incertitudine de masurare
TRANSCRIPT
1
CAPITOLUL IX
EXPRIMAREA INCERTITUDINII IN MASURARI 8.1 DEFINITII
ABATERE STANDARD EXPERIMENTALA - pentru un sir de n masurari ale aceluiasi
masurand, este marimea s care caracterizeaza imprastierea rezultatelor si este data de formula:
( )
11
2
−
−=
∑=
n
xxs
n
ii
xi fiind rezultatul celei de-a i-a masurari, iar x fiind media aritmetica al celor n rezultate
considerate.
ABATERE STANDARD (a unei variabile aleatorii sau a unei distributii de probabilitate) -
radacina patrata pozitiva a variantei.
INCERTITUDINE DE MASURARE - parametru, asociat rezultatului unei masurari, care
caracterizeaza imprastierea valorilor ce in mod rezonabil ar putea fi atribuite masurandului.
CORECTIE – valoare adaugata algebric rezultatului brut al unei masurari pentru
compensarea erorii sistematice.
EVALUARE DE TIP A (a incertitudinii) - metoda de evaluare a incertitudinii prin analiza
statistica a unei serii de observatii.
EVALUARE DE TIP B (a incertitudinii) - metoda de evaluare a incertitudinii prin alte
mijloace decat analiza statistica a unei serii de observatii.
INCERTITUDINE STANDARD - incertitudine a rezultatului unei masurari exprimata ca o
abatere standard.
2
INCERTITUDINE STANDARD COMPUSA - incertitudine standard a rezultatului unei
masurari atunci cand rezultatul acelei masurari este obtinut din valorile unui numar de alte marimi,
egala cu radacina patrata pozitiva a unei sume de termeni, termenii respectivi fiind variantele sau
covariantele acestor marimi, conform modului in care rezultatul masurarii variaza in functie de
schimbarea acestor marimi.
INCERTITUDINE EXTINSA - marime ce defineste un interval in jurul rezultatului unei
masurari, interval in care este de asteptat sa fie cuprinsa o fractiune mare a distributiei valorilor
care pot fi rezonabil atribuite masurandului.
FACTOR DE ACOPERIRE - factor numeric folosit ca un multiplicator al incertitudinii
standard compuse in vederea obtinerii incertitudinii extinse.
NOTA - Un factor de acoperire, k, este in mod obisnuit in intervalul de la 2 la 3.
COEFICIENT DE SENSIBILITATE ASOCIAT CU O ESTIMARE DE INTRARE - variatia
estimarii de iesire generata de variatia estimarii de intrare impartita la variatia acelei estimari de
intrare.
PROBABILITATE - un numar real cuprins intre 0 si 1 si atasat unui eveniment aleatoriu.
DISTRIBUTIE DE PROBABILITATE (a unei variabile aleatorii) - o functie exprimand
probabilitatea ca o variabila aleatorie sa ia orice valoare data sau sa apartina unui sir dat de valori.
PARAMETRU - o marime folosita in descrierea distributiei de probabilitate a unei variabile
aleatorii.
VARIABILA ALEATORiE - o variabila ce poate lua orice valoare intr-un sir specific de
valori si careia i se asociaza o distributie de probabilitate.
CORELATIE - relatie intre doua sau mai multe variabile aleatorii avand o distributie de
doua sau mai multe variabile.
VARIABILA ALEATORIE CENTRATA - o variabila aleatorie a carei medie este egala cu
zero.
VARIANTA/DISPERSIE (a unei variabile aleatorii sau a unei distributii de probabilitate) -
medie statistica a patratului variabilei aleatorii centrate; o masura a dispersiei care este egala cu
raportul dintre suma patratelor abaterilor fata de media acestora si numarul de observatii minus
unu.
MEDIE ARITMETICA - valoarea raportului dintre suma valorilor si numarul lor.
ESTIMARE - operatie de atribuire de valori numerice, din observatiile pe un esantion,
pentru parametrii unei distributii alese ca model statistic al populatiei din care este luat esantionul.
ESTIMATOR - o statistica folosita pentru estimarea unui parametru al populatiei.
ESTIMATIE - valoarea unui estimator.
8.2 INTRODUCERE
In 1978, recunoscand lipsa unui consens international in exprimarea incertitudinii de
masurare, autoritatea mondiala suprema in metrologie, Comitetul International de Masuri si
3
Greutati (CIPM), a cerut Biroului International de Masuri si Greutati (BIPM) sa se ocupe de
rezolvarea acestei probleme impreuna cu laboratoarele de etalonari nationale si sa elaboreze o
recomandare.
BIPM a formulat un chestionar detaliat cuprinzand chestiunile privitoare la subiect si l-a
distribuit catre 32 laboratoare nationale de metrologie interesate.
Aproape toti au fost de parere ca este important sa se ajunga la o procedura acceptata pe
plan international pentru exprimarea incertitudinii de masurare si pentru combinarea
componentelor individuale ale incertitudinii intr-o singura incertitudine totala.
Nu s-a desprins insa nici un consens cu privire la destinatia metodei. Atunci BIPM a
convocat un grup de lucru (Working Group on the Statement of Uncertainties / WGSU), care a
elaborat Recomandarea INC-1(1980): Exprimarea Incertitudinilor Experimentale. Recomandarea a
fost adoptata de catre CIPM in octombrie 1981 si reconfirmata in 1986. CIPM a transmis sarcina
elaborarii unui ghid detaliat, bazat pe Recomandarea Grupului de Lucru, Organizatiei
Internationale de Standardizare (ISO).
Responsabilitatea elaborarii a fost atribuita Grupului Consultativ Tehnic al ISO pentru
Metrologie - deoarece una din sarcinile acestui grup era sa coordoneze dezvoltarea liniilor
directoare cu privire la chestiuni de interes comun pentru ISO, si altor sase organizatii care
colaboreaza cu ISO in TAGA:
• Comisia Electrotehnica Internationala (IEC);
• Comitetul International de Masuri si Greutati (CIPM);
• Organizatia Internationala de Metrologie Legala (OIML);
• Uniunea Internationala de Chimie Pura si Aplicata (IUPAC);
• Uniunea Internationala de Fizica Pura si Aplicata (IUPAP);
• Federatia Internationala de Chimie Clinica (IFCC).
In final s-a constituit Grupul de Lucru, compus din experti desemnati de BIPM, IEC, ISO si
OIML. Acest grup a primit urmatoarea insarcinare: sa elaboreze un document bazat pe
Recomandarea Grupului de Lucru BIPM pentru Exprimarea Incertitudinilor si care sa prevada
reguli de exprimare a incertitudinii de masurare pentru a fi utilizate in standardizare, etalonare,
acreditare de laboratoare si servicii metrologice.
Scopul unui asemenea ghid era :
• sa furnizeze informatii complete asupra modului in care se ajunge la expresiile
incertitudinii;
• sa creeze o baza pentru compararea internationala a rezultatelor masurarilor.
In epoca actuala a pietii mondiale este imperativ ca masurarile executate in tari diferite sa
fie usor de comparat, iar calitatea masurarilor sa fie apreciata cantitativ peste tot in conformitate cu
aceeasi procedura.
Asa cum utilizarea aproape universala a SI a conferit coerenta tuturor masurarilor stiintifice
si tehnologice, un consens mondial asupra modului de caracterizare a calitatii masurarilor era
4
absolut necesar si fezabil. In felul acesta s-a ajuns la Ghidul pentru Exprimarea Incertitudinii in
masurari (caruia o sa-i spunem pe scurt Ghidul ISO).
8.3 OBIECTUL GHIDULUI
Acest Ghid stabileste reguli generale pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii de
masurare, care pot fi urmate la diferite niveluri de exactitate si in multe domenii cum ar fi cele
implicate in:
• mentinerea controlului calitatii si asigurarii calitatii;
• respectarea si impunerea legislatiei si a reglementarilor;
• efectuarea de cercetari fundamentale si aplicative in stiinta si inginerie;
• etalonari ale etaloanelor si a mijloacelor de masurare si efectuarea de incercari in
cadrul unui sistem national de masurari, in vederea realizarii trasabilitatii la
etaloanele nationale;
• dezvoltarea, mentinerea si compararea etaloanelor de referinta nationale si
internationale ale unitatilor marimilor fizice, inclusiv a materialelor de referinta.
Ghidul ISO furnizeaza reguli generale pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii de
masurare si nu indicatii detaliate, specific tehnologice.
De asemenea, el nu examineaza modul in care incertitudinea unei masurari particulare, o
data evaluata, poate fi utilizata in diferite scopuri, de exemplu pentru a deduce concluzii asupra
compatibilitatii acelui rezultat cu alte rezultate similare, a stabili tolerante in procesele de fabricatie
sau a decide daca o anumita actiune poate fi considerata ca sigura.
De aceea, va fi necesara elaborarea de standarde specifice bazate pe acest Ghid si
consacrate problemelor caracteristice unor domenii anumite ale masurarilor sau unor utilizari
diverse ale exprimarii cantitative a incertitudinii. Aceste standarde ar putea fi versiuni simplificate
ale Ghidului ISO, dar vor trebui sa includa detaliile adecvate nivelului de exactitate si complexitatii
masurarilor si utilizarilor avute in vedere.
Cuvantul "incertitudine" inseamna "indoiala"; astfel, in sensul cel mai larg, "incertitudinea de
masurare" inseamna dubiu cu privire la validitatea rezultatului unei masurari. Datorita lipsei altui
cuvant mai potrivit, este necesar ca termenul "incertitudine" sa fie folosit atat pentru acest concept
general cat si pentru a desemna acele marimi specifice care dau masurile cantitative ale
conceptului - cum ar fi, de exemplu, abaterea standard.
In acest Ghid, cuvantul "incertitudine" - fara adjective - se refera atat la conceptul general
cat si la orice masura cantitativa a acestui concept. Atunci cand se face referire la o anumita
masura, sunt folosite adjective corespunzatoare.
Definitia incertitudinii de masurare este compatibila cu:
• o estimatie caracterizand intervalul de valori in interiorul careia se gaseste valoarea
adevarata a masurandului;
5
• o masura a erorii posibile in estimarea valorii masurandului, asa cum este data de
rezultatul masurarii.
Aceste doua concepte au in vedere marimi care in principiu nu pot fi cunoscute:
• “valoarea adevarata” a masurandului;
• “eroarea” rezultatului masurarii.
8.4 CONCEPTE DE BAZA
Masurarea
Scopul unei masurari este de a determina valoarea masurandului, adica valoarea marimii
particulare de masurat. Ca urmare, o masurare incepe prin precizarea corespunzatoare a
masurandului, a metodei de masurare si a procedurii de masurare.
Rezultatul unei masurari
Este numai o aproximatie sau estimatie a valorii masurandului si, de aceea, este complet
numai daca este urmat de specificarea incertitudinii celei estimatii.
Specificatia sau definitia masurandului
In practica, specificatia sau definitia masurandului este dictata de exactitatea masurarii care
se cere. Masurandul ar trebui definit suficient de complet in functie de exactitatea ceruta, astfel
incat valoarea sa sa fie unica pentru toate scopurile practice asociate cu masurarea. Tocmai in
acest sens este utilizata in Ghidul ISO expresia "valoare a masurandului".
Conditii de repetabilitate
In multe cazuri, rezultatul unei masurari este determinat pe baza unui sir de observatii
repetate, obtinute in conditii de repetabilitate. Variatiile, in cazul observatiilor repetate, sunt
presupuse a aparea din cauza ca marimile de influenta care pot afecta rezultatul masurarii nu sunt
mentinute practic la un nivel constant.
Masurand scalar sau vectorial
In Ghidul ISO, masurandul este tratat ca un scalar. Generalizarea la un set de masuranzi
interdependenti determinati simultan in aceeasi masurare necesita inlocuirea masurandului scalar
si a variantei sale cu un masurand vectorial si matricea de covarianta.
Erori
In general, o masurare este afectata de imperfectiuni care dau nastere unei erori in
rezultatul masurarii. In mod traditional, se considera ca o eroare are doua componente, si anume o
componenta aleatorie si una sistematica. Erorile, in principial, nu pot fi cunoscute exact.
Eroarea aleatorie
Este de presupus ca eroarea aleatorie isi are originea in variatia imprevizibila sau
stochastica temporala si spatiala a marimilor de influenta. Efectele unor asemenea variatii, numite
de aici inainte efecte aleatorii, produc variatii in observatiile repetate ale masurandului. Eroarea
aleatorie a unui rezultat de masurare nu poate fi compensata prin vreo corectie, dar in general
poate fi redusa crescand numarul de observatii.
6
Eroarea sistematica
Eroarea sistematica, ca si eroarea aleatorie, nu poate fi eliminata, dar de multe ori poate fi
micsorata. Daca o eroare sistematica provine dintr-un efect identificat al unei marimi de influenta
asupra rezultatului masurarii, ceea ce se va numi de acum inainte efect sistematic poate fi
cuantificat si, daca acesta este semnificativ ca marime in raport cu exactitatea ceruta in masurare,
se poate aplica o corectie sau un factor de corectie. Se presupune ca rezultatul unei masurari a
fost corectat fata de toate efectele sistematice identificate si ca s-a incercat prin toate mijloacele
identificarea acestor efecte.
Incertitudinea rezultatului unei masurari reflecta lipsa cunoasterii exacte a valorii
masurandului. Rezultatul corectat al unei masurari pentru efecte sistematice identificate este inca
doar un estimator al valorii masurandului, datorita incertitudinii cauzate de efecte aleatorii si
corectarii imperfecte a efectelor sistematice.
8.5 SURSE DE INCERTITUDINE
In practica, exista multe surse posibile de incertitudine intr-o masurare, printre care
includem urmatoarele:
a) definitia incompleta a masurandului;
b) realizarea imperfecta a definitiei masurandului;
c) esantionarea nereprezentativa, esantionul studiat neputand sa reprezinte
masurandul definit;
d) cunoasterea neadecvata a efectelor conditiilor de mediu asupra masurarii sau
masurarea imperfecta a conditiilor de mediu;
e) eroare de justete personala la citirea mijloacelor de masurare analogice;
f) rezolutia finita a mijlocului de masurare sau pragul de discriminare;
g) valori inexacte ale etaloanelor si materialelor de referinta;
h) valori ale constantelor si ale altor parametri obtinuti din surse externe si folositi in
algoritmul procesarii datelor;
i) aproximatii si presupuneri incorporate in metoda si procedura de masurare;
j) variatii in observatiile repetate ale masurandului in conditii aparent identice.
Aceste surse nu sunt in mod necesar independente, iar unele din sursele de la a) la i) pot
contribui la sursa mentionata la j). Desigur, un efect sistematic neidentificat nu poate fi luat in
considerare la evaluarea incertitudinii rezultatului unei masurari, dar contribuie la eroarea lui.
8.6 METODA PENTRU EVALUAREA INCERTITUDINII
Metoda ideala pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii rezultatului unei masurari ar
trebui sa fie:
• universala: metoda ar trebui sa fie aplicabila tuturor tipurilor de masurari si tuturor
tipurilor de date de intrare utilizate in masurari;
7
• consistenta intern: ar trebui sa fie direct derivabila din componentele care
contribuie la ea, si, de asemenea, independenta de modul in care aceste
componente sunt grupate si de descompunerea componentelor in subcomponente;
• transferabila: este necesar ca incertitudinea evaluata pentru un anumit rezultat sa
poata fi folosita ca o componenta in evaluarea incertitudinii unei alte masurari in
care primul rezultat este utilizat.
In plus, in multe aplicatii industriale si comerciale, ca si in domeniile sanatatii si securitatii,
este deseori necesar sa se furnizeze un interval in jurul rezultatului masurarii, care este de asteptat
sa cuprinda cea mai mare parte a distributiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite marimii supuse
masurarii.
8.7 RECOMANDAREA INC-1 (1980) A GRUPULUI DE LUCRU PENTRU EXPRIMAREA
INCERTITUDINILOR
Incertitudinea rezultatului unei masurari cuprinde - in general - mai multe componente, care
pot fi grupate in doua categorii in functie de metoda utilizata pentru a estima valoarea lor numerica:
A - cele care sunt evaluate cu ajutorul metodelor statistice
si2 – variante estimate
si – abateri standard estimate
ni – numarul gradelor de libertate.
B - cele care sunt evaluate prin alte mijloace
ui2 – variante
ui – abateri standard in cadrul unei distributii presupuse.
Incertitudinile compuse trebuie caracterizate prin valoarea obtinuta aplicand metoda uzuala
de compunere a variantelor. Incertitudinea compusa, ca si componentele sale, trebuie exprimate
sub forma de "abatere standard".
Daca, pentru anumite utilizari, este necesar sa se multiplice incertitudinea compusa cu un
factor in scopul obtinerii unei incertitudini extinse, acest factor de multiplicare trebuie dat
intotdeauna.
Recomandarea INC-1 (1980) a Grupului de Lucru pentru Exprimarea Incertitudinilor
clasifica componentele incertitudinii in doua categorii, pe baza metodei lor de evaluare: incertitudini
de tip A si incertitudini de tip B. Aceste categorii se refera la modul de evaluare si nu sunt sinonime
cu "aleatoriu", respectiv "sistematic". Incertitudinea corectiei unui efect sistematic identificat poate
fi obtinuta uneori pe baza evaluarii de tip A, iar alteori pe baza evaluarii de tip B, la fel cu
incertitutidinea ce caracterizeaza un efect aleatoriu. Scopul clasificarii in tip A si tip B este sa se
indice cele doua modalitati de evaluare a componentelor incertitudinii, si se face numai din motive
de comoditate a discutiei; clasificarea nu cauta sa indice vreo diferenta in natura componentelor
rezultate din cele doua tipuri de evaluare. Ambele tipuri de evaluare se bazeaza pe distributii de
8
probabilitate si componentele de incertitudine provenite din amandoua tipurile sunt exprimate
cantitativ prin variante sau abateri standard.
Varianta estimata u2, ce caracterizeaza o componenta a incertitudinii obtinuta printr-o
evaluare de tip A, este calculata dintr-o serie de observatii repetate si nu este altceva decat
varianta obisnuita estimata statistic, s2. Prin urmare, abaterea standard estimata u, radacina
patrata a lui u2, este u = s si este numita, prin conventie, incertitudine standard de tip A. Pentru o
componenta a incertitudinii obtinuta printr-o evaluare de tip B, varianta estimata u2 este calculata
folosind informatii disponibile, iar abaterea standard u evaluata astfel este denumita incertitudine
standard de tip B.
O incertitudine standard de tip A se obtine cu ajutorul unei functii de densitate de
probabilitate dedusa dintr-o distributie de frecvente observate, in timp ce o incertitudine standard
de tip B se obtine dintr-o functie de densitate de probabilitate presupusa teoretic pe baza increderii
acordate aparitiei unui eveniment (denumit frecvent probabilitate subiectiva). Ambele utilizeaza
interpretari egal valabile ale probabilitatii. Incertitudinea standard a rezultatului unei masurari, cand
rezultatul este obtinut din valorile unor alte marimi, este denumita incertitudine standard compusa
si este notata cu uC. Ea este abaterea standard estimata asociata cu rezultatul, egala cu radacina
patrata pozitiva a variantei totale obtinute prin sumarea tuturor componentelor variantei si
covariantei, evaluate oricum, cu ajutorul legii propagarii incertitudinii.
Pentru a satisface nevoile unor aplicatii industriale si comerciale, ca si unele cerinte in
domeniul sanatatii si securitatii, se poate calcula o incertitudine extinsa U obtinuta prin
multiplicarea incertitudinii standard compuse uC cu un factor de acoperire k. Scopul introducerii lui
U este sa furnizeze un interval in jurul rezultatului masurarii care este de asteptat sa cuprinda o
fractiune mare a distributiei valorilor ce pot fi atribuite rezonabil masurandului. Alegerea factorului
k, care este uzual intre 2 si 3, se bazeaza pe probabilitatea de acoperire sau nivelul de incredere
dorit pentru interval.
8.8 CONSIDERATII PRACTICE
Variind toti parametrii de care depinde rezultatul unei masurari, incertitudinea lui poate fi
evaluata prin mijloace statistice. Insa deoarece acest lucru este posibil numai rareori in practica,
din cauza limitarilor de timp si de resurse, incertitudinea rezultatului masurarii se evalueaza de
obicei pe baza unui model matematic al masurarii si pe baza legii de propagare a incertitudinii. Se
face deci presupunerea implicita in acest Ghid ca o masurare poate fi modelata matematic pana la
gradul impus de exactitatea ceruta masurarii.
Modelul matematic trebuie revizuit intotdeauna daca datele observate, inclusiv rezultatele
determinarilor independente ale aceluiasi masurand, arata ca modelul este incomplet. Un
experiment bine proiectat poate usura mult evaluarea demna de incredere a incertitudinii si
formeaza o parte importanta a artei masurarilor.
9
In anumite cazuri nu este nevoie ca incertitudinea corectiei unui efect sistematic sa fie luata
in seama la evaluarea incertitudinii unui rezultat al masurarii. Chiar daca incertitudinea a fost
evaluata, ea poate fi ignorata daca contributia sa la incertitudinea standard compusa a rezultatului
masurarii este nesemnificativa. Daca valoarea corectiei insesi este nesemnificativa in comparatie
cu incertitudinea standard compusa, ea poate fi, de asemenea, ignorata.
Se intampla deseori in practica, mai ales in metrologia legala, ca un dispozitiv de masurare
sa fie incercat/etalonat prin comparatie cu un etalon si incertitudinile asociate etalonului si cele ale
procedeului de masurare sa fie neglijabile fata de exactitatea necesara a incercarii (exemplu: o
balanta comerciala). In asemenea cazuri, intrucat componentele incertitudinii sunt destul de mici,
ele pot fi neglijate si masurarea privita ca o determinare a erorii dispozitivului supus incercarii.
Greselile facute la inregistrarea sau analiza datelor pot sa introduca in rezultatul masurarii o
eroare semnificativa necunoscuta. Greselile mari pot fi de regula identificate printr-o revizie
corespunzatoare a datelor, cele mici insa sunt mascate sau chiar pot aparea ca variatii aleatorii.
Exprimarea incertitudinii nu are in vedere asemenea greseli.
Desi Ghidul ISO ofera un cadru pentru stabilirea incertitudinii, el nu poate constitui un
inlocuitor pentru gandirea critica, onestitatea intelectuala si calificarea profesionala. Evaluarea
incertitudinii nu este o chestiune de rutina sau una pur matematica, ci presupune o cunoastere
temeinica a naturii masurandului si a masurarii. Calitatea si utilitatea incertitudinii date pentru un
rezultat al masurarii depind, in ultima instanta, de intelegerea, analiza critica si integritatea acelora
ce contribuie la atribuirea valorii ei.
8.9 EVALUAREA INCERTITUDINII STANDARD
8.9.1 Modelarea masurarii
In cele mai multe cazuri, masurandul Y nu este masurat direct, ci se determina din N alte
marimi X1, X2,..., XN prin relatia functionala:
),.....,,,( 321 NXXXXfY = . (1)
Marimile de intrare X1, X2,..., XN, de care depinde marimea de iesire Y, pot fi privite, ele insele, ca
masuranzi si, la randul lor, pot sa depinda de alte marimi. Functia f care apare in acest Ghid
trebuie considerata in acest sens mai general ca functia care contine toate marimile, inclusiv
corectiile si factorii de corectie, ce pot contribui cu componente semnificative ale incertitudinii la
rezultatul masurarii.
Astfel, daca datele arata ca f nu modeleaza masurarea la nivelul cerut de exactitatea
necesara a rezultatului masurarii, trebuie incluse si alte marimi de intrare in f pentru a elimina
neajunsul. Aceasta poate implica si introducerea unei marimi de intrare care sa reflecte
10
cunoasterea incompleta a fenomenului ce afecteaza masurandul. Setul marimilor de intrare X1,
X2,..., XN poate fi clasificat astfel:
a) marimi ale caror valori si ***** - aceste valori si incertitudini se pot obtine, de pilda, pe
baza unei singure observatii, a unor observatii repetate sau a unei pareri bazate pe
experienta, si pot necesita determinarea unor corectii aplicate citirilor pe mijloace de
masurare si corectii pentru marimile de influenta precum temperatura mediului, presiunea
barometrica, umiditate etc.;
b) marimi ale caror valori si incertitudini sunt introduse in masurare de la surse externe,
cum ar fi marimi asociate cu etaloane etalonate, materiale de referinta certificate si date de
referinta luate din manuale.
O estimatie a masurandului Y, notata cu y, se obtine din ecuatia (1), pe baza estimatorilor
de intrare x1, x2, x3,..., xN ai celor N marimi de intrare X1, X2,..., XN. Astfel, estimatia de iesire, y, ce
reprezinta rezultatul masurarii, este data de:
),.....,,( 321 Nxxxxfy = . (2)
Abaterea standard estimata asociata cu estimatia de iesire sau rezultatul masurarii y, denumita
incertitudine standard compusa si notata cu uc(y), se determina pe baza abaterilor standard
estimate ale fiecarei estimatii de intrare xi, denumite incertitudini standard si notate cu u(xi)
Fiecare estimatie de intrare xi si abaterea standard u(xi) a sa se obtine din distributia
valorilor posibile ale marimii de intrare Xi. Aceasta distributie de probabilitate poate fi bazata pe o
serie de observatii X i,k ale lui Xi sau poate fi o distributie a priori.
Evaluarile de tip A ale componentelor incertitudinii standard se bazeaza pe distributii de
frecventa, in timp ce evaluarile de tip B se intemeiaza pe distributii a priori.
8.9.2 EVALUAREA DE TIP A INCERTITUDINII STANDARD
In cele mai multe cazuri, estimatia disponibila cea mai buna a mediei statistice sau a mediei
teoretice mq a unei marimi q ce variaza aleatoriu si pentru care se dispune de n observatii
independente, qk, obtinute in conditii identice de masurare, este media aritmetica sau media
experimentala a celor n observatii:
Astfel, pentru o marime de intrare Xi estimata din n observatii repetate independente X i,k,
media aritmetica xi obtinuta din (3) este cea care se foloseste drept estimatie de intrare in ecuatia
∑=
=n
1k kqn1
q (3)
11
(2) in vederea determinarii rezultatului masurarii y. Restul estimatorilor de intrare care nu sunt
evaluati din observatii repetate trebuie obtinuti prin alte metode.
Observatiile individuale qk difera ca valoare datorita variatiilor intamplatoare ale marimilor
de influenta sau ale efectelor aleatorii. Variatia experimentala a observatiilor care estimeaza
varianta s2 a distributiei de probabilitate a lui q este data de:
Estimatia variantei s2(qk) si radacina sa patrata pozitiva s(qk), denumita abatere standard
experimentala, caracterizeaza variabilitatea valorilor observate qk sau dispersia lor in jurul mediei.
Estimatia cea mai buna pentru q este s2(q) = s2/n, varianta mediei, este data de:
Varianta experimentala a mediei s2(q) si abaterea standard experimentala a mediei, s(q), egala cu
radacina patrata al lui s2(q), exprima cantitativ cat de bine estimeaza media statistica mq a lui q, si
oricare poate fi folosita drept masura a incertitudinii lui.
Astfel, pentru o marime de intrare Xi determinata pe baza a n observatii repetate
independente X i,k, incertitudinea standard u(xi) a estimatiei ei xi = Xi este u(xi) = s (Xi), cu varianta
s2(Xi) calculata conform ecuatiei (5). Pentru comoditate, u2(xi) = s2(Xi) si u(xi) = s(Xi) sunt
denumite uneori varianta de tip A si, respectiv, incertitudine standard de tip A.
Gradele de libertate ni ale lui u(xi), egale cu n - 1 in cazul cand xi = Xi si u(xi) = s(Xi) se
calculeaza pe baza a n observatii independente, ar trebui date intotdeauna atunci cand se
expliciteaza evaluari de tip A ale componentelor incertitudinii.
8.9.3 EVALUARE DE TIP B A INCERTITUDINII STANDARD
Pentru o estimatie xi a unei marimi de intrare Xi, care nu a fost obtinuta pe baza unui sir de
observatii repetate, varianta estimata asociata u2(xi) sau incertitudinea standard u(xi) este
evaluata prin analiza stiintifica bazata pe toate informatiile de care se dispune asupra posibilei
variabilitati a lui Xi. Ansamblul de informatii poate include:
1. date ale unor masurari anterioare;
2. experienta sau cunostinte generale privitoare la comportarea si proprietatile
materialelor si mijloacelor de masurare;
3. specificatii ale producatorului;
2)qn
1kk
(q1n
1)k(q2s −∑
=−= (4)
n
)k
(q2s)q(2s = (5)
12
4. date prevazute in certificate de etalonare sau alte certificate;
5. incertitudini atribuite datelor de referinta preluate din tratate.
Pentru comoditate, u2(xi) si u(xi) evaluate pe aceasta cale sunt denumite uneori varianta
de tip B si, respectiv, incertitudine standard de tip B.
Utilizarea corespunzatoare a ansamblului de informatii disponibile pentru o evaluare de tip
B a incertitudinii standard necesita o viziune bazata pe experienta si cunostinte generale si este o
deprindere care se invata in practica.
Trebuie observat ca o evaluare tip B a incertitudinii standard poate fi la fel de demna de
incredere ca si o evaluare de tip A, mai ales in situatia unei masurari in care evaluarea de tip A se
bazeaza pe un numar relativ mic de observatii statistic independente.
Daca estimatia xi este preluata dintr-o specificatie data de producator, un certificat de
etalonare, o carte tehnica sau alta sursa si incertitudinea sa se da cu un multiplu anumit al abaterii
standard, incertitudinea standard u(xi) este pur si simplu valoarea citata impartita la multiplicator,
iar varianta u2(xi) este patratul acestui cat.
EXEMPLU 1:
Intr-un certificat de etalonare se mentioneaza ca masa unui etalon de masa din otel
inoxidabil ms avand valoarea nominala de un kilogram este 1 000,000 325 g si ca "incertitudinea
acestei valori este de 240 µµg, la nivelul de trei abateri standard". In acest caz, incertitudinea
standard a etalonului de masa este, simplu, u(ms) = (240 µµg)/3 = 80 µµg. Aceasta corespunde unei
incertitudini standard relative u(ms)/ms de 80x10-9. Varianta estimata este u2(ms) = (80 µµg)2 =
6,4x10-9 g2. Incertitudinea specificata a lui xi poate fi data ca un interval de nivel de incredere
90, 95 sau 99% si nu ca un multiplu al abaterii standard. Daca nu se indica altfel, se poate
presupune ca s-a folosit o distributie normala pentru calculul incertitudinii si incertitudinea standard
a lui xi poate fi regasita prin impartirea incertitudinii date ca interval cu factorul corespunzator
valabil pentru distributia normala. Factorii ce corespund celor trei niveluri de incredere mentionate
mai sus sunt: 1,64, 1,96 si 2,58.
EXEMPLU 2:
Intr-un certificat de etalonare se afirma ca rezistenta unui rezistor etalon RS avand valoarea
nominala de 10 ΩΩ este 10,000 742 ΩΩ + 129 µµ ΩΩ la 23 oC si ca "incertitudinea specificata de 129
Wm defineste un interval avand nivelul de incredere de 99 procente". Incertitudinea standard a
rezistorului poate fi luata ca u(RS) = (129 µµ ΩΩ )/2,58 = 50 µµ ΩΩ , ceea ce corespunde incertitudinii
standard relative u(RS)/RS de 5,0x10-6. Varianta estimata este u2(RS) = (50 µµ ΩΩ )2 .
In multe cazuri, este suficient doar sa se evalueze limitele (superioara si inferioara) pentru
Xi, in particular afirmandu-se ca "probabilitatea ca Xi sa se afle in intervalul de la a- la a+, pentru
13
toate cazurile practice, este egala cu unitatea, iar probabilitatea ca Xi sa se afle in afara intervalului
este nula". Daca nu exista nici o informatie specifica despre valorile posibile ale lui Xi din interiorul
intervalului, se poate presupune numai ca fiecare valoare din interval este egal probabila
(distributie uniforma sau dreptunghiulara a valorilor posibile). Atunci xi, media statistica sau
valoarea teoretica a lui Xi, este mijlocul intervalului, xi =(a+ - a-)/2 cu varianta asociata
Daca diferenta dintre limitele a+ - a- este notata cu 2a, atunci ecuatia (6) devine:
EXEMPLU:
Specificatiile unui producator pentru un voltmetru digital afirma ca in "intervalul de la 1 la 2
ani de la etalonare, incertitudinea sa pe domeniul de 1 V este de:
(14x10-6xUU indind + 2x10-6xUU capcap ).”
Se va considera ca aparatul este utilizat la 20 luni dupa etalonare pentru a se masura, pe
domeniul de 1 V, o tensiune UU , iar media aritmetica a unui numar de observatii repetate
independente ale lui va duce la UU = 0,928 571 V, cu o incertitudine standard de tip A u(UU ) = 12
mV. Incertitudinea standard asociata cu specificatiile producatorului poate fi determinata printr-o
evaluare de tip B, admitandu-se ca incertitudinea data prevede limite simetrice pentru o corectie
aditiva, ∆∆ UU , cu media statistica nula si cu probabilitate egala de a se afla oriunde in interiorul
limitelor. Semilargimea a a distributiei dreptunghiulare simetrice a valorilor posibile ale lui ∆∆ UU este
a = (14x10-6) x (0,928571 V) + (2x10-6)x(1V) = 15 µµV,
iar din ecuatia (7) rezulta:
u2(∆∆ UU ) = 75 mV si u(∆∆ UU )= 8,7 mV.
Incertitudinea standard compusa a acestei estimatii poate fi obtinuta prin combinarea
incertitudinii standard de tip A a lui UU , de 12 mV, cu incertitudinea standard de tip B a lui ∆∆ UU , de
8,7 mV.
Limitele superioara si inferioara a+ si, respectiv, a- pentru marimea de intrare Xi pot sa nu fie
simetrice in raport cu cea mai buna estimatie xi ; de pilda, daca limita inferioara se scrie a-= xi - b-
si cea superioara a+= xi + b+, atunci b- ≠≠ b+. Deoarece in acest caz xi (presupus a fi media lui Xi)
nu se afla in centrul intervalului de la a- pana la a+ , functia de distributie de probabilitate nu poate fi
( )12
)(2
2 −+ −=
aaxu i
3)(
22 a
xu i = (7)
(6)
14
uniforma pe intregul interval. Insa informatia disponibila poate fi insuficienta pentru a alege o
distributie potrivita; modele diferite vor conduce la expresii diferite pentru varianta. In absenta unei
asemenea informatii, aproximatia cea mai simpla este:
ceea ce reprezinta varianta unei distributii dreptunghiulare cu latime totala b++b-.
In multe cazuri este mai realist sa se considere ca valorile apropiate de cele limita sunt mai
putin probabile decat cele apropiate de punctul de mijloc. De aceea, este rezonabil ca distributia
simetrica dreptunghiulara sa fie inlocuita cu o distributie trapezoidala simetrica (un trapez isoscel),
cu baza mare de a+ - a_ = 2a, si baza mica de 2aββ , unde 0 < ββ < 1. Pentru ββ →→ 1 aceasta
distributie trapezoidala se apropie de cea dreptunghiulara, iar pentru ββ = 0 devine o distributie
triunghiulara. Presupunand o astfel de distributie trapezoidala pentru Xi, gasim ca media statistica
a lui Xi este xi=(a++a- )/2 si varianta asociata a sa este:
care pentru distributia triunghiulara (ββ = 0) devine
8.10 ILUSTRAREA GRAFICA A EVALUARII INCERTITUDINII STANDARD
8.10.1 CAZUL DISTRIBUTIEI NORMALE
Figura 1 reprezinta estimarea valorii unei marimi de intrare Xi si evaluarea incertitudinii
acelei estimatii pe baza distributiei necunoscute a valorilor masurate posibile ale lui Xi, sau
distributia de probabilitate a lui XI, care este esantionata prin observatii repetate.
In figura 1a se presupune ca marimea de intrare Xi este o temperatura t si ca distributia
necunoscuta a sa este o distributie normala cu media m = 100 oC si abaterea standard s = 1,5 oC.
Functia densitate de probabilitate este in acest caz:
( ) ( ) ( )1212
222 −+−+ −
=+
= aabbxu i
6)(
22 a
xu i =
6)1(
)(22
2 β+= axu i
( ) ( )
−−= 2
2
2exp
2
1
σµ
πσtt
tp
(8)
(9a)
(9b)
(10)
15
Figura 1
Media aritmetica sau media experimentala a celor n = 20 observatii este 100,145 oC ≅≅ 100,14 oC
si este presupusa a fi cea mai buna estimatie a mediei statistice mt a lui t bazata pe datele
disponibile. Abaterea standard experimentala este s(tk) = 1,489 oC ≅≅ 1,49 oC, iar abaterea
standard experimentala a mediei, care este incertitudinea standard a mediei , este:
8,10.2 CAZUL UNEI DISTRIBUTII APRIORI
Figura 2 si 3 reprezinta estimarea valorii unei marimi de intrare Xi si evaluarea incertitudinii
acelei estimatii pe baza unei distributii a priori a valorilor posibile ale lui Xi, sau distributia
probabilitatii lui Xi utilizand toata informatia disponibila. Pentru ambele cazuri aratate, marimea de
intrare este din nou presupusa a fi o temperatura t.
Pentru cazul ilustrat in figura 2, se admite ca se dispune de prea putina informatie despre
marimea de intrare t si ca tot ceea ce se poate face este sa se presupuna ca t este descris de o
distributie de probabilitate a priori dreptunghiulara simetrica, cu limita inferioara a_ = 96 oC, limita
superioara a+ = 104 oC si, astfel, semilargimea a = (a+ - a_)/2 = 4 oC. Functia densitatii de
probabilitate a lui t este deci:
( ) ( ) ( )CC
tststu ook 33,0333,0
20≅===
( )( ) inafaratp
ataa
tp
→=
≤≤= +−
0
;;2
1
(11)
(12)
16
Estimatia cea mai buna a lui t este media sa mt = ( a+ + a_)/2 = 100 oC. Incertitudinea
standard a acestei estimatii este:
Figura 2
Pentru cazul ilustrat in figura 2, se admite ca informatia disponibila privind pe t este mai putin
limitata si ca t poate fi descris printr-o distributie de probabilitate a priori triunghiulara simetrica, cu
aceleasi limite - inferioara a_ = 96 oC si respectiv superioara a+ = 104 oC - si astfel aceeasi
semilargime a = (a+ - a_)/2 = 4 oC. Functia densitatii de probabilitate a lui t este deci:
Media statistica a lui t este mt = ( a+ + a_ )/2 = 100 oC. Incertitudinea standard a acestei estimatii
este:
( ) Ca
u ot 3,2
3=µ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) inafaratp
ataa
ata
tp
aata
aat
tp
→=
≤≤+−
=
+≤≤
−=
−++
−+−
−
0
;2
;
2;
2
2
( ) Ca
u ot 6,1
6==µ
(13)
(14)
(15)
17
Figura 3
Valoarea de mai sus, u(mt) = 1,6 oC, poate fi comparata cu u(mt) = 2,3 oC, obtinuta dintr-o
distributie dreptunghiulara de aceeasi largime de 8 oC, cu s = 1,5 oC a distributiei normale in care
largimea de la -2,58σσ la +2,58σσ , incluzand 99 % din distributie, este apropiata de 8 oC, si cu
u(t)=0,33 OC, obtinuta din 20 de observatii presupuse a fi fost facute aleatoriu din aceeasi
distributie normala.
8.11 DETERMINAREA INCERTITUDINII STANDARD COMPUSE 8.11.1 MARIMI DE INTRARE NECORELATE Incertitudinea standard a lui y, unde y este estimatia masurandului si deci rezultatul
masurarii, se obtine compunand in mod adecvat incertitudinile standard ale estimatiilor de intrare,
x1, x2,..., xN. Aceasta incertitudine standard compusa a estimatiei y se noteaza cu uC(y).
Incertitudinea standard compusa uC(y) este radacina patrata pozitiva a variantei compuse
uC2(y), care este data de:
unde f este functia din ecuatia (1), iar δδ f/δδxi reprezinta coeficientii de sensibilitate. Fiecare u(xi)
este o incertitudine standard evaluata de tip A sau de tip B. Incertitudinea standard compusa uC(y)
este o abatere standard estimata si caracterizeaza dispersia valorilor ce pot fi rezonabil atribuite
masurandului Y.
Ecuatia (16) si corespondenta ei pentru marimi de intrare corelate, exprima ceea ce in
Ghidul ISO este denumita legea de propagare a incertitudinii.
)i(x2u2
N
1i ixf
(y)2
cu ∑=
=
∂∂ (16)
18
8.11.2 MARIMI CORELATE
Ecuatia (16), este valabila numai daca marimile de intrare Xi sunt independente si
necorelate. Daca vreunele dintre marimile Xi sunt corelate semnificativ, corelatiile trebuie luate in
considerare.
Cand marimile de intrare sunt corelate, expresia potrivita pentru varianta compusa uC2(y) a
rezultatului masurarii este:
unde xi si xj sunt estimatiile lui Xi si Xj, iar u(xi, xj) = u(xi, xj) este covarianta estimata asociata cu xi
si xj. Gradul de corelatie intre xi si xj este caracterizat de coeficientul de corelatie estimat:
unde r(xi, xj) = r(xj, xi) si - 1 < r(xi, xj) < + 1. Daca estimatiile xi si xj sunt independente,
r(xi,xj)=0 si o variatie a unuia nu implica o variatie a celeilalte.
Intre doua marimi de intrare poate exista o corelatie semnificativa daca se foloseste in
determinarea lor acelasi mijloc de masurare, acelasi etalon fizic sau aceeasi data de referinta
avand o incertitudine standard semnificativa. De pilda, daca este nevoie sa se determine o corectie
de temperatura pentru estimarea marimii de intrare Xi si se foloseste un anumit termometru, iar
pentru obtinerea marimii Xi este nevoie iar de o corectie de temperatura si se foloseste acelasi
termometru, cele doua marimi de intrare pot fi corelate semnificativ.
Corelatiile intre marimile de intrare nu pot fi ignorate daca exista si sunt semnificative.
Covariantele asociate trebuie evaluate experimental, daca este posibil, prin varierea marimilor de
intrare sau folosind toata informatia de care se dispune despre variabilitatea corelata a marimilor in
chestiune. Evaluarea de tip B a covariantei necesita abilitate bazata pe experienta si cunostinte
generale, in special atunci cand se estimeaza gradul de corelare intre marimi de intrare ce apar ca
rezultat al efectelor marimilor de influenta comune, cum ar fi temperatura mediului ambiant,
presiunea barometrica si umiditatea. Din fericire insa, in multe cazuri efectele unor asemenea
influente au o interdependenta neglijabila si marimile de intrare afectate pot fi presupuse
necorelate. Totusi, daca ele nu pot fi considerate necorelate, corelatiile in sine pot fi evitate daca
influentele comune sunt introduse ca marimi de intrare independente suplimentare.
)jx,iu(xjx
f1N
1i
N
1ij ix
f2
)i(x2u
2
ixf
)jx,iu(xjx
fN
1i
N
1j ix
f(y)2
cuN
1=i
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∑−
=∑
+=
+∑
=∑
=∑=
=
)j
)u(xi
u(x
)j
x,i
u(x)jx,ir(x =
(17)
(18)
19
8.12 DETERMINAREA INCERTITUDINII EXTINSE. INCERTITUDINEA EXTINSA
Cu toate ca uC(y) poate fi folosit universal pentru exprimarea incertitudinii unui rezultat de
masurare, in anumite aplicatii comerciale, industriale si de reglementare, precum si in domeniul
sanatatii si securitatii este deseori nevoie sa se dispuna de un indicator al incertitudinii ce ofera un
interval - in jurul rezultatului masurarii - care este de asteptat sa cuprinda o mare parte a distributiei
valorilor ce pot fi rezonabil atribute masurandului
Aceasta masura aditionala a incertitudinii este denumita incertitudine extinsa si se noteaza
cu U. Incertitudinea extinsa U se obtine inmultind incertitudinea standard compusa uc(y) cu un
factor de acoperire k:
Astfel, rezultatul unei masurari se exprima convenabil ca Y = y + U, ceea ce se
interpreteaza astfel: cea mai buna estimatie a masurandului Y este y, iar intervalul definit de y - U
si y + U este un interval care este de asteptat sa cuprinda o mare parte a distributiei valorilor ce
pot fi rezonabil atribuite lui Y. Un asemenea interval este exprimat ca y-U < Y < y+U.
De cate ori este posibil, nivelul de incredere p asociat cu intervalul definit de U trebuie
estimat si raportat.
Valoarea factorului de acoperire k este aleasa pe baza nivelului de incredere dorit pentru
intervalul de la y - U la y + U. In general, k va fi cuprins in intervalul de la 2 la 3. Totusi, pentru
aplicatii speciale, factorul de acoperire poate fi in afara acestui interval. In mod ideal, ar fi de
dorit sa se poata alege o asemenea valoare a factorului de acoperire care sa conduca la un
interval Y = y + U = y + kuC(y) asociat cu un nivel de incredere bine definit, p, de exemplu 95 %
sau 99% sau, ceea ce de fapt este acelasi lucru, pentru o valoare data a lui k sa se poata declara
fara echivoc nivelul de incredere asociat cu acel interval. Tabelul de mai jos ofera corespondenta
dintre factorul de acoperire si nivelul de incredere:
( )ykuU c= (19)
3 99,73
2,576 99
2 95,45
1,960 95
1,645 90
1 68,27
Factorul de acoperire kp Nivelul de incredere p (%)
20
8.13 EXPRIMAREA INCERTITUDINII
8.13.1 EXPRIMAREA INCERTITUDINII - INDICATII GENERALE
In general, pe masura ce se urca in ierarhia masurarilor sunt necesare din ce in ce mai
multe detalii despre modul in care s-a obtinut un rezultat al masurarii si s-a determinat
incertitudinea lui. Cu toate acestea, la orice nivel al acestei ierarhii, toate informatiile necesare
pentru reevaluarea masurarii ar trebui sa fie disponibile pentru cei ce pot avea nevoie de ele.
In comert si in industrie se fac zilnic un numar mare de masurari fara vreo raportare
explicita a incertitudinii. Totusi, multe din aceste masurari sunt efectuate cu mijloace de masurare
supuse etalonarii periodice sau care sunt sub incidenta inspectiei legale. Daca mijloacele de
masurare satisfac cerintele prescriptiilor si ale normelor existente, incertitudinile indicatiilor lor pot fi
preluate din aceste specificatii sau documente normative.
Cand se exprima un rezultat al unei masurari si incertitudinea acestuia, este preferabil sa
se greseasca in sensul oferirii mai multor informatii decat sa se dea prea putine. De exemplu, ar
trebui:
• sa se descrie clar metodele folosite pentru calculul rezultatului masurarii si al
incertitudinii sale din observatiile experimentale si datele de intrare;
• sa se enumere toate componentele incertitudinii si sa se expliciteze complet cum s-a
evaluat fiecare;
• sa se prezinte analiza datelor astfel incat fiecare pas important sa poata fi urmarit usor
si calculul rezultatului raportat sa se poata reface in caz de nevoie, in mod independent;
• sa se dea toate corectiile semnificative si constantele utilizate in analiza, precum si
sursele acestora.
8.13.2 EXPRIMAREA INCERTITUDINII - INDICATII SPECIFICE
La raportarea rezultatului unei masurari, daca masura incertitudinii este incertitudinea
standard compusa, uC(y), ar trebui:
• sa se dea o descriere completa a definirii masurandului Y;
• sa se dea estimatia y a masurandului si incertitudinea standard compusa uC(y) a sa;
• unitatile lui y si ale lui uC(y) ar trebui date intotdeauna;
• sa se includa si incertitudinea standard compusa relativa uC(y)/|y|, cu |y| 0 - atunci
cand este cazul.
Atunci cand masura incertitudinii este uC(y), pentru a se evita confuziile este de preferat ca
rezultatul numeric al masurarii sa fie formulat intr-unul din urmatoarele patru feluri posibile
(marimea a carei valoare este raportata se considera a fi masa unui etalon avand valoarea
nominala de 100 g; cuvintele dintre paranteze pot fi omise, pentru simplificare, daca uC este definit
in alta parte a documentului de raportare a rezultatului).
1) "ms = 100,021 47 g (cu o incertitudine standard compusa uC = 0,35 mg)";
21
2) "ms = 100,021 47(35) g, unde numarul dintre paranteze este valoarea numerica a
(incertitudinii standard compuse) uC, exprimat in cifre de acelasi rang cu ultimile cifre ale
rezultatului dat";
3) "ms = 100,021 47(0,00 35) g, unde numarul intre paranteze este valoarea numerica a
(incertitudinii standard compuse) uC, exprimat in aceleasi unitati ca si rezultatul dat";
4) "ms = (100,002 47 + 0,000 35) g, unde numarul ce urmeaza dupa semnul + este
valoarea numerica a (incertitudinii standard compuse) uC si nu un interval de incredere".
La raportarea rezultatului unei masurari, precum si atunci cand masura incertitudinii este
incertitudinea extinsa U = k uC(y), ar trebui:
• sa se dea definitia completa a masurandului Y;
• sa se exprime rezultatul masurarii sub forma y = Y + U si sa se dea unitatile lui y si U;
• sa se includa incertitudinea extinsa relativa U/|y| , y ≠≠ 0 - cand este cazul;
• sa se dea valoarea lui k utilizata la obtinerea lui U (sau, pentru comoditatea utilizatorului
rezultatului, sa se dea atat k, cat si uC(y));
• sa se dea nivelul de incredere aproximativ asociat cu intervalul y + U si sa se mentioneze
cum a fost determinat.
Atunci cand masura incertitudinii este U, este preferabil, pentru claritate maxima, sa se
specifice rezultatul numeric al masurarii ca in exemplul urmator.
Valorile numerice ale estimatiei y si ale incertitudinii sale standard uC(y) sau incertitudinii
extinse U asociate nu trebuie date cu un numar excesiv de cifre. Este, de obicei, suficient ca uC(y)
si U sa fie date cu cel mult doua cifre semnificative; totusi, in unele cazuri, poate fi necesara
retinerea mai multor cifre, pentru a se evita erorile de rotunjire in calculele ulterioare.
La raportarea rezultatelor finale, poate fi uneori recomandabil ca incertitudinile sa fie
rotunjite cu mai mult de o singura cifra. Estimatiile de iesire si cele de intrare ar trebui rotunjite in
concordanta cu incertitudinile lor; de exemplu, daca y = 10,057 62 ΩΩ cu uC(y) = 27 mΩΩ , y ar trebui
rotunjit la 10,058 ΩΩ . Coeficientii de corelatie ar trebui dati cu trei cifre daca valorile lor absolute
sunt apropiate de unu.
8.14 REZUMAT AL PROCEDURII DE EVALUARE SI EXPRIMARE A INCERTITUDINII
Etapele de urmat pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii rezultatului unei masurari,
conform Ghidului ISO:
1. Se exprima matematic relatia dintre masurandul Y si marimile de intrare Xi de care
depinde Y :
Y = f (X1, X2,..., XN).
Functia f ar trebui sa contina toate marimile, inclusiv corectiile si factorii de corectie,
care pot contribui semnificativ la incertitudinea rezultatului masurarii.
22
2. Se determina xi, valoarea estimata a marimii de intrare Xi, fie pe baza analizei statistice
a unei serii de observatii, fie prin alte mijloace.
3. Se evalueaza incertitudinea standard u(xi) a fiecarei estimatii de intrare este xi.
Evaluarea de tip A a incertitudinii standard sau evaluarea de tip B a incertitudinii
standard.
4. Se evalueaza covariantele asociate cu oricare din estimatiile care sunt corelate.
5. Se calculeaza rezultatul masurarii, adica estimatia y a masurandului Y, pe baza relatiei
functionale f, utilizand pentru marimile de intrare Xi estimatiile xi obtinute la pasul 2 .
6. Se determina incertitudinea standard compusa uC(y) a rezultatului masurarii y, din
incertitudinile standard asociate si covariantele asociate estimatiilor de intrare. Daca in
cadrul masurarii sunt determinate simultan mai multe marimi de iesire, se vor calcula
covariantele lor.
7. Daca este necesar sa se dea o incertitudine extinsa U, al carei scop este sa ofere un
interval de la y - U la y + U, ce este de asteptat sa cuprinda o fractiune mare a
distributiei valorilor ce rezonabil pot fi atribuite masurandului Y, se multiplica
incertitudinea standard combinata uC(y) cu un factor de acoperire k, pentru a se obtine
U = kuC(y). Se alege k pe baza nivelului de incredere dorit al intervalului.
8. Se raporteaza rezultatul masurarii y impreuna cu incertitudinea standard compusa
uC(y) a sa sau cu incertitudinea extinsa U.