BITÁCORA 2

ASIGNATURA(S)

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA NIVEL 2° MEDIO

NOMBRE DE ESTUDIANTE CURSO

Objetivo de Aprendizaje

Priorizado/ O. Transversal

OA9: Mostrar que comprenden las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos: relacionándolas con las propiedades de semejanza de triángulos. Explicándolas de manera pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo. Aplicándolas para determinar ángulos o medidas de lados. Resolviendo problemas geométricos y de otras asignaturas.

Indicador(es) de Evaluación

Identifican las medidas dadas, con lados de los triángulos rectángulos que representan la situación de manera pictórica.

Calculan lados y ángulos para resolver los problemas. Utilizan las razones trigonométricas para resolver los problemas. Calculan lados utilizando expresiones algebraicas; para ello, aplican conocimientos

anteriores. Resuelven triángulos en ejercicios rutinarios; es decir, determinan todos sus

ángulos y la medida de todos sus lados. Resuelven problemas contextualizados aplicando las razones trigonométricas

Contenidos Triángulos – Ángulos – Trigonometría – Alturas y Distancias – Ecuaciones – Razones y Proporciones.

PRIMERA SEMANA

Desde el día 13 de Julio Hasta el día 17 de Julio

¿QUÉ SON LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS?

Es una parte de la geometría que estudia las relaciones que se establecen entre los lados y ángulos de los triángulos, para lo cual se vale principalmente de la semejanza que puede existir entre dos o mas triángulos si conservamos un ángulo constante y así se establecen algunos valores predeterminados que se pueden aplicar en cualquier circunstancia, por ejemplo, medir la altura de un árbol sin necesariamente subirse a él.

ACTIVIDAD 1: Primero dibuja en un cuaderno un triángulo rectángulo como muestra el ejemplo en la página siguiente, para lo cual deberás escoger un ángulo (α) de inclinación que tu quieras. Luego traza algunas líneas verticales al interior del triángulo (paralelas al lado b) con lo cual se formarán otros triángulos en su interior que serán semejantes al mas grande (el original)

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A continuación, usando una regla mide de manera más exacta posible los lados a y b para luego dividir los resultados (a/b). Lo mismo hace para cada uno de los triángulos mas pequeños. Te debiera dar los mismos resultados al dividir la medida de sus lados, ya que, al disminuir el tamaño de un lado, al mismo tiempo está disminuyendo el otro.

CONCLUSIÓN

Para un triángulo rectángulo, si se establecen varios triángulos mas grandes o mas pequeños que conserven un ángulo en común, sus lados serán proporcionales y mantendrán un resultado constante si se dividen sus lados.

De acuerdo a los lados que se quieran o deseen dividir, reciben un nombre, lo cual se denominan en general Razones Trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Primero, daremos nombres a los tres lados del triángulo rectángulo, los cuales ya conoces en parte.

Cateto Opuesto: ya que está al otro lado del ángulo α

Cateto Adyacente: ya que esta junto al ángulo α Hipotenusa: tal como ya sabes, el lado mas

extenso y que está al otro lado del ángulo recto de 90°.

Entonces, ya aclarado esto, las razones trigonométricas corresponden a los siguientes cocientes los cuales deberás aprender muy bien.

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ACTIVIDAD 2: Llegó la hora de usar tu calculadora científica (del celular o computador). Busca en ella los símbolos (funciones) que digan “sin”, “cos” y “tan”, lo cual corresponde a seno, coseno y tangente respectivamente. Lo que vamos a hacer es determinar la altura de un árbol conocida la distancia a la cual estamos de él (12m) y el ángulo de elevación a su parte más alta desde donde estamos parados (30°).

Paso 1: Darte cuenta que la altura del árbol (x) corresponde al cateto opuesto al ángulo (30°) y que la distancia a la que estamos de él es el cateto adyacente.

Paso 2: Como vamos a utilizar los dos catetos (la hipotenusa en este problema no interviene), deberemos usar la Tangente del ángulo (Tg α), es decir la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente aplicado a un ángulo de 30°. Asique en tu calculadora aplica Tan 30° y verás que el resultado es aproximadamente 0,577.

Paso 3: Finalmente planteamos la proporción correspondiente a la Tangente para determinar la altura del árbol

Tgα = CatetoOpuestoCateto Adyacente Remplazando todos los valores que ya tenemos quedaría

Tg30°= x12 Luego, como ya conocemos el valor de Tg30°, lo reemplazamos

0,577 = x12 Finalmente para despejar la x, debemos el 12 multiplicarlo por 0,577

0,577 x 12 = X Con lo que el resultado sería

6,924 m = X Es decir que el árbol mide casi 7 metros de altura.

ACTIVIDAD 3: Ahora tu calcula la altura de la Torre (Eiffel) si la persona está a 175 metros de ella y con un ángulo de 60° de inclinación desde el punto donde se encuentra el observador a lo más alto de la torre. Después que hayas realizado todos los procedimientos según el ejemplo anterior y ya tengas un resultado, averigua cual es la altura real de la Torre Eiffel y compara. (Anota todo en un cuaderno)

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SEGUNDA SEMANA

Desde el día 20 de Julio Hasta el día 24 de Julio

RESUMEN CLASE ANTERIOR:

Las razones trigonométricas se establecen gracias a la proporcionalidad que existe entre triángulos semejantes cuando mantienen características en común, a las que denominados Seno, Coseno y Tangente, aunque también existen otras, pero las veremos mas adelante en clases presenciales a futuro. Recuerda que las letras que asignemos a los lados del triángulo pueden ser cualquiera, lo importante es saber la relación trigonométrica entre ellos lo cual se mantiene siempre.

EJEMPLO 1: Imagina que los bomberos deben saber el largo mínimo de una escalera para subir a un edificio en llamas y solo cuentan con la información indicada en la figura.

Paso 1: Darte cuenta que el largo de la escalera (x) corresponde a la hipotenusa del triángulo y que los 20 metros corresponden al cateto adyacente al ángulo de 70°.

Paso 2: Como vamos a utilizar el cateto adyacente y la hipotenusa en este caso (el cateto opuesto no interviene), deberemos usar el Coseno de 70°, es decir la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Asique en tu calculadora aplica Cos 70°, el resultado es aproximadamente 0,34.

Paso 3: Finalmente planteamos la razón trigonométrica correspondiente a la Tangente para determinar el largo de la escalera.

Cosα = Cateto Adyacentehipotenusa Remplazando todos los valores que ya tenemos quedaría

Cos70°= 20x Luego, como ya conocemos el valor de Cos70°, lo reemplazamos

0,34 = 20x Despejamos x, intercambiando de posición cruzada (más fácil)

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X = 200,34 Con lo que el resultado sería:

X = 58,8 Entonces el largo mínimo de la escalera debe ser 58,8 metros, casi 59m.

ACTIVIDAD 1: Tal como en la clase anterior, deberás ahora crear tu misma un problema en un cuaderno donde dibujes un objeto natural o arquitectónico al cual se le deba calcular la altura, con un ángulo y distancia que tu decidas.

ACTIVIDAD 2: Desarrolla en tu cuaderno los siguientes problemas trigonométricos. Observa muy bien cada triángulo y sus medidas indicadas.

a) Calcula el valor de la Tangente para los ángulos indicados en cada uno de ellos y luego responde ¿Qué puedes concluir? Recuerda que la razón trigonométrica de la Tangente es Cateto Opuesto sobre Cateto Adyacente.

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b) Ahora has lo mismo para las otras razones trigonométricas de Sen(α), Sen(β) y Sen(γ) comprobando si da los mismos resultados y luego reitera el ciclo con la función Coseno. Recuerda desarrollar todo en tu cuaderno y de manera ordenada.

ACTIVIDAD 3: Analiza cada triángulo. Luego, determina el valor de x completando cada desarrollo, todo en tu cuaderno.

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TERCERA SEMANA

Desde el día 27 de Julio Hasta el día 31 de Julio

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DESARROLLA TODAS LAS ACTIVIDADES EN UN CUADERNO DE MANERA ORDENADA

ACTIVIDAD 1: Para poder desarrollar esta actividad deberás primero aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa del triángulo, luego de ello podrás determinar los otros resultados.

ACTIVIDAD 2: Utilizando calculadora, determina el valor de las siguientes expresiones.

ACTIVIDAD 3: Calcula las medidas de los lados faltantes en los siguientes triángulos rectángulos.

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ACTIVIDAD 4: Realiza un cuaderno un bosquejo (dibujo) de cada situación y responde cada pregunta aplicando los procedimientos Trigonométricos que corresponda en cada caso.

a) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 18 m y el ánguloque forma este respecto al suelo es de 30°. ¿A qué altura está elvolantín?

b) Violeta sube un resbalín que tiene una inclinación de 30º y 3 m de longitud. ¿Cuál es la mayor altura que Violeta puede alcanzar?

c) Un avión se encuentra a 2100 m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿A qué distancia se encuentra de la pista, si para bajar aplica un ángulo de depresión de 20º?

d) Una palmera proyecta una sombra de 12 m en el suelo. Si el ángulo de elevación respecto de la parte más alta del árbol es tal que su tangente es 0,7, ¿cuál es la altura de la palmera?

e) Desde un faro que se encuentra a 28 m sobre el nivel del mar, se observa un bote con un ángulo de depresión de 60°. ¿Cuál es la distancia entre el punto de observación y el bote?

ACTIVIDAD 5: El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Si un buzo desciende 40 metros hasta el fondo del mar, ¿cuánto necesita avanzar por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

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SOLUCIONARIO

SEMANA 1

ACTIVIDAD 3: Altura 303,1 m aproximadamente.

SEMANA 2

ACTIVIDAD 2: a) Tg(α) = 0,53 Tg(β) = 0,53 Tg(γ) = 0,53

b) Sen(α) = 0,47 Sen(β) = 0,47 Sen(γ) = 0,44

Cos(α) = 0,88 Cos(β) = 0,88 Cos(γ) = 0,88

ACTIVIDAD 3: a) 20 cm b) 4,8 cm c) 7,5 cm

SEMANA 3

ACTIVIDAD 1: a) 0,8 b) 0,6 c) 1,3 d) 0,6 e) 0,8 f) 0,75

ACTIVIDAD 2: a) 2,5 b) -0,001 c) -0,366 d) 0,5736

ACTIVIDAD 3: a) BC = 8 AC = 13,85 b) PQ= 1,25 PR = 0,69

ACTIVIDAD 4: a) 9m b) 1,5m c) 6.139,9m d) 8,4m e) 16,16m

ACTIVIDAD 5: 188m aproximadamente

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