informatyka mÓj sposÓb na poznanie i opisanie...
TRANSCRIPT
Moduł interdyscyplinarny informatyka ndash matematyka
Ciągi liczbowe i ich własności
Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska
INFORMATYKAndash MOacuteJ SPOSOacuteB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA
PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTOacuteW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
Tytuł Ciągi liczbowe i ich własności
Autor Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska
Redaktor merytoryczny prof dr hab Maciej M Sysło
Materiał dydaktyczny opracowany w ramach projektu edukacyjnego Informatyka ndash moacutej sposoacuteb na poznanie i opisanie świata
Program nauczania informatyki z elementami przedmiotoacutew matematyczno-przyrodniczych
wwwinfo-pluswwsiedupl
infopluswwsiedupl
Wydawca Warszawska Wyższa Szkoła Informatykiul Lewartowskiego 17 00-169 Warszawa
wwwwwsieduplrektoratwwsiedupl
Projekt graficzny Marzena Kamasa
Warszawa 2013Copyright copy Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki 2013
Publikacja nie jest przeznaczona do sprzedaży
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
SCENARIUSZ TEMAT YCZNY
CIągI lICZbowE I ICh włASNośCI
MATEMATYKA ndash poZIoM podSTAwowY
OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU
INFORMATYKA ndash MOacuteJ SPOSOacuteB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATAPROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI
Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTOacuteW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Streszczenie
Moduł ten dotyczy nauczania o ciągach przy użyciu programoacutew komputerowych Excel i GeoGebra Umożliwiają one wizualizację ciągu sposoboacutew jego opisywania i prezentacji graficznej Dzięki interaktywnym apletom GeoGebry uczeń może samodzielnie poznawać nietypowe ciągi i rozwiązywać nietypowe zadania uczące logicznego myślenia i deduko-wania co jest pewną formą uzupełnienia jego szkolnej edukacji
Scenariusz zawiera opis merytoryczny i dydaktyczny kilku lekcji poświęconych ciągom po-znawanym przez ucznioacutew szkoacuteł ponadgimnazjalnych
Czas realizacji
10 x 45 minut + test
Tematy lekcji
1 Definicja ciągu liczbowego
2 Sposoby określania ciągoacutew liczbowych
3 Sposoby prezentacji ciągoacutew liczbowych
4 Monotoniczność ciągoacutew liczbowych
5 Prezentacja ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym Excel
6 Wykresy ciągoacutew w arkuszu Excel
7 Badanie ciągoacutew w programie GeoGebra
8 Ciąg arytmetyczny
9 Ciąg geometryczny
10 Ciągi i średnie statystyczne
4
LEKCJA NR 1TEMAT DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO
StreszczenieNa początku lekcji pojawia się definicja ciągu jako funkcji określonej na zbiorze liczb naturalnych i wyja-śnianie tego pojęcia na przykładach W celu przybliżenia uczniom tego terminu posługujemy się grafem Venna funkcji liczbowej (jest on wprowadzony w postaci zbioru dziedziny i zbioru przeciwdziedziny) Są tu roacutewnież przykłady wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Pojęcie ciągu liczbowego wyraz ciągu i zapis wzoru ciągu umiejętność wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego określonego wzorem ogoacutelnym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y poznawanie nowego pojęcia matematyki na bazie znanych pojęć z algebry
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnego studiowania matematyki
y wizualizacja ciągoacutew przy użyciu programu GeoGebra
y wizualizacja pojęć abstrakcyjnych np wyjaśnienie symboliki wprowadzonej dla dowolnego k-tego wyrazu ciągu i jego zapis
CelW nawiązaniu do pojęcia funkcji uczniowie poznają przez analogię definicje związane z ciągiem
Słowa kluczowedziedzina ciągu wyraz ciągu wzoacuter ciągu
5
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 4-13) wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Agif 01Bgif 02Agif 02Bgif
Pliki GeoGebry 01Aggb 01Bggb 02Aggb 02Bggb
Uwaga
Aby uczeń moacutegł pracować z plikami GeoGebry powinien pobrać ten program z Interentu np ze strony httpwwwgeogebraorgcmspldownload i zainstalowac go na swoim komputerze
6
LEKCJA NR 2TEMAT SPOSOBY OKREŚLANIA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePoza popularną metodą stosowania wzoroacutew funkcyjnych ciągu uczniowie poznają inne nietypowe spo-sobny określania ciągoacutew w tym
y opis słowny ciągu liczbowego
y wzoacuter algebraiczny
y wzoacuter rekurencyjny
Ukazana jest możliwość uzyskania ze wzoru rekurencyjnego wzoru algebraicznego
Przy okazji opisu słownego pojawia się ciąg znany w matematyce jako ciąg Collatza ktoacuterego własność jest do dziś nie zbadana i nie udowodniona
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Wykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych jako wykres funkcji
43 Tworzenie grafiki w programie komputerowym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y Poznawanie
ndash ciągoacutew ktoacuterych nie da się opisać wzorem algebraicznym
ndash metod przechodzenia ze wzoru rekurencyjnego do wzoru algebraicznego
ndash przykładu ciągu ktoacuterego nie da się opisać wzorem rekurencyjnym
y Zainteresowanie ucznioacutew matematyką poprzez pokazanie problemu nierozstrzygniętego przez ma-tematykoacutew za rozwiązanie ktoacuterego wyznaczona jest wysoka nagroda
Słowa kluczowewykres ciągu graficzna prezentacja ciągu
7
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 06Agif 06Bgif
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
Tytuł Ciągi liczbowe i ich własności
Autor Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska
Redaktor merytoryczny prof dr hab Maciej M Sysło
Materiał dydaktyczny opracowany w ramach projektu edukacyjnego Informatyka ndash moacutej sposoacuteb na poznanie i opisanie świata
Program nauczania informatyki z elementami przedmiotoacutew matematyczno-przyrodniczych
wwwinfo-pluswwsiedupl
infopluswwsiedupl
Wydawca Warszawska Wyższa Szkoła Informatykiul Lewartowskiego 17 00-169 Warszawa
wwwwwsieduplrektoratwwsiedupl
Projekt graficzny Marzena Kamasa
Warszawa 2013Copyright copy Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki 2013
Publikacja nie jest przeznaczona do sprzedaży
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
SCENARIUSZ TEMAT YCZNY
CIągI lICZbowE I ICh włASNośCI
MATEMATYKA ndash poZIoM podSTAwowY
OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU
INFORMATYKA ndash MOacuteJ SPOSOacuteB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATAPROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI
Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTOacuteW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Streszczenie
Moduł ten dotyczy nauczania o ciągach przy użyciu programoacutew komputerowych Excel i GeoGebra Umożliwiają one wizualizację ciągu sposoboacutew jego opisywania i prezentacji graficznej Dzięki interaktywnym apletom GeoGebry uczeń może samodzielnie poznawać nietypowe ciągi i rozwiązywać nietypowe zadania uczące logicznego myślenia i deduko-wania co jest pewną formą uzupełnienia jego szkolnej edukacji
Scenariusz zawiera opis merytoryczny i dydaktyczny kilku lekcji poświęconych ciągom po-znawanym przez ucznioacutew szkoacuteł ponadgimnazjalnych
Czas realizacji
10 x 45 minut + test
Tematy lekcji
1 Definicja ciągu liczbowego
2 Sposoby określania ciągoacutew liczbowych
3 Sposoby prezentacji ciągoacutew liczbowych
4 Monotoniczność ciągoacutew liczbowych
5 Prezentacja ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym Excel
6 Wykresy ciągoacutew w arkuszu Excel
7 Badanie ciągoacutew w programie GeoGebra
8 Ciąg arytmetyczny
9 Ciąg geometryczny
10 Ciągi i średnie statystyczne
4
LEKCJA NR 1TEMAT DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO
StreszczenieNa początku lekcji pojawia się definicja ciągu jako funkcji określonej na zbiorze liczb naturalnych i wyja-śnianie tego pojęcia na przykładach W celu przybliżenia uczniom tego terminu posługujemy się grafem Venna funkcji liczbowej (jest on wprowadzony w postaci zbioru dziedziny i zbioru przeciwdziedziny) Są tu roacutewnież przykłady wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Pojęcie ciągu liczbowego wyraz ciągu i zapis wzoru ciągu umiejętność wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego określonego wzorem ogoacutelnym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y poznawanie nowego pojęcia matematyki na bazie znanych pojęć z algebry
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnego studiowania matematyki
y wizualizacja ciągoacutew przy użyciu programu GeoGebra
y wizualizacja pojęć abstrakcyjnych np wyjaśnienie symboliki wprowadzonej dla dowolnego k-tego wyrazu ciągu i jego zapis
CelW nawiązaniu do pojęcia funkcji uczniowie poznają przez analogię definicje związane z ciągiem
Słowa kluczowedziedzina ciągu wyraz ciągu wzoacuter ciągu
5
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 4-13) wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Agif 01Bgif 02Agif 02Bgif
Pliki GeoGebry 01Aggb 01Bggb 02Aggb 02Bggb
Uwaga
Aby uczeń moacutegł pracować z plikami GeoGebry powinien pobrać ten program z Interentu np ze strony httpwwwgeogebraorgcmspldownload i zainstalowac go na swoim komputerze
6
LEKCJA NR 2TEMAT SPOSOBY OKREŚLANIA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePoza popularną metodą stosowania wzoroacutew funkcyjnych ciągu uczniowie poznają inne nietypowe spo-sobny określania ciągoacutew w tym
y opis słowny ciągu liczbowego
y wzoacuter algebraiczny
y wzoacuter rekurencyjny
Ukazana jest możliwość uzyskania ze wzoru rekurencyjnego wzoru algebraicznego
Przy okazji opisu słownego pojawia się ciąg znany w matematyce jako ciąg Collatza ktoacuterego własność jest do dziś nie zbadana i nie udowodniona
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Wykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych jako wykres funkcji
43 Tworzenie grafiki w programie komputerowym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y Poznawanie
ndash ciągoacutew ktoacuterych nie da się opisać wzorem algebraicznym
ndash metod przechodzenia ze wzoru rekurencyjnego do wzoru algebraicznego
ndash przykładu ciągu ktoacuterego nie da się opisać wzorem rekurencyjnym
y Zainteresowanie ucznioacutew matematyką poprzez pokazanie problemu nierozstrzygniętego przez ma-tematykoacutew za rozwiązanie ktoacuterego wyznaczona jest wysoka nagroda
Słowa kluczowewykres ciągu graficzna prezentacja ciągu
7
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 06Agif 06Bgif
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
SCENARIUSZ TEMAT YCZNY
CIągI lICZbowE I ICh włASNośCI
MATEMATYKA ndash poZIoM podSTAwowY
OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU
INFORMATYKA ndash MOacuteJ SPOSOacuteB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATAPROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI
Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTOacuteW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Streszczenie
Moduł ten dotyczy nauczania o ciągach przy użyciu programoacutew komputerowych Excel i GeoGebra Umożliwiają one wizualizację ciągu sposoboacutew jego opisywania i prezentacji graficznej Dzięki interaktywnym apletom GeoGebry uczeń może samodzielnie poznawać nietypowe ciągi i rozwiązywać nietypowe zadania uczące logicznego myślenia i deduko-wania co jest pewną formą uzupełnienia jego szkolnej edukacji
Scenariusz zawiera opis merytoryczny i dydaktyczny kilku lekcji poświęconych ciągom po-znawanym przez ucznioacutew szkoacuteł ponadgimnazjalnych
Czas realizacji
10 x 45 minut + test
Tematy lekcji
1 Definicja ciągu liczbowego
2 Sposoby określania ciągoacutew liczbowych
3 Sposoby prezentacji ciągoacutew liczbowych
4 Monotoniczność ciągoacutew liczbowych
5 Prezentacja ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym Excel
6 Wykresy ciągoacutew w arkuszu Excel
7 Badanie ciągoacutew w programie GeoGebra
8 Ciąg arytmetyczny
9 Ciąg geometryczny
10 Ciągi i średnie statystyczne
4
LEKCJA NR 1TEMAT DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO
StreszczenieNa początku lekcji pojawia się definicja ciągu jako funkcji określonej na zbiorze liczb naturalnych i wyja-śnianie tego pojęcia na przykładach W celu przybliżenia uczniom tego terminu posługujemy się grafem Venna funkcji liczbowej (jest on wprowadzony w postaci zbioru dziedziny i zbioru przeciwdziedziny) Są tu roacutewnież przykłady wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Pojęcie ciągu liczbowego wyraz ciągu i zapis wzoru ciągu umiejętność wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego określonego wzorem ogoacutelnym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y poznawanie nowego pojęcia matematyki na bazie znanych pojęć z algebry
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnego studiowania matematyki
y wizualizacja ciągoacutew przy użyciu programu GeoGebra
y wizualizacja pojęć abstrakcyjnych np wyjaśnienie symboliki wprowadzonej dla dowolnego k-tego wyrazu ciągu i jego zapis
CelW nawiązaniu do pojęcia funkcji uczniowie poznają przez analogię definicje związane z ciągiem
Słowa kluczowedziedzina ciągu wyraz ciągu wzoacuter ciągu
5
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 4-13) wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Agif 01Bgif 02Agif 02Bgif
Pliki GeoGebry 01Aggb 01Bggb 02Aggb 02Bggb
Uwaga
Aby uczeń moacutegł pracować z plikami GeoGebry powinien pobrać ten program z Interentu np ze strony httpwwwgeogebraorgcmspldownload i zainstalowac go na swoim komputerze
6
LEKCJA NR 2TEMAT SPOSOBY OKREŚLANIA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePoza popularną metodą stosowania wzoroacutew funkcyjnych ciągu uczniowie poznają inne nietypowe spo-sobny określania ciągoacutew w tym
y opis słowny ciągu liczbowego
y wzoacuter algebraiczny
y wzoacuter rekurencyjny
Ukazana jest możliwość uzyskania ze wzoru rekurencyjnego wzoru algebraicznego
Przy okazji opisu słownego pojawia się ciąg znany w matematyce jako ciąg Collatza ktoacuterego własność jest do dziś nie zbadana i nie udowodniona
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Wykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych jako wykres funkcji
43 Tworzenie grafiki w programie komputerowym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y Poznawanie
ndash ciągoacutew ktoacuterych nie da się opisać wzorem algebraicznym
ndash metod przechodzenia ze wzoru rekurencyjnego do wzoru algebraicznego
ndash przykładu ciągu ktoacuterego nie da się opisać wzorem rekurencyjnym
y Zainteresowanie ucznioacutew matematyką poprzez pokazanie problemu nierozstrzygniętego przez ma-tematykoacutew za rozwiązanie ktoacuterego wyznaczona jest wysoka nagroda
Słowa kluczowewykres ciągu graficzna prezentacja ciągu
7
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 06Agif 06Bgif
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4
LEKCJA NR 1TEMAT DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO
StreszczenieNa początku lekcji pojawia się definicja ciągu jako funkcji określonej na zbiorze liczb naturalnych i wyja-śnianie tego pojęcia na przykładach W celu przybliżenia uczniom tego terminu posługujemy się grafem Venna funkcji liczbowej (jest on wprowadzony w postaci zbioru dziedziny i zbioru przeciwdziedziny) Są tu roacutewnież przykłady wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Pojęcie ciągu liczbowego wyraz ciągu i zapis wzoru ciągu umiejętność wyznaczania dowolnego wyrazu ciągu liczbowego określonego wzorem ogoacutelnym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y poznawanie nowego pojęcia matematyki na bazie znanych pojęć z algebry
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnego studiowania matematyki
y wizualizacja ciągoacutew przy użyciu programu GeoGebra
y wizualizacja pojęć abstrakcyjnych np wyjaśnienie symboliki wprowadzonej dla dowolnego k-tego wyrazu ciągu i jego zapis
CelW nawiązaniu do pojęcia funkcji uczniowie poznają przez analogię definicje związane z ciągiem
Słowa kluczowedziedzina ciągu wyraz ciągu wzoacuter ciągu
5
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 4-13) wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Agif 01Bgif 02Agif 02Bgif
Pliki GeoGebry 01Aggb 01Bggb 02Aggb 02Bggb
Uwaga
Aby uczeń moacutegł pracować z plikami GeoGebry powinien pobrać ten program z Interentu np ze strony httpwwwgeogebraorgcmspldownload i zainstalowac go na swoim komputerze
6
LEKCJA NR 2TEMAT SPOSOBY OKREŚLANIA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePoza popularną metodą stosowania wzoroacutew funkcyjnych ciągu uczniowie poznają inne nietypowe spo-sobny określania ciągoacutew w tym
y opis słowny ciągu liczbowego
y wzoacuter algebraiczny
y wzoacuter rekurencyjny
Ukazana jest możliwość uzyskania ze wzoru rekurencyjnego wzoru algebraicznego
Przy okazji opisu słownego pojawia się ciąg znany w matematyce jako ciąg Collatza ktoacuterego własność jest do dziś nie zbadana i nie udowodniona
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Wykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych jako wykres funkcji
43 Tworzenie grafiki w programie komputerowym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y Poznawanie
ndash ciągoacutew ktoacuterych nie da się opisać wzorem algebraicznym
ndash metod przechodzenia ze wzoru rekurencyjnego do wzoru algebraicznego
ndash przykładu ciągu ktoacuterego nie da się opisać wzorem rekurencyjnym
y Zainteresowanie ucznioacutew matematyką poprzez pokazanie problemu nierozstrzygniętego przez ma-tematykoacutew za rozwiązanie ktoacuterego wyznaczona jest wysoka nagroda
Słowa kluczowewykres ciągu graficzna prezentacja ciągu
7
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 06Agif 06Bgif
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 4-13) wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Agif 01Bgif 02Agif 02Bgif
Pliki GeoGebry 01Aggb 01Bggb 02Aggb 02Bggb
Uwaga
Aby uczeń moacutegł pracować z plikami GeoGebry powinien pobrać ten program z Interentu np ze strony httpwwwgeogebraorgcmspldownload i zainstalowac go na swoim komputerze
6
LEKCJA NR 2TEMAT SPOSOBY OKREŚLANIA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePoza popularną metodą stosowania wzoroacutew funkcyjnych ciągu uczniowie poznają inne nietypowe spo-sobny określania ciągoacutew w tym
y opis słowny ciągu liczbowego
y wzoacuter algebraiczny
y wzoacuter rekurencyjny
Ukazana jest możliwość uzyskania ze wzoru rekurencyjnego wzoru algebraicznego
Przy okazji opisu słownego pojawia się ciąg znany w matematyce jako ciąg Collatza ktoacuterego własność jest do dziś nie zbadana i nie udowodniona
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Wykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych jako wykres funkcji
43 Tworzenie grafiki w programie komputerowym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y Poznawanie
ndash ciągoacutew ktoacuterych nie da się opisać wzorem algebraicznym
ndash metod przechodzenia ze wzoru rekurencyjnego do wzoru algebraicznego
ndash przykładu ciągu ktoacuterego nie da się opisać wzorem rekurencyjnym
y Zainteresowanie ucznioacutew matematyką poprzez pokazanie problemu nierozstrzygniętego przez ma-tematykoacutew za rozwiązanie ktoacuterego wyznaczona jest wysoka nagroda
Słowa kluczowewykres ciągu graficzna prezentacja ciągu
7
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 06Agif 06Bgif
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
6
LEKCJA NR 2TEMAT SPOSOBY OKREŚLANIA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePoza popularną metodą stosowania wzoroacutew funkcyjnych ciągu uczniowie poznają inne nietypowe spo-sobny określania ciągoacutew w tym
y opis słowny ciągu liczbowego
y wzoacuter algebraiczny
y wzoacuter rekurencyjny
Ukazana jest możliwość uzyskania ze wzoru rekurencyjnego wzoru algebraicznego
Przy okazji opisu słownego pojawia się ciąg znany w matematyce jako ciąg Collatza ktoacuterego własność jest do dziś nie zbadana i nie udowodniona
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Wykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych jako wykres funkcji
43 Tworzenie grafiki w programie komputerowym
Cele kształcenia ndash poznawcze
y Poznawanie
ndash ciągoacutew ktoacuterych nie da się opisać wzorem algebraicznym
ndash metod przechodzenia ze wzoru rekurencyjnego do wzoru algebraicznego
ndash przykładu ciągu ktoacuterego nie da się opisać wzorem rekurencyjnym
y Zainteresowanie ucznioacutew matematyką poprzez pokazanie problemu nierozstrzygniętego przez ma-tematykoacutew za rozwiązanie ktoacuterego wyznaczona jest wysoka nagroda
Słowa kluczowewykres ciągu graficzna prezentacja ciągu
7
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 06Agif 06Bgif
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
7
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 14-17) wzbogacona przykładami ilustrującymi roacuteżne sposoby uzyskiwania ciągu i odczytywanie tymi sposobami wartości wyrazoacutew ciągu W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 06Agif 06Bgif
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
8
LEKCJA NR 3TEMAT METODY PREZENTACJI CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych jako bardziej przejrzysta niż prezentacja algebraiczna nawiązuje do tradycyjnych wykresoacutew funkcji Uczeń kojarzy dziedzinę ciągu z wykresem punktowym określonym dla argumentoacutew będących zbiorem liczb naturalnych Dostrzega roacutewnież własności ciągoacutew ktoacuterych nie widział dotychczas posługując się wzorami ciągoacutew Jest to przygotowanie do badania monotoniczności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Prezentowanie ciągoacutew liczbowych przez wypisywanie ich wyrazoacutew wykresy graficzne i wykres na osi liczbowej jako punkty ktoacuterych odcięte są wartościami ciągu
Cele kształcenia ndash poznawcze
y nabycie umiejętności tworzenia wykresoacutew funkcji
y poznanie prezentacji ciągu na osi liczbowej ktoacutera nie ma odpowiednika w kreśleniu wykresoacutew funkcji
y zwroacutecenie uwagi na odczytywanie własności ciągu na podstawie jego wykresu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wykres ciągu liczbowego wyrazu ciągu liczbowego własności ciągoacutew
Słowa kluczowewykres ciągu w układzie wspoacutełrzędnych wykres ciągu na osi liczbowej
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 28-35) wzbogacona przykładami ilustrującymi prezentowanie ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu na osi liczbowej OY lub jako od-cięte punktoacutew na osi OX W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 02Cgif 02Dgif
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
10
LEKCJA NR 4TEMAT MONOTONICZNOŚĆ CIĄGOacuteW LICZBOWYCH
StreszczeniePrezentacja graficzna ciągoacutew liczbowych pozwala dostrzec monotoniczność ciągu i określenie warunku wzrastania i malenia ciągu liczbowego Uczeń poznaje po wykresie czy dany ciąg jest monotoniczny Jest roacutewnież przykład sprawdzania rachunkowego czy ciąg jest rosnący
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Wzrastanie i malenie ciągu
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
y odkrycie wzrastania i malenia ciągu na podstawie jego wykresu
y odnalezienie warunku algebraicznego na monotoniczność ciągu
y poznanie metody rachunkowej badania monotoniczności ciągu
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
Wzrastanie malenie monotoniczności ciągu liczbowego ciąg stały
Słowa kluczowewzrastanie malenie monotoniczności ciągu i ciąg stały
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 36-46 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
y Prezentacja odwołuje się do plikoacutew
Gify animowane 01Cgif 04Agif 04Cgif 03Agif 03Bgif 05Agif 05Bgif
Filmy 1 ndash monot 01avi 2 ndash monot 02avi
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
11
LEKCJA NR 5TEMAT PREZENTACJA CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W ARKUSZU EXCEL
StreszczenieNiniejszy temat lekcji daje możliwość wykorzystania wiedzy z informatyki i przypomnienia sobie w jaki sposoacuteb umieszcza się ciągi liczbowe w arkuszu Excel Wykorzystując arkusz mogą odkryć ważną wła-sność ciągu Fibonacciego mianowicie zauważają że stosunek dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego zbliża się do pewnej stałej liczby ktoacuterej przybliżenie wzrasta w miarę wzrastania liczby n Jest tu okazja by wspomnieć o złotej liczbie ktoacutera nie tylko w matematyce ale w wielu innych dziedzinach życia odgrywa ważną rolę Ponadto uczniowie odkrywają że własność ciągu Fibonacciego można uogoacutelnić na wszystkie inne ciągi ktoacuterych wyrazy tworzymy jako sumę dwoacutech poprzednich wyrazoacutew ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego)
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
II Wyszukiwanie gromadzenie i przetwarzanie informacji z roacuteżnych źroacutedeł opracowywanie za pomocą komputera rysunkoacutew tekstoacutew danych liczbowych motywoacutew animacji prezentacji multimedialnych
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
52 Ciągi liczbowe i ich granice
Przykład ciągu Fibonacciego jako ciągu o interesujących własnościach geometrycznych
Cele kształcenia ndash poznawcze
y powiązanie znajomości narzędzia GeoGebra z problemami matematyki
y przypomnienie arkusza Excel by go zastosować do badania ciągoacutew
y odkrycie własności ciągu Fibonacciego
y poznanie funkcji Excela Zaokrdocałk lub funkcji MOD
y ukazanie jak można uogoacutelnić ciąg Fibonacciego na dowolny ciąg do niego podobny i sprawdzenie czy nadal spełnia te same własności
y nawiązanie intuicyjne do pojęcia granicy
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności ciągoacutew na ekranie komputera
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 47-61 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezentacji zamieszczone są ko-lejne kroki lekcji
y Do prezentacji należy się zapoznać z plikami GeoGebry ktoacuterych opis znajduje się w pliku pre-zentacji
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13
LEKCJA NR 6TEMAT BADANIE CIĄGOacuteW W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczeniePo poznaniu prezentacji ciągoacutew w arkuszu kalkulacyjnym przychodzi kolej na prezentację graficzną ciągu liczbowego Ciąg liczbowy jako specyficzna funkcja powinna być w arkuszu prezentowana jako wykres XY W pierwszej części lekcji uczniowie przypominają sobie metodę wykreślania wykresu funkcji w arku-szu Utrwalają sobie przy tym sposoacuteb formatowania wykresoacutew ustalają zakresy dziedziny i zbioacuter warto-ści opisują osie itp
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Modelowanie matematyczne
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
51 Ciągi liczbowe i ich prezentacja komputerowa
Korelacja z informatyką poprzez kreowanie wykresoacutew ciągoacutew na komputerze
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie jak narzędzie informatyczne może być wykorzystane na lekcjach matematyki
y nabycie umiejętności edytowania wykresoacutew i dostosowania arkusza do rozmaitych nietypowych ciągoacutew
y poznanie sposoboacutew tworzenia wykresoacutew ciągoacutew w arkuszu Excel
Słowa kluczowewykres ciągu w arkuszu Excel odczytywanie własności w arkuszu
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo slajdy 62-69 wzbogacona przykładami ilustrującymi definicję ciągu i odczytywanie wyrazoacutew ciągu według zadanego wzoru W prezen-tacji zamieszczone są kolejne kroki lekcji
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
LEKCJA NR 7TEMAT WYKRESY CIĄGOacuteW LICZBOWYCH W PROGRAMIE GEOGEBRA
StreszczenieW tej lekcji uczniowie mają okazję skonfrontować ze sobą dwie metody prezentacji ciągoacutew w arkuszu Ex-cel i w programie GeoGebra Poznają przy tym zupełnie inny sposoacuteb prezentacji ciągu poprzez przygo-towanie całej aplikacji w programie GeoGebra Program ten ze względu na ogoacutelną dostępność (jest to program Open Source) pozwala kontynuować lekcję w domu na swoim komputerze gdzie uczeń może sprawdzić przykłady z lekcji i rozwiązywać samodzielnie zadania
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy i rozszerzony)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
51 Badanie własności ciągoacutew przy wykorzystaniu programu GeoGebra
Cele kształcenia ndash poznawcze
y ukazanie możliwości programu GeoGebra w wyszukiwaniu liczb trzycyfrowych spełniających pewną własność
y przygotowanie ucznioacutew do samodzielnych badań szczegoacutelnych ciągoacutew za pomocą GeoGebry
y zapoznanie ucznioacutew z funkcjami niezbędnymi do odkrywania i badania teorii liczb
Słowa kluczoweGeoGebra ciąg sum sześcianoacutew cyfr liczby trzycyfrowej ciąg Collatza
Co przygotować Przebieg zajęć
y Na początku lekcji uczniowie powinni obejrzeć film instruktażowy o wykorzystaniu programu GeoGebra do prezentowania ciągoacutew liczbowych w układzie wspoacutełrzędnych
y Następnie realizujemy kolejne kroki prezentacji bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 70-77) opisującej spo-soacuteb wykorzystania programu GeoGebra do badania ciekawych ciągoacutew liczbowych
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 09gif
Filmy ndash tutoriale 3 ndash 01avi 4 ndash 02avi 5 ndash 03avi
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
LEKCJA NR 8TEMAT CIĄG ARYTMETYCZNY
StreszczenieLekcja rozpoczyna się od znanych z poprzednich lekcji przykładoacutew wybranych ciągoacutew Następnie okre-ślany jest ciąg arytmetyczny jako ciąg o specyficznych własnościach Kolejnym etapem zajęć jest doprowa-dzenie ucznioacutew do odkrycia wzoru na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego a następnie zdefiniowania warunkoacutew wzrastania i malenia ciągu arytmetycznego Lekcję kończy wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego wraz z akcentem historycznym związanym z tym wzorem
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
IV Użycie i tworzenie strategii
V Rozumowanie i argumentacja
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
52 53 ndash ciąg arytmetyczny jego n-ty wyraz i suma jego kolejnych wyrazoacutew i inne jego własności
Cele kształcenia ndash poznawcze
y odkrycie własności ciągu arytmetycznego i wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n-kolejnych wyra-zoacutew tego ciągu
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania zadań typowych na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry poprzez wizualizację geometryczną twierdzeń
Słowa kluczoweciąg arytmetyczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 78-87)
Należy zwroacutecić uwagę na animacje mające na celu odkrycie przez ucznioacutew ważnych wzoroacutew Na-leży utrwalić poznane pojęcia i wzory uzupełniając lekcję tradycyjnymi zadaniami
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 06Cgif 10Agif 10Bgif
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
LEKCJA NR 9TEMAT CIĄG GEOMETRYCZNY
StreszczenieCiąg geometryczny jest pewną analogią ciągu arytmetycznego Na przykład wzoacuter na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest analogią tego samego wzoru dla ciągu arytmetycznego w ktoacuterym dodawanie jest zastąpione mnożeniem a mnożenie potęgowaniem Lekcja zawiera roacutewnież akcenty wizualizacji jednego z twierdzeń (n-ty wyraz ciągu geometrycznego) oraz przykłady umożliwiające uczniowi odkryć warunki wzrastania i malenia ciągu geometrycznego
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi
54 ciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie na bazie obiektoacutew geometrycznych i graficznych jak można odkrywać własności ciągu geometrycznego
y przygotowanie ucznioacutew do rozwiązywania typowych zadań na egzaminie dojrzałości
y ukazanie geometrycznego spojrzenia na problemy algebry
y odkrywanie poprzez eksperymenty warunkoacutew monotoniczności ciągu geometrycznego
Słowa kluczoweciąg geometryczny wzoacuter na dowolny wyraz ciągu geometrycznego i wzoacuter na sumę n kolejnych wyrazoacutew ciągu arytmetycznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 88-104) ilustruje animacjami wpływ wartości a1 i q na rodzaje
monotoniczności ciągu geometrycznego Lekcję należy uzupełnić zadaniami rachunkowymi z wykorzystaniem wzoroacutew na n-ty wyraz ciągu i sumę n pierwszych kolejnych wyrazoacutew ciągu
y Do prezentacji dołączone są pliki
Gify animowane 07Agif 07Bgif 11Agif 11Bgif 11Cgif 11Dgif 11Egif 11Fgif 11Ggif
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
LEKCJA NR 10TEMAT CIĄGI I ŚREDNIE STATYSTYCZNE
StreszczenieCiąg geometryczny i arytmetyczny mają wiele wspoacutelnego z pojęciami średniej arytmetycznej i geome-trycznej Lekcja ta ma na celu ukazanie tego powiązania i wprowadzenia tych średnich Ponadto przed-stawiona jest średnia harmoniczna i związek (nieroacutewność) jaki zachodzi pomiędzy tymi trzema średnimi Lekcję kończą dwa dowody ndash algebraiczny i geometryczny poznanej nieroacutewności
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot matematyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
I Wykorzystanie i tworzenie informacji
III Modelowanie matematyczne
IV Użycie i tworzenie strategii
Podstawa programowaEtap edukacyjny IV przedmiot informatyka (poziom podstawowy)
Cele kształcenia ndash wymagania ogoacutelne
III Rozwiązywanie problemoacutew i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera z zastosowa-niem podejścia algorytmicznego
IV Wykorzystanie komputera oraz programoacutew i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejętno-ści z roacuteżnych dziedzin oraz do rozwijania zainteresowań
Treści nauczania ndash wymagania szczegoacutełowe
5 Ciągi liczbowe
10 Elementy statystyki opisowej
101 Średnie statystyczne i nieroacutewność pomiędzy nimi
Cele kształcenia ndash poznawcze
y pokazanie uczniom w jaki sposoacuteb komputer pozwala prezentować dane statystyczne
y poznanie trzech średnich i związkoacutew między nimi
y wizualizacja geometryczna nieroacutewności średnich statystycznych
Słowa kluczoweśrednia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
Co przygotować Przebieg zajęć
y Prezentacja bdquoCiągi liczbowerdquo (slajdy 105-123) Należy zwroacutecić uwagę na dowoacuted nieroacutewności a szczegoacutelnie dowoacuted geometryczny znanej nieroacutewności pomiędzy średnimi statystycznymi
y Do prezentacji dołączone są pliki
Filmy 6 ndash dowoacuted1avi 7 ndash dowoacuted2avi 8 ndash metoda_geomavi
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
Pliki do wszystkich lekcji
1 Prezentacja
2 Zadania
3 Test
4 Materiały pomocnicze (gify)
5 Filmy 1-8
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Człowiek - najlepsza inwestycja
Projekt wspoacutełfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego