induksi matematika kelas 12
TRANSCRIPT
![Page 1: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/1.jpg)
INDUKSI MATEMATIKAElian IvanaHeryansyah DjaelaniPutri DarmayantiWidi Adelia
![Page 2: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/2.jpg)
INDUKSI MATEMATIKA Cara / Teknik membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang
baku di dalam matematika. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-
langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.
Serta berfungsi untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang-ulang sesuai dengan pola tertentu
Contoh: p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”.
Buktikan p(n) benar!
![Page 3: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/3.jpg)
PRINSIP KERJA INDUKSI Misalkan p(n) adalah pernyataan mengenai
bilangan bulat positif. Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita
hanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(n0) benar, dan2. jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar, untuk setiap n 1,
![Page 4: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/4.jpg)
PRINSIP KERJA INDUKSI Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan
langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah basis induksi berisi asumsi (andaian)
yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
Hipotesis induksi digunakan untuk mendukung langkah induksi.
Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah
tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
![Page 5: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/5.jpg)
DERET BILANGAN ASLI
![Page 6: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/6.jpg)
DERET KUADRAT BILANGAN ASLI
![Page 7: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/7.jpg)
DERET KUBIK BILANGAN ASLI
![Page 8: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/8.jpg)
LANGKAH – LANGKAHDERET BILANGAN PERSEGI PANJANG
![Page 9: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/9.jpg)
LANGKAH – LANGKAH
![Page 10: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/10.jpg)
DERET BILANGAN BALOK
![Page 11: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/11.jpg)
DERET BILANGAN SEGITIGA
![Page 12: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/12.jpg)
Induksi matematik berlaku seperti efek domino.
![Page 13: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/13.jpg)
CONTOH SOAL
1. Buktikan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2” !
Langkah I : Buktikan bahwa P(1) benarP(1) = 1(1 + 1)/2 = 1 ………. Terbukti
Langkah II : Buktikan bahwa jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benarP(n+1) = 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1)(n+1)((n+1) +1)/2 = P(n) + (n+1)(n+1)(n+2)/2 = n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 (n+1)(n+2)/2 = (n+2)(n+1)/2 ……. Terbukti
![Page 14: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/14.jpg)
CONTOH (2)Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2!
Langkah 1 (Basis induksi): Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2 = 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama memang 1.
![Page 15: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/15.jpg)
Langkah 2 (Langkah Induksi):Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 adalah benar (hipotesis induksi) catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 ……………..Terbukti
![Page 16: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/16.jpg)
SOLUSI CONTOH (3)Buktikan
P(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 untuk n > 1 Langkah 1 :
P(1) = 1(1+1)(2 x 1 + 1) / 6 = 1 ……. (Terbukti) Langkah2: Andaikan benar untuk n = k, maka P(k) = k(k+1)(2k + 1)/6 Akan dibuktikan bahwa P(k+1) = (k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 Bukti: P(k+1) = p(k) + (k+1)2
= k(k+1)(2k + 1)/6 + (k2 + 2k + 1) = (2k3 + 3k2 + k)/6 + 6 (k2 + 2k + 1) / 6 = (2k3 + 3k2 + k + 6 (k2 + 2k + 1)) / 6 = (2k3 + 9k2 + 13k + 1) /6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 …………. Terbukti
![Page 17: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/17.jpg)
. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Penyelesaian:
(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
Contoh Soal (4)
![Page 18: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/18.jpg)
(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … +
(2n – 1)] + (2n + 1) = n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
![Page 19: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/19.jpg)
PRINSIP INDUKSI YANG DIRAMPATKANMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(n0) benar, dan2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n n0,
![Page 20: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/20.jpg)
. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1 Penyelesaian:
(i) Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh: 20 = 20+1 – 1.
Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1 = 21 – 1 = 2 – 1 = 1
Contoh Soal (1)
![Page 21: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/21.jpg)
(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 - 1
juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)
= (2n+1 + 2n+1) – 1 = (2 . 2n+1) – 1 = 2n+2 - 1 = 2(n+1) + 1 – 1 Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1
![Page 22: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Induksi Matematika Kelas 12](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012303/587ae6ae1a28ab7f378b4789/html5/thumbnails/23.jpg)
TERIMA KASIH...!