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INSTITUTO NACIONAL "WALTER THILO DEININGER"

1. El ángulo que forman ios lados de r"rn paralelogramo es de 50o. Si los lados miden B y 10

centímetros respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo?

-{:

2. El paralelogramo ABCDlongitud de CB?

lc( rn j

^, , .2D¿. (tCi^.)'+ iS,^,:,)' - '¿{ rDc¡...:) {-r¿n,.'i -]ot: l3cuü'= 1f,Cr,n.-.., lLl¡rn¡.¿ - l(ütrhsz CoDl¿oo

D=m;-_*-"-a- t'-; (r,¡ld(Cl ,l(^0g- {(l't - r.r;,:t;;r;;..; t

Q= y'/(4 -tóC,c:t?.oo CnU

contiene cuatro triángulos equiláteros de lado 1. ¿Cuál es la

IC{ D

[u.: ¡: ¿,.d3

t=l5:.1

,,

.ó' ió;

&Y n i2 * z{z\ tt\q+j - !Ca",.t2-oo

5 - ! {És}zto

a) 'itoq cms

b) ii6¿-iooóó15Óó cms

@ ilo+-t6oóai3óó cms

d) iil++ iooóo"iro 66s

D*=

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a)b)

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l=.-:------)¿g:- bo'rq' -

ffiffiffi "soLUcroNEMos rRrÁNculos oBLrcuÁNGULos".


3. Se desea calcular el largo AB denrediciones que se presentan en el

un puente, para ellosiguiente gráfico:

se han realizado una serie de

,t

',:.' o"u"'.','

{o ^rl.- 55 ¡arts-

"."']. '

o'

Después de hacer un análisis del gráfico, se plantean 4 proposiciones que permitirán

calcular el largo AB del puente. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es correcta?

40Sen45'a)Ats: -- --mts.' 5en46.63'

b) AB: 55sgn-4J'-' 5en88.37'

^\ n,,. (5en46.63")(Sen4S')vJ r1L), -

40d) (AB)' = (40)2 + (55)2 - 2gq (55) cos45

4. Un avión vuela entre las ciudades de Santa Tecla y San Salvador. La distancia entreambas ciudades es de 12 kilómetros. Un observador desde el centro de Santa Tecla ve elavión con un ángulo de elevación de 70o; mientras qut; otro desde el centro de SanSalvador lo ve con un ángulo de60o.

Entonces la distancia de Santa Tecla al avión es:

12Sen60"

tr

9)

b)

X_

X_

c) x-Sen60"

12SenTA'

Sen50o

12Sen50'

': 't' ' 7d''

Sen6Ao

d) X = !ZS:"991' SenJA

ffi's"Mrort*Á*nrroy'Sir¡rtJ Trü¡¡ 5¿¡r Salva(lor

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5. Fernando observa un avión desde la posición A, con un árigulo de elevacién de 36o;mientras que Antonio, se encuentra en la posición ts y a 9B me¡tros de A, lo ve con ángulode elevación de 65o. Entonces, ia distancia x enire el avión y Arrtonio es:

3(;0

A 98 rait5.

,¡

ts}-!t7

zsj-IX

I es-

o.

a) X=

b) x=

ó¡ x=

d) X=Sen65o

l-a longitud de las diagonales de un paralelogramo miden 76 y 50respectivamente. Si las diagonales forman un ángulo de 40o. ¿Cuánto míde eldel paralelogramo? , l

a) -,33' *25¿ centímetros.

bI ,38' + 25' *2(38)(25)Cos140o centímetros.

c) ¡lgri2s' --i3glfis)C"t+o' centímetros,

d) No se puede determinar con los datos presentados.

)9t,*

98

S;;i6;s;;is;98Sen36'

SenlI5'985en36"

Sen29o

98Sen36

I

centímetroslado mayor

/',/

./ "-i !l l nl c'/ lJV '-¡ I r-J/ -"^

/ _--

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/;- r- ftia,/... ../

ffi"soLUCloNEMosTRlÁNGULosoBLlcUÁNGULoS"

INSTJWL "WALTER THILO DEININGER"

7. Dos puestos de socorro de la Cruz Roja están localizados en lados opuestos de un cerro^Para averiguar la distancia entre ambos puestos, un ingeniero se aleja del cerro y se ubicaen un punto desde el cual observa ambos puestos símultáneanlente. Después de hacer loscálculos respectivos establece los datos que se muestran en la figura. ¿Cuál es la distanciaentre los puestos de socorro?

F ¡e€-:i., il¿

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P!t.,-+!.:, 1lÉ s']r:{a¡ ¡.f,

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a)b)

od)

mts

mts

_a

B. Se desea construir un túnel a través de un cerro. Fara conocer su longítud, un tipógrafo secoloca a 77 metros de un extremo de la base y a 142 metros del otro extremo. Desde estaposición mide el ángulo entre ambos extremos y este resulta ser de B0o.

-iéL-d+.

,*r++''.',F-i'i, .l

-_.at *t

-6- -, --Fr- --I..

[_'_

../ tt ¡ats8O"¡'

r+? lrtts ''El ancho de la base del cerro es:/^, ¡- ---1-------- -(.@)

^= . i142'z +772 -2e42)(77)cos}0

b) x= .¡int i)tic) x=77 Sec B0o

d) x= 142 Csc 80o I t+zqtt¡lLs";so; i

"SOLUCIONEMOS TRIÁNGULOS OBLICUANG ULOS'.

o


Para hallar la distancia entre dos puntos A y B en las márgenes opuestas de un río, unicpógrafo fraza de un segmenio de recta AC de 240 metros de ltlngitud junto a una de las

ori{las, y determina que las medidas de <BAC y <ACB son 63020' Y 54o1O'

respeciivarnente. Calcula la distancia enire A y B.

a) 262.6metrosb) 238.Zmetrosc) 217.7metrosd) 219.4metros

¿

T

L

54o10' -r

240 m

6320'

10.Los ángr:los de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son 24'10'y 47"4A' , respectivamente. Según la figura, ios puntos A y B están a 8.4 millas entre sí y el

globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical" Calcula la altura delglobo sobre el suelo.

¡

a) 2.7 millas . ,''b) 3.4 rnillas l

c) 4 B millasd) 6 5 nrillas

ll ...i,'

11. Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas quedifiéren 84" en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por hora, respectivamente, ¿a quédistancia aproximada se hallarrn

:.no de otro al cabo de 2A minutos?

!

a) 5.3 millasb) 23.7 millas

"j 2G.2 mil,tas

d) 71.1 millas

A

W'SoLUCloNEMoSTRlÁNcULoSoBLlCUÁNGULo5"

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12. De acuerdo con la figura, ¿Cuál es la medida del ángulo ol

riL-zl':ü qz'c) 52od) 37o 2 ¡t ¡l-r

13.Dos personas, en un desierto, son advertidas que los agenies de migración andan cerca.Por tal razón, se separan para seguir adelante. Si parten del mismo punto y a la mismahora, el ángulo que forman al partir es de 70" y la trayectori¿l de ambos es una línea recta.Si uno de ellos camina a una velocidad de 12klh, y [a otra F]ersona a una velocidad de 1rlidh, al cabo de una hora, la distancia "x" que los separa es:

a) x: VT44 +-Tod'l-2 sen 7O"

t..t-.i'-t'lb)x-

sen 55oI

I

l

I

i 70"t./i_j ?..

Punio Ce Pai'tida

-'t t,\ 'l ¿ l1.mln

t'

14. . Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36o y tienen

longitudes de 3 y 8 cm. Determina ra longitud de la diagonal nreñor.

a) x:Jr-r64b)x- B sen 36"

sett 72"

c) x*mid-)lx : ,,1144 + 100 - 2!0 cos 70"r.;"- .

_.

clx:ffid) x:\/9+64-48cos36'

i1

-i cn liI 1

'\a"

t-

"soLUCt oN EMos rRlÁ¡tc u los oBLt c uÁN G u Los,,.

8 cms


15. Dos irenes parten simultáneamente de irna estación en dirección tal que iórman un ángulode 35o. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 kmlhr. Determina a qué distancia se encuentranssperados después de una hora de viaje.

a)

b)

c)

x:{zz5+62525 sen 35"

sen 72.5"x:ffi

@i":ffi:1i

forma un ángulo de 79" con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

5.9Sen 19"

Sen 32"

5.9Sen 32"

Sen79"

l,lsen lelSen 32"

5.9Sen 79'F,-r)'Sen 69"

¡, g irrts

17.Un trampolín para clavados es sostenido por dos cables que van desde el tope de estehasta el suelo a lados opuestos del mismo. Un cable tiene 60 metros de longitud y formaun ángulo de 36' con la horizontal y el segundo forma un ángulo de 40". ¿Cuál es lalongitud del segundo cable?

'' * [--0 n€i¡cs

!¿l; ¡-¡"

b) x=

c) x:

d) x:

/,i- \ ¡'¡

.'i 1; ,

,'SOLUCION EMOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNG ULOs"


a) AC : .1102 + 362knt :7.81' kmb) Tl : 52 + 62 - z(5)(6)Cos105o km: 76.53 km

c) AC : km : B.75 km

,d) lf- : JzOz + 362 - 2(30)(36)Cos105"knt = 52.49 km

18.Para ir a la escuela, Antonio sale de su casa desde el punto "A"

cabo de 10 minutos llega a un cruce de carreteras en el pun to "B"

{ü mínutos a 36 km/h hastallegar a la escuela en el punto "C".

directa desde el punto A hasta c; ¿qué distancia recorrería?A

en bicicleta a 30 km/h al

, donde conduce duranteSi pudiera irse en forma

C

C= 138 knr

r , .:ji. .. . ..

inclinación de 4" con respecto a la60 rnetros al este de la base de laplanta, 7 metros debajo de lo más

19.Dos trenes de carga salen de una estación a las 2p.m. Cacla tren viaja en línea recta ert

dirección distinta. La velocidad del tren A es de 46 Km/h y la'velocidad de B es de 70 km/h.

Después de 2 horas la distancia en línea recta entre los dos trenes es de 138 km. ¿Cuál e:;

el ángulo de intersección de las vías?

gz2 +1qoz -7z1za) Sen?:

CasA=

Cos0=

(e2) (1 4o)gz2 +l +o2 -1382

z(e2)(r4o)922 +1,+Bz -1382

-+ A = (28.50)0

-+ 0 -- (69.50)o

--+ 0 = (45.50)0

--+ 0 = (44.50)0

b)

c)

d) SenA =

e2(140)922 +14o2 -1.382

2(e2)(740)

2A.La torre de Pisa en la toscana, ltalia, tiene un ángulo devertical. Un niño de 1.10 metros de estatura, que está atorre, ve y señala un pájaro que está sobre la séptimaalto de la torre. ¿Cuál es la altura de la torre? ¿F,¡i:,i,,';í- :'

a)

b)

c)

d)

altura: B.1o n 6osen 4o' tnetros

sen 54"

sltura : 7.oo * 6osen 4o' metTos

sen 54"- 6osen 40."altura metTos

sen 54"

altura: B.1o + 6o'ens4o lnetTos

sen 40o

?'t


21=De la intersección de dos calles rectas, que forman un ángr-rlo de 100", parten al mismotiempo dos cíclistas, uno por cada una de las cailes; el menos rápido a una velocidad de 2okm por hora, y el otro a 24 km por hora. Después de pedalear durante dos horas, ambosciclistas se detendrán. ¿Qué distancia los separará cuando se deiengan?

(48)2 +48sen 100"

sen 4O"

c) J 48 + 4a - (48)(40)Cos 100'

ail

22. ¿Cuál es el valor del ángulo C en el triángulo ABC de la siguiente fiEura?

95'BB.98"61.02"30"

c=40mts

a)

b)

a)b)c)d)

..'

;

lt'

-.-

a=35 mts


23. Del siguiente triángulo la longitud del lado "b" es:

l'l^, " ""-'-,¡')

¿ ^-'-' . ^ a 'lt ,

3e r: "if

a) 167.438 mtsb) 86.322 mtsc) 100.00 mtsd) 144.535 mts

24.Del siguiente triángulo la longitud del lado "b" es:

B

1500

. 15OO Sen40"a) :969.49' Sen84"

@"**= : rzso. r

, 1500 Sen84"c) - - 1799.42' Sen56"

d) lsoo sen 84' : z32o.go' Sen O"

120.223 mts

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