UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CS. FISICAS Y MATEMATICAS

LNB/MWC/ESF/JSA/esf.

INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIAEvaluacion 3 - 520145

Problema 1:

a) Determine el valor exacto de la siguiente expresion:

tan(Arcsen

(− 1

3

)+ Arccos

(2

5

))

Sol.- tg(Arcsen

(− 1

3

))=

−1

3√1− 1

9

= −√

2

4(2 pts.)

tg(Arc cos

(25

))=

√1−4/252/5

=√212

(2 pts.)

Entonces: tg(Arcsen(−13) + Arccos(2

5)) =

−√24+√212

1+√

24

√212

= 4√21−2

√2

8+√42

(3 pts.)

b) Resuelva para x ∈ [0, 2π]:cos(2x) + cos(x) = 0

cos(2x) + cos(x) = 0 ⇐⇒ 2 cos2 x+ cosx− 1 = 0 (3 pts.)

⇐⇒ cosx = −1±√1+8

4= 1/2 o −1 (2 pts.)

Solucion: S ={π3, 5π

3, π}(3 pts.)

Problema 2: Dos personas inician su recorrido desde un mismo punto A. La primeracamina 3 km en direccion Norte hasta un punto B y luego se devuelve ciertoskilometros en direccion S60◦E. La segunda persona camina en direccion N75◦E. ¿Aque distancia de A se cruzan los recorridos de ambas personas?.(12 puntos)Sol.- De la figura, aplicando el Teorema de los Senos se tiene que:

sen 60◦

x=sen 45◦

3=⇒ x =

3√

3/2√2/2

=3√

6

2

Los recorridos se cruzan a 3√6

2km del punto A.

Dibujo: 5 pts.Planteamiento: 5 pts.Despeje: 1 pto.Respuesta: 1 pto.

Problema 3: Calcule los siguientes lımites:

a) lımx→2π

sen(2x)

2π − x= lım

y→0

sen(2 (2π + y))

2π − (2π + y)

= lımy→0

sen(4π + 2y)

−y

= lımy→0

sen(2y)

−y

= lımy→0

[− 2 · sen(2y)

2y

]= −2 (5 pts.)

b) lımx→+∞

sen(2x)

2π − x= lım

x→+∞

(1

2π − xsen(2x)

)= 0

porque |sen(2x)| ≤ 1 ∀x ∈ R, y lımx→+∞1

2π − x= 0 (5 pts.)

2

Problema 4: Considere la funcion real definida por:

f(x) =

5x2√x2 + 2

, si x < 0

sen2x

1− cosx, si 0 < x < 2π

2, si x > 2π

a) Decida si es posible definir f en 0 y 2π de modo que sea continua en esos puntos.Justifique.

lımx→0−

5x2√x2 + 2

= 0 (2 pts.)

lımx→0+

sen2(x)

1− cos(x)= lım

x→0+(1 + cos(x)) = 2 (2 pts.)

Ası, f no es continua en cero porque no existe el lımite en cero. (1 pto.)

lımx→2π−

sen2(x)

1− cos(x)= lım

x→2π−(1 + cos(x)) = 2 (2 pts.)

lımx→2π+

2 = 2 (2 pts.)

Por tanto, para que f sea continua en 2π debemos hacer f(2π) = 2.(1 pto.)

b) El grafico de f tiene una asıntota oblicua. Determınela.

lımx→−∞

5x2

x ·√x2 + 2

= lımx→−∞

−5√1 + 2

x2

= −5 (5 pts.)

lımx→−∞

( 5x2√x2 + 2

+ 5x)

= lımx→−∞

−5x(

1−√

1 + 2x2

)√

1 + 2x2

= lımx→−∞

−5x√1 + 2

x2

·− 2x2(

1 +√

1 + 2x2

)= lım

x→−∞

10x√

1 + 2x2· (1 +

√1 + 2

x2)

= 0 (7 pts.)

Por tanto, la asıntota oblicua es y = −5x.(1 pto.)

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