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Research Collection

Doctoral Thesis

Ein Beitrag zum Deuteronproblem

Author(s): Villars, Felix

Publication Date: 1946

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Von der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

zur Erlangung der Würde eines Doktors der Naturwissenschaften

genehmigte Promotionsarbeit, vorgelegt von

Felix YiUars

aus Leubringen (Bern)

Referent: Herr Prof. Dr. G. Wentzel

Korreferent: Herr Prof. Dr. W. Pauli

Basel

Buchdruckerei E. Birkhäuser & Cie.

1946

Sonderabdruck aus Helvetica Physica Acta, XIX. Jahrgang, Nr. 5, 1946


von Felix Villars.

Die tiefsten Zustände des zwei-Nukleon-Systèmes werden untersucht im

Rahmen einer Mesontheorie, die die Existenz "isobarer Zustände" des Systèmes

vorsieht (starke Kopplung). Besondere Beachtung findet der Einfluss der Tensor¬

kraft. Es zeigt sich, dass der von der Erfahrung geforderte Abstand der Bindungs¬

energien der beiden „S-Zustande" (3S und XS) die Anregungsenergie der Isobaren

auf Werte >200 MeV beschrankt. In diesem Falle sind letztere ohne wesentlichen

Einfluss auf die Anisotropie der Proton-Neutron-Streuung.

I. Einleitung.

Bis jetzt haben sich jedem Versuch, zu einer quantitativ

befriedigenden Deuterontheorie zu gelangen, grosse Schwierig¬

keiten in den Weg gestellt ; dies auch, wenn man sich, wie das im

folgenden geschehen soll, auf den „mechanischen" Aspekt des

Problèmes beschränkt und feinere Fragen (magnetische Momente)

vorläufig beiseite schiebt. Es verbleiben dann im wesentlichen

vier Punkte, die eine mit der Erfahrung übereinstimmende Dar¬

stellung erfordern. Dies sind die Bindungsenergien der zwei

untersten Deuteronzustände (3Sund 1S), das elektrische Quadrupol-

moment des erstem und die für die Anisotropie der Proton-Neutron-

Streuung massgebende P-Wechselwirkung. Die grosste Schwierig¬keit bereitet jeweilen der zuletzt genannte Punkt. Eine rechneri¬

sche Betrachtung zeigt nämlich, dass die Anisotropie in geradezuausserordentlich empfindlicher Weise von der Stärke der P-Wech¬

selwirkung abhängt. Im allgemeinen sind aber die Konstanten

der Kraftansätze bereits festgelegt durch die Forderung, die Deu¬

teron S-Zustände richtig zu beschreiben. Übergang zu P-Zu-

ständen bedeutet dann Paritätswechsel der räumlichen Eigen¬funktionen ; genaue Kenntnis der Streuanisotropie ergäbe demnach

die Möglichkeit, die einzelnen Wechselwirkungsansätze auf Grund

ihres charakteristischen Verhaltens bei Paritätswechsel der Eigen¬funktion zu begutachten. Leider sind die Ergebnisse der Aniso¬

tropiemessungen1) nicht von der ihrer Wichtigkeit entsprechenden

Genauigkeit; es soll weiter unten auseinandergesetzt werden, dass

sogar Gründe dafür bestehen, gewisse Ergebnisse in quantitativer*

324 Felix Villars.

Hinsicht stark anzuzweifeln, wogegen sie qualitativ durchaus

richtig sein mögen.Den Vorzug geniessen aus grundsätzlichen und experimen¬

tellen Erwägungen die Ansätze, die zu ladungsunabhängigenKräften führen (ladungssymmetrische Theorien). Ein Charak¬

teristikum dieser Ansätze ist aber — etwas grob ausgedrückt —

der Vorzeichenwechsel der Kräfte bei Paritätswechsel, d. h. zu

den gezwungenermassen anziehenden ^-Potentialen gehören ab-

stossende P-Potentiale. Der Sachverhalt wird indessen etwas

komplizierter, falls man eine Wechselwirkung vom Typus der

Spin-Bahn-Kopplung (Tensorkraft) hinzuzieht, was zur Deutungdes elektrischen Quadrupolmomentes (Q) erforderlich ist. Die

Tensorkraft spaltet nämlich die Triplett-P-Terme auf (wobei die

Lage des „Schwerpunktes" erhalten bleibt); in der symmetrischenTheorie ergibt sich der 3P0-Term als der tiefstliegende, falls man

das Vorzeichen der Tensorkraft der Forderung, dass Q positiv ist,

anpasst. (Im Sinne einer Mesontheorie mit Vektor- und Pseudo-

skalarfeld bedeutet ein positives Q, dass das vektorielle Meson

das schwerere ist; vgl. 2)). Die Messungen1) deuten nun überein¬

stimmend darauf hin, dass die massgebenden P-Potentiale an¬

ziehend sind; dies ist aber in der symmetrischen Theorie in An¬

betracht des kleinen Gewichtes des 3P0-Termes nicht der Fall.

Dieser Ansatz lässt also anscheinend nur die Alternative zu, dass

entweder das Quadrupolmoment des Deuteron-Grundzustandes

oder aber die Anisotropie der Proton-Neutron-Streuung das falsche

Vorzeichen erhält*).Diesem Einwand ist nun aber die symmetrische Theorie im

Grenzfall „starker Kopplung" wenigstens prinzipiell nicht aus¬

gesetzt3). Die in diesem Falle auftretenden angeregten Zustände

(Isobaren) bewirken nämlich eine Verschiebung der adiabatischen

Potentiale im Sinne stärkerer Anziehung und dies um so mehr,

je kleiner die Anregungsenergie der Isobaren ist.' So werden spe¬

ziell bei genügend kleiner Isobarenanregungsenergie die P-Poten¬

tiale durchwegs anziehend. Falls also die übrigen Daten des Deu¬

terons die Annahme einer hinreichend kleinen Anregungsenergiezulassen, darf man erwarten, dass die Streuanisotropie dadurch

wesentlich in Richtung auf die experimentell geforderten Werte

hin verbessert wird.

*) Die Anisotropie A sei hier definiert durch A — (ff (0) - a (ji)) / a I-^ I, wo

ê den Streuwinkel im Schwerpunktsystem und a {&) den entsprechenden Streu¬

querschnitt bedeutet. Vorwärts (Rückwärts-)streuung im Schwerpunktsystemist dann charakterisiert durch A>0(A<0).

Ein Beitrag zum Deuteronproblem. 325

In dieser Arbeit soll nun vorerst der Einfluss der Isobaren auf

die untersten Deuteronzustände untersucht werden; es wird sich

also in erster Linie darum handeln, zu sehen, ob und wieweit die

Anregungsenergie der Isobaren durch die Daten der bekannten

S-Zustände nach unten begrenzt wird; alsdann soll untersucht

werden, wieweit zulässige Werte dieser Grösse ihren Einfluss auf

die Lage der P-Terme geltend machen.

II. Hamiltonfunktion des Zwcikörpersystemes ; Variationsverfahren

zur Auflösung der Schrödingergleichung.

Das in Rede stehende Modell ist an anderer Stelle schon ein¬

gehend diskutiert worden4). Es seien deshalb hier lediglich die

Variabein des Zweikörpersystemes und die Hamiltonfunktion des

besagten Modelles angegeben:j1 m1 nx und j2 m2 n2 sind die Quantenzahlen der beiden

Nukleonkreisel,J und M der Gesamtspin des Systèmes und seine Komponente,K und N der gesamte isotope Spin und dessen Komponente ;

N + 1 stellt die Ladung des Systèmes dar.

Es gilt die Ungleichung

IÎ1-/2I < JK <ii + h- (i)

J setzt sich mit dem Bahndrehimpuls L des Systèmes zusammen

zum Gesamtdrehimpuls I (Komponente Mj) ; es gilt

\J-L\<I<J + L. (2)

Die Hamiltonfunktion ist diagonal bezüglich I, MIf K, N; für

jeden Satz dieser Zahlen ist sie die folgende Matrix bezüglichder übrigen Variabein:

(JLj1j2\H\J'L'j1'j2') =

+ V(r)(j1j2J\Q\j1'j2'J).(JL\l\J'L')

+ U(r)(JLj1j2\T'\J'L'j1'j2'). (3)

Die Matrizen Q und T" (T' = T — 1/8 ß in der Bezeichnung von

Fierz, s. u.) sind von Fiekz5) berechnet worden. Über die stati¬

schen Potentiale U(r) und V(r) gibt die Mesontheorie für nichtzu kleine Abstände der Nukleonen {r^>g, wo g die Kopplungs¬konstante bedeutet) bestimmte Aussagen. Des weiteren sind durch

326 Felix Villars.

die Bedingung starker Kopplung: g^>a im physikalisch inter¬

essanten Fall a/j,<^l (a: Ausdehnung des Nukleons, p-hlc: Meson¬

masse) allzugrosse Werte von e ausgeschlossen (vgl. *)). Wir

wollen aber hier so vorgehen, dass wir über die Potentiale U(r)und V(r) sowie über die Konstante e vorerst frei verfügen; ins¬

besondere behalten wir uns vor, U und V durch Kastenpotentiale(Z7, V = const, für r<r0> = 0 für r>r0) passend gewählter Tiefe

zu approximieren. Auf Grund der so durchgeführten Rechnungen

mag dann diskutiert werden, wieweit die erhaltenen Ergebnisseeine sinnvolle Interpretation im Rahmen der Mesontheorie ge¬

statten.

Die Komponenten der Schrödingerfunktion g bezeichnen wir

mit FJLjiJi(r) und erhalten demnach als Schrödingergleichung:

(- £(£-^)+i[K)*+KM-*}*w

+Z'{F0-)0'1?aJ |ß| k'h'J) àjr ô^+UWiJLnJz \T'\ J'L'ÜV)}

JWa-0. (4)

Die Matrix Q koppelt die Werte Ji—jV=0,±1 und j2— ]%' = 0,±1.

(Sie ist natürlich, wie auch T', symmetrisch in jx und j2.) Die

Matrix T' koppelt mit J,L,j1,j2 die Zustände J'=J,J±2,

L'=L, L±2, 7i'=h>7i±l und j2'=j2,j2±l. Die beiden Unglei¬chungen (1) und (2) entscheiden aber letzthin, welche Matrix¬

elemente wirklich auftreten. Über das Verhalten der FJLjiJt(r)gegenüber einer Vertauschung von jx und j2 gibt das Pauliprinzipdie Vorschrift

Insbesondere gilt für j\ = j2 (etwa im Falle J = 0 oder K = 0)die Bedingung: J + K + L muss ungerade sein.

Eine exakte Lösung der Gleichung (4) dürfte unmöglich sein.

Wie schon bemerkt erleichtern wir uns die Aufgabe durch die

Annahme von Kastenpotentialen gleicher Reichweite r0 für U

und V. In dem durch r>r0 definierten Aussenraum ist dann das

Gleichungssystem (4) entkoppelt ; für diesen • Bereich sind exakte

Lösungen angebbar. Im Innenraum r<r0 liegt ein System simul¬

taner Gleichungen mit zunächst unbeschränkter Komponenten¬zahl vor. Das Problem lässt sich jedoch aus den folgenden Gründen

reduzieren: Gehen wir aus von der Annahme, dass £ nicht zu klein

ist. (Diese Aussage soll weiter unten präzisiert werden.) In diesem

Falle nehmen mit wachsenden j1, j2 die Amplituden der entspre¬chenden F-Komponenten rasch ab ; von bestimmten Werten jt, j2


an wird man daher die FJL^jt(r) näherungsweise Null setzen

dürfen. Grosse Werte von J bedingen wegen (1) grosse Werte

von jx oder j2 und grosse Werte von L sind wegen (2) mit grossen J

kombiniert, da in den interessierenden Fällen I klein ist (I = 0,1oder 2). Dazu wirkt für L>0 das der Zentrifugalkraft entspre¬chende Glied ~L(L + l)/r2 im gleichen Sinne wie die Isobaren¬

energie. Aus diesen Gründen kann man näherungsweise die

Schrödingergleichung im Innenraum auf ein endliches System redu¬

zieren. Bezeichnen wir für das folgende die Gesamtheit der In¬

dices JLj1j2 mit s und schreiben wir abkürzend H9S> für (s|H|s')(and Hs für (s|H|s)), so lautet das reduzierte System (4) für den

Innenraum r<r0:

£Hss,Fs,{r)=E.Fs(r). (5)8'

Dieser Gleichung ist äquivalent das folgende Variationsproblem:Es soll die Variation von

(H«-E-ff')==27 [°drFs(r)Z;(Hss,-E d„.)*V(r) (6)

verschwinden, falls die zu variierenden F,(r) den Randbedin¬

gungen

FS(0) = <5F8(0) = 0

und

(é^Fs(r)\r(^oëÔFs(r)\r-,s (7)

genügen. {xs ist bestimmt durch die Lösung von (4) im Aussen-

raum.) In der Tat folgt aus (6) und (7) :

Ô(H<-EN<)=2Z; ['drôFa(r)Z(Hss,~EÔS8,)Fs,(r). (8)

Die Fs (r) sollen nun approximiert werden durch den Ansatz

F.{r)=ZaPuM(r), (9)n

wobei die asn) zu variierende Parameter und die wsn) (r) vorgege¬bene Funktionen sind, die die Randbedingungen

«<»> (0) = 0 und (-£.log«<">(r))r=-*. (7')

erfüllen. Die Forderung

328 Felix Villars,

führt dann auf das in den a£n) lineare Gleichungssystem

££awf'dr «<•> (ff„,- E d„.) «<?') = 0. (10)

s' n- J

Zu Gleichung (10) führt aber auch die folgende Interpretationdes Variationsverfahrens: Es sei

Gs(r)=ZJ(Hss.-Eoss,)Fs,(r).s'

Nach (8) ist die Gleichung <5 (flf—- E • iV*) =0 unter Berücksich¬

tigung von (7) einer Orthogonalitätsrelation äquivalent: G,(r) soll

zu jeder Funktion 6FS orthogonal sein und muss daher identisch

Null werden. Die Verwendung des Variationsverfahrens als Nähe¬

rungsmethode beruht nun gerade darauf, nur zu verlangen, dass

Gs(r) zu endlich vielen Funktionen w(sn) (r), die den Randbedingun¬gen (7') genügen, orthogonal sei:

».

/"drG,(r)-«i")(r) = 0.

o

Mit dem Ansatz (9) für die F,(r) erhält man wieder (10). Ferner

gilt, wie man jetzt leicht sieht, (H*—E • N{) = 0.*) Es ist aber

bei dieser Fassung der Näherungsmethode möglich, von vorn¬

herein einen der Parameter a<n>, etwa a^\ wo a die „Hauptkom¬ponente" bedeutet, gleich 1 zu setzen. Dies ist wichtig für den

Fall, dass sich die Hauptkomponente im Aussenraum (r > r0)oszillatorisch verhält und daher deren asymptotische Amplitudezu normieren ist. Es ist nämlich in der Tat unwesentlich, ob es

sich bei (4) um ein Eigenwertproblem im eigentlichen Sinne oder

aber um ein Streuproblem handelt. Im ersteren Falle sind sämt¬

liche Konstanten xs (7, 7') durch die exponentiell abfallenden

Lösungen im Aussenraum bestimmt, und zwar wird

für L = 0: Xjnli^l±[(h+^+(k+^]-E}'",

*) Hier bedeutet natürlich E vorerst nur einen Parameter, der sich aber

nm so mehr dem Eigenwert des Problèmes nähert, je besser die Fs{r) die exakten

Lösungen approximieren.


Damit sind durch (10) und die Normierungsbedingung

oo

N = ZfdrFI(r) = l (11)8

o

alle Koeffizienten aw und der Eigenwert E bestimmbar.

Im Falle eines Streuproblemes verhalten sich die Komponenten

FJLyiVt[f) (J = 0,1) im Aussenraum oszillatorisch. An Stelle des

nun vorgegebenen Wertes von E sind hier mit Hilfe von (10) die

entsprechenden logarithmischen Ableitungen xJLy2 Vxzu bestimmen ;

ihr Wert legt die Phasen der gestörten Welle im Aussenraum fest.

Das Problem .ist aber nur im Falle einer einzigen oszillatorischen

Komponente (a) durch (10) schon vollständig festgelegt. In diesem

Falle gestattet (10) nämlich gerade die Bestimmung der Ampli¬tudenverhältnisse (d. h» der a<n), falls a(v = 1 gesetzt wurde)und des Wertes von xa. Treten hingegen mehrere oszillatorische

Komponenten auf, so gibt erst die Ausstrahlungsbedingung die

erforderlichen zusätzlichen Randbedingungen zur Bestimmungaller %s. (Vgl. auch Anhang 1.)

III. Der Deuteron-Grundzustand.

Bei Vernachlässigung der Tensorkraft sind J und L Quanten¬zahlen und die beiden tiefsten Eigenwerte E gehören zu K = 0,J = 1, L = 0 resp. K = 1, J = 0, L = 0. Die beiden energetischtiefstliegenden Zustände werden also in dieser Näherung ein

3S- und ein ^-Zustand. Die Tensorkraft spaltet diese beiden, in

obiger Näherung zusammenfallenden Zustände auf; die Hamilton-

funktion ist nun nicht mehr diagonal bezüglich J und L und der

Deuteron-Grundzustand ist in diesem Falle zu charakterisieren

durch1 = 1, K = 0, J ungerade, L gerade.

Die Hauptkomponente dieses Zustandes ist JLj = 101/2 (3S;wegen K = 0 ist jx = j2 = /). Die Vektorungleichungen (1) und (2)ergeben die möglichen Beimischungen JLj zur Hauptkomponente:

103/2) 105/2 ... (»S); 12V„ 123/2, ... (3D); 323/2, 82«/,, .. • (7D).

Die Isobarenanregungsenergie ist 3 e. Es sollen nun alle F-Kom-

ponenten mit ?>5/2, J>5, L>4 vernachlässigt werden; eine Dis¬

kussion der Bedingungen, unter denen dies erlaubt ist, sei auf

den Schluss dieses Abschnittes verspart. Wir geben nachstehend

330 Felix Villars.

eine Tabelle der interessierenden Matrixelemente von Û und T'

(nach 5)):Tabelle 1.

Ji Jf {Jj \Q\ Jj')

IV.

IV.

IV.

IV.

IV.

3V.

3V.

3V.

IV.

IV.

IV.

IV.

IV.

3V.

3V.

3V.

1

3

ii

15

31

35

3

5

y Ke¬

il

l55~

JLj J'L'j' (JLj\T'\J'L'j')

10 j

10V,

10»/,

io y

12V.

12V.

32V.

12V.

12V.

12V.

0

-|l/2-

yK275-34,,-"225 V*

JLj J'L'j' (jLj\r\j'L'f)

10V. 32V. 16 VT

32V. ~-è^io5/. 12V. ^

32V. "ivy*12V. 12V.

2

9

12V. -im32V. -3-K2/35

12V. 12V.34

225

12V. ~ivïî*32V. ^-1/27732V. -êv*iï

12V. 12V.74

525

32V. mV*i*

32V. 32V.48

175

32V. •ülvm32V. 32V.

752

3675

Es ist wesentlich, zu bemerken, dass hier die Schrödinger-gleichung mit unbekannten Potentialkonstanten U und V gelöstwerden muss; hingegen sind bekannt der Eigenwert E (die Bin¬

dungsenergie —2,17 MeV des Deuteron-Grundzustandes); eine

zweite Bedingung ergibt sich aus der Berücksichtigung des elek¬

trischen Quadrupolmomentes. Seine Existenz ist eine Folge der


D-Beimischungen, deren Ausmass durch die Grösse des Poten¬

tiates U der Tensorkraft bestimmt ist. Wir definieren. hier wie

üblich als Quadrupolmoment den Mittelwert des Operators von

-^(3 22-r2)=^-(3cosa#-l) = r2-Q'

im Zustand MI = I. Q' ist die folgende Matrix bezüglich J und L

(vgl-7)):

J=X J = 3

L=0 L = 2 L=2 j ...

L=0 0 J/2720J= 1

L=2 ^2"/20 -1/20

L=2 -1/70 |J=3 1

Es ist demnach

Q = fdr r*ZZFJLi (r) £ {JL \ Q' \ J'U) Frvj (r) ,

jj J JL J'U

im Falle unserer Näherung also

00

Q = / dT T% (W (F10H-F«H + iWF12V.) -

—i-^^+^W-w^v.i- (12)

Es müssen nun gut zu handhabende Ausdrücke für die Funktionen

M(«)(r) (vgl. (9)) gefunden werden. Dazu wird man die Reihen¬

entwicklungen der Lösungen der Schrödingergleichung hinzu¬

ziehen, vor allem um das Verhalten bei kleinen r-Werten klarzu¬

legen. Es ergibt sich folgendes Bild:

F-Komponenten zu L = 0: a-^r + a3rs + a5r5 (1 + b5 log r) + • • •

F-Komponenten zu L = 2: a3r3(l+/?3 log r) +a5r6(l + /?5logr)+- • •

Dieses Verhalten bei kleinen r-Werten kann mit für unsere Zwecke

genügender Genauigkeit dargestellt werden durch zwei-parametrigeFunktionen

Ft(r) = au{r)+a?>u{r),

wobei die w^n)(r) Binome sind, zusammengestellt mit Hilfe von

r, r3, r5 im Falle L = 0 und r3, r5, r3- log r für L = 2. Gelegent-

332 Felix Villars.

lieh, namentlich für schwächere Komponenten, wurde auch nur

ein einziger Parameter belassen, der dann also lediglich einen Am¬

plitudenfaktor darstellt. Wir geben nachstehend ein Beispieleines Satzes von F-Komponenten (Tabelle 2). Vorerst führen wir

die folgenden Bezeichnungen ein:

Tabelle 2.

Die ^-Komponenten FJL- (x).

JLj Innenraum (x<l) Aussenraum (x>l)Stetigkeits¬

bedingung

lOVi «1 , „(g-«ix3) 0l

• e-*' ^-D1 + J«!

ai~3 + Xj

12Vi1-Pio

+ 611x3(l-A1logx)

(»i.+ 6u)e-,*(*-1)1^3 3 \

<*!> \ »! X Kx)2/

Ä3+Kl

Äi=3+ [*J

io3/2 a3- .(x-a3x5)l-aä

a2 e~*> ^-D _

l + x3

5+*3

12% Z>3x3(l-ftlogx) I,1 + "

p-*s(z-l)*3

<*3>ft =3+[«,]

323/2 c3o, .,

i^-Vî*5)

+ c31 X3 (1 - ß3 log x)

(^30"*" C3l) ß

1/3 3 \

<x3> \ x3x («3x)2/

3+[x3]73

5+M

°i> ^io > &ii > a3> ^3» c3o> c3i sm(i die zu bestimmenden Parameter.

Trotz der Einfachheit der Ansätze führt also das Variations¬

verfahren hier zu einem System von 7 linearen Gleichungen. Dazu

treten zwei zusätzliche Gleichungen zur Bestimmung von U und V,nämlich die Normierungsbedingung (11) und die Gleichung (12),beide bilinear in den obenerwähnten Parametern. Es dürfte in¬

folgedessen kaum möglich sein, deren Zahl wesentlich zu erhöhen,ohne ein allzu unhandliches Gleichungssystem zu erhalten. Derhier gewählte Ansatz (der das Ergebnis vieler Versuche darstellt)dürfte der kürzeste sein, der noch vertrauenswürdige Eesultate

ergibt. Einige Besonderheiten erfordern jedoch noch eine Recht¬

fertigung: Es erweist sich als nicht notwendig, für die Haupt¬komponente (lO1^) einen feineren Ansatz zu wählen. Schlecht

angepasste Funktionen «M machen nämlich ihren Einfluss haupt-


sächlich dadurch geltend, dass die kinetische Energie des Bereiches

r<r0:

V^s=--^(fdrF!{r))'\fdrF8{r){^-^^)Fs(r) (13)\o / o

einen unrichtigen Wert erhält. Eine Untersuchung bestätigt dabei

aber die ohnehin plausible Tatsache, dass für S-Zustände der

Wert von (E^in)$ weit weniger rasch verfälscht wird als etwa

für D-Zustände. Es erschien deshalb geboten, vor allem die den

hier massgebenden D-Zuständen (121/2 und 323/2) zugehörendenF-Komponenten sorgfältig zu berücksichtigen.

Numerische Ergebnisse:

Unter Zugrundelegung der in Tabelle 2 zusammengestelltenAn¬sätze erhält man mit r0 = 2,8'10-13 cm und Q = 2,73-10-27 cm2 8)

a) für e = 30 MeV:

Floy„ = 1,499 • [x — 0,450 X3) Beimischung*)

F10.it = — 0,1443 • {x — 0,5625 • x5) 0,467%

Fi2y2 = — 0,0798 • (x3 - 3,636 • x5 + 20,78 • x3 • log x) 3,87 %

F18V' = - 0,0296 • (x3 - 7,710 • x3 • log x) 0,08 %

F**i, = - °>395 • fa3 - !.258 ' x& + 4>52 • xS • log x) i.38 %

und als Potentialkonstanten im Innenraum x<l:

U = 113,0 MeV, V = 11,55 MeV.

b) für s = 60 MeV:

F10Vt = 1,508 • {x — 0,450 • x3)

F10,lt = - 0,1200 • (x - 0,6304 • x5) 0,288%Fvi*

= - °>0802 • (z3 — 3>600 • z5 + 20,58 • x3 • log x) 3,83 %

F12.u = — 0,0203 • [x3 — 9,255 • x3 log x) 0,045 %

^32«/! = - 0,2856 • {x3 — 1,225 • x5 + 4,355 • x3 log x) 0,635%

ü = 106,1 MeV, V = 20,9 MeV.

Wir müssen nun die Frage diskutieren, ob die Beschränkungdes ursprünglichen Problèmes auf das hier betrachtete zulässig sei.

Als hinreichende Bedingung können wir formulieren: Die nicht

*) Unter „Beimischung" verstehen wir den Betrag des Normierungsintegrales

N,=fdxF,*{x),wenn £ Ns= 1 ist.

«

334 Felix Villars.

berücksichtigten Komponenten müssen schwach genug sein, dass

sie, mit den oben erhaltenen Werten von U und V, die Bindungs¬energie nicht mehr wesentlich beeinflussen können. Zur Unter¬

suchung dieser Frage leiten wir eine grobe Näherungsformel zur

Abschätzung von E ab: Durch Multiplikation der Schrödinger-gleichung (5) mit Fs(r) und Integration von 0 bis r0 wird, unter

Berücksichtigung der Konstanz von U und V und mit den Be¬

zeichnungen

|drF?(r) = JVJ, fdrFs(r)Fa,(r) = Nla,o o

und n

JdrF.{r)H.Fl(r)=HlNilo

(d.h. Hs ergibt sich aus Hs durch die Substitution Ekin->Ekin,vgl. (13)) die Gleichung

m.-E)Nil + £'H«N<, = 0.'

(14)

Es sei er die Hauptkomponente; mit s seien die an a gekoppeltenund mit t nicht an a gekoppelte Nebenkomponenten bezeichnet

(d. h. t entspricht mindestens L = 4 oder j = 5/2; dies zufolge der

bereits erwähnten Auswahlregeln j—?' = 0, ±1 undL—L'=0, ±2für die Matrixelemente von ß und T'). Wir können dann für

(14) näherungsweise folgendes System setzen:

<fla-E)N<a + Z'HtaN<a = 0, (15a)S

H.N* + £'Hu.N<„. + ZH,tNitt + HlaN*a^O, (15b)«' <

HtN\+2JHttN\t^0. (15c)8

In (15b) und (15c) wurde E gegen H» vernachlässigt (vgl. die

nachstehend angegebenen Zahlwerte von Hs), in (15 c) dazu die

Kopplungen der f-Komponenten unter sich. Da wir an dieser

Stelle nur eine Abschätzung der Grössenordnung des Einflusses

der einzelnen Komponenten anstreben, dürfen wir annehmen, dass

N*N<,~(N*„,)* (16)

ist. (Diese Gleichung würde exakt gelten, falls im Innenraum

0<r<r0 Fs(r) und Fs/(r) zueinander proportional wären.) Damit


gelingt es nämlich, die N{ aus (15a, b,c) zu eliminieren, und es

wird

z^-Z%(i+Z§tw+")-*ZT%7-nu>+--' (17)g Hs \ t Mstit J 8<S' "s "»

in erster Näherung also

E^Ha-2J^ = Ha-Z;AEs. (17a)

Für die von uns oben vernachlässigten Komponenten ist immer

j'5>5/2 oder L>4; sie sind infolgedessen nicht an die Hauptkom¬ponente gekoppelt. Eine solche Komponente (t) ruft aber nach

(17) eine Depression von E um

AE^^AE^^^" -

Hlt

s g Hs Hs-Ht

hervor. Ihre Vernachlässigung ist demnach gerechtfertigt, sobald

für jedes mit t gekoppelte s gilt

<1, d.h. JS-<1. (18)AE,

Wir verifizieren die Erfüllung dieser Bedingung am Beispiel der

Komponente t = 325/2. Hier sind folgende zweistufigen Ankopp-lungen an a vorhanden

1) 32*/2 ->10»/, -> 10V,, mit HH= U- (32*/2 | T'\ 10»/,) = U-1 j/42

2) 82»/, -> 12»/, -> 10V,, mit Hat=U- (32*/, | T | 12»/2) = V-J= ^8/725 1

3) 325/2^323/2^10Va> mitHf( = U-(325/2 |ï"| 32»/2) +

F- (35/2 |fl| 3»/2) = ü.^| 1/2/8+ 74)/r.

1) ergibt den grössten Beitrag zu A E,; für den Fall r0 = 2,8 • 10-13

cm und e = 30 MeV, U = 113 MeV, V = 11,5 MeV wird

H. = 139, He = 408, Hst = 29,2 MeV und fl* I Hs-Ht= 1/67 .

Analoge, zum Teil noch wesentlich günstigere Ergebnisse erhält

man für t = 10s/2 und t = 125/2. Damit dürfte also die vorgenom¬

mene Reduktion des ursprünglichen Problèmes gerechtfertigt sein.

Wir können noch zeigen, dass die Berücksichtigung der Kopp-

336 Felix Villars.

lungen der Nebenkomponenten s untereinander sinnvoll ist. Diese

Kopplungen geben in (17) Anlass zu den Gliedern

TT TT

AESS, = 2_ -

• Hss, ;

deren Vernachlässigung wäre erlaubt im Falle dass

\AESS.\^\AES\.\AES.\ d.h. 2-J^<l. (19)VHs Hg-

Die Bedingung (19) ist nun aber, wenigstens für den kleinsten

hier verwendeten Wert von e (30 MeV), nicht erfüllt. Betrachten

wir z. B. den Fall s = 103/2, s' = 123/2 : Ru. = - 34 ]/W- /225 • U.

Mit den gleichen Potentialkonstanten wie oben wird

Hs = 139, H., = 245, Hss. = —24,2 MeV und damit 2Vh'h,

i_3,8'

Es bleibt nun zu untersuchen, ob das Variationsverfahren hin¬

reichend genaue Lösungen des reduzierten Problèmes ergibt. Da¬

zu bestimmen wir mit Hilfe der oben erhaltenen Lösungen:V = V°, U = ü° und g = 55° die „Fehlerfunktionen" G.(r)(vgl. Abschnitt II) :

Gs (r) = (Hs-E)F8° +2"Hss. F°, mit H = H (U°, F») . (20)

>0

Gs(r) verschwindet im Aussenraum {r>r0) und ist nach dem in II

gesagten orthogonal zu F°a (r) :

'(JrF(°(r)ßs(r)=0. (21)ô

Zum Operator H (20) gehöre g a's exakte Eigenfunktion und É

als Eigenwert. gf gibt Anlass zu einem Quadrupolmoment Q. Um

die „Störungen" E—E und Q—Q der Energie und des Quadrupol-momentes wieder rückgängig zu machen, genügt es, in einer ersten

Näherung U° und V° durch

D=D°-(^)(É-E)-(4^)(Ç-«) (22a,und

7 = v° ~ (4r) ^~^ ~ {w) W-« <22b>

zu ersetzen, wobei die Ableitungen von U° und V° nach E und Qdurch entsprechende Differenzenquotienten approximiert werden

A- t 73 1dü°

J u U°(E,Q)-U<>{E,Q1) r^r,/Tpr,^dürfen, z. B. also

~dQ- durch -—ü-o—

'usw- ^ (^» &)


und V° (E, Qj) erhält man hierbei als Lösungen des Gleichungs-systemes (10), (11), (12) mit dem speziellen Wert Q1 des Para¬

meters Q.Es handelt sich nun darum, E—E und Q—Q zu bestimmen.

Dazu zerlegen wir, im Sinne eines Störungsverfahrens, den Ope¬rator Hs:

Hs=(Ekin + Epot + Eisob)s = H^ + HJ;H» = (Ekin + El, + EisJs ; H] = (Epot-2Q ,

und zwar derart, dass

(H°s-E) F° = 0 und folglich auch Hl F° = Gs -£'Hss.-F° (23)

ist. Die Schrödingergleichung (H—E) § = 0 oder

(H^+Hl-E-A.E-A.E—) • {F!+F}+..)+£'H„.(F°+F}+..)=0s'

erfüllen wir dann wie üblich in der folgenden Weise:

{H°t-E)F?=0, (24a)

(H°,-E)F} = -{Hl-A1E)F°-£'H„F$ = A1EF?-Gt, (24b)

{Ws-E)Ff = -{Hl-A1E)F} + A,EF^-Z'ns,F}, . (24c)

Aus (24b) folgt durch Multiplikation mit F° und Integration und

mit Hilfe von (24 a)oo oo

A1Efdr(Ff)*=fdrF?G,,o o

d. h. nach (21): A-fi = 0.

Ebenso folgt aus (24c) mit (23)

AZEJdr (F°)*=fdrFtlG. + £Hss,fdr (F°F/,-F/F°) (25)0 0

*'0

und hieraus durch Summation nach s

A*E = Zj'drF;Gt. (25')*

o

Nach (24 b) ist F) eine Lösung der inhomogenen Gleichung

(Hl-E)F? = -Gt. (26)22

338 Felix Villars.

Nennen wir &® eine von F1* linear unabhängige Lösung der Glei¬

chung (24 a), so gilt offenbar

d(dF°, dö°a \

_

L 00 Leo=

o

dr \ dr V* dr r*JU

und man kann @°s so normieren, dass

dFl dKn

-JT^—iT^-1 (27)

ist. Dann lautet die den erforderlichen Randbedingungen genü¬

gende Lösung von (26)r r

• F} = X,F° + f„ mit fl=F!fde&>G.-0»,fdeF°Gt.(Als untere Integrationsgrenze kann r0 gesetzt werden, da ja Gsund damit f\ im Aussenraum identisch verschwindet.)

Zur Festlegung der Xs dienen die Normierungsbedingungoo r0

27/drFf°FI1=2;(A.JV. + n.) = 0 ; ns=JdrF?f\, (28)*

o*

o

und die Gleichungen, die sich durch Elimination von AZE aus

(25) ergeben:

A2E = -±-le, + 2J(Ä»«< + (K— K) n»)\ = unabhängig von s, (29)

wobei

es =fdr fl Gs ;

'

hss, = - hs,s = H3S.Jdr (F? f], -F$ f])o

^

o

bedeuten.^ = +^s = Hss,^g,

Für eine Abschätzung der Grössenordnung der Korrekturen

genügt es offenbar, das System (28), (29) zu reduzieren auf die

Berücksichtigung der Hauptkomponente 10% (=0) und der

grössten Nebenkomponente 12% ( = 2). Es folgt dann

*o = - («o + n2) + ~- (e0 N2 -s2N0 + h02) (30)

und A2 durch Vertauschen der Indices 0,2.

Numerische Ergebnisse:

Vorerst sei bemerkt, dass 0°o erhalten wurde durch Integrationvon (27); mit F0 = a • (x—ax3) wird

<?o=^-(l-3aa;2 + a2a;4+-..) ;


0\ hingegen wurde, mit Hilfe von (27), graphisch bestimmt, da

eine gute Approximation der Reihe durch wenig Glieder hier

nicht möglich ist. Wir geben im folgenden die Ergebnisse des

Verfahrens für den Fall r0 = 2,8 • 10~13 cm, e = 30 MeV an:

Die Fehlerfunktionen Gs werden (x<l):

G0 = -^V (- 3,346 • x - 3,969 • x3 + 5,910 • x5 - 26,08 • x3 . log x)Mr0

Gz = -^- (+1,82 • x + 0,64 • x3 — 2,219 • xi + 10,09 • x3 log x)

Es folgt damit

e0 = - 1,40 • 10-2 MeV, et = - 0,612 • 10"3 MeV,d.h.

A2E ^E—E = -1,46- 10-2 MeV und zJ2E/E = 0,67%.

Die zur Bestimmung von A0 und X2 notwendigen Koeffizienten

werden :

n0 = + 0,790 • 10-2 h02 = + 0,49 • 10-2 N2 = 3,87 • 10~2

n2=+0,253-10-3 r]02 = -0,663 N0 = 0,942 .

Es folgt A0 = -0,884 • 10-2, A2 = -0,109 • 10~2.

Damit kann nun ö Q = Q — Q abgeschätzt werden. Unter

Berücksichtigung des Umstandes, dass der Aussenraum {r>r0),wo /,' = 0 ist, den grössten Beitrag zu Q liefert, und dass die Maxi¬

malamplituden von /J und /2' nicht wesentlich grösser sind als

j A„| und | A2| (es ist Max |/'| = 2,4 • 10~2 bei x = 0,6 und Max |/*|= 0,65 • 10-2 bei x = 0,5), wird mit guter Annäherung

à Q s* (h + h) }/2ll0jdrr* (F0° . F2°) ^ (A0 + Aa) . Qo

d.h. <5q/q^(a0 + ;i2)^-i.io-2.

Zur Bestimmung von 77—17° und V — V nach (22a, b) benötigenwir noch die dort eingehenden partiellen Ableitungen. Mit Hilfe

der weiter unten angegebenen Werte von U° und V° zu Qx = 0,8 •

2,73 • 10-27 cm2 ergibt sich

ç(4|^210MeV, Ç(A£)^-92,5 MeV..

Demgegenüber erweisen sich die Werte von E • (dU°ldE) und

340 Felix ViUars.

E • (dV°ldE) als bedeutend kleiner*), so dass es genügt, in (22a, b)die Glieder ~ (Q — Q) zu betrachten. Infolgedessen wird

ü - ü° ^ - 210 • 10-2 MeV = - 2,1 MeV,'

V - V° s; + 92,5 • 10-2 MeV = + 0,92 MeV.

Diese Korrekturen sind aber für die Beurteilung der Theorie

belanglos.Abschliessend seien noch einige Angaben gemacht bezüglich

des Verhaltens der Potentiale U und V bei einer Änderung der

Reichweite r0 und einer kleinen Änderung im Wert des Quadrupol-momentes Q. Eine Vergrösserung von r0 zieht eine Vergrösserungdes mittleren Abstandes der zwei Nukleonen nach sich. Infolge¬dessen wird das zur Hervorbringung von Q notwendige Potential U

kleiner werden und damit V anwachsen. Den gleichen Effekt

bringt, bei gleichbleibendem r0, eine Verkleinerung des Wertes

von Q hervor. .Wir geben nachstehend zwei Beispiele:

a) Eine Abänderung von r0 : r0 = 3,2 • 10-13 cm, s = 30 MeV.

Es wirdv = 526 MeV) y = 27)4 MeV.

die Beimischungen werden

103/2: 1,16%, 12V2: 2,47%, 123/2: 0,07%, 323/2: 0,57%.

Mit abnehmendem r0 nimmt auch V ab, um schliesslich negativ zu

werden. Dieser Fall wäre an sich interpretierbar im Rahmen

einer pseudovektoriellen Mesontheorie (vgl. 9) ) ; sie muss aber hier

ausgeschlossen werden, da nach Coestbr10) positives V notwendigist, um die Stabilität der schweren Kerne zu garantieren. Die

Forderung V>0 beschränkt aber die zulässigen r0-Werte nach

unten und zwar um so stärker, je kleiner die Anregungsenergieder Isobaren ist; es gehören

zu s = 30 MeV:

e = 60 MeV

e = oo

WMin = 2,6 • 10-" cm,

(r0)Min = 2,5 • 10-13 cm,

(r0)Min = 2,3 • IQ-*3 cm.

Diese Feststellungen sind wichtig im Hinblick auf die nachfol¬

gende Behandlung des Singlett-S-Zustandes. Um dessen Bin¬

dungsenergie in Übereinstimmung mit der Erfahrung zu bringen,stehen noch die zwei Parameter r0 und e zur Verfügung, die aber

beide in ihrer Bewegungsfreiheit ziemlich eingeschränkt sind.

*) (d U°/dE) und (dV/dE) wurden abgeschätzt unter Verwendung von

Ergebnissen der Rechnungen von Herrn A. Kind (unveröffentlicht). Es ergabsich E (dV°,dE) <£, 30 MeV und | dü°,dE | < | dV>,dE \ .


(Dies gilt bezüglich e natürlich nur, falls man sich an die Bedin¬

gung starker Kopplung hält.)b) Eine Abänderung von Q. Unter Zugrundelegung der

Daten: r0=2,8 • 10~13 cm, £=30 MeV und Q=0,8 • 2,73 • 10"27 cm2

erhält manu = ^ mY^ y = 306 MeV

und die Beimischungen

103/2: 1,24%, 12V2: 2,27%, 123/2: 0,09%, 32%: 0,71%.

IV. Der Singlett-S-Zustand.

Dieser Zustand ist charakterisiert durch die QuantenzahlenK = l, 1 = 0, L und J gerade. Wegen K = 1 ist für J>0:

j1 — j2 = 0,±1; der tiefste angeregte Zustand gehört infolgedessenzu j\ = 1/z, J2 = 3U (resp. umgekehrt); seine Anregungsenergieist 3/2 e, d.h. die Hälfte der Anregungsenergie der Isobaren im

Deuteron-Grundzustand. Zur Hauptkomponente JLjtj2 = OO1^1^gesellen sich die Beimischungen:

003/2, 005/2, ... (ißf), G"i = h wegen J = 0; vgl. (1))22V23/2, 223/2V2) 223/2, ...(5D), ....

Wegen 7 = 0 treten nach (2) nur Komponenten mit J = L auf.

Wir geben im folgenden eine Tabelle der interessierenden Matrix¬

elemente von ü und T' (Tabelle 3). Durch das Indextripel 22 s

Tabelle 3.

JLj \j'L'j' (JLj\T'\J'L'j')

00; 00;' 0

007« 22 s

4

"9"

223/2 ->*003/2 22 s -±m

223/,44

"225"

22 s 22 s

5

18

227, 4/Ï7522»/, J 227,

44

225"

J) Jf (Jj\ii\Jj')

072 07,1

3

072 072 ->072 0Vi

11

15

2s 2s1

~"6"

2s 272 T^*

23/, 23/,11

75

342 Felix Villars.

ist daselbst der aus 221/23/2 und 223/21/2 gebildete, in jxj2 sym¬

metrische Zustand angedeutet.Wir werden nun so vorgehen, dass wir für bestimmte Werte

von r0 und e und unter Benützung der für diese Werte in III

erhaltenen Potentialkonstanten U und 7 eine Eigenwertbestim¬mung durchführen. Das Verfahren ist dabei grundsätzlich das¬

selbe wie in III, doch müssen folgende Bemerkungen noch ge¬

macht werden:

a) Die Hauptkomponente er = 001/2 ha* im Aussenraum

x> 1 im Falle eines negativen Eigenwertes E den Verlauf

ilfr2

Fa(x) = e-Mx-D, mit «2 = __JL|E|.

Für den Innenraum setzen wir infolgedessen an

Fa (*) = y {(3 + y.1)-x-{l + xt) • x*}, (31)

womit alle erforderlichen Stetigkeitsbedingungen erfüllt sind.

b) In den Ausdrücken für die den angeregten Zuständen ent¬

sprechenden F-Komponenten treten im Aussenraum die Kon¬

stanten

\l Mr\ fi \ -\l' Mr\*s=yv-(l£-E) und «3=]/^a-(3e-E)

auf. Hier vernachlässigen wir E gegen 3/2 e und 3 s; dadurch

wird der Gang der Rechnung sehr vereinfacht.

Das System der Gleichungen (10) gestattet dann die Bestim¬

mung der relativen Amplituden aM (aa = 1) und des Eigenwert¬

parameters Xj_. Wir geben einige Resultate: Mit

a) r0 = 2,8-10-13cm, e= 30 MeV, 17 = 113 MeV, 7 = 11,55 MeV

b) r0 = 2,8-10-13cm, e = 60 MeV, U = 106 MeV, 7= 20,9 MeV

c) r0 = 2,6-10-13cm, £ = 180 MeV, U= 150 MeV, 7= 18,2 MeV

Wlrda) E = - 1,58 MeV

b) E = - 1,17 MeV

c) E = - 0,28 MeV.

In allen drei Fällen würde es also, im Widerspruch mit der Er¬

fahrung, einen stabilen 1S-Zustand geben. Bei genügend kleinen

Werten von s (<30 MeV bei r0 = 2,8 • 10-13 cm) kann der ^-Zu¬

stand sogar stabiler werden als der Grundzustand. Dieses über¬

raschende Resultat ist dem Umstand zuzuschreiben, dass in dem


hier benützten Modell im Gegensatz zu den älteren Theorien ohne

Isobaren (schwache Kopplung) die Tensorkraft für diesen Zustand

des Systèmes nicht identisch verschwindet. Für nicht zu grosse

Isobarenanregungsenergien hat dann die starke Ankopplung der

Komponente 22 s (5D) an die Hauptkomponente eine wesentliche

Vergrösserung der Bindungsenergie zur Folge. Um die Energiedes 1S-Zustandes Null oder positiv zu machen, wie es die Erfah-

10 20 '30 40

Fig. 1.

Die Bindungsenergie des Singlett-S-Zustandes. Alle Energien in MeV ; r0 in 10-13 cm.

rung verlangt, muss man demnach die Anregungsenergie der Iso¬

baren sehr gross wählen, d. h. grösser als die übrigen, in den Dia¬

gonalelementen (s|H|s) stehenden Energien. Um ein Beispielzu geben: für obige Werte von r0 ist (ËKin)2as~100 MeV; daraus

ergibt sich sofort, dass man zu einer richtigen Darstellung der

Bindungsenergie zu Werten von s>100 MeV greifen muss. Wie

ungünstig die Sachlage ist, kann aus der beiliegenden graphischenDarstellung (Fig. 1) ersehen werden. Ausgehend von den oben

344 Felix Villars.

berechneten Werten sind dort weitere, mit Hilfe von Formel (17 a)bestimmte Werte von E = E(e,r0) in Funktion dieser zwei Para¬

meter aufgetragen. Die Darstellung ist folgendermassen zu lesen:

Das Netz der Kurven e = const, und r0 = const, ist so auf die

£7,F-Ebene aufgelegt, dass die Wertegruppe U, V,r0,e richtigeBindungsenergie und richtiges Quadrupolmoment für den Deu¬

teron-Grundzustand ergibt. (Der Grenzfall s = oo entsprichtdem bei Rabita und Schwinger11) behandelten Problem.) Die

zugehörigen ^-Energien können aus den Kurven E = const,

qualitativ abgelesen werden. Aus dem Verlauf der Kurve E = 0

ersieht man, dass die kleinsten e-Werte in der Gegend von r0 =

2,6 • 10~13 cm zu erhalten sind, und auch dort sind noch rund

200 MeV erforderlich*).

Abschliessend sei noch bemerkt, dass die zu den vorliegendenRechnungen verwendete Methode unbrauchbar wird, sobald man

zu s-Werten < etwa 10 MeV übergeht. In diesem Falle werden

nämlich grössere Werte von jx, j2 massgebend, und es existieren

dann diesem Falle besser angepasste Näherungsmethoden (Adiaba¬tenverfahren, vgl. 3)). Nach Fig. 1 ist es aber sehr unwahrschein¬

lich, dass so kleine Werte von e mit der Erfahrung verträglichsein könnten. Es wurde daher auf diese Seite des Problèmes nicht

näher eingetreten.

V. Die Proton-Neutron-Streuung.

Wie in der Einleitung bemerkt wurde, war die Annahme der

Existenz von Isobaren mit nicht allzuhoher Anregungsenergie vor

allem von Interesse im Hinblick auf die Anisotropie der Proton-

Neutron-Streuung. Um die P-Potentiale in wirksamer Weise

herabzudrücken (insbesonders den in der symmetrischen Theorie

tiefstliegenden 3P0-Term), wären aber Werte von e <30 MeV

erforderlich (dies für r0 = 2,8 • 10~13 cm, vgl. 3)). Die in IV er¬

haltenen Ergebnisse bedeuten also, dass es nicht möglich ist, den

das Vorzeichen und den Betrag der Anisotropie betreffenden Ein¬

wand gegen die ladungssymmetrische Theorie ganz zu entkräften.

*) Man könnte hier die Frage aufrollen, wieweit dieses Ergebnis durch die

tatsächliche (hier nicht berücksichtigte) Verschiedenheit des räumlichen Verlaufes

der Potentiale U(r) und V(r) betroffen wird. Eine qualitative Überlegung zeigt

jedoch leicht, dass dadurch keine wesentliche Änderung des obigen Ergebnisses

zu erreichen ist.


Für den günstigsten, in IV berechneten Fall (c) erhalten wir näm¬

lich nur , >

a (*) I a (-*-) = 0,97 ,für EKln = 14 MeV.

(Für die Berechnung dieses Quotienten siehe Anhang 2.)Demgegenüber erhält Amaldi1) für den gleichen Wert von EKla :

<r(ji)/<r(|-) = 0,52 ±0,08.

In diesem Zusammenhang soll nun aber einmal die Frage auf¬

geworfen werden, wie schwerwiegend eigentlich der Einwand des

Experimentes gegen die symmetrische Theorie ist, m. a. W. wel¬

ches Gewicht den Ergebnissen von Amaldi zukommt. Ausgangs¬punkt dieser Betrachtung ist der auffällig kleine Unterschied

zwischen den gemessenen Werten des Gesamtstreuquerschnittesund den berechneten Werten für S-Streuung allein (berechnet auf

Grund einer kurzreichweitigen Zentralkraft); demnach würde

auch bei 14 MeV Neutronenenergie im wesentlichen nur erst

S-Streuung vorliegen. Die Phasen der P-Wellen müssten also

noch klein sein; in diesem Falle ist aber auch eine wesentliche

Anisotropie der Streuung ausgeschlossen. Nun hatten zwar Rabita

und Schwinger11) bemerkt, dass man bei Annahme nichtzentraler

Kräfte (Tensorkräfte) kleinere Werte des 8- Streuquerschnitteserhält als für zentrale Kräfte; dies gilt aber nur für kleine Ener¬

gien (die Reduktion beträgt dort 2—3%), für Energien um 15 MeV

ist der Unterschied belanglos. Daran kann auch die Annahme

isobarer Zustände nichts ändern, solange letztere nur mit sehr

kleinen Wahrscheinlichkeiten angeregt sind. Eine Durchrechnungdieses Problèmes ist auf Grund der in II dargestellten Methode

leicht möglich und ergibt folgendes Bild für 15 MeV-Neutronen :

Der integrale Querschnitt für (3S1 + 3D1)-Streuung wird, unter

Annahme der in III für r0 = 2,8 • 10~13 cm und e = 30 MeV erhal¬

tenen Werte von 17 und V, innerhalb der Rechengenauigkeit(~/4%) gleich gross wie der Querschnitt für 3S- Streuung unter

Zugrundelegung eines gewöhnlichen Kastenpotentiales gleicherReichweite, nämlich zu

ffTr.pl = 0,695 • 10-24 cm2.

(Im Anhang, Abschnitt 3, ist eine kurze Beschreibung der Rech¬

nung gegeben.)Damit bleibt der oben erwähnte Einwand gegen die Mess¬

resultate von Amaldi bestehen; des weiteren sagt obiges Resultat

aus, dass es zur Bestimmung der S-Streuquerschnitte genügt,zentrale Kräfte anzunehmen. Eine gewisse Schwankungsbreite

346 Felix Vülars.

erhalten die Werte von a noch infolge unserer Unkenntnis der

genauen r-Abhängigkeit der Wechselwirkung. Die unter verschie¬

denen diesbezüglichen Annahmen durchgeführten Rechnungen er¬

geben jedoch nur wenig voneinander abweichende Ergebnisse,

Fig. 2.

Beziehung zwischen Potentialtiefe W und der Phase ä^, der P-Wellen für

Skin = 15 MeV. Kastenpotential mit r0 = 2,6 10-13 cm.

und wir werden für das Folgende einfach die minimalen so erhal¬

tenen Werte zuziehen. Wir stellen nun einiges Material zusammen:

a) Berechnete Werte für 8-Streuung (% a ^S) + 3/4 a (3S))für E = 14 MeV, in Einheiten 10-24 cm2:

mit r0 = 2,8mit r„ = 2,0

1 : Kastenpotential2:

„

3: Yukawapotential*) mit a = 1,924: Exponentialpotential**) mit a =2,0-5:

„mit a = 1,5 •

10-13 cm:

10-13 cm:

10-13 cm:

10-13 cm:

10-13 cm:

ff, = 0,685

a, = 0,710

<rs = 0,621

ffs = 0,616

ffs = 0,643

*) V = V0— exp (-r/a); im Sinne der Mesontheorie ist a= h/Mc, wo M

die Mesonmasse darstellt. Der hier gegebene Wert von a entspricht M = 200 mei;

die Berechnung des Streuquerschnittes stammt von Hulthén12).**) V = V0exp ( — r/a); für die Berechnung der entsprechenden Streu¬

querschnitte siehe Anhang, 4.


b) Gemessene Werte des totalen Streuquerschnittes für E

= 14 MeV:

1 : Nach Ageno13) : <rtot = 0,694±0,019

2: Nach Salant und Ramsey14): atot = 0,70±0,06

1) ist wohl der genaueste z. Z. bekannte Wert. Ein Vergleichder minimalen berechneten Werte: as>,0,615 mit der Obergrenzedes Wertes von Ageno: 0,713 ergibt als Beitrag der P-Wellen

zum Gesamtstreuquerschnitt den Höchstwert von

aP < 0,10 • 10-24 cm2. (32)

Auf Grund der in Fig. 2 dargestellten Beziehung zwischen Phase

und Potentialtiefe für P-Wellen erkennt man, dass man im Falle

grosser Aufspaltung der Triplett-P-Terme den Einfluss der P-Wel¬

len schon mit guter Näherung beschreibt, falls man nur die zum

tiefstliegenden der drei Potentiale gehörende Phase berücksichtigt.Unter dieser Voraussetzung kann man für die in Frage kommendenFälle eine Beziehung zwischen dem Wert von crtot und dem

des Quotienten a{n)]a (yl aufstellen. Ausgehend von der Formel

für a(&) (siehe z.B. bei Kittel und Breit15); in Gleichung (33) ist

das I—J'-Interferenzglied etwas anders dargestellt als bei den

genannten Autoren) :

fc2• a(&) = -T-• sin2<5ls+ — • sin2<53s+6>cos# — • sinôls- sin<51P*

3 r 5 3• cos (<51S— ôlp)+ — • sin ô3s |^-sin <53Pj • cos(<53iS—<53Ps)-f-g-sin<53Pi.

• cos(<53s— <53Pl) + -g-sin(53P/ cos (<53s— (53Po)jj+9 • cos2# • ji- sin2 <5lp + i-

• [-| sin2 o3Pi+ |- sin2 ô3Pi +lsin2 <53Po ]

+1. (3 . cos2#-l) {sin2 {Ô3P-Ô3P) +|sin2(ô3P-«53Pi))+ • • • (33)

erhält man durch Spezialisierung auf die Fälle

a): «W,. ô3p,, ôip = 0. b) : (53Po, ô3Pa, ôlp ^ 0

.

c): ô3p., ô3Pl> à1P^0

den folgenden Zusammenhang zwischen ctp und a[ji)ja (4h:

348 Felix Villars.

Tabelle 4.

ôip. ap °WI°(t) ÖSP, Op *(»)/«(f) diF, Op *(*)/*(!)

90»

60

45

30

0,189

0,142

0,094

0,047

0,570

0,644

0,741

0,854

60°

49%

45

30

0,425

0,324

0,284

0,142

0,438

0,520

0,560

0,731

45°

30

22 y215

0,472

0,236

0,138

0,063

0,242

0,520

0,678

0,825

Die Interpretation dieser Werte im Rahmen der Meson¬

theorie erlaubt es, anhand von (32) den Höchstwert der mass¬

gebenden Phase ô3P abzuschätzen und damit zu einer Aussage über

die möglichen Werte von a{n)ja (yj zu gelangen:

1) Symmetrische Theorie.

Der tiefstliegende Term ist hier 3P0; nach (32) und Tabelle 4

ist die maximal zulässige Phase etwa 45°; damit wird aber

der AMALDische Wert von a{n)la\-^\= 0,52 bei weitem nicht

erreicht.

2) Charged Theory.Die relative Lage der Triplett-P-Terme ist hier die gleichewie in 1), die Aufspaltung aber grösser (dreimal, gleichen Wert

von U wie in 1) vorausgesetzt). Es gilt also hier das in 1)Gesagte.

3) Neutrale Theorie.

Die 3P-Terme liegen umgekehrt wie in 1) und 2) ; zutiefst liegt3PX; nach Tabelle 4 ist die Situation, hier wesentlich ungün¬

stiger als in den Fällen 1) und 2) ; zum AMALDischen Wert von

0,52 gehört ein aP = 0,324 • 10-24 cm2; dadurch würde der

Gesamtstreuquerschnitt auf rund 0,94 • 10-24 cm2 erhöht, in

völligem Widerspruch mit der Erfahrung.

Wir beachten, dass die Unmöglichkeit, die AMALDischen

Werte in Übereinstimmung mit der Forderung (32) zu bringen,weitgehend unabhängig vom benützten Modell ist; sie beruht

einfach darauf, dass in jedem denkbaren Falle durch den Wert

0,52 von <r(7r)/ff(yj zu grosse Phasen für die massgebenden P-Wellen

angefordert werden. Die Vermutung liegt daher nahe, dass die

von Amaldi gemessenen Werte etwas zu klein sind ; diese Feststel¬

lung würde jedenfalls nicht im Widerspruch stehen mit den bisheri-


gen Messungen von Champion und Powell1)*). Auf alle Fälle

kann gesagt werden, dass hier eine Schwierigkeit liegt, von der

jedes der genannten Modelle betroffen wird. Es erscheint daher

beim derzeitigen Stand der experimentellen Daten als nicht an¬

gebracht, die drei obengenannten Varianten gegeneinander auszu¬

spielen; insbesondere erscheint die symmetrische Theorie nicht

unbedingt gegenüber den andern benachteiligt.

VI. Anhang.

1) Zum Variationsverfahren im kontinuierlichen Eigenwerts¬spektrum.

Falls man nicht mit einem Kastenpotential operiert, muss mandas Problem folgendermassen formulieren: Man definiert zuerst

CO

W-^ë) =Z[MrF°(r)Z (H«- - E *«*)F« (f) •

s -0 f

Falls E kleiner ist als die Anregungsenergie der Isobaren, so sind

die FJLy2y2(r) (J =1 oder 0) die einzigen oszillatorischen Kompo¬nenten. Mit

0 Fjl%m (r -* °°) = aL cos (kr—r + v*)ô(f>L +

+ ôaLsm(kr — ^ + cpL)wird dann

oo

<5(fl=£) = 2^ fkdr ÔFs(r)£(Hss,-Eôss,)Fs.(r) +E£a*»<pL .

ê j| «' (£)

Die Schrödingergleichung ist also äquivalent dem Variations¬

problem: Es soll die Variation von (H — E) verschwinden, unter

der Bedingung, dass die Phasen der oszillatorischen Komponentennicht variiert werden. Im Gegensatz zur Formulierung dieses Pro¬

blèmes bei Hulthén12) halten wir hier darauf, von vornherein

die Stationarität der Phasen zu verlangen. Diese Bedingung ist

in der Tat gleichwertig den üblichen, an die in Frage kommenden

Funktionen gestellten Randbedingungen: Setzt man nämlich etwa

für r>a in (H — E) die exakten Lösungen ein, so legt die Forde-

*) Anm. bei der Korrektur: Nach einer Mitteilung von C. F. Powell am

Internat. Physik-Kongress in Cambridge vom Juli 1946 ergibt die Auswertungseiner neuesten Messungen eine sehr schwache, mögKcherweise sogar negativeAnisotropie, also ein Resultat, das qualitativ mit den Aussagen der symmetri¬schen Theorie im Falle schwacher Kopplung verträglich wäre.

350 Felix VUlars.

rung ôq>L = Q der nurmehr im Bereich 0<r<a zu variierenden

Funktion Fs(r) die Randbedingung

^logF, (,))_= 0 d.h. {^ogFs(r))r=r(^hgÔFs(r))r=aauf; dies ist aber die gleiche Bedingung, die den -F-Komponentenim Falle eines eigentlichen Eigenwertproblemes durch die For¬

derung lim.Fs(r) = 0 auferlegt ist (vgl. (7)).

2) Die Bestimmung von a{7c)]a{-

Wir stützen uns hier auf eine von Wbntzel angegebene For¬

mel (Gleichung (2) in 3)), welche für das in II beschriebene Deu¬

teronmodell die adiabatischen P-Potentiale in Form einer Ent¬

wicklung nach U/s und Vje darstellt:

W (3P/) = JL (3 F+ 20 • C/ü) - 32(6y-5-C/^+ 25(3y + 2.C7^

die Konstante cl hat für I = 0,1,2 den Wert:

Co = —j. Ci=^, ca = -^ Ç£(2I + l).Cl = 0yMit den Werten r0 = 2,6 • 10-13 cm, U = 150, 7 = 18,2, e = 180

MeV erhält man

W(3P0) = - 20,2 - 5,4 = - 25,6 MeV,

W('Pj) = + 13,1 - 0,5 = + 12,6 MeV,

W (3P2) = - 0,2 - 4,0 = - 4,2 MeV.

Die entsprechenden Phasen sind: ô,Pi> = 11° 50', ô,Pi = — 2° 20',

ô.Pt = + 1° 0', und mit (33) folgt a{n)ja (-J) = 0,970.

3) Die Bestimmung des Querschnittes für {SS1 + 3D1)-Streuung.

Die Hamiltonfunktion dieses Problèmes ist die gleiche wie im

Falle des Deuteron-Grundzustandes, d. h. entspricht den Quanten¬zahlen I = 1, K = 0, L gerade, J ungerade. Die -F-Komponenten10% und 12% haben im Aussenraum den Verlauf

Fioy2 (x) ~ sin (kx + <Po) (34a)

Fi2vAx) -Sintfcx.ç-g) (34b)

mit ft* =4^ • ^und Sin (y, <p) = (l - |2)sin (y+^ + i-cos {y+<p).


Wir betrachten nur reelle Lösungen des Variationsproblemes.Infolgedessen sind <px und <p2 zwei reelle Phasen; sie sind aber im

allgemeinen nicht identisch mit den sogenannten ,,Phasen" der

gestörten Wellen. Für die gleichen Komponenten setzen wir im

Innenraum an:

Fw, (x) = y• ft3x ~ xZ) + x^x ~ x*)) (35a)

Fl21/2 (x) = a2 .{(2x*-x*) + ± ^x* - x*)}. (35b)

Die Bedingungen für den stetigen Anschluss der logarithmischenAbleitungen an die Ausdrücke (34) sind:

k •

ctg (k + <p0) = — k0 (36 a)

fc-cos(fc+y2)-sin(/c-f y2)_

Q X (36b1)Sin (k, ç>2)

2 "

" '

Das Gleichungssystem (10) ergibt, mit den Ausdrücken

(35 a, b), nach Elimination aller übrigen Amplitudenparameterzwei Gleichungen zwischen den drei Grössen A0, A2 und a2. Wie

schon in II bemerkt wurde, muss demnach zur vollständigen Fest¬

legung des Problèmes die Ausstrahlungsbedingung zugezogen

werden; diese verlangt, dass die oszillatorischen .F-Komponenten,die zum Wertepaar I, Mr = M (in der Planwelle ist ML = 0 ;

M bedeutet im folgenden immer den Anfangswert der Spin¬komponente) gehören, von der folgenden asymptotischen Form"

sind:

FJLy2(x ->oo) = const iL \/2L+l eiôibl0JJ,L) • sin(fcx-T^ + ÔL\ (37)

Die briIU, (J,L) bedeuten hier die normierten Koeffizienten der

OLEBSCH-GoRDANschen Reihe für die Zusammensetzung der Dreh¬

impulse J + L = I.

Nach (37) hängen die Phasen ô ausser von L speziell noch von

der „Anfangspolarisation" M ab. Gehören nun zu einem durch

I, MIf K und die Paritäten von J und L festgelegten Problem wie

im Falle der (3S1 + 'Di)-Streuung zwei oszillatorische Kompo¬nenten, so ist die Bedingung (37) nicht mit reellen Phasen zu er¬

füllen. Zur Lösung der Aufgabe mit Hilfe des genannten Varia¬

tionsverfahrens geht man daher praktisch wie folgt vor: Man

zerlegt (37) nach Abspaltung eines passend gewählten Phasen-

352 Felix Villars.

faktors in einen Real- und einen Imaginärteil ; in dem hier betrach¬

teten Falle also mit ô = r\ + i £ :

F10,Â (x) = const elô° • sin {kx + ô0)

= const eiö° ! Ch £0 sin (kx+7]0) ~iShÇ0 sin |fea;+jy0 - y) !,

F121/2 (z) = const e"'{6JiJf (1, 2) j/5 e'(a"-*> Sin (fcz, d8)}

= const eiâ'{blM{l,2)ê-^-^(\/co^ {yiz-7]0)+ShH2 Sm{kx,V2+s)

+ i l/sln"2(%-%)+'S/i2f3 • Sin (fc œ, %+ £+))}mit tg e = tg (jy0 — r/2) T/i C2 ; tg £+ = ctg (»?2 — rj0) Th £2.

Wir setzen demnach

5ReF10,/2~sin(/ex + %), (38 a)

• Sin {kx, i]2+e) , (38b)

3mF10y2 ~ sin (fc£ + % — y), (39a)

3mf12y! ~^- Km Q> 2) e"<tVf"> în^-^ + S/^ •

• Sin(fcx, %+£+) . (39 b)

Diese Ausdrucke sind nun von der Form (34 a, b), und eine Iden¬

tifikation der Real- resp. der Imaginärteile ergibt:

<i$^ =11 >U (1. 2)rl/sïn^ôH^^ .

Dadurch sind die 6 Grössen cpQ, y2, a2 und q>£, <p+, aj, oder, ver¬

mittelst (36a, b), die 6 Grössen A0, X2, a2 und A+, A+, a+ als Funk¬

tionen der vier Parameter rj0 f0 t?2 £2 dargestellt. Wie oben be¬

merkt wurde, sind indes durch Gleichung (10) zwischen diesen

6 Grössen gerade vier Beziehungen aufgestellt; diese erlauben

die Festlegung der vier Parameter rj0 £0 ^2 C2 •

Wir bemerken noch, dass für den Fall der (3S'1 + 3.Di)-Streuung

infolge der zu J = 1 möglichen zwei Werte von | M | bei diesem


Problem insgesamt 8 Phasen rfö, Cf auftreten. Wegen des Beste¬

hens von Differentialbeziehungen erster Ordnung zwischen den

Lösungen der Sehrödingergleicrmng (diese sind in 11) ausführlich

dargestellt) sind aber nur drei dieser Phasen unabhängig. Man

braucht infolgedessen das Problem nur für einen Wert von M zu

lösen; dass bei obiger Fassung des Lösungsverfahrens vier Phasen

explicite eingehen, gibt eine Möglchkeit, die Güte des Verfahrens

zu kontrollieren.

Nach (37) erhält man für den Gesamtstreuquerschnitt für

Triplettstreuung

und speziell für die (ZS1 + 3D1)-Streuung unter Berücksichtigungder zwischen den Phasen bestehenden Beziehungen:

a = -*?-{e-s#" (sin2 j#° + sin2 rfc1) + (1 - e~2 il'°)}.

Für rQ = 2,8 • 10~13 cm und mit einer Neutronenenergie von

15 MeV werden

j#°= 1,482, J&1 =-0,019 , fj'° =-0,098.

Ein isotropes Kastenpotential gleicher Reichweite, dessen Tiefe

der Bindungsenergie des Deuteron-Grundzustandes angepasst ist,

ergibt dagegen <50 = 1,461. Der sich daraus ergebende Wert von

°trpi. is* in beiden Fällen praktisch gleich gross.

4) Die Bestimmung der Streuquerschnitte.

Das Eigenwert- und Streuproblem für die S-Zustände eines

Zweikörpersystemes mit einem Wechselwirkungspotential U(r)= —V0 exp (—rja) lässt sich auf die Diskussion einer Bessel-

funktion zurückführen. Es sei

. Ma2T/ , ,

Ma2„

A =

-j-t-VQ und *2 = --p-E

d. h. z ist rein imaginär für E>0, reell für E<0.

Die Berücksichtigung der Randbedingung für die Eigenfunk¬tion f(r) führt auf eine Funktion K.(A), definiert durch

Kz^) = i+|;^n^.77^- = r(i+2,)i2-.j2z(2^)._(40)n=l c=l

Die Eigenwerte sind dann festgelegt (bei vorgegebenem a und A)23

354 Felix Villars.

durch die Nullstellen der Funktion KZ(A) für positiv reelle 2-Werte

(z = x):J2K(2^) = 0.

(Siehe z. B. bei Bethe und Bachee16) ; daselbst ist eine Tabelle

von Wertepaaren a, A angegeben, die die richtige Bindungs¬energie für den Deuteron-Grundzustand ergeben.) Zur Bestimmungvon A (t-S) wurde hier E(1S) = 0 angenommen.

Die Phasen der gestörten S-Wellen sind ebenfalls durch

KZ(A) festgelegt; es ist nämlich

Ô = arg Ktt (A) ;

1c bedeutet die Wellenzahl der S-Welle in Einheiten I/o.Die Reihe (40) konvergiert nun sehr rasch, so dass die Be¬

stimmung der Phasen ohne Mühe durchgeführt werden kann.

Die vorliegende Arbeit entstand auf Anregung meines ver¬

ehrten Lehrers, Herrn Prof. Dr. G. Wentzel. Ich möchte ihm

an dieser Stelle für die vielen, freundlichst gewährten Ratschlägemeinen verbindlichsten Dank aussprechen.

Zürich, Physikalisches Institut der Eidg. Techn. Hochschule.

Literatur.

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di, D. Bocciarelli, B. Ferêetti, C. Trabacchi, Naturwiss. 30, 482 (1942).

H.Tatel, Phys. Rev. 61, 450 (1942). C.F.Powell, F.C.Champion, Proc.

Roy. Soc. A 183, 64 (1944).

2) J. Schwinger, Bull. American Phys. Soc. 16, Nr. 7, S. 7 (1941).

3) G. Wentzel, Helv. Phys. Acta 18, 430 (1945).

4) M. Fierz und G. Wentzel, Helv. Phys. Acta 17, 215 (1944). G. Wentzel,Helv. Phys. Acta 17, 252 (1944).

5) M. Fierz, Helv. Phys. Acta 17, 181 (1944), und J8, 158 (1945).

6) W. Pauli und S. M. Dancoff, Phys. Rev. 62, 85 (1942). G. Wentzel, Helv.

Phys. Acta 16, 551 (1943).

') M. Fierz, Helv. Phys. Acta 18, 158 (1945).

8) J. M. B. Kellogg, 1.1. Rabi, N. F. Ramsey, J. R. Zacharias, Phys. Rev.

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9) N.Kemmer, Proc. Roy. Soc. A 166, 127 (1938).

10) F.Coester, Helv. Phys. Acta 17, 35 (1944).

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12) L.Hülthen, Kungl. Fys. Sails, i Lund Förhandl. 14, No 21 (1944).

13) M. Ageno, E. Amaldi, D. Bocciarelli, C. Trabacchi, II nuovo Cimento 1/3(1943).

14) E: O. Salant und N. F. Ramsey, Phys. Rev. 57, 1075 (1940).

") C. Kittel und G. Breit, Phys. Rev. 56, 744 (1939).

16) H. A. Bethe und R. F. Bacher, Rev. of Modern Physics 8, 82 (1936).

CURRICULUM VITAE

Ich wurde am 6. Januar 1921 in Biel geboren. Daselbst

besuchte ich die Primarschule, das Progymnasium und das

städtische Gymnasium und erhielt im Herbst 1939 das Ma¬

turitätszeugnis (Typus C). Anschliessend bezog ich die Ab¬

teilung für Mathematik und Physik an der E.T.H. Im Früh¬

jahr 1945 erhielt ich das Diplom als Physiker. Die nach¬

folgende Zeit widmete ich der Ausführung der vorliegendenPromotionsarbeit. Nach ihrer Beendigung im Frühjahr 1946

trat ich eine Stelle als wissenschaftlicher Mitarbeiter im

Physikalischen Institut an der E.T.H an.

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