incertezza sperimentale e cifre significative°-ora-11marzo... · 2) misure indirette: la grandezza...
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Incertezza sperimentale e cifre significative
q La fisica è una scienza sperimentale e le misure e l’incertezza con cui vengono effettuate sono il fulcro di ogni esperimento.
q Le misure possono essere dirette o indirette e vengono sempre espresse mediante un numero seguito dall’errore e dall’unità di misura
1) Misure dirette : la grandezza viene confrontata con campioni multipli (o sottomultipli) dell’unità fondamentale (es: misura della lunghezza di un tavolo mediante un righello tarato)
2) Misure indirette: la grandezza è legata ad altre grandezze che possono essere misurate direttamente ( es: volume di un parallelepipedo che si può ottenere a partire dalla misura diretta dei suoi lati)
q Se la misura di una stessa grandezza viene ripetuta più volte in genere si otterranno valori diversi anche se molto vicini tra loro =>
(che può essere sistematico o casuale)
q Se la misura è eseguita con strumenti tarati ( come di solito avviene), alla misura stessa sarà associato un’incertezza che sarà pari alla minima variazione che lo strumento stesso riesce a definire
Es: misurando un tavolo con un metro di legno che ha una sensibilità di 1 cm ( tra due tacche consecutive sullo strumento c’è la distanza di 1 cm) la misura effettuata non potrà avere una precisione maggiore del centimetro => Ltavolo = 1,50 m ±0.01m
q L’errore sulla misura stabilisce il numero di cifre significative che si possono garantire come esatte
Incertezza sperimentale e cifre significative q Il numero di cifre significative di una misura può essere usato per definire la
precisione della misura ( o analogamente l’incertezza su di essa) q Es: una lunghezza viene misurata con un’incertezza di 0.1cm. La misura dà come risutato 6.0cm a causa dell’incertezza possiamo affermare solo che quella lunghezza è compresa tra 5.9 cm e 6.1 cm => (6.0 ±0.1)cm Le cifre significative sono 2 ( se avessi scritto 6.00 cm, cioè tre cifre significative, avremmo supposto che la misura sia stata effettuata con una precisione di 0.01 cm)
q Gli zeri possono essere cifre significative oppure no. 0.03, 0.075 => in questo caso gli zeri non sono cifre significative ( posso infatti riscrivere i due numeri in notazione scientifica: 3 10-2 e 7.5 10-2 ) e si avranno rispettivamente una e due cifre significative 500 g => in questo caso in numero di cifre significative non è definito (i due zeri potrebbero rappresentare solo il fatto che stiamo parlando di centinaia di grammi o 500 potrebbe essere un numero ben preciso. Per rimuovere l’ambiguità sì utilizza la notazione scientifica: 5 102 g => 1 cifra significativa 5.00 102 g => 3 cifre significative
• Moltiplicazione: quando si moltiplicano due misure il numero di cifre significative del risultato è pari al numero di cifre significative della grandezza con numero di cifre significative inferiore
6.14 cm *3.0 cm= (la calcolatrice dice 18.42)= 18 cm2
• Addizione: Quando le misure vengono sommate o sottratte il numero di posti decimali dopo la virgola nel risultato è uguale al numero più piccolo dei posti decimali di ciascun termine della somma.
27.3 +3.189=30.5 (la calcolatrice darebbe 30.489 ma poiché 27.3 ha un unico numero decimale 489 viene approssimato a 5)
Propagazione dell’errore
• Errore assoluto: Errore espresso nella stessa unità di misura della grandezza misurata.
Es: lunghezza del tavolo misurata con un righello che ha la precisione del centimetro • Errore relativo (o percentuale): valore pari al rapporto tra l’errore assoluto ed
il valore a cui esso è associato
NB: l’errore relativo è adimensionale • Propagazione dell’errore: • Addizione (sottrazione): Quando vengono sommate (o sottratte) più misure
l’errore sul valore risultante è dato dalla somma degli errori assoluti sulle singole misure
• Moltiplicazione( o divisione): Quando vengono moltiplicate o divise più misure l’errore relativo sul risultato dell’operazione si ottiene sommando gli errori relativi sulle singole misure
L =1.80m±0.01m
L =1.80 1±0.011.80
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟m =1.80 1±0.006( )m =1.80m±0.6%
x = xmeas
1±δxxmeas
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x = xmeas
±δx
• Es: • Moltiplicazione: Determinare l’area di un tavolo di cui sono state misurate larghezza H (80cm ) e lunghezza L( 200cm) con una precisione di 2cm :
• Addizione: • Determinare la variazione di temperatura tra la temperatura misurata, con un
termometro digitale sensibile al decimo di grado centigrado, alle 8 di questa mattina (T1=8.6°C) e quella misurata a mezzogiorno (T=19.2°C)
Propagazione dell’errore (2)
L = 2.00m±0.02m = 2.00m 1±0.022.00
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = 2.00m 1±0.01( )
H = 0.80m±0.02m = 0.80m 1±0.020.80
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = 0.80m 1±0.025( )
A = L ⋅H = 2.00m 1±0.022.00
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ⋅0.80m 1±
0.020.80
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
1.60m2 ⋅ 1±0.01( ) 1±0.025( ) = 1±0.025±0.01±0.00025( ) =1.60m2 ⋅ 1±0.035( ) =1.60m2 ±0.06m2
T1= 8.6°C ±0.1°C T
2=19.2°C ±0.1°C
ΔT =T2−T
1= 19.2±0.1( )°C − 8.6±0.1( )°C = 10.6±0.2( )°C
Analisi Dimensionale(1)
q Ogni grandezza fisica ha una sua “dimensione”, cioè può essere espressa come una ben precisa combinazione delle grandezze fisiche fondamentali [T],[M][L][I] q Le dimensioni delle varie grandezze fisiche che compaiono in una relazione matematica devono rispettare alcune regole formali affinché la formula stessa abbia una propria coerenza.
q È possibile definire delle quantità adimensionali ( senza dimensioni ), che si possono ottenere come rapporto tra due quantità fisiche che hanno la stessa dimensione. Una quantità adimensionale non ha bisogno di unità di misura, e viene detta numero puro
Ø L’analisi dimensionale è uno strumento “teorico” di controllo della correttezza “dimensionale” delle formule che mettono in relazioni varie grandezze fisiche e di supporto nell’individuazione delle dimensioni e delle unità di misura corrette dei termini che compaiono in una formula. Ø L’analisi dimensionale si basa sulle seguenti osservazioni:
Es: Il coefficiente di attrito dinamico μd per un corpo che striscia su una superficie scabra è dato dal rapporto tra la forza di attrito dinamico Fa subita dal corpo e la componente N della forza esercitata dal corpo sulla superficie, in direzione perpendicolare al corpo stesso:
NFa
d =µ
Poichè numeratore e denominatore ( entrambi forze) hanno la stessa dimensione, il coefficiente di attrito dinamico è adimensionale
[ ] [ ][ ][ ][ ][ ][ ]
[ ] [ ] [ ]0002
2
TLMTLMTLM
d == −
−
µ
G[ ] = M[ ]a L[ ]b T[ ]c I[ ]d
Dimensioni delle grandezze derivate Elenco di alcune grandezze derivate, usate in Meccanica ed in Elettromagnetismo, con le dimensioni corrispondenti, espresse in funzione delle 4 grandezze fondamentali: lunghezza (L), tempo (T), massa (M) ed intensità di corrente elettrica A
s = t
Regole formali dell’analisi dimensionale : Ø Le dimensioni di un prodotto tra grandezze fisiche si ottengono facendo il prodotto delle dimensioni dei singoli fattori. L’analogo vale anche per le dimensioni del rapporto; Ø Tutte le grandezze che compaiono in una somma o in una differenza devono avere le stesse dimensioni; Ø Il primo membro di un’uguaglianza deve avere le stesse dimensioni del secondo membro; Ø L’argomento di una funzione trascendente (es. sin, cos, log, exp) deve essere un numero puro;
Ø Il risultato di una funzione trascendente è un numero puro.
Analisi dimensionale (2)
v⎡⎣⎤⎦=
L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦= L⎡⎣
⎤⎦ T⎡⎣⎤⎦−1
v =st
s+ t L⎡⎣⎤⎦+ T⎡⎣⎤⎦
e−tτ τ⎡⎣
⎤⎦= T
⎡⎣⎤⎦
t⎡⎣⎤⎦
τ⎡⎣⎤⎦=1
L⎡⎣⎤⎦= T
⎡⎣⎤⎦
Analisi Dimensionale (4)
Es: Si scrivano le dimensioni di ciascuna delle grandezze che compaiono nell’equazione: e si stabilisca se l’equazione è dimensionalmente corretta sapendo che v = velocità, a = accelerazione, x = spostamento
v2 = 2a x − x1( )+v12
Soluzione: v⎡⎣⎤⎦2= a⎡⎣
⎤⎦ x⎡⎣
⎤⎦− x1⎡⎣
⎤⎦( )+ v1⎡⎣ ⎤
⎦2
v2 = 2a x − x1( )+v12
L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
=L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦2L⎡⎣⎤⎦− L⎡⎣⎤⎦( )
L⎡⎣⎤⎦
! "# $#+
L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
=L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
+L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
Le dimensioni di ciascun termine sono uguali e l’equazione è, almeno dal punto di vista dimensionale, corretta.
v⎡⎣⎤⎦=
L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦= L⎡⎣
⎤⎦ T⎡⎣⎤⎦−1 a⎡⎣
⎤⎦=
L⎡⎣⎤⎦
T⎡⎣⎤⎦2= L⎡⎣
⎤⎦ T⎡⎣⎤⎦−2
[ ] [ ] [ ]Lxx == 1
Branca della fisica che si occupa della descrizione dei moti dei corpi e delle forze responsabili dei moti stessi
Studia i moti dei corpi senza tener conto delle
cause
Studia le condizioni in cui i corpi si trovano in
equilibrio
Studia i moti tenendo in considerazione le forze responsabili del moto
stesso
Che cos’è la cinematica
È una branca della Meccanica che descrive il moto di un corpo usando i concetti di spazio e tempo, senza andare a studiare le cause del moto stesso ( compito assegnato alla “dinamica”)
Assunzioni: Ø Il corpo in movimento viene assimilato ad una particella puntiforme (punto materiale)
Ø Il moto è lo spostamento del punto materiale che avviene nello spazio tridimensionale e nel tempo lungo una certa traiettoria
Ø Il moto di un corpo è completamente determinato se è nota la sua posizione in ogni istante t => se quindi è nota l’equazione che descrive il moto in funzione del tempo
Ø Le forze non vengono prese in considerazione
)(trr !!=
Posizione e spostamento
Ø L’insieme dei punti dello spazio, occupati dal punto materiale durante il suo moto, è detto traiettoria.
!r (t1)
z
y
x
)( 2tr!)( 3tr
!
!r (t4 )
1
2
3
4
Ø Il moto del punto materiale è descritto dalla dipendenza dal tempo del vettore posizione )(tr!
Ø La relazione che esprime la dipendenza del vettore posizione in funzione del tempo è detta equazione oraria del moto.
)(trr !!=
Ø In generale l’equazione oraria del moto è un sistema di tre equazioni, una per ogni coordinata cartesiana:
NB: sono funzioni del tempo tra loro indipendenti. fx(t), f
y(t), f
z(t)
equazione oraria del moto
Δr! "!
="r(t
f)−!r(t
i) =
x(tf)− x(t
i)
y(tf)− y(t
i)
z(tf)− z(t
i)
#
$%%
&%%
Ø Il vettore che individua la variazione di posizione della particella viene detto Vettore spostamento ed è pari alla differenza tra i vettori posizioni negli istanti finali ed iniziali:
rΔ
Ø Sia un vettore posizione che individua la posizione del punto materiale P rispetto ad un sistema di assi cartesiani xyz:
!r
!rP(x,y,z)
P = (x,y,z) !r = xi + yj + zk
Traiettoria
!r (t0 )
x
y
z
!r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k dove:
x(t) = fx(t)
y(t) = fy(t)
z(t) = fz(t)
!
"##
$##
NB: Lo spostamento nel SI si misura in metri (m)
Esempio di utilizzo dell’equazione del moto (provare a fare a casa)
Tramite le equazioni del moto è possibile determinare la posizione occupata dal corpo in movimento in ogni stante t. Supponiamo che una slitta stia scivolando su un pendio nevoso dritto; la slitta si muove sempre più lentamente via via che sale lungo la china; poi si arresta per un istante e comincia a scivolare all’indietro giù per il pendio. Un’analisi del moto della slitta fornisce la sua coordinata x come funzione del tempo t: x è misurata lungo il percorso della slitta con il semiasse positivo verso la salita. a) Costruire un grafico della coordinata della slitta in funzione del tempo t da
t=0.0 a t=8.0 s (riportando intervalli di 1.0 s) b) Determinare lo spostamento della slitta tra ti=1.0 s e tf=7.s c) Determinare lo spazio percorso tra gli istanti ti=1.0 s e tf=7.s (modulo del
vettore spostamento tra gli istanti t=1.0s e t=7.0s)
x(t) =18m+ (12m s)t − (1.2m s2 )t2