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PROYECTO PARCIAL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

ANALISIS DINAMICO DE UNA ESTRUCTURA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

PRESENTADO POR

LUIS CARLOS HERNANDEZ CÒDIGO: 215103

KEVIN DANIEL USECHE CÒDIGO: 215168

ING. MARITZABEL MOLINA HERRERA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

ANALISIS ESTRUCTURAL APLICADO

BOGOTA D.C.

2013-01

1. MATRICES DE RIGIDEZ, MODOS DE LA ESTRUCTURA Y FUERZAS DE RIGIDEZ

Para la determinación de los modos de vibración de la estructura, se contara con el apoyo del

software ingenieril SAP2000 con el fin de calcular, con el procedimiento visto en clase, las matrices

de rigidez en el sentido X y en el sentido Y de la estructura.

Para la obtención de estas matrices se procede a modelar cada pórtico por aparte en X y en Y con

el fin de sacar una matriz por cada uno y consecuentemente, ensamblarlas en una sola y definitiva.

MATRIZ SENTIDO X

A. Montaje de cada pórtico en el software de SAP2000 tomando como referencia el material

concreto de 3000 psi.

Pórtico AD

Figura 1. Secciones pórtico AD

Pórtico BC

Figura 2. Secciones pórtico BC

B. Se carga uno de los niveles del pórtico con una carga de rigidez de 1000 kN mientras que los

niveles no cargados se restringen con apoyos de segundo género

Figura 3. Esquema carga para determinación matrices de rigidez

C. Se selecciona el caso de carga rigidez para correr la simulación en SAP2000 y se mide el Δ

promedio del piso libre (promedio de los x nodos del piso desplazado) y se anotan las reacciones

en cada piso restringido en el sentido X o Y según corresponda, para efecto de las reacciones se

tomaran reacciones a la derecha positivas y reacciones a la derecha negativas.

Figura 4. Esquema de desplazamientos de simulación

Figura 5. Esquema de reacciones de la simulación

Se realiza este procedimiento para cada pórtico que compone la estructura en dirección x.

Pórtico AD

PISO 1 LIBRE

P 1000

Δ prom 0.002375

X2 -510,86

X3 2,76

PISO 2 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,003125

X1 -664,77

X3 -384,76

PISO 3 LIBRE

P 1000

Δ prom 0.002375

X1 -1036,77

X2 3,09

Tabla 1. Datos pórtico AD

Pórtico BC

PISO 1 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,003475

X2 -510,86

X3 0,8

PISO 2 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,004375

X1 -618,03

X3 -403,363

PISO 3 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,016

X1 -5,43

X2 -1032,13

Tabla 2. Datos pórtico BC

Luego se calculó la matriz de rigidez de la forma:

Dónde:

J es la rigidez del nivel j

Xi es la reacción del nivel i debido a la carga en el nivel j

P es la carga aplicada en el nivel j

Y se tiene la siguiente matriz de rigidez de cada pórtico

[

]

Y obtenemos las siguientes matrices de rigidez:

[

]

[

]

Ahora se suman dos veces cada matriz para obtener la matriz de rigidez en el sentido x, ya que hay

dos pórticos AD y dos pórticos BC

[

]

MATRIZ SENTIDO Y

Para la matriz en el sentido Y tomamos los siguientes pórticos:

Pórtico 1

Figura 6.Secciones pórtico 1

Pórtico 2

Figura 7. Secciones pórtico 2

Pórtico 3


Pórtico 4


Luego se sigue el mismo procedimiento que con X y se obtiene:

Pórtico 1

PISO 1 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,00325

X2 -561,42

X3 19,19

PISO 2 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,003675

X1 -616,11

X3 -415,59

PISO 3 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,01035

X1 60,06

X2 -1073,94 Tabla 3. Datos pórtico1

[

]

Pórtico 2

PISO 1 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,0022

X2 -558,93

X3 20,66

PISO 2 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,0026

X1 -637,19

X3 -393,52

PISO 3 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,00775

X1 75,15

X2 -1088,76

Tabla 4. Datos Pórtico 2

[

]

Pórtico 3

PISO 1 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,001975

X2 -559,61

X3 28,07

PISO 2 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,00235

X1 -647,39

X3 -398,39

PISO 3 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,0071

X1 110,68

X2 -1119,79

Tabla 5. Datos pórtico 3

[

]

Pórtico 4

PISO 1 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,00335

X2 -547,61

PISO 2 LIBRE

P 1000

Δ prom 0,00725

X1 -1086,99

Tabla 6. Datos pórtico 4

[

]

Ahora se suma una vez cada matriz de las anteriores (una por cada pórtico) y se obtiene la matriz

global de Rigidez de Y

[

]

Y también podemos obtener la matriz de masa sabiendo el peso por cada nivel y su área como

sigue:

[

]

Ya con esta matriz y las matrices de rigidez, podemos plantear la ecuación para la obtención de los

modos fundamentales de la estructura como:

[ ] [ ]

Resolviendo el sistema1, y obteniendo el determinante de esta matriz, podemos obtener los Wn2

para cada sentido, X y Y.

Wn en X

Wn1 23.07986135

Wn2 63.0222183

Wn3 91.54091981

Tabla 7. Wn para x

Wn en Y

Wn1 25,5917956

Wn2 66,2486981

Wn3 98,2311051

Tabla 8. Wn para y

Y con estos Wn podemos obtener la matriz de modos, tomando como el fundamental al que posee

la menor frecuencia y obtenemos:

Фx

2,77954903 -1,783138221 0,596873546

1,79912956 0,592025546 -0,940045346

1 1 1

1 Procedimiento disponible en el anexo 1

Tabla 9. Matriz de modos x

Фy

2,46996093 -2,022216431 0,710983535

1,76627948 0,487148192 -0,975692552

1 1 1

Tabla 10. Matriz de modo y

Para el cálculo de las fuerzas que nos pueden generar este desplazamiento, se procederán a

evaluar las fuerzas de rigidez de la estructura multiplicanda la matriz de rigidez en cada sentido

por el vector del modo fundamental de la estructura y obtenemos:

SENTIDO X

[

] [

] [

]

SENTIDO Y

[

] [

] [

]

2. CARGA SÚBITA SIN AMORTIGUAMIENTO2

Si el tercer nivel tiene una carga súbita de 100KN haga un análisis de los desplazamientos

en los tres niveles de la estructura sin amortiguación, teniendo en cuenta que los

desplazamientos y las velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el

sentido x y en el sentido y.

Al ser un sistema con una carga externa actuando en él, se tienen dos soluciones, una homogénea

y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función para el

desplazamiento de cada piso.

SENTIDO X

Para el sentido X obtenemos las siguientes expresiones:

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

SENTIDO Y

Para el sentido Y obtenemos las siguientes expresiones:

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )


Para comparar los anteriores resultados realizaremos un análisis de los desplazamientos máximos

realizando la gráfica correspondiente a cada movimiento.

Grafica 1. Carga súbita sin amortiguamiento en x

Grafica 2. Carga súbita sin amortiguamiento en y

Como se puede observar en las dos gráficas, vemos que el desplazamiento máximo del piso 3 en x

esta alrededor de 1.5 mm y el desplazamiento máximo del piso 3 en y está alrededor de 1.3 mm

En ambos casos podemos observar que los comportamientos presentan concordancia en sus

movimientos.

3. CARGA SÚBITA CON AMORTIGUAMIENTO3

Si el tercer nivel tiene una carga súbita de 100KN haga un análisis de los desplazamientos

en los tres niveles de las estructuras con amortiguación de 5%, teniendo en cuenta que los


sentido x y en sentido y.

Al ser un sistema con una carga externa actuando en él, se tienen dos soluciones, una homogénea

y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función para el

desplazamiento de cada piso. La estructura ahora posee un amortiguamiento de 5%.

SENTIDO X

Para el sentido X obtenemos las siguientes expresiones:

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) ) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) ) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) ) )

SENTIDO Y

Para el sentido Y obtenemos las siguientes expresiones:

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) ) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) ) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) )

(( ( ) ( )) ) )


Para comparar los anteriores resultados realizaremos un análisis de los desplazamientos máximos

realizando la gráfica correspondiente a cada movimiento.

Grafica 3. Carga súbita con amortiguamiento en x

Grafica 4. Carga súbita con amortiguamiento en y

Como se puede observar en las dos gráficas, vemos que el desplazamiento máximo del piso 3 en x

esta alrededor de 1.6 mm y el desplazamiento máximo del piso 3 en y está alrededor de 1.2 mm.

También se puede ver que la estructura en su último nivel, quedara desfasada de su posición

inicial con el tiempo cierta distancia, en el sentido X este desfase máximo será de 0.9 mm al igual

que en el eje Y.

En ambos casos podemos observar que los comportamientos presentan concordancia en sus

movimientos.

4. CARGA ARMÓNICA SINUSOIDAL SIN AMORTIGUAMIENTO4

Si el tercer nivel tiene una carga de 100Sen(Ωt)KN haga un análisis de los tres niveles de la

estructura sin amortiguación, teniendo en cuenta que los desplazamientos y las

velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el sentido x con Ω=Wn1,

Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.

Al ser un sistema con una carga externa armónica actuando en él, se tienen dos soluciones, una

homogénea y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función

para el desplazamiento de cada piso. La estructura no tiene amortiguamiento y se analizara

cambiando el valor de Ω.

Para el sistema en general se obtiene la siguiente expresión:

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Dónde:

( )

( )

( )

Y los factores B3 B2 y B1 se sacan del siguiente sistema:

[

] [ ] [

]

( )

( )

( )


PARA Ω = Wn1

Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a

continuación

Grafica 5. Carga sinusoidal sin amortiguamiento para Ω=Wn1

PARA Ω = Wn2


continuación


PARA Ω = Wn3


continuación


PARA Ω = 50 rad/seg


continuación

Grafica 8. Carga sinusoidal sin amortiguamiento para Ω=50rad/seg

Como se puede observar en las cuatro gráficas, tomando como referencia el t=1, el

desplazamiento máximo del piso 3 en Ω=Wn1 está alrededor de 10 mm, en Ω=Wn2 está alrededor

de 0.6 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.5 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de 0.8 mm.

Solo en el primer caso vemos la concordancia, en los otros casos vemos que no se da tan

claramente la concordancia sino que los efectos tienden a ser discordantes.

5. CARGA ARMÓNICA SINUSOIDAL CON AMORTIGUAMIENTO5

Si el tercer nivel tiene una carga de 100Sen(Ωt)KN haga un análisis de los desplazamientos

en los tres niveles de la estructura con amortiguación de 5%, teniendo en cuenta que los


sentido x con Ω=Wn1, Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.



para el desplazamiento de cada piso. La estructura tiene amortiguamiento y se analizara



(( ( ) ( )) ( ))

(( ( ) ( )) ( ))

( ( ) ( )) ( )

(( ( ) ( )) ( ))

(( ( ) ( )) ( ))

( ( ) ( )) ( )

(( ( ) ( )) ( ))

(( ( ) ( )) ( ))

( ( ) ( )) ( )

Dónde:

√( ) ( )

√( ) ( )

√( ) ( )

Y los factores A3 A2 y A1 se sacan del siguiente sistema:

[

] [ ] [

]


( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ))


[

] [ ] [

]

( ) ( ) (

)

( ) ( ) (

)

( ) ( ) ( )

PARA Ω = Wn1

Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación

Grafica 9. Carga sinusoidal con amortiguamiento para Ω=wn1

PARA Ω = Wn2



PARA Ω = Wn3





Grafica 12. Carga sinusoidal con amortiguamiento para Ω=50 rad/seg


desplazamiento máximo del piso 3 en Ω=Wn1 está alrededor de 1.2 mm, en Ω=Wn2 está

alrededor de 0.4 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.5 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de

2.5 mm. En cuanto al comportamiento de la estructura al infinito se estabiliza en valores cercanos

a 0.5 mm.

En todos los casos podemos ver la concordancia de los movimientos de los pisos.

6. CARGA ARMÓNICA COSENOIDAL SIN AMORTIGUAMIENTO6

Si el tercer nivel tiene una carga de 100Cos(Ωt)KN haga un análisis de los tres niveles de la

estructura sin amortiguación, teniendo en cuenta que los desplazamientos y las

velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el sentido x con Ω=Wn1,

Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.



para el desplazamiento de cada piso. La estructura no tiene amortiguamiento y se analizara



( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Dónde:

( )

( )

( )


[

] [ ] [

]

( )

( )


( )

PARA Ω = Wn1


continuación

Grafica 13. Carga cosenoidal sin amortiguamiento para Ω=wn1

PARA Ω = Wn2


continuación


PARA Ω = Wn3


continuación




continuación

Grafica 16. Carga cosenoidal sin amortiguamiento para Ω=50 rad/seg

Como se puede observar en las cuatro gráficas, tomando como referencia el t = 1, el


de 4 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.5 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de 0.7 mm.

Solo en el primer caso vemos la concordancia producida por el modo fundamental, en los otros

casos vemos que no se da tan claramente la concordancia sino que los efectos tienden a ser

discordantes.

7. CARGA ARMÓNICA COSENOIDAL CON AMORTIGUAMIENTO7

Si el tercer nivel tiene una carga de 100Cos(Ωt)KN haga un análisis de los desplazamientos

en los tres niveles de la estructura con amortiguación de 5%, teniendo en cuenta que los


sentido x con Ω=Wn1, Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.



para el desplazamiento de cada piso. La estructura tiene amortiguamiento y se analizara



(( ( ) ( )) ( ))

(( ( ) ( )) ( ))

( ( ) ( )) ( )

(( ( ) ( )) ( ))

(( ( ) ( )) ( ))

( ( ) ( )) ( )

(( ( ) ( )) ( ))

(( ( ) ( )) ( ))

( ( ) ( )) ( )

Dónde:

√( ) ( )

√( ) ( )

√( ) ( )


[

] [ ] [

]


( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ))


[

] [ ] [

]

( ) ( ) (

)

( ) ( ) (

)

( ) ( ) ( )

PARA Ω = Wn1


Grafica 17. Carga cosenoidal con amortiguamiento para Ω=wn1

PARA Ω = Wn2



PARA Ω = Wn3





Grafica 20. Carga cosenoidal con amortiguamiento para Ω=50 rad/seg



de 0.48 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.21 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de 0.29

mm.

8. COMPARACIÓN DE LOS CASOS DE CARGA DINÁMICA

¿Qué diferencias hay en el comportamiento de la estructura?

El comportamiento más extremo viene dado por aquellos en los que se cumple que Ω=Wn1 y se

dan en el caso de las estructuras que no poseen amortiguación, como el caso 4 y 5 de carga.

En algunos casos, como el caso 5 cuando Ω=Wn3 vemos que no siempre el peor efecto en la

estructura viene dado por el modo fundamental, ya que es más dañino para la estructura la

cantidad de oscilaciones debidas al Wn3 que las debidas al Wn1, esto por su periodo de oscilación

en la estructura.

b. ¿La amortiguación que contribución hace en el comportamiento de la estructura para

los casos analizados?

La amortiguación es la encargada de la reducción rápida de las oscilaciones, es un factor

determinante en estas ya que el incremento o decremento de las oscilaciones viene dado por la

parte exponencial de la ecuación y a medida que el ξ aumente, el decremento de la gráfica será

más fuerte, y si el ξ disminuye ocurre lo contrario.

c. ¿Cuál es la contribución de cada modo de vibración en cada caso?

El modo de vibración va a ser vital en cada caso para para determinar la magnitud de los

desplazamientos que ocurren en cada nivel de la estructura, de manera que los desplazamientos

van a ser mayores o menores dependiendo del modo de vibración predominante, siendo más

críticos los desplazamientos asociados al modo de vibración fundamental de la estructura.

Los modos de vibración también nos indican en qué dirección ocurren los desplazamientos, siendo

de mayor interés para nosotros, la dirección en la ocurren los desplazamientos máximos. Cada

modo vibración implica una forma diferente en que la estructura va a vibrar, resultando ser más

importante para nuestro análisis la forma relacionada con el modo fundamental de vibración.

d. ¿Cómo acoplaría el análisis dinámico en las dos direcciones de la estructura para

estudiar el efecto más crítico?

I) Se podría acoplar el análisis desde un principio planteando matrices de masa y de rigidez

similares a las del análisis matricial de estructural que nos permitan incluir los dos de libertad de la

estructura y de esta forma pasar de resolver un sistema

( )

A un sistema

( )

Y a partir de este, comenzar a desarrollar las ecuaciones para sistemas de cada tipo y de esta

forma sacar expresiones de desplazamiento para X y Y en un solo proceso.

II) Graficaría la respuesta dinámica en X y en Y del edificio en un mismo plano coordenado para así

tomar la envolvente de estos desplazamientos y tomar esta como el comportamiento más crítico

de la estructura para poder luego, proceder al diseño de la estructura en sí.

III) Tomaría las respuestas en X y en Y, las combinaría de tal forma de obtener el valor y la

dirección del desplazamiento de cada respectivo grado de libertad y luego buscaría la forma de

llevarlos todos a un mismo plano por medio de matrices, para así poder analizarlos a todos en una

magnitud equivalente para todos y poder dar una respuesta general del sistema.

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