Índice

2.Ciclos

2.1  Definición formal

2.2   Ejemplos

2.3   Propiedades

2. CICLOS

Un ciclo es un tipo especial de permutación que fija cierto

número de elementos (quizás ninguno) mientras que mueve

cíclicamente el resto. En caso de no fijar ningún elemento lo

denominaríamos permutación cíclica.

Más concretamente, si un ciclo afecta a un

elemento x cualquiera del conjunto, al aplicar dicho ciclo

reiteradamente todos los elementos afectados por el

reordenamiento pasarán por la posición de x en algún

momento. Y de forma recíproca, el elemento x pasará por

todas las posiciones de todos los elementos afectados por la

permutación.

Los ciclos son tipos de permutación especialmente

importantes, pues pueden usarse como piezas básicas para

construir cualquier otra permutación.

Definición formal

Sea   y  . Un ciclo de longitud   o r-ciclo de   es

una permutación   tal que del conjunto   hay   

elementos diferentes secuenciados,  , para los

cuales se cumple que:

, de tal manera que   si  .

 y  .

Ejemplos

La permutación   es un ciclo que no fija ningún elemento. Por ello, también se dice que es una permutación cíclica.

La permutación   no es un ciclo, ya que es una permutación compuesta por dos ciclos.

De hecho, se demuestra que cualquier permutación puede descomponerse como producto de ciclos disjuntos.1

Transposición: es un ciclo de longitud 2, es decir, un 2-ciclo.

Propiedades

Notación: Si un elemento   de un conjunto   se

ve 'afectado' por un ciclo   entonces

decimos que  .

Sea   un ciclo de longitud  , entoncesSi   entonces se puede escribir como

y   es el mínimo natural  .

Sea   un ciclo de longitud  , entonces y además   es el mínimo natural  .

De ésta proposición se deduce directamente el segundo enunciado de la proposición 1.

Sea   un ciclo de longitud  , entonces