E nte ndie ndo la autoinductancia

J.L.Jim ¶e ne z1,N .A q uino 2 e I.Cam p os31De p to.de F¶³sica,Facultadde Cie nciasUN A M,e n a ~no sab¶atico de UA M-I,2De p to.de F¶³sica,UA M-I,3De p to.de F¶³sica,Facultadde Cie nciasUN A M

R e cibido: 13 de e ne r o de 2 006 .A ce p tado: 2 7 de abrilde 2 006 .

R e sum e nElconocim ie nto cie nt¶³co se ca r acte riza p o r su es-tructuraci¶on conce p tual,q ue p odr¶³am osvisualizarcom o una r edq ue r e laciona losconce p tose ntr e s¶³atrav¶esde le yes.E n ele ctro m agne tism o te ne m oslosconce p tosde inductancia m utua y autoinductancia,q ue se r e lacionan con losconce p tosde e ne rg¶³a y de n-sidadde e ne rg¶³a,as¶³com o con losconce p tosde °u-jo m agn¶etico y eslabonam ie nto de °ujo (°ux linka-ge).E n elp r ese nte traba jo se analiza la autoinduc-tancia p o r unidadde longitudde un cable coaxial,q ue alse r calculada m ediante e lconce p to de de n-sidadde e ne rg¶³a da un r e sultado y alse r calcula-da m ediante e lconce p to de eslabonam ie nto de °u-jo da un r esultado dife r e nte,si¶este se ap lica e n fo r-m a ina p r op iada.

Sin e m ba rgo,altom a r e n cue nta q ue un cable de r a-dio nito de be se r conside rado com o un n¶um e r o in-nito de cables lifor m e s,r e q uirie ndo as¶³la ge ne -ralizaci¶on delconce p to de eslabona m ie nto de °ujo,se e ncue ntra q ue e lr e sultado coincide con elobte ni-do m ediante la de nsidadde e ne rg¶³a.

Intr oducci¶onLosconce p tosde inductancia m utua y autoinductan-cia [1-3]son fundam e ntalese n la p r e p a r aci¶on de f¶³si-cose inge nie rosq ue r e q uie r an delconocim ie nto dela te or¶³a ele ctrom agn¶etica.Esosconce p tosse intro-duce n desde loscursosb¶asicosde ele ctro m agne tis-m o y a p a r e ce n e n todosloste xtosdelte m a,desde in-te r m edioshasta avanzados.Lase xp r esionesinvolu-cradase n lasde nicionesson e xactam e nte lasm is-m as; sin e m ba rgo,una de lase xp r e sionescon la q uese de ne la autoinductancia no sie m p r e e sap lica-ble dire cta m e nte.Esta de nici¶on esla q ue involu-cra e lconce p to de eslabonam ie nto de °ujo (°ux lin-kage).E n algunosde losescasoste xtose n losq ue seilustra alg¶un e je m p lo de este tip o,losautor e sse de-dican p or lo r e gula r a r e solve r elp roble m a e m p le an-

do alg¶un \truco" adhoc p a r a e ste p r oble m a,p e r ono discute n elorige n delp roble m a m ism o,lo cuale n ge ne r alconfunde alestudiante.N uestro p ro p ¶osi-to e n e ste traba jo e sdiscutir uno de dichose je m -p los: e lc¶alculo de la autoinductancia de un cable coa-xial,y m ostra r q ue se p uede n e vitar confusionessise ge ne r aliza cor r e cta m e nte e lconce p to de eslabo-na m ie nto de °ujo y p or lo tanto elde co e cie nte deautoinducci¶on.

La inductancia y la autoinductanciaUsualm e nte se introduce elconce p to de inductan-cia com o e lco e cie nte q ue r e laciona a la cor rie ntecon e l°ujo delcam p o m agn¶etico.Sise tie ne n doscir-cuitosC 1 y C 2 ( gur a 1)y r e p r e se ntam osp or S 1 yS 2 lassup e r ciesq ue e ncie r r an dichoscircuitos,e n-tonces,sie n elcircuito C 1 hay una co r rie nte I1,es-te circuito p r oduce un ca m p o m agn¶etico ~B1,p artedelcualatraviesa elcircuito C 2,estable cie ndo el°u-jo m agn¶etico

©12 =Z

S 2

~B1¢d~S 2 (1)

De la le y de Biot{Sava rtse tie ne q ue e lca m p o ~B1e sdire cta m e nte p ro p o rcionala I1,p or lo q ue

©12 = L 012 I1 (2 )

La \0" indica q ue e lcircuito consta de una sola vueltade cor rie nte lifor m e .Sielcircuito C 2 tie ne N vuel-taseslabonadasp o r e lm ism o °ujo m agn¶etico,e nton-cesesconve nie nte introducir ¤12,eleslabonam ie n-to o e nlace de °ujo

¤12 = N ©12 (3)

E n este caso se de ne la inductancia m utua com o

L 12 =¤12I1

(4)

59

6 0 ContactoS 6 4,59{6 3 (2 007 )

La autoinductancia delcircuito C 1 se de ne com oe leslabonam ie nto o e nlace de °ujo p or unidaddecor rie nte sobr e e lm ism o circuito,esto es

L 11=¤11I1

(5)

donde

¤11= N 1©11= N 1

Z

S 1

~B ¢d~S 1 (6 )

A dicionalm e nte se introduce e lconce p to de e ne rg¶³am agn¶etica y se de m ue stra q ue p a r a N circuitos

U B =12

NX

i=1

NX

j=1

L ijI iIj (7 )

E n p a rticular,p a r a un solo circuito,

U B =12L I 2 (8)

donde he m oselim inado lossub¶³ndices.E ntoncesr e -sulta e vide nte q ue

L =2 U B

I 2(9)

Por otra p a rte,se introduce elconce p to de de nsidadde e ne rg¶³a m agn¶etica,uB = B 2 =2 ¹0,p ar a e lvac¶³oo m ediosno m agn¶eticos,de m ane r a q ue la e ne rg¶³am agn¶etica esla inte gr alde volum e n de la de nsidadde e ne rg¶³a.

Com o ve r e m os a continuaci¶on la a p licaci¶on dire c-ta de lase cuaciones(5)y (9)p uede conducir a si-tuacionesq ue confunde n alestudiante y p o r e llo con-side ra m osconve nie nte discutirlas.

A utoinducci¶on e n un cable coaxialConside r e m osuna l¶³ne a de transm isi¶on coaxial; e lconductor inte rno tie ne r adio a,m ie ntrasq ue e le x-te rno e sm uy delgado y tie ne r adio b.Elcable lle-va una co r rie nte I >Cu¶anto vale la autoinductan-cia p o r unidadde longitud?

A nte todo,p a r a e ncontra r los°ujos,hace falta co-noce r losca m p osm agn¶eticosde ntro delcable.Es-tosson f¶acilesde calcula r m ediante la le y de A m p ¶e r e ,r e sultando

~B1 =¹0rI2 ¼a2

Á; 0·r·a;

~B 2 =¹0I2 ¼r

Á; a·r·b; (10)

donde Á e selve ctor unitario asociado a la coo rde-nada p ola r Á

M¶etodo I(e r r¶one o)Inge nua y e r r¶onea m e nte,lo p rim e r o q ue se ocur r e e scalcular dir e cta m e nte e l°ujo © y lue go dividir e ntr ela co r rie nte p a r a obte ne r L,com o cuando hay unsolo cable involucr ado.V e a m osa d¶onde nosconducee sto.El°ujo p or unidadde longitudest¶a dado p or

© =Z a

0

~B1¢d~r+Z b

a

~B 2 ¢d~r (11)

donde d~r e sla dife r e ncialde sup e r cie p o r unidadde longitud,

d~r= d~S sup =

Usando (10)e n (11)da com o r e sultado

© =¹0I2 ¼a2

Z a

0rdr+

¹0I2 ¼

Z b

a

1rdr

=¹0I4¼

+¹0I2 ¼

lnba

(12 )

con la de nici¶on de L dada p o r la e cuaci¶on (5)seobtie ne de inm ediato

L =¹04¼

+¹02 ¼

lnba

(13)

Este r e sultado p a r e ce convince nte,p e r o convie ne r e -solve r e lp roble m a usando otro m ¶etodo.

M¶etodo II(cor r e cto)Pa ra p ode r usa r la e cuaci¶on (9)de be m oscalcula r lae ne rg¶³a m agn¶etica p o r unidadde longituden elcablecoaxial,dada p or la e cuaci¶on

U B =12 ¹0

Z

VB 2 dV (14)

Usando las e cuaciones (10) obte ne m os la e ne rg¶³am agn¶etica p o r unidadde longitud,

E nte ndie ndo la autoinductancia. J.L.Jim ¶e nez,N .A quino e I.Cam pos. 6 1

U 0B =

12 ¹0

Z a

0

"µ¹0I2 ¼a2

¶2r2#rdrZ 2 ¼

0d' +

12 ¹0

Z a

0

"µ¹0I2 ¼

¶2 1r2

#rdrZ 2 ¼

0d' =

¹0I 2

16 ¼+

¹0I 2

4¼ln

ba

(15)

De la e cuaci¶on (9)se obtie ne de inm ediato

L =¹08¼

+¹02 ¼

lnba

(16 )

Com o p uede ve rse die r e de (13)p o r un factor 12 e n

e lp rim e r m ie m bro dellado de r e cho.

Discusi¶on.Elq ue haya dosr e sultadosm uestra clar a m e nte q ueuno de ellosesincor r e cto; e sne ce sa rio e ntoncesde-te r m inar cu¶alde elloslo es.N osinte r e sa e lp rim e rt¶e r m ino dellado de r e cho de lase cuaciones(13)y(16 ),elq ue se r e e r e a la autoinductancia delcableinte rior,q ue e sdonde ap a r e ce la dife r e ncia.Sise r e -visa cuidadosam e nte la for m a e n q ue se calcul¶o la au-toinductancia delcable inte rior se nota q ue e leslabo-nam ie nto de °ujo no se ha conside rado cor r e cta m e n-te e n e lp rim e r m ¶etodo,ya q ue im p l¶³citam e nte se hatom ado N = 1.Esto escie rto s¶olo p a r a r>a,p uestoq ue la sim etr¶³a cil¶³ndrica delp roble m a p e r m ite con-side ra r toda la cor rie nte I com o una cor rie nte lifor-m e e n e lce ntro delcilindro.Sin e m ba rgo e lcable in-te rior de be conside ra rse for m ado p o r m uchoscableslifor m e sq ue tr ansp ortan una fracci¶on de la cor rie n-te I ,de bi¶e ndose e ntoncestom a r e n cue nta eleslabo-nam ie nto de °ujo co r r e sp ondie nte,talcom o se m ue s-tra e n la gura 2 (p ¶ag.6 2 ).

Esp r e cisam e nte e n e lconce p to de eslabona m ie ntode °ujo donde yace la dicultadconce p tual,p uesesne ce sa rio ge ne r alizar de un n¶um e r o N e nte ro y nitode circuitos lifor m e seslabonadoso atravesados,p ore lm ism o °ujo m agn¶etico,a una cantidadcontinua.Este p roble m a se trata e n e llibro de Che ng [1],q uep a r a e vitar inte r p r e tacionese r r¶one astranscribim osa continuaci¶on.

Discusi¶on de Che ng.R e m ¶³tase a la gur a 5-16 .Sup onga q ue una cor rie n-te I °uye p o r e lconductor inte rno y r e gr e sa e n la di-re cci¶on contra ria p o r e lconductor e xte rno.B solo tie-ne co m p one nte e n © de bido a la sim etr¶³a cil¶³ndrica.Su-p onga tam bi¶e n q ue la co r rie nte I se distribuye de m ane -

Figur a 1.Dosesp irascon acop lam ie nto m agn¶etico.

ra unifo r m e p o r la se cci¶on transve rsaldelconductor in-te rno.Prim e r o hallam oslosvalor e sde B.

a)E n e lconductor inte rno 0·r·a.A p a rtir de la e cuaci¶on (5-11),

B 1= a©B©1= a©¹0rI2 ¼a2

: (5:86 )

b)E ntr e losconductor e sinte rno y e xte rno a·r·b.A p a rtir de la e cuaci¶on (5-12 ),

B 2 = a©B©2 = a©¹0I2 ¼r

: (5:87 )

Conside r e aho r a una r e gi¶on anular e n e lconductor in-te rno,con r adiosr y r+ dr.La cor rie nte e n una uni-dadde longitudde esta r e gi¶on anular e st¶a ligada al°u-jo q ue p uede obte ne rse alinte gr a r lase cuaciones(5.86 )y (5.87 ).Te ne m os

d©0=Z a

rBÁ1dr+

Z b

aBÁ2 dr

=¹0I2 ¼a2

Z a

rrdr+

¹0I2 ¼

Z b

a

drr

(5:88)

=¹0I4¼a2

(a2 ¡r2 )+¹0I2 ¼

lnba:

Pe r o la cor rie nte e n la r e gi¶on anula r e ss¶olo una fr acci¶on(2 ¼rdr=¼a2 = 2 rdr=a2 )de la cor rie nte totalI .Por e llo,el°ujo ligado a esta r e gi¶on anular e s

d¤0=2 rdra2

d©0: (5:89)

El°ujo totalligado p o r unidadde longitudes

6 2 ContactoS 6 4,59{6 3 (2 007 )

¤0 =Z r=a

r=0d¤0

=¹0I¼a2

·12a

Z a

0(a2 ¡r2)rdr

+³ln

ba

Z a

0rdr¸

=¹0I2 ¼

³14+ ln

ba

´:

La inductancia p o r unidadde longitudde la l¶³ne a detransm isi¶on coaxialese ntonces

L 0=¤0

I=

¹08¼

+¹02 ¼

lnba

(H =m): (5:90)

Elp rim e r t¶e r m ino,¹0=8¼,p rovie ne del°ujo ligado alconductor inte rno s¶olido; se cono ce co m o inductanciainte r na p o r unidadde longituddelconductor inte rno.E lse gundo t¶e r m ino p r ovie ne del°ujo ligado q ue e xiste e n-tr e e lconductor inte rno y e le xte rno ; e ste t¶e r m ino de co-noce com o inductancia e xte rna p o r unidadde longi-tudde la l¶³ne a coaxial.Elt¶e r m ino ¹0=8¼ no e xistir¶³a sielconductor inte rno fue r a un tubo hue co delgado; ¶uni-cam e nte habr¶³a conductancia e xte rna ( n de la discu-si¶on de Che ng).

Elp e q ue ~no p ¶a r r afo q ue sigue a la e cuaci¶on (5.88)deChe ng eselp unto crucialde su argum e ntaci¶on as¶³co-m o de nir dÁ com o una inte gr al,lo cualaum e n-ta la confusi¶on,ah¶³se de be r¶³a discutir la ge ne r ali-zaci¶on delconce p to de eslabona m ie nto,p e r o e n lu-ga r de ello nose ncontra m oscon una sim p le a r m a-ci¶on,p oco usuale n e ste e xce le nte te xto.A q u¶³se es-table ce la fracci¶on de la cor rie nte I e n la r e gi¶on anu-lar e ntr e ry r+ dry de ah¶³salta al°ujo ligado.>Pe-ro d¶onde est¶a eln¶um e r o de circuitoseslabonados,esde cir,atravesados,p or e lm ism o °ujo m agn¶eti-co? Elcable inte rno e saho ra un n¶um e r o in nito decables lifor m e sq ue esne ce sario \conta r",p a ra ge -ne ralizar la e xp r e si¶on de la e cuaci¶on (3).

E n la gura 1(p ¶ag.6 1)se m ue stra la fr acci¶on de cir-cuitoseslabonadosp o r e l°ujo m agn¶etico e ntr e r ya,q ue esla p a rte p r oble m ¶atica delp r oble m a ba-jo la m ism a sup osici¶on de una co r rie nte unifor m e -m e nte distribuida sobr e la se cci¶on transve rsal.Di-cha fracci¶on esp r e cisam e nte 2 rdr=a2.Por lo tantop ode m osp lante a r q ue la ge ne r alizaci¶on de la e cua-ci¶on (3)es

d¤ =2 rdra2

©(r)

donde

©(r)=Z a

r

¹0I r2 ¼a2

¢dr=¹0I `4¼a2

(a2 ¡r2 )

Por lo tanto,

d¤ =¹0I `2 ¼a4

(a2 r¡r3)dr

E ntonceseltotalde eslabonam ie ntosse r¶a

¤ =¹0I `2 ¼a4

Z a

0(a2 r¡r3)dr=

¹0I `2 ¼a4

µa4

2¡a4

4

¶

=¹0I `8¼

con lo q ue obte ne m oselr e sultado cor r e cto,consis-te nte con la e cuaci¶on (16 ),q ue da elm ¶etodo de lae ne rg¶³a.

Figura 2 .Un cable de longitud nita,e n donde se m ue s-tran loscircuitosde cor rie nte lam e ntar e s.

Conclusione sLasle yesde la f¶³sica y losconce p tosq ue ¶estasr e-lacionan e ntr e s¶³im p lican condicionesm uy esp e c¶³-casp a r a su ap licabilidad.Por e je m p lo,e n m e c¶ani-ca cl¶asica te ne m oselconce p to de p a rt¶³cula,q ue e slaide alizaci¶on de un cue r p o f¶³sico visto desde una dis-tancia m uy gr ande,e n esta m ane r a se conside ra aun p laneta e n su m ovim ie nto de traslaci¶on alr ede-dor delSol.E n elele ctro m agne tism o tam bi¶e n te ne-m oselconce p to an¶alogo,la ca rga p untualy la co-r rie nte lifor m e .

E nte ndie ndo la autoinductancia. J.L.Jim ¶e nez,N .A quino e I.Cam pos. 6 3

E n e lp roble m a q ue he m osanalizado e n e ste traba-jo,la soluci¶on cor r e cta se obtie ne altom a r e n cue n-ta q ue de ntro delcable la cor rie nte de be de se r consi-de rada com o un n¶um e r o in nito de cor rie ntes lifor-m e s.E n la m e c¶anica te ne m ossituacionese n lasq ueloscue r p osya no p uede n conside ra rse com o p a rt¶³cu-las,sino com o distribucionescontinuasde p a rt¶³cu-las.Por lo tanto esla ge ne r alizaci¶on delconce p tode eslabona m ie nto de °ujo a distribucionesin ni-tasde cor rie nte s lifor m e slo q ue p e r m ite calcula r sinam bigÄuedad.

R e fe r e ncias

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5. DavidK .Che ng,Fundam e ntosde ele ctrom ag-netism o p a r a inge nie r¶³a,A ddison-W e sle y Ibe -roa m e ricana,E.U.A 199 7 ,p ¶agina 2 05

cs