inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora...
TRANSCRIPT
![Page 1: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/1.jpg)
Inženjerska grafikageometrijskih oblika
(6. predavanje)
Prva godina studijaMašinskog fakulteta u Nišu
Predavač:Dr Predrag Rajković
Mart 27, 2006 6. predavanje
![Page 2: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/2.jpg)
TRANSFORMACIJE KOORDINATNOG SISTEMA(CONSTRUCTION PLANE)
![Page 3: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/3.jpg)
BAZA PROSTORA
•Baza vektorskog prostora jenajmanji potreban skup vektorapomoću koga se mogu izraziti svi preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa.
![Page 4: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/4.jpg)
BAZA PROSTORA•U trodimenzionalnom prostoru jednu bazu čine vektori
,100
k,010
j,001
i⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
rrr
kzjyixprrrr
++=
•Vektor položaja proizvoljne tačke
![Page 5: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/5.jpg)
NOVA BAZA PROSTORA
•Neka je nova baza u prostoru data vektorima
,k,j,i
33
23
13
1
32
22
12
1
31
21
11
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
ααα
ααα
ααα
rrr
![Page 6: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/6.jpg)
NOVA BAZA PROSTORA
kjik
kjij
kjii
rrrr
rrrr
rrrr
3323131
3222121
3121111
ααα
ααα
ααα
++=
++=
++=
[ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
111 kjikjiααααααααα
rrrrrr
![Page 7: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/7.jpg)
MMatrica transformacije sistemaatrica transformacije sistema
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
ααααααααα
α
Determinanta matrice transformacijeDeterminanta matrice transformacije
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
Det||ααααααααα
α
![Page 8: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/8.jpg)
STARE I NOVE KOORDINATE
1
33
23
13
1
32
22
12
1
31
21
11
zyxzyx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ααα
ααα
ααα
111111 kzjyixkzjyixrrrrrr
++=++
VektorVektor polopoložžaja proizvoljne taaja proizvoljne taččkeke
![Page 9: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/9.jpg)
Izražavanje starihpreko novih koordinata
133132131
123122121
113112111
zyxz
zyxy
zyxx
ααα
ααα
ααα
++=
++=
++=
•Stare koordinate vektora položaja neke tačke mogu se izraziti preko novih koordinata
![Page 10: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/10.jpg)
Nove koordinate izražene preko starih koordinata
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
3332
2322
1312x
1
zyx
Det||
1||
xαααααα
αα∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
3331
2321
1311y
1
zyx
Det||
1||
yαααααα
αα∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
zyx
Det||
1||
z
3231
2221
1211z
1
αααααα
αα∆
![Page 11: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/11.jpg)
TRANSLACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
10
10
10
zzzyyyxxx
+=
+=
+=
•Translacija koordinatnog sistema se može opisati formulama
![Page 12: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/12.jpg)
ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
131211
131211
131211
zcosycosxcoszzcosycosxcosy
zcosycosxcosx
γγγβββ
ααα
++=
++=
++=
•Rotacija koordinatnog sistema se može opisati formulama
![Page 13: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/13.jpg)
ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
3331
2221
1111
kji
kji
γβαγβαγβα
r
r
r
rrr
•Rotacija koordinatnog sistema u novi koordinatni sistem pri čemu su dati sledeći uglovi
![Page 14: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/14.jpg)
TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
1312110
1312110
1312110
zcosycosxcoszzzcosycosxcosyy
zcosycosxcosxx
γγγβββ
ααα
+++=
+++=
+++=
•Translacija i rotacija koordinatnog sistema se mogu opisati formulama
![Page 15: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/15.jpg)
Homogenetransformacije
Homogene transformacije se zadajuhomogenim koordinatama.Ove koordinate se uvode da olakšajuprimenu određenih tipovatransformacija u projektivnoj geometrijii kompjuterskoj grafici.
![Page 16: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/16.jpg)
Homogenetransformacije
Vektor n-dimenzionalnog prostorapredstavlja se pomoću (n+1)-homogene koordinate.Nema jedinstvenog predstavljanja tačke iz trodimenzionalnog prostora u homogenim koordinatama.
![Page 17: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/17.jpg)
Homogenetransformacije
najčešće biramo
]1[][ zyxpzyxp h =⇒=rr
Opšta homogena transformacija jedata relacijom
hhh TpPrr
=gde je Th - transformaciona matrica.
![Page 18: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/18.jpg)
Translacijakoordinatnog sistema
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1zyx010000100001
]1zyx[]1zyx[
000
111
![Page 19: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/19.jpg)
TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1zyx0coscoscos0coscoscos0coscoscos
]1zyx[]1zyx[
000
313
212
111
111 γβαγβαγβα
•Translacija i rotacija koordinatnog sistema se mogu opisati formulama
![Page 20: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/20.jpg)
Turntable
Komanda Turntable stvara animaciju neprekidnim okretanjem koordinatnog sistema i objekata u njemu.Pritisnuti Esc za zaustavljanje.
![Page 21: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/21.jpg)
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
•Nova ravan konstruisanja se može postaviti pomoću View-SetCPlane.U ovoj ravni se mogu crtati pravilnipoligoni i krugovi na uobičajeni način.• Nova konstruktivna ravan se može zadati pomoću 3 tačke u prostoru opcijom 3 Points
![Page 22: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/22.jpg)
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
Nacrtati pravouganik čija su 3 uzastopna temenaA(-5,0,0), B(0,-6,0) i C(0,0,8);Iz tačke O(0,0,0) postaviti normalu na ravan ABC i naći tačku prodora S;Koristeći View-SetCPlane-3Points, nacrtati pravilan šestougaoADEFGH čije je središte S i jedno teme tačka A. Nacrtati pravilnu šestostranu prizmu čiji je jedan bazisADEFGH i osa OS.
![Page 23: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/23.jpg)
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
![Page 24: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/24.jpg)
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
![Page 25: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/25.jpg)
CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja
•Nova ravan konstruisanja može se postaviti pomoću View-SetCPlane.•Opciju Perpedicular to Curve korisitimo da nacrtamo novu ravan crtanja normalnu na datu liniju, najčešće pravu.
![Page 26: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/26.jpg)
Nova ravan konstruisanja
Data je duž V(7:5:5)S(0:6:0). Nacrtatiobrtni konus čija je ona osa sa centrom bazisa u S i poluprečnikom R=5cm.Nacrtati pravilnu šestougaonu prizmu sa istom osom poluprečnika osnove r=3cmi visine h=3cmPrikazati deo konusa bez prizme.
![Page 27: Inženjerska grafika geometrijskih oblika · preostali vektori kao linearne kombinacije vektora toga skupa. BAZA PROSTORA •U trodimenzionalnom prostoru jednu ... •Vektor položaja](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070206/60f780901136a35fbe365b79/html5/thumbnails/27.jpg)
Nova ravan konstruisanja
KoristitiView-SetCPlane-Perpedicularto Curve