UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO PROGRAMAS DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

PROFESOR: Efraín Olivos Cantillo.Este material es un conjunto de notas de clases para trabajar en el salón durante el desarrollo del curso y con ellas pretendemos lograr una exposición cuidadosa y legible que ayude al estudiante a entender los temas de la Estadística Inductiva. No reemplazan en ningún momento a alguno de los textos de la bibliografía y en consecuencia se le recomienda al estudiante disponer de un libro de Estadística y hacer uso de la informática consultando cada tema en el Internet, lo que le facilitará el proceso de aprendizaje.

UNIDAD I: PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN.El interés del hombre por los juegos del azar data desde los tiempos prehistóricos y sólo hasta el siglo XVII los matemáticos FERMAT Y PASCAL implementaron un verdadero fundamento matemático para la solución de los problemas sugeridos por estos juegos y adicionalmente obtuvieron los principios básicos de la teoría de las probabilidades y que hoy es la base del análisis estadístico en los negocios, en la ciencias sociales, en la física, etc.

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predeterminados con exactitud por diversas razones, la mayoría de los hechos están influenciados por factores externos. Además, existen muchos sucesos que están directamente influidos por EL AZAR, EL DESCONOCIMIENTO Y LA INCERTIDUMBRE, es decir, por procesos donde no se esta seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales cuantificaciones.

La teoría de las probabilidades trata de los fenómenos del azar en los que se desea saber la probabilidad de un resultado en una prueba experimental. El estudio de la teoría de las probabilidades se basa en un conjunto de conceptos fundamentales entre ellos el ANÁLISIS COMBINATORIO, que es la parte de la matemática que estudia los diversos procedimientos para seleccionar u ordenar un conjunto de elementos en una muestra.

- DEFINICIONES BÁSICAS.

- ESTADÍSTICA INDUCTIVA o INFERENCIAL: La Estadística Inferencial trata de los estudios y procedimientos que permiten inferir aspectos relevantes de la población a partir de una muestra seleccionada de la población.

-INFERENCIA ESTADÍSTICA: La Inferencia Estadística es la técnica mediante la cual se sacan conclusiones o generalizaciones acerca de las características una población a partir de un estadígrafo o estadígrafos de una muestra de tal población.

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Para comprender la naturaleza de la Inferencia Estadística, es necesario comprender los conceptos de población y muestra. En estadística, la población es la colección de toda la posible información que caracteriza un fenómeno y la muestra un conjunto representativo seleccionado de una población. La clave en este proceso es que la muestra sea representativa y estratificada.

Una inferencia es una generalización obtenida mediante inducción. En estadística la inferencia es Inductiva porque se proyecta de lo específico hacia lo general y en este procedimiento siempre existe la posibilidad de error. La confiabilidad de una inferencia es un aspecto fundamental de la Estadística Inferencial, en estadística la confiabilidad del resultado se mide en términos de probabilidad.

-FENÓMENO ALEATORIO: Es aquel que admite dos o más resultados posibles y no poseemos los elementos suficientes de juicio para predecir cual de ellos ocurrirá. Se caracterizan porque en situaciones idénticas pueden obtenerse resultados diversos.

-EXPERIMENTO ALEATORIO: Desde el punto de vista Estadístico es toda acción bien definida y de cuyo resultado no se está seguro. Ejemplo: El lanzamiento de una moneda, La escogencia o selección de un objeto. Todos los experimentos tienen resultados y la mayor parte de ellos son inciertos y dependen del azar; los resultados de un experimento forman un conjunto llamado espacio muestral. Ejemplo: El lanzamiento de una moneda: (cara, sello)

-MUESTREO ALEATORIO: En estadística, el objetivo de las técnicas del muestreo es asegurar que cada observación en la población tenga una oportunidad igual e independiente de ser seleccionada. Proceso que se conoce como muestreo aleatorio.

-ESPACIO MUESTRAL: El primer paso que ha de darse en la elaboración de una medida numérica de la incertidumbre es la enumeración de todas las posibles consecuencias o resultados de la situación incierta. La identificación de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio es importante en la definición de la probabilidad.

“UN EXPERIMENTO O PROCESO ALEATORIO GENERA RESULTADOS, EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES SE LLAMA ESPACIO

MUESTRAL”

Es el conjunto universal de un experimento y es de singular importancia en el estudio de las probabilidades, porque sólo se puede predecir lo que es probable si se conoce lo que es posible.

Si la variable es cuantitativa, el espacio muestral es un conjunto de números, finitos o infinitos. Un Espacio Muestral es DISCRETO si sus resultados pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos. (0, 1, 2, 3,….). Ejemplos: El número de reservaciones sin cancelar para un vuelo. El número de cheques devueltos por falta de fondo. Un Espacio Muestral es CONTINUO si sus resultados consisten de un intervalo de números reales. (4,97 x 6,02) Ejemplos: La duración de una pieza o componente. El tiempo que se demora un cliente en la ventanilla.

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-EVENTO: Es un concepto fundamental de la teoría de Probabilidades y se define como el resultado de un experimento

-EVENTOS SIMPLES: Cada uno de los resultados de un experimento son eventos simples. Son aquellos que no pueden descomponerse y se representan por la letra E i. Ejemplo: Que salga el número cinco en el lanzamiento de un dado (E i = 5)

-EVENTOS COMPUESTOS: Se compone de dos o más eventos simples. Son una combinación de resultados o un grupo de resultados con características comunes. Ejemplos: Que salga un número par en el lanzamiento de un dado. Que en el lanzamiento de 3 monedas se obtengan por lo menos 2 sellos.

Para representar gráficamente espacios muéstrales y relaciones entre eventos se puede utilizar un DIAGRAMA DE VENN. Como los eventos son subconjuntos del Espacio Muestral, todas las operaciones entre conjuntos se pueden llevar a cabo con los eventos. Para ello el estudiante debe recordar los principios de la teoría de conjuntos.

EJERCICIOS:

- Hallar el Espacio Muestral en el lanzamiento de una moneda. (Dos eventos simples)

- Hallar el Espacio Muestral en el lanzamiento de un dado. (Seis eventos simples y más de un evento compuesto) Ilustre los resultados del espacio muestral en el diagrama de Venn, defina dos eventos e ilustre operaciones entre ellos. - Un experimento consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si consumen o no un determinados producto.

a) Escriba el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando “s” para las respuestas afirmativas y “n” para las respuestas negativas.

b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso “al menos dos de las personas consumen el producto?

-PROBABILIDAD: Algunos autores definen la Estadística como el estudio de los fenómenos aleatorios y la probabilidad como el medio para estudiar y analizar los fenómenos o procesos aleatorios. La probabilidad ofrece el fundamento para desarrollar la ciencia de la Estadística Inferencial. A partir de esta precisión la ciencia estadística tiene un número ilimitado de aplicaciones.

La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, disponiendo de una información más precisa y confiable y, por lo tanto, más útil para la toma de decisiones.

La toma de una decisión supone elección entre diversas opciones. Se trata de analizar las relaciones entre las opciones, como sus consecuencias posibles (resultados) y cuantificar

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la incertidumbre, es decir, asignar probabilidades. Las decisiones empresariales, son decisiones con Incertidumbre.

“LA PROBABILIDAD ES UNA MEDIDA NUMÉRICA DE LA INCERTIDUMBRE”

Las probabilidades se utilizan de dos maneras:

1.- Cuando se conoce la población, se usa la probabilidad para calcular que tan probable es un resultado de la muestra.

2.-Cuando se desconoce la población, es decir, solo se conoce la muestra, entonces se usa la probabilidad para hacer afirmaciones sobre las características de la población haciendo inferencia estadística.

ENFOQUES DE PROBABILIDAD.A diario nos encontramos con situaciones que no pueden ser predeterminadas con exactitud por diversas razones y muchos de estos hechos están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos donde no se esta seguro lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones. Ejemplos: La probabilidad que hoy tenga clases, la probabilidad que llueva, la probabilidad de ganar el semestre, la probabilidad que gane mi equipo, la probabilidad que ocurra un accidente de trabajo, la probabilidad de seleccionar un producto defectuoso.

Actualmente la probabilidad se aplica en todos los campos de la actividad humana. En el ámbito empresarial se aplica desde la planeación hasta la producción.

Existen dos formas para asignar probabilidades a un evento:

MÉTODO SUBJETIVO: Existen casos en los que no podemos contar exactamente las formas diferentes en las cuales un evento dado puede o no suceder y no podemos dudar que todas las formas posibles tienen una probabilidad de ocurrencia. El cálculo de la probabilidad del evento debe, por lo tanto, basarse en nuestra experiencia o experimentos de lo que ha sucedido en ocasiones similares en el pasado. Ejemplos: Estimar la probabilidad de que llueva hoy, Que mañana aumenten unas acciones, Que mi nota sea 4 en definitiva. Por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es la que más se utiliza apoyándonos en el sentido común y en los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.

MÉTODO OBJETIVO. Es el que permite asignar probabilidades a eventos con base en el conteo o experiencias repetidas. Cuando podemos contar exactamente las formas diferentes en las cuales un evento dado puede o no suceder y podemos suponer que todas las formas posibles ocurrirán sobre bases igualmente probables. La probabilidad obtenida es llamada PROBABILIDAD OBJETIVA o PROBABILIDAD MATEMÁTICA.

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-PROBABILIDAD DE UN EVENTO SIMPLE.

Al estimar la probabilidad de un evento simple debemos tener en cuenta los siguientes criterios:

PROBABILIDAD FRECUENCIAL DE UN EVENTO. Registradas las frecuencias con que ha ocurrido algún evento en el pasado se estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en los resultados históricos. Es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia de un evento. Los resultados son a posteriori, se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. Ejemplos: Las probabilidades de la investigación científica en la medicina, la probabilidad que ocurra un accidente, probabilidad que germine una semilla, la probabilidad que un estudiante del curso gane la materia.

Si: E = Evento Número de veces que ocurrió E P(E) = Número de veces que se repitió el experimento

PROBABILIDAD CLÁSICA DE UN EVENTO. Si en un experimento todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrencia y podemos asignar a cada uno de ellos en el Espacio Muestral un valor de probabilidad, P(E) = 1/EM, y E es un evento que contiene un subconjunto de resultados del Espacio Muestral, denominados también casos favorables, entonces la probabilidad de E, P(Ei), se define como el cociente del número de casos favorables por el número de casos posibles o Espacio Muestral.

Si denotamos el conjunto universal de los resultados posibles como EM., y los resultados, eventos o subconjuntos por las letras Ei.

Entonces: Número de formas en que E puede ocurrir P(Ei) = Total de sucesos simples en el experimento

Casos Favorables P( Ei) =

Espacio Muestral

CF P(Ei) =

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EM

Es el procedimiento utilizado cuando se conoce que todos los eventos simples tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

Ejemplos: - Calcular la probabilidad de obtener 5 puntos en el lanzamiento de un (1) dado. Ilustre el resultado en el Diagrama de Veen.

- Calcular la probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un (1) dado. Ilustre el resultado en el Diagrama de Veen.

- El experimento consiste en el lanzamiento de dos monedas. Calcular la probabilidad de obtener cara en ambas monedas. Ilustre los resultados en el Diagrama del Árbol.

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD MATEMÁTICA.Los siguientes axiomas son las reglas fundamentales de las probabilidades. Se aceptan como verdades. Basados en estos axiomas se han deducido otras reglas para calcular probabilidades en situaciones más complicadas.

Las reglas de la probabilidad se dividen en dos grupos. Un primer grupo formado por las reglas que podríamos llamar básicas, denominadas axiomas. Estas reglas no se aprecian directamente en la solución de los problemas, pero son las que dan soporte lógico a las que se utilizan directamente en la solución de los problemas

1.- La probabilidad de cualquier evento ha de ser 0 o un número real positivo no mayor que 1.

Es decir: 0 P(Ei) 1

0 P(Ei) 100%

La interpretación de P(E), denota la probabilidad que ocurra un evento. Si la probabilidad es cero, entonces el evento no ocurre, si es 1, se tiene la certeza que el evento ocurrirá.

2.- La suma de las probabilidades de todos resultados en el Espacio Muestral siempre será igual a 1 ó 100%. Sí los eventos o resultados son mutuamente excluyentes.

P (E1) + P (E2) + P (E3) +. . . . . . P (En) = 1 ó 100% P (Ei) = 1 ó 100%

3. - La probabilidad de éxito (Casos Favorables) más la probabilidad de fracaso (Casos Desfavorables), siempre será igual a 1 ó 100%.

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P (E) + P (E’) = 1 ó 100%

P (E) = 1 - P (E’) Si: E = Casos Favorable E’ = Casos Desfavorables P (CF) + P (CD) = 1

EJERCICIOS:1: En el lanzamiento de dos (2) dados diferentes.

a. ¿Hallar la probabilidad de obtener cinco (5) o menos puntos?b. ¿Hallar la probabilidad de obtener 6 o más puntos?

2: Un recipiente contiene: 1 moneda de cien pesos, 1 de doscientos, 1 de quinientos y 1 de mil. Se eligen del recipiente tres monedas al azar.

a. Liste los resultados del espacio muestralb. ¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga la moneda de quinientos?c. Cuál es la probabilidad de que la suma de dinero extraída sea igual a $1.300 pesos

o más?

3: La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos en un día es 0,20. ¿Cuál es la probabilidad que venda 0, 1 ó 2 autos en ese día?

- TÉCNICAS DEL CONTEO.

Es la rama de la matemática que estudia los diversos procedimientos para seleccionar u ordenar un conjunto de elementos, nos enseña a comprobar y presentar todas las maneras posibles de las cuales un número dado de elementos puede ser asociado y mezclado, y es el método fundamental en la teoría de probabilidades. Ejemplos: De cuántas formas se pueden acomodar 5 personas para una foto. Cuántos son los resultados posibles en el juego del Baloto.

El estudio y la comprensión de las diferentes Técnicas del Conteo nos permiten conocer los resultados de un experimento aleatorio, comprender el Espacio Muestral del experimento y calcular probabilidades. Las técnicas de conteo que estudiaremos son: El conteo por enumeración de elementos, el conteo a través del diagrama de árbol, el principio de la multiplicación, el principio de la adición, el conteo de permutaciones y el conteo de combinaciones.

-ENUMERACIÓN DE EVENTOS. Consiste en describir cada uno de los eventos simples del espacio muestral y luego contarlos. Es aplicable cuando se trata de un espacio muestral pequeño y es posible por extensión definir todos los resultados del espacio muestral.

EJEMPLOS: - Calcular el espacio muestral en el lanzamiento de tres monedas diferentes. - Calcular el espacio muestral en el lanzamiento de dos dados diferentes

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-DIAGRAMA DE ÁRBOL. Es una representación gráfica que muestra todas las secuencias posibles de eventos, con un número pequeño de resultados. Cada rama corresponde a cada una de las formas en que se puede realizar la operación entre los eventos.

EJEMPLO: Utilice el diagrama de árbol para el experimento de lanzar tres monedas.

-SELECCIÓN DE MUESTRAS. Muchos de los experimentos aleatorios se desarrollan seleccionando muestras a partir de una población. En la selección de una muestra se pueden presentar las siguientes situaciones:

Selección con reemplazo. Cada elemento seleccionado regresa a la población, y por eso puede seleccionarse varias veces.

Selección sin reemplazo. Cada elemento seleccionado no regresa a la población, y por eso se selecciona una sola vez.

Selección considerando el orden. Se selecciona más de un elemento, uno tras otro, y se considera el orden en que se seleccionaron.

Selección sin considerando el orden. Se selecciona más de un elemento, uno tras otro o todos a la vez, sin interesar el orden en que se seleccionaron.

-PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN. El principio de la multiplicación o Teorema Fundamental del Conteo se aplica para determinar el número posible de arreglos para dos o más grupos. Para resolver experimentos de conteo aplicando el Principio de la Multiplicación es necesario identificar cada uno de los eventos y de cuántas formas pueden ocurrir cada uno de ellos.

Para una secuencia de eventos en la que el primer evento E1 puede realizarse de n1

maneras diferentes, y si, continuando el experimento, un segundo E2 evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento E3

puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente; entonces, el número de maneras en que los eventos pueden concluir conjuntamente en el orden indicado es el producto de n1 x n2 x n3 x n4 . . . formas diferentes.

O sea : E. M. = n1 x n2 x n3 x n4. . .nn

EJEMPLO: Un vendedor debe visitar tres ciudades (A, B, C), de A hasta C pasando por B y regresando de C hasta A pasando de nuevo por B. Si hay 3 rutas diferentes para ir de A hasta B y 4 de B hasta C, encuentre el total de formas en que puede hacer el viaje?

EJERCICIOS:4: Cuántos billetes de lotería se pueden elaborar si cada uno de ellos tiene 4 cifras y 50 series.

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5: ¿Cuántas placas de automóvil distintas pueden elaborarse si cada una consta de 3 letras diferentes y 3 dígitos?

- PRINCIPIO DE LA ADICIÓN. Si un evento E1 puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el experimento, un segundo evento E2 puede realizarse de n2

maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento E3 puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente. Si sólo una de estas acciones puede realizarse y los eventos son mutuamente excluyentes, entonces el número de maneras en que pueden concluir la primera o la segunda o la tercera, está dado por n1 + n2 + n3 + n4 . + nn .

O sea: EM = n1 + n2 + n3 + n4 . . . + nn

EJEMPLOS: -Una persona puede hacer un viaje entre dos ciudades por tres carreteras o por dos trenes. De cuántas formas puede hacer el viaje entre las ciudades

- En el lanzamiento de dos dados diferentes, ¿de cuántas formas se puede obtener que la suma de los puntos sea ocho o nueve?

EJERCICIO.6: ¿Cuántos números con al menos 3 dígitos diferentes pueden formarse con los enteros 5, 6, 7, 8, 9?

- MUESTRAS ORDENADAS CON REPETICIÓN – REGLA DEL EXPONENTE.Es el muestreo donde una observación puede darse tantas veces como sea posible, porque la unidad seleccionada retorna a la población, el procedimiento se llama selección con reemplazo, y el orden en que ocurren tales observaciones es de importancia.

La formula para determinar el número de observaciones ordenadas con repetición está dada por:

EM = Nn

Donde: N = Número de elementos distintos disponibles (población) n = Número de elementos seleccionados (muestra)

EJEMPLOS: - El lanzamiento de 1, 2, 3,4 monedas diferentes. - El lanzamiento de 1, 2, 3, . . .dados diferentes. - Con cuantos billetes juega una lotería de 4 cifras. (sin series) - Cuántas placas de automóvil distintas pueden elaborarse si cada una consta de 3 letras y 3 dígitos.

7: De cuántas formas se puede responder un examen que consta de 12 preguntas, si cada una tiene 4 opciones para señalar la respuesta.

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8: Un vendedor tiene que viajar en tres días diferentes, al llegar a la estación puede escoger cualquiera de 5 transportes. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacer los tres viajes?

9: ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse en el lanzamiento simultáneo de 4 monedas y 3 dados? Cuál es la probabilidad que las 4 monedas sean iguales?

10: En un examen que costa de 20 preguntas del tipo Falso, Verdadero. Calcule la probabilidad que un estudiante obtenga una calificación de cinco.

- MUESTRAS ORDENADAS SIN REPETICIÓN – PERMUTACIONES.Cuando en una muestra cada observación se da una sola vez por que no se retorna a la población, el procedimiento utilizado se llama selección sin repetición.

Las permutaciones corresponden a una muestra seleccionada sin repetición, pero siempre con orden.

Cuando usamos el término orden, significa que diferentes ordenamientos de los mismos elementos se cuentan como secuencias o resultados distintos. En el ordenamiento de los elementos "a" y "b" existen dos permutaciones: a, b y b, a.

La formula de las permutaciones sirven para determinar el número posible de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos. Las Permutaciones se simbolizan con una P (Mayúscula) y se pueden estimar utilizando la calculadora.

-Permutación de la totalidad de los elementos.- Cuando en las Permutaciones participan la totalidad de los elementos (tomados todos a la vez) se utiliza la siguiente formula:

P(N, N) = N!

Donde: N = Población (Elementos distintos disponibles) n! = 1x2x3x4. . . . . n (Que se lee ene factorial). Ver anexo.

EJEMPLOS: - De cuántas formas diferentes pueden ordenarse 3 letras. - De cuántas formas diferentes pueden ordenarse 5 libros diferentes en un estante.

11: Cuatro libros distintos de Estadística, seis diferentes de Administración y dos diferentes de Contabilidad se van a colocar en un estante. a.- De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si los libros de cada

asignatura deben estar juntos. b.- De cuántas formas si solamente los libros de Estadística deben estar juntos.

12: De cuántas formas diferentes pueden sentarse 5 personas en un sofá si dos de ellas no se pueden separar.

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13: Se van a ordenar 9 libros en una biblioteca. a.- ¿Cuál es la probabilidad que 2 libros determinados ocupen los extremos? b.- ¿Cuál es la probabilidad que tres libros determinados estén juntos?

-Permutación de subconjuntos.- Una ordenación sin repetición de un número n de los objetos disponibles, siendo n < N, se simboliza de la siguiente forma: N! P(N, n) = (N - n) !

Donde: N = Población (Elementos distintos disponibles) n = Muestra (Elementos escogidos)

EJEMPLO: En una competencia participan 10 atletas ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medallas de Oro, Plata y Bronce?

14: En una organización de 15 miembros existe una Junta Directiva con 3 posiciones: Presidente, Secretario y Tesorero. ¿Hallar el número de juntas diferentes que pueden conformarse?

15: ¿De cuántas formas diferentes pueden 9 personas sentarse en un mueble de 4 puestos?

16: ¿Cuántos números de 5 dígitos diferentes pueden formarse con los enteros 1, 2, 4, 6, 7, 8? Cuántos de estos números serán pares? Cuántos impares?

17: ¿De cuántas formas diferentes pueden acomodarse 6 personas en un automóvil, si sólo 3 saben manejar?

18: Al marcar un número telefónico, la persona olvido las tres (3) últimas cifras y recuerda solamente que las cifras son diferentes. Si se marcan los números al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan marcado los números correctamente?

19: En un lote de producción que consta de 20 computadoras, se ha determinado que 4 tienen defectos. Si se seleccionan al azar 4 computadoras, determine la probabilidad que la primera y la segunda computadora seleccionada tengan defectos y la tercera y la cuarta no tengan defectos.

-Permutación de grupos de elementos repetidos o iguales.- Cuando se presenta el caso de hacer Permutaciones a partir de grupos de elementos repetidos o iguales y la sumatoria de los diferentes grupos: n1 + n2 + n3 + ..... +nn, es igual a la población, se aplica la siguiente formula:

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N! E. M. = (n1)! (n2)! (n3)! .....(nn)!

Donde: N = Número de elementos disponibles ni = Número de elementos iguales que tienen la característica i

EJEMPLO: ¿De cuántas maneras distintas un niño podrá ordenar 3 círculos iguales, 2 cuadrados iguales 1 triángulo y 1 rombo? 20: Una persona tiene dos monedas de 500 pesos, tres de 200 pesos y cinco de 100 pesos, y se las va a repartir a 10 niños. ¿De cuántas maneras las puede distribuir si cada niño recibe una moneda?

21: Cuatro libros iguales de Estadística, seis iguales de Administración y dos iguales de Contabilidad se van a colocar en un estante. De cuántas formas diferentes se pueden ordenar. Calcule la probabilidad que los libros de Estadística queden juntos.

PRIMER PARCIAL

- MUESTREO NO ORDENADO: COMBINACIONES.Si en la escogencia sólo interesa el número de maneras como se pueden seleccionar n elementos de un total de N elementos, y no interesa el orden de los mismos, se trata entonces de una COMBINACION. Es decir, el subconjunto (a, b) es lo mismo que (b, a).

Las Combinaciones se simbolizan con una C (Mayúscula) y se pueden estimar utilizando la calculadora.

- MUESTRAS NO ORDENADAS SIN REPETICION. Consiste en seleccionar los elementos una sola vez y el orden en que aparecen no es de importancia.

Cuando en la combinación de N objetos se toman n objetos, siendo n < N o sea n subconjunto de N, se aplica la siguiente formula:

N! C(N, n) = ( N-n)!.n!

Donde: C = Combinaciones. N = Elementos distintos disponibles (Población) n = Elementos a combinar. (Muestra)

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EJERCICIOS: Calcular. a) C(8,3) b) C(10,2) c) C(8,5) d.) C(10,8)

Cuando en las combinaciones se toman la totalidad de los elementos (n = N), la formula de cálculo queda definida por la siguiente ecuación:

C(N, N) = 1

22: En un juego de dominó de 28 fichas. a) ¿De cuántas formas diferentes puede el primer jugador escoger 7 fichas? b) ¿De cuántas maneras puede escoger el segundo jugador?

23: En una reunión de 15 personas, cada una da la mano a todos los demás. ¿Cuántos saludos de mano se pueden dar?

24: Las monedas que circulan en un país son de 10, 20, y 50 centavos y de 1, 2, 5, 10 y 20 pesos. Si una persona tiene en su bolsillo una moneda de cada una y saca aleatoriamente una o dos monedas.

a) ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar?b) ¿Cual es la probabilidad que al seleccionar dos monedas la suma

sea igual a tres pesos? 25: Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? b) ¿Cuántas maneras, si las 3 primeras preguntas son obligatorias?

26: A la clase de estadística asisten 23 estudiantes, 9 son mujeres y el resto hombres. Se va a escoger un comité de 5 estudiantes. a) De cuántas formas puede hacerse? b) De cuántas maneras, si todos han de ser del mismo sexo? c) De cuántas maneras, si 3 son hombres y 2 mujeres?

27: De un grupo de 20 hombres y 10 mujeres se va ha elegir un comité de 5 personas. ¿De cuántas formas puede hacerse si siempre debe haber más mujeres que hombres?

28: En un lote de producción que consta de 20 computadoras, se ha determinado que 4 tienen defectos. Si se seleccionan al azar 4 computadoras, determine la probabilidad que: a.- Sólo 3 tengan defectos. b.- Máximo uno tenga defecto.

29: Se escogen al azar tres (3) facturas entre 15 de las cuales cinco (5) tienen error. Halle la probabilidad de que: a.- Una exactamente tenga error. b.- Una por lo menos tenga error.

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30: Un distribuidor de computadores acepta un embarque de 15 computadores si en una muestra de 4 computadores no sale ninguno defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que acepte el embarque si contiene 3 computadores defectuosos?

31: En el depósito de un almacén existen 12 televisores, ocho (8) modelo "A" y cuatro (4) modelo "B". Si se venden cuatro televisores.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro (4) televisores vendidos sean del mismo modelo? b. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro televisores sean uno (1) modelo "A" y tres (3) modelo "B"?.

PRIMER QUIZ

-PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS.Cuándo se tienen eventos simples o elementales no existe mucho problema en el cálculo de las probabilidades, basta con el uso directo del análisis combinatorio o técnicas del conteo. Pero en el caso de los eventos compuestos por más de un evento simple, el razonamiento por manera análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden sobrepasar la capacidad de cálculo conocida. Sin embargo, utilizando los axiomas de las probabilidades y las siguientes REGLAS, se podrán expresar las probabilidades de los eventos compuestos en términos de los eventos simples que lo componen, siempre y cuando se conozcan las probabilidades de éstos.

La solución de muchos problemas sobre probabilidades requiere de la comprensión de algunas reglas fundamentales. Las más importantes de estas Reglas son: La Regla de la Suma y La Regla de la Multiplicación. Estas reglas nos permiten determinar la probabilidad de eventos compuestos, es decir, la probabilidad un suceso si se conocen las probabilidades de otros sucesos relacionados con él.

-REGLAS DE PROBABILIDAD.

1.- REGLA DE LA SUMA.Es la técnica para obtener la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra el suceso B como único resultado de un experimento. La clave es el significado del “o” inclusivo, que significa el uno el otro o ambos, de tal manera que ningún resultado se cuente más de una vez.

1.1.- PROBABILIDAD DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.

E. M.

A B

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Si dos o más sucesos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión de dos o más sucesos es igual a la suma de sus respectivas probabilidades, o sea:

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(A o B) = P(A) + P(B)

P(A o B o C o . .) = P(A) + P(B) + P(B) + . . . . .

Esto último es lo que se conoce como REGLA ESPECIAL DE LA SUMA. Se llama especial porque se aplica solamente a sucesos mutuamente excluyentes. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 ó 5 puntos en el lanzamiento de un dado?

-EVENTOS COMPLEMENTARIOS. La definición de eventos complementarios implica la exclusión mutua, por que es imposible que un suceso ocurra y no ocurra al mismo tiempo. Es decir, se esta absolutamente seguro que A ocurre y no ocurre A’. Lo que nos permite aplicar la regla de la suma para eventos mutuamente excluyentes, así:

E. M.

A’

A P (A o A’) = P (A) + P (A’) = 1

P (A) = 1 - P (A’)

P (A’) = 1 - P (A)

EJEMPLO: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A) = 0,29 y P(B) = 0,43, determine: a,- P(A’) b.- P(A U B)

1.2.-PROBABILIDAD DE EVENTOS QUE SÉ INTERCEPTAN – COMPATIBLES.Se dice que dos eventos son compatibles, no son mutuamente excluyentes, cuando la ocurrencia de un evento no impide la ocurrencia del otro y tiene algunos eventos simples en común.

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La probabilidad de uno de los dos eventos compatibles es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección.

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

EJEMPLO: De 300 estudiantes de Contaduría, 100 cursan contabilidad y 80 estadística, de los cuales hay 30 que siguen ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de un estudiante aleatoriamente escogido curse contabilidad o estadística?

32: Durante una semana las probabilidades que unas Acciones Ordinarias aumenten su precio, permanezcan constantes o disminuyan su precio son el 30%, 20% y 50% respectivamente. a.- ¿Cuál es la probabilidad que el precio cambie durante la semana? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que aumenten su precio o permanezcan constantes?

33: En un grupo de 160 egresados de Contaduría, 92 se inscriben en un modulo de costos, 63 en un modulo de auditoría; y 40 en ambos, Si se selecciona un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad que no esté inscrito en ningún modulo?

34: El 40% de las personas que pasaron sus vacaciones en la playa eran extranjeras, el 70% eran mayores de 50 años y el 30% no eran extranjeros y tenían más de 50 años. Elegida al azar una de las personas, determine:

a.- La probabilidad que sea extranjera y mayor de 50 años.b.- La probabilidad de que no sea extranjera ni mayor de 50 años.

35: Dos hombres y tres mujeres, intervienen en un concurso de selección de personal. Los del mismo sexo tienen iguales probabilidades de ganar pero cada hombre tiene el doble de probabilidades de ganar que una mujer. a.- ¿Hallar la probabilidad de que una mujer gane el concurso? b.- Si, dos participantes son casados, hallar la probabilidad que uno de ellos gane el concurso?

36: En un banco hay dos alarmas A y B. En un caso de atraco, la probabilidad de que se activen A, B o ambas, es: P(A) = 0,75 P(B) = 0,85 P(A y B) = 0,65.

a. Calcular la probabilidad de que se active alguna de las dos.b. Calcular la probabilidad de que se active solo una de ellas.c. Calcular la probabilidad de que no se active ninguna.

37: De 500 empleados de una Compañía 200 intervienen en un plan de utilidades, 400 disfrutan de seguro médico y 200 participan en ambos programas. a.- Elabore el DIAGRAMA DE VENN. b.- Calcule la probabilidad que un empleado seleccionado aleatoriamente

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participe por lo menos en uno de dos programas. c.- Calcule la probabilidad que un trabajador seleccionado aleatoriamente no se beneficie de ningún programa.

38: De 100 personas que solicitan empleo de contador 40 tienen experiencia, 30 certificado profesional y 20 de los solicitantes tienen ambos requisitos. a.- Elabore el Diagrama de VENN. b.- ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante seleccionado al azar, tenga por lo menos uno de los requisitos? c.- ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante aleatoriamente escogido tenga experiencia o certificado, pero no ambas?

39: La clase de estadística consta de 20 hombres y 10 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres trabajan a.- ¿Halle la probabilidad que un estudiante escogido al azar sea hombre o trabaje? b.- Ilustre la los eventos en el Diagrama de Veen.

40: La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4, la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3 y la probabilidad de que ambos vivan 10 años más es 1/12. ¿Halle la probabilidad de que ninguno este vivo dentro de 10 años?

2.- REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.Es la que nos permite determinar la probabilidad que en un primer ensayo ocurra el evento A y en un segundo ensayo ocurra el evento B, lo que se denota como P(A y B), donde el “y” debe asociarse con la multiplicación.

2.1.-PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES.Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia de un evento no está influenciado ni influye sobre la ocurrencia de otro. Si A y B representan dos eventos, sucesos o resultados y si la ocurrencia de A no afecta la probabilidad de ocurrencia de B ni es afectada por ésta, entonces se dice que A y B son eventos independientes.

En los eventos independientes el espacio muestral de cada uno de ellos es el mismo del experimento o sea que si ocurre alguno de ellos, el espacio muestral para los otros eventos no se modifica.

La probabilidad de que se den A y B, P(A y B), es igual al producto de sus respectivas probabilidades, esto es:

P(A y B) = P(A) x P(B)

EJEMPLOS: - El lanzamiento de dos monedas. - Los disparos de dos personas a un blanco. Que tres clientes, en momentos diferentes, compren el producto que se les ofrece.

- Si se lanzan dos (2) monedas al aire. ¿Calcular la probabilidad de que

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ambas sean cara? ¿Calcular la probabilidad de obtener cara y sello o viceversa?

2.2.- PROBABILIDAD DE EVENTOS DEPENDIENTES Y PROBABILIDAD CONDICIONAL

Dos o más eventos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia de los otros eventos, es decir, el segundo evento depende de lo que haya ocurrido en el primero y el tercero de lo que haya ocurrido en el primero y segundo evento y así sucesivamente.

Cuando dos eventos, A y B, son dependientes es importante que para determinar la probabilidad del evento B se debe tener en cuenta el hecho que el evento A ya ocurrió, lo que se denota P(B/A), que se lee probabilidad de B dado A.

La probabilidad conjunta de dos eventos dependientes es igual a la probabilidad de un evento por la probabilidad condicional del otro.

P(A y B ) = P(A) x P(B/A)

P(B y A ) = P(B) x P(A/B)

EJEMPLOS: - En el bolsillo tengo 10 monedas y tres de ellas son falsas. Se van a extraer dos monedas, una después de la otra sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos monedas falsas?

- De 12 cuentas en un archivo, cuatro (4) tienen un error de procedimiento al contabilizar los saldos. Si un auditor selecciona aleatoriamente dos (2) de estas cuentas (sin reemplazo). Cuál es la probabilidad que ninguna cuenta tenga un error de procedimiento?

-PROBABILIDAD CONDICIONAL DE UN EVENTO.La probabilidad condicional del evento B dado A es la probabilidad de que el evento B ocurra, dado que el evento A ya ocurrió y se calcula dividiendo la probabilidad de que ocurran ambos eventos, P(A y B), entre la probabilidad el suceso A, P(A). Lo cual se puede despejar de la formula de la probabilidad de eventos dependientes, como se muestra a continuación:

P(A y B) P(B/A) =

P(A)

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P(B y A) P(A/B) = P(B)

EJEMPLO: A los habitantes de la Ciudad se les aplicó una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores de EL HERALDO y EL TIEMPO. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 20% de los habitantes lee El Heraldo, el 16% lee El Tiempo y un 1% lee ambos periódicos. Calcular:

a.- Si se selecciona al azar a un lector de El Heraldo, cuál es la probabilidad que también lea El Tiempo?

b.- Si se selecciona al azar a un lector de El Tiempo, cuál es la probabilidad que también lea El Heraldo?

41: La probabilidad de que un avión militar dé en el blanco en una operación de bombardeo es 0.80. Si se envían cuatro aviones al mismo blanco.

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que todos den en el blanco? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los bombarderos dé en el blanco?

42: La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4 y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3.

a.- ¿Hallar la probabilidad de que ambos estén vivos dentro de 10 años? b.- ¿Hallar la probabilidad de que ninguno esté vivo en 10 años?

43: La probabilidad de artículo defectuoso en un proceso de producción continua es 0,10. Cuál es la probabilidad de que: a.- ¿Dos (2) artículos seleccionados aleatoriamente estén ambos sin defectos? b.- ¿Los dos (2) artículos escogidos aleatoriamente sean defectuosos? c.- ¿Por lo menos uno de los dos (2) no tengan defecto?

44: Las probabilidades de que 3 hombres peguen en un blanco son: 1/6, 1/4 y 1/3 respectivamente. Si cada uno dispara una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos pegue en el blanco?

45: Un avión esta equipado con tres motores que funcionan independientemente. La probabilidad de falla de cada motor es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de un vuela exitoso si se necesita sólo un motor para que el avión vuele? 46: En un supermercado el 70% de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por estas el 80% superan los $200.000; mientras que de las compras realizas por los hombres el 30% supera esa cantidad. Si se sabe que un recibo de compra no supera los $200.000; ¿Cuál es la probabilidad que la compra haya sido hecha por una mujer?

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47: De 100 personas que solicitan empleo de Contador 40 tienen experiencia, 30 certificado profesional y 20 de los solicitantes ambos requisitos. Determine la probabilidad de que un solicitante aleatoriamente escogido tenga certificado, dado que tenga alguna experiencia anterior.

48: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fabrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4%, y 5%. Si seleccionamos una pieza al azar, cuál es la probabilidad de que sea defectuosa.

49: En la facultad el 25% de los estudiantes pierden Estadísticas, el 15% pierden Contabilidad y el 10% ambas. Se selecciona un estudiante al azar. a.- Si perdió Contabilidad, cuál es la probabilidad de que también halla perdido Estadística? b.- Si aprobó Estadística, cuál es la probabilidad que tenga la contabilidad aprobada?

SEGUNDO QUIZ

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