informatique & mathématiques appliquées programmation
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Informatique & Mathematiques AppliqueesProgrammation Mathematique et
ApplicationIntroduction
J. Gergaud & D. Ruiz
17 avril 2008
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Introduction
ExemplesCas Continu et de dimension finieProblemes en nombres entiers
Probleme d’optimisationDefinitionClassification
Plan
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Introduction
Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F . Unprobleme d’optimisation consiste a rechercher le meilleur elementde l’ensemble E , c’est-a-dire celui qui rend la valeur de f la pluspetite possible.
(P)
{min f (x)x ∈ C ⊂ E .
I Il faut donc avoir une structure d’ordre sur E (= R)
I E s’appelle l’ensemble des strategies, des etats, desparametres, l’espace
I C est l’ensemble des contraintes
I f est la fonction cout, economique ou le critere, l’objectif
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Introduction
Deux questionsI Question 1 : Existence de solution
I Si C est fini, c’est evidentI Si C est infini, c’est moins trivial
I Question 2 : Calcul de la solutionI Si C est fini mais grand, c’est ”difficile”I Si C ⊂ Rn et que les fonctions sont derivables, c’est plus facile
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Principe de Fermat
I Pierre de Fermat, 1601(Beaumont-de-Lomagne, pres deMontauban) – 1665 (Castres)
I Principe de Fermat : la lumierese propage d’un point a un autresur des trajectoires telles que laduree du parcours soit minimale
I methode, dite de maximis etminimis
I precurseur du calcul differentiel
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Probleme
−1 0 1 2 3 4 5 6 7−3
−2
−1
0
1
2
3
A(0,a)
B(k,b)
P(x,0)
air
eau
α1
α2
Fig.: Principe de Fermat.6/ 28
Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Exemple 2 : Condensateur
Un condensateur charge a une tension de U0 volts se decharge surune resistance. On mesure la tension U entre les armatures ducondensateur toutes les secondes pendant un intervalle de temps de10 secondes. Les resultats des mesures sont donnees dans la table
ti Ui ti Ui
0 100 6 151 75 7 102 55 8 103 40 9 54 30 10 55 20
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Residus
−2 0 2 4 6 8 10 120
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
← r1
← r2
← r3
← r4
← r5
← r6
← r7
← r8 ← r
9← r
10 ← r11
Fig.: Criteres des moindres carres8/ 28
Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Exemple 3 : modele de Kaplan
On desire etudier la diffusion d’une drogue dans un organe d’uncorps donne. La drogue est injectee par intraveineuse dans le sanga l’instant t0 = 0. On modelise le systeme par un modele acompartiments (cf.la figure 3).
Sang y1(t) Organe y2(t)-
�
?
k1
k3
k2
Fig.: Modele par compartiments.
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Donnees
Les concentrations dans le sang, mesurees a differents instants,sont donnees a la table 1.
ti yi1 ti yi1
0.25 215.6 3.00 101.20.50 189.2 4.00 88.00.75 176.0 6.00 61.61.00 162.8 12.00 22.01.50 138.6 24.00 4.42.00 121.0 48.00 0.0
Tab.: Donnees pour l’exemple de Kaplan.
Le systeme d’equations differentielles decrivant le modele est alors10/ 28
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Cas Continu et de dimension finie
Modele
Le systeme d’equations differentielles decrivant le modele est alors
(EDO)
dy1
dt= y1(t) = −(k1 + k2)y1(t) + k3y2(t)
dy2
dt= y2(t) = k1y1(t)− k3y2(t)
y1(0) = c0
y2(0) = 0.
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Cas Continu et de dimension finie
Residus
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
200
250
t
y 1(t)
← r1
← r2← r3← r4
← r5← r6← r
7← r8← r
9← r
10 ← r11 ← r
12
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
t
y 2(t)
Fig.: Critere des moindres carres pour le modele de Kaplan.12/ 28
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Cas Continu et de dimension finie
Exemple 4 : Fisher
On veut mesurer la liaison entre 2 genes dominants, l’un controlantla couleur d’une fleur, rouge (R) est dominant sur blanc (b), etl’autre la taille, grand (G ) est dominant sur petit (p). Dans ladescendance F2, issu de deux populations homozygotes dephenotype [RG ] et [bp], on a etudie n = 3839 plantes. On aobtenu les resultats de la table 2.
Phenotypes [RG ] [Rp] [bG ] [bp]
Effectifs observes 1997 906 904 32
Tab.: Donnees de Sir R.A. Fisher.
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Cas Continu et de dimension finie
Probabilites
Le probleme est d’estimer, a partir de ces donnees le taux derecombinaison r .Ici la population F1 est heterozygote de genotype Rb,Gp. Nousavons donc les probabilites de la table 3 pour les differents gametespossibles et les differents croisements possibles.
♀ : ♂ RG bp Rp bG12(1 − r) 1
2(1 − r) 1
2r 1
2r
RG [RG ] [RG ] [RG ] [RG ]12(1 − r) 1
4(1 − r)2 1
4(1 − r)2 1
4r(1 − r) 1
4r(1 − r)
bp [RG ] [bp] [Rp] [bG ]12(1 − r) 1
4(1 − r)2 1
4(1 − r)2 1
4r(1 − r) 1
4r(1 − r)
Rp [RG ] [Rp] [Rp] [RG ]12r 1
4r(1 − r) 1
4r(1 − r) 1
4r2 1
4r2
bG [RG ] [bG ] [RG ] [bG ]12r 1
4r(1 − r) 1
4r(1 − r) 1
4r2 1
4r2
Tab.: Probabilites pour la descendance F2
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Cas Continu et de dimension finie
Modele
Par suite nous avons dans la population F2 la loi suivante pour lavariable aleatoire phenotype X
X : F2 −→ {[RG ], [Rp], [bG ], [bp]}1 plante 7−→ son phenotype,
P(X = [RG ]) =1
4(3− 2r + r2) =
2 + θ
4
P(X = [Rp]) =1
4(2r − r2) =
1− θ
4
P(X = [bG ]) =1
4(2r − r2) =
1− θ
4
P(X = [bp]) =1
4(1− r)2 =
θ
4
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Exemple 4 : probleme lineaire
Un fermier desire determiner les quantites de lisier de porc etd’engrais compose a etendre sur 20 ha de prairie de facon aoptimiser le cout total de la fertilisation. Le cout et la compositiondu lisier et de l’engrais sont donnes a la table 4.
cout (par tonne) composition chimique (kgt−1)azote phosphate potasse
lisier 25 francs 6 1.5 4engrais 1300 francs 250 100 100
Tab.: Couts et compositions des engrais
Le fermier veut appliquer au moins 75 kgha−1 d’azote, 25 kgha−1
de phosphate et 35 kgha−1 de potasse. Il ne peut appliquer le lisierqu’a un taux maximum de 8 t/heure et l’engrais qu’a un tauxmaximum de 0.4 t/heure. Il ne peut de plus consacrer pour cetravail qu’un maximum de 25 heures.
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Cas Continu et de dimension finie
Gestion de portefeuille I
I Harry Markowitz, prix Nobel d’economie en 1990I On a :
I une quantite fixe d’argentI n actifs differentes (actions, stocks, ...)
I On connaıt :I Pour tout actif i son esperance mathematique µi et sa variance
σ2i
I Pour tout actifs i et j leur coefficient de correlation lineaire ρij
I On note x = (x1, . . . , xn) ou xi represente la proportioninvestie dans l’actif i
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Cas Continu et de dimension finie
Gestion de portefeuille II
I Le portefeuille sera dit efficient si, pour une variance fixee, il ala plus grande esperance mathematique
(P)
Max E (x)Var(x) = V∑n
i=1 xi = 1x ≥ 0.
I On peut aussi s’interesser au probleme (MV 0)(Mean-Variance 0ptimization) de Markowitz.
(MVO)
Min Var(x)E (x) ≥ R∑n
i=1 xi = 1x ≥ 0.
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Problemes en nombres entiers
Probleme du sac a dos de Knapsack
Un alpiniste veut mettre dans son sac a dos un maximum de 16 kgde ravitaillement. Il peut choisir un certain nombre d’unites de troisproduits differents. Le poids unitaire en kilogrammes et la valeurenergetique unitaire des ces produits sont connus et donnes dans latable (5).
Produits I II III
Poids 2 5 7Valeurs 4 10 15
Tab.: Poids unitaires et valeurs energetiques unitaires.
Le probleme pour l’alpiniste est de savoir ce qu’il doit emporterpour avoir une valeur totale en calories maximale sans depasser les16 kg.
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Problemes en nombres entiers
probleme d’affectation de ressources
Dans un service hospitalier, les malades i attendent d’etre operes.Le malade i a besoin d’une duree d’operation Di . D’autre part,compte tenu des disponibilites des chirurgiens, la somme desdurees des operations possibles chaque jours j de la periode etudieeest connue et egale a Tj . On veut minimiser la somme despenalites d’attente pour les differents malades. On note :
I xij = 1 si le malade i est opere le jour j ;
I xij = 0 si le malade i n’est pas opere le jour j ;
I cij la penalite du malade i s’il est opere le jour j . cij est unefonction croissante de j .
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Problemes en nombres entiers
Alignement de sequences
Soit 2 sequences CTGTATC et CTATAATCCC . On desire trouverle ”meilleur” alignement possible. A chaque alignement, est associeun score (simple ici) suivant : pour chaque position on associe 0 siles 2 bases sont identiques, +1 si les deux bases sont differentes et+3 s’il y a un ”trou”. On effectue ensuite la somme. La figure (5)donne un exemple de la fonction score S .
C T A T − A A − T C C C− − C T G T A T C − − −3 3 1 0 3 1 0 3 1 3 3 3 = 24
Fig.: Exemple de calcul d’un score.
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Problemes en nombres entiers
Probleme de la brachistochrone I
Jean Bernoulli 27 juillet 1667 – 1erjanvier 1748.Ce probleme consiste en la recherchedans un plan vertical du cheminreliant 2 points P0 et Pf de ce plan,suivant lequel un corps M entrainepar son propre poids effectuera letrajet de P0 a Pf en un tempsminimum. On suppose qu’il n’y a pasde frottement
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Problemes en nombres entiers
Probleme de la brachistochrone I
I v =√
2g(−y(x))
I ds =√
dx2 + dy2 ett = ds/
√2g(−y(x))
I
T : C 1([0, xf ],R) → R
T (y(.)) =
∫ xf
0
√1 + y ′(x)2√2g(−y(x))
dx
I
(P)
Min T (y(.))y(0) = 0y(xf ) = yf .
0 5 10 15 20 25
−20
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Problemes en nombres entiers
Transfert orbital
−40
−20
0
20
40
−40
−20
0
20
40
−505
r1
ORBITE INITIALE
ORBITE FINALE
r2
r 3
−50 0 50−40
−20
0
20
40
r1
r 2
−50 0 50−5
0
5
r2
r 3
I Orbite de depart LEO :P = 11.625 Mm, e = 0.75 andi = 7◦
I Orbite finale : orbitegeostationnaire
I Masse initiale : m0 = 1500 kg
I Poussee : Tmax = 0.1 N
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Problemes en nombres entiers
tf min, m(tf ) max
(P)
Min tf =∫ tf0 dt tf libre
r(t) = v(t) pp.
v(t) = − µr(t)
|r(t)|3+
Tmax
m(t)u(t)
m(t) = −βTmax|u(t)|(r(t), v(t),m(t)) ∈ A|u(t)| ≤ 1r(0), v(0),m(0) fixer(tf ), v(tf ) fixe,
(P)
Min∫ tf0 |u(t)|dt tf fixe
r(t) = v(t) pp.
v(t) = − µr(t)
|r(t)|3+
Tmax
m(t)u(t)
m(t) = −βTmax|u(t)|(r(t), v(t),m(t)) ∈ A|u(t)| ≤ 1r(0), v(0),m(0) fixer(tf ), v(tf ) fixe,
Probleme de controle optimal
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
Classification
Classification optimisation differentiable
(P )
Min f(x)x ∈ C ⊂ E
E = Rn
C = Rn
Sans contraintes
f(x) = (1/2)||r(β)||2
Moindres carres
r(β) = Xβ − y
Moindres carres
lineaires
gj (x) ≤ 0
hl = 0
Avec contraintes
NLP
f, gj(x) convexes
hl = 0 affines
Problemes convexes
f, gi, hl affines
Problemes lineaires
LP
E = Rn × N
m
MINLP
f, gi, hl affines
MILP
E = Nn
INLP
f, gi, hl affines
ILP
dimE = +∞
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Introduction Exemples Probleme d’optimisation Plan
l’Optimisation en Informatique et mathematiquesappliquees
I 1ere anneeI ConvexiteI Existence de solutionI Condition necessaire, condition suffisanteI Notion de dualiteI Problemes aux moindres carres (y compris algorithmique)
I 2ieme anneeI Optimisation numeriqueI Recherche operationnelle (Programmation Lineaire)I Controle optimal (majeure mathematique)
I 3ieme anneeI Optimisation discreteI Controle optimal
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Evaluation
I Examen ecrit Calcul differentiel : 2 ECTS (1 page A4recto-verso)
I Projet : 2 ECTS (Calcul differentiel et Optimisation)
I Examen ecrit Optimisation : 2 ECTS (1 page A4 recto-verso)
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