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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
EXTENSION - LATACUNGADEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
Integrantes: Roberto Guamán, Daniel Terán
Curso: 3° nivel AutomotrizFecha: 19/08/2015
Tema: Informe Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales
NRC: 4195Profesor: Dra. Jackeline PozoAbril 2015 - Agosto 2015
1. Tema: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
2. Objetivos
Objetivos General:
Aplicar los conocimientos adquiridos en clase sobre sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales para resolver el ejercicio planteado, realizando una
simulación en geogebra para la comprobación y verificación de los datos
obtenidos en el cálculo.
Objetivos Específicos:
Reconocer el sistema de ecuaciones diferenciales lineales y su aplicación en el
campo de la mecánica automotriz.
Plantear el método de solución adecuado.
Resolver las ecuaciones aplicando los conocimientos adquiridos en clase.
Realizar la simulación en el software para comprobar los datos obtenidos.
Establecer las conclusiones que se generaran en el desarrollo del mismo.
3. Marco Teórico
Recuerde que en las unidades pasadas se ilustró cómo resolver sistemas de n
ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma
Donde las eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este
capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos
especiales de sistemas que tienen la forma normal
Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama
sistema de primer orden.
SISTEMAS LINEALES
Cuando cada una de las funciones en (2) es lineal en las variables
dependientes se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones
lineales de primer orden.
Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema
lineal. Se supone que los coeficientes así como las funciones son continuas en un
intervalo común I. Cuando se dice que el sistema lineal (3) es
homogéneo; de otro modo es no homogéneo.
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL
Si denotan matrices respectivas
Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se pueden
escribir como
Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces
EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial
Entonces la forma matricial del sistema homogéneo
Entonces la forma matricial del sistema homogéneo
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEOS
Comenzaremos estudiando el sistema homogéneo La
linealidad del operador garantiza el principio de superposición, que asegura que toda
combinación lineal con coeficientes constantes de soluciones del sistema homogéneo
es también solución del mismo:
Por consiguiente, el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo es un sub
espacio vectorial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t) definidas en el
intervalo considerado I, donde la independencia lineal de un sistema de vectores xi se
define, en la forma habitual, como la imposibilidad de hallar más combinación lineal
que se anule en todo el intervalo que la que tiene coeficientes nulos. Si el sistema
es linealmente dependiente, existe solución no trivial del sistema lineal
homogéneo
Siendo la fila número i del vector columna En consecuencia, el determinante
del sistema, que es el wronskiano del conjunto de vectores,
Se anula en todo el intervalo I. En general, el recíproco de este resultado no es cierto,
pero si los vectores son solución del sistema homogéneo, y el wronskiano se
anula en un cierto punto del intervalo, W (t 0)=0, el sistema lineal homogéneo
Tiene una solución no trivial para los con la que podemos construir para todo
el vector Por el principio de superposición este vector es
solución del sistema diferencial homogéneo y satisface condiciones iniciales nulas en
t=t 0 por la forma en que se han elegido los El teorema de existencia y unicidad
asegura entonces que el vector x tiene que ser el elemento nulo, que satisface las
mismas ecuaciones y condiciones, por lo que
Y los vectores son linealmente dependientes, lo que a su vez implica que el wronskiano
se anula en todos los puntos del intervalo. Vemos, por tanto, que para un conjunto de
n soluciones del sistema de orden n las condiciones de dependencia lineal, anulación
del wronskiano en un punto y anulación del mismo en todo el intervalo son
completamente equivalentes, como ya sucediera con la ecuación lineal homogénea de
orden n.
SOLUCIÓN GENERAL Y SOLUCIÓN PARTICULAR DE SISTEMAS DE E.D.L.
Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema de
existencia y unicidad que garantiza la existencia de la n soluciones linealmente
independientes correspondientes a las condiciones iniciales
O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en t 0 no sea nulo. Existen, por
tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que están formados por definición por n
soluciones linealmente independientes. Que un sistema fundamental
es una base del espacio de soluciones, que tiene, por tanto, dimensión n, se sigue del
hecho de que toda solución x de la homogénea, Lx = 0, puede expresarse como
combinación lineal de las del sistema fundamental con coeficientes constantes que
pueden calcularse resolviendo en un punto t 0 el sistema.
Que tiene solución única porque su determinante, que es el wronskiano del sistema
fundamental en t 0 es distinto de cero. La unicidad de la solución correspondiente a
condiciones iniciales ent 0 garantiza que
Con los coeficientes elegidos en t 0 Por tanto, la solución general del sistema
homogéneo que incluye todas las soluciones es una combinación con coeficientes
constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X=
MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS DE EDL
Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen
varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un
sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss,
método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
representado como,
Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones
diferenciales lineales será,
MÉTODO DE LOS OPERADORES
Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más
ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las
funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de
eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con
coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables.
Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una
constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas.
ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA
La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se
facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial.
Donde las son constantes, puede escribirse como
Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores
conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema
En términos del operador D, primero se escriben los términos con variables
dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA
Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones
suficientemente derivables etcétera, que satisface cada
ecuación del sistema en algún intervalo común I.
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden
Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por –
3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene raíces de la
ecuación auxiliar de la última ED son se obtiene
Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con D
y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para
Inmediatamente se tiene que:
Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de porque
el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se
puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t) en
la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene
Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos tener
Estas dos ecuaciones nos permiten escribirc3
como un múltiplo de c1 y c4 como un múltiplo de c2:
Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser
Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se
cumple la misma relación (4) entre las constantes.
UTILIZANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales
donde son funciones dadas e es la
función vectorial incógnita. Supongamos Además las condiciones iniciales
Donde números reales para sea
Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta (2.16)
obtenemos que
De donde, si denota la matriz identidad,
Y de aquí
Una vez calculada de este modo obtendremos y tomando la Transformada
inversa. Por ejemplo consideremos el sistema
Junto con las condiciones iniciales
Entonces la solución del problema viene dada por
APLICACIONES
Circuitos eléctricos con varias ramas
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales también aparecen cuando consideramos
circuitos eléctricos con varias ramas, como muestra la siguiente figura:
En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchhoff para obtener las ecuaciones. La
primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de ramificación del circuito, la suma
de las intensidades entrantes es igual a la suma de las intensidades salientes. En el
circuito de la figura esto nos proporciona la ecuación
En segundo lugar, consideramos los dos sub circuitos que hay y fijamos un sentido de
la corriente, como muestra la siguiente figura
Tomamos el primer sub circuito por separado, que es
Para este sub circuito tenemos la ecuación
Donde
Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1,
Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros hemos
prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuación
Tomamos ahora el segundo sub circuito que muestra la figura
Cuya ecuación será
Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por nosotros al
principio y de ahí el signo negativo. Procediendo como antes obtenemos la ecuación
Y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema
Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones
E introduciendo la variable , el sistema queda
Despejamos y tenemos el sistema en la forma
Que en forma matricial es
Donde
Otros circuitos similares serán estudiados en los problemas de este tema.
4. Materiales
Cantidad Material Gráfico
1 Software
5. Gráfico o esquema
7. Problema Propuesto
Determine la solución del sistema de ecuaciones diferenciales siguientes:
(1 ) dxdt
=x+2 y
(2 ) dydt
=4 x+3 y
Solución:
A=(1 24 3)
Aplicamosla formula siguiente :
|A−λI|=0
|(1 24 3)− λ(1 0
0 1)|=0
|(1−λ 24 3−λ)|=0
Encontramos los valores de lamda
(3−λ ) (1−λ )−8=0
3−3 λ− λ+λ2=8
λ2−4 λ−3=0
( λ−5 ) ( λ+1 )=0
λ=5 y λ=−1autovalores
Seresuelve el siguiente sistema
|A−λI|∗X=0
para λ=5
|(−4 24 −2)|∗(k 1k 2)=(00)(1)−4 k 1+2k2=0
(2)4k 1−2k 2=0
k 2=2k 1
k 1=( n2n)k 1=(12)para λ=−1
|(2 24 4)|∗(k1k2)=(00)(1)2k 1+2k 2=0
(2 )4 k1+4k 2=0
k 1=−k 2
k 2=( m−m)k 2=( 1−1)x ´=(1 2
4 3)Xλ=5 λ=−1
k 1=(12)k2=( 1−1)k 1eλ1 k 2eλ2
x1=(12)e5 t
x2=( 1−1)e−t
x=C1(12)e5 t+C2( 1−1)e−t
x (t)=C1 e5 t+C2 e
−t
y ( t )=2C1 e5 t−C2 e
−t
8. Conclusiones
Las ecuaciones diferenciales se las puede aplicar en varios ámbitos de físicos relacionadas con la mecánica automotriz aplicando estas fórmulas podemos deducir varias problemas que se presentan en un vehículo.
Los circuitos LRC tiene mucha aplicación en los vehículos especialmente en los vehículos de competición, estos son utilizados para controlar la bomba de aceite y el sangrado electrónico de los frenos.
Las condiciones iniciales en un circuito LRC son de gran importancia ya que estas son las encargas de modelar la carga máxima que puede soportar el mismo y relacionar las condiciones de exigencia del vehículo.
9. Recomendaciones
Al realizar la deducción de la ecuación diferencial se tomó muy en cuenta el enunciado ya que este nos indica las consideraciones claves para la demostración
Al realizar la simulación en el software se tomó en cuenta que cada detalle en cuanto a los datos como la inductancia, resistencia, capacitancia y la fuente de voltaje.
Se debe tener en cuenta el método de resolución de las ecuaciones diferenciales, apreciar el caso en el que cae el sistema.
10. Bibliografía
https://www.youtube.com/watch?v=qVdK4AwX8Fg http://sistemasdeecuacionesdiferenciales.blogspot.com/ http://es.slideshare.net/KikePrieto1/sistema-de-ecuaciones-diferenciales http://www3.uah.es/josemsalazar/material_docente_quimicas/alg/
algteor/t4/t4.pdf http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/Apuntes/lec8.pdf http://es.slideshare.net/santosuriel/unidad-4-ecuaciones-diferenciales
11. Anexos
Anexo 1. Programación en Matlab