incertezas na computação científica: abordagens via...
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Incertezas na Computac ao Cientıfica:Abordagens via Matem atica Intervalar e
Teoria Fuzzy
Rogerio Vargas
Dr. Luciano Vitoria Barboza, orientadorDra. Gracaliz Pereira Dimuro, co-orientadora
Pelotas-RS, 13 junho 2007
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
1 Introduc aoMotivacao
HistoriaObjetivo
2 Matematica IntervalarDefinicao
Operacoes
3 Teoria FuzzyDefinicao
Operacoes Aritmeticas com Numeros Fuzzy
4 C for eXtended Scientific ComputingDefinicao
CaracterısticasTipos de Dados
Codificacao
5 Estudo de CasoProblema RealSolucoes
MetodosEntrada de DadosImplementacao
6 Resultados Num ericosMatematica IntervalarTeoria Fuzzy
7 Conclus oes e Trabalhos FuturosConclusoes Parciais
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Motivac ao
Motivac ao do Trabalho
Tipos de Erros
Dados (Equipamento de Medicao)
Modelagem (Simplificacoes)
Numericos (Computadores e Arredondamento)
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Hist oria
Matematica Intervalar
Aritmetica Intervalar, Moore em 1965
Matematica Intervalar, Leslie Fox em 1974Crıticas feitas:
Resultados pessimistas, demasiadamente grandesProcessamento computacional
Aritmetica avancada, software e hardware
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Hist oria
Teoria Fuzzy
Teoria Fuzzy, Zadeh em 1965
Teoria de Conjuntos
Variaveis “imprecisas”, “vaga”
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Hist oria
C-XSC
http://www.xsc.de
Decada de 60, suportar uma aritmetica mais poderosa quea aritmetica de ponto-flutuante ordinaria
Ausencia de linguagens de alta exatidao em programacaonumerica e computacao cientıfica
Estender linguagens para computacoes cientıficas,conhecidas como XSC
Pascal-XSC e C-XSC, em 1988, Universidade deWuppertal (Alemanha)
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Objetivo
Objetivo Geral
Objetivo Geral
Analisar e implementar um algoritmo para o tratamento dasincertezas aplicado a um problema real utilizando comometodologias a Matematica Intervalar e a Teoria Fuzzy com ouso da biblioteca C-XSC.
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Definic ao
Conceitos da Matem atica Intervalar
A Matematica Intervalar considera um conjunto demetodos para manipulacao de intervalos numericos queaproximam dados incertos.
Oliveira, 2005
Intervalos representam valores desconhecidos e contınos.
Kulisch, 2003Intervalos controlam o erro de arredondamento e representamdados inexatos, aproximacoes e erros de truncamento deprocedimentos.
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Operac oes
Adic ao e Subtrac ao
Sejam X , Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].
Adic ao
X + Y = [(x1 + y1) ; (x2 + y2)]
Resultado: [3, 7]
Subtrac ao
X − Y = [(x1 − y2) ; (x2 − y1)]
Resultado: [−1, 3]
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Operac oes
Multiplicac ao e Divis ao
Sejam X , Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].
Multiplicac ao
X × Y = [min{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2};
max{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2}]
Resultado: [2, 12]
Divis ao
XY
=
[min
{x1
y1,
x1
y2,
x2
y1,x2
y2
}; max
{x1
y1,x1
y2,x2
y1,
x2
y2
}]
com 0 /∈ [y1; y2]. Resultado: [0, 6666, 4]
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Definic ao
Introduc ao
Cox, 1994; Cox, 1995; Kasabov, 1996; Terano, 1992 eZadeh, 1965
Tambem conhecida com Conjuntos Nebulosos. Nas ultimasdecadas, pesquisadores da inteligencia artificial vemtrabalhando com a teoria dos Conjuntos Fuzzy.
Kasabov, 1996; Kosko, 1992, Tsoukalas, 1997
Crescimento no numero de pesquisas, desenvolvimento demaquinas com controladores Fuzzy, como: aspirador de po, arcondicionados, robos autonomos e ate mesmo chips FuzzyVLSI.
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Definic ao
Definic ao de Conjuntos Fuzzy
Teoria dos Conjuntos Cl assicos
Um elemento pertence ou nao pertence a um determinadoconjunto.
χA(x) = 1, se x e um elemento do conjunto A, e
χA(x) = 0, se x nao e um elemento do conjunto A
Teoria dos Conjuntos Fuzzy
Atribuindo a nocao de pertinencia, a premissa de pertence ounao pertence e quebrada.
µA(x) : U → [0, 1]
onde U e o conjunto universo de discurso e A e um conjuntofuzzy.
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Definic ao
Exemplo de “Quente”
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Definic ao
Especialista do Conhecimento
Abaixo de 1, 60m, nao significa ser alto
Acima de 1, 80m, definitivamente significa ser alto
Engenheiro do Conhecimento, define qual o “desenho”.
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Definic ao
Tipos de Representac oes
Curva-S
Curvas Tipo Sino
Triangular
Trapezoidal
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Operac oes Aritm eticas com Numeros Fuzzy
Operac oes Alg ebricas Fuzzy
Numeros Fuzzy Triangulares
Considere um Numero Fuzzy representado na formaTriangular.
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Operac oes Aritm eticas com Numeros Fuzzy
Operac ao Alg ebrica de Adic ao
Sejam dois Numeros Fuzzy Triangulares A e B, comA = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), entaoA(+)B = (a1, a2, a3)+ (b1, b2, b3) = (a1 + b3, a2 + b2, a3 + b1)
Exemplo
Com A = (2, 3, 6) e B = (1, 4, 5), entao temos queA(+)B = (3, 7, 11).
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Definic ao
Escolha da Biblioteca C-XSC
Biblioteca destinada a Computacao Cientıfica
Alta exatidao e verificacao automatica de resultados
Proporciona condicoes especiais a implementacao dealgoritmos numericos sofisticados
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Caracterısticas
Caracterısticas da Biblioteca C-XSC
Aritmetica intervalar para numeros reais, complexos,intervalares complexos
Vetores e matrizes dinamicos
Subarrays de vetores e matrizes
Tipos de dados de alta exatidao
Operadores aritmeticos predefinidos com alta exatidao
Controle de arredondamento dos dados de entrada esaıda
Biblioteca de rotinas para a resolucao de problemasmatematicos
Resultados numericos com rigor matematico
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Tipos de Dados
Tipos de Dados Num ericos Simples
real
interval (intervalo de reais)
complex (numero complexo)
cinterval (intervalo complexo)
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Tipos de Dados
Tipos de Dados aplicados a Matrizes e Vetores
rvector (vetor de reais)
ivector (vetor de intervalos reais)
cvector (vetor de complexos)
civector (vetor de intervalos complexos)
rmatrix (matriz de reais)
imatrix (matriz de intervalos reais)
cmatrix (matriz de complexos)
cimatrix (matriz de intervalos complexos)
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Codificac ao
Exemplo de Programac ao com C-XSC
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Problema Real
Esquema de Transmiss ao de Energia El etrica
Barra PV
Barra PQ
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Problema Real
Fluxo de Pot encia em Redes de Energia El etrica
Sistema de equac oes n ao-lineares
(e2i + f 2
i )Gii −n
X
k=1k 6=1
[ei(ekGik − fk Bik ) + fi(fk Gik − ekBik ) − Pgi + Pdi = 0 (1)
−(e2i + f 2
i )Bii −n
X
k=1k 6=1
[fi(ek Gik − fk Bik ) − ei(fk Gik + ek Bik ) − Qgi + Qdi = 0 (2)
e2i − f 2
i − |V espi |2 = 0 (3)
Quest oesSuprir a demanda?
Linhas de transmissao suportam a energia?
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Soluc oes
Abordagens para o Fluxo de Pot encia comIncertezas
Matematica Intervalar
Teoria Fuzzy
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Metodos
Metodos para Resoluc ao do Fluxo de Pot encia
Newton-Raphson
f (x) ∼= f (xk ) +∂f (x)
∂x
∣∣∣∣x=xk
∆x
Krawczyk
K (x , X = x − Cf (x) − (I − CJ(X ))(x − X )
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Entrada de Dados
Arquivo de Entrada de Dados
1**** Sistema de 6 barras (R.N. Dhar) ****4
1 4 8.00 37.00 3.001 6 12.3 51.80 4.202 3 72.3 105.00 0.002 5 28.2 64.00 0.003 4 0.00 13.30 0.00.909 44 6 9.70 40.70 3.005 6 0.00 30.00 0.00.975 6
99995
1 2 barra1 1.10 -9999+99992 1 barra2 1.10 50. -15.0 20.0 0. 0.3 0 barra3 55. 13.4 0 barra4 0. 0.5 0 barra5 30. 18.6 0 barra6 50. 5.
9999
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Implementac ao
Implementac ao Intervalar
Regras
Demandas convertidas para intervalos
1% de incerteza nas demandas pontuais
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Implementac ao
Implementac ao Fuzzy
Regras
Especialista define as regras
Fuzzificacao nas demandas de potencias ativa e reativa
Determinacao dos intervalos e suas pertinencias
Execucao de dois fluxos de potencia intervalares
Defuzzificacao dos resultados de magnitudes de tensao eangulos de fase
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Matematica Intervalar
Resultados
Resultado Pontual
Barra Magnitude(pu) Angulo( ◦)3 0, 9051 −11, 7277
MatLab com IntLab
Barra Magnitude(pu) Angulo( ◦)3 [0, 8930 0, 9174] [−12, 0675 −11, 3934]
C++ com C-XSC
Barra Magnitude(pu) Angulo( ◦)3 [0, 8998 0, 9104] [−12, 1645 −11, 2942]
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Teoria Fuzzy
Fuzzificac ao das demandas para a Barra 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
48 50 52 54 56 58 60 62
mem
bers
hip
func
tions
real demand
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5
mem
bers
hip
func
tions
reactive demand
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Teoria Fuzzy
Resultados Fuzzy para a Barra 3
Intervalos[0, 8998 0, 9104][0, 8813 0, 9291]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.88 0.885 0.89 0.895 0.9 0.905 0.91 0.915 0.92 0.925 0.93
mem
bers
hip
func
tions
magnitude of voltage (pu)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-13.5 -13 -12.5 -12 -11.5 -11 -10.5 -10
mem
bers
hip
func
tions
phase angle of voltage (degree)
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Conclus oes Parciais
Conclus oes do Trabalho
Matematica Intervalar e Teoria Fuzzy aplicadas ao Fluxode Potencia com Incertezas
Comparacao dos Resultados (IntLab e C-XSC)
C-XSC apta a implementacao dos algoritmos deNewton-Raphson e Krawczyck
Utilizacao da Matematica Intervalar e Teoria Fuzzy comC-XSC
C-XSC possui confiabilidade e exatidao nos calculosaritmeticos
Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes
Conclus oes Parciais
Etapas a realizar
Padronizar todos os graficos e figuras
Complementar o referencial teorico da MatematicaIntervalar e da Teoria Fuzzy
Padronizar o tipo de variavel para os exemplos naMatematica Intervalar e Teoria Fuzzy
Inserir exemplos de codificacoes no capıtulo do C-XSC
Executar o programa em sistemas reais
Executar a fuzzificacao e defuzzificacao em sistemasmaiores que o IEEE-6
Analise do desempenho das metodologias
Analise qualitativa dos resultados
Escrita de Artigos e Dissertacao
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Conclus oes Parciais
Obrigado pela atenc ao...