico del enfriamiento de
pasteles cuando tiene a su mano los tratamientos térmicos y sus hornos,
entonces yo creo que hay que conceptualizar mucho al estudiante en eso,
y ahí es cuando el estudiante se revienta porque piensa ¿no, pero yo que
estoy estudiando?
Ricardo O sea una persona que le guste la electrónica, que le estén hablando de
mezclas de, yo que sé, eh, de cosas químicas por ejemplo, de una vez
valga replantear que sería lo que es,
Ricardo Pero si usted le dice que el electrónico es el que maneja e instrumenta los
procesos químicos, eso es otra cosa, porque ahí si estaría interesante para
un estudiante electrónico saber que aunque sea electrónico va a necesitar
de química, aunque sea electrónico va a necesitar de las térmicas, que eso
en realidad es el fenómeno que hace al electrónico…pero si nadie le
habla de eso… Nunca va a entender que está estudiando… De pronto va
saberlo en un octavo semestre o cuando llegue a la vida profesional y va
a entender para que le enseñaron matemáticas pero ya es demasiado tarde
para que el muchacho se interese y de verdad el proceso lo haga de mejor
manera
Ricardo Bueno y de manera digamos mas especifica en
cuanto al manejo que le da el docente a las
dificultades y los errores que cometen los
estudiantes en su curso de matemáticas básicas
La facilidad del profesor es decir el estudiante no sabe y simplemente
ponerle una mala nota o ponerlo a repetir, pero yo creo que hay que ir
más allá, o sea
145
Transcripción entrevista audio - Fernando
Profesor Pregunta Respuesta
Fernando En la pregunta número 3, usted menciona
algunos errores, me podría decir ¿qué errores
muy típicos identifica usted que se repiten
mucho, adicional al que usted menciona de 222 yxyx ?
Como lo comenté en la parte escrita de esta entrevista, los errores que los
estudiantes cometen se deben principalmente a varias razones quisiera
comentar eso antes de poder hablar de los errores particulares como para
que quede un poquito más clara la cosa, entonces creo que los errores se
dan fundamentalmente porque los estudiantes no hacen una buena
interpretación de los enunciados de los problemas, entonces, digamos
que los dos típicos problemas que uno se puede encontrar en matemáticas
son aquellos que tienen enunciados verbales, aquellos que se categorizan
como problemas y los ejercicios… Los que tiene sentencias canónicas
particulares como por ejemplo un cuadrado perfecto;
Fernando creo que el que los estudiantes no hagan una buena lectura de los
ejercicios y de los problemas de entrada hace que ya empiecen
equivocándose,
aparte que los estudiantes en Colombia cuando llegan a la educación
superior vienen mal acostumbrados, esto quiere decir que los estudiantes
siempre tienen la necesidad de dar respuesta a los problemas así no
sepan, el estudiante así no sepa, requiere dar algún tipo de cierre a las
situaciones con las que se enfrenta en una sesión de clase, entonces eso
hace que el estudiante a veces prefiera equivocarse, sabiendo que lo está
haciendo, antes de describir o simplemente dejar el enunciado o el
problema sin resolver…
Fernando En esos cursos de Precálculo los errores mas frecuentes son aquellos que
tiene que ver con las leyes de los exponentes, por ejemplo los estudiantes
suelen llegar a estos cursos sin tener en cuenta cuales son las propiedades
de los exponentes entonces eso implica serias dificultades en un
comienzo,
Fernando Por otro lado el manejo de las leyes de los signos para la suma y para la
multiplicación también les genera serias dificultades, sin embargo hay
146
Profesor Pregunta Respuesta
que tener en cuenta como agravante talvez, está el hecho que los
estudiantes, con los que uno suele trabajar en la universidad no siempre
son recién graduados del colegio, entonces cuando uno trabaja con
estudiantes que han dejado de estudiar tres, cuatro, cinco años, ello hace
que prácticamente, uno tenga que partir de cero con estos estudiantes
porque la información y los conceptos que ellos han debido estudiar en el
colegio, pues difícilmente los recuerdan.
Fernando Por ejemplo en el caso que menciona de las
leyes de los exponentes, que explicación tiene
usted para que los estudiantes pues tengan esas
dificultades por ejemplo en el manejo de ese
caso particular?
¿qué hago yo en relación a eso?
Fernando No… ¿Por qué se da?... ¿Cuáles son las
posibles causas de que los estudiantes cometan
esos errores?
Bueno profesor… Yo puedo evocar varias situaciones…uno el tipo de
formación escolar que tienen los estudiantes, entonces cuando un
estudiante es escolar cuando está en el colegio no suele recibir un buen
tipo de formación, entonces eso nos hace pensar o nos podría hacer llegar
a pensar que el error que ellos cometen se debe al tipo de formación que
han sufrido por decirlo de alguna manera porque el estudiante no ha
contado con una buena formación
Fernando Hace unos años en Colombia se ha dado como el boom de los nuevos
modelos pedagógicos, y la formación de maestros en Colombia ahora
hace que eses tipo de errores eh… Se disminuya radicalmente a partir de
las nuevas prácticas docentes… Sin embargo el impacto de estos nuevos
proyectos curriculares apenas se empieza a ver... La mayoría de los
profesores en Colombia son profesores que tienen otro tipo de formación
y que privilegian dentro de sus sesiones de clase otra cosa diferente al
estudio real de un concepto matemático, todavía estamos en espacios
escolares y en espacios universitarios donde lo que importa es los
procedimental entonces realmente los estudiantes… Solamente se
147
Profesor Pregunta Respuesta
preocupan por la resolución inmediata de un ejercicio sin realmente
Fernando haber hecho un estudio profundo del concepto, entonces en el caso de las
propiedades de los exponentes se da precisamente por eso porque no hay
un verdadero estudio del concepto del exponente de… De toda la
estructura algebraica que implica un exponente entonces los estudiantes
simplemente pues no lo tienen en cuenta
Fernando Solo resuelven el ejercicio a partir de lo que ellos consideran está bien
sin preocuparse por hacer un estudio profundo del concepto
Fernando Un error que usualmente se encuentra una
dificultad que se presenta usualmente es el de
los casos de factorización… En ese caso ¿a
qué atribuiría que tengan dificultad con los
casos de factorización?
Creo que en la transición de lo aritmético a o algebraico en la escuela en
Colombia se da a muy temprana edad, si nosotros lo ponemos a la luz de
la teoría un estudiante está en el estadio de las operaciones formales más
o menos a los 17 años… Cuando el estudiante en Colombia aborda el
estudio o la transición de lo aritmético a lo algebraico lo hace mas o
menos a los 13 años 14 años, uno, yo creo que no es una buena edad
para hacerlo y dos creo que el tipo de currículo que establece el
Ministerio de Educación Nacional obliga a los profesores a abordarlo ahí
y en muy poco tiempo… Entonces el manejo de la variable, de la letra en
matemáticas no se estudia en los currículos ni siquiera en la
Universidad, entonces cuando el estudiante se enfrenta a a un caso de
factorización típico… Al cuadrado perfecto por ejemplo el estudiante
olvida que realmente lo que importa a lo que hace referencia el caso de
factorización es a una estructura matemática que es fácilmente
representable a través de una geometría por ejemplo… Entonces creo que
haber separado el currículo como pasa incluso como lo hacen los libros,
todo ese componente geométrico que tiene el álgebra hace que el
estudiante pues divague demasiado cuando intenta resolver ese tipo de
problemas
Fernando Si usted lo recuerda, el manejo de la variable en matemáticas de la letra
en matemáticas tiene como seis tipos diferentes de interpretación… Se
148
Profesor Pregunta Respuesta
puede interpretar como objeto, como número generalizado, como
variable, como incógnita, y a lo que nosotros le tenemos que apuntar en
Fernando un curso de Precálculo en una universidad es que el estudiante logre
interpretar y hacer uso de la letra en matemáticas como variable y como
incógnita, pero cuando el estudiante llega no lo hace, al estudiante se le
dificulta el uso de la letra en matemáticas, eso hace que el estudio del
álgebra y por ende del cálculo posteriormente, sea muy complicado para
algunos estudiantes.
Fernando Aclaraciones sobre la pregunta 10 del
cuestionario escrito.
Me llama la atención aquí en las observaciones
que usted incluye sobre las situaciones que se
presentan en la tabla final, en la situación
graficar una función cuadrática como una recta
en sus observaciones dice que hay problemas
en las traducciones entre diferentes sistemas de
representación me gustaría que me aclare un
poquito mas sobre esta observación que usted
plantea ahí…
El profesor Pedro Gómez ha desarrollado todo un estudio un análisis
didáctico en el cual el logra especificar este tipo de teorías entonces lo
que sucede es que uno tiene un objeto matemático y un objeto
matemático es objeto de representarse de diferentes formas, por ejemplo
la cuadrática… Uno puede representar la cuadrática tabularmente la
puede representar gráficamente, incluso el enunciado verbal cuando uno
dice ecuación cuadrática es otro tipo de representación.
Fernando Me llama la atención que digamos lo que aparece en la tabla, el
enunciado dice graficar una función cuadrática como una recta… Esto no
le he visto particularmente en mis estudiantes pero lo que sí puedo
dilucidar es que ese tipo de error sea porque el estudiante no es capaz de
hacer una buena traducción entre sistemas de representación por ejemplo
si uno le presenta al estudiante la gráfica de la cuadrática y le dice al
estudiante que haga una función… El estudiante debe hacer una
traducción entre diferentes sistemas de representación, tienen que coger
lo gráfico y ahora tienen que transponerlo y tienen que traducirlo a un
lenguaje algebraico, ahí puede haber problemas, claro hay unos métodos
149
Profesor Pregunta Respuesta
establecidos para que el estudiante pueda llegar a hacer esto o incluso si
uno le dice al estudiante aquí tiene los datos tabulados ahora lo que tiene
que hacer es graficar la ecuación, el estudiante puede presentar diferentes
dificultades, y creo que eso se da a propósito del mal estudio que se le
hace a los conceptos matemáticos
Fernando En la pregunta número 8 ¿realiza algún tipo de
acción didáctica curricular o de otro tipo con el
fin de eliminar o reducir los errores que
presentan los estudiantes? Usted menciona que
realiza algunas… La idea es que me hable un
poquito sobre esto… La idea es como
profundizar un poco en la respuesta
Digamos que cuando yo contesto el cuestionario escrito yo enuncio dos
tipos de acciones que yo llevo a cabo… Unas de tipo curricular y otras de
tipo didáctico…
Fernando dentro de esas acciones de tipo curricular para poder reducir el error en
clases de matemáticas lo que particularmente yo hago es una evaluación
del currículo, pero es que tenemos que tener en cuenta que los cursos de
Precálculo que se desarrollan hoy día digamos que se pueden clasificar
temporalmente en dos aquellos que atraviesan todo un semestre o sea
aquellos que duran 16 semanas y aquellos cursos de matemáticas que
duran solo 8 semanas
Fernando En términos didácticos a mí me gusta mucho el trabajo en grupo, creo
que si los estudiantes desarrollan cursos de matemáticas en grupo va a ser
mucho más fácil minimizar los errores porque precisamente el que ellos
trabajen en grupo hace que si hay alguno de ellos que presenta algún tipo
de dificultad va a ser menos costoso para el estudiante reconocer el error
y abordarlo que si lo hiciera individualmente …
Fernando Metodológicamente hablando me gusta mucho la resolución de
problemas entonces creo que no es suficiente con que el profesor dé la
respuesta correcta a una situación problema sino que verdaderamente a
partir del ejemplo del contraejemplo de la multiplicidad de ejemplos que
150
Profesor Pregunta Respuesta
pudieran haber frente a un concepto matemático el estudiante logre
reconocer y hacer evidente su error
Fernando por ejemplo si un estudiante… Como en los ejercicios de la última
pregunta tiene -8-9 y el estudiante pone 9 pues como profesor uno
Fernando entiende que ahí hay un conflicto con el manejo de los signos …no es
suficiente con que uno se lo diga… Con que uno le diga… Usted se está
equivocando en tal y tal cosa…Me parece mucho más interesante que el
estudiante a partir de todo un estudio del concepto logre reconocerlo… Si
el estudiante construye el concepto matemático el estudiante seguramente
reduce en un buen porcentaje las posibilidades de volverse a equivocar
frente a él pero se vuelve un círculo vicioso… Porque en 8 semanas o en
32 horas de clase que dura un curso de Precálculo uno no tiene tiempo
suficiente para poder hacer que el estudiante aprenda de esa manera
Fernando Incluso en las 16 semanas Tampoco pasa… Claro que no… Pues uno tiene que dar con una
institución educativa lo suficientemente flexible para que entienda que la
labor docente no es solamente abordar una cantidad de conceptos que
están planteados en el currículo sino lo que realmente uno tiene que hacer
es enseñar matemáticas… Pero no suele pasar… Uno como profesor
queda atado… Uno tiene que dar cuenta de unos conceptos vistos, porque
uno tiene que entregar… Suena un poco feo, su producto terminado: un
estudiante que esté en condiciones de abordar el estudio del cálculo…
Uno como profesor tiene que decir vamos a ver los temas… Usted si no
lo entiende pues le toca por su cuenta estudiarlos porque usted si quiere
abordar un curso de cálculo usted tiene que saber esto… Estamos
juagando… Es un secreto a voces… Los estudiantes no están siendo bien
formados pero el problema es que si nosotros reconociéramos ese tipo de
cosas la cosa sería diferente…
151
Profesor Pregunta Respuesta
Fernando Algo adicional… Digamos que es transversal a
todas las preguntas ¿usted cree que existe algo
detrás la razón de todos estos errores o
dificultades… Algo relacionado con la
naturaleza propia de los conceptos es decir que
los mismos conceptos entrañan dificultad?
Sí, claro
Fernando ¿Por qué? De pronto existe algún algo
asociado a responsabilidad entre comillas de lo
que hace el docente de sus acciones en el aula
que pueda generar que los estudiantes cometan
este tipo de errores?
Creo que a veces los profesores cuando estamos frente a un grupo de
estudiantes de Precálculo, nos olvidamos que los que tenemos al frente
realmente son seres humanos y nos preocupa únicamente abordar las
temáticas y los conceptos pasando por encima arbitrariamente e
irresponsablemente… El estudio de la matemática va a generarle
dificultades y errores a los estudiantes… Uno los tiene que
cometer…creo que si no fuera así no sería interesante el estudio de la
matemática… Pero si creo que en gran medida la responsabilidad del
docente implica que cuando vea y reconoce que el estudiante está
cometiendo algún tipo de error la estrategia pedagógica no es solamente
darle la respuesta correcta sino realmente sino llevarlo a que el haga un
análisis de en que se está equivocando, pero eso no suele pasar aquí …
Es más, uno no tiene tiempo en el desarrollo de un curso de matemáticas
en una universidad sea Precálculo, sea cálculo o álgebra lo que uno esté
enseñando, uno generalmente no tiene el tiempo para poder hacerlo.
152
Transcripción entrevista audio - Miguel
Profesor Pregunta Respuesta
Miguel Hay una pregunta fundamental ¿Por qué cree
usted que existen los errores que presentan los
estudiantes cuando están resolviendo ejercicios
y problemas de matemáticas?… Es decir qué
tipo de cosas según su percepción?
Los errores que cometen los estudiantes en matemáticas a la hora de
resolver ejercicios, yo creo que es un conjunto de elementos, que se
conjugan para que los estudiantes, digamos, cometan este tipo de errores,
uno de ellos es digamos el lastre que llevan desde la primaria, digamos, a
veces errores de tipo conceptual, que se han trabajado de manera
inadecuada en los cursos de la educación básicas primaria
Miguel Otro aspecto es que se evidencia en muchos estudiantes la falta de lectura
y de interpretación, en básicamente problemas que se colocan de
enunciados, para plantear una ecuación, me parece fundamental trabajar
ese tipo de ejercicios, para que el estudiante interprete una situación real,
y a partir de ella plasme esa situación en una ecuación y lo pueda
resolver y no limitarse simplemente a resolver ecuaciones de manera
mecánica, entonces ahí se evidencia una falta de interpretación y también
una falta de utilización adecuada de signos de puntuación y de
interpretación que se hace de los problemas
Miguel También uno observa en los estudiantes como el afán de encontrar una
respuesta a un problema específico, como dicen muchas veces los
mismos estudiantes se vuelven muy respuesteros, en ese afán de buscar
una respuesta de forma rápida, cierto, esa rapidez y ese afán de resolver
el ejercicio de manera rápida, los lleva a veces a cometer muchos errores
en su afán de encontrar una respuesta a un ejercicio, y más aún … Ellos
se limitan simplemente a buscar esa respuesta y cuando obtienen esa
respuesta sienten como si ya hubieran realizado el ejercicio, pero nunca
se preocupan por dar una interpretación a las respuestas que obtienen en
el desarrollo de sus ejercicios, sino como si la meta fuera ya la respuesta
a un ejercicio y me parece que lo más fundamental es dar una
interpretación a dicha respuesta.
153
Profesor Pregunta Respuesta
Miguel Por lo que usted me está diciendo pareciese que
esas dificultades o errores se deben en gran
parte a la acción que hace el estudiante sobre su
trabajo, es decir es la responsabilidad del
propio estudiante
Si yo creo y eso mismo les, por ejemplo, hace que cometan errores, yo
creo que básicamente o muchas veces debido a la falta de observación y
de hacer una pausa, es decir verlos con detenimiento, antes de
ejecutarlos, antes de hacerlos, antes de resolverlos deberían hacer como
una pausa y verlos detenidamente y una vez interpretadas las operaciones
que están indicadas, ahí si proceder a resolverlos.
Miguel ¿Usted cree que unas posibles, que esos
posibles errores o dificultades de los
estudiantes podrían tener algún origen o alguna
explicación también en la naturaleza propia de
los conceptos que están involucrados? Es decir
de las matemáticas que están involucradas?
Bueno ese tipo de reflexión, le soy sincero, no lo he hecho, o sea tocaría
hacer como un análisis más detenido en cuanto a la naturaleza misma de
las matemáticas como para ver de pronto, no estoy diciendo, refutando,
afirmando o negando que pueda haber un elemento dentro del mismo…
Naturaleza de las matemáticas que pueda contribuir a ese tipo de errores,
no lo puedo negar ni lo puedo afirmar, simplemente es algo que de
pronto no he hecho el debido análisis al respecto
Miguel Bueno y cuál sería el papel del profesor, en este
proceso en el cual el estudiante pues tiene
dificultades y errores? el profesor pues trata
muchas veces de diferentes maneras de
posiblemente ayudarle a superar esos errores
¿cuál cree usted que es el papel de profesor
para ayudar al estudiante a que no cometan
esos errores? ¿Qué tipo de acciones….?
Bueno… Fundamentalmente yo creo que el profesor, el docente debe
estar alerta a este tipo de errores y sobre todo de desatacarlos y hacer una
pausa dentro de su ejercicio docente para que todos los estudiantes sean
conscientes de esos errores que comúnmente se cometen ¿Por qué?
Porque a veces muchos estudiantes, en digamos, en el quehacer del
curso, pues no suelen cometer ese tipo de errores pero son susceptibles
en un futuro a cometerlos entonces siempre es bueno destacar eses tipo
de errores y hacer un paréntesis dentro del mismo curso para que esos
errores digámoslo así como enmarcarlos, tenerlos en cuenta para que no
se vuelvan a cometer
Miguel ¿Usted cree que podría ocurrir por ejemplo que
la presentación o la forma como el docente
aborda el estudio de estos conceptos podría
incidir de alguna manera en que se presenten
estos errores o dificultades?
Claro, claro, digamos que es otro elemento más que puede constituir el
hecho que el estudiante cometa ese tipo de errores, o sea ser muy claros
sobre todo al abordar temas de orden conceptual, me parece que es
fundamental trabajar el concepto más que la dinámica misma del
ejercicio…Ya es un trabajo que se puede dejar un poco a un trabajo
independiente del estudiante, pero la parte conceptual debe ser expuesta
154
de manera muy clara y desarrollar digamos dentro de eso también están
Profesor Pregunta Respuesta
Miguel las estrategias que cada docente tenga a nivel didáctico para que esos
conceptos queden bien claros a los estudiantes
Miguel Complementación pregunta: ¿Usted cree que
unas posibles, que esos posibles errores o
dificultades de los estudiantes podrían tener
algún origen o alguna explicación también en la
naturaleza propia de los conceptos que están
involucrados? Es decir de las matemáticas que
están involucradas?
Respecto a la pregunta que si la naturaleza misma de las matemáticas
puede incidir en que los estudiantes cometan errores pues realmente la
pregunta me sorprendió mucho porque, pues ese tipo de reflexiones
nunca lo había hecho, y ahora que me lo hacen, me parece que de pronto
puede ser un elemento constitutivo en cuanto que los estudiantes puedan
cometer errores, un aspecto de ello es por ejemplo cuando cometen
errores de simplificación, la representación misma simbólica de las
matemáticas, hace de pronto o induce al estudiante a cometer errores, es
un juicio que hago digamos intuitivamente, cuando se representa un 2x
en el denominador y en un numerador el estudiante identifica dos
representaciones idénticas que de pronto lo levan a intuir que eso se
pueda simplificar sin tener en cuenta otras operaciones involucradas,
pero ahí hay un factor a mi modo de ver definitivamente o
determinantemente incidente sobre los errores comúnmente cometidos
por los estudiantes.
155
Transcripción entrevista audio - Diego
Profesor Pregunta Respuesta
Diego ¿A qué atribuye o como explica las
dificultades de los estudiantes de primer
semestre?
Lo que yo puedo ver, digamos, los niveles de lectura han bajado bastante;
los niveles de comprensión de simplemente términos, por ejemplo
términos que se definen bien, que el estudiante debe identificar en el
enunciado de un problema, en el enunciado de una situación problémica,
no son claros para una persona que ya tiene una formación finalizada por
ejemplo, en la secundaria y entran a la universidad;
Diego ¿A qué atribuye o como explica las
dificultades de los estudiantes de primer
semestre?
Se nota que un estudiante puede acercarse a un concepto, pero el
estudiante no hace un esfuerzo por fortalecer ese concepto, digamos con
la solución… Con el ejercicio de problemas prácticos, de problemas de
aplicación;
Diego ¿A qué atribuye o como explica las
dificultades de los estudiantes de primer
semestre?
… Y el concepto así como llega se va, o sea el concepto no se retiene, el
concepto no permanece, el estudiante piensa que el concepto debe
memorizarlo o debe intentarlo mínimamente en una situación coyuntural,
pero no es algo que deba permanecer en su cabeza, pero no es algo que
deba permanecer para integrarlo con conceptos o que se integre a una
formación posterior.
Diego Es increíble, digamos, que los estudiantes no tengan claras las
propiedades de la adición, las propiedades de la multiplicación que no
entiendan por ejemplo muy bien cuál es la diferencia entre los números
naturales y los números enteros, que no entiendan por ejemplo que en los
números enteros la suma y la resta se unifican en una sola operación.
Diego Que no tengan claras las ventajas de la propiedad asociativa en la adición
y la multiplicación; la propiedad distributiva como una propiedad que
liga la multiplicación y la suma;
Diego cosas que uno debería tener claras como los fraccionarios desde la
primaria crean grandes dificultades y son problemas de aritmética... Son
problemas básicos de aritmética y son problemas que pretenden
156
Profesor Pregunta Respuesta
solucionarse de manera memorística;
Diego a veces los conceptos de mínimo común múltiplo y máximo común
divisor no son claros ni se entienden para que se utilizan por ejemplo en
una operación como suma y resta de fraccionarios no se entiende la
equivalencia entre particiones;
Diego … Y eso hace que los procesos se vuelvan complejos por las falencias
que los estudiantes ya presentan y que además les crea un problema de
autoestima porque están acostumbrados a no entender, están
acostumbrados a que ellos no son capaces con ciertos contenidos con
ciertos conocimientos y quieren seguir en una inercia donde digamos no
se les exige esa… Esa formación anterior y no haya lo que se llama un
proceso metacognitivo en que el estudiante evalúe la pertinencia de su
conocimiento y la capacidad que tiene realmente ante su conocimiento.
Diego Usted menciona el caso de la diferencia entre
el conjunto de los números naturales y los
números enteros, en ese caso particular Diego
¿usted por qué cree que los estudiantes
presentan errores en la comprensión o
dificultades de ese caso particular?
Es un problema de conceptualización es un problema de entender cómo
se articula el sistema numérico y las operaciones que se hacen sobre el
sistema numérico, es un problema de destreza, es un problema tan
sencillo, como que el estudiante dude en una operación de
multiplicación, porque sencillamente, una cosa tan básica como las tablas
de multiplicación se han aprendido, se han asimilado de manera
nemotécnica… Yo creo que todos aprendimos de esa manera ¿cierto?
Digamos que en la infancia, en los procesos de aprendizaje de esas cosas
de esa aritmética básica no ha habido una construcción de las
operaciones, no ha habido un desarrollo digamos lúdico de esas
operaciones lo suficientemente vivenciado para que el estudiante lo
aprenda, lo entienda, lo construya, le vea sus diferentes aspectos.
Diego Hay una confusión incluso con el símbolo, con la forma con el objeto que
representa.
Diego Ahí usted identifica errores o dificultades
asociadas como a cosas lingüísticas …
Si claro cuestiones lingüísticas y semánticas, cuestiones como no
entender qué es una raíz qué es una potencia por ejemplo, no integrar esa
157
concepción no entender que una raíz es una potencia fraccionaria, que es
Profesor Pregunta Respuesta
simplemente un caso especial de potencia… Uno le dice a un estudiante
factorizar y no sabe qué rayos es factorizar… Digamos, eso se va
extendiendo eso es un error sistemático que se va agrandando a lo largo
del proceso de formación del estudiante.
Diego Aclaraciones sobre la pregunta 10 del
cuestionario escrito.
En cuanto al primer ítem que dice graficar una función cuadrática como
una recta, no sé si se salga del contexto de tu estudio, pero yo por ser
docente de física (he tenido cursos de matemáticas básicas y también de
física), me llama la atención una cosa, si tú tienes que
bmxy que es la ecuación de una recta en general y tu lo cambias
por bmtz , cuando tú haces un cambio en las variables, los
estudiantes no sé por qué rayos ya no identifican eso… A mí me parece
increíble…el solo hecho de cambiar símbolos hace que el estudiante se
enrede. Si tu presentas una cuadrática en términos de t , en física eso (t )
representa tiempo, el estudiante se va a volver un ocho, a él le parece
como que el plano cartesiano ya no es el mismo… No sé por qué… Que
ya como que esa representación no se puede hacer… Entra en una duda
que a mí me parece que es como lingüística… Porque a la final eso
simplemente tiene que ver con el abecedario…Yo le digo al estudiante
que las variables se pueden llamar x, y, z, t o como me dé la gana… Para
él, el abecedario parece que se redujera a x y a y.
Diego En cuanto a la segunda 918 parece que los signos no
existieran…
Es un error me parece que es de concentración… Si tu le vuelves a hacer
la pregunta al estudiante le dices piénsalo mejor el estudiante lo
resuelve… El estudiante como que tiene una inmediatez pictórica
digamos una inmediatez gráfica y a veces o trata de adivinar el resultado
o simplemente no se lo piensa con suficiente detenimiento.
158
Profesor Pregunta Respuesta
Diego Para aclarar un poco este ítem, la idea es: se
formula al estudiante la siguiente pregunta
¿dada una ecuación (como las mostradas), a
qué tipo de curva corresponde?
El siguiente ítem dice: ¿a qué tipo de curvas corresponden las siguientes
ecuaciones?
Si uno lo ve como ecuación, las parejas de (x, y) que cumplen con esa
ecuación son un conjunto múltiple de soluciones, listo, y en ese sentido
uno puede ver eso de una manera funcional, digamos realmente de una
manera relacional, y uno puede hacer la gráfica de ese conjunto de
puntos, puede decir inmediatamente si eso corresponde a un círculo, si
eso corresponde a una elipse o si eso corresponde a una hipérbola, si se
ha entendido perfectamente que son las secciones cónicas; pero a veces el
estudiante no va a entender si se trata de una ecuación o si se trata de una
representación de una función el no va a saber si las letras representan
incógnitas o representan variables
Diego En las siguientes: 222 yxyx nnn yxyx
yxyx
Eso se presenta pero muchísimo, no solo en estudiantes de Precálculo o
de primer curso de matemáticas universitarias sino también en
estudiantes avanzados, yo creo que precisamente es la necesidad del
estudiante de hacer un ejercicio nemotécnico sobre fórmulas…el
estudiante no va a entender que eso es un binomio de Newton, ni siquiera
tiene claro el binomio de Newton a veces se acuerdan del triángulo de
Pascal
Diego Usted menciona el binomio de Newton y el
triángulo de Pascal… Cuando usted trata
estos temas es porque hacen parte del
Es decisión mía. Es una decisión mía mostrar que eso se puede resolver
de maneras alternativas.
159
desarrollo del curso o es decisión suya
incluirlos?
Profesor Pregunta Respuesta
Diego Cuando se trata de la expresión xcos interpretado como cos por x,
también se presenta e incluso se presenta de manera mas grave, a veces el
estudiante escribe solamente cos y olvida que eso es una función y que
tiene un argumento; si a veces uno escribe f(x) (“f de x”) la gente tiende a
pensar que es f por x, a mi me parece que lo que está de por medio es la
conceptualización de los símbolos, cierto, o sea la adquisición de un
lenguaje formal que es inequívoco, que tiene unos referentes, y esos
referentes pueden ser algebraicos o funcionales… La gente no entiende,
como en el caso del círculo, de la elipse, de la hipérbola, que es
algebraico que es funcional.
Yo creo que el estudiante entiende la matemática de una manera
netamente operativa, verdad, el estudiante entiende que debe hacer una
serie de operaciones aritméticas, privilegiadamente aritméticas sobre una
ecuación y llegar a un resultado y en muchos casos es así, pero por
ejemplo no hay una construcción conceptual de que es el coseno, no hay
una construcción conceptual de que e el seno…
Esas expresiones se pueden ver como funciones… Aquí si estoy de
acuerdo en que las matemáticas pueden ser difíciles por si mismas, pero
no creo en ningún caso que no puedan hacerse entendibles y asimilables
al estudiante.
160
Transcripción entrevista audio - Juliana
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Usted me estaba comentando hace un
momento su percepción sobre las dificultades,
me gustaría que me siguiera contando sobre
este tema… Sus observaciones
Bueno, esa era precisamente mi inquietud para diligenciarte el
formulario… Eh… Entender cómo vas a trabajar errores y dificultades,
porque yo concibo las dificultades en términos más generales…eh
estamos hablando del aprendizaje de las matemáticas,… Entonces los
veo como obstáculos didácticos, es decir dificultades lo veo como toda la
gama de obstáculos didácticos que puede encontrar un estudiante para
aprender y lograr como los fines que nosotros les proponemos en el
curso, y dentro de esos obstáculos didácticos encuentro que hay unos
errores, hay unos que se clasifican como errores y asumo los errores, no
sé, en esto (es lo que debe haber claridad), asumo los errores en el marco
conceptual, ya? mientras que las dificultades las veo generales, entonces
aquí veo los errores como conceptual , y me pareció entender que es lo
que tú quieres cuando nos pones algunos ejemplos de ecuaciones o
algunos problemas algebraicos
Juliana Entonces los errores, veo yo que son… Eh una mala concepción y una
mala aplicación, entonces los veo conceptuales en, suena redundante,
pero es concepto y aplicación, mientras que las dificultades que puede
encontrar un estudiante pues nos tocaría tratar de categorizarlas porque
las veo a título ¿cómo las ponemos? Personal, que podríamos ver la parte
vocacional, cuando un muchacho está mal ubicado vocacionalmente,
Juliana En un programa que no es el suyo En un programa que no es, o con mala información, esto genera mmm
dificultades de actitud, de falta de motivación y eso me parece que son
distintos, mmm… ¿Por qué? Porque en toda la parte conceptual
actuamos nosotros como matemáticos, mientras que en toda esta parte
personal si se necesita un enfoque mucho mas integral
161
Juliana O sea que, si le estoy entendiendo las
dificultades las asocia un poco como a
situaciones posiblemente externas al
Internas y externas, y dentro de las internas digamos, localicemos los
errores, ¿sí? entonces lo ponemos en la parte conceptual y también
internas y externas hay factores personales, familiares, institucionales,
Profesor Pregunta Respuesta
estudiante o muy, muy personales sociales, ya como mas generales… ¿Sí ves?… Entonces no sé, si quieres
miramos como tienes las preguntas
Juliana Una pregunta antes de pasar allá; aquí
menciona, entre los errores, unos asociados a
lo conceptual y otros asociados a la
aplicación; esto conceptual... Un poquito de
pronto más específico ¿a qué se refiere? A que
no tienen claro los conceptos.
Siii, a que, no tienen el concepto claro, o lo desconocen; o tienen mal el
concepto o ignora el concepto; ahora la aplicación puede ser: teniendo el
concepto, digamos, el concepto puede tenerlo o puede no tenerlo, porque
tenerlo equivocado ¿cierto? Sí, se tiene o no se tiene, y en la aplicación,
teniendo el concepto puede venir una aplicación buena o una mala
aplicación, y no teniendo el concepto, yo diría que lo más seguro es que
la aplicación es mala aplicación, porque difícilmente
Juliana si no conoce el concepto Una mala aplicación, y, dentro de las malas aplicaciones encuentro yo,
mmm, todas esas aplicaciones que son un poco mecánicas mecanicistas,
mecánicas, eh, no reflexionadas, que te digo yo…Un poco aprendidas así
como
Juliana Que posiblemente es un papel casi que ocurre
con muchos de los ejemplos de los textos, no
Exactamente, puede ser un profesor, un monitor, como esas tablas de
salvación en los que ellos se apegan… Esto como que funciona, es más o
menos como en esta línea si te parece.
Juliana Sí, sí, entonces sí, digamos que el trabajo que
estoy desarrollando si va como por este lado
…
¿Errores?
Juliana Si… Entonces no te vas a meter en lo personal ni en lo social,
Juliana Los errores en el aprendizaje de las
matemáticas, conceptual y de pronto
aplicación
Hay una línea de la matemática, de la didáctica de la matemática, que es
Ingeniería didáctica ¿la conoces?
Juliana Si… Algo que lidera Michelle Artigue, si
conozco algo… No muy fuerte pero si
conozco algo
Este lenguaje del que yo te hablo, está en ese marco, porque yo me le
dediqué un poco de tiempo
162
Juliana ¿a la Ingeniería didáctica? Si… Es la parte cuando cogimos los obstáculos didácticos y eso, va en
ese lenguaje, digamos como para contextualizar, ahora sí, si quieres,
empezamos con la primera?
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Si… ¿ha orientado cursos de matemáticas de
primer semestre? Sí, yo creo que la primera y
segunda: y de acuerdo a su experiencia
describa la organización y contenidos de tales
cursos. Como una explicación global sobre la
estructura de esos cursos, en cuanto a
contenido, duración…
He tenido en los dos campos, administrativo y de Ingeniería, siempre en
la Universidad de La Sabana, y por la estructura de los modelos
curriculares que manejamos acá, eso está en el campo de fundamentación
científica, las matemáticas básicas están en el campo de fundamentación
científica; entonces nosotros concebimos los programas de matemática,
como esos conceptos esenciales que necesita un estudiante para abordar
su carrera; en la Ingeniería, con más rigor, por las características de la
carrera, más inclinado a la parte analítica y rigurosa; y en la Escuela de
Negocios Internacionales, también tiene el rigor, no se pierde, digamos
tiene el indispensable, el necesario y se orienta mucho más a las
aplicaciones… Ese es el enfoque, pero por la estructura curricular de la
Universidad, los dos pertenecen al campo de fundamentación científica
Juliana La Matemática I, por las características que tiene es prácticamente la
misma, lo único que difiere son algunas aplicaciones en Administración
o algunos problemas específicos de Ingeniería, de física, pero el
contenido es el mismo; entonces, mas como por motivación de los
muchachos, teniendo en cuenta sobretodo que son de primer semestre,
entonces usamos texto diferente con un lenguaje y unos problemas un
poco de su entorno, pero en esencia los programas son los mismos
Juliana Es que hemos vivido en la historia tantas cosas, básicamente son, curso
de Cálculo Diferencial un primer curso de Cálculo Diferencial
Juliana Es el primer curso de matemáticas que ven los
muchachos cuando llegan a la universidad?
Si…tienen diferentes nombres, lo hemos llamado de diferentes maneras,
Matemáticas I, lo hemos llamado Cálculo Diferencial, y en la Escuela en
este momento estamos en el trabajo de unificar todos con el mismo
nombre, porque ya tenemos Métodos Cuantitativos, tenemos Matemática
Básica; porque hasta ahora están en el proceso de unificar el currículo,
163
digamos de encontrar los elementos comunes de los diferentes
programas; nosotros vivimos ese proceso desde el 2005 en Ingeniería,
entonces por eso en Ingeniería tenemos la misma matemática para
cualquier programa en Ingeniería: Matemática I, Matemática II,
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Matemática III y Matemática IV que son Cálculo Diferencial, Cálculo
Integral (que en este momento tu sabes, tenemos, con Álgebra Lineal,
pero ya para el futuro va separado Cálculo Integral y Álgebra
Lineal),Cálculo Vectorial y Ecuaciones Diferenciales.
Juliana Entonces la I, es igual, igual en la Escuela, como te digo sólo difiere en
las aplicaciones. Por eso te ponía ahí números reales, funciones en los
reales, límites, derivación y aplicaciones.
Juliana Una pregunta que me surge, porque, es que lo
que he observado en otros programas de
matemáticas básicas de otras universidades, es
la presentación de los números reales ¿esta
presentación se hace muy formal? Cómo es…
Lo que ocurre es que como nosotros necesitamos las funciones para
hacer modelos matemáticos, eh, y trabajamos es funciones en los reales,
ellos se mueven en el campo de los reales; la presentación de los
números reales es para que tengan los elementos algebraicos, para
trabajar con el rigor necesario, entonces más o menos está orientado a
ver, al conocimiento de los reales, y las operaciones con las que
estructuramos un campo, es decir a conocer el campo de los números
reales, con una medida, valor absoluto, y con unas relaciones mínimas
que hacen la estructura de orden y la relación de igualdad, o sea igualdad,
desigualdad, valor absoluto que es una medida, adición, producto; con
eso estructuramos y las propiedades de tricotomía, y propiedad del
positivo, más o menos es lo mínimo, mínimo, que deben tener todos los
cursos de matemáticas para que un estudiante tenga herramientas
algebraicas para poder trabajar ecuaciones e inecuaciones, despejar y
plantear los modelos matemáticos. Entonces consideramos que esos
elementos no se pueden quitar;
Juliana además juega otro papel que es como una primera etapa de nivelación,
manejar un lenguaje con mayor rigor, ellos traen un vocabulario,
164
términos, fracciones, cancelación, entonces, se va regulando operación,
relación, simplificación, los vamos metiendo en eso…
Juliana Se va formalizando un poco mas ese concepto
previo que tienen ellos de …
Si, yo insisto, la primera etapa, inclusive de Matemática I, yo la llamo
alfabetización.
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana ¿alfabetización? ¡Claro! Porque si ellos no saben leer y escribir matemáticas entonces no
pueden estudiar en un texto de matemáticas a nivel universitario; porque
si no identifican el papel de un para todo , un x tales que, la notación
de conjunto, el lenguaje lógico también, las operaciones lógicas;
Juliana En esto yo insisto que los profesores de matemáticas jugamos un papel
importantísimo, porque un estudiante no comprende cómo está escrita la
ciencia, y nosotros tenemos la obligación, digamos, es nuestro
compromiso porque nosotros trabajamos al servicio de unos programas,
el estudiante, lo que vino es a ser buen ingeniero, buen administrador y
necesita la matemática, si no , no la tendríamos ahí.
Juliana Pero la matemática, claro, con unos elementos teóricos necesarios para
comprender más adelante las asignaturas del campo de aplicación, las
troncales de su carrera y a su vez una parte de madurez de pensamiento y
de estructuración lógica y eso lo hacemos, por ejemplo con una relación
de orden, con las propiedades de la igualdad, con las operaciones lógicas;
si una persona no conoce cuantificadores y operaciones lógicas y
negación, ¿cómo lee matemáticas y cómo escribe? Entonces un pobre
estudiante se convierte es en una víctima de su profesor.
Juliana Porque es que el estudiante casi nunca entiende que es lo que el profesor
le pide y con qué criterios se lo pide para que entienda que no es
caprichoso
Juliana Particularmente en Ingeniería ellos están viendo en simultáneo química,
y la química también está escrita en lenguaje científico, la matemática
también, la física está escrita en lenguaje matemático, todos los modelos
165
de la naturaleza están en lenguaje matemático;
Juliana entonces ¿cómo lee un pobre estudiante un modelo? Y lo mismo ¿cómo
entiende que estos contenidos son esenciales para la mejor comprensión
de los contenidos de su programa? Entonces no sería una motivación,
sino una desmotivación, que es lo que ellos a veces encuentran un
bloqueo, que no entienden que hacemos nosotros los matemáticos,
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana obstaculizándole su desarrollo profesional, su formación;
Juliana Entonces yo creo que es importantísimo que un profesor le enseñe a leer
y le enseñe a escribir. ¿Por qué la escritura? Porque es que en estos
sistemas formales, la evaluación, la mayoría es escrita… Cómo hace un
pobre estudiante para saber por qué caprichosamente un profesor a veces
si le vale, a veces no le vale, porque el profesor también tiene que leer lo
que dice, entonces hay que enseñarlos a escribir bien, a representar bien,
esto me parece fundamental
Juliana Y los números reales, claves; lo que ocurre también es que hemos
ensayado a ponerlos en cursos de Precálculo, entonces en este momento
¿qué vamos a hacer por ejemplo? En Ingeniería no vamos a hacer
formalmente curso de Precálculo, partimos de Cálculo Diferencial y las
nivelaciones de los estudiantes las hacemos como apoyos externos, con
monitorías o con sesiones aparte extraclase, para poder controlar bien el
número de créditos, trabajo dirigido, trabajo independiente y tenerlo más
o menos ya organizado
Juliana Y en este momento está en curso en la nueva reforma curricular, está que
vamos a tener, Precálculo o matemática cero, pero estamos más
inclinados a llamarlo Precálculo, para que lo tomen los estudiantes que
vienen con un puntaje de matemáticas relativamente bajo, basado en los
datos del Icfes… Si tú lees la parte derecha del Icfes, tienes elementos
buenos para leer… Argumentativa, propositiva, inferencial, con esa es
suficiente y está muy bien hecho.
166
Juliana Gracias; bueno… aquí ¿podría usted
indicarme algunos errores que usted ha
identificado en su ejercicio docente, son
cometidos por sus estudiantes en el curso de
matemáticas de primer semestre? Se agradece
ser lo más descriptivo y especifico posible…
Ahí es cuando ya empecé a decir errores conceptuales, propiedades de las
relaciones, operaciones de los números reales, porque ellos no entienden,
que esto obedece a una estructura, sino a unas leyes mecánicas, tanto que
ellos no tienen propiedades matemáticas, si no tienen, la cancelación,
¿cuál otra es la que tienen? Eso machete de todo tipo... No, distributiva y
la potencia con respecto a la adición,
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Si quiere, algunas de estas están en la tabla del
final, si quiere podríamos ir mirando…
Perfecto, propiedades de logaritmo, ese es clásico.
Juliana Creo que este de la distributiva de la potencia
respecto a la adición, creo que es uno de los
mas…
Siii… Clásicos, la suma al cuadrado y por tanto la raíz.
Juliana Profesora Juliana ¿Por qué cree que ellos
tienen estos errores? Que cree que hay detrás
de estos errores, en este caso particular de la
propiedad distributiva de la potencia con
respecto a la adición,
Uyyy, ahí sí sería muy arriesgado dar una sola causa; primero, hay
personas que desconocen cuáles son los reales, cómo se comportan, y por
otro tener una disposición de revisar, de planear su trabajo; porque desde
el punto de vista también didáctico, esto no es sólo la parte conceptual,
sino que vamos desarrollando unos procesos de pensamiento; si nosotros
logramos que un estudiante, siempre reflexione antes de hacer, por lo
menos le surge la duda, y con la duda pone a prueba una propiedad; si el
cree que es una propiedad, es un universal; si sabe lógica, sabe que un
universal se niega con un ejemplo, es suficiente un ejemplo; entonces él
puede particularizar procesos de pensamiento
Juliana Yo creo que sí, ellos a veces se defienden: yo creo que si es verdad! ¿Por
qué no?... Bueno… Bueno ¡hágalo!; si le da listo y si no le da, lo
hablamos. Entonces comienzan a confiar y van entendiendo porque hay
propiedades y porque hay cosas que no son propiedades
Juliana En primer semestre uno tiene que hacer un proceso de decantación: hay
cosas que se les validan, ellos traen trucos y nosotros se los validamos
teóricamente y pasan a ser conceptos, definiciones y propiedades; eso
167
forma parte del rigor del lenguaje que deben manejar en una universidad.
Usar un vocabulario adecuado, un lenguaje y unos conceptos clarísimos;
entonces lo que se va validando, por eso la importancia de la estructura
de los números reales, ¿esto es válido? ¿esto es una propiedad? Inclusive
algunos pequeños procesos de demostración, entonces haces tus
procesos deductivos, inferenciales y con la ayuda de la lógica también
haces procesos de contradicción, de inducción; entonces me parece que
generamos confianza en la ciencia y en el conocimiento y a su vez va
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana teniendo herramientas de rigor que si el profesor de matemáticas lo hace
bien, digamos tienen ahí un buen interlocutor y un buen modelo, luego
pasan al de química entonces dicen tienen razón, un error pequeño, es
decir o ven la dimensión de un error; para ellos a veces pueden decir pero
que mas da… Si la diferencia fue de un resultado, pues resulta que no; si
el profesor de física, si los profesores de ciencias especialmente los
hacemos ver eso y a comprender las magnitudes y las consecuencias de
su error, estamos formando.
Juliana Entonces aquí podemos cerrar la pregunta... ¿Qué tipo de…? O sea ¿Por
qué? La causa… La causa puede ser ignorancia, por otro lado es asumir
la responsabilidad de lo que hacen, reflexionar probar, lanzarse a hacer
conjeturas; a mí me parece… Listo y finalmente pues ya los más
avanzados
Juliana Una especie de metacognición… Una
reflexión sobre si sus conjeturas son ciertas o
no, validar
Siii… Ensayo y error, trabajar marcha atrás, usar un contraejemplo, que
tengan herramientas para confrontar lo que se les puede ocurrir, porque
es que tampoco podemos trancar las ocurrencias de los estudiantes,
maravilloso que se le ocurran cosas, pero que sean responsables en eso
Juliana Con respecto a los otros errores que menciona
¿tendría alguna observación adicional?
Digamos a las que me está mencionando, por
ejemplo en el caso de las propiedades de los
De los logaritmos, yo creo que es ignorancia … Los profesores no están
abordando los temas de logaritmos así como los temas de geometría en el
bachillerato… Sé por experiencia y que los estudiantes inclusive los muy
juiciosos le traen a uno hasta el cuaderno y los libros y le cuentan a uno
168
logaritmos, de no abordaron problemas, no abordaron conceptos ni definiciones ni de
logaritmo ni de geometría, es que muchos ni siquiera llegaron a
derivadas; entonces sin esa experiencia o sin trigonometría llegan aquí a
pensar en términos de variables; no tienen herramientas ni de madurez
mental para asumir una variable sino tienen un pensamiento muy
concreto y por eso para todo piden un ejemplo, pensar en límites, para
ellos los límites es una cosa muy fuerte porque ellos no ven la tendencia
y las imágenes sino ¿cuánto da? Reemplace
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Se vuelven muy operativos no… Pero es que operativo y todo es un error…
Juliana Si… ¡Claro! Conceptual, no están entendiendo que es el límite, no están entendiendo
que es un límite; a la hora de plantear un problema, cuando uno le dice
¿cuál es la variable? ¿Cuáles son las variables? ¿cuál es la información
que da el problema? O sea datos que son concretos, ellos no pueden jugar
casi con la variable, ellos son puntuales; si vale 4 o si vale 5 mire que
da… Pero no se atreven a pensar en un x, en un y, a poner un problema
como con diferentes opciones que es lo que les permite modelar… Si no
hay variable ¿con que modelan?
Juliana Si y finalmente en el caso de límites tiene uno
que estar pensando, si está pasando esto acá,
bueno de hecho en el cálculo ¿Qué está
ocurriendo con las variables?
Es que el cálculo, no hay cálculo si no logramos pensar en variables, es
decir pensar caminando, pensar en movimiento, no hay cálculo… Lo otro
volveríamos a hacer algunos problemas puntuales de reemplazar y
algunas tareas, ni siquiera problemas, tareas
Juliana También menciona aquí falta de habilidades
en cálculo aritmético, algebraico, graficar
relaciones, lectura e interpretación de
gráficos; sobre esta, tiene alguna observación?
Cálculo aritmético, que es necesario en el desarrollo de pensamiento, que
ellos puedan hacer cálculos elementales, sencillos, no los están haciendo;
entonces dependen de una calculadora que mal manejada se les vuelve en
contra de ellos;
Juliana Y cálculo algebraico, es decir que no puedan sumar polinomios,
expresiones, simplificar con cierta agilidad, porque eso es tema de qué?
que en primaria trabajan inclusive con algunas variables, en los primeros
169
cursos de bachillerato en la parte básica suma de polinomios, de
expresiones algebraicas, tienen que sumar términos semejantes, pero
llegan absolutamente nulos; inclusive le genera inseguridad personal…
Ellos no saben de dónde sale, mejor dicho si no los dejamos sacar la
calculadora ya les da pánico, entran en pánico
Juliana Y lo otro es que no confrontan con la realidad; a mí me encanta el
lenguaje de competencias por esto, porque es saber hacer en contexto;
entonces si usted está midiendo la diagonal de un lote o el contorno o el
perímetro es un absurdo que le dé negativo, es un absurdo… Ellos son
capaces de darte una respuesta negativa.
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Una edad te da la dan negativa con tranquilidad y se extrañan de ver que
uno les califica
Juliana O por ejemplo una respuesta que debe ser un
número entero no tienen ningún problema en
dar … 44,27
Lo que les da la calculadora… Les da error… Un límite… Un límite les
da error… Una función trigonométrica les da error… Seno, tangente me
da error no entienden porque me da error la calculadora… Porque no
comprenden la función, porque no entienden que está ocurriendo al
dividir por cero
Juliana Cálculo algebraico, expresiones, eh… Graficar relaciones y/o funciones
esto sí es…da es pesar porque es manejar el plano cartesiano y es la
primera aproximación a manejar variable dependiente, variable
independiente que es lo que mínimo que trabaja uno para manejo de
gráficos en Matemática 1, que manejamos una variable, entonces una
dependiente, una independiente,
Juliana Lectura e interpretación de gráficos; que puedan ver como se escribe y
como se lee en el plano cartesiano, para poder ver si está creciendo,
decreciendo, si se mantiene constante, si está definida, sino está definida,
inclusive hay herramientas para saber si es inyectiva, si es sobre,
identificar dominio, rango ¿ehm? Entonces, es importantísimo…
Juliana Bueno… El razonamiento matemático que ese es mi tema estrella… Yo
170
creo que nosotros los profesores de matemáticas estamos para esto… Esa
capacidad de ver… De ponerse los lentes matemáticos, o sea para ver el
mundo, eso ¿Qué quiere decir?... Identificar problemas, es decir
variables, variables dependientes, variables independientes, variables que
influyen y variables que determinan, es eso; además de eso tener un
conocimiento matemático una experiencia matemática, para poder
asociar y decir: esto se parece a … Algo lineal, esto parece exponencial,
esto va al campo de las matrices, esto es multivariable; este es un
problema de este tipo, entonces necesita conocimiento y experiencia
matemática para poder asociar y decir, esto se parece…arriesgarse a
plantearlo matemáticamente y modelar, lanzarse a una solución, que la
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana solución ya se le da el modelo, ya el conocimiento matemático le dice
por donde coger y finalmente tener la capacidad de analizar la respuesta,
ver la viabilidad, ver qué significa eso dentro de ese problema;
Juliana Entonces esa parte de razonamiento matemático, es ese click, es ese
conjugar conocimiento, experiencia, capacidad… Lo veo muy pegado a
la parte de competencias, ser competente matemáticamente
Juliana Esto está asociado, leer y comprender situaciones problemáticas, que esto
es la parte clave, puedes leer, entonces por eso te hablaba de la
alfabetización… Si una persona no sabe leer tanto lo que dice el texto
como la realidad… Uno no sabe leer el mundo ¿sí? Una aceleración, un
cambio de variable, que crece que decrece, que es negativa, es que son
cosas elementales y de sentido común, mejor dicho o son nada,
matemáticamente, es que no es nada del otro mundo; lo contrario, es todo
tan sencillo y por supuesto, representar matemáticamente…
Juliana ¿Por representar matemáticamente que
entiende profesora?
Eh… Poder describir la situación problemática en ecuación, inecuación,
matrices, en términos matemáticos porque ahí ya se libera, se
independiza del problema; empieza la parte teórica, tiene las
herramientas teóricas, y luego vuelve al problema para confrontar; ya
171
cuando lo tiene modelado, ¡ya! rueda solo… Faltaría confrontar las
respuestas
Juliana Bueno aquí está… ¿A qué atribuye o como
explica en cada caso que los estudiantes
tengan tales errores? Aunque ya lo que hemos
estado hablando…
Si eso es multivariable, entonces hay que mirar… Hay estudiantes que
son buenos, buen estudiante… El estudiante metódico, juicioso con
ganas de trabajar y trae errores conceptuales y se los podemos atribuir al
profesor, un error conceptual en un buen estudiante es un error del
profesor; sabemos perfectamente que en el bachillerato, la matemática no
precisamente la dan los matemáticos; para un profesional de ciencias
aplicadas, no sé qué porcentaje, por ejemplo le dedican…Es que mira:
tan solo un ingeniero que son de los que más ven matemática; ni siquiera
la mitad de su carrera ven matemática, el objeto de estudio suyo es la
Ingeniería… Un matemático tiene mínimo los cinco años dedicado a la
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana conceptualización y al trabajo matemático, entonces uno encuentra
muchos errores conceptuales generados por unos matemáticos
descuidados que no son buenos matemáticos, o unos profesionales de
otras áreas que de buena fe creen que la matemática es resolver
problemas y llegar a respuestas acertadas
Juliana Entonces la variable profesor, idoneidad del profesor para mi es
fundamental
Juliana En el sentido que debe conocer muy bien su
disciplina
Es que somos los que tenemos…Mejor dicho nuestro encargo, nuestra
función es esa; porque la variable estudiante, un buen pedagogo la puede
manejar: uno puede encontrar un estudiante un tanto desmotivado,
ignorante de temas, uno puede corregir errores, uno lo puede… Eso se
corrige, para eso somos los profesores, especialmente los profesores en
los primeros semestres tenemos ese deber, y motivarlos mucho… O sea
mostrarles como la matemática es para facilitar, la matemática es un
facilitador, la matemática es una maravillosa lente que les permite leer el
mundo y escribirlo en lenguaje matemático, que los matemáticos ya le
hicieron toda la teoría…los matemáticos trabajan, les tienen la teoría. Es
172
aprender a utilizar esa herramienta, con el respeto y con el rigor y con el
cuidado que necesitan y también con un margen de error; todas las
matemáticas aplicadas tienen su rango de error y también ser
comprensibles con eso
Juliana Bueno por ahora no me surgen mas
inquietudes sobre estas preguntas pero tengo
una que no está en el cuestionario y quisiera
tocar en este momento: ¿cree profesora que
existen o hay algunas dificultades asociadas a
la propia matemática en su aprendizaje, es
decir la dificultad en algunos conceptos
teóricos?
En didáctica de la matemática hay ya problemas hay tipo ¿no? Por
ejemplo la proporcionalidad, la variabilidad, ya hay problemas, objeto de
estudio didáctico; yo recuerdo en la Pedagógica hace cuantos años ¿más
de veinte años? y se trabajaba todo lo que se necesita para el ser humano
para la mente humana, en el sentido de proporcionalidad; también habían
estudios sobre el concepto de variable, es decir no solamente,
matemáticamente que significan, sino que representan en términos de
pensamiento, que procesos mentales se requieren para poder trabajar la
parte de variabilidad o sea el cálculo…
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Si hay problemas tipo, si hay mucha investigación en forma a eso;
Juliana En torno a esa parte de la didáctica problemas de geometría, problemas de representación espacial y
problemas lógicos hay muchos,
Juliana Por ejemplo, la división por cero, que muchos
estudiantes a veces dicen no puedo dividir por
cero, pero…
¡No!... Pero ese sí es de ignorancia, ese si es de ignorancia y de mal dato
de los profesores…Por ejemplo un profesor en el bachillerato no te puede
explicar porque es indeterminado… Yo me pregunto ¿Por qué no maneja
el idioma español? ¿Qué es indeterminado en español? O sea la lengua
madre, la matemática, los matemáticos somos lo más simple del mundo,
si tu miras una definición matemática usa el menor número de palabras
posible y siempre las más evidentes posibles: conjunto cerrado, conjunto
abierto, variable, conmutar, vaya al lenguaje, conmute, cambie, asociar;
yo diría que con saber el idioma y usar los procesos de razonamiento
normales con que el ser humanos sale dotado y capacitado se podría…es
que es activar los procesos de un ser humano normal …Y ver que, basta
con obtener una premisas y nosotros estamos capacitados para hacer las
combinaciones… Montones, nosotros somos una fábrica de inferencias
173
Juliana Si, Somos una fábrica de inferencias, tenemos los sentidos para ver,
entonces cómo no van a ver si una función crece; si me enseñan a leer
¿cómo leo una función? Pues yo la veo que crece y cuando veo que crece
la puedo traducir matemáticamente, decir, si avanzo aquí, avanzo allá,
proceso evidente,
Juliana Entonces hay cosas, que son evidentes; hay una variable, también con la
que yo he peleado mucho y es el profesor; si el profesor utiliza la
matemática, para encubrir sus complejos, le muestra una matemática
difícil al estudiante: somos genios, somos magos y somos más
inteligentes que el resto del mundo; entonces pues para poder justificar
semejantes argumentos, semejantes sentencias pues tenemos que engañar
al estudiante mostrándole que la matemática es difícil,
Juliana Si un profesor logra, no de manera irónica, mostrarle al estudiante que
esto es fácil, el estudiante te cree, porque si de algo goza un profesor es
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana de autoridad, y si algo tiene uno que cuidar es la autoridad y la autoridad
la da el saber, saber el conocimiento… Por lo menos la estable
Juliana Si señora, bueno…de estos me gustaría, si
tiene algunos, algunos de los que están en la
tabla, pues adicionales a los que me ha
mencionado, que usted diga: si esto me ha
pasado y yo creo que puede deberse a esto
¿Aquí no tienes límites, cierto?
Juliana No, no porque esta, incluso si no hay ahí
alguno, digamos si tiene alguno que no he
mencionado acá, se puede incluir en la lista,
Por ejemplo ellos hace con el infinito algo muy bonito; por ejemplo
infinito menos infinito igual cero, ahora que…
Juliana Tenemos por ejemplo en límites, te lo pongo en límites; o sea las formas
indeterminadas: uno a la infinito para ellos es uno, mmm, la derivada de
un producto, por ejemplo, bueno, de f(x) por g(x), o de cociente, es f’ por
g’; es decir, eso hacen un álgebra maravillosa ahí; lo mismo del producto,
cociente y potencia; el logaritmo de una suma,
174
Juliana Ahí tratan de aplicar una especie de
distributiva ahí también, ¿no?
Si, lo más económico, lo que necesita de pensarlo bien; el logaritmo si es
ignorancia total; ¿Qué decir de un cambio de base?... ¿Eso qué es? Unos
teoremas de semejanza de triángulos,
Juliana Esos por ejemplo no me los habían
mencionado en otras entrevistas que he hecho
con otros profesores, porque esta tabla se
construyó o se ha ido enriqueciendo con
aportes de los profesores
Yo veo esta (la tabla) con cosas, muy, muy concretas; estos ejemplos ni
siquiera te los abordé por eso; ¿sí? porque aquí hay un problema
mecanicista de resolver; o sea, una aplicación, indiferente… Yo veo que
el problema está más atrás… Yo lo veo conceptual y de procesos de
razonamiento,
Juliana Si una persona, en eso soy aristotélica, el actuar sigue al ser: le perrito
ladra y come como perrito porque es perrito ¿ves? Entonces los reales se
comportan porque son los reales, o sea, estos y son estas sus propiedades,
por lo tanto puede sumar así, puedo multiplicar así, no puedo dividir por
cero, ¿ya? Porque cero no tiene inverso multiplicativo, así de sencillo, no
es porque esté prohibido o porque sea pecado, es porque el cero no tiene
inverso multiplicativo así de sencillo. ¿Qué cosas puedo y que no puedo
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana hacer? El actuar sigue al ser
Juliana La matemática de por sí, es teoría, la matemática es un constructo del
hombre, la matemática no es una mecánica,
Juliana Ok… El que le pide a uno matemática concreta, no sabe lo que está diciendo…
Otra cosa es, ahora si vienen los ingenieros, dictan matemática, ¡que
maravilla! Pero ¿Qué aplica el ingeniero? Lo que sabe, porque es un
profesional, los administradores, los de mercadeo, los que sean, pueden
aplicar la matemática
Juliana Pero para que la puedan utilizar, Tienen que conocer
Juliana deben tener un conocimiento sólido de las
matemáticas aprendidas
¿ve tu a ver si aplican un método de análisis o de evaluación empresarial
sin saberlo?
Juliana No… O sea, ¿ves?, si no sabe que es la reIngeniería ¿cuál proceso de
reIngeniería va a aplicar? Primero tiene que saber un profesional;
Juliana muy distinto es, en un estadio inferior algunos operarios que tengan que
175
levantar información, punto, hacen cálculos y entregan algunas tablas o
alguna (no es claro el audio), pero tienen que saber, si es un profesional
responsable, como se les exige en otros países;
Juliana Es decir la persona se prepara para lo que va a ser, lo que ocurre es que
aquí se prepara y luego se va a una oficina a hablar por teléfono, a hacer
otras cosas, pero si él se preparó para ser un ¿cómo se llaman estos que
hacen los cálculos de todo lo de Ingeniería?
Juliana Trabajan en el diseño en Ingeniería, por
ejemplo
¿Ves? Si se preparó para hacer, para optimizar procesos, pues
maravilloso y eso es lo que debe hacer y estudia para hacer eso.
Juliana Y debe trabajar en eso ¡Claro! Y se perfecciona, entonces yo estoy absolutamente convencida,
ahí sí, de dónde saca un estudiante criterio y argumentos, un profesor
tiene que sembrar, lo que nosotros sembramos es eso, unos conceptos
esenciales, unos principios esenciales, y les damos el método.
Juliana La matemática da dos elementos, teórico o sea conceptos y método,
método, nosotros tenemos la obligación moral de enseñar a pensar a un
estudiante ¿cómo se piensa la ciencia? Y ¿cómo se piensa…
Matemáticamente? Estamos en esto: enseñándoles a simplificar, a
factorizar, tu lo vives,
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana Todos los días Los estudiantes, te dicen, es que además, ¿con cuántos casos, te llegan de
factorización? Unos te dicen 8a, 11, 12b… No tengo ni idea cuál es el a,
ni el b ni el c, factorización es un solo concepto: escribir como
producto… No es más.
Juliana Si eso, que usted menciona, me ha pasado
muchas veces, si la referencia es de un cierto
texto
Y el pánico…Y les genera complejos de inferioridad: “no! es que yo no
se factorizar”, le digo, no se preocupe
Juliana Una cuadrática, bueno, entienda que es, hay algunos casos notables,
clásicos, maravilloso, diferencia de cuadrados, y sino con una cuadrática
y el teorema del factor, chao!
Es que generamos angustias innecesarias, en cambio no generamos una
176
sana expectativa por aprender
Juliana Por ejemplo el teorema del factor, ahora que
lo menciona es un teorema que he visto que
en algunos cursos no lo tocan
Casi nadie, no lo ven; uno le pregunta a un ingeniero teorema del factor,
se pone (no es claro el audio), y es una herramienta bonita, sencilla;
surge de un tema que ellos trabajaron y en el que sienten confianza, el
estudiante siente confianza en los polinomios; entonces ahora
formalicémosle los polinomios, mostrémosle lo bonito de los polinomios,
todo lo que genera
Juliana Les encantan las matrices, chévere que a los estudiantes les gustan las
matrices, no sé ¿por qué?; entonces saquemos todo lo bueno y saquemos
que todo eso que les funciona es debido a una estructura algebraica de las
matrices y de todos los sistemas lineales. Y los sistemas lineales tienen
unos principios universales, que es la (no es claro el audio) que es la
propiedad lineal;
Juliana Entonces ¿Qué más te digo yo? El concepto de derivada tan bonito que
es ¿si?… Es medir el cambio, todos los profesionales se la pasan
midiendo el cambio, lo estático lo hacen otros, otro tipo de personas de la
organización pero pues,… Pero el profesional es para que el identifique
el
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana cambio, lo mida, para que haga propuestas oportunas… Económicas
Juliana Además que, en la sociedad, todo es… Todo es cambio!, y hoy que hablamos de cambio, pues hablemos de
optimizar procesos de cambio, entonces saber leer una derivada,
problemas de derivada, es identificar el cambio, es eso…y que
afortunadamente lo podemos visualizar, y lo podemos graficar, como la
pendiente de la tangente ¡que maravilla que entre por los sentidos!
Entre más sentidos mejor: listo, entró por el ojo, pendiente de la tangente,
¡listo! El cambio es positivo, el cambio es negativo o no hay cambio…
Juliana Ya…bueno profesora muchas gracias por su
colaboración,
Notación funcional, estoy si estoy totalmente de acuerdo,
Juliana ¿notación funcional? Si!, me parece significativo; esto por ejemplo hay estudiantes que usan la
177
notación funcional (no es claro el audio), ellos, dice uno f(x)=8,
(entonces):
x
8f
Juliana O por ejemplo para un 2x)x(f
Si se les pregunta )3x(f
Ah no!... Pero ese no es notación, este ya sería lectura, esto es lectura;
esto sí, esto es responsabilidad nuestra (señalando los ejemplos
referenciados como notación en la tabla del instrumento escrito) porque
esto es lectura, entonces ellos no saben qué es eso; porque no asocian, la
función como un modelo de transformación, ¿si ves la esencia? ¿Dónde
está…?
Juliana Está… En el concepto, y lo otro es pensar que los conceptos matemáticos son
difíciles, pero eso ya es problema del profesor, para otro estudio
Juliana Si… Este otro de despeje de ecuaciones… Despejar de ecuaciones? Para mi despejar ecuaciones, depende de las
propiedades algebraicas, propiedades algebraicas de , o sea la
estructura de campo, x,, , campo, ahí está el problema. Y,
inecuaciones, está en el problema ¡ah bueno! Y aquí la igualdad, mas
la igualdad; y las inecuaciones, el con el , que es la estructura de
orden; entonces cuando ellos entienden que esto tiene cuerpo, es que
Profesor Pregunta Respuesta
Juliana hasta en, en, en el lenguaje se maneja la palabra cuerpo, ¿Qué significa
cuerpo? ¿Qué es cuerpo humano?... Es un conjunto de sistemas,
articuladitos y que funcionan bien, esto es cuerpo o campo; cuándo los
ingenieros dicen: esto tiene cuerpo ¿Qué quiere decir? Ya cogió cuerpo,
ya cogió forma vida
Juliana Este de las ecuaciones por ejemplo, es que lo
que está sumando pasa a restar y lo dicen
recitado…
Eso no es una propiedad por ejemplo, eso es un error conceptual, que lo
que está sumando pasa a restar ¿sí?, ese es un problema de la
uniformidad ¿si?, de la adición de la uniformidad, entonces ahí es donde
entra el profesor a trabajar vocabulario…
Juliana Si el profesor no maneja el vocabulario, mejor dicho,
178
Juliana No!!! Y debe además tener claro cuál es el
concepto involucrado
Claro!... Que el estudiante se equivoque tiene todo el perdón y la
indulgencia del mundo… Pero que un profesor en una unidad de
matemáticas (no es claro) diga que lo que está sumando pasa a restar, eso
no tiene perdón
Juliana Así es Y eso lo estamos viendo, yo veo ahora una calidad de profesores!... Es
muy difícil encontrar profesores, es muy difícil, nosotros tuvimos mucho,
mucha dificultad con eso, no lo encontramos… Profesores de
matemáticas
Juliana Hay unos que tienen el libro y detrás traen el libro de Baldor, es (no se
entiende) que un profesor universitario use Baldor
Juliana Uy! Yo tengo muchas reservas frente a Baldor No ¿muchas? ¡todas! Noooo, es que Baldor es para otro escenario y ni
siquiera, pero ¿Qué hacemos si en Colombia se pide?... Pero que un
profesor universitario esté haciendo eso, eso es doloroso
179
9. 5 Tabla de apoyo para la categorización de la información.
PERCEPCIONES DE LOS DOCENTES SOBRE ERROR Y DIFICULTAD EN EL APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Percepción sobre error y
dificultad
“Bueno yo creo que
realmente lo que tienen
nuestros estudiantes son
dificultades y es lo que
tenemos que trabajar,
los errores simplemente
son como las
manifestaciones de esas
dificultades… Si yo me
centro en el error que es
lo que generalmente
hacemos cuando
calificamos un parcial,
con un esfero rojo, es
marcar el error pero no
pensar que lleva al
error; de hecho muchos
de nuestro comentarios
es “que chino tan bruto”
y le comentamos a
nuestro colegas “cómo
se le ocurre a este” para
mencionar un ejemplo
que tenían ahí que “-
8+1 da -9” y eso es lo
que resaltamos pero no
nos preguntamos ¿Qué
llevó al estudiante a
cometer ese error?
Entonces yo siento que
“…Entender cómo vas a
trabajar errores y dificultades,
porque yo concibo las
dificultades en términos más
generales…eh estamos
hablando del aprendizaje de
las matemáticas,… entonces
los veo como obstáculos
didácticos, es decir
dificultades lo veo como toda
la gama de obstáculos
didácticos que puede
encontrar un estudiante para
aprender y lograr como los
fines que nosotros les
proponemos en el curso, y
dentro de esos obstáculos
didácticos encuentro que hay
unos errores, hay unos que se
clasifican como errores y
asumo los errores, no sé, en
esto (es lo que debe haber
claridad), asumo los errores
en el marco conceptual, ya?
mientras que las dificultades
las veo generales, entonces
aquí veo los errores como
conceptual, y me pareció
entender que es lo que tú
quieres cuando nos pones
180
muchas son
dificultades” (Javier)
algunos ejemplos de
ecuaciones o algunos
problemas algebraicos”
(Juliana)
“Hay una línea de la
matemática, de la didáctica de
la matemática, que es
Ingeniería didáctica ¿la
conoces?... Este lenguaje del
que yo te hablo, está en ese
marco, porque yo me le
dediqué un poco de tiempo… Si,… (la Ingeniería didáctica)
es la parte cuando cogimos
los obstáculos didácticos y
eso, va en ese lenguaje,
digamos como para
contextualizar, ahora sí, si
quieres, empezamos con la
primera?” (Juliana)
“Yo creo que es un conjunto
de elementos, que se
conjugan para que los
estudiantes, digamos,
cometan este tipo de errores,
uno de ellos es digamos el
lastre que llevan desde la
primaria, digamos, a veces
errores de tipo conceptual,
que se han trabajado de
manera inadecuada en los
cursos de la educación básicas
primaria” (Miguel)
“Los niveles de comprensión
de simplemente términos, por
ejemplo términos que se
definen bien, que el
181
estudiante debe identificar en
el enunciado de un problema,
en el enunciado de una
situación problémica, no son
claros para una persona que
ya tiene una formación
finalizada por ejemplo, en la
secundaria y entran a la
universidad” (Diego)
“Sé por experiencia y que los
estudiantes inclusive los muy
juiciosos le traen a uno hasta
el cuaderno y los libros y le
cuentan a uno no abordaron
problemas, no abordaron
conceptos ni definiciones ni
de logaritmo ni de geometría,
es que muchos ni siquiera
llegaron a derivadas; entonces
sin esa experiencia o sin
trigonometría llegan aquí a
pensar en términos de
variables; no tienen
herramientas ni de madurez
mental para asumir una
variable sino tienen un
pensamiento muy concreto y
por eso para todo piden un
ejemplo, pensar en límites,
para ellos los límites es una
cosa muy fuerte porque ellos
no ven la tendencia y las
imágenes sino ¿cuánto da?
Reemplace”
PERCEPCIONES DE LOS DOCENTES SOBRE ERROR Y DIFICULTAD EN EL APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Dificultades conceptuales “Hay otro tipo de “Dificultades “Pero muchos de esos “Tradicionalmente la Los profesores entrevistados
182
podemos decir
dificultades en términos
del pensamiento
matemático que puedan
tener algunos
estudiantes, lo cual les
hace más difícil la
comprensión de los
mismos conceptos”
(Javier)
“los errores, veo yo que
son… Eh una mala
concepción y una mala
aplicación, entonces los
veo conceptuales en,
suena redundante, pero
es concepto y
aplicación, mientras que
las dificultades que
puede encontrar un
estudiante pues nos
tocaría tratar de
categorizarlas porque
las veo a título ¿cómo
las ponemos? Personal,
que podríamos ver la
parte vocacional,
cuando un muchacho
está mal ubicado
vocacionalmente”
(Juliana)
“Ahí es cuando ya
empecé a decir errores
conceptuales,
propiedades de las
relaciones, operaciones
de los números reales,
porque ellos no
entienden, que esto
obedece a una
conceptuales. A la
mayoría de los
estudiantes se les
dificulta distinguir entre
los diferentes objetos y
conceptos matemáticos,
por ejemplo para un
estudiante promedio es
muy difícil distinguir
entre un polinomio
cuadrático, una
ecuación cuadrática y
una función cuadrática;
definir cada uno de los
conceptos anteriormente
descritos, encontrar
diferencias o
semejanzas entre estos
son procesos que
presentan un alto nivel
de dificultad para los
estudiantes.” (Javier)
“Los estudiantes
abordan la materia con
la concepción de que
son fórmulas y no
establecen procesos
para desarrollar
pensamiento sistémico
respecto a el desarrollo
de las
matemáticas.”(Ricardo)
problemas que el estudiante
presenta pues están asociados
a problemas un poco más de
fondo: si un estudiante tiene
problemas en la observación,
seguir un procedimiento
matemático puede ser muy
complejo para ellos, entonces
esas dificultades pueden estar
asociadas a otro tipo
problemas de habilidad que
tenga el estudiante…que por
tenerlos, no lo hace menos
capaz de aprender
matemáticas” (Javier).
“No tienen el concepto claro,
o lo desconocen; o tienen mal
el concepto o ignora el
concepto; ahora la aplicación
puede ser: teniendo el
concepto, digamos, el
concepto puede tenerlo o
puede no tenerlo, porque
tenerlo equivocado ¿cierto?
Sí, se tiene o no se tiene, y en
la aplicación, teniendo el
concepto puede venir una
aplicación buena o una mala
aplicación, y no teniendo el
concepto, yo diría que lo más
seguro es que la aplicación es
mala aplicación…” (Juliana)
“Pero es que operativo y todo
es un error… conceptual, no
están entendiendo que es el
límite, no están entendiendo
que es un límite; a la hora de
plantear un problema, cuando
enseñanza de la
matemática se ha
centrado en el
desarrollo de procesos
operativos, factorizar
polinomios, resolver
ecuaciones, graficar
funciones, multiplicar y
sumar emplean la
mayoría del tiempo en
las aulas de clase; la
mecanización de rutinas
y algoritmos de
solución no da espacio
al estudiante para
intentar conceptualizar
la matemática, no es
común que en la clase
de matemática se invite
al estudiante a leer o
escribir sobre esta, no se
incentiva a que este
busque relaciones entre
los diferentes conceptos
trabajados, que
encuentre semejanzas y
diferencias entre los
mismos, a que verbalice
sus procedimientos de
solución que los
describa y que los
pueda modificar de
acuerdo a su
comprensión.” (Javier)
coinciden en que existen
grandes dificultades en la
comprensión de los
“conceptos matemáticos” y
además esa no comprensión
de los objetos matemáticos
se refleja en sus actuaciones
cuando se enfrentan a otras
situaciones que involucran el
aprendizaje de las
matemáticas.
183
estructura, sino a unas
leyes mecánicas, tanto
que ellos no tienen
propiedades
matemáticas, si no
tienen, la cancelación,
¿cuál otra es la que
tienen? Eso machete de
todo tipo... No,
distributiva y la
potencia con respecto a
la adición” (Juliana)
uno le dice ¿cuál es la
variable? ¿Cuáles son las
variables? ¿cuál es la
información que da el
problema? O sea datos que
son concretos, ellos no
pueden jugar casi con la
variable, ellos son puntuales;
si vale 4 o si vale 5 mire que
da…pero no se atreven a
pensar en un x, en un y, a
poner un problema como con
diferentes opciones que es lo
que les permite modelar…si
no hay variable ¿con que
modelan?” (Juliana)
“El concepto no se retiene, el
concepto no permanece, el
estudiante piensa que el
concepto debe memorizarlo o
debe intentarlo mínimamente
en una situación coyuntural,
pero no es algo que deba
permanecer en su cabeza,
pero no es algo que deba
permanecer para integrarlo
con conceptos o que se
integre a una formación
posterior” (Diego)
PERCEPCIONES DE LOS DOCENTES SOBRE ERROR Y DIFICULTAD EN EL APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Posible factores asociadas al
docente en los errores y
dificultades de los estudiantes
“Pues yo creo que gran
parte de las dificultades
pues provienen de
nosotros los profesores”
(Javier)
“…Esas dificultades, toca es
mirar cómo se intervienen en
ellas …generalmente los
profesores de matemáticas
por nuestra misma estructura
La situación sobre el hecho
que los profesores no
planteamos problemas
mencionada por el profesor
Javier puede influir también
la acción de los estudiantes
184
“Hay estudiantes que
son buenos, buen
estudiante… el
estudiante metódico,
juicioso con ganas de
trabajar y trae errores
conceptuales y se los
podemos atribuir al
profesor, un error
conceptual en un buen
estudiante es un error
del profesor” (Juliana)
“Entonces la variable
profesor, idoneidad del
profesor para mi es
fundamental” (Juliana)
“Fundamentalmente yo
creo que el profesor, el
docente debe estar
alerta a este tipo de
errores y sobre todo de
desatacarlos y hacer una
pausa dentro de su
ejercicio docente para
que todos los
estudiantes sean
conscientes de esos
errores que
comúnmente se
cometen” (Miguel)
“Parte conceptual debe
ser expuesta de manera
muy clara y desarrollar
digamos dentro de eso
también están las
estrategias que cada
docente tenga a nivel
vamos muy a la respuesta de
lo que nos da el
estudiante…como que las
cosas son muy
predeterminadas, las
ecuaciones se resuelven de las
misma manera, las derivadas
de la misma manera,” (Javier)
“Quizás muchos de nuestros
estudiantes que nosotros
denominamos problemas o
que tienen problemas en
matemáticas …sus
dificultades…(podrían) hacer
parte de otro tipo de
situaciones …lo que le decía,
si un estudiante es
predominantemente visual
quizás el discurso verbal no le
ayude mucho en matemáticas,
si por el contrario es mas
auditivo, lo que yo hago en el
tablero a él puede que no le
diga nada y muchas veces
nuestra explicación recae en
eso: este paso, este mas, este
menos, problemas operativos
en operaciones largas donde
se arrastra simplemente el
signo que le pertenece a un
número, el estudiante no lo
identificó como parte del
número pues hace que de ahí
para allá se desprendan una
serie de problemas” (Javier)
“Ahí va algo que se hablaba
en términos de la solución de
problemas…nosotros los
en la resolución de
problemas: si no se enfrentan
en su proceso de aprendizaje
a la resolución de
“verdaderos problemas”,
¿cómo podrán resolverlos
después?
185
didáctico para que esos
conceptos queden bien
claros a los estudiantes”
(Miguel)
“La matemática da dos
elementos, teórico o sea
conceptos y método,
método, nosotros
tenemos la obligación
moral de enseñar a
pensar a un estudiante
¿cómo se piensa la
ciencia? Y ¿cómo se
piensa…matemáticame
nte? Estamos en esto:
enseñándoles a
simplificar, a factorizar,
tu lo vives,” (Juliana)
“Hay una variable,
también con la que yo
he peleado mucho y es
el profesor; si el
profesor utiliza la
matemática, para
encubrir sus complejos,
le muestra una
matemática difícil al
estudiante: somos
genios, somos magos y
somos más inteligentes
que el resto del mundo;
entonces pues para
poder justificar
semejantes argumentos,
semejantes sentencias
pues tenemos que
engañar al estudiante
mostrándole que la
profesores de matemáticas no
planteamos
problemas…damos unas
situaciones que son ejercicios
tipo, donde algunas veces les
cambiamos el componente
numérico y ya…es un nuevo
problema entre
comillas…pero la estructura
de solución es la misma:
aplique esta ecuación y ya”
(Javier)
“Muchas de las dificultades
parten de nosotros como
docentes…yo creo que el
trabajo de nosotros es pensar
como ayudamos a resolver
ese tipo de dificultades y los
errores pues finalmente se
vuelven son sistemáticos,”
(Javier)
“En esto yo insisto que los
profesores de matemáticas
jugamos un papel
importantísimo, porque un
estudiante no comprende
cómo está escrita la ciencia, y
nosotros tenemos la
obligación, digamos, es
nuestro compromiso porque
nosotros trabajamos al
servicio de unos programas,
el estudiante, lo que vino es a
ser buen ingeniero, buen
administrador y necesita la
matemática, si no , no la
tendríamos ahí”(Juliana)
186
matemática es difícil,”
(Juliana)
“Pero la matemática, claro,
con unos elementos teóricos
necesarios para comprender
más adelante las asignaturas
del campo de aplicación, las
troncales de su carrera y a su
vez una parte de madurez de
pensamiento y de
estructuración lógica y eso lo
hacemos, por ejemplo con
una relación de orden, con las
propiedades de la igualdad,
con las operaciones lógicas; si
una persona no conoce
cuantificadores y operaciones
lógicas y negación, ¿cómo lee
matemáticas y cómo escribe?
Entonces un pobre estudiante
se convierte es en una víctima
de su profesor,”(Juliana)
“Entonces yo creo que es
importantísimo que un
profesor le enseñe a leer y le
enseñe a escribir. ¿Por qué la
escritura? Porque es que en
estos sistemas formales, la
evaluación, la mayoría es
escrita…cómo hace un pobre
estudiante para saber por qué
caprichosamente un profesor
a veces si le vale, a veces no
le vale, porque el profesor
también tiene que leer lo que
dice, entonces hay que
enseñarlos a escribir bien, a
representar bien, esto me
parece fundamental”
“Retomando básicamente es
187
lo mismo, o sea el problema
es la fragmentación que se da
en la comunicación del
profesor al estudiante, o sea,
si no se tienen claras las
propiedades básicas de la
suma y la multiplicación no
se va a poder hacer un
proceso de factorización por
ejemplo o de resolución de
ecuaciones así sean de los
mas complejas porque es que
en realidad todo se, todo se va
hacia ese mismo tema a cómo
usted puede asociar, a cómo
puede simplificar, a cómo
puede conmutar a cómo
puede tener cosas
conmutativas” (Ricardo)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Dificultades en cálculo
aritmético
“Cálculo aritmético, que
es necesario en el
desarrollo de
pensamiento, que ellos
puedan hacer cálculos
elementales, sencillos,
no los están haciendo;
entonces dependen de
una calculadora que mal
manejada se les vuelve
en contra de ellos”
(Juliana)
“Problemas con la
aritmética básica.”
(Diego).
“El orden en las
operaciones.” (Ricardo)
188
Leyes de los exponentes. “En esos cursos de
Precálculo los errores
más frecuentes son
aquellos que tienen que
ver con las leyes de los
exponentes, por ejemplo
los estudiantes suelen
llegar a estos cursos sin
tener en cuenta cuales
son las propiedades de
los exponentes
entonces eso implica
serias dificultades en un
comienzo” (Fernando)
“Bueno profesor…yo puedo
evocar varias
situaciones…uno el tipo de
formación escolar que tienen
los estudiantes, entonces
cuando un estudiante es
escolar cuando está en el
colegio no suele recibir un
buen tipo de formación,
entonces eso nos hace pensar
o nos podría hacer llegar a
pensar que el error que ellos
cometen se debe al tipo de
formación que han sufrido por
decirlo de alguna manera
porque el estudiante no ha
contado con una buena
formación” (Fernando)
Aquí se deben considerar
aspectos epistemológicos
asociados a la construcción
de las propiedades de los
exponentes. Es usual que a
los estudiantes se les
presenten las operaciones
con exponentes naturales y
posteriormente se pasa sin
mayor análisis, de manera
directa a exponentes
racionales e incluso
exponentes que son números
reales…se debe revisar el
desarrollo histórico de la
noción de exponente.
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
¿Cuál es el significado de 2 en
?x 2
“En este tipo de
preguntas muchos
estudiantes no saben
que responder ya que
aprender a resolver
ejercicios
mecánicamente sin
reflexionar sobre las
operaciones
involucradas y el
concepto asociado a
ellas.” (Miguel).
Obstáculo epistemológico.
Se debe analizar como
irrumpe el uso del exponente
en matemáticas.
Operaciones de suma y resta
de números reales y
operaciones con signos.
“El manejo de las leyes
de los signos para la
suma y para la
“Suma de enteros se
confunde con el
producto; ejemplo
189
multiplicación también
les genera serias
dificultades”
(Fernando).
“Es increíble, digamos,
que los estudiantes no
tengan claras las
propiedades de la
adición, las propiedades
de la multiplicación”
(Diego).
4105 ,
multiplican y convierten
en positivos los
números.” (Liliana).
Desigualdades entre números
reales
“Los conceptos de
mayor y menor no se
manejan como
habíamos mencionado
antes la recta numérica
no se maneja como tal”
(Ricardo).
“Los conceptos de
mayor y menor”
(Ricardo).
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
No se diferencian los números
naturales de los números
enteros.
“Que no entiendan por
ejemplo muy bien cuál
es la diferencia entre los
números naturales y los
números enteros”
(Diego)
“…Si uno lo ve, la
mayoría de estudiantes
insisto tienen problemas
en los conjuntos
numéricos: el que
medio dominan es el de
los naturales de ahí para
allá empiezan a tener
“Confusiones en la
identificación de los
conjuntos numéricos.”
(Diego).
“Manejo de fracción.
Recta numérica.”
(Ricardo)
“Es un problema de
conceptualización es un
problema de entender cómo
se articula el sistema
numérico y las operaciones
que se hacen sobre el sistema
numérico, es un problema de
destreza, es un problema tan
sencillo, como que el
estudiante dude en una
operación de multiplicación,
porque sencillamente, una
cosa tan básica como las
tablas de multiplicación se
han aprendido, se han
En el caso de la diferencia
entre números naturales y
números enteros, se tiene un
obstáculo epistemológico
asociada con la construcción
(histórica) de los números
enteros.
Además en cuanto a la
construcción de Q y de :
¿Cómo es la
epistemología de la
construcción de ?
Además puede
generarse un posible
190
problemas pues un
grupo de estudiantes
apreciable, ya cuando
empiezan los enteros, el
manejo y la noción de
signo es algo
supercomplejo, que se
empieza a evidenciar en
muchos estudiantes esos
errores, en todas sus
operaciones básicas.
Pero cuando pasa uno al
conjunto de los
racionales ahí sí que
ven toda la cantidad de
errores conceptuales,
porque el mismo
concepto numérico en sí
es complejo… Pero
nosotros no pensamos
en eso, incluso no
vamos a y no nos damos
cuenta que esas
secuencias
históricamente en la
construcción de ese
concepto de número han
tenido un orden o sea
para nosotros lo natural
es contar, lo demás se
sale de esa estructura
natural; por eso cuando
uno evidencia al
estudiante cualquier
tipo de representación
que recurre a lo
numérico siempre cae
en los naturales,
pidámosles que hagan
una gráfica de una línea
asimilado de manera
nemotécnica… yo creo que
todos aprendimos de esa
manera ¿cierto? Digamos que
en la infancia, en los procesos
de aprendizaje de esas cosas
de esa aritmética básica no ha
habido una construcción de
las operaciones, no ha habido
un desarrollo digamos lúdico
de esas operaciones lo
suficientemente vivenciado
para que el estudiante lo
aprenda, lo entienda, lo
construya, le vea sus
diferentes aspectos” (Diego)
“Si!... Yo creo que el
estudiante y muchos de
nosotros no somos
conscientes de que la
matemática ha sido un
constructo social, que lleva
muchos años y como no
tenemos esa conciencia y no
la hacemos explicita pues el
estudiante también piensa que
la matemática no se ha
construido sobre errores,
sobre problemáticas, sobre
cosas, creo que la didáctica se
ha centrado en que esto es
(clack) 2+2 es 4 y nunca se ha
hecho una construcción de
eso, o sea, para que el hombre
llegara a afirmar que 2+2 es 4
en su constructo matemático
histórico pasaron muchas
cosas” (Javier)
obstáculo didáctico al
no profundizar en las
posibles diferentes
representaciones de
y sus operaciones.
191
recta ¿Cuáles son sus
tablas? 1,2,3 no se salen
porque ese es su orden
lógico…pero plantéele
la misma gráfica, en un
conjunto más
amplio…de hecho el
concepto de densidad de
número él no lo tiene, la
mayoría no lo tienen,
para ellos la escala y su
representación de la
recta numérica es eso,
una escala discreta no
continua, y sin esa
conceptualización
pretende uno pasar a un
concepto elaborado
como función, y luego
trabajar sobre ese
concepto límites,
derivadas, cuando eso
es lo que no hay para
ellos.
La relación de orden
aunque parece obvia
para nosotros,
preguntarle a un
estudiante, bueno, que
sigue después del uno,
pues ahí lo va a
encontrar pero que
número es más grande
que ½ ahí ya tiene
todo…o ¿Qué número
sigue después de ½ en
los reales? Esos
conceptos son duros de
digerir y uno entra a
enseñarles límites
“Si una persona, en eso soy
aristotélica, el actuar sigue al
ser: le perrito ladra y come
como perrito porque es perrito
¿ves? Entonces los reales se
comportan porque son los
reales, o sea, estos y son estas
sus propiedades, por lo tanto
puede sumar así, puedo
multiplicar así, no puedo
dividir por cero, ¿ya? Porque
cero no tiene inverso
multiplicativo, así de sencillo,
no es porque esté prohibido o
porque sea pecado, es porque
el cero no tiene inverso
multiplicativo así de sencillo.
¿Qué cosas puedo y que no
puedo hacer? El actuar sigue
al ser”(Juliana)
192
asumiendo que eso es
claro como el agua para
todos, entonces es muy
difícil.” (Javier)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
No hay claridad en las
propiedades distributiva y
asociativa para adición y
multiplicación de números
reales
“Que no tengan claras
las ventajas de la
propiedad asociativa en
la adición y la
multiplicación; la
propiedad distributiva
como una propiedad
que liga la
multiplicación y la
suma” (Diego)
“Dudan en la
identificación y
diferenciación de las
propiedades de las
operaciones básicas,
hay mucha confusión,
por ejemplo en entender
la diferencia entre ley
asociativa y la
distributiva.” (Diego)
“La asociatividad en las
expresiones.” (Ricardo)
“…El deficiente uso
que se le da a las
propiedades de los
números y las posibles
operaciones que se
pueden establecer entre
ellos.” (Fernando).
“Por otro lado el mal
uso de las leyes de los
signos para la adición y
la multiplicación.”
(Fernando)
Obstáculo epistemológico.
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
918 “En cuanto a la segunda
918 parece que los signos no
existieran…”
(Diego)
“Confunden la suma
con el producto y hacen
multiplicación de
signos” (Liliana).
“Es un error me parece que es
de concentración…si tu le
vuelves a hacer la pregunta al
estudiante le dices piénsalo
mejor el estudiante lo
resuelve…el estudiante como
que tiene una inmediatez
“Falta de observación
de las cifras
representadas.”
(Miguel)
“Desconocimiento
de la ley de signos
para la adición.”
Obstáculo epistemológico.
Evolución del uso del signo
menos y su interpretación.
193
pictórica digamos una
inmediatez gráfica y a veces o
trata de adivinar el resultado o
simplemente no se lo piensa
con suficiente detenimiento.”
(Diego)
(Fernando)
1x421x2 “Problemas con la
propiedad
conmutativa.” (Liliana).
“Es recurrente que los
estudiantes no
multiplican todo el
paréntesis.” (Fernando).
En este caso y en el anterior
las explicaciones apuntan a
identificar el error pero no a
establecer la razón por la
cual ocurre el error.
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
194
4x
0x4
22xx5
x22x5
1x12x5
)1x(12x5
“Es un error frecuente
ya que no aplican la ley
de los signos a la hora
de simplificar
expresiones.” (Miguel)
Dificultad en la suma y resta
de fracciones.
“Cosas que uno debería
tener claras como los
fraccionarios desde la
primaria crean grandes
dificultades y son
problemas de
aritmética... Son
problemas básicos de
aritmética y son
problemas que
pretenden solucionarse
de manera memorística”
(Diego)
“… Y esa de la recta
numérica me parece que
es una de las falencias
que trae el muchacho
siempre siempre en un
curso de estos; el
manejo de fracciones,
pues como no saben que
es un número, o sea
para ellos eso no es un
número” (Ricardo)
“Es una cosa diferente
que se suma diferente
que se multiplica
diferente, y no significa
que es que es una
“Suma de fracciones
heterogéneas:
56
7
8
1
7
6
”
(Liliana).
“Las operaciones con
fracciones son
complejas para los
estudiantes. Suman
fracciones como si las
multiplicaran.”
(Fernando).
“Para mí creo que ese es el
error cuando tienen, cuando
les habla uno de factor común
o de cosas de esas, ellos
piensan que es una cosa
diferente a lo que es un
número como tal que no
tienen representación de
cantidad…” (Ricardo)
Obstáculo epistemológico
asociado a la construcción
del concepto de fracción.
También podría existir un
componente didáctico en
cuanto no le hayan
presentado al estudiante de
forma pertinente diferentes
representaciones de las
fracciones.
195
cantidad” (Ricardo)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Dificultad / error identificado Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
3
22
97
5431
“El primer problema es
el manejo de fracciones
heterogéneas y si
utilizan la calculadora
tienen problemas para
introducir la expresión
porque no manejan bien
los paréntesis.”
(Liliana).
“En este tipo de
planteamientos los
estudiantes evidencian
serios vacíos de
operaciones con
fraccionarios,
cometiendo errores
cuando simplifican”
(Miguel)
“Operativamente
presentan dificultades
aritméticas manejo de
operaciones básicas
especialmente en el
conjunto de los números
racionales
(representación
fraccionaria) y los
números irracionales.
Dichas dificultades se
trasladan a la estructura
algebraica lo cual
dificulta la realización
de procesos de
196
transformación del
objeto expresión
algebraica, de igual
manera estos se
trasladan a la estructura
funcional, dificultando
los procesos de
representación y
transformación de la
misma.” (Javier)
Simplificar:
4x
x4
2x
3
2x
22
“Existe la dificultad de
extender las
propiedades de las
facciones a las
expresiones racionales.”
(Liliana).
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA COMPRENSIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS,
PROPIEDADES Y OPERACIONES
Dificultad / error identificado Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Conceptos de máximo común
divisor (m.c.d) y mínimo
común múltiplo (m.c.m).
“A veces los conceptos
de mínimo común
múltiplo y máximo
común divisor no son
claros ni se entienden
para que se utilizan por
ejemplo en una
operación como suma y
resta de fraccionarios no
se entiende la
equivalencia entre
particiones” (Diego).
En este caso se puede asociar
la dificultad de tipo
epistemológico asociada a la
construcción del concepto de
fracción y adicionalmente las
noción de divisibilidad entre
números enteros (en el caso
del mcd y el mcm).
197
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA REPRESENTACIÓN DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Errores asociados a la no
comprensión de los símbolos
matemáticos.
“Hay una confusión
incluso con el símbolo,
con la forma con el
objeto que representa”
“Si claro cuestiones
lingüísticas y
semánticas, cuestiones
como no entender qué
es una raíz qué es una
potencia por ejemplo,
no integrar esa
concepción no entender
que una raíz es una
potencia fraccionaria,
que es simplemente un
caso especial de
potencia…uno le dice a
un estudiante factorizar
y no sabe qué rayos es
factorizar…digamos,
eso se va extendiendo
eso es un error
sistemático que se va
agrandando a lo largo
del proceso de
formación del
estudiante” (Diego en
La dificultad es de naturaleza
semiótica y está ligada a la
interpretación el símbolo y el
signo en matemáticas.
198
relación a la diferencia
entre números naturales y números enteros).
Dificultades para la ubicación
de puntos en la recta real y
puntos en el plano cartesiano.
“Problemas para ubicar
puntos en la recta
numérica y más aún en
el plano cartesiano.”
(Liliana).
Obstáculo epistemológico y
semiótico: evolución de la
representación de los
números reales en una recta.
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA REPRESENTACIÓN DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Errores asociados a la
resolución de problemas.
“Creo que los errores se
dan fundamentalmente
porque los estudiantes
no hacen una buena
interpretación de los
enunciados de los
problemas, entonces,
digamos que los dos
típicos problemas que
uno se puede encontrar
en matemáticas son
aquellos que tienen
enunciados verbales,
aquellos que se
categorizan como
problemas y los
ejercicios…los que
tiene sentencias
canónicas particulares
como por ejemplo un
cuadrado perfecto”
(Fernando)
“Otro aspecto es que se
evidencia en muchos
estudiantes es la falta de
lectura y de
interpretación, en
“El estudiante en gran
cantidad de casos, no
puede desglosar un
problema de cierta
complejidad, en
problemas sencillos
equivalentes, para
regresar con soluciones
parciales y rematar el
problema original”.
(Diego).
“Problemas de lógica,
es decir no ponen
sentido a lo que están
resolviendo.” (Liliana).
“Lectura para
comprender los
problemas propuestos.”
(Liliana).
“Una de las principales
dificultades y a mi
parecer una de las más
graves es la dificultad
que tienen a la hora de
interpretar un enunciado
“creo que el que los
estudiantes no hagan una
buena lectura de los ejercicios
y de los problemas de entrada
hace que ya empiecen
equivocándose,” (Fernando)
“yo creo que básicamente o
muchas veces debido a la
falta de observación y de
hacer una pausa, es decir
verlos con detenimiento, antes
de ejecutarlos, antes de
hacerlos, antes de resolverlos
deberían hacer como una
pausa y verlos detenidamente
y una vez interpretadas las
operaciones que están
indicadas, ahí si proceder a
resolverlos.” (Miguel)
“No usar la lógica
porque ellos consideran
que la matemática es
tan abstracta que no
tiene nada que ver con
la realidad.”(Liliana).
“Quisiera comentar que
personalmente noto que
los errores que cometen
los estudiantes están
directamente
relacionados con la
“mala lectura” y/o
interpretación que ellos
hacen de los enunciados
usuales de los
problemas matemáticos,
así como de las
sentencias canónicas de
los mismos. “ (Liliana).
“Por otra parte la
aplicación la realizamos
la mayoría del tiempo
sobre la base de
solución de ejercicios
tipo que el estudiante
En este caso las dificultades
podrían ser fuertemente
semióticas; por ejemplo en la
interpretación de los
enunciados de los problemas
(registro en lenguaje natural)
y su posterior “traducción”
(transformación) a registro
simbólico (modelo
matemático); se deben
realizar transformaciones
entre diferentes registros
semióticos;
Por otra parte cada problema
particular que deben resolver
los estudiantes podría tener
obstáculos adicionales
asociados, por ejemplo de
naturaleza didáctica y
epistemológica.
199
básicamente problemas
que se colocan de
enunciados, para
plantear una ecuación”
(Miguel)
“Una edad te da la dan
negativa con
tranquilidad y se
extrañan de ver que uno
les califica” (Juliana)
“Lo que les da la
calculadora…les da
error…un límite…un
límite les da error…una
función trigonométrica
les da error…seno,
tangente me da error no
entienden porque me da
error la
calculadora…porque no
comprenden la función,
porque no entienden
que está ocurriendo al
dividir por cero”
(Juliana)
“Y una cosa que si es
importante es la
comprensión de lectura
en los problemas,
normalmente el
estudiante sino entiende
que le están hablando,
llevarlo a términos
matemáticos va a ser
imposible para él y eso
también se ha dejado de
dar, o sea no es que el
en un problema,
identificar que es lo que
le están preguntando y
las variables
involucradas en un
problema especifico.”
(Miguel)
“Dificultad para aplicar
en diferentes contextos
los procedimientos y
conceptos matemáticos,
es otra dificultad
eminente en los
estudiantes en la
solución de problemas;
desde la lectura de la
situación, la
identificación de la
pregunta o preguntas, la
posibilidad de
matematizarla y la
comparación o
verificación de una
respuesta numérica son
complicaciones de la
mayoría de los
estudiantes de primer
semestre.” (Javier)
intenta solucionar de la
misma manera que lo
hacemos los profesores
en el tablero. No
aportamos técnicas de
solución de problemas
ni pensamos en
situaciones problemas
que reten al estudiante y
le permitan ver en las
matemáticas una
verdadera herramienta
para su desempeño
profesional.” (Javier)
200
problema sea
matemático en algunos
casos sino simplemente
no se entiende lo que le
están hablando,
entonces eso es muy
delicado para eso”
(Ricardo)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA REPRESENTACIÓN DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Dificultad / error identificado Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Necesidad de dar siempre
una respuesta numérica a
cada problema o ejercicio
propuesto.
“Los estudiantes en
Colombia cuando llegan
a la Educación Superior
vienen mal
acostumbrados, esto
quiere decir que los
estudiantes siempre
tienen la necesidad de
dar respuesta a los
problemas así no sepan,
el estudiante así no
sepa, requiere dar algún
tipo de cierre a las
situaciones con las que
se enfrenta en una
sesión de clase,
entonces eso hace que
el estudiante a veces
prefiera equivocarse,
sabiendo que lo está
haciendo, antes de
describir o simplemente
dejar el enunciado o el
problema sin
resolver…”(Fernando)
“También uno observa
en los estudiantes como
“Además el “afán” y la
necesidad casi inherente
de resolver un problema
matemático, casi que
inevitablemente los
lanza a cometer errores”
(Fernando).
“Muchas veces los
estudiantes cometen
tales errores por la
ligereza con que
abordan los ejercicios;
cuando me refiero a
ligereza lo digo en el
sentido de que los
estudiantes no se
detienen a observar las
operaciones que están
representadas, sino que
en medio de su afán por
responder rápidamente
cometen esta serie de
errores.” (Miguel).
Este tipo de dificultad podría
estar ligada al contrato
didáctico, en cuanto el
docente siempre esperaría
del estudiante una respuesta;
para el estudiante las
respuestas tienen que ser
siempre numéricas, sin
importar su interpretación.
201
el afán de encontrar una
respuesta a un problema
específico, como dicen
muchas veces los
mismos estudiantes se
vuelven muy
respuesteros, en ese
afán de buscar una
respuesta de forma
rápida” (Miguel)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADAS A LA REPRESENTACIÓN DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Dificultad / error identificado Dificultad / error
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Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultad / error
identificado
Dificultades para aplicar las
matemáticas en su quehacer
profesional
“La posibilidad de
aplicar los conceptos
matemáticos
desarrollados en el
curso a situaciones
propias de su quehacer
profesional es una
dificultad que la
mayoría de los
estudiantes hace
explícita en los procesos
de autoevaluación.”
(Javier)
“La enseñanza de las
matemáticas y física sin
contexto, se dicta como
una materia difícil por
profesores que por su
formación no le pueden
dar aplicación ni
explicar al estudiante su
importancia en el
desarrollo de la
humanidad, los cursos
son fragmentos dictados
“Lo mismo si estoy
trabajando con un ingeniero,
no es los mismo trabajar con
un ingeniero de sistemas que
con un ingeniero químico,
mecánico; los problemas que
él va a enfrentar son
diferentes ¿cuál es la idea?
La idea es que cada profesor
se contextualice en donde está
trabajando, porque eso haría
que busque situaciones
problema que le pueden dar
pie para comenzar hacer la
reflexión sobre la utilidad de
ese objeto matemático”
(Javier)
202
por profesores formados
de la misma manera
estableciendo un círculo
vicioso.” (Ricardo)
“Contextualizar la
matemática a
situaciones reales y
cómo ha sido lo que ha
desarrollado la ciencia.”
(Ricardo)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS AL ÁLGEBRA
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A OPERACIONES ALGEBRAICAS
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Dificultades asociadas a
Factorización de expresiones
algebraicas.
“Y cálculo algebraico,
es decir que no puedan
sumar polinomios,
expresiones, simplificar
con cierta agilidad,
porque eso es tema de
que? que en primaria
trabajan inclusive con
algunas variables, en los
primeros cursos de
bachillerato en la parte
“Factorización y
productos notables:
222 baba “ (Liliana).
“…Cuando el estudiante en
Colombia aborda el estudio o
la transición de lo aritmético a
lo algebraico lo hace más o
menos a los 13 años 14 años,
uno, yo creo que no es una
buena edad para hacerlo y dos
creo que el tipo de currículo
que establece el Ministerio de
Educación Nacional obliga a
los profesores a abordarlo ahí
“A veces temas
conectados, por ejemplo
los casos de
factorización, se
presentan de manera
disconexa y sin una
formulación unificada
que permita sintetizar
las ideas más relevantes
al estudiante. Un hecho
gravísimo es el
203
básica suma de
polinomios, de
expresiones algebraicas,
tienen que sumar
términos semejantes,
pero llegan
absolutamente nulos;
inclusive le genera
inseguridad
personal,…ellos no
saben de dónde sale,
mejor dicho si no los
dejamos sacar la
calculadora ya les da
pánico, entran en
pánico” (Juliana)
y en muy poco
tiempo…entonces el manejo
de la variable, de la letra en
matemáticas no se estudia en
los currículos ni siquiera en
la Universidad, entonces
cuando el estudiante se
enfrenta a un caso de
factorización típico…al
cuadrado perfecto por
ejemplo el estudiante olvida
que realmente lo que importa
a lo que hace referencia el
caso de factorización es a una
estructura matemática que es
fácilmente representable a
través de una geometría por
ejemplo….(Fernando)”
“Si uno les dice factorice,
ellos saben que tienen que
factorizar pero en otro
contexto en el que tengan
que factorizar ese
polinomio no saben lo que
deben hacer porque no
saben el porqué, es un
error recurrente” (Javier)
abandono en la
enseñanza de las
nociones y resultados de
la geometría” (Diego).
Usan las siguientes igualdades”
yxyx
yxyx
yxyx
nnn
222
Eso se presenta pero
muchísimo, no solo en
estudiantes de
Precálculo o de primer
curso de matemáticas
universitarias sino
también en estudiantes
avanzados” (Diego).
“Extienden las
propiedades de la
potencia del producto a
la suma.” (Liliana).
“Este tipo de error es
muy frecuente.
(Fernando)”
“Yo creo que precisamente es
la necesidad del estudiante de
hacer un ejercicio
nemotécnico sobre
fórmulas…el estudiante no va
a entender que eso es un
binomio de Newton, ni
siquiera tiene claro el binomio
de Newton a veces se
acuerdan del triángulo de
“Se da debido a
desconocimiento total o
parcial de las
propiedades de los
exponentes.”
(Fernando)
“Toman los ejercicios
con la intención de
resolverlos rápidamente
204
Pascal” (Diego) y sin tener en cuenta las
operaciones indicadas.”
(Miguel).
Simplificaciones incorrectas
)x2(xx
)x2(xx2
2
)x2(x1x
)x2(xx2
2
“Mal uso de la
propiedad distributiva.”
(Liliana)
“Problemas de
simplificación.”
(Liliana).
“Otro error que cometen
los estudiantes es
simplificar en
expresiones
fraccionarias cuando
hay involucradas
operaciones de suma y
resta en el numerador o
en el denominador.”
(Miguel)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS AL ÁLGEBRA
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A OPERACIONES ALGEBRAICAS
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
3
x1
x3
xx2
2
“El despeje de las
variables les ocasiona
muchas dificultades.”
(Fernando)
“Este tipo de error se
comete cuando el
estudiante se preocupa
por identificar
rápidamente términos
similares en el
numerador y el
denominador y
simplificarlos
apresuradamente sin
tener en cuenta las
variables involucradas.”
(Miguel).
205
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS AL ÁLGEBRA
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Dificultades asociadas a la
resolución de ecuaciones.
“Despejar ecuaciones
sin tener en cuenta la
jerarquía de las
operaciones.”(Liliana).
“Despejar de ecuaciones?
Para mi despejar ecuaciones,
depende de las propiedades
algebraicas, propiedades
algebraicas de , o sea la
estructura de campo, x,, ,
campo, ahí está el problema.
Y, inecuaciones, está en el
problema ¡ah bueno! Y
aquí la igualdad, mas la
igualdad; y las inecuaciones,
el con el , que es la
estructura de orden; entonces
cuando ellos entienden que
esto tiene cuerpo, es que hasta
en, en, en el lenguaje se
maneja la palabra cuerpo,
“Se les ha enseñado un
solo sentido en las
ecuaciones y no pueden
razonar en ambos
sentidos.”(Liliana)
206
¿Qué significa cuerpo? ¿Qué
es cuerpo humano?... Es un
conjunto de sistemas,
articuladitos y que funcionan
bien, esto es cuerpo o campo;
cuándo los ingenieros dicen:
esto tiene cuerpo ¿Qué quiere
decir? Ya cogió cuerpo, ya
cogió forma vida” (Juliana)
Encontrar todas las raíces de la
ecuación:
0xx 23
“Obviamente, un
concepto como el cero,
que no es un concepto
natural, es un concepto
bien enredado, nosotros
asumimos que todos los
estudiantes tienen claro
el cero,
cierto…entonces por
ahí hay una ecuación
donde al factorizarla,
una de las raíces es
cero…para muchos
estudiantes el cero no es
un número porque es un
concepto natural: contar
nada, como que uno no
lo tiene
presente…entonces
eso…si le da cero en
una respuesta para él no
es la respuesta y uno lo
asume como un error
porque uno no tiene
consciencia de que son
conceptos que dentro de
la lógica natural no se
dan” (Javier)
“Creo que hay muchas
que están relacionadas
“En este caso los
estudiantes presentan
dificultades para
factorizar.” (Liliana).
“En la igualdad, no ubican el
igual, no ubican las dos
partes, o sea siento, que esos
procesos llevan a errores
sistemáticos que siempre se
verán…ellos muchas veces no
saben que procedimientos hay
que hacer, entonces tienen
dificultad…” (Javier)
Puede ser un obstáculo
didáctico. El estudiante
podría no tener claridad
sobre el Teorema
Fundamental del Álgebra;
por lo que sólo buscaría una
solución (y no las 3 raíces).
207
con la ecuación y lo que
yo he percibido en
algunos estudiantes, es
que ellos no identifican
diferentes objetos
matemáticos; entonces
para ellos es lo mismo,
por ahí creo que lo
escribí en una de las
reflexiones, un
polinomio cuadrático,
una ecuación cuadrática
y una función
cuadrática…para ellos
esos 3 objetos cuyo
centro es el mismo…
3x2x2 es lo
mismo, pero no
identifican que son
diferentes objetos, y al
no identificar que son,
pues no saben que hacer
con eso,” (Javier)
2
3x
12x8
48x12x4
x1284x4
“Despejar una ecuación
trae dificultades por no
comprender el orden de
las operaciones y el
significado de la
igualdad.”(Liliana)
“Eso no es una propiedad por
ejemplo, eso es un error
conceptual, que lo que está
sumando pasa a restar ¿si?,
ese es un problema de la
uniformidad ¿si?, de la
adición de la uniformidad,
entonces ahí es donde entra el
profesor a trabajar
vocabulario…” (Juliana)
Solución de una ecuación
cuadrática"
3x
9x
9x
09x
2
2
“Despejar una ecuación
trae dificultades por no
comprender el orden de
las operaciones y el
significado de la
igualdad.”(Liliana)
Misconcepción; cuando el
estudiante comienza el
estudio de las raíces en
primaria (y posiblemente en
bachillerato) sólo se abordan
las raíces positivas.
208
Despeje en ecuaciones:
10x4 2
410x2
“No comprenden el
orden, la jerarquía de
las operaciones.”
(Liliana)
Dificultades en la resolución de
ecuaciones que incluyan constantes
como factores:
0)1x(x10
Algunos estudiantes hacen la
igualación:
010 Sin darle sentido a esta expresión.
“Existe en el estudiante un
conformismo por encontrar
rápidamente una respuesta sin preocuparse por darle
algún tipo de interpretación
a la misma.”(Miguel)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A LA COMPRENSIÓN DE FUNCIONES Y RELACIONES Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Dificultades/ errores
asociados a la comprensión
de la función.
“Graficar relaciones y/o
funciones esto si es…da
es pesar porque es
manejar el plano
cartesiano y es la
primera aproximación a
manejar variable
dependiente, variable
independiente que es lo
que mínimo que trabaja
uno para manejo de
gráficos en matemática
1, que manejamos una
variable, entonces una
dependiente, una
independiente,”
(Juliana)
“Lectura e
interpretación de
gráficos; que puedan
ver como se escribe y
como se lee en el plano
cartesiano, para poder
ver si está creciendo,
“El concepto de
función.” (Ricardo)
“Pues en realidad lo que se da
es que el concepto de relación
de 2 variables es muy difícil
para que el estudiante
conceptualice, ya que el mira
allá son letras y signos que no
tienen ninguna relación,
entonces la idea es que esas
variables representen algo…o
sea es muy interesante por
ejemplo en un concepto,
expresar que una función
puede ser por decir algo una
temperatura y otro puede ser
un calor o que uno pueda ser
un volumen y el otro pueda
ser un área, o sea relacionar
las variables con cosas reales
que el pueda observar, no
solamente que sean letras en
un cuaderno o que tenga un
cuaderno lleno de x y de y
porque en realidad eso no es
ningún aprendizaje ni ninguna
cosa que se pueda aprovechar
209
decreciendo, si se
mantiene constante, si
está definida, sino está
definida, inclusive hay
herramientas para saber
si es inyectiva, si es
sobre, identificar
dominio, rango ¿ehm?
Entonces, es
importantísimo…”
(Juliana)
después para que el muchacho
pueda conceptualizar mas allá
de eso…de tener un cuaderno
lleno de x y y” (Ricardo)
“La no realidad que se da por
parte del proceso educativo en
niveles inferiores, ya que en
alguna parte se desconecta
¿si? Ya no se empieza a
hablar de cantidades si no se
empiezan a hablar dee de
cosas x, y y z que para el
muchacho no representan
nada, si se siguiera insistiendo
que son cantidades que vienen
de la naturaleza, que sirven
para contar que todo se deriva
de ahí, que todo el proceso
matemático es eso, el
estudiante tendría una
facultad de de tener un
proceso sistémico de
apropiación de la matemática
que es el que no se da”
(Ricardo)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A LA COMPRENSIÓN DE FUNCIONES Y RELACIONES
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Uso de la notación funcional:
2x)x(f
42)x(f 2
?)h(f
?)3x(f
“Notación funcional,
estoy si estoy
totalmente de acuerdo,”
(Juliana)
“Si!, me parece
significativo; esto por
ejemplo hay estudiantes
que usan la notación
funcional (no es claro el
audio), ellos, dice uno
“Extender las
propiedades de la
potencia en enteros a
expresiones
algebraicas.” (Liliana)
No se comprende la
notación de la función.
(Liliana)
“El estudiante se
acostumbra a utilizar
“(para un 2x)x(f
Si se les pregunta ))3x(f …
“este ya sería lectura, esto
es lectura; esto sí, esto es
responsabilidad nuestra
(señalando los ejemplos
referenciados como
Obstáculo epistemológico y
semiótico. Conceptos
asociados: evolución
histórica de la noción de
función; por otra parte la
adopción de la notación f(x)
como símbolo que denota
función presenta dificultades
en su comprensión.
210
f(x)=8, (entonces):
x
8f
”
(Juliana)
“(para un 2x)x(f
Si se les pregunta ))3x(f
Ah no!... Pero ese no
es notación”
“Si a veces uno
escribe f(x) (“f de x”)
la gente tiende a
pensar que es f por x”
(Diego)
ciertas letras para
identificar variables y se
confunde cuando se
utilizan otras.” (Miguel)
notación en la tabla del
instrumento escrito)
porque esto es lectura,
entonces ellos no saben
que es eso; porque no
asocian, la función como
un modelo de
transformación, ¿si ves la
esencia? ¿Dónde está…?”
(Juliana)
Graficar una función cuadrática
como una recta.
“Si tu presentas una
cuadrática en términos
de t , en física eso (t )
representa tiempo, el
estudiante se va a
volver un ocho, a él le
parece como que el
plano cartesiano ya no
es el mismo …no sé
porque… que ya como
que esa representación
no se puede
hacer…entra en una
duda que a mí me
parece que es como
lingüística…por que a
la final eso simplemente
tiene que ver con el
abecedario…yo le digo
al estudiante que las
variables se pueden
“Es un error frecuente
en general.” (Liliana).
Si usted lo recuerda, el
manejo de la variable en
matemáticas de la letra en
matemáticas tiene como seis
tipos diferentes de
interpretación…se puede
interpretar como objeto, como
número generalizado, como
variable, como incógnita, y a
lo que nosotros le tenemos
que apuntar en un curso de
Precálculo en una universidad
es que el estudiante logre
interpretar y hacer uso de la
letra en matemáticas como
variable y como incógnita,
pero cuando el estudiante
llega no lo hace, al estudiante
se le dificulta el uso de la
letra en matemáticas, eso hace
que el estudio del álgebra y
“El problema está en no
comprender la gráfica
de la función tipo y
resolver gráficas dando
valores a la función.”
(Liliana)
“Problemas con las
traducciones entre
diferentes sistemas de
representación.”
(Fernando)
“Este error es cometido
por la falta de
observación de las
potencias de las
variables involucradas.”
(Miguel).
Obstáculos epistemológicos
y semióticos. Podría
presentarse una
misconcepción, si el
estudiante se “queda” con la
función lineal que le permite
modelar cualquier
situación…generalizando
esta interpretación a las
gráficas de funciones
cuadráticas.
211
llamar x,y,z,t o como
me dé la gana…para él,
el abecedario parece
que se redujera a x y a
y.” (Diego)
por ende del cálculo
posteriormente, sea muy
complicado para algunos
estudiantes. (Fernando)
Me llama la atención que
digamos lo que aparece en la
tabla, el enunciado dice
graficar una función
cuadrática como una
recta…esto no le he visto
particularmente en mis
estudiantes pero lo que si
puedo dilucidar es que ese
tipo de error sea porque el
estudiante no es capaz de
hacer una buena traducción
entre sistemas de
representación por ejemplo si
uno le presenta al estudiante
la gráfica de la cuadrática y le
dice al estudiante que haga
una función…el estudiante
debe hacer una traducción
entre diferentes sistemas de
representación, tienen que
coger lo gráfico y ahora
tienen que transponerlo y
tienen que traducirlo a un
lenguaje algebraico, ahí puede
haber problemas, claro hay
unos métodos establecidos
para que el estudiante pueda
llegar a hacer esto o incluso si
uno le dice al estudiante aquí
tiene los datos tabulados
ahora lo que tiene que hacer
es graficar la ecuación, el
estudiante puede presentar
diferentes dificultades, y creo
que eso se da a propósito del
212
mal estudio que se le hace a
los conceptos matemáticos
(Fernando)
Si se cambia la notación usual
y=mx+b para la ecuación de
una recta, por z=mt+b, los
estudiantes no la identifican
como tal.
“no sé si se salga del
contexto de tu estudio,
pero yo por ser docente
de física (he tenido
cursos de matemáticas
básicas y también de
física), me llama la
atención una cosa, si tú
tienes que bmxy que es
la ecuación de una recta
en general y tu lo
cambias por
bmtz , cuando
tú haces un cambio en
las variables, los
estudiantes no sé por
qué rayos ya no
identifican eso…a mi
me parece increíble…el
solo hecho de cambiar
símbolos hace que el
estudiante se enrede.”
(Diego)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A LA COMPRENSIÓN DE FUNCIONES Y RELACIONES
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
cosx es el producto de
cos por x
“Cuando se trata de la
expresión xcos
interpretado como cos
por x, también se
presenta e incluso se
presenta de manera más
grave, a veces el
estudiante escribe
solamente cos y olvida
“No comprenden el
concepto de función”
(Liliana).
“A mí me parece que lo que
está de por medio es la
conceptualización de los
símbolos, cierto, o sea la
adquisición de un lenguaje
formal que es inequívoco, que
tiene unos referentes, y esos
referentes pueden ser
algebraicos o funcionales… la
“Este error denota
fuertes vacíos
conceptuales e
interpretativos ya que
toman la función misma
como otra variable.”
(Miguel)
213
que eso es una función
y que tiene un
argumento;” (Diego)
gente no entiende, como en el
caso de la círculo, de la
elipse, de la hipérbola, que es
algebraico que es funcional.”
(Diego)
Yo creo que el estudiante
entiende la matemática de una
manera netamente operativa,
verdad, el estudiante entiende
que debe hacer una serie de
operaciones aritméticas,
privilegiadamente aritméticas
sobre una ecuación y llegar a
un resultado y en muchos
casos es así, pero por ejemplo
no hay una construcción
conceptual de que es el
coseno, no hay una
construcción conceptual de
que e el seno…
Esas expresiones se pueden
ver como funciones …aquí si
estoy de acuerdo en que las
matemáticas pueden ser
difíciles por si mismas, pero
no creo en ningún caso que no
puedan hacerse entendibles y
asimilables al estudiante
(Diego)
Identificación de las
ecuaciones de secciones
cónicas.
“Si uno lo ve como
ecuación, las parejas de
(x,y) que cumplen con
esa ecuación son un
conjunto múltiple de
soluciones, listo, y en
ese sentido uno puede
ver eso de una manera
funcional, digamos
realmente de una
manera relacional, y
214
uno puede hacer la
gráfica de ese conjunto
de puntos, puede decir
inmediatamente si eso
corresponde a un
círculo, si eso
corresponde a una
elipse o si eso
corresponde a una
hipérbola, si se ha
entendido
perfectamente que son
las secciones cónicas;
pero a veces el
estudiante no va a
entender si se trata de
una ecuación o si se
trata de una
representación de una
función el no va a saber
si las letras representan
incógnitas o representan
variables” (Diego)
ERRORES Y DIFICULTADES ASOCIADOS A CONCEPTOS DE CÁLCULO
Dificultad / error identificado Evidencia audio Evidencia instrumento
escrito
Explicación Profesor audio Explicación profesor
instrumento escrito
Diagnóstico
investigador/Observaciones
Dificultades asociadas al
cálculo
“Por ejemplo ellos hace
con el infinito algo muy
bonito; por ejemplo
infinito menos infinito
igual cero, ahora
que…”(Juliana)
“Tenemos por ejemplo
en límites, te lo pongo
en límites; o sea las
formas indeterminadas:
uno a la infinito para
ellos es uno, mmm, la
“Los conceptos de
variables no son
fácilmente aceptados;
sólo piensan que lo que
se exponen son letras
que no corresponden a
variables físicas.”
(Ricardo)
“Yo veo esta (la tabla) con
cosas , muy, muy concretas;
estos ejemplos ni siquiera te
los abordé por eso; ¿si?
porque aquí hay un problema
mecanicista de resolver; o
sea, una aplicación,
indiferente…yo veo que el
problema está más atrás…yo
lo veo conceptual y de
procesos de razonamiento”
(Juliana)
215
derivada de un
producto, por ejemplo,
bueno, de f(x) por g(x),
o de cociente, es f’ por
g’; es decir, eso hacen
un álgebra maravillosa
ahí; lo mismo del
producto, cociente y
potencia; el logaritmo
de una suma” (Juliana)
