UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALAUNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERIA CIVIL

CARRERA DE INGENIERIA CIVILAlgebra Lineal

Alumno: Cristhofer A. SalinasCurso: 2º “B” Tema: Dependencia e independencia lineal

Dependencia e independencia lineal.

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Definición

Dado un conjunto finito de vectores  , se dice que estos vectores

son linealmente independientes si existen números  , tales que:

Donde la única posibilidad que se cumpla esta ecuación es que dichos escalares sean

todos nulos. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes. Nótese que el

símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo  . El

conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los

vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse

a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es

linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal

así:

Un conjunto de vectores   de un espacio vectorial es linealmente independiente

si 

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente

independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes

encontramos:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno

de los vectores es combinación lineal de los demás.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier

subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de

vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo

solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo

conjunto que lo contenga.

4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son

paralelos.

5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes

entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional.

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene

algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este

conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es

combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será

linealmente dependiente.