Componente şi circuite pasive – CCP

Cursul 6

Cuprins:

Inductanţa

Inductanţa electrică ca element de circuit

Comportarea în curent continuu

Comportarea în curent alternativ

Comportarea în regim tranzitoriu

Circuitul RLC serie

Circuitul RLC paralel

Adrese web unde pot fi găsite informaţii pentru curs:

http://en.wikipedia.org/wiki/RL_circuit

http://www.play-hookey.com/ac_theory/ac_rl_series.html

http://en.wikibooks.org/wiki/Circuit_Theory/RLC_Circuits#Series_RLC_Circuit

http://members.aol.com/_ht_a/RAdelkopf/rl.html

http://www.tpub.com/neets/book2/4l.htm

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/rlcpar.html

Inductanţa electrică ca element de circuit

Proprietatea electrică a elementului de circuit denumit inductanţă este aceea de a genera un flux magnetic când este parcursă de un curent electric.

Unitatea de măsură pentru inductanţă este Henri-ul [H]. Valorile întâlnite în practică pentru inductivităţi încep de la subunităţile nH şi mH până la mH şi H.

IL

Inductanţa electrică ca element de circuit

Componenta electronică caracterizată în principal prin inductanţă electrică este bobina. Ea conţine mai multe înfăşurări numite spire.

Pentru o bobină inductanţa poate fi exprimată în funcţie de numărul de spire, N, de dimensiunile sale geometrice (A-aria unei spire şi l-lungimea bobinei) şi de proprietăţile magnetice ale mediului:

Energia înmagazinată în inductanţă

Inductanţa nu disipă putere dar înmagazinează o anumită energie magnetică atunci când este străbătută de curentul I şi o cedează când acest curent dispare din ea:

Conectarea inductivităţilor în serie

Prin conectarea mai multor inductivităţi în serie se obţine o inductivitate echivalentă egală cu suma acestor inductivităţi :

L=

dΦdtdiLdt

=v L

diLdt

⇒ vL=LdiLdt

L=μ0μrN2 Al

μ0=4⋅π⋅10−7 H/m

W m=∫0

T

pdt=∫0

T

v L iLdt=∫0

T

iL LdiLdt

dt= 12LI L

2

Conectarea inductivităţilor în paralel

Prin conectarea mai multor inductivităţi în paralel se obţine o inductivitate echivalentă dată de relaţia:

Comportarea inductivităţilor în curent continuu (CC)

Inductivităţile sunt echivalente în curent continuu cu un scurtcircuit.

Lech=v AB

diABdt

; Li=v idiidt

v AB=∑i=1

n

v i ; iAB= ii

⇓

Lech=∑i=1

n

Li

Lech=vAB

diABdt

; Li=v idiidt

iAB=∑i=1

n

ii; vAB=v i

⇓

1Lech

=∑i=1

n1Li

iAB=cst . ⇒ vAB=LdiABdt

=0

Comportarea inductiviţilor în curent alternativ (CA)

Inductivităţile sunt echivalente în curent alternativ cu o impedanţă, ZL. Considerăm curentul prin inductanţă prin reprezentarea sa fazorială:

Comportarea inductivităţilor în curent alternativ (CA)

Impedanţa (reactanţa) inductivităţii este dependentă de pulsaţie (frecvenţă).

În curent alternativ imitanţele circuitelor cu inductivităţi vor fi dependente de frecvenţa semnalelor.

În consecinţă şi circuitele ce conţin inductivităţi au proprietatea de filtrare a semnalelor.

Filtru RL trece sus

Pentru R=1 KW şi L=160 mH se obţine:

Exerciţii:

vL=LdiLdt

; iL=I⋅e jωt⋅e jϕ

vL=Ld (VI⋅e jωt⋅e jϕ )dt

= jω⋅L⋅I⋅e jωt⋅e jϕ=

¿ jω⋅L⋅iL ⇒vLiL

=ZL= jωL

X L=|Z L|=ωL

vo=Z L

R+Z L

⋅v i=jωLR+ jωL

⋅v i

H ( jω)≡vo( jω)v i( jω )

=jω

LR

1+ jωLR

H ( jf )=j 2π⋅f⋅160⋅10

−6

103

1+ j2 π⋅f⋅160⋅10−6

103

≃ j⋅f⋅10−6

1+ j⋅f⋅10−6

Deduceţi relaţia vo=f(vi).

Identificaţi circuitul din cursul anterior care realiza aceeaşi funcţie.

Caracteristicile de frecvenţă ale filtrului RL trece sus

Filtru RL trece jos

Pentru R=1 KW şi L=160 mH se obţine:

Exerciţii:

Deduceţi relaţia vo=f(vi).

Identificaţi circuitul din cursul anterior care realiza aceeaşi funcţie.

vo=RR+Z L

⋅v i=RR+ jωL

⋅v i

H ( jω)≡vo( jω)v i( jω )

=1

1+ jωLR

H ( jf )= 1

1+ j2 π⋅f⋅160⋅10−6

103

≃ 1

1+ j⋅f⋅10−6

Caracteristicile de frecvenţă ale filtrului RL trece jos

Comportarea inductivităţii la înaltă frecvenţă

La înaltă frecvenţă, acolo unde reactanţa inductivităţii devine mult mai mare decât rezistenţele din circuitele anterioare, inductanţa poate fi echivalată (la limită) cu o întrerupere a circuitului.

Şoc de înaltă frecvenţă

În unele circuite inductivităţile sunt utilizate pentru a separa componentele de curent alternativ de înaltă frecvenţă (întreruperi în CA) dintre două circuite fără a afecta transmiterea componentelor de curent continuu (scurtcircuit în CC), în aceste situaţii ele se numesc şocuri de înaltă frecvenţă.

Comportarea inductivităţii în regim tranzitoriu

Regimul tranzitoriu în acest caz reprezintă modificarea stării de curent continuu din circuit.

Pe durata acestor modificări inductivităţile nu pot fi considerate nici întreruperi nici scurtcircuite.

Analiza de regim tranzitoriu presupune determinarea modului în care variază curentul prin inductanţe.

În general funcţionarea circuitelor în acest tip de regim este descrisă de ecuaţii diferenţiale.

Stabilirea curentului prin inductanţă la aplicarea unei tensiuni constante

Considerăm iniţial comutatorul K în poziţia 1. Curentul prin inductanţă este nul.

La un moment dat, considerat moment de referinţă t=t0, comutatorul K trece în poziţia 2.

După un timp suficient de lung, t®¥, curentul prin inductanţă va fi E/R.

Regimul tranzitoriu se desfăşoară între cele două stări de curent continuu ale inductivităţii.

Stabilirea curentului prin inductanţă la aplicarea unei tensiuni constante

Soluţia ecuaţiei diferenţiale

Constanta de timp a circuitului τ≡ L

R

iL(0 )=iL( t=t0 )iL (∞)=iL( t→∞)

iL (t )=iL(∞)+[ iL(0 )−iL(∞)]⋅e− tτ

TKV: E=vR+vL

E=R⋅iL+v L; vL=LdiLdt

E=RiL+LdiLdt

; τ≡LR

ER

=iL+τdiLdt

Variaţia curentului prin inductanţă, iL

Variaţia tensiunii pe inductanţă, vL

iL (0)=0 ; iL(∞)=ER

iL (t )=ER

⋅(1−e−tτ )

vR( t )=iL( t )⋅R=E⋅(1−e−tτ )

vL( t )=E−vR( t )=E⋅e−tτ

Semnificaţia constantei de timp a circuitului

Dacă procesul tranzitoriu s-ar desfăşura cu aceeaşi pantă ca în origine (momentul iniţial), atunci valoarea finală a mărimilor din circuit s-ar obţine după un timp egal cu această constantă de timp.

Aşa cum se poate constata, matematic valoarea finală a curentului prin inductanţă se obţine la infinit.

În practică se consideră că procesul tranzitoriu este încheiat după 3t (95%) sau după 5t (99%).

Exemplu (E=1 V, R=1 K, L=1 mH)

Stingerea curentului prin inductanţă

Considerăm iniţial comutatorul K în poziţia 2. Curentul prin inductanţă este E/R.

La un moment dat, considerat moment de referinţă t=t0, comutatorul K trece în poziţia 1.

După un timp suficient de lung, t®¥, curentul prin inductanţă se anulează.

Regimul tranzitoriu se desfăşoară între cele două stări de curent continuu ale inductivităţii.

Stingerea curentului prin inductanţă

Soluţia ecuaţiei diferenţiale

Exemplu (E=1 V, R=1 K, L=1 mH)

iL(0)=iL( t=t0 )=ER

iL(∞)=iL( t→∞)=0

iL (t )=iL(∞)+[ iL(0 )−iL(∞)]⋅e− tτ

TKV: 0=vR+vL

0=R⋅iL+v L; vL=LdiLdt

0=R⋅iL+LdiLdt

; τ≡LR

0=iL+τdiLdt

iL (t )=ER

⋅e−tτ ; vR( t )=R⋅iL( t )=E⋅e

−tτ ;

vL( t )=−vR( t )=−E⋅e−tτ ;

Observaţie

Dacă la trecerea comutatorului K din poziţia 2 în poziţia 1 circuitul rămâne deschis curentul prin circuit se anulează instantaneu ceea ce înseamnă că di/dt®¥. Acest fenomen determină apariţia unei supratensiuni la bornele inductanţei. Această tensiune foarte mare poate fi periculoasă pentru alte circuite.

Protecţia împotriva acestei situaţii se obţine prin introducerea unei diode în circuit.

Comportarea circuitelor RL la aplicarea unui tren de impulsuri

Reluăm circuitul RL serie căruia sursa de semnal vI îi aplică un tren de impulsuri dreptunghiulare.

În analiza următoare vom lua în considerare atât tensiunea de la bornele inductivităţii, vL(t), cât şi tensiunea de la bornele rezistenţei, vR(t).

Prin aplicarea sursei de semnal se repetă succesiv fenomenele de tranzitorii analizate anterior.

Cazul A – constanta de timp a circuitului mult mai mică decât durata impulsurilor

Cazul B – constanta de timp a circuitului mult mai mare decât durata impulsurilor

Circuit integrator

Dacă tensiunea de ieşire este tensiunea de pe rezistenţă efectul circuitului asupra semnalului de intrare este de atenuare a fronturilor, fiind similar cu cel al operaţiei matematice de integrare.

În această situaţie, vO(t)=vR(t), circuitul se numeşte circuit de integrare.

Efectul de integrare este mai pronunţat în cazul B, în care constanta de timp a circuitului este mai mare decât durata impulsurilor.

Funcţia de integrare realizată în regim tranzitoriu este corespondentă funcţiei de FTJ realizată în CA.

Circuit derivator

Dacă tensiunea de ieşire este tensiunea de pe inductanţă efectul circuitului asupra semnalului de intrare este de accentuare a fronturilor, fiind similar cu cel al operaţiei matematice de derivare.

În această situaţie, vO(t)=vL(t), circuitul se numeşte circuit de derivare.

Efectul de derivare este mai pronunţat în cazul A, în care constanta de timp a circuitului este mai mică decât durata impulsurilor.

Funcţia de derivare realizată în regim tranzitoriu este corespondentă funcţiei de FTS realizată în CA.

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Impedanţa echivalentă între bornele AB este:

CLjR

CjLjRZZ SechAB

11

Modulul acestei impedanţe este:

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Se observă că atunci când pulsaţia (frecvenţa) tinde la zero sau la ¥ modulul impedanţei tinde şi el la ¥. Această comportare rezultă şi din faptul că în curent continuu capacitatea reprezintă o întrerupere, iar la frecvenţe foarte înalte inductanţa reprezintă o întrerupere.

Se observă că partea imaginară a impedanţei se anulează la frecvenţa:

Ea se numeşte frecvenţă de rezonanţă. Din punct de vedere energetic la acestă frecvenţă capacitatea şi inductanţa îşi transferă reciproc energia.

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Derivata modulului impedanţei se anulează la frecvenţa de rezonanţă.

Rezultă că frecvenţa de rezonanţă este un punct de extrem pentru modulul impedanţei, în cazul de faţă el fiind un minim.

La frecvenţa de rezonanţă impedanţa este pur rezistivă fiind egală cu:

Modulul ZSech pentru R=10 W, L=10 mH, C=100 nF

|ZSech|=√R2+(ωL− 1ωC )

2

=√ω2R2C2+(1−ω2LC )2

ωC

ω0=1

√LC

ZSech(ω0 )=R

Exerciţiu:

Reprezentaţi |ZSech| în funcţie de frecvenţă la scară simplu logaritmica

Circuitul RLC paralel – comportare în CA

Impedanţa echivalentă între bornele AB este:

Modulul acestei impedanţe este:

Circuitul RLC paralel – comportare în CA

Se observă că atunci când pulsaţia (frecvenţa) tinde la zero sau la ¥ modulul impedanţei tinde la zero. Această comportare rezultă şi din faptul că în curent continuu capacitatea reprezintă o întrerupere, iar la frecvenţe foarte înalte inductanţa reprezintă o întrerupere.

Se observă că partea imaginară a impedanţei devine ¥ la frecvenţa:

Z AB=ZPech=R||ZL||ZC=R||( jωL

1−ω2 LC )= jωL

1−ω2 LC+ jωLR

|ZPech|=ωL

√ω2 ( LR )2

+(1−ω2 LC )2

ω0=1

√LC

Ea se numeşte frecvenţă de rezonanţă. Din punct de vedere energetic la acestă frecvenţă capacitatea şi inductanţa îşi transferă reciproc energia.

Circuitul RLC serie – comportare în CA

Derivata modulului impedanţei se anulează la frecvenţa de rezonanţă.

Rezultă că frecvenţa de rezonanţă este un punct de extrem pentru modulul impedanţei, în cazul de faţă el fiind un maxim.

La frecvenţa de rezonanţă impedanţa este pur rezistivă fiind egală cu:

Modulul ZPech pentru R=100 W, L=10 mH, C=100 nF

Exerciţiu:

Reprezentaţi |ZPech| în funcţie de frecvenţă la scară simplu logaritmică

Factorul de calitate – Q

Cele două structuri prezentate sunt utilizate pentru obţinerea unor filtre (FTB şi FOB).

ZPech (ω0 )=R

Selectrivitatea acestor circuite faţă de anumite frecvenţe este caracterizată de o mărime sintetică numită factor de calitate. El reprezintă raportul dintre frecvenţa de rezonanţă şi banda definită la 3 dB atenuare/amplificare.

Activităţi individuale

Determinaţi pentru fiecare situaţie din tabel funcţia pe care o realizează în curent alternativ circuitul alăturat.

Întocmiţi un referat cu tema: “Complementaritatea comportării inductanţelor şi capacităţilor în circuitele electronice”

QS=ω0L

R

QP=Rω0L