ileri matematik ii
TRANSCRIPT
���������ø/(5ø�0$7(0$7ø.�,, DERS NOTLARI
3URI�'U�gPHU�/�WIL�'H÷LUPHQFL
2007
89
Bölüm 3
Çok�'H÷LúNHQOL�)RQNVL\RQODU
%X� E|O�PGH� ELUGHQ� ID]OD� GH÷LúNHQ� LoHUHQ� IRQNVL\RQODUÕQ� OLPLW�� V�UHNOLOLN� YH� W�UHYOHUL�LQFHOHQHFHN�YH�GDKD�oRN�LNL�GH÷LúNHQOL�IRQNVL\RQODUD�D÷ÕUOÕN�YHULOHFHNWLU�
3.1. øNL�'H÷LúNHQOL�Fonksiyonlar
TanÕP��. 2RD ⊂ bölgesinin her (x,y��VD\Õ�oLIWLQH�ELU�YH�\DOQÕ]�ELU� ),( yxfz = �JHUoHO�VD\ÕVÕQÕ�
NDUúÕOÕN� JHWLUHQ� ELU� f� ED÷ÕQWÕVÕQD��D’den, R¶\H� ELU� IRQNVL\RQ� GHQLU��'¶\H� IRQNVL\RQXQ� WDQÕP�N�PHVL�GHQLU��)RQNVL\RQXQ�GH÷HUOHU�N�PHVL�ise
{ }RzDyxyxfzzG ∈∈== ,),(),,(: (1)
úHNOLQGHGLU�� (÷HU� �x, y�� VD\Õ� LNLOLVLQL�� jyixPGGG
+= vektörü ile temsil edersek ),( yxfz = ,
fonksiyonunu )(PfzG
= � úHNOLQGH�GH�J|VWHUHELOLUL]� ),( yxfz = � NRúXOXnu gerçekleyen (x,y,z)
QRNWDODUÕ�JHUoHO�X]D\GD�ELU�\�]H\�ROXúWXUXUODU��%X�\�]H\H�� ),( yxfz = �IRQNVL\RQXQXQ�JUDIL÷L�denir.
Örnek 1. )1ln( xyxz −−+= fonksiyonu 01 ≥−+ yx
ve 01 ≥−−+ xyx �NRúXOODUÕQÕ�VD÷OD\DQ��[,y) ikililerinin
ROXúWXUGX÷X� E|OJHGH� WDQÕPOÕGÕU�� %LULQFL� NRúXO� 1+−= xy
GR÷UXVX� YH� RQXQ� �VW�QGHNL� G�]OHPL� LNLQFL� NRúXO� LVH��12 +−= xxy parabol ile onun üstündeki düzlem bölgesini
göstermektedir. )RQNVL\RQXQ� WDQÕP� N�PHVL,� ùHNLO� �.1’de WDUDOÕ�RODUDN�J|VWHULOHQ�DoÕN�E|OJHGLU� (÷HU�� ),( yxfz = , x ve y� GH÷LúNHQOHULQLQ� ELU� SROLQRPX�úHNOLQGH� LVH� EX� GXUXPGD� IRQNVL\RQ�� UHHO� G�]OHPLQ� KHU� \HULQGH� WDQÕPOÕ� ROXU�� %X� GXUXPGD�
2RD = ’dir. (÷HU�� IRQNVL\RQ�
),(
),(
yxg
yxfz = � JLEL� LNL� IRQNVL\RQXQ� E|O�P��ELoLPLQGH� LVH� WDQÕP�
kümesi, ),( yxf ve ),( yxg � IRQNVL\RQODUÕQÕQ� WDQÕP�kümelerinin arakesit kümesinin, 0),( ≠yxg � HúLWVL]OL÷LQL�VD÷OD\DQ�HOHPDQODUÕQGDQ�ROXúXU��
Örnek 2. )arcsin( yx
yxz
+−
= � IRQNVL\RQXQXQ� WDQÕP�N�PHVL��0≥− yx , 11 ≤+≤− yx ve 0≠+ yx � NRúXOODUÕQÕ� ELUOLNWH�
VD÷OD\DQ� �x,y�� VD\Õ� LNLOLOHULQLQ� ROXúWXUGX÷X� E|OJHGLU� YH�ùHNLO����¶GH�WDUDOÕ�RODUDN�J|VWHULOHQ�DoÕN�E|OJH\L�ROXúWXUXU�
90
�����øNL�'H÷LúNHQOL�)RQNVL\RQODUÕQ�*UDILNOHUL 2
RD ⊂ GH�WDQÕPOÕ��LNL�GH÷LúNHQOL� ),( yxfz = ��IRQNVL\RQXQXQ�JUDIL÷L�� Dyx ∈),( olmak üzere
)),(,,( yxfyx � QRNWDODUÕQÕQ� N�PHVLGLU�� øNL� GH÷LúNHQOL� ELU� IRQNVL\RQXQ� JUDIL÷LQL�� LNL� ER\XWOX�ND÷ÕW��]HULQGH�J|VWHUPHN�LoLQ�JHQHOGH�G�]H\�H÷ULOHULQGHQ�\DUDUODQÕOÕU�
7DQÕP� �. ),( yxfz = � � IRQNVL\RQX� YHULOGL÷LQGH�� IRQNVL\RQXQ� EHOLUOHGL÷L� \�]H\LQ�� 0zz =
düzlemi ile arakesiti olaQ�H÷UL\H�fonksiyonun 0zz = �G�]H\�H÷ULVL�GHQLU��%LU�IRQNVL\RQXQ�RODVÕ�W�P�G�]H\�H÷ULOHULQLQ�ELOHúNHVL��IRQNVL\RQXQ�EHOLUOHGL÷L�\�]H\L�YHULU�
Örnek 1. 22yxz += �IRQNVL\RQXQXQ�JUDIL÷LQL�G�]H\�H÷ULOHUL�\|QWHPL�LOH�oL]LQL]�
Çözüm�� )RQNVL\RQXQ� WDQÕP� N�PHVL� 2RD = ’dir.
'H÷HUOHU� N�PHVL� LVH� { }0∪+R kümesidir. (0,0,0)
QRNWDVÕQÕQ� JUDILN� �]HULQGH� ROGX÷X� DoÕNWÕU� Yani
fonksiyonun z ��G�]H\� H÷ULVL�� �������� QRNWDVÕGÕU��z0>0 olmak üzere, 22
yxz += yüzeyinin, z=z0
düzlemi ile arakesiti ise 220 yxz +=
çemberleridir. )RQNVL\RQXQ� ED]Õ� G�]H\� H÷ULOHUL�ùHNLO����¶GH�J|VWHULOPLúWLU� �����øNL�'H÷LúNHQOL�)RQNVL\RQODUGD�/LPLW�YH�6�UHNOLOLN
7DQÕP� 1a (Limit). ),( yxfz = fonksiyonu, bir 2RD ⊂ � E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� ROVXQ�� 0>∀ε
NH\IL�VD\ÕVÕ�LoLQ� ε<− 0PPGG �NRúXOXQX�VD÷OD\DQ� DP ∈
G vektörü ya da Dyx ∈),( �VD\Õ�LNLOLOHUL�
için, )()( εδ<− LPfGG
olacak� úHNLOGH� )(εδ � VD\ÕODUÕ� EXOXQDELOL\RUVD�� ),( yxfz =
fonksiyonunun ),( 000 yxP �QRNWDVÕQGDNL�OLPLWL�L’dir denir ve
Lyxf
yxyx=
→),(lim
),(),( 00
(1)
úHNOLQGH�J|VWHULOLU� /LPLW�LoLQ�SUDWLNWH�GDKD�NXOODQÕúOÕ�ELU�WDQÕP�YHUHELOLUL]�
91
7DQÕP�1b (Limit). Lyxfyxyx
=→
),(lim),(),( 00
�ROPDVÕ�LoLQ�JHUHN�YH�\HWHU�NRúXO�� 0, 21 >∀ εε keyfi
VD\ÕODUÕ� LoLQ� εε ≤<− 10xx ve εε ≤<− 20yy �NRúXOODUÕQÕ�VD÷OD\DQ� ),( yx �VD\Õ�LNLOLOHUL�için
)(),( εδ<− Lyxf � NRúXOX� VD÷ODQDFDN� úHNLOGH� )(εδ � VD\ÕODUÕQÕQ� EXOXQDELOPHVLGLU�� %XUDGD�{ }21,εεε Max= dir.
Örnek 1. yx
xyxyxf
++
=2
),(2
fonksiyonunun (-�����QRNWDVÕQGDNL�OLPLWLQL�DUDúWÕUÕQÕ]� Çözüm. fonksiyonun (-����� QRNWDVÕQGDNL� OLPLWLQLn -�� RODFD÷ÕQÕ� WDKPLQ� HGHELOLUL]�� ùLPGL�EXQXQ�JHUoHNWHQ�OLPLW�ROXS�ROPDGÕ÷ÕQÕ�DUDúWÕUDOÕP� ε<+1x ve ε<− 2y olmak üzere
211
12211
1)2()1(
)1(2)2()1()1(
1)2()1(
)1(22)1()1(
321)1(332)3(
2
22
2
222
−−+−++−++++
<+−++
++−++++=
+−+++++−+++
=
=+
++−++=
++++
=−−++
yx
xyyxx
yx
xyyxx
yx
yxyxx
yx
yxyxx
yx
yxxyx
yx
xyx
olur. 2<y �RODFD÷ÕQGDQ
)(21
23
1
2)3
2 222
εδε
εεεε
εεεεε=
−+
=−−
×+++<+
++
yx
xyx
yazabiliriz. Böylece,
32
lim2
)2,1(),(−=
++
−→ yx
xyx
yx
ROGX÷X�DQODúÕOPÕú�ROXU�
Lyxfyxyx
=→
),(lim),(),( 00
�\D]ÕOÕPÕ��WDQÕP�N�PHVLQGH� ),( yx �GH÷LúNHQ�QRNWDVÕ�� ),( 00 yx �QRNWDVÕQD�\DNODúÕUOHQ�� ),( yxf ’nin de L� GH÷HULQH� \DNODúDFD÷ÕQÕ� LIDGH� HGHU�� $QFDN� \DNODúPDQÕQ� QH�úHNLOGH� RODFD÷Õ� NRQXVXQGD� ELU� VÕQÕUODPD�getirmez. Yani, ),( yx � GH÷LúNHQ� QRNWDVÕ��herhangi bir yolu izleyerek ),( 00 yx � QRNWDVÕQD�\DNODúDELOLU�� %LU� \DNODúPD� |UQH÷L� RODUDN�� |QFH�
),( yxA � QRNWDVÕQÕ�� ),( 0 yxB � QRNWDVÕQD�� EXUDGDQ�da ),( 00 yxC �QRNWDVÕQD�J|W�UHQ�\DNODúÕPÕ ya da
önce ),( yxA � QRNWDVÕQÕ�� ),( 0yxD � QRNWDVÕQD��buradan da ),( 00 yxC � QRNWDVÕQD� J|W�UHQ�
92
\DNODúÕPÕ�DODELOLUL]� BX�W�UO��\DNODúÕPlar için�H÷HU�OLPLW�PHYFXW�LVH
Lyxfyxfyxfxxyyyyxxyxyx
=
=
=
→→→→→),(limlim),(limlim),(lim
000000 ),(),( (2)
RODFD÷Õ�DoÕNWÕU��$QFDN�EXQXQ�NDUúÕWÕ�GR÷UX�ROPD\DELOLU��<DQL
Lyxfyxfxxyyyyxx
=
=
→→→→),(limlim),(limlim
0000
ROPDVÕ�OLPLWLQ�L�RODFD÷Õ�DQODPÕQD gelmeyebilir.�/LPLWLQ�YDURODELOPHVL�LoLQ��\DNODúÕP�\ROX�QH�olursa olsun, ),(lim
),(),( 00
yxfyxyx →
�LIDGHVLQLQ�D\QÕ�GH÷HUH�\DNODúPDVÕ�JHUHNLU�
Örnek 2. 44
22
),(yx
yxyxf
+= �IRQNVL\RQXQXQ�������QRNWDVÕQGDNL�OLPLWLQL�DUDúWÕUÕQÕ]�
Çözüm. Önce, Lyxfyxfxxyyyyxx
=
=
→→→→),(limlim),(limlim
0000
�ROXS�ROPDGÕ÷ÕQÕ�DUDúWÕUDOÕP�
( )
( ) 00limlimlim),(limlim
00limlimlim),(limlim
00000
00000
44
22
44
22
==
+
=
==
+
=
→→→→→
→→→→→
yyxxyyxxyy
xxyyxxyyxx
yx
yxyxf
yx
yxyxf
Buna göre,
0),(limlim),(limlim0000
=
=
→→→→yxfyxf
xxyyyyxx
GÕU��%X�GXUXP,�OLPLWLQ�YDU�YH��¶D�HúLW�ROGX÷XQX�JDUDQWL�HWPH]��ùLPGL�GH�������QRNWDVÕQD�y=mx GR÷UXODUÕ�ER\XQFD�\DNODúDOÕP��%X�GXUXPGD
1)1(lim
)(
)(limlim),(lim
4
4
0
44
22
044
22
)0,0(),()0,0(),(
+=
+=
+=
+=
→
→→→
m
m
xm
mx
mxx
mxx
yx
yxyxf
x
xyxyx
HOGH� HGLOLU��<DQL�� ������ QRNWDVÕQD� IDUNOÕ� GR÷UXODU� LOH� \DNODúWÕ÷ÕPÕ]GD� IDUNOÕ� OLPLW� GH÷HUOHULQH�XODúÕ\RUX]��%X�GXUXPGD,�V|]NRQXVX�IRQNVL\RQXQ�������QRNWDVÕQGD�OLPLWL�\RNWXU�GHUL]� Teorem 1. 1
),(),(),(lim
00
Lyxfyxyx
=→
ve 2),(),(
),(lim00
Lyxgyxyx
=→
limitleri var ise
a) i) ( ) 21),(),(
),(),(lim00
LLyxgyxfyxyx
+=+→
(3a)
93
b) ii) ( ) 21),(),(
),(),(lim00
LLyxgyxfyxyx
⋅=⋅→
(3b)
c) iii) Rk ∈∀ için 1),(),(
),(lim00
kLyxkfyxyx
=→
(3c)
d) iv) 0),( ≠yxg ve 02 ≠L olmak üzere
2
1
),(),( ),(
),(lim
00 L
L
yxg
yxf
yxyx=
→ (3d)
dir.
Örnek 3. x
xy
yx
)sin(lim
)1,0(),( →�OLPLWLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]�
Çözüm. 0≠y �ROGX÷XQGDQ
xy
xyy
xy
xyy
x
xy
yxyxyxyx
)sin(limlim
)sin(lim
)sin(lim
)1,0(),()1,0(),()1,0(),()1,0(),( →→→→⋅==
yazabiliriz. xyu = �G|Q�ú�P|��\DSÕOÕUVD
1sin
limlim)sin(
lim01)1,0(),(
=⋅=→→→ u
uy
x
xy
uyyx
elde edilir. Örnek 4.
22
33
),(yx
yxyxf
++
= fonksiyonunun,� ������ QRNWDVÕQdaki limitini, kutupsal koordinatlar
\DUGÕPÕ\OD�DUDúWÕUÕQÕ]� Çözüm. Kutupsal loordinatlarda θcosrx = ve θsinry = �ROGX÷XQD�J|UH
)sin(cos
sincos
)sin(cos
)sin(cos
)sin(cos
)sin()cos(
)sin()cos(),(),(
33
22
33
222
333
22
33
θθ
θθθθ
θθθθ
θθθθθ
+=
++
=++
=++
==
r
r
r
r
rr
rrrfyxf
olur. 0)0,0(),( →≡→ ryx �ROGX÷XQGDQ
[ ] 0)sin(coslim),(lim),(lim 33
00)0,0(),(=+==
→→→θθθ rrfyxf
rryx
elde edilir.
94
Örnek 5. 6DQGYLo��VÕNÕúWÕUPD��\|QWHPLQL�NXOODQDUDN�xy
xy
yx
cos44lim
)0,0(),(
−→
limitini bulunuz.
Çözüm. xyu = � WDQÕPODPDVÕQÕ�\DSDOÕP� YH� FRV�u fonksiyonunu, u� � �� QRNWDVÕQGD�7D\ORU�VHULVLQH�DoDOÕP�
...!4!2
1cos42
−+−=uu
u .
Seri aOWHUQDWLI�ROGX÷XQGDQ��
!4!21cos
!21
422uu
uu
+−<<−
yazabiliriz. u¶QXQ�GH÷HUL�\HULQH�\]DÕOÕUVD
24!21cos
21
222yxu
xyxy
+−<<−
elde edilir. Buradan
6
24cos42422
yxxyxyxy +−<<−
xyxyyx
xy 2cos446
222
<−<−
ve son olarak da
2cos44
62 <
−<−
xy
xyxy
HúLWVL]OL÷L�HOGH�HGLOLU��%XUDGDQ�OLPLW�DOÕQÕUVD
2limcos44
lim6
2lim)0,0(),()0,0(),()0,0(),( →→→
<−
<
−
yxyxyx xy
xyxy
2cos44
lim2)0,0(),(
<−
<→ xy
xy
yx
elde ediOLU��2�KDOGH��VDQGYLo�|]HOOL÷LQGHQ
2cos44
lim)0,0(),(
=−
→ xy
xy
yx
95
olur.
7DQÕP� �� �6�UHNOLOLN�. 2RD ⊂ ¶GH� WDQÕPOÕ� ELU� ),( yxf fonksiyonu ile Dyx ∈),( 00 � QRNWDVÕ�
verilsin.�(÷HU ),(),(lim 00
),(),( 00
yxfyxfyxyx
=→
(4)
oluyorsa, f fonksiyonuna Dyx ∈),( 00 � QRNWDVÕQGD� V�UHNOLGLU� GHQLU�� (÷HU�� f fonksiyonu, D
N�PHVLQLQ�KHU�QRNWDVÕQGD�V�UHNOL�LVH�EX�GXUXPGD f fonksiyonu D’de süreklidir denir. Örnek 6.
=
≠+=
LVHLVH
)0,0(),(,0
,)0,0(),(,),( 22
3
yx
yxyx
x
yxf fonksiyonunun 2
R ¶GH� V�UHNOL� ROGX÷XQX�
gösteriniz.
Çözüm. 22
3
yx
x
+� IRQNVL\RQXQXQ�� ������ GÕúÕQGDNL� KHU� QRNWDGD� WDQÕPOÕ� YH� V�UHNOL� ROGX÷X�
DoÕNWÕU��ùLPGL�������QRNWDVÕQGDNL�V�UHNOLOL÷L�DUDúWÕUDOÕP�
( ) )0,0(0coslim)sin(cos
coslimlim 3
0222
33
022
3
)0,0(),(fr
r
r
yx
x
rryx===
+=
+ →→→θ
θθθ
R�KDOGH��IRQNVL\RQ�������QRNWDVÕQGD�GD�V�UHNOLGLU� �����øNL�'H÷LúNHQOL�)RQNVL\RQODUÕQ�.ÕVPL�7�UHYOHUL 7DQÕP��� �'R÷UXOWX� W�UHYOHUL��� 2
RD ⊂ ¶GH� WDQÕPOÕ� ELU� ),( yxf fonksiyonu ile Dyx ∈),( 00
QRNWDVÕ� YHULOVLQ�� )1(),,( 220 =+= βαβαuG
herhangi bir birim vektör olmak üzere, mevcut
ROPDVÕ�GXUXPXQGD
h
yxfhyhxfyxfD
hu
),(),(lim),( 0000
00
−++=
→
βαG (1)
limitine, ),( yxf fonksiyonunun, 0u
G do÷UXOWXVXQGDNL�W�UHYL�GHQLU�
96
'R÷UXOWX� W�UHYLQLQ� JHRPHWULN� DQODPÕ� úX� úHNLOGH� YHULOHELOLU� jyixPGGG
000 += ile
)1(, 220 =++= βαβα jiu
GGG birim vektörü verilsin.�'H÷LúNHQ�ELU� jyixuhPhP
GGGGG+=+= 00)(
vektörü, 0uG
vektörü boyunca 0PG
vektörüne \DNODúÕUVD,�EX�GXUXPGD�PHYFXW�ROPDVÕ�KDOLQGH
h
PfuhPfyxfD
hu
)()(lim),( 000
00
GGGG −+
=→
(2)
limitine, ),( yxf fonksiyonunun, 0u
G � GR÷UXOWXVXQGDNL� W�UHYL� GHQLU� Buna göre, ),(0
yxfDuG
yönlü türevi, ),( yxfz = yüzeyine, üzerindeki )),(,,( 0000 yxfyx � QRNWDVÕQGDQ� YH� 0uG
GR÷UXOWXVXQGD�oL]LOHQ�WH÷HWLQ�H÷LPLGLU� Örnek 1. xyyxf =),( �IRQNVL\RQXQXQ��JHQHO�GR÷UXOWX�türev fonksiyonunu bulunuz. Çözüm. 7DQÕP�JHUH÷L
[ ]
00
000
00
0
002
0000
0
0000
0
0000
0
)(lim
lim
)(lim
))((lim
),(),(lim),(
0
yx
hyx
h
hhyx
h
yxhhyxyx
h
yxhyhx
h
yxfhyhxfyxfD
h
h
h
h
hu
αβ
αβαβ
αβαβ
αβαβ
βα
βα
+=
++=
++=
−+++=
−++=
−++=
→
→
→
→
→G
Örnek 2. 22),( yxyxf += fonksiyonunun, )2/3,2/1(0uG � ELULP� YHNW|U�� GR÷UXOWXVXQGDNL�
türevini bulunuz. Çözüm. <|QO��W�UHY�WDQÕPÕQGDQ
97
[ ]
00)2/3,2/1(
00
2200
0
22200
0
20
20
20
20
0
0000
0
3),(
)(2
)()(2lim
)()(2lim
)()(lim
),(),(lim),(
0
yxyxfD
yx
hyx
h
hhyx
h
yxhyhx
h
yxfhyhxfyxfD
h
h
h
hu
+=
⇒+=
+++=
+++=
+−+++=
−++=
→
→
→
→
βα
βαβα
βαβα
βα
βαG
olur.
7DQÕP�2��.ÕVPL�7�UHY�. 2RD ⊂ ¶GH�WDQÕPOÕ�ELU� ),( yxf fonksiyonu ile Dyx ∈),( 00 �QRNWDVÕ�
YHULOVLQ��0HYFXW�ROPDV�GXUXPXQGD
h
yxfyhxf
h
),(),(lim 0000
0
−+→
(3)
limitine, ),( yxf fonksiyonunun x� GH÷LúNHQLQH�J|UH�NÕVPL� türevi denir ve x
yxf
∂∂ ),( 00 ya da
),( 00 yxf x sembollerinden biri ile gösterilir. %HQ]HU�úHNLOGH��PHYFXW�ROPDVÕ�KDOLQGH
h
yxfhyxf
h
),(),(lim 0000
0
−+→
(4)
limitine de, ),( yxf fonksiyonunun y�GH÷LúNHQLQH�J|UH�NÕVPL�W�UHYL�GHQLU�YH�y
yxf
∂∂ ),( 00 ya da
),( 00 yxf y sembollerinden biri ile gösterilir. ),( 00 yxf x �NÕVPL�W�UHYLQLQ�� )0,1(0uG
yönündeki ve
),( 00 yxf y �NÕVPL�W�UHYLQLQ�GH� )1,0(0uG �\|Q�QGHNL�W�UHYOHU�ROGX÷XQD�GLNNDW�HGLOPHOLGLU�
7DQÕPD� J|UH�� |UQH÷LQ� x� GH÷LúNHQLQH� J|UH�NÕVPL� W�UHY� DOÕQGÕ÷ÕQGD, y� GH÷LúNHQL� VDELW�WXWXOPDNWDGÕU� Bu ise, ),( yxfz = yüzeyi ile
0yy = düzleminin arakesiti olan
),( 0yxfz = � H÷ULVLQin 0xx = � QRNWDVÕQGDNL�türevi� DQODPÕQD� JHOLU�� %DúND� ELU� GH÷LúOH,
),( 00 yxf x � NÕVPL� W�UHYL�� ),( yxfz =
yüzeyine, üzerindeki ),,( 000 zyx � QRNWDVÕQ-
dan ve xoz düzlemine paralel olarak çizilen WH÷HWLQ� H÷LPLGLU�� %HQ]HU� RODUDN�� ),( 00 yxf y
NÕVPL� W�UHYL�LVH�� ),( yxfz = yüzeyine, yine
üzerindeki ),,( 000 zyx � QRNWDVÕQGDQ� YH� \oz
G�]OHPLQH� SDUDOHO� RODUDN� oL]LOHQ� WH÷HWLQ�
98
H÷LPLGLU�� ùHNLO� ���¶GH�� GHQNOHPL� ),( yxfz = olan E yüzeyine, üzerindeki ),,( 000 zyxP
QRNWDVÕQGDQ�YH� 0yy = �G�]OHPLQGH�RODFDN�úHNLOGH�T�WH÷HWL�oL]LOPLúWLU��T�WH÷HWLQLQ, xy-düzlemi
LOH�\DSWÕ÷Õ�DoÕQÕQ�WDQMDQWÕ��\DQL WH÷HWLQ xy-düzlemine g|UH�H÷LPL�� ),( yxfz = fonksiyonunun,
),( 00 yx �QRNWDVÕQGD, x�GH÷LúNHQLQH�J|UH�NÕVPL�W�UHYLGLU�
Örnek 3�� .ÕVPL� W�UHY� WDQÕPÕQÕ� NXOODQDUDN�� 22yxz += fonksiyonunun )1,1(xf ve )0,0(xf
NÕVPL�W�UHYOHULQLQ�ROXS�ROPDGÕ÷ÕQÕ�DUDúWÕUÕQÕ]�
Çözüm. h
yxfyhxf
x
yxf
h
),(),(lim
),( 0000
0
00 −+=
∂∂
→�WDQÕPÕQÕ�NXOODQÕUVDN
2)2(lim2
lim111)1(
lim
)1,1()1,1(lim)1,1(
0
2
0
2
0
0
=+=+
=−−++
=
=−+
=
→→→
→
hh
hh
h
h
h
fhff
hhh
hx
0limlim)0,0()0,(
lim)0,0(0
2
00===
−=
→→→h
h
h
h
fhff
hhhx
elde edilir.
Örnek 4.
=
≠+=
LVHLVH
)0,0(),(,0
,)0,0(),(,),(
2
yx
yxyx
x
yxf
fonksiyonunun varsa )0,0(xf ve (0,0)y
f �NÕVPL�W�UHYOHULQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm.
1lim0
0lim)0,0()0,(
lim)0,0(2
2
0
2
00==
−+=
−=
→→→ h
h
h
h
h
h
fhff
hhhx
000
lim)0,0(),0(
lim)0,0(00
=−
=−
=→→ hh
fhff
hhy
Örnek 5. yxxez
+= fonksiyonunun xz ve yz �NÕVPL�W�UHYOHULQL�EXOXQX]� Çözüm.
( )xexeex
zz
yxyxyx
x +=+=∂∂
= +++ 1
99
x y
y
zz xe
y
+∂= =
∂
7DQÕP�3��<�NVHN�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHU�. ),( yxfz = fonksiyonunun, xf ve yf �NÕVPL�W�UHYOHULQLQ�� WDQÕP� N�PHVLQGH� x ve y’ye göre türevleri var ise bu türevlere ),( yxfz =
fonksiyonunXQ� LNLQFL�PHUWHEHGHQ� NÕVPL� W�UHYOHUL� GHQLU�� xf � NÕVPL� W�UHYLQLQ�� x¶H� J|UH� NÕVPL�türevi ),( yxfz = fonksiyonunun, x¶H� J|UH� LNLQFL� PHUWHEHGHQ� NÕVPL� W�UHYLGLU� YH� xxf ile
J|VWHULOLU��<DQL��PHYFXW�ROPDVÕ�GXUXmunda, x¶H�J|UH�LNLQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHY
2
2
)(x
f
x
f
xf xx ∂
∂=
∂∂
∂∂
= (5)
úHNOLQGHGLU��%HQ]HU�RODUDN�GL÷HU�LNLQFL�PHUWHEH�W�UHYOHU de
xy
f
x
f
yff yxxy ∂∂
∂=
∂∂
∂∂
==2
)()( , (6)
2
2
)(y
f
y
f
yf yy ∂
∂=
∂∂
∂∂
= (7)
ve
yx
f
y
f
xf yx ∂∂
∂=
∂∂
∂∂ 2
)( (8)
biçiminde gösterilir. %LU�IRQNVL\RQXQ��WDQÕPOÕ�ROGX÷X�E|OJHGH��GDKD�\�NVHN�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�türevleri de mevcut olabilir.
Örnek 4. )ln(),( xyxyxf = �IRQNVL\RQXQXQ�LNLQFL�PHUWHEH�NÕVPL�W�UHYOHULQL�EXOXQX]� Çözüm.
1)ln()ln( +=+=∂∂
= xyxy
yxxy
x
ff x
xxy
y
x
f
x
f
xf xx
1)(
2
2
==∂∂
=∂∂
∂∂
=
yxy
x
xy
f
x
f
yff yxxy
1)()(
2
==∂∂
∂=
∂∂
∂∂
==
y
x
xy
xx
y
ff y ==
∂∂
=
22
2
)(y
x
y
f
y
f
yf yy −=
∂∂
=∂∂
∂∂
=
100
yyx
f
y
f
xf yx
1)(
2
=∂∂
∂=
∂∂
∂∂
Teorem 1. ),( yxfz = fonksiyonunun ,,, yxxyyx ffff YH �NÕVPL�W�UHY�IRQNVL\RQODUÕ��KHUKDQJL�bir A�DoÕN�N�PHVLQGH�WDQÕPOÕ�YH� Ayx ∈),( 00 �QRNWDVÕQGD�sürekli iseler
),(),( 0000 yxfyxf yxxy = (9)
dir.
øVSDW. Akyhx ∈++ ),( 00 �RODFDN�úHNLOGH�h ve k�SR]LWLI�VD\ÕODUÕ verilsin. ùLPGL, [ ] [ ]0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )F x y f x h y k f x h y f x y k f x y= + + − + − + − (10)
diyelim ve
),(),()( 00 yxfkyxfxG −+= (11)
fonksiyonXQX�WDQÕPOD\DOÕP��%X�GXUXPGD )()(),( 0000 xGhxGyxF −+= (12)
olur.�����¶GHQ�W�UHY�DOÕUVDN
),(),()( 00 yxfkyxfxG xx −+=′ (13)
YH������HúLWOL÷LQH�GLIHUDQVL\HO�KHVDEÕQ�RUWDODPD�GH÷HU�WHRUHPLQL�X\JXODUVDN�� 10 << θ olmak
üzere
)()()(),( 00000 hxGhxGhxGyxF θ+′=−+= (14)
ifadesini YH������\DUGÕPÕ\OD�GD [ ]),(),()(),( 0000000 yhxfkyhxfhhxGhyxF xx θθθ +−++=+′= (15)
yazabiliriz.� (÷HU� ����� HúLWOL÷LQGH� SDUDQWH]� LoHULVLQH� ELU� NH]� GDKD� RUWDODPD� GH÷HU� WHRUHPL�X\JXODQÕUVD�� 10 << µ olmak üzere
),(),( 0000 kyhxhkfyxF xy µθ ++= (16)
elde ederiz. %HQ]HU�úHNLOGH, ),(),()( 00 yxfyhxfyH −+= (17)
IRQNVL\RQX�WDQÕPOD\DOÕP�������HúLWOL÷LQH�J|UH )()(),( 0000 yHkyHyxF −+= (18)
ROXU��2UWDODPD�GH÷HU�WHRUHPL�X\JXODQÕUVD, 10 << η olmak üzere
)(),( 000 kykHyxF y η+= (19)
101
olur. (17)’den y¶\H�J|UH�W�UHY�DOÕQÕU������¶GD�\HULQH�\D]ÕOÕUVD [ ]kyxfkyhxfkyxF yy ηη +−++= 000000 ,(),(),( (20)
ROXU�� 3DUDQWH]� LoHULVLQH� ELU� NH]� GDKD� RUWDODPD� GH÷HU� WHRUHPL� X\JXODQÕUVD�� 10 << γ olmak
üzere
),(),( 0000 kyhxkhfyxF yx ηγ ++= (21)
olur. Son olarak, 0→h ve 0→k �OLPLW�GXUXPX�LoLQ������YH������ED÷ÕQWÕODUÕQÕQ�VD÷�\DQODUÕQÕQ�HúLWOL÷LQGHQ� ),(),( 0000 yxfyxf yxxy = (22)
elde ederiz.
<XNDUÕGDNL� WHRUHP�GDKD�\�NVHN�PHUWHEHGHQ�NÕVPL� W�UHYOHUH�GH�X\JXODQDELOLU��%XQXQOD� LOJLOL�DúD÷ÕGDNL�WHRUHPL�LVSDWVÕ]�YHU\RUX]�
Teorem 2. ),( yxfz = fonksiyonunun,�D\QÕ�LQGLV�N�PHVLQL�LoHUHQ�E�W�Q�\�NVHN�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHUL�HúLWWLU�
Örnek 5. )sin(),( xyeyxfyx+= fonksiyonunu için xxyxyx ff = �ROGX÷XQX�J|VWHULQLQ]
Çözüm.
)cos(xyyefyx
x
+=
)sin()cos()cos( xyxyexyyexyefyxyxyx
xy
+++ −+=
( ) ( ) )sin(2)cos(1
)cos()sin()sin(
)sin()cos()sin()cos(
22
2
2
xyexyyyxyexyy
xyexyxyxyexyye
xyeyxyyexyyexyef
yxyx
yxyxyx
yxyxyxyx
xyx
++
+++
++++
++−−+=
−−−
−−+−=
ROXU��'L÷HU�\DQGDQ
)sin()cos( 2xyeyxyyef
yxyx
xx
++ −=
( ) ( ) )sin(2)cos(1
)cos()sin()sin(2
)sin()cos()cos(
22
22
xyexyyyxyexyy
xyexyxyeyxyye
xyxyexyyexyef
yxyx
yxyxyx
yxyxyx
xxy
++
+++
+++
++−−+=
−−−=
−−+=
olur. Buna göre xxyxyx ff = ’dir.
Örnek 6. c bir sabit olmak üzere,
102
2
2
x
uc
t
u
∂∂
=∂∂
NÕVPL� W�UHY� GHQNOHPLQH� \D\ÕOPD� GHQNOHPL� GHQLU�� $úD÷ÕGDNL� IRQNVL\RQODUÕQ� \D\ÕOPD�GHQNOHPLQL�VD÷OD\ÕS�VD÷ODPDGÕNODUÕQÕ�J|VWHULQL]� a) btax
etxu+=),( b) )sin(),( btaxtxu +=
Çözüm a) ⇒= +btaxetxu ),( btax
bet
u +=∂∂
btaxbtaxea
x
uae
x
u ++ =∂∂
⇒=∂∂ 2
2
2
2
22
2
a
bc
ecabex
uc
t
u btaxbtax
=⇒
=⇒∂∂
=∂∂ ++
bulunur. O halde, btaxetxu
+=),( �IRQNVL\RQX�\D\ÕOPD�GHQNOHPLQL�VD÷ODPDNWDGÕU�YH�2
a
bc = ’dir
b) ⇒+= )sin(),( btaxtxu )cos( btaxbt
u+=
∂∂
)sin()cos( 2
2
2
btaxax
ubtaxa
x
u+−=
∂∂
⇒+=∂∂
o halde, Rtx ∈∀ , için
2
2
x
uc
t
u
∂∂
=∂∂
olPDGÕ÷ÕQGDQ�� )sin(),( btaxtxu += fonksiyonu,� \D\ÕOPD� GHQNOHPLQLn bir genel çözümü
GH÷LOGLU��Bununla birlikte, )sin(),( btaxtxu += fonksiyonu
2arctan( )
bax bt
ca+ = −
NRúXOXQXQ�VD÷ODQPDVÕ�GXUXPODUÕQGD�ELU�özel çözümdür.
Örnek 7. Üç boyutlu Laplace denklemi
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
z
f
y
f
x
f
103
úHNOLQGH��LNLQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�GLIHUDQVL\HO�GHQNOHPGLU��$úD÷ÕGDNL�IRQNVL\RQODUÕQ�/DSODFH�GHQNOHPLQL�VD÷ODGÕNODUÕQÕ�J|VWHULQL]� a) 222 2),,( zyxzyxf −+=
b) r
rf1
)( =
Çözüm a)
22
22
222),,(
2
2
2
2
2
2222
=∂∂
⇒=∂∂
=∂∂
⇒=∂∂
=∂∂
⇒=∂∂
⇒−+=
z
fz
z
f
y
fy
y
f
x
fx
x
fzyxzyxf
ve böylece
022222
2
2
2
2
2
=×−+=∂∂
+∂∂
+∂∂
z
f
y
f
x
f
olur.
b)
7
224
6
23
2
2
3222
222
222
222
33
1),,()(
r
rxr
r
r
xxrr
x
f
r
x
zyx
zyx
x
x
f
zyxzyxfrfzyxrkzjyixr
−=
−=
∂∂
⇒=++++
=∂∂
⇒
++==⇒++=⇒++=
GGGG
ROXU��%HQ]HU�úHNLOGH�
7
224
2
2
3
7
224
2
2
3
3
3
r
rzr
z
f
r
z
z
f
r
ryr
y
f
r
y
y
f
−=
∂∂
⇒=∂∂
−=
∂∂
⇒=∂∂
ve buradan da
033
)(33
333
7
44
7
22224
7
224
7
224
7
224
2
2
2
2
2
2
=−
=
++−=
−+
−+
−=
∂∂
+∂∂
+∂∂
r
rr
r
zyxrr
r
rzr
r
ryr
r
rxr
z
f
y
f
x
f
olur.
104
�����=LQFLU�.XUDOÕ Teorem 1. 2
RD ⊂ ¶GH� WDQÕPOÕ� ELU� ),( yxfz = � IRQNVL\RQX� YHULOVLQ�� (÷HU�� xf ve yf � NÕVPL�W�UHYOHUL�� ùHNLO� ���¶GD� J|VWHULOHQ� YH� DbaP ∈),( ve DdcQ ∈),( � QRNWDODUÕQÕ� ELUOHúWLUHQ� GLN�DoÕOÕ�\ROXQ�KHU�QRNWDVÕQGD�WDQÕPOÕ�LVHOHU, cma << ve dnb << olmak üzere
))(,())(,(),(),( bdnafacdmfbafdcf yx −+−=− (1)
GÕU�
øVSDW. ),(),(),(),(),(),( bafdafdafdcfbafdcf −+−=− (2)
(úLWOL÷LQL�\D]ÕS
),()(1 dxfxz = (3a)
ve
),()(2 yafyz = (3b)
IRQNVL\RQODUÕQÕ�WDQÕPOD\DOÕP��%X�GXUXPGD ),(),()()( 11 dafdcfazcz −=− (4)
olur ve cma << �ROPDN��]HUH��RUWDODPD�GH÷HU�WHRUHPLQGHQ
))(,())((),(),( 1 acdmfacmzdafdcf xx −=−=− (5)
HOGH�HGLOLU��%HQ]HU�úHNLOGH�G�ú�QFH\OH ))(,())((),(),( 2 bdnafbdnzbafdaf yy −=−=− (6)
\D]ÕODELOLU��%|\OHFH������YH�����ED÷ÕQWÕODUÕ����¶GH�\HULQH�\D]ÕOÕUVD
))(,())(,(),(),( bdnafacdmfbafdcf yx −+−=−
105
elde edilir.
Teorem 2. 2RD ⊂ ¶GH�WDQÕPOÕ�ELU ),( yxfz = fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve y�GH÷LúNHQOHUL��
t¶\H� ED÷OÕ� ELUHU� VNDOHU� IRQNVL\RQODU� ROVXQODU�� )(tgx = , )(thy = . )(tgx = ve )(thy =
IRQNVL\RQODUÕQÕQ�JUDILNOHULQLQ��D E|OJHVLQGH�ROPDVÕ�NRúXOX\OD��z fonksiyonunun, t�GH÷LúNHQLQH�göre türevi
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂∂
+∂∂
= (7)
GÕU�
øVSDW. ),( yxfz = fonksiyonunu
))(),((),()( thtgfyxftz == (8)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]� 7�UHY�WDQÕPÕQD�J|UH
h
thtgfhthhtgf
h
tzhtz
dt
dztz
hh
))(),(())(),((lim
)()(lim)(
00
−++=
−+==′
→→ (9)
olur.�����HúLWOL÷LQGH )(),(),(),( thbtgahthdhtgc ==+=+= (10)
DOÕQÕUsa
h
thtgfhthhtgf
dt
dz
h
))(),(())(),((lim
0
−++=
→
[ ] [ ]h
thhthntgftghtghthmf
dt
dz yx
h
)()()),(()()())(,(lim
0
−++−++=
→ (11)
elde edilir. Burada cma << ve dnb << yani )()( htgmtg +<< ve )()( hthnth +<< ’dir.
'ROD\ÕVÕ\OH�� 0→h limit durumunda, )(tgm → ve )(thn → olur. Sonuç olarak, (11)
ED÷ÕQWÕVÕQGDQ
)())(),(()())(),(( ththtgftgthtgfdt
dzyx
′+′= (12)
ya da
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
∂∂
+∂∂
= (13)
zincir NXUDOÕ�HOGH�HGLOLU�
106
Örnek 1. yx
xyyxf
+=),( fonksiyonunun x ve y�GH÷LúNHQOHUL��t’nin ttx sin)( = , taty cos)( =
úHNOLQGHNL�IRQNVL\RQODUÕ�ROGX÷XQD�J|UH� )2
1,
2
3(tf �GH÷HULQL�EXOXQX]�
Çözüm. 3
sin2
3 π=⇒= tt ve
3cos
2
1 πa= ’den 1=a bulunur. f¶QLQ��]LQFLU�NXUDOÕ�\DUGÕPÕ\OD,
t’ye göre türevi�DOÕQÕUVD
2
22
2
2
2
2
22
)(
sincossin
)(cos
)(
)sin()(
)(cos
)(
)(
yx
taxtyt
yx
axt
yx
y
tayx
xyyxxt
yx
xyyxy
dt
y
dy
f
dt
x
dx
f
dt
df
+−
=+
−+
=
−+
−++
+−+
=∂∂
+∂∂
=
elde edilir. O halde,
3
222
22
)331(8
1)
2
1,
2
3(
)31(
4
8
331
)2
13(
2
3
4
3
2
1
4
1
)2
1
2
3(
3sin)
2
3(1
3cos)
2
1(
)2
1,
2
3(
−=
+−
=+
−=
+
−=
t
t
f
f
ππ
olur.
Örnek 2. )sin(),( yxxyyxf += fonksiyonunun xf ve yf �NÕVPL�W�UHYOHULQL�]LQFLU�NXUDOÕ�LOH�bulunuz.
Çözüm. xyu = , )sin( yxv += �WDQÕPODPDODUÕ\OD� uvvugyxf == ),(),( olur. Buna göre
)cos()sin()cos( yxxyyxyyxuvyx
v
v
g
x
u
u
g
x
f+++=++=
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
)cos()sin()cos( yxxyyxxyxuvxy
v
v
g
y
u
u
g
y
f+++=++=
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
Teorem 3. 2RD ⊂ ¶GH�WDQÕPOÕ�ELU� ),( yxfz = fonksiyonu verilsin. ),( yxfz = ¶QLQ�EHOLUOHGL÷L�
yüzey üzerindeki bir c�H÷ULVL� LOH�onun xy-G�]OHPLQGHNL� L]G�ú�P��RODQ� c′ �H÷ULVLQL�J|]|Q�QH�DODOÕP�� c′ �H÷ULVL��]HULQGHNL�KHUKDQJL�ELU�QRNWDGDNL�W�UHY
107
y
x
f
f
dx
dy−= (14)
ile verilir.
øVSDW. c′ � L]G�ú�P� H÷ULVLQLQ� GHQNOHPL� )(xhy = olsun. Buna göre, c′ üzerindeki noktalar
)0),(,( xhx � úHNOLQGH� LNHQ�� c� H÷ULVLQGH� EXQODUD� NDUúÕOÕN� JHOHQ� QRktalar )),(),(,( yxfxhx
úHNOLQGHGLU��ùLPGL�c�H÷ULVL��]HULQGH��x-HNVHQL�GR÷UXOWXVXQGDNL�W�UHYL�\D]DOÕP�
x
y
y
f
x
x
x
f
dx
df
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
= . (15)
Bu türevin, c′ � L]G�ú�P� H÷ULVL� �]HULQGHNL� NDUúÕOÕ÷ÕQÕ� HOGH� HWPHN� LoLQ� ����� ED÷ÕQWÕVÕQGD�0),( =yxf �GROD\ÕVL\OH� 0=
dx
df, 1=
∂∂x
x ve
dx
dy
x
y=
∂∂ �DOÕQPDOÕGÕU��%XQD�J|UH�
0=∂∂
+∂∂
dx
dy
y
f
x
f
ve buradan da
y
x
f
f
y
fx
f
dx
dy−
∂∂∂∂
−=
elde edilir. Teorem bize, 0),( =yxf �úHNOLQGH�YHULOHQ�LNL�GH÷LúNHQOL�NDSDOÕ�bir fonksiyon için
dxdy / türevinin QDVÕO�EXOXQDFD÷ÕQÕ�LIDGH�HWPHNWHGLU�
Örnek 3. Düzlemde, dik koordinat sistemi ilH�XoODN�NRRUGLQDW�VLVWHPL�DUDVÕQGD θcosrx = ve θsinry =
G|Q�ú�P�IRUP�OOHUL�YDUGÕU� r ve θ¶\Õ��x ve y’nin fonksiyonu olarak ifade etmeden, dx
dr ve
dx
dθ
türevlerini bulunuz.
Çözüm. Düzlemin (x,y�� QRNWDODUÕQÕ� ),(),( yxyxF =G
vektörleriyle temsil edersek, uçlak
koordinatlarda )sin,cos(),(),(),( θθθ rrrFyxFyx ===GG �\D]DELOLUL]��=LQFLU�NXUDOÕQÕ� ),( θrF
G
YHNW|U�GH÷HUOL�IRQNVL\RQXQD�X\JXODUVDN
x
F
x
r
r
F
x
F
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ θ
θ
GGG (*)
olur. Burada
108
)sin,(cos θθ=∂∂
r
FG
ve
)sin,sin( θθθ
rrF
−=∂∂G
dir.�$\UÕFD ),(),( yxrF =θG
HúLWOL÷LQGHQ�GH
)0,1(),(
=∂
∂x
rF θG
olur.�%XQD�J|UH�� ��HúLWOL÷LQL�YHNW|UHO�IRUPGD�\HQLGHQ
x
rrx
r
∂∂
−+∂∂
=θθθθθ )cos,sin()sin,(cos)0,1(
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]��%X�YHNW|UHO�GHQNOHP�\HULne
0cossin
1sincos
=∂∂
+∂∂
=∂∂
−∂∂
xr
x
r
xr
x
r
θθθ
θθθ
skaler denklem sistemini yazabiliriz. Bu denklem sistemi çözülerek
rxx
r θθθ sincos
−=
∂∂
=∂∂ YH
elde edilir.
%HQ]HU� RODUDN� H÷HU�� ),,( zyxfg = � úHNOLQGH� �o� GH÷LúNHQOL� ELU� IRQNVL\RQ� YHULOLU� YH� x, y ve z
VHUEHVW�GH÷LúNHOHULQLQ�KHU�ELULQLQ��|UQH÷LQ�ELU�t�SDUDPHWUHVLQH�ED÷OÕ�IRQNVL\RQODU�ROGX÷X�NDEXO�HGLOLUVH��EX�GXUXPGD������LOH�YHULOHQ�]LQFLU�NXUDOÕ
dt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
df
dt
dg
∂∂
+∂∂
+∂∂
== (16)
ELoLPLQGH�JHQLúOHWLOHELOLU�
Son olarak, ),,( zyxfg = fonksiyonunda x, y ve z GH÷LúNHQOHULQLQ�KHU�ELULQLQ�u ve v’nin birer
IRQNVL\RQX�ROGX÷XQX�NDEXO�HGHOLP� ),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx === .
Bu durumda, f’nin, u ve v¶\H�J|UH�NÕVPL�W�UHYOHUL
109
u
z
z
f
u
y
y
f
u
x
x
f
du
df
du
dg
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
== , (17a)
v
z
z
f
v
y
y
f
v
x
x
f
dv
df
dv
dg
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
== (17b)
olur.
Örnek 4. 0222 =++ xyyx NDSDOÕ�IRQNVL\RQX�LoLQ� dxdy / türevini bulunuz.
Çözüm. xyyxyxf 2),( 22 ++= WDQÕPODPDVÕQÕ�\DSDUVDN
2 2
12 2
x
y
fdy x y
dx f y x
+= − = − = −
+
elde ederiz.
3.6. Tam Diferansiyel
2RD ⊂ � E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� ),( yxfz = fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve y¶H� J|UH� NÕVPL�
W�UHYOHUL� WDQÕPOÕ� YH� V�UHNOL� ROVXQODU�� x ve y� GH÷LúNHQOHULQH�� VÕUDVÕ\OD� h ve k� DUWPDODUÕ�YHULOGL÷LQGH�z�ED÷OÕ�GH÷LúNHQLQGH�RUWD\D�oÕNDQ�artma�PLNWDUÕ z∆ olsun. Buna göre,
),(),( yxfkyhxfz −++=∆ (1)
veya
),(),(),(),( yxfkyxfkyxfkyhxfz −+++−++=∆ (2)
\D]DELOLUL]��(úLWOL÷LQ�VD÷�WDUDIÕQGDNL�LON�LNL�YH�VRQ�LNL�WHULP�NHQGL�DUDODUÕQGD�JUXSODQGÕUÕOÕU�YH�ELU�GH÷LúNHQOL�IRQNVL\RQODUGD�WDQÕPODQDQ�diferansiyel�KHVDEÕQ�RUWDODPD�GH÷HU�WHRUHPL�dikkate
DOÕQÕUVD 10),,(),(),( 11 <<++=+−++ θθ kyhxhfkyxfkyhxf x (3a)
10),,(),(),( 22 <<+=−+ θθ kyxkfyxfkyxf y (3b)
\D]ÕODELOLU� xf ve yf � NÕVPL� W�UHYOHULQLQ� V�UHNOL� ROPDVÕ� QHGHQL ve sonlu artmalar teoremi
JHUH÷LQFH
11 ),(),( εθ +=++ yxfkyhxf xx (4a)
22 ),(),( εθ +=+ yxfkyxf yy (4b)
yazabiliriz (burada, 1ε ve 2ε , h ve k�LOH�ELUOLNWH�D\QÕ�]DPDQGD�VRQVX]�N�o�N�LNL�QLFHOLNWLU���2�KDOGH������ED÷ÕQWÕVÕ
khyxkfyxhfz yx 21),(),( εε +++=∆ (5)
110
olur. h1ε ve k2ε niceliklerinin, h ve k¶\D� J|UH� LNLQFL� GHUHFHGHQ� VRQVX]� N�o�N� GH÷HUOHU�ROGXNODUÕQD dikkat edilmelidir. ),(),( yxkfyxhf yx + �QLFHOL÷LQH� z∆ ¶QLQ�DVDO�GH÷HUL�denir.
7DQÕP��. 2RD ⊂ � E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� ),( yxfz = fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve y’e göre
NÕVPL�W�UHYOHUL�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�ROVXQODU��dx ve dy��VÕUDVÕ\OD��x ve y�VHUEHVW�GH÷LúNHQOHULQGHNL�DUWPD�PLNWDUODUÕ olmak üzere
dyyxfdxyxfdz yx ),(),( += (7)
ifadesine, ),( yxfz = fonksiyonunun tam diferansiyeli denir.
����ED÷ÕQWÕVÕQGD�h=dx ve k=dy�DOÕQÕU�YH�����WDP�GLIHUDQVL\HOL�LOH�NDUúÕODúWÕUÕOÕUVD khdzz 21 εε ++=∆ (8)
elde edilir. O halde, tam diferansiyel fonkVL\RQGDNL�DUWPD�PLNWDUÕ�GH÷LO�IDNDW�RQD�oRN�\DNÕQ�ELU�GH÷HUGLU�� 01 →hε ve 02 →kε �ROGX÷XQD�GLNNDW�HGLQL]).
Örnek 1. )ln( yxxyz += fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz.
Çözüm.
dyyx
xyyxxdx
yx
xyyxydz
+
+++
+
++= )ln()ln(
Örnek 2. )arctan(xyz = fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz.
Çözüm.
222222 111 yx
xdyydxdy
yx
xdx
yx
ydz
++
=+
++
=
Örnek 2. yxez
/= fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz.
Çözüm.
[ ]xdyydxy
edye
y
xdxe
ydz
yxyxyx −=−=
2
//
2
/1
111
3.7. Tam DiferansiyelLQ�*HRPHWULN�$QODPÕ ),( yxfz = fonksiyonu ile verilen bir sE yüzeyini�GLNNDWH�DODOÕP� Bu yüzeye, üzerindeki bir
),,( 0000 zyxN �QRNWDVÕQGD�WH÷HW�RODQ� TE düzlemi��ùHNLO�����, 0000000 ))(,())(,(),( zyyyxfxxyxfyxFZ yx +−+−== (1)
denklemi ile verilir. Burada, )),(,,( yxFyxM � GH÷LúNHQ� QRNWDVÕ, söz konusu TE WH÷HW�düzleminin, )),(,,( yxfyxN GH÷LúNHQ� QRNWDVÕ� ise sE � \�]H\LQLQ� QRNWDODUÕQÕ� WHPVLO� HWsinler.
),(),( 00 yxyx = ROPDVÕ� GXUXPXQGD, 0zZ = � RODFD÷Õ� DoÕNWÕU�� (÷HU, xy-düzleminde, ),( 00 yx
QRNWDVÕQGDQ� dxxx += 0 ve dyyy += 0 ile verilen bir ),( 00 dyydxx ++ � QRNWDVÕQD� \HU�GH÷LúWLULOLUVH� EX� GXUXPGD, 0zZdz −= � IDUNÕ� TE WH÷HW� düzleminin, ),( 00 dyydxx ++
QRNWDVÕQGDNL� NRWX� �xy-G�]OHPLQH� J|UH� \�NVHNOL÷L�� LOH� sE yüzeyinin, ),( 00 yx � QRNWDVÕQGDNL�),( 000 yxfz = �NRWX�DUDVÕQGDNL��NRW��IDUNÕQÕ�YHULU� 0zzz −=∆ �IDUNÕ ise sE �\�]H\LQLQ��VÕUDVÕ\OD�
),( yx ve ),( 00 yx � QRNWDODUÕQGDNL� NRW� IDUNÕGÕU�� ùHNLO� ���¶GHQ� DQODúÕODFD÷Õ� �]HUH�� 0→dx ve
0→dy durumunda )()( 00 zZdzzzz −=→∆=− olur. Bu NRúXOODU�DOWÕQGD�� (1) denklemini
yeniden
dyyxfdxyxfdz yx ),(),( 0000 += (2)
biçiminde yazabiliriz. O halde, ),( yxfz = fonksiyonunun, ),( 00 yx � QRNWDVÕQGDNL� tam
diferansiyelini, geometrik olarak, ),( yxfz = yüzeyine, üzerindeki ),,( 000 zyx � QRNWDVÕQGDQ�
112
çizilen WH÷HW� G�]OHPLQ�� ),( 00 dyydxx ++ � QRNWDVÕQGDNL� NRWX� LOH ),( yxfz = yüzeyinin,
),( 00 yx �QRNWDVÕQGDki ),( 000 yxfz = �NRWX�DUDVÕQGDNL�IDUN�úHNOLQGH�LIDGH�HGHELOLUL]�
0→dx ve 0→dy �ROPDVÕ�GXUXPXQGD��\DQL�VHUEHVW�GH÷LúNHQOHUGHNL�DUWPDODUÕQ��GH÷LúLPOHULQ)
oRN�oRN�N�o�N�ROPDVÕ�GXUXPXQGD, zyxfdyydxxfdz ∆=−++→ ),(),( 0000 �RODFD÷Õ�DoÕNWÕr. Bundan yararlanarak,� VHUEHVW� GH÷LúNHQOHU� �]HULQGH� RUWD\D� oÕNDQ� N�o�N� KDWDODUÕQ, z� ED÷OÕ�GH÷LúNHQLQGH� RUWD\D� oÕNDUDFDNODUÕ� toplam hata\Õ�� (2) ile verilen tam diferansiyel formülü
\DUGÕPÕ\OD��\DNODúÕN�RODUDN�KHVDSODyabiliriz
3.8��+DWD�+HVDEÕ ),( yxfz = fonksiyonu verilsin. x ve y�VHUEHVW�GH÷LúNHQOHULQLQ�GH÷HUOHUL� x∆ ve x∆ hata ile
belli ise z�ED÷OÕ�GH÷LúNHQLQGH�RUWD\D�oÕNDFDN�KDWD��WDP�GLIHUDQVL\HOGHQ�\DUDUODQÕODUDN��\DNODúÕN�olarak
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )z x y x y
z dz f x y dx f x y dy f x y x f x y yε∆ = ∆ ≅ = + ≤ ∆ + ∆ (1)
ifadesi ile bulunabilir.
Örnek 1�� %LU� GLNG|UWJHQLQ� NHQDU� X]XQOXNODUÕ� 2± mm hata ile 12 cm ve 9 cm olarak
|Oo�OP�úW�U��'LNG|UWJHQLQ�DODQÕQÕ�KDWDVÕ\OD�ELUOLNWH�EHOLUWLQL]�
Çözüm��'LNG|UWJHQLQ�NHQDU�X]XQOXNODUÕQÕ�x ve y ile gösterirsek alan fonksiyonu
xyyxfA == ),(
olur. 120 =x ve 90 =y �DOÕQÕUVD
�FP108912)9,12( =×== fA
elde edilir.�ùLPGL�GH�DODQ�KDWDVÕQÕ�KHVDSOD\DOÕP. A¶QÕQ�WDP�GLIHUDQVL\HOL�DOÕQÕUVD xdyydxdA +=
olur. Buna göre, hata formülünden
0 0 0 0zA dA y dx x dy y x x yε∆ = ∆ ≅ = + ≤ ∆ + ∆
elde ederiz. FP2.0=∆=∆ yx �ROGX÷XQGDQ
�FP2.42.0122.09 =×+×≤∆A
olur. O halde,�V|]NRQXVX�GLNG|UWJHQLQ�DODQÕ�LoLQ
113
�FP2.4108 ±=A
yazabiliriz.
3.9. Gradiyent
Teorem 1. ),( yxfz = � IRQNVL\RQX� WDQÕP�N�PHVLQLQ�ELU� � ),( 00 yx � QRNWDVÕQGD� W�UHYOHQHELOLU�ise, bu noktada her jiu
GGGβα +=0 birim vektörü GR÷UXOWXsunda da GR÷UXOWX�W�UHYL�YDUGÕU�YH�EX�
türev
),(),(),( 0000000yxfyxfyxfD yxu βα +=G (1)
dir.
øVSDW. Kesim 3.6’nin (1) ve (5) formüllerinde th α= ve tk β= �DOÕQÕUVD
t
yxftytxfyxfD
tu
),(),(lim),( 0000
0000
−++=
→
βαG (2)
ya da
[ ] [ ]t
yxftyxftyxftytxfyxfD
tu
),(),(),(),(lim),( 00000000
0000
−+−+−++=
→
βββαG (3)
yazabiliriz. 'LIHUDQVL\HO� KHVDEÕQ� RUWDODPD� GH÷HU� YH� VRQOX� DUWPDODU� WHRUHPOHUL� Eirlikte
J|]|Q�QH�DOÕQÕUVD��EN]��.HVLP��������D�����E�����D��YH���E��IRUP�OOHUL��
t
tyxtftyxtfyxfD
yx
tu
200100
000
),(),(lim),(
0
βεβαεα +++=
→G
ya da
)(lim),(),(),( 210
0000000βεαεβα +++=
→tyxu yxfyxfyxfDG (4)
ED÷ÕQWÕVÕ�HOGH�HGLOLU� 0→t �GXUXPXQGD�VD÷�WDUDIWDNL�OLPLWLQ�GH�VÕIÕUD�JLGHFH÷LQL�ELOL\RUXz. Bu
QHGHQOH�����ED÷ÕQWÕVÕQÕ ),(),(),( 0000000
yxfyxfyxfD yxu βα +=G (5)
ELoLPLQGH�\D]DELOLUL]��%|\OHFH�LVSDW�WDPDPODQPÕú�ROXU�
7DQÕP�1 (Gradiyent). ����ED÷ÕQWÕVÕQÕQ�YHNW|UHO�J|VWHULPL� [ ][ ]jijyxfiyxfyxfD yxu
GGGGG βα ++= ),(),(),( 0000000
(6)
114
GLNNDWH�DOÕQGÕ÷ÕQGD�RUWD\D�oÕNDQ� ),( 00 yxfjy
ix
∂∂
+∂∂ GG
ifadesine, ),( yxfz = fonksiyonunun,
),( 00 yx �QRNWDVÕQGDNL�JUDGL\HQWL�GHQLU�YH�
jyxfiyxfjy
yxfi
x
yxfyxf yx
GGGGG),(),(
),(),(),( 0000
000000 +=
∂∂
+∂
∂=∇ (7)
úHNOLQGH�J|VWHULOLU��EXUDGD�� f∇G
ifadesi “nabla f ” biçiminde okunur).
BunD�J|UH������ED÷ÕQWÕVÕQÕ��JUDGL\HQW�WDQÕPÕQÕ�GLNNDWH�DODUDN
),(),( 000000yxfuyxfDu ∇=
GGG (8)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]� O halde, bir ),( yxfz = fonksiyonunun, ),( 00 yx �QRNWDVÕQGD�YH� 0uG
birim
YHNW|U��GR÷UXOWXVXQGDNL� GR÷UXOWX� W�UHYL�� IRQNVL\RQXQ�EX�QRNWDGDNL� JUDGL\HQWL� LOH� 0uG
birim
YHNW|U�Q�Q�VNDOHU�oDUSÕPÕQD�HúLWWLU� Gradiyent vektörü ile 0uG �ELULP�YHNW|U��DUDVÕQGDNL�DoÕ\Õ�
θ ile gösterirsek, skaler�oDUSÕP�WDQÕPÕQGDQ
θcos),(),( 000000uyxfyxfDu
GGG ∇= (9)
yazabiliriz. Buna göre, ),( yxfz = fonksiyonunun GR÷UXOWX� W�UHYOHULQLQ� HQ� E�\�N�GH÷HUOLVL��0=θ için elde edilir ki, bu da f∇
G veNW|U��GR÷UXOWXVXQdaki GR÷UXOWX�türevidir. %DúND�GH÷LúOH��
),( yxfz = fonksiyonu,� HQ� KÕ]OÕ, f∇G � YHNW|U�� GR÷UXOWXVXQGD� GH÷LúPHNWHGLU�� %HQ]HU� RODUDN��
),( yxfz = � IRQNVL\RQXQXQ� HQ� \DYDú� GH÷LúLP� J|VWHUGL÷L� GR÷UXOWX� LVH� f∇−G
vektörü ( πθ = )
yönündedir.
7DQÕP� 2 �ho� GH÷LúNHQOL� IRQNVL\RQODUÕQ� JUDGL\HQWL�.� ho� GH÷LúNHQOL� ELU� ),,( zyxfg =
fonksiyonunun gradiyenti
kz
zyxfj
y
zyxfi
x
zyxfzyxfg
GGGGG∂
∂+
∂∂
+∂
∂=∇=∇
),,(),,(),,(),,( 000000000
000 (10a)
ya da
kzyxfjzyxfizyxfzyxfg zyx
GGGGG),,(),,(),,(),,( 000000000000 ++=∇=∇ (10b)
úHNOLQGH�WDQÕPODQÕU.
Örnek 1. yxz2= yüzeyinin P���� ��� QRNWDVÕQGD� YH� )4,3(A
G � \|Q�QGHNL� GR÷UXOWX� W�UHYLQLQ�GH÷HULQL�EXOXQX]�
115
Çözüm. )4,3(AG
yönündeki birim vektör )5
4,
5
3(0u
G ve yxyxfz 2),( == fonksiyonunun
gradiyenti
jxixyfGGG
22 +=∇
dir. Gradiyentin P�������QRNWDVÕQGDNL�GH÷HUL�KHVDSODQÕUVD jif P
GGG+=∇ 2
elde edilir. O halde, P�������QRNWDVÕQGD�YH� )4,3(AG �\|Q�QGHNL�GR÷UXOWX�W�UHYL
25
4
5
6)
5
4
5
3)(2()1,1( 00
=+=++=∇= jijiuffD pu
GGGGGGG
olur.
Örnek 2. yxz 32 += yüzeyinin, ox-ekseni ile 30o� DoÕ� \DSDQ� GR÷UXOWXGDNL� W�UHYLQL� YH� EX�türevin P�������QRNWDVÕQGDNL�GH÷HULQL�EXOXQX]�
Çözüm. ox-ekseni ile 30o� DoÕ� \DSDQ� GR÷UXOWXGDNL� ELULP� YHNW|U )2
1,
2
3(0u
G’dir.
yxyxfz 32),( +== fonksiyonunun gradiyenti
jifGGG
32 +=∇
ve )2
1,
2
3(0u
G �\|Q�QGHNL�GR÷UXOWX�W�UHYL�LVH
2
33)
2
1
2
3)(32(),( 00
+=++=∇= jijiufyxfDu
GGGGGGG
olup sabittir. Yani, yxyxfz 32),( +== fonksiyonunun, )2
1,
2
3(0u
G yönündeki türevleri,
IRQNVL\RQXQ� WDQÕP� N�PHVLQLQ� KHU� \HULQGH� D\QÕ� GH÷HUGHGLU�� %X� GD� IRQNVL\RQXQ� EHOLUWWL÷L�\�]H\LQ�ELU�G�]OHP�ROPDVÕQGDQ�ND\QDNODQPDNWDGÕU�
Teorem 2�� (÷HU�� ),( yxfz = � IRQNVL\RQX�� WDQÕP� N�PHVLQLQ� ELU� ),( 00 yx � QRNWDVÕQGD�diferansiyellenebilirse ve ),( 00 yxf , ),( yxfz = �IRQNVL\RQXQ�ELU�\HUHO�HNVWUHPXP�GH÷HUL�LVH�bu durumda
0),( 00 =∇ yxfG
olur.
116
øVSDW. ),( yxfz = fonksiyonu, ),( 00 yx � QRNWDVÕQGD� GLIHUDQVL\HOOHQHELOLU� ROGX÷XQGDQ�� EX�noktada sürekli ve� KHU� GR÷UXOWXGD� GR÷UXOWX� W�UHYLQH� VDKLSWLU�� (÷HU� ),( 00 yxf , bir yerel
ekstremum ise, herhangi bir ),(0 βαuG �ELULP�YHNW|U��GR÷UXOWXVXQGDNL�GR÷UXOWX�W�UHYL
0),(),(
lim),( 0000
0000
=−++
=→ t
yxftytxfyxfD
tu
βαG (11)
ROPDOÕGÕU�� %XUDGDQ�� |]HO� RODUDk )0,1(0uG � GR÷UXOWXVX� LoLQ� 0),( 00 =yxf x , )1,0(0u
G � GR÷UXOWXVX�için de 0),( 00 =yxf y � HOGH� HGLOLU�� %|\OHFH� JUDGL\HQW� WDQÕPÕ� JHUH÷LQFH�� \HUHO� HNVWUHPXP�QRNWDVÕQGD� 0),( 00 =∇ yxf
G (12)
olur.
7HRUHP� �� �2UWDODPD� GH÷HU� WHRUHPL�. ),( yxfz = fonksiyonu, bir D bölgesinin her
QRNWDVÕQGD�V�UHNL�NÕVPL�W�UHYOHUH�VDKLS�YH� DPP ∈10 , �QRNWDODUÕQÕ�ELUOHúWLUHQ�GR÷UXQXQ�WDPDPÕ�D bölgesinde olsun. Bu durumda
))(()()( 0101 PPPfPfPfGGGGG
−∇=− ∗
RODFDN�úHNLOGH�ELU� DP ∈∗ �QRNWDVÕ�YDUGÕU�
øVSDW. ),( 000 yxP = � QRNWDVÕQÕ� ),( 111 yxP = � QRNWDVÕQD� ELUOHúWLUHQ [ ]10PP � GR÷UX� SDUoDVÕQÕQ�denklemi, [ ]1,0∈t olmak üzere,
tyy
yy
xx
xx=
−−
=−−
01
0
01
0 (13)
dir. Buradan, [ ]10PP �GR÷UX�SDUoDVÕQÕQ parametrik denklemleri olarak
[ ]1,0),()(
)()(
010
010
∈=−+==−+=
ttgyytyy
thxxtxx (14)
yazabiliriz. Böylece,
)())(),((),( tFtgthfyxfz =≡= (15)
úHNOLQGH�WHN�GH÷LúNHQNL�ELU� )(tF foQNVL\RQX�WDQÕPOD\DELOLUL]� Burada
)())1(),1(()1(
)())0(),0(()0(
1
0
PfghfF
PfghfF GG
==
== (16)
117
RODFD÷Õ� NROD\FD� J|U�O�U� ),( yxf fonksiyonu D bölgesinde ve h(t) ve g(t�� IRQNVL\RQODUÕ� GD�[ ]1,0 � DUDOÕ÷ÕQGD� W�UHYOHQHELOLU� ROGXNODUÕQGDQ� F(t) fonksiyonu da [ ]1,0 � DUDOÕ÷ÕQGD�türevlenebilirdir. Böylece, [ ]1,0∈τ � ROPDN� �]HUH�� WHN� GH÷LúNHQOL� IRQNVL\RQODUGD� RUWDODPD�GH÷HU�WHRUHPL�JHUH÷LQFH )()01)(()0()1( ττ FFFF ′=−′=− (17)
\D]ÕODELOLU��=LQFLU�NXUDOÕ�JHUH÷LQFH
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dF
∂∂
+∂∂
= (18)
RODFD÷ÕQGDQ
))(())(()( 0101 yyfxxfdt
dFyx −+−= τττ (19)
olur.
)( 010 xxxx −+=∗ τ (20a)
ve
)( 010 yyyy −+=∗ τ (20b)
ED÷ÕQWÕODUÕ� LOH� WDQÕPODQDQ� ),( ∗∗∗ yxP � QRNWDVÕ�� 0P ¶Õ�� 1P ¶H� ELUOHúWLUHQ� GR÷UX� �]HULQGHGLU� YH� EX�nedenle DyxP ∈∗∗∗ ),( ¶GLU��%|\OHFH������ED÷ÕQWÕVÕQÕQ�HúGH÷HUL�RODUDN� ))(()( 01 PPPfF
GGG−∇=′ ∗τ (21)
ED÷ÕQWÕVÕQÕ�������YH������ED÷ÕQWÕODUÕ�\DUGÕPÕ\OD�GD� ))(()()( 0101 PPPfPfPf
GGGGG−∇=− ∗ (22)
elde ederiz.
Örnek 3. yxeyxf
+=),( fonksiyonu veriliyor. )1,0(0P ve )2,1(1P �QRNWDODUÕ�DUDVÕQGD
)(
)()()(
01
01
PP
PfPfPf GG
GGG−−
=∇ ∗
RODFDN�úHNLOGH�ELU� ),( ∗∗∗ yxP �QRNWDVÕ�EXOXQX]�
Çözüm. [ ]1,0∈t olmak üzere, )1,0(0P ve )2,1(1P � QRNWDODUÕQÕ� ELUOHúWLUHQ� GR÷UX� SDUoDVÕQÕQ�parametrik denklemleri
[ ]1,0),(1)12(1
)()01(0
∈=+=−+===−+=
ttgtty
thttx
118
12))(),(()( +== tetgthftF , [ ]1,0∈t fonksiyonunda
)()0( 0PfeFG
== ve )()1( 13
PfeFG
==
olur.� %XQD� J|UH� WHN� GH÷LúNHQOL� F(t�� IRQNVL\RQX� LoLQ� RUWDODPD� GH÷HU� WHRUHPLQGHQ�� [ ]1,0∈τ
olmak üzere
2
1ln
2
)()0()1(
2
123
−=⇒
=−⇒
′=−+
e
eee
FFF
τ
ττ
elde ederiz. O halde,
2
1ln)(
2 −==∗
ehx τ ,
2
1ln1)(
2 −+==∗
egy τ
ve aranan nokta da
)2
1ln1,
2
1(ln),(
22 −+
−=∗∗∗
eeyxP
olur. Bu nokta için
eePfPf −=− 321 )()(
KG
ve
)()(
2
12
22
)())((
21
32
2
1ln2
2
1ln21
2
1ln21
2
1ln21
01
22
22
PfPf
eee
e
eee
jijeiePPPf
ee
ee
KG
GGGGGGG
−=
−=−
=
==
+
+=−∇
−−+
−+
−+
∗
elde edilir.
������.DSDOÕ�)RQNVL\RQODUGD�7ürev
n-GH÷LúNHQOL� ELU� NDSDOÕ� IRQNVL\RQ� 1 2( , ,..., ) 0n
f x x x = � úHNOLQGH� WDQÕPODQÕU�� Burada LVSDWÕQÕ�YHUPH\HFH÷Lmiz “YDUOÕN� WHRUHPOHUL”, KDQJL� NRúXOODU� VD÷ODQGÕ÷ÕQGD�� ELU� NDSDOÕ� IRQNVL\RQXQ�GH÷LúNHQOHULQGHQ�ELULQLQ��GL÷HUOHULQLQ�IRQNVL\RQX�RODUDN�\D]ÕODELOHFH÷LQL�RUWD\D�NR\DUODU�
119
Teorem 1 �*HQHO� YDUOÕN� WHRUHPL�. nD R⊂ bir DoÕN� E|OJH, f, 1 2( , ,..., ) 0n
f x x x = � úHNOLQGH�WDQÕPODQDQ� YH� ELULQFL� PHUWHEHGHQ� E�W�Q� NÕVPL� W�UHYOHUL� D bölgesinde sürekli olan, n-
GH÷LúNHQOL�ELU�NDSDOÕ�IRQNVL\RQ, 0( )c i
N x , 0ix ¶ÕQ�ELU�c�NRPúXOX÷X�� 10 1,0 1,0 0( ,..., , ,... )n n n
N x x x xδ − +
ise 110 1,0 1,0 0( ,..., , ,... ) n
n n nx x x x R −
− + ∈ � QRNWDVÕQÕQ� bir δ -NRPúXOX÷X� ROVXQ�� (÷HU�� 0 10 20 0( , ,..., )
nP x x x D= ∈ için, 10 20 0( , ,..., ) 0
nf x x x = ve 10 20 0( , ,..., ) 0
ix nf x x x ≠ oluyorsa bu
durumda,
0 10 1,0 1,0 0 0( ,..., , ,... ) ( )i n n n c i
x g x x x x N x− += ∈
RODFDN� úHNLOGH� Wek bir 0 10 1,0 1,0 0( ,..., , ,... )i n n n
x g x x x x− += fonksiyonu bulunabilir. Yani,
0 10 1,0 1,0 0( ,..., , ,... )i n n n
x g x x x x− += fonksiyonu, 1 2( , ,..., ) 0n
f x x x = fonksiyonunun, 0ix ’a göre
çözümüdür.
%XQGDQ�VRQUDNL�NÕVÕPODUGD�DUWÕN�YDUOÕN�WHRUHPL\OH�LOJLOHQPH\HFHN�IDNDW�NDSDOÕ�ELoLPGH�YHULOHQ�ELU� IRQNVL\RQXQ� KHUKDQJL� ELU� GH÷LúNHQLQLQ,� RODQDNOÕ� ROPDVÕ� GXUXPXQGD,� GL÷HU� GH÷LúNHQOHU�FLQVLQGHQ�LIDGHVLQL�YH�NÕVPL�W�UHYOHULQL�DUDúWÕUDFD÷Õ]�
3.10.1. øNL�'H÷LúNHQOL�.DSDOÕ�)RQNVL\RQ
Bu, daha önce, Kesim 3.5’deki Teorem �¶GH� YHULOPLúWL�� %XQD� J|UH, 0),( =yxf NDSDOÕ�fonksiyonundan x¶H�J|UH�W�UHY�DOÕQÕUVD 0=
∂∂
+∂∂
dx
dy
y
f
x
f (1)
ve buradan da, 0y
f ≠ olmak üzere,
x
y
f
fdy xfdx f
y
∂∂= − = −∂∂
(2)
elde edilir. Bu kural uygulanarak,�GDKD�\�NVHN�PHUWHEHGHQ�W�UHYOHU�GH�HOGH�HGLOHELOLU��ùLPGL��
0),( =yxf �NDSDO�IRQNVL\RQX�LoLQ��LNLQFL�PHUWHEHGHQ�2
2
d y
dx türevini ifade edelim. Bunun için
(1) formülünü
0x y
dyf f
dx+ =
120
úHNOLQGH�\D]ÕS� x’e göre tekrar türetirsek
2
2
2 2
2
2
2
2
( ) 0
2 0
2
xx xy yx yy y
xx xy yy y
xx xy yy
y
dy dy dy d yf f f f f
dx dx dx dx
dy dy d yf f f f
dx dx dx
dy dyf f f
d y dx dx
dx f
+ + + + =
+ + + =
+ + ⇒ = −
olur. Buradan, ����ED÷ÕQWÕVÕ�\DUGÕPÕ\OD
2 22
2 3
2y xx x y xy x yy
y
f f f f f f fd y
dx f
− += − (3)
elde edilir.
Örnek 1. 2( , ) 2 0f x y x xy= + = �NDSDOÕ�IRQNVL\RQX�LoLQ� y′ ve y′′ türevleriQL�KHVDSOD\ÕQÕ]�
Çözüm. 2 2 , 2, 2 , 0, 2x xx y yy xy
f x y f f x f f= + = = = =
oOGX÷XQGDQ, 2 0y
f x= ≠ olmak üzere, (2) formülünden
2
2
1
2 2
x y x xy xyy
x x xy
+ + −′ = − = − = − = −−
,
(3) formülünden de
2 2 2
2 3
2 2 2
2 3 2 3
(2 ) 2 2 (2 2 ) (2 ) 2 (2 2 ) 0
(2 )
8 16 ( ) 2 20
8
d y x x y x x y
dx x
d y x x x y x y x xy
dx x x x
× − × + × × + + ×= −
− + + += − = = =
elde edilir.
3.10.2. Üç De÷LúNHQOL�.DSDOÕ�)RQNVL\RQ
( , , ) 0f x y z = � úHNOLQGH� �o� GH÷LúNHQOL� ELU� NDSDOÕ� IRQNVL\RQXQ� YHULOGL÷LQL� YDUVD\DOÕP�� %D÷OÕ�GH÷LúNHQ� RODUDN� z� VHoLOLU� YH� H÷HU� GL÷HUOHUL� FLQVLQGHQ� LIDGH� HGLOHELOPHVL� RODQDNOÕ� ROXUVD��
( , , ) 0f x y z = NDSDOÕ fonksiyonu yerine,� HúGH÷HUL� RODUDN, ( , )z g x y= � úHNOLQGH�ELU� IRQNVL\RQ�NXOODQÕODELOLU� z�ED÷OÕ��x ve y�VHUEHVW�GH÷LúNHQOHU�ROPDN��]HUH�� ( , , ) 0f x y z = �NDSDOÕ�IRQNVL\RQX�x’e göre türetilirse
121
0x z
zf f
x
∂+ =
∂ (1)
ve buradan da, 0zf ≠ olmak üzere,
( , )
( , )( , )
xx
z
f x yzg x y
x f x y
∂= = −
∂ (2)
elde edilir. Benzer olarak, y¶\H�J|UH�W�UHY�DOÕQDUDN�GD��\LQH� 0zf ≠ olmak üzere,
( , )
( , )( , )
y
y
z
f x yzg x y
y f x y
∂= = −
∂ (3)
elde edilir.
Örnek 1. 5 5 5( , , ) 0f x y z x y z= + − = � NDSDOÕ� IRQNVL\RQX� LoLQ� ( , )x xz g x y= ve ( , )y y
z g x y=
NÕVPL�W�UHYOHULQL�EXOXQX]�
Çözüm. (2) formülünden
4
4
( , )( , ) , 0
( , )x
x
z
f x yz xg x y z
x f x y z
∂= = − = ≠
∂
ve (3) formülünden de
4
4
( , )( , ) , 0
( , )y
y
z
f x yz yg x y z
y f x y z
∂= = − = ≠
∂
elde edilir. O halde, 0z ≠ durumunda, z�GH÷LúNHQL��x ve y�GH÷LúNHQOHUL�FLQVLQGHQ�o|]�OHELOLU��Bu \DSÕOÕUVD�� 5 55( , )z g x y x y= = + elde edilir.
��������øNL�'H÷LúNHQ�YH�øNL�%LOLQPL\HQOL�.DSDOÕ�)RQNVL\RQ�6LVWHPL x ve y de÷LúNHQOHUL�LOH�u ve v�ELOLQPL\HQOHULQGHQ�ROXúDQ
( , , , ) 0
( , , , ) 0
F x y u v
G x y u v
==
(1)
GHQNOHP�VLVWHPL�YHULOPLú�ROVXQ��%XUDGD�u ve v bilinmiyenleri, x ve y�GH÷LúNHQOHULQH
( , )
( , )
u f x y
v g x y
==
(2)
úHNOLQGH�ED÷OÕ�ROVXQODU� (1) sisteminden x¶H�J|UH�W�UHY�DOÕQDUDN
122
u x v x x
u x v x x
F f F g F
G f G g G
+ = −+ = −
(3)
sistemini elde ederiz. (3) sisteminin, x
f ve x
g ’e göre bir çözüme sahip olabilmesi için
NDWVD\ÕODU�GHWHUPLQDQWÕQÕQ�VÕIÕUGDQ�IDUNOÕ�ROPDVÕ�JHUHNLU��Yani,
0u v
u v
F FJ
G G= ≠ . (4)
NRúXOX�VD÷ODQÕUVD�����VLVWHPLQL�VD÷OD\DQ� xf ve x
g �IRQNVL\RQODU�WHN�W�UO��EXOXQDELOLU�
7DQÕP�����-DFREL�'HWHUPLQDQWÕ�. (4) formülü ile verilen
u v
u v
F FJ
G G=
GHWHUPLQHQWÕQD�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ��-DFRELDQ��GHQLU�YH� ( , )
( , )u v
u v
F FF GJ
G Gu v
∂= =
∂ (5)
úHNOLQGH�J|VWHULOLU�
0J ≠ �ROPDVÕ�GXUXPXQGD��(3) sistemi, Cramer yöntemi ile çözülerek ve Jacobi�GHWHUPLQDQWÕ�J|VWHULPL�NXOODQÕODUDN�
1 ( , )
( , )
x v
x v x v v xx
F F
G G F G F GF Gf
J x v J J
−∂= − = − = −
∂ (4a)
1 ( , )
( , )
u x
u x x u x ux
F F
G G G F F GF Gg
J u x J J
−∂= − = − = −
∂ (4b)
olur.�%HQ]HU�úHNLOGH������VLVWHPLQGHQ�y¶H�J|UH�W�UHY�DOÕQDUDN da
1 ( , )
( , )
y v
y v y v v y
y
F F
G G F G F GF Gf
J y v J J
−∂= − = − = −
∂ (5a)
1 ( , )
( , )
u y
u y y u y u
y
F F
G G G F F GF Gg
J u y J J
−∂= − = − = −
∂ (5b)
NÕVPL�W�UHYOHUL�Hlde edilir.
123
Örnek 1. 2 2u v x y
uv xy
+ = +=
Sistemi veriliyor. ( , )u f x y= ve ( , )v g x y= � ROGX÷XQD� J|UH�x
f , x
g , y
f ve y
g � NÕVPL�türevlerini bulunuz.
Çözüm. Denklem sistemini
2( , , , ) 0
( , , , ) 0
F x y u v u v x y
G x y u v uv xy
= + − − == − =
úHNOLQGH�\D]DOÕP��%XQD�J|UH�-DFRELDQ
1 1u v
u v
F FJ u v
G G v u= = = −
dir. O halde, 0J u v= − ≠ olmak üzere, (4a,b) ile (5a,b) forP�OOHUL�X\JXODQÕUVD
2 1
1 ( , ) 2,
( , )
x v
x v
x
F F x
G G y uF G xu yf
J x v J u v u v
−−∂ −
= − = − = − =∂ − −
1 2
1 ( , ) 2,
( , )
u x
u x
x
F F x
G G v yF G y xvg
J u x J u v u v
−−∂ −
= − = − = − =∂ − −
2 1
1 ( , ),
( , )
y v
y v
y
F F y
G G x uF G u xf
J y v J u v u v
−−∂ −
= − = − = − =∂ − −
1 2
1 ( , )
( , )
u y
u y
y
F F y
G G v xF G x vg
J u y J u v u v
−−∂ −
= − = − = − =∂ − −
elde edilir. ( , , , ) (1, 1,1, 1)x y u v = − − �QRNWDVÕ, verilen denklem sisteminin bir özel çözümü ve bu
GH÷HUOHU� LoLQ� J=2 ( 0≠ �� ROGX÷XQGDQ�� ( , )u f x y= ve ( , )v g x y= � IRQNVL\RQODUÕQÕQ� FHELUVHO�LIDGHOHULQL�ELOPL\RU�ROPDPÕ]D�UD÷PHQ�EX�IRQNVL\RQODUÕQ����-���QRNWDVÕQGDNL�NÕVPL�W�UHYOHULQL�kolayca hesaplayabiliriz. Buna göre, yXNDUÕGD� EXOGX÷XPX]� NÕVPL� W�UHY� IRUP�OOHULQGH� x=1,
y=-1, u=1, v=-1 alarak,
2 1 1 ( 1) 3 2 ( 1) 1 1, 0,
1 ( 1) 2 1 ( 1)
1 2 1 ( 1) 1 1 2 ( 1) ( 1), 1
1 ( 1) 2 1 ( 1)
x y
x y
f f
g g
× × − − × − × −= = = =
− − − −− − × × − − × − × −
= = = =− − − −
124
GH÷HUOHULQL�HOGH�HGHUL]��Bu durumda,�|UQH÷LQ� ( , )u f x y= fonksiyonunun (1,-���QRNWDVÕQGDNL�GH÷HUL u=f(1,-1)=1�YH�EX�QRNWDGDNL�NÕVPL�W�UHYOHULQLQ�GH÷HUOHUL�GH��VÕUDVÕ\OD���fx=3/2, fy=0’dÕr. $UWÕN�� LNL� GH÷LúNHQOL� IRQNVL\RQODUÕQ� VHUL� DoÕOÕPÕQGDQ� \DUDUODQÕODUDN�� ( , )u f x y=
fonksiyonunun, (1,-���QRNWDVÕQÕQ�NRPúXOX÷XQGDNL�EDúND�ELU�QRNWDGD�DODFD÷Õ�GH÷HU��\DNODúÕN�olarak, hesaplanabilir. Bu durumu, LNL�GH÷LúNHQOL�ELU�NDSDOÕ�IRQNVL\RQ�|UQH÷L�LoLQ�J|UHOLP�
Örnek 2. 2 3( , ) 0F x y x y xy= − = � NDSDOÕ� IRQNVL\RQX� YHULOL\RU�� ( )y f x= � ROGX÷XQD� J|UH�1.1x = için y�GH÷HULQL�EXOXQX]�
Çözüm. (x,y)=(1,1), verilen denklemin bir çözümüdür. Bu noktada 0y
F ≠ �ROGX÷XQGDQ�y’yi, x
cinsinden ( )y f x= � úHNOLQGH� \D]DELOLUL]�� O halde, ( )y f x= fonksiyonu, x=1� QRNWDVÕ�FLYDUÕQGD�7D\ORU�VHULVLQH�DoÕODUDN��f(1.1�¶LQ�\DNODúÕN�GH÷HUL�KHVDSODQDELOLU��%XQD�J|UH 2(1)
( ) (1) (1)( 1) ( 1) ...2!
ff x f f x x
′′′= + − + − +
(÷HU, 2 3( , ) 0F x y x y xy= − = WDQÕPODPDVÕQÕ�\DSDU�YH�x¶H�J|UH�W�UHY�DOÕUVDN
3
2 2
2( )
3x
y
F xy yy f x
F x y x
−′ ′= = − = −−
elde ederiz. x¶H�J|UH�ELU�NH]�GDKD�W�UHY�DOÕUVDN
3 2 2 2 3
2 2 2
2 (3 ) (6 1)(2 )( )
(3 )
y x y x xy xy yf x
x y x
− − − −′′ = −−
olur. Böylece, x ��QRNWDVÕQGD 1 1
(1) 1, (1) , (1)2 4
f f f′ ′′= = − =
GH÷HUOHULQL�HOGH�HGHUL]��Böylece, x ��QRNWDVÕ�FLYDUÕQGDNL�7D\ORU�DoÕOÕPÕ 21 1
( ) 1 ( 1) ( 1) ...2 8
f x x x= − − + − +
olur. Buradan, LNLQFL�PHUWHEHGHQ�\DNODúÕNOD, 21 1
( ) 1 ( 1) ( 1)2 8
f x x x≅ − − + −
alabiliriz. Buna göre f�����¶LQ�\DNODúÕN�GH÷HUL 21 1
(1.1) 1 0.1 (0.1) 0.95132 8
f ≅ − × + × =
dir.
125
������.RRUGLQDW�'|Q�ú�POHUL�YH�7HUV�)RQNVL\RQ
%XUDGD�GLN�NRRUGLQDW�VLVWHPOHUL�DUDVÕQGDNL�G|Q�ú�POHUL�GLNNDWH�DODFD÷Õ]���u, v��NRRUWGLQDWODUÕ��dik koordinat sisteminin bir D�E|OJHVLQLQ�HOHPDQODUÕ�ROVXQODU�
( , )
( , )
x f u v
y g u v
= =
(1)
dön�ú�P� IRUP�OOHUL� LOH� �u, v) koortdinat sisteminden, (x, y�� NRRUWGLQDW� VLVWHPLQH� G|Q�ú�P�\DSPÕú�ROXUX]���u, v��QRNWDODUÕ��uv-düzlemindeki bir D bölgesini tararken, (x, y��QRNWDODUÕ�GD�xy-düzlemindeki bir C�E|OJHVLQL�WDUDUODU��2�KDOGH������G|Q�ú�P�IRUP�OOHUL� uv-düzleminin D
bölgesini, xy-düzleminin C� E|OJHVLQH� G|Q�úW�UP�ú� ROXU�� %X� QHGHQOH�� ���� NRRUGLQDW�G|Q�ú�P�QH� ³E|OJH� G|Q�ú�P�´� GH� GHQLU�� %X� úHNLOGH� WDQÕPODQDQ� E|OJH� G|Q�ú�P�Q�� T
sembolü ile gösterirsek
:T D C→ ya da : ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))T u v x y f u v g u v→ =
yazabiliriz.
7DQÕP��� �7HUV�G|Q�ú�P�. T�� ���� LOH�YHULOHQ�G|Q�ú�P� IRUP�OOHUL� \DUGÕPÕ\OD�uv-düzleminin
bir D bölgesini, xy-düzleminin bir C� E|OJHVLQH� G|Q�úW�UHQ� E|OJH� G|Q�ú�P�� ROVXQ�� T
G|Q�ú�P�Q�Q� �-�� ROPDVÕ� KDOLQGH�� xy-düzleminin C bölgesini, uv-düzleminin D bölgesine
G|Q�úW�UHQ�E|OJH�G|Q�ú�P�QH�T�G|Q�ú�P�Q�Q�WHUVL�GHQLU�YH�T-1 ile gösterilir. Yani,
1 :T C D− →
1 : ( , ) ( , )T x y u v− →
dir. T ve T-1�G|Q�ú�POHULQL ( , ) ( , )x y T u v= (2a)
1( , ) ( , )u v T x y−= (2b)
úHNOLQGH�GH�LIDGH�HGHELOLUL]�
ùLPGL�� R2¶GH� WDQÕPOÕ� ELU� T� G|Q�ú�P�Q�Q� WHUVLQLQ� YDUOÕ÷Õ� LoLQ� JHUHN� NRúXOX� ELU� WHRUHP� LOH�verelim.
Teorem 1. (u,v�� NRRUGLQDWODUÕ� 2D R⊂ � DoÕN� E|OJHVLQL� WDQÕPODVÕQODU�� (÷HU�� ( , )x f u v= ve
( , )y g u v= � IRQNVL\RQODUÕQÕQ� ELULQFL� PHUWHEHGHQ� NÕVPL� W�UHYOHUL� D bölgesinde sürekli ve
-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ�VÕIÕU��\DQL��
( , )0
( , )
f gJ
u v
∂= ≠
∂
126
ise : ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))T u v x y f u v g u v→ = �G|Q�ú�P�Q�Q�WHUVL�YDUGÕU�YH 1 : ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))T x y u v x y x yϕ ψ− → = (3)
úHNOLQGHGLU��%DúND�ELU�GH÷LúOH������G|Q�ú�P�IRUP�OOHULQLQ�WHUVL��H÷HU�YDUVD�
( , )
( , )
u x y
v x y
ϕψ
= =
(4)
úHNOLQGHGLU�
øVSDW. Teorem, 0J ≠ � ROPDVÕ� KDOLQGH�� ���� VLVWHPLQLQ� u ve v’ye göUH� o|]�OHELOHFH÷LQL� YH�o|]�POHULQ�����ELoLPLQGH�RODFD÷ÕQÕ�LIDGH�HWPHNWHGLU������VLVWHPL��LNL�ELOLQPL\HQOL��u ve v), iki
GHQNOHPGHQ�ROXúDQ�ELU�VLVWHPGLU������VLVWHPLQL ( , , , ) ( , ) 0
( , , , ) ( , ) 0
F x y u v f u v x
G x y u v g u v y
= − = = − =
(5)
ELoLPLQGH�\HQLGHQ�\D]ÕS��x¶H�J|UH�W�UHY�DOÕUVDN
u x v x x
u x v x x
F u F v F
G u G v G
+ = − + = −
(5)
GHQNOHP� VLVWHPLQL� HOGH� HGHUL]�� ���¶LQ� WHN� W�UO�� o|]�P�Q�Q� RODELOPHVL� LoLQ� NDWVD\ÕODU�GHWHUPLQDQWÕ��-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ��VÕIÕUGDQ�IDUNOÕ��\DQL�
( , )
0( , )
u v
u v
F FF GJ
G Gu v
∂= = ≠
∂ (6)
ROPDOÕGÕU������NRúXOXQXQ�VD÷ODQPDVÕ�ux ve vx�NÕVPL�W�UHYOHULQLQ�YDUOÕ÷ÕQÕ�JDUDQWL�HGHU��%HQ]HU�olarak, (1) sisteminden y¶\H�J|UH�W�UHY�DOÕQDUDN�GD
u y v y y
u y v y y
F u F v F
G u G v G
+ = − + = −
(7)
GHQNOHP� VLVWHPL� HOGH� HGLOLU� YH� ���� NRúXOXQXQ� VD÷ODQPDVÕ� GXUXPXQGD� uy ve vy� NÕVPL�türevleULQLQ�YDUOÕ÷Õ�GD�JDUDQWLOHQPLú�ROXU��6RQXo�RODUDN�� ����NRúXOX��u ve v� IRQNVL\RQODUÕQÕQ�ELULQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHULQLQ� 2
D R⊂ �E|OJHVLQGH�YDUOÕ÷ÕQÕ�YH�V�UHNOLOLNOHULQL�JDUDQWL�HGHU�� %X� LVH� D\QÕ� E|OJHGH��u ve v� IRQNVL\RQODUÕQÕQ� YDUOÕ÷Õ� DQODPÕQD� JHOLU��2� KDOGH��u ve v
IRQNVL\RQODUÕ��x ve y¶\H�ED÷OÕ�RODUDN
( , )
( , )
u x y
v x y
ϕψ
= =
(8)
úHNOLQGH� \D]ÕODELOLU�� $\UÕFD�� ���� YH� ���� VLVWHPOHUL� D\UÕ� D\UÕ� o|]�OHUHN� u(x,y) ve v(x,y)
IRQNVL\RQODUÕQÕQ�NÕVPL�W�UHYOHUL
127
1
01 ( , )
( , )
x v v
x v v vx x
u v u v
u v u v
F F f
G G g gF Gu
F F F FJ x v J
G G G G
ϕ
−
∂= = − = − = − =
∂ (9a)
1
01 ( , )
( , )
u x u
u x u ux x
u v u v
u v u v
F F f
G G g gF Gv
F F F FJ u x J
G G G G
ψ
−
∂= = − = − = − =
∂ (9b)
0
11 ( , )
( , )
y v v
y v v v
y y
u v u v
u v u v
F F f
G G g fF Gu
F F F FJ y v J
G G G G
ϕ−∂
= = − = − = − =∂
(9c)
0
11 ( , )
( , )
u y u
u y u u
y y
u v u v
u v u v
F F f
G G g fF Gv
F F F FJ u y J
G G G G
ψ−∂
= = − = − = − =∂
(9d)
úHNOLQGH�HOGH�HGLOHELOLU�
Örnek 1. T : ( , )
( , )
x f u v
y g u v
==
NRRUGLQDW�G|Q�ú�P�Q�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ�J ( 0J ≠ ) ve Jacobi matrisi TJ ;
T ′ : ( , )
( , )
u x y
v x y
ϕψ
==
WHUV�NRRUGLQDW�G|Q�ú�P�Q�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ� J ′ ( 0J ′ ≠ ) ve Jacobi matrisi TJ ′ olsun. Bu
LNL�G|Q�ú�P�Q�-DFREL�PDWULVOHULQLQ�ELUELUOHULQLQ�WHUVL�\DQL� 1
T TJ J
−′ =
ROGX÷XQX�J|VWHULQL]�
Çözüm������YH�����ED÷ÕQWÕODUÕQGDQ�\DUDUODQDUDN� T :
( , )
( , )
x f u v
y g u v
==
koordLQDW�G|Q�ú�P�Q�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ�LoLQ�� 0J ≠ �YDUVD\Õ\RUX]�
128
( , )
( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
u v
u v
u v u v
u v u v
F FF GJ
G Gu v
f f x x
g g y y
f g x y
u v u v
∂= = =
∂
= = =
∂ ∂= =
∂ ∂
yazabiliriz. O halde, Jacobi matrisi
u v
T
u v
x xJ
y y
=
olur. Benzer olarak,
( , )
( , )
u x y
v x y
ϕψ
==
G|Q�ú�P�Q�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ� J ′ ( 0J ′ ≠ �YDUVD\Õ\RUX]�
( , )
( , )
( , )
( , )
f g
f g
x y x y
x y x y
u uu vJ
v vf g
u uu v
v vx g
ϕ ϕψ ψ
∂′ = = =∂
∂= = =
∂
ve Jacobi matrisi de
x y
T
x y
Jϕ ϕψ ψ′
=
olur. Buradan
x y x u y u x v y vu v
T T
x y x u y u x v y vu v
x y x yx xJ J
x y x yy y
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕψ ψ ψ ψ ψ ψ′
+ + ⋅ = ⋅ = + +
elde edilir.
( , )
( , )
u x y
v x y
ϕψ
==
HúLWOLNOHULQLQ�u ve v¶\H�J|UH�W�UHYOHUL�DOÕQÕUVD
1 ; 0 ;
0 ; 1x u y u x v y v
x u y u x v y v
x y x y
x y x y
ϕ ϕ ϕ ϕψ ψ ψ ψ
= + = += + = +
elde edilir. O halde,
1 0
0 1T TJ J I′
⋅ = =
yani,
129
1T T
J J −′ =
olur.� 2� KDOGH�� WHUV� G|Q�ú�POHULQ� -DFREL� GHWHUPLQDQWODUÕ� DUDVÕQGD� GD� 1 1J J −⋅ = � ED÷ÕQWÕVÕ�vardÕU�
Örnek 2. F�LNL�GH÷LúNHQOL�IRQNVL\RQX�YHULOL\RU�� ( , ) 0F x z y z+ − =
GHQNOHPL\OH�WDQÕPODQDQ� ( , )z z x y= fonksiyonunun
1x y
z z− = −
GHQNOHPLQL�VD÷ODGÕ÷ÕQÕ�J|VWHULQL]�
Çözüm. ( , ) 0F x z y z+ − = denklemine u x z= + ve v y z= − �G|Q�ú�POHULQL�X\JXODUVDN
( , ) 0F u v =
elde ederiz. Buradan, x ve y¶\H�J|UH�W�UHY�DOÕQÕUVD 0
dF F u F v
dx u x v x
∂ ∂ ∂ ∂= + =
∂ ∂ ∂ ∂
ve
0dF F u F v
dy u y v y
∂ ∂ ∂ ∂= + =
∂ ∂ ∂ ∂
ROXU��'|Q�ú�P�IRUP�OOHULQe göre
1 , , , 1x y x y
u u v vz z z z
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂= + = = − = −
∂ ∂ ∂ ∂
ROGX÷XQGDQ
(1 ) 0
(1 ) 0
u x v x
u y v y
dFF z F z
dx
dFF z F z
dy
= + − =
= + − =
ROXU��%X�HúLWOLNOHUGHQ� xz ve y
z �NÕVPL�W�UHYOHUL�oHNLOLUVH
,u vx y
u v u v
F Fz z
F F F F= − = −
− −
elde edilir. Buradan da
( ) 1u v u ux y
u v u v u v
F F F Fz z
F F F F F F
−− = − − − = − = −
− − −
elde edilir.
130
Örnek 3. Dik koordinatlarda
veu v u v
x y y x
∂ ∂ ∂ ∂= = −
∂ ∂ ∂ ∂ (*)
HúLWOLNOHULQL�VD÷OD\DQ� ( , )u u x y= ve ( , )v v x y= �IRQNVL\RQODUÕ�YHULOL\RU�� cos ; sinx r y rθ θ= =
G|Q�ú�P�IRUP�OOHUL�LOH�XoODN�NRRUGLQDWODUD�JHoLOGL÷LQGH��u ve v�IRQNVL\RQODUÕQÕQ�KHU�ELULQLQ
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 10, 0
u u u v v v
r r r r r r r rθ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
GHQNOHPOHULQL�VD÷OD\DFD÷ÕQÕ�J|VWHULQL]�
Çözüm. u v
x y
∂ ∂=
∂ ∂�HúLWOL÷LQLQ�x’e göre
u v
y x
∂ ∂= −
∂ ∂�HúLWOL÷LQLQ�GH�y’e göre türevini alÕUVDN
2 2
2
u v
x x y
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ve
2 2
2
u v
y y x
∂ ∂= −
∂ ∂ ∂
ve buradan da u fonksiyonu için
2 2 2 2
2 2 2 20
u u u u
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂= − ⇒ + =
∂ ∂ ∂ ∂ (**)
GHQNOHPLQL� HOGH� HGHUL]�� %HQ]HU� úHNLOGH�� � �� HúLWOLNOHUL� y� GH÷LúNHQLQH� J|UH� W�UHWLOLUVH�� v
fonksiyonu için
2 2
2 20
v v
x y
∂ ∂+ =
∂ ∂ (***)
denklemi elde edilir.
cos ; sinx r y rθ θ= =
NRRUGLQDW�G|Q�ú�POHULQGHQ�x ve y¶H�J|UH�W�UHYOHU�DOÕQDUDN
sin cos
cos , sin , ,x y x y
r rr r
θ θθ θ θ θ= = = − = , 0r ≠
ROGX÷X� NROD\FD� J|VWHULOHELOLU�� ( , ) ( cos , sin )u u x y u r rθ θ= = fonksiyonunun x’e göre türevi
DOÕQÕUVD
sin
cos .
u u r u
x r x x
u uA
r r
θθ
θθθ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
= − =∂ ∂
(****)
ifadesi elde edilir. x¶H�J|UH�ELU�NH]�GDKD�W�UHY�DOÕQÕUVD
131
2
2
2 2 2 2 22
2 2 2
sin sin sincos cos cos ( )
2sin cos sin sin 2sin coscos
u A r A
x r x x
u u u u
r r r r r r
u u u u u
r r r r r r r
θθ
θ θ θθ θ θθ θ θ
θ θ θ θ θ θθθ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(*****)
Bu kez, ( , ) ( cos , sin )u u x y u r rθ θ= = fonksiyonunun y’e göre iki kez türHYL�DOÕQÕUVD� 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2sin cos cos cos 2sin cossin
u u u u u u
y r r r r r r r
θ θ θ θ θ θθθ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (******)
LIDGHVL�HOGH�HGLOLU��6RQ�LNL�ED÷ÕQWÕ (***) ifadesinde yerine konursa
2 2
2 2 2
1 10
u u u
r r r r θ∂ ∂ ∂
+ + =∂ ∂ ∂
GHQNOHPL�HOGH�HGLOLU��%HQ]HU�LúOHPOHU�v�IRQNVL\RQX�LoLQ�GH�\DSÕODUDN
2 2
2 2 2
1 10
v v v
r r r r θ∂ ∂ ∂
+ + =∂ ∂ ∂
deQNOHPL�HOGH�HGLOLU��%X�GHQNOHPOHULQ�JHoHUOL�ROPDVÕ�LoLQ� 0r ≠ �ROPDVÕ�JHUHNWL÷L�DoÕNWÕU�
������)RQNVL\RQHO�%D÷ÕPOÕOÕN
7DQÕP��. 2D R⊂ �DoÕN�E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ� ( , )u f x y= ve ( , )v g x y= �IRQNVL\RQODUÕQÕQ�ELULQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHUL�D bölgesinde sürekli olsun.
{ }( , ) ( ), ( )D u v u f D v g D′ = ∈ ∈
ile D′ � E|OJHVLQL� WDQÕPOD\DOÕP�� (÷HU�� ( , )x y D∀ ∈ için, u ile v� DUDVÕQGD�� ELULQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�revleri D′ bölgesinde sürekli olan ve ( , ) 0F u v = �NRúXOXQX�VD÷OD\DQ�ELU�F fonksiyonu
varsa (bulunabilirse), ( , )u f x y= ve ( , )v g x y= � IRQNVL\RQODUÕQD� ³IRQNVL\RQHO� ED÷ÕPOÕGÕU”
denir.
7DQÕPD� J|UH� DUDODUÕQGD� IRQNVL\RQHO� ED÷ÕPOÕ� RODQ� ( , )u f x y= ve ( , )v g x y=
IRQNVL\RQODUÕQGDQ� x ve y yok edilerek, u ile v� DUDVÕQGD� ( , ) 0F u v = � úHNOLQGH� ELU� LOLúNL�EXOXQDELOLU��ùLPGL��IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕOÕ÷ÕQ�JHUHN�YH�\HWHU�NRúXOXQX�ELU�WHRUHP�LOH�YHUHOLP�
132
Teorem 1. 2D R⊂ �DoÕN�E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ�YH�ELULQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHUL�EX�E|OJHGH�
sürekli olan ( , )u f x y= ve ( , )v g x y= � IRQNVL\RQODUÕQÕQ� DUDODUÕQGD� IRQNVL\RQHO� ED÷ÕPOÕ�ROPDODUÕ�LoLQ�JHUHN�YH�\HWHU�NRúXO
( , )0
( , )
u vJ
x y
∂= =
∂ (1)
ROPDVÕGÕU�
øVSDW�� %XUDGD� WHRUHPLQ� LVSDWÕ� \DSÕOÕUNHQ�� ELULQFL� PHUWHEHGHQ� NÕVPL� W�UHYOHUL�{ }( , ) ( ), ( )D u v u f D v g D′ = ∈ ∈ bölgesinde sürekli olan, ( , ) 0F u v = �úHNOLQGHNL�ELU�LOLúNLQLQ�
YDUOÕ÷Õ� RUWD\D� NRQPDOÕGÕU�� .ÕVPL� W�UHYOHULQ� YDUOÕ÷Õ� ( , ) 0F u v = � IRQNVL\RQXQXQ� GD� YDUOÕ÷ÕQÕ�garanti eder.
a) Gereklilik: ( , )u f x y= ve ( , )v g x y= fonksiyonel�ED÷ÕPOÕ�ROVXQODU��2�KDOGH�� ( , )x y D∀ ∈
için, u ile v�DUDVÕQGD��u
F ve v
F �NÕVPL�W�UHYOHUL�D′ �E|OJHVLQGH�V�UHNOL�RODFDN�úHNLOGH ( , ) 0F u v = (2)
LOLúNLVL�YDUGÕU������GHQNOHPLQGHQ�x ve y’ye göre türev alarak
0
0u x v x
u x v x
F u F v
F u F v
+ = + =
(3)
sistemini elde ederiz. Burada u
F ve v
F ’ye bilinmeyenler ve x
u ve y
u ¶\H� GH� NDWVD\ÕODU�gözüyle bakarsak, (3) sistemi
uF ve
vF ’ye göre bir lineer homojen sistemdir ve çözümünün
RODELOPHVL�LoLQ�NDWVD\ÕODU�GHWHUPLQDQWÕQÕQ�VÕIÕU�ROPDVÕ�JHUHNLU�
( , )
0.( , )
x y
x y
u uu vJ
v vx y
∂= = =
∂ (4)
b) Yeterlilik: ( , )x y D∀ ∈ için
( , )
0( , )
x y
x y
u uu vJ
v vx y
∂= = =
∂
ROGX÷XQX�YDUVD\DUVDN��-DFRELDQÕQ�VÕIÕU�ROGX÷X�úX�GXUXPODUÕ�LQFHOHPHPL]�JHUHNLU�
i) 0x y x yu u v v= = = = durumu.
Bu durumda 1u c= ve 2v c= �ELUHU�VDELW�IRQNVL\RQODUGÕU�YH� 1 2( , ) 0F u v u kv c kc= + = + = (5)
133
RODFDN� úHNLOGH� ELU� k R∈ � YDUGÕU� YH� GROD\ÕVÕ\OH�� ( , )u f x y= ve ( , )v g x y= fonkVL\RQODUÕ�DUDODUÕQGD�IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕGÕU�
ii) 0 ve 0x y x y
u u v v= = = ≠ durumu
Bu durumda, u, u c= � úHNOLQGH�ELU�VDELW� IRQNVL\RQGXU�YH�VDELW� IRQNVL\RQODU�KHU� IRQNVL\RQOD�ED÷ÕPOÕGÕU��%X�GXUXPGD�u ile v�DUDVÕQGDNL�LOLúNL ( , ) (1 ) 0
uF u v v
c= − = (6)
úHNOLQGHGLU��� 0 ve 0x y x y
u u v v= ≠ = = �GXUXPX�EHQ]HU�úHNLOGH�GH÷HUOHQGLULOHELOLU��
iii) 0 ve 0x y x yu u v v= ≠ = ≠ durumu
Bu durumda, LNL�V�W�QX�D\QÕ�|÷HOHUGHQ�ROXúDFD÷ÕQGDQ��-DFRELDQ�VÕIÕU�ROXU��u ve v’nin birinci
PHUWHEHGHQ� NÕVPL� W�UHYOHULQLQ� HúLW� ROPDVÕ�� x ve y’nin birinci mertebeden ve simetrik
IRQNVL\RQODUÕ� ROGXNODUÕ� DQODPÕQD� JHOLU�� %|\OH� LNL� IRQNVL\RQ� GDLPD� IRQNVL\RQHO� ED÷OÕGÕU��gUQH÷LQ� tan( )u x y= + ve ln( )v x y= + ise
( , ) arctan 0vF u v u e= − =
olur.
iv) 0 ve 0x x y y
u v u v= ≠ = ≠ durumu
Bu durumda, LNL�VDWÕUÕ�D\QÕ�|÷HOHUGHQ�ROXúDFD÷ÕQGDQ��-DFRELDQ�VÕIÕU�ROXU��.ROD\FD�DQODúÕODFD÷Õ��]HUH�EX�NRúXOODU�DOWÕQGD�u ve v�HúLW�IRQNVL\RQODUGÕU�YH�DUDODUÕQGD ( , ) 0F u v u v= − = (7)
IRQNVL\RQHO�LOLúNLVLVQL�\D]DELOLUL]�
v) x
u ve y
u �NÕVPL�W�UHYOHULQGHQ�HQ�D]�ELULQLQ�VÕIÕUGDQ�IDUNOÕ�ROGX÷X�JHQHO�GXUXP� 0
y yu f= ≠ kabul edelim ( 0
x xu f= ≠ dXUXPX�EHQ]HU�úHNLOGH�LQFHOHQHELOLU��
( , , ) ( , ) 0F u x y u f x y= − = (8)
IRQNVL\RQXQX�WDQÕPOD\DOÕP���8) ifadesinin y¶H�J|UH�W�UHYL�DOÕQÕUVD
( , , ) ( , ) 0y y
F u x y f x y= − ≠ (9)
elde ederiz. Bu ise, y�GH÷LúNHQLQLQ���8��HúLWOL÷LQGHQ�x ve u cinsLQGHQ�o|]�OHELOHFH÷L�DQODPÕQD�gelir. O halde, (8��HúLWOL÷LQL�VD÷OD\DFDN�úHNLOGH�ELU
134
( , )y x uϕ= (10)
IRQNVL\RQX�YDUGÕU���10) ifadesi, ( , )u f x y= fonksiyonunda yerine konursa, x¶H�ED÷OÕ�ROPD\DQ
( , ( , ))u f x x uϕ= (11)
|]GHúOL÷LQL�HOGH�HGHUL]��(11) ifadesinden x’e göre türev alarak
0x x y x
u f f ϕ= + = (12)
ve buradan da
xx
y
f
fϕ = − (13)
HOGH�HGHUL]��'L÷HU�WDUDIWDQ, ( , )y x uϕ= çözümünü, ( , )v g x y= ifadesinde yerine yazarsak
( , ( , )) ( , )v g x x u H x uϕ= = (14)
ifadesini ve x’e göre türev alarak da
( , ) ( ) 0xx x x y x x y
y y
f Jv H x u g g g g
f fϕ= = + = + − = − = (15)
ED÷ÕQWÕVÕQÕ�HOGH�HGHUL]��2�KDOGH��H(x,u) fonksiyonu x¶H�ED÷OÕ�GH÷LOGLU��<DQi, v fonksiyonunu
( , ) ( )v H x u M u= = (16)
úHNOLQGH�WDQÕPOD\DELOLUL]��%|\OHFH��u ile v�DUDVÕQGD� ( , ) ( ) 0F u v v M u= − =
LOLúNLVL�HOGH�HGLOPLú�ROXU�
Örnek 1. 2 2
ln ln ,x y
u x y vxy
+= − = , ( 0, 0)x y≠ ≠
IRQNVL\RQODUÕQÕQ� DUDODUÕQGD� IRQNVL\RQHO� ED÷ÕPOÕ� ROXS�� ROPDGÕNODUÕQÕ� J|VWHULS� ED÷OÕ� LVHOHU�DUDODUÕQGDNL�LOLúNL\L�EXOXQX]�
Çözüm. u ve v� IRQNVL\RQODUÕQÕQ�DUDODUÕQGD�IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕ�ROPDODUÕ� LoLQ�JHUHN�YH�\HWHU�NRúXOXQ
( , )
0( , )
x y
x y
u uu vJ
v vx y
∂= = =
∂
ROPDVÕ�JHUHNWL÷LQL�ELOiyoruz. Buna göre,
2 2 2 2
2 2
1 1
( , )
( , )
x y
x y
u u x yu vJ
v vx y x y y x
x y xy
−∂
= = =∂ − −
, ( 0, 0)x y≠ ≠
135
2 2 2 2
2 2
1 10
y x x yJ
x xy y x y
− −= + − =
ROXS��IRQNVL\RQODU�DUDODUÕQGD�IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕGÕUODU��ùLPGL�GH�DUDODUÕQGDNL�LOLúNL\L�EXODOÕP�
2 22
2 2 2 2
2
( 1) 1x x
yx y y y
vx xxy
yy y
+ ++
= = =
ve
ln ln ln ux xu x y e
y y= − = ⇒ =
olur. Bunu v’nin ifadesinde yerine yazarsak
21
2 2cosh2
u u u
u
e e ev v u
e
−+ += ⇒ = =
ya da
( , ) 2cosh 0F u v v u= − =
IRQNVL\RQHO�LOLúNLVLQL�HOGH�HGHUL]�
Örnek 2. arctan arctan ,1
x yu x y v
xy
−= − =
+,
IRQNVL\RQODUÕQÕQ�DUDODUÕQGD�ED÷OÕ�ROXS�ROPDGÕNODUÕQÕ�J|VWHULS�ED÷OÕ� LVHOHU�DUDODUÕQGDNL�LOLúNL\L�bulunuz.
Çözüm.
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1( , )
( , ) 1 (1 )
(1 ) (1 )
x y
x y
u u x yu vJ
v vx y y x
xy xy
−+ +∂
= = =∂ + − +
+ +
, ( 0, 0)x y≠ ≠
2 2
1 10
(1 ) (1 )J
xy xy= − + =
+ +
ROGX÷XQGDQ�u ve v�IRQNVL\RQODUÕ�DUDODUÕQGD�IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕGÕUODU�YH arctan arctan tan
1
( , ) tan 0
x yu x y u v
xy
F u v u v
−= − ⇒ = = ⇒
+= − =
aranan fonksiyonel ED÷ÕQWÕGÕU�
136
$úD÷ÕGD��IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕOÕN�LoLQ�JHQHO�WHRUHPL�LVSDWVÕ]�RODUDN�YHUL\RUX]�
Teorem 2. nD R⊂ �DoÕN�E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ�YH�ELULQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHUL�EX�E|OJHGH�sürekli olan, k tane n-GH÷LúNHQOL�IRQNVL\RQ�
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
( , ,..., )
( , ,..., )
.........................
( , ,..., )
n
n
k k n
u f x x x
u f x x x
u f x x x
= = =
(17)
úHNOLQGH� YHULOGL÷LQGH� H÷HU�� IRQNVL\RQ� VD\ÕVÕ�� GH÷LúNHQ� VD\ÕVÕQD� HúLW� �k=n) ise, bu k
IRQNVL\RQXQ�DUDODUÕQGD�IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕ�ROPDVÕ�LoLQ�JHUHN�YH�\HWHU�NRúXO 1 2
1 2
1 2
1 1 1
2 2 21 2
1 2
...
...( , ,..., )0
( , ,..., ) ... ... ... ...
...
n
n
n
x x x
x x xn
n
nx nx nx
u u u
u u uu u uJ
x x x
u u u
∂= = =
∂ (18)
ROPDVÕGÕU��(÷HU��IRQNVL\RQ�VD\ÕVÕ��GH÷LúNHQ�VD\ÕVÕQGDQ�N�o�N� ( )k n< ise, bu durumda verilen
k�WDQH�IRQNVL\RQXQ�DUDODUÕQGD�IRQNVL\RQHO�ED÷ÕPOÕ�ROPDVÕ�LoLQ�JHUHN�YH�\HWHU�NRúXO 1 2
1 2
1 2
1 1 1
2 2 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n
x x x
x x x
kx kx kx
u u u
u u uJ
u u u
=
(19)
-DFREL�PDWULVLQLQ�UDQNÕQÕQ��IRQNVL\RQ�VD\ÕVÕQGDQ�N�o�N�ROPDVÕ��\DQL ( )rank J k< (20)
NRúXOXQXQ�VD÷ODQPDVÕGÕU�
Not: (20�� NRúXOX� HúGH÷HU� RODUDN�� ��9)� LOH� YHULOHQ� PDWULVH� LOLúNLQ� k k× boyutlu bütün alt
PDWULVOHULQ�GHWHUPLQDQWODUÕQÕQ�VÕIÕU�RODPVÕ�úHNOLQGH�GH�LIDGH�HGLOHELOLU�
Örnek 3. 2 2 2 2( ) , 2 2 2 ,u x y z v xy xz yz w x y z= + + = − − − = + +
fRQNVL\RQODUÕQÕQ�OLQHHU�ED÷ÕPOÕ�ROXS��ROPDGÕNODUÕQÕ�DUDúWÕUÕQÕ]�YH�H÷HU�ED÷OÕ�LVHOHU�DUDODUÕQGDNL�LOLúNL\L�EXOXQX]�
Çözüm.
137
2( ) 2( ) 2( )( , , )
2( ) 2( ) 2( ) 0( , , )
2 2 2
x y z x y z x y zu v w
J y z x z x yx y z
x y z
+ + + + + +∂
= = − + − + − + =∂
ROGX÷XQX� J|UPHN� ]RU� GH÷LOGLU�� 2� Kalde u, v, w� IRQNVL\RQODUÕ� DUDODUÕQGD� OLQHHU� ED÷ÕPOÕGÕU��ùLPGL�GH�DUDODUÕQGDNL�LOLúNL\L�EXODOÕP�
2
2 2 2
( ) 2 2 2u v x y z xy xz yz
x y z u v w
+ = + + − − −
= + + ⇒ + =
ya da
( , , ) 0F u v w u v w= + − =
GÕU�
������øNL�*HUoHO�'H÷LúNHQOL�)RQNVL\RQODU�LoLQ�7D\ORU�)RUP�O�
( , )z f x y= , 2D R⊂ � DoÕN� E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� YH� (n+1)-ci� PHUWHEHGHQ� NÕVPL� W�UHYOHUL� EX�
E|OJHGH�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�RODQ�LNL�JHUoHO�GH÷LúNHQOL�ELU�IRQNVL\RQ��ROVXQ� H ve k birer küçük
nicelik ve 0 1t≤ ≤ olmak üzere
x x th
y y tk
∗
∗
= + = +
(1)
G|Q�ú�POHUL�LOH�t¶\H�ED÷OÕ�ELU�GH÷LúNHQOL ( ) ( , )F t f x y∗ ∗= (2)
IRQNVL\RQXQX�WDQÕPOD\DOÕP� (1) ( , )F f x h y k= + + (3)
ve
(0) ( , )F f x y= (4)
ROGX÷XQD�Gikkat edilmelidir. ( )F t fonksiyonu için, t ��QRNWDVÕQGDNL�7D\ORU�IRUP�O�
( )
2(0) (0)( ) (0) (0) ...
2! !
nn
n
F FF t F F t t t R
n
′′′= + + + + + , (5)
olup, Rn kalan terimi
( 1)
1( ), 0
( 1)!
nn
n
FR t t
n
τ τ+
+= < <+
(6)
formülü ile verilir (bkz. Kesim 1.8’de formül� ������ ùLPGL�� ( )F t fonksiyonunun t=0
QRNWDVÕQGDNL�W�UHYOHULQL�GH÷HUOHQGLUHOLP��%XQXQ�LoLQ���2��IRUP�O�QH�]LQFLU�NXUDOÕ�X\JXODQÕUVD
138
* ** * * *( ) ( , ) ( , )x y
F t f x y h f x y k′ = + (7)
bulunur. ����ED÷ÕQWÕODUÕ�JHUH÷LQFH�� * *( , )f x y ’nin *x ve *y ’ye göre türevleri, x ve y’ye göre
D\QÕ�EDVDPDNWDQ�W�UHYOHUH�HúLW�RODFD÷ÕQGDQ�����ED÷ÕQWÕVÕQÕ * * * *( ) ( , ) ( , )x y
F t f x y h f x y k′ = + (8)
biçiminde yazabiliriz. Son olarak, (8) formülünde t=0 için (0) , (0)x x y y∗ ∗= = ROGX÷X�göz
önünde tutulursa,
(0) ( , ) ( , )x y
F f x y h f x y k′ = + (9)
elde edilir. (8) ifadesi, t’ye göre bir kez daha türetilirse
2 2* * * * * *( ) ( , ) 2 ( , ) ( , )xx xy yy
F t f x y h f x y hk f x y k′′ = + + (10)
olur. Böylece, ikinci türevin t=0 nRNWDVÕQGDNL�GH÷HUL�LoLQ
2 2(0) ( , ) 2 ( , ) ( , )xx xy yy
F f x y h f x y hk f x y k′′ = + + (11)
ifadesi elde edilir. Burada
0 0( ) ( )x x y yx y
∂ ∂− + −
∂ ∂ (12)
RSHUDW|U�Q��GLNNDWH�DOÕUVDN���9) ve (11) ile verilen birinci ve ikinci türevleri
(0) ( , )F h k f x yx y
∂ ∂′ = + ∂ ∂ (13)
ve
2
(0) ( , )F h k f x yx y
∂ ∂′′ = + ∂ ∂ (14)
úHNOLQGH� \D]DELOLUL]�� %|\OHFH� GHYDP� HGLOLUVH�� ( )F t fonksiyonunun t �� QRNWDVÕQGDNL� n-ci
mertebeden türevi için de
( ) (0) ( , )
n
nF h k f x yx y
∂ ∂= + ∂ ∂
(15)
ifadesini elde ederiz. BuradD��%LQRP�IRUP�O�QH�J|UH�DoÕODFDN�RODQ�SDUDQWH]OL�LIDGH�
1 2 2
1 2 2...
1 2
...
nn n n
n n n
n n n
n nn r r n
n r r n
n nh k h h k h k
x y x x y x y
nh k k
r x y y
− −− −
−−
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂
(16)
úHNOLQGHGLU�
139
Böylece, ����YH�����HúLWOLNOHUL� LOH��15) genel gösterimini dikkate alarak (5) ile verilen Taylor
formülünü (x0, y0��QRNWDVÕ�LoLQ�\D]DU�YH� 0
0
h x x
k y y
= − = −
(17)
G|Q�ú�POHULQL�GH�X\JXODUVDN
0 0 0 0 0 0 0 0
2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
1( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )
1!1
( , )( ) 2 ( , )( )( ) ( , )( )2!
1... ( ) ( ) ( , )
!
x y
xx xy yy
n
n
f x y f x y f x y x x f x y y y
f x y x x f x y x x y y f x y y y
x x y y f x y Rn x y
= + − + −
+ − + − − + − +
∂ ∂+ + − + − + ∂ ∂
(18)
serisini elde ederiz. Burada Rn kalan terimi için
1
0 0 0 0
( , )
1( ) ( ) ( , ) , ,
( 1)!
n
nR x x y y f x y x x x y
n x yξ η
ξ η+
∂ ∂= − + − < < < < + ∂ ∂
(19)
LIDGHVLQL�HOGH�HGHUL]��(÷HU�
0 0
1
1
( , )
( , ), 1,2,..., 1
n
i n i
x y
f x yM i n
x y
+
+ −
∂≤ = +
∂ ∂ (20)
olaFDN�úHNLOGH�ELU�M��VW�VÕQÕUÕ�YDU�LVH�EX�GXUXPGD�NDODQ�WHULPL�LoLQ
( ) 1
0 0( 1)!
n
n
MR x x y y
n
+≤ − + −
+ (21)
VÕQÕUODPDVÕQÕ�\DSDELOLUL]� Son olarak, (18) serisini, 0 0( , ) (0,0)x y = için yeniden yazarsak, yani
( , )f x y fonksiyonuQX�������FLYDUÕQGD�0DFODXULQ�VHULVLQH�DoDUVDN�
0 0 0 0 0 0
2 20 0 0 0 0 0
0 0
1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1!1
( , ) 2 ( , ) ( , )2!
1... ( , )
!
x y
xx xy yy
n
n
f x y f x y f x y x f x y y
f x y x f x y xy f x y y
x y f x y Rn x y
= + +
+ + + +
∂ ∂+ + + + ∂ ∂
(22)
ifadesini elde ederiz. Bu durumda kalan terim
1
( , )
1( , ) , 0 , 0
( 1)!
n
nR x y f x y x y
n x yξ η
ξ η+
∂ ∂= + < < < < + ∂ ∂
(23)
olur.
140
Örnek 1. ( , ) xyf x y e= �IRQNVL\RQXQX��������FLYDUÕQGD�G|UG�QF��PHUWebeden Taylor formülünü
bulunuz.
Çözüm.�������QRNWDVÕ�FLYDUÕQGD��G|UG�QF��PHUWHEHGHQ�7D\ORU�IRUP�O�
2 2
3 2 2 3
4 3 2 2 3 44
1( , ) (0,0) 2
2!1
3 33!1
4 6 44!
x y xx xy yy
xxx xxy xyy yyy
xxxx xxxy xxyy xyyy yyyy
f x y f f x f y f x f xy f y
f x f x y f xy f y
f x f x y f x y f xy f y R
= + + + + + +
+ + + + +
+ + + + + +
ROGX÷XQGDQ��LOJLOL�W�UHY�GH÷HUOHULQL�KHVDSOD\DOÕP� ( , ) (0,0) 0xy
x xf x y ye f= ⇒ = , ( , ) (0,0) 0xy
y yf x y xe f= ⇒ = ,
2( , ) (0,0) 0xy
xx xxf x y y e f= ⇒ = , 2( , ) (0,0) 0xy
yy yyf x y x e f= ⇒ = ,
( , ) (0,0) 1xy xy
xy xf x y e xye f= + ⇒ = ,
3( , ) (0,0) 0xy
xxx xxxf x y y e f= ⇒ = , 2( , ) 2 (0,0) 0xy xy
xxy xxyf x y ye xy e f= + ⇒ = ,
2( , ) 2 (0,0) 0xy xy
xyy xyyf x y xe x ye f= + ⇒ = , 3( , ) (0,0) 0xy
yyy yyyf x y x e f= ⇒ = ,
4( , ) (0,0) 0xy
xxxx xxxxf x y y e f= ⇒ = , 2 4( , ) 3 (0,0) 0xy xy
xxxy xxxyf x y y e y e f= + ⇒ = ,
2 2( , ) 2 4 (0,0) 2xy xy xy
xxyy xxyyf x y e xye x y e f= + + ⇒ = ,
2 3( , ) 3 (0,0) 0xy xy
xyyy xyyyf x y x e x ye f= + ⇒ = , 4( , ) (0,0) 0xy
yyyy yyyyf x y x e f= ⇒ = .
Böylece,
2 24
11
2xye xy x y R= + + +
olur ( ue ’nun, u ��FLYDUÕQGDNL� VHUL� DoÕOÕPÕ� LOH� NDUúÕODúWÕUÕQÕ]��� 0 xξ< < ve 0 yη< < olmak
üzere, kalan terim,
5
4 0 0
( , )
5 4 3 2 2 3 1 4 5
1( ) ( ) ( , )
5!
15 10 10 5
5! xxxxx xxxxy xxxyy xxyyy xyyyy yyyyy
R x x y y f x yx y
f f f f f f
ξ η
ξ ξ η ξ η ξ η ξ η η
∂ ∂= − + − ∂ ∂
= + + + + +
ED÷ÕQWÕVÕ�LOH�GH÷HUOHQGLULOHELOLU�
141
Örnek 2. 3 2( , )f x y x y xy= − fonksiyonunu (x-1) ve (y���¶LQ�NXYYHWOHUL�FLQVLQGHQ�\D]ÕQÕ]�
Çözüm. (1, 1) 2f − = ve
2 2
2
2
( , ) 3 (1, 1) 4
( , ) 6 (1, 1) 6
( , ) 6 (1, 1) 6
( , ) 0 (1, 1) 0
x x
xx xx
xxx xxx
xxxx xxxx
f x y x y y f
f x y xy f
f x y y f
f x y f
= − ⇒ − =
= ⇒ − =
= ⇒ − == ⇒ − =
3
3
( , ) 2 (1, 1) 3
( , ) 2 (1, 1) 2
( , ) 0 (1, 1) 0
y y
yy yy
yyy yy
f x y x y x f
f x y x f
f x y f
= − ⇒ − = −
= ⇒ − =
= ⇒ − =
2
2
( , ) 6 1 (1, 1) 7
( , ) 12 (1, 1) 12
( , ) 6 (1, 1) 6
( , ) 12 (1, 1) 12
xy xy
xxy xxy
xyy xyy
xxxy xxxy
f x y x y f
f x y xy f
f x y x f
f x y y f
= − ⇒ − = −
= ⇒ − = −
= ⇒ − =
= ⇒ − = −
( , ) 12 (1, 1) 12
( , ) 12 (1, 1) 12
( , ) 0 (1, 1) 0
xxxyy xxxyy
xxyy xxyy
xyyy xyyy
f x y f
f x y x f
f x y f
= ⇒ − =
= ⇒ − =
= ⇒ − =
ROGX÷XQGDQ�
2 2
3 2 2
3 2 2 3 2
1( , ) 2 4( 1) 3( 1) 6( 1) 14( 1)( 1) 2( 1)
21
6( 1) 36( 1) ( 1) 18( 1)( 1)61
48( 1) ( 1) 72( 1) ( 1) ( 1) ( 1)24
f x y x y x x y y
x x y x y
x y x y x y
= + − − + + − − − + + −
+ − − − + + − +
+ − − + + − + + − +
NXYYHW�\D]ÕOÕPÕ�HOde edilir.
Örnek 3. ( , ) ln( 1)f x y x y= + + �IRQNVL\RQXQX��������FLYDUÕQGD�7D\ORU�VHULVLQH�DoÕQÕ]�
Çözüm. (0,0) 0f = ,
1 1
(0,0)(0,0)
1( , ) 1 ( 1) 0!
1xf x y
x y
+= = = −+ +
, 1 1
(0,0)(0,0)
1( , ) 1 ( 1) 0!
1yf x y
x y
+= = = −+ +
,
2 1
2(0,0)(0,0)
1( , ) 1 ( 1) 1!
( 1)xxf x y
x y
+−= = − = −
+ +, 2 1
2(0,0)(0,0)
1( , ) 1 ( 1) 1!
( 1)yyf x y
x y
+−= = − = −
+ +,
3 1
3(0,0)(0,0)
2( , ) 2 ( 1) 2!
( 1)xxxf x y
x y
+= = = −+ +
, 3 1
3(0,0)(0,0)
2( , ) 2 ( 1) 2!
( 1)yyyf x y
x y
+= = = −+ +
,
142
2 1
2(0,0)(0,0)
1( , ) 1 ( 1) 1!
( 1)xyf x y
x y
+−= = − = −
+ +,
3 1
3(0,0)(0,0)
2( , ) 2 ( 1) 2!
( 1)xyyf x y
x y
+= = = −+ +
.
*|U�OG�÷���]HUH�� ( , ) ln( 1)f x y x y= + + ¶QLQ�������QRNWDVÕQGDNL�|UQH÷LQ�NBFÕ�GHUHFHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHUL��W�UHYOHULQ�KDQJL�GH÷LúNHQH�J|UH�ROGX÷XQGDQ�ED÷ÕPVÕ]�RODUDN�HúLWWLU��gUQH÷LQ
2 1
(0,0) (0,0) (0,0)( , ) ( , ) ( , ) 1 ( 1) 1!xx yy xy
f x y f x y f x y += = = − = −
ve
3 1
3(0,0) (0,0) (0,0)(0,0)
2( , ) ( , ) ( , ) 2 ( 1) 2!
( 1)xxx yyy xyyf x y f x y f x y
x y
+= = = = = −+ +
GÕU��%XQD�J|UH��JHQHO�IRUP�O�RODUDN
1( , )( 1) ( 1)!
nn
k n k
f x yn
x y
+−
∂= − −
∂ ∂
yazabiliriz. O halde,
(0,0)0
1 2
(0,0) (0,0)
3
(0,0)
(0,0)
1 1
1( , ) ( , )
!
1 10 ( , ) ( , )
1! 2!
1( , ) ...
3!
1( , )
!
1( 1) (1 1)!(
1!
kn
n
k
n
n
f x y x y f x y Rk x y
x y f x y x y f x yx y x y
x y f x yx y
x y f x y Rn x y
x
=
+
∂ ∂= + + ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂+ + + + ∂ ∂
∂ ∂+ + + ∂ ∂
= − − +
∑
2 1 2
3 1 3
1
2 2 3 2 2 3
1
1) ( 1) (2 1)!( )
2!1
( 1) (3 1)!( ) ...3!1
( 1) ( 1)!( )!
1 1 1 12 2 ...
2 2 3 3
( 1)( )
n n
n
nn
n
y x y
x y
n x y Rn
x y x xy y x x y xy y
x y Rn
+
+
+
+
+ − − + +
+ − − + + +
+ − − + +
= + − − − + + + + + +
−+ + +
143
1
( , )
2 1 1
11
1( , )
( 1)!
1 ( 1)( 1) !( ) ( )
( 1)! 1
( )( )
1
n
n
nn n n
nn
n
R x y f x yn x y
nn n
Rn
ξ η
ξ η ξ η
ξ ηξ η
+
+ + +
++
∂ ∂= + + + ∂ ∂
−= − + = + ⇒
+ +
+= ≤ +
+
elde ederiz. 1ξ η+ < için lim 0nn
R→∞
= � RODFD÷ÕQGDQ�� VHULQLQ� \DNÕQVDNOÕN� E|OJHVL� RODUDN�1ξ η+ < �DOÕQDELOLU�
������øNL�*HUoHO�'H÷LúNHQOL�)RQNVL\RQODUÕQ�(NVWUHPXP�1RNWDODUÕ 7DQÕP� �� �(NVWUHPXP� 1RNWDODU�. 2D R⊂ � DoÕN� E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� ELU� ( , )z f x y=
fonksiyonu verilsin. D� E|OJHVLQLQ� QRNWDODUÕQÕ� ( , )P x yG � YHNW|UOHULQLQ� Xo� QRNWDODUÕ� LOH� WHPVLO�
HGHOLP�� (÷HU�� 0 0 0( , )P x y D∈G � QRNWDVÕQÕQ� ELU� 0( )N Pδ
G � NRPúXOX÷XQXQ� KHU� QRNWDVÕQGD�0( ) ( )f P f P≤
G G oluyorsa, f fonksiyonunun 0 0( , )x y � QRNWDVÕQGD� ELU� \HUHO� PDNVLPXPX� YDUGÕU�
denir. 0 0( , )x y � QRNWDVÕQD� IRQNVL\RQXQ� \HUHO� PDNVLPXP� QRNWDVÕ� Ye 0 0( , )f x y � GH÷HULQH� GH�IRQNVL\RQXQ�\HUHO�PDNVLPXP�GH÷HUL�GHQLU��%XQGDQ�EDúND��H÷HU�� 0 0 0( , )P x y D∈
G �QRNWDVÕQÕQ�ELU�0( )N Pδ
G � NRPúXOX÷XQXQ� KHU� QRNWDVÕQGD� 0( ) ( )f P f P≥G G
oluyorsa, f fonksiyonunun 0 0( , )x y
QRNWDVÕQGD� ELU� \HUHO�PLQLPXPX� YDUGÕU� GHQLU��%X� GXUXPGD�� 0 0( , )x y � QRNWDVÕQD�� IRQNVL\RQXQ�\HUHO�PLQLPXP�QRNWDVÕ�YH� 0 0( , )f x y � GH÷HULQH�GH� IRQNVL\RQXQ�\HUHO�PLQLPXP�GH÷HUL�GHQLU��Bir fonksiyonun \HUHO� PDNVLPXP� \D� GD� \HUHO� PLQLPXP� QRNWDODUÕQD� NÕVDFD� HNVWUHPXP�QRNWDODUÕ�GHQLU�
( , )z f x y= � IRQNVL\RQXQXQ� \HUHO� HNVWUHPXPODUÕ� LoLQ� JHUHN� NRúXOXQ� ( , ) 0f x y∇ = � ROGX÷XQX�V|\OHPLúWLN��2�KDOGH��ELU� IRQNVL\RQXQ�H÷HU�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕ�YDUVD�EXQODU�\D�JUDGL\HQWLQ�VÕIÕU� ROGX÷X� QRNWDODUGD� \D� GD� ELULQFL� PHUWHEHGHQ� W�UHYOHULQ� WDQÕPVÕ]� ROGX÷X� QRNWDODUGDGÕU���ùLPGL�GH�\HUHO�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕ�LoLQ�\HWHU�NRúXOODUÕ�ELU�WHRUHP�LOH�YHUHOLP�
144
Teorem 1. 2D R⊂ �DoÕN�E|OJH�YH� ( , )z f x y= �GH��HQ�D]ÕQGDQ��o�QF��PHUWHEH\H�NDGDU�NÕVPL�
türevleri D� E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�RODQ�ELU� IRQNVL\RQ�ROPDN��]HUH�ELU� 0 0 0( , )P x y D∈G
QRNWDVÕQGD 0( ) 0f P∇ =G
(1)
olsun.
20 0 0( ) ( ) ( )
xy xx yyf P f P f P∆ = −
G G G (2)
olmak üzere
i. 0 0 0 00 ve ( ) 0ise ( , )xx
f P P x y∆ < <G �ELU�³\HUHO�PDNVLPXP´�QRNWDVÕGÕU�
ii. 0 0 0 00 ve ( ) 0ise ( , )xx
f P P x y∆ < >G �ELU�³\HUHO�PLQLPXP´�QRNWDVÕGÕU�
iii. 0 0 00 ise ( , )P x y∆ > �ELU�³H÷HU´�QRNWDVÕ�ROXS��HNVWUHPXP�QRNWDVÕ�GH÷LOGLU. iv. 0∆ = �LNLQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHY�WHVWL�LOH�NDUDU�YHULOHPH]�
øVSDW. ( , )z f x y= fonksiyonunu 0 0 0( , )P x y D∈G �QRNWDVÕQGD�7D\ORU�VHULVLQH�DoDUVDN
0 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0
20 0 0 2
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )
1( , )( ) ( , )( )( )
21
( , )( )2
x y
xx xy
yy
f x y f x y f x y x x f x y y y
f x y x x f x y x x y y
f x y y y R
= + − + − +
+ − + − − +
+ − +
(3)
olur. Ekstremum noNWDODUÕ�LoLQ�JHUHN�NRúXO�GLNNDWH�DOÕQÕUVD�LON�LNL�WHULP�VÕIÕU�ROXU��%|\OHFH�����ED÷ÕQWÕVÕQÕ
20 0 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 2
1( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )( )
21
( , )( )2
xx xy
yy
f x y f x y f x y x x f x y x x y y
f x y y y R
− = − + − − +
+ − + (4)
úHNOLQGH� \D]DELOLUL]�� 0 0 0( , )P x y � QRNWDVÕQÕQ� \DNÕQ� NRPúXOX÷XQu, 2 1R << olacaN� úHNLOGH�seçHELOHFH÷LPL]GHQ� E|\OHVL� ELU� NRPúXOXN� LoHULVLQGH� ���� ED÷ÕQWÕVÕQÕQ� LúDUHWL� LON� �o� WHULPLQ��LNLQFL� GHUHFH� NÕVPL� W�UHYOL� WHULPOHULQ�� LúDUHWLQH� ED÷OÕ� ROXU�� øON� �o� WHULP�� 0( )x x− ya da
0( )y y− cinsinden ikinci dereceden biU�SROLQRPGXU��(÷HU��LON��o�WHULPH, 0( )x x− cinsinden bir
ikinci derece polinom gözü ile bakar ve
20 0 0 0 0
1 1( ), ( )( ), ( )( )
2 2xx xy yyA f P B f P y y C f P y y= = − = −
G G G (5)
olmak üzere
145
20 0( , ) ( ) ( )F x y A x x B x x C= − + − + (6)
WDQÕPODPDVÕQÕ�\DSDUVDN�EX�GXUXPGD�(6) parDEROXQXQ�GLVNLULPLQDQWÕ
2 2 2 20 0 0 0 0
2 20 0 0 0
4 ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
xy xx yy
xy xx yy
B AC f P y y f P f P y y
f P f P f P y y
′∆ = − = − − −
= − −
G G GG G G (7)
olur ve H÷HU� 0′∆ < ya da ( 20( ) 0y y− > �ROGX÷XQGDQ�
20 0 0( ) ( ) ( ) 0xy xx yyf P f P f P∆ = − <G G G
(8)
ise F(x,y��IRQNVL\RQX�LúDUHW�GH÷LúWLUPH]��2�KDOGH��H÷HU 0∆ < ve A>0 ( 0( )
xxf P
G>0) (9)
ise F(x,y�!��YH�GROD\ÕVÕ\OH�� �x,y�� QRNWDVÕ�� 0 0( , )x y � QRNWDVÕQD�\HWHULQFH� \DNÕQ�NDOGÕ÷Õ� V�UHFH���0 0( , ) ( , )f x y f x y− !�� ROXU�� 2� KDOGH�� WDQÕP� JHUH÷L� 0 0 0( , )P x y � QRNWDVÕ� ELU� \HUHO� PLQLPXP�
QRNWDVÕ�ROXU��%HQ]HU�RODUDN��H÷HU 0∆ < ve A<0 ( 0( )
xxf P
G<0) (10)
ise F(x,y����YH�GROD\ÕVÕ\OH�� �x,y�� QRNWDVÕ�� 0 0( , )x y � QRNWDVÕQD�\HWHULQFH�\DNÕQ� NDOGÕ÷Õ� V�UHFH��0 0( , ) ( , )f x y f x y− ���ROXU��%XQD�J|UH�� WDQÕP�JHUH÷L� 0 0 0( , )P x y � QRNWDVÕ� ELU� \HUHO�PDNVLPXP�
QRNWDVÕGÕU�� ùLPGL� GH� 0∆ > durumunu inceleyelim. Bu durumda F(x,y) parabolu, 0 0( , )x y
QRNWDVÕQGD�VÕIÕU�GH÷HULQH�YH�RQXQ�LNL�WDUDIÕQGD�IDUNOÕ�LúDUHWOHUH�VDKLS�RODFDNWÕU��2�KDOGH���x,y)
QRNWDVÕQÕQ�� 0 0( , )x y � QRNWDVÕQD� \DNODúÕP� \|Q�QH� ED÷OÕ� RODUDN� F(x,y)>0 ya da F(x,y)<0
RODFDNWÕU�� 6RQXo� RODUDN�� 0 0( , )x y � QRNWDVÕQÕQ� NRPúXOX÷XQGD� YH� 0 0( , )x y � QRNWDVÕQD� \DNODúÕP�GR÷UXOWXVXQD� ED÷OÕ� RODUDN� 0 0( , ) ( , ) 0f x y f x y− > ya da 0 0( , ) ( , ) 0f x y f x y− < � RODFDNWÕU�� 2�halde, 0∆ > durumunda, 0( ) 0f P∇ =
G � NRúXOXQXQ� VD÷ODQPDVÕQD� UD÷PHQ� 0 0( , )x y � QRNWDVÕ� ELU�HNVWUHPXP� QRNWDVÕ� GH÷LOGLU�� %|\OH� QRNWDODUD�� \DQL�� JUDGL\HQWLQ� VÕIÕU� ROPDVÕQD� NDUúÕQ�HNVWUHPXP�QRNWDVÕ�ROPD\DQ�QRNWDODUD�³H÷HU´�QRNWDVÕ�GHQLU�
Teorem 1, 20 0 0( ) ( ) ( ) 0xy xx yyf P f P f P∆ = − =G G G
dXUXPXQGD� HNVWUHPXP� QRNWDODUÕ� KDNNÕQGD� ELU�NDUDU�YHUPHPL]H�RODQDN�YHUPHPHNWHGLU��%|\OHVL�GXUXPODUGD�GDKD�D\UÕQWÕOÕ�LQFHOHPH�JHUHNLU�
7DQÕP� �� �.ULWLN� 1RNWDODU�. 2D R⊂ aoÕN� E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� ELU� ( , )z f x y= fonksiyonu
verilsin. D bölgesinin, ( , )z f x y= fonksiyonuQXQ�ELULQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHULQLQ�VÕIÕU�\D�GD�WDQÕPVÕ]�ROGX÷X�QRNWDODUD� ( , )z f x y= fonksiyonuQXQ�NULWLN�QRNWDODUÕ�GHQLU��
146
9DU�ROPDVÕ�KDOLQGH��ELU� IRQNVL\RQXQ�\HUHO�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕQÕQ��V|]�NRQXVX�IRQNVL\RQXQ�NULWLN�QRNWDODUÕ�DUDVÕQGD�\D�GD�WDQÕP�E|OJHVLQLQ�VÕQÕUÕ��]HULQGH�EXOXQDFD÷Õ�DoÕNWÕU��
Örnek 1. 2 2( , )f x y x y= + � IRQNVL\RQXQXQ� YDUVD� \HUHO� YH� PXWODN� HNVWUHPXP� QRNWDODUÕQÕ�bulunuz.
Çözüm.
( , ) 2 0(0,0) kritik noktadÕU�
( , ) 2 0x
y
f x y x
f x y y
= = ⇒= =
Bu noktada
( , ) 2, ( , ) 2, ( , ) 0xx yy xy
f x y f x y f x y= = =
ROGX÷XQGDQ
2 4 0xy xx yy
f f f∆ = − = − <
olur. 0∆ < ve ( , ) 0xx
f x y > �ROGX÷XQGDQ�������IRQNVL\RQXQ�ELU�PLQLPXP�QRNWDVÕGÕU�
Örnek 2. 3( , ) 2f x y x y x= + fonkVL\RQXQXQ� YDUVD� \HUHO� YH� PXWODN� HNVWUHPXP� QRNWDODUÕQÕ�bulunuz.
Çözüm. ( , )f x y �� WDQÕP� E|OJHVL� 3R � RODQ� G|UG�QF�� GHUHFHGHQ� ELU� SROLQRP� ROGX÷XQGDQ�� HQ�D]ÕQGDQ��o�QF��PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHUL�EX�E|OJHGH�WDQÕPOÕ�YH süreklidir.
2
3
2
( , ) 6 1; ( , ) 12 ;
( , ) 2 ; ( , ) 0;
( , ) 6
x xx
y yy
xy
f x y x y f x y xy
f x y x f x y
f x y x
= + =
= =
=
ROXS��%LULQFL�PHUWHEHGHQ�NÕVPL�W�UHYOHULQ�VÕIÕU�ROGX÷X�\HUOHU
2
3
( , ) 6 1 0
( , ) 2 0
x
y
f x y x y
f x y x
= + =
= =
GHQNOHP�VLVWHPLQLQ�o|]�P�QRNWDODUÕGÕU��$QFDN��GHQNOHP�VLVWHPLQLQ�o|]�PV�]�ROGX÷X�DoÕNWÕU��O halde, fonksiyonun bir yerel eNVWUHPXP�QRNWDVÕ�\RNWXU�
147
Örnek 3. A��������QRNWDVÕQÕQ�� ( , ) 2z f x y x y= = + �\�]H\LQH�HQ�\DNÕQ�X]DNOÕ÷ÕQÕ�EXOXQX]�
Çözüm. ( , ) 2z f x y x y= = + � \�]H\L� �]HULQGHNL� GH÷LúNHQ� QRNWDODUÕ� ( , , 2 )B x y x y+ ile
gösterebiliriz. Bu durumda, A ile B�DUDVÕQGDNL�X]DNOÕN�IRQNVL\RQXQX
2 2 2 2 2( , ) ( 2) ( 1) (2 1) 5 2 4 8 4 6F x y x y x y x y xy x y= − + − + + − = + + − − +
IRQNVL\RQX� LOH� WDQÕPOD\DELOLUL]��%X� GXUXPGD� SUREOHP�� 2 2( , ) 5 2 4 8 4F x y x y xy x y= + + − −
IRQNVL\RQXQXQ� \D� GD� EXQD� HúGH÷HU� RODUDN� 2 2( , ) 5 2 4 8 4 6G x y x y xy x y= + + − − +
IRQNVL\RQXQXQ� PLQLPXP� GH÷HULQL� EXOPD\D� G|Q�úP�ú� ROXU�� ùLPGL� ( , )G x y fonksiyonunun
NÕVPL�W�UHYOHULQLQ�VÕIÕU�ROGX÷X�QRNWDODUÕ�DUDúWÕUDOÕP�� ( , ) 10 4 8 0
( , ) 4 4 4 0x
y
G x y x y
G x y x y
= + − == + − =
.
Buradan çözüm olaraksistemi çözülürse, 2 1
( , )3 3
elde edilir. O halde, yüzey üzerinde,
DUDGÕ÷ÕPÕ]�QRNWDQÕQ�NRRUGLQDWODUÕ� 2 1 5( , , )3 3 3
�ROXS����������QRNWDVÕQD�X]DNOÕ÷Õ
2 22 1 2 1 2 1 2 1( , ) 5( ) 2( ) 4 8 4 63 3 3 3 3 3 3 3
20 2 8 48 12 54 24 2 6
9 9 9 9 9 9 9 3
F = + + − − +
= + + − − + = =
dür.
3.15. .RúXOOX�(NVWUHPXPODU��/DJUDQJH�dDUSDQODUÕ 'H÷LúNHQOHUL� ELUELUOHUL� LOH� LOLúNLOL� oRN� GH÷LúNHQOL� ELU� IRQNVL\RQXQ� HNVWUHPXP� QRNWDODUÕQÕQ�DUDúWÕUÕOPDVÕ� SUREOHPL� oRN� VÕN� UDVWODQÕODQ� GXUXPGXU�� %X� GXUXP�� ELOHúHQOHUL� DUDVÕQGD�
( , , ) 0g x y z = ve ( , , ) 0h x y z = � úHNOLQGH� LOLúNL� EXOXQDQ� ELU� ( , , )w f x y z= fonksiyonunun
HNVWUHPXP� QRNWDODUÕQÕ� DUDúWÕUPDN� úHNOLQGH� |UQNOHQGLULOHELOLU�� *HQHOGH� n� GH÷LúNHQOL� ELU�fonksiyon ve n-1�NRúXO�RODELOLU��%XUDGD��o�GH÷LúNHQOL�YH�LNL�NRúXOOX�SUREOHPL�GLNNDWH�DODFDN�YH�VRQXFX�JHQHOOH\HFH÷L]��
148
( , , ) 0g x y z = ve ( , , ) 0h x y z = �NRúXOODUÕ�LOH�ELU� ( , , )w f x y z= �IRQNVL\RQXQXQ�YHULOGL÷LQL�YH�EX�NRúXOODU�DOWÕQGD�IRQNVL\RQXQ�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕQÕ�DUDúWÕUGÕ÷ÕPÕ]Õ�YDUVD\DOÕP��%X�GXUXPGD��YHULOHQ� NRúXOODUGDQ� GH÷LúNHQOHUGHQ� ELUL� GL÷HU� LNLVL� FLQVLQGHQ� LIDGH� HGLOHELOLUVH�� |UQH÷LQ� z
GH÷LúNHQL� x ve y cinsinden ( , )z x yϕ= � úHNOLQGH� LIDGH� HGLOLU� YH� DVÕO� IRQNVL\RQGD� EX� LIDGH�\HULQH� \D]ÕOÕUVD� HOGH� HGLOHQ� ( , , ( , ))w f x y x yϕ= � IRQNVL\RQXQXQ� HNVWUHPXP� QRNWDODUÕ� D\QÕ�zamanda ( , , ) 0g x y z = ve ( , , ) 0h x y z = NRúXOODUÕQÕ�GD�VD÷ODUODU��%|\OHFH�NRúXOOX�HNVWUHPXP�SUREOHPL�QRUPDO�HNVWUHPXP�SUREOHPLQH�LQGLUJHQPLú�ROXU��$QFDN�SUDWLNWH�oR÷X�]DPDQ�YHULOHQ�NRúXOODUGDQ�ELOLQPH\HQ�VD\Õ]ÕQÕ�D]DOWPDN�P�PN�Q�RODPD]�YH�EX�GXUXPGD�NRúXOOX�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕQÕ� EXOPDN� LoLQ� EDúNa bir yöntem kullanmak gerekir. Bu kesimde, Lagrange
oDUSDQODUÕ�GHQLOHQ�\|QWHP�DQODWÕODFDNWÕU�
( , , ) 0g x y z = ve ( , , ) 0h x y z = � NRúXOODUÕQÕQ� KHU� ELUL� X]D\GD� ELUHU� \�]H\� EHOLUOHUNHQ�� LNL�GHQNOHPLQ� D\QÕ� DQGD� VD÷ODQGÕ÷Õ� \HUOHU�� EX� LNL� \�]H\LQ� DUDNHVLW� H÷ULVLGLU�� 2� KDOGH�� NRúXOOX�ekstremum problemi, ( , , )x y z �QRNWDVÕ��EX�DUDNHVLW�H÷ULVL�ER\XQFD�\HU�GH÷LúWLUPHN�NRúXOX�LOH�
( , , )w f x y z= � IRQNVL\RQXQXQ� DODFD÷Õ� PDNVLPXP� YH� PLQLPXP� QRNWDODUÕ� EXOPD� LúOHPLQH�döQ�úPHNWHGLU��%|\OHVL�ELU�HNVWUHPXP�QRNWDVÕQGD�� ( , , )f x y z ¶QLQ��H÷UL�ER\XQFD�RODQ�GR÷UXOWX�W�UHYL� \DQL� H÷ULQLQ� V|]� NRQXVX� QRNWDVÕQGDNL� WH÷HWL� GR÷UXOWXVXQGDNL� GR÷UXOWX� W�UHYL� VÕIÕU�ROPDOÕGÕU�
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) 0u
D f x y u f x y= ∇ =G G, (1)
burada 0uG �� DUDNHVLW� H÷ULVLQLQ�� 0 0 0 0( , , )P x y z � QRNWDVÕQGDNL� WH÷HW� GR÷UXOWXVXGXU�� %XUDGDQ��
0 0 0( , , )f x y z∇ �YHNW|U�Q�Q��H÷ULQLQ�� 0 0 0 0( , , )P x y z �QRNWDVÕQGDNL�QRUPDO�GR÷UXOWXVXQX�LoHUHQ�ELU�G�]OHPGH� ROGX÷X� DQODúÕOÕU�� hVWHOLN�� � 0 0 0( , , )g x y z∇ ve 0 0 0( , , )h x y z∇ � YHNW|UOHUL� GH� D\QÕ�G�]OHPGHGLUOHU�� %DúND� ELU� GH÷LúOH�� 0 0 0( , , )f x y z∇ , 0 0 0( , , )g x y z∇ ve 0 0 0( , , )h x y z∇
YHNW|UOHULQLQ��o��GH�D\QÕ�G�]OHPOL�\DQL�OLQHHU�ED÷OÕGÕUODU��2�KDOGH��RQODU�DUDVÕQGD� 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) 0f x y z g x y z h x y zλ λ∇ + ∇ + ∇ = (2)
HúLWOL÷L� VD÷ODQDFDN� úHNLOGH� 1λ ve 2λ � VD\ÕODUÕ� YDUGÕU� YH� EXQODUD� ³/DJUDQJH� oDUSDQODUÕ´� DGÕ�verilir. (2) ile verilen vektörel denklem
1 2
1 2
1 2
0
0
0
x x x
y y y
z z z
f g h
f g h
f g h
λ λλ λ
λ λ
+ + =+ + = + + =
(3)
149
ELoLPLQGH��o�VNDOHU�GHQNOHPGHQ�ROXúDQ�ELU�GHQNOHP�VLVWHPLQH�HúGH÷HUGLU��.RúXO�GHQNOHPOHUL�GH�GLNNDWH�DOÕQÕUVD�EHú�ELOLQPH\HQOL�EHú�GHQNOHPGHQ�ROXúDQ
1 2
1 2
1 2
0
0
0
( , , ) 0
( , , ) 0
x x x
y y y
z z z
f g h
f g h
f g h
g x y z
h x y z
λ λλ λ
λ λ
+ + = + + = + + = =
=
(4)
denklem sistemi elde edilir ve sistemin çözümünden 1λ ve 2λ � /DJUDQJH� oDUSDQODUÕ� LOH�( , , )x y z � NULWLN� QRNWDODUÕ� HOGH� HGLOLU��%X� NULWLN� QRNWDODU� IRQNVL\RQXQ�� YHULOHQ� NRúXO� DOWÕQGDNL�ekstremum�QRNWDODUÕ�\D�GD�H÷HU�QRNWDODUÕGÕU��(÷HU�� 1 2 1 2( , , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )G x y z f x y z g x y z h x y zλ λ λ λ= + + (5)
IRQNVL\RQXQX�WDQÕPODUVDN������VLVWHPLQL
1 2
1 2
1 2
( , , , , ) 0
( , , , , ) 0
( , , , , ) 0
( , , ) 0
( , , ) 0
x
y
z
G x y z
G x y z
G x y z
g x y z
h x y z
λ λλ λ
λ λ
= = = =
=
(6)
biçiminde de yazabiliriz.
Genel olarak ifade edecek olursak, n�GH÷LúNHQOL�ELU�I�IRQNVL\Rnu ile ( 1)k k n≤ − denklemden
ROXúDQ�NRúXOODU�YHULOGL÷LQGH������VLVWHPLQH�EHQ]HU�RODUDN�n+k bilinmeyenli ve n+k denklemden
ROXúDQ�ELU�VLVWHP�HOGH�HGLOLU�YH�EX�VLVWHPLQ�o|]�OPHVL�LOH�k�DGHW�/DJUDQJH�oDUSDQÕ�LOH�ELUOLNWH�aranan kritik noktalaU�EXOXQPXú�ROXU�
Örnek 1. ( , , )f x y z xyz= fonksiyonunun, 2 2 2( , , ) 1 0g x y z x y z= + + − = � NRúXOX� DOWÕQGDNL�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕQÕ�EXOXQX]�
Çözüm.
( , , ) ( , , ) ( , , )G x y z f x y z g x y zλ= +
WDQÕPODPDVÕQÕ�\DSDUVDN
150
( , , , ) 2 0
( , , , ) 2 0
( , , , ) 2 0
x
y
z
G x y z yz x
G x y z xz y
G x y z xy z
λ λλ λ
λ λ
= + == + =
= + =
denklem sistemini elGH�HGHUL]��%X�GHQNOHPOHU��VÕUDVÕ\OD��x, y, z�LOH�oDUSÕOÕS�WRSODQÕUVD
2 2 23 2 ( ) 0xyz x y zλ+ + + =
YH�NRúXO�GHQNOHPL�\DUGÕPÕ\OD�GD 2 3xyzλ = −
elde edilir. Böylece, birinci denklemden
2 33 0 0 veya
3yz x yz yz x− = ⇒ = = ±
bulunur.
i. (÷HU��y=0 ve 0z ≠ ise, ikinci denklemden x ��HOGH�HGLOLU��.RúXO� GHQNOHPL�JHUH÷LQFH� GH�1z = ± �RODFD÷ÕQGDQ�NULWLN�QRNWDODU������ 1± ) olur.
ii. (÷HU��z=0 ve 0y ≠ ise, üçüncü denklemden x=0�HOGH�HGLOLU��.RúXO�GHQNOHPL�JHUH÷LQFH�GH�1y = ± �RODFD÷ÕQGDQ�NULWLN�QRNWDODU���� 1± ,0) olur.
iii. (÷HU�� z=0 ve 0y = � LVH�� NRúXO� GHQNOHPL� JHUH÷LQFH� 1x = ± � RODFD÷ÕQGDQ� NULWLN� noktalar
( 1± ,0,0) olur.
iv. (÷HU�� 3
3x = ± ise, ikinci denklemden,
3
3y = ± � YH� NRúXO� GHQNOHPLQGHQ� GH� 3
3z = ±
elde edilir. Böylece, 3 3 3
( , , )3 3 3
± ± ± �úHNOLQGH�VHNL]�WDQe kritik nokta elde edilir.
6RQXo�RODUDN��SUREOHPLQ�WRSODP����WDQH�NULWLN�QRNWDVÕ�YDUGÕU��%X�QRNWDODUÕ�YH�IRQNVL\RQXQ�EX�QRNWDODUGD�DOGÕ÷Õ�GH÷HUOHULQ�ELU�WDEORVXQX�\DSDUDN�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕQÕ�DUDúWÕUDOÕP�
Kritik nokta no
x y z f(x,y,z)= xyz $oÕNODPD
1 0 0 -1 0 (÷HU�QRNWDVÕ 2 0 0 1 0 ′′
3 0 -1 0 0 ′′
4 0 1 0 0 ′′
5 -1 0 0 0 ′′
6 1 0 0 0 ′′
7 - 3 2 - 3 2 - 3 2 - 3 9 Minimum
151
Kritik nokta no
x y z f(x,y,z)= xyz $oÕNODPD
8 - 3 2 - 3 2 3 2 3 9 Maksimum
9 - 3 2 3 2 - 3 2 3 9 Maksimum
10 - 3 2 3 2 3 2 - 3 9 Minimum
11 3 2 - 3 2 - 3 2 3 9 Maksimum
12 3 2 - 3 2 3 2 - 3 9 Minimum
13 3 2 3 2 - 3 2 - 3 9 Minimum
14 3 2 3 2 3 2 3 9 Maksimum
%XQD�J|UH��IRQNVL\RQXQ�YHULOHQ�NRúXO�DOWÕQGD��G|UW�PDNVLPXP��G|UW�PLQLPXP�YH�DOWÕ�WDQH�GH�H÷HU�QRNWDVÕ�YDUGÕU�
Örnek 2. 2 2( , ) 6 2f x y x xy y x= + + − + fonksiyonunun, { }( , ) 0 5, 3 0D x y x y= ≤ ≤ − ≤ ≤
E|OJHVLQGHNL�HNVWUHPXP�QRNWDODUÕQÕ�EXOXQX]�
Çözüm.
2 6 0
2 0x
y
f x y
f x y
= + − == + =
denklem sistemi çözülürse (4 ,-2) elde edilir. O halde, A(4, -���NULWLN�QRNWDGÕU��ùLPGL�GH�D
E|OJHVLQLQ�VÕQÕUODUÕQÕ�LQFHOH\HOLP�� i) x ��GR÷UXVX��]HULQGH
2( , ) 2f x y y= +
ROXS��������ELU�NULWLN�QRNWDGÕU� ii) x ��GR÷UXVX��]HULQGH
2( , ) 5 3f x y y y= + −
olup, (5, -�����ELU�NULWLN�QRNWDGÕU�
iii) y ��GR÷UXVX��]HULQGH 2( , ) 6 2f x y x x= − +
oluS���������ELU�NULWLN�QRNWDGÕU� iv) y=-��GR÷UXVX��]HULQGH
152
2( , ) 9 11f x y x x= − +
olup, (9/2, -���ELU�NULWLN�QRNWDGÕU��2�KDOGH��ELU�WDEOR�KDOLQGH�J|VWHUHFHN�ROXUVDN�
Kritik Nokta
No
x y z=f(x,y) $oÕNODPD
1 0 0 2 Mutlak Maksimum
2 5 -5/2 -37/4
3 3 0 -7
4 9/2 -3 -37/4
5 4 -2 -10 Mutlak minimum
HOGH� HGHUL]�� %XQD� J|UH�� IRQNVL\RQXQ�PXWODN�PLQLPXP� QRNWDV� ���� -2) ve mutlak minimum
GH÷HUL� -��� LNHQ� PXWODN� PDNVLPXP� QRNWDVÕ� ���� ��� YH� PXWODN� PDNVLPXP� GH÷HUL� GH� �¶GLU��)RQNVL\RQXQ�WDQÕP�N�PHVL�YH�NULWLN�QRNWDODUÕ�ùHNLO��¶GH�J|VWHULOPLúWLU�
3.16. En Küçük Kareler Yöntemi
dRN� GH÷LúNHQOL� IRQNVL\RQODUÕQ� HNVWUHPXP� QRNWDODUÕ� \|QWHPLQGHQ� \DUDUODQDUDN� ELU� GHQH\�VRQXFXQGD� HOGH� HGLOHQ� J|]OHP� QRNWDODUÕQD� HQ� L\L� X\XP� VD÷OD\DQ� ( )y f x= fonksiyonu
belirlenebilir. Burada ( )y f x= � IRQNVL\RQX�� \DSÕODQ� GHQH÷LQ� GD\DQGÕ÷Õ� NXUDP� WDUDIÕQGDQ�|QJ|U�OHQ� W�UGHQ�ELU� H÷UL� �GR÷UX�� SDUDERO�� SHUL\RGLN�H÷UL� Y�E��� J|VWHULU��%L]� EXUDGD�HQ�EDVLW�olarak ( )y f x ax b= = + �úHNOLQGHNL�OLQHHU�IRQNVL\RQX�GLNNDWH�DODFD÷Õ]��%HQ]HU�LúOHPOHU�GL÷HU�W�UGHQ� IRQNVL\RQODUD� GD� X\JXODQDELOLU�� ùHNLO� �¶GH� ELU� GHQH\� VRQXFXQGD� HOGH� HGLOHQ� J|]OHP�QRNWDODUÕ� LOH� EX� QRNWDODUD� HQ� L\L� X\XP�VD÷OD\DQ� GR÷UX� WHPVLOL� RODUDN� J|VWHULOPLúWLU��$PDFÕPÕ]�� HOGH� E|\OHVL� J|]OHP� QRNWDODUÕ�YDUNHQ�EXQODUD�HQ�L\L�X\P�VD÷OD\DQ�GR÷UXQXQ�GHQNOHPLQL� EXOPDNWÕU�� %XQXQ� LoLQ�� a ve b
NDWVD\ÕODUÕ� |÷OH� EHOLUOHQPHOLGLU� NL�� xi’lere
NDUúÕOÕN� JHOHQ� yi (i=1,2,...,n) gözlem
QRNWDODUÕQÕQ� ( )y f x ax b= = + � GR÷UXVXQGDQ�VDSPDODUÕQÕQ�WRSODPÕ�PLQLPXP olsun. Burada
n�� J|]OHP� QRNWDODUÕQÕQ� VD\ÕVÕGÕU��� $QFDN�� yi� J|]OHP� QRNWDODUÕQÕQ� V|]� NRQXVX� GR÷UXGDQ�VDSPDODUÕ� SR]LWLI� \D� GD� QHJDWLI� RODELOHFH÷LQGHQ� EXQXQ� \HULQH�� VDSPDODUÕQ� NDUHOHULQLQ�
153
WRSODPÕQÕ�PLQLPXP�\DSPDN�GDKD�GR÷UX�RODFDNWÕU��2�KDOGH��SUREOHPLQ�o|]�Pü olarak, a ve b
cinsinden iki bilinmiyenli
[ ]2
1
( , )n
i i
i
f a b y ax b=
= − −∑ (1)
IRQNVL\RQXQX�PLQLPXP�QRNWDVÕ�DUDúWÕUÕOPDOÕGÕU��%XQD�J|UH�� ( , )f a b fonksiyonunun a ve b’ye
J|UH� ELULQFL� W�UHYOHULQLQ� VÕIÕU� ROGX÷X� \HUOHU� DUDQDQ�a ve b� GH÷HUOHULQL� YH� GROD\ÕVÕ\OH� DUDQDQ�GR÷UX�GHQNOHPLQL�YHUHFHNWLU��%|\OHFH������LIDGHVLQLQ�a ve b¶\H�J|UH�W�UHYOHUL�DOÕQÕUVD
1
1
2 ( ) 0
2 ( ) 0
n
a i i i
i
n
b i i
i
f x y ax b
f y ax b
=
=
= − − − =
= − − − =
∑
∑ (2)
ve gerekli düzenlemeleri yaparak da
2
1 1 1
1 1
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
a x b x x y
a x bn y
= = =
= =
+ =
+ =
∑ ∑ ∑
∑ ∑ (3)
denklem sistemini elde ederiz.
2
1
1
2 0,
2 0
2
n
aa i
i
bb
n
ab i
i
f x
f n
f x
=
=
= ≥ = > =
∑
∑
(4)
olup, buradan da diskiriminant için
2
2 2
1 1
4 4n n
ab aa bb i i
i i
f f f x n x= =
∆ = − = − ∑ ∑ (5)
ifadesini elde ederiz.
2
2
1 1
n n
i i
i i
x n x= =
< ∑ ∑ (6)
HúLWVL]OL÷LQLQ� YDUOÕ÷Õ� ELOLQGL÷LQGHQ�� VRQXo olarak 0∆ < elde ederiz ki, bu da bize, (3)
sisteminden bulunacak (a,b�� QRNWDVÕQÕQ�� ( , )f a b � IRQNVL\RQXQXQ� ELU� PLQLPXP� GH÷HUL�ROGX÷XQX�J|VWHULU�
154
Örnek 1. $úD÷ÕGD�ELU�GHQH\�VRQXFXQGD�HOGH�HGLOHQ����DGHW�J|]OHP�QRNWDVÕQD� LOLúNLQ�x ve y
|Oo�P�GH÷HUOHUL�YHULOPLúWLU��x ile y�DUDVÕQGD�y=ax+b�úHNOLQGH�GR÷UXVDO�ELU�LOLúNL�EHNOHQGL÷LQH�J|UH��J|]OHP�QRNWDODUÕQÕ�HQ�L\L�WHPVLO�HGHQ�GR÷UX�GHQNOHPLQL�EXOXQX]�
Ölçüm No
x y
1 0.00 3.50 2 1.00 6.50 3 2.00 8.20 4 3.00 8.50 5 4.00 12.08 6 5.00 13.40 7 6.00 17.60 8 7.00 18.00 9 8.00 20.90
10 9.00 21.92
Çözüm��*|]OHP�YHULOHULQL�NXOODQDUDN�DúD÷ÕGDNL�WDEOR\X�ROXúWXUDOÕP
Ölçüm No
x y x2 xy
1 0.00 3.50 0.00 0.00 2 1.00 6.50 1.00 6.50 3 2.00 8.20 4.00 16.40 4 3.00 8.50 9.00 25.50 5 4.00 12.08 16.00 48.32 6 5.00 13.40 25.00 67.00 7 6.00 17.60 36.00 105.60 8 7.00 18.00 49.00 125.99 9 8.00 20.90 64.00 167.20
10 9.00 21.92 81.00 197.28
1
45n
i
i
x=
=∑ 1
130.60n
i
i
y=
=∑ 2
1
285.00n
i
i
x=
=∑ 1
759.75n
i i
i
x y=
=∑
Buna göre, (3) formüllerinden
285 45 759.75
45 10 130.6
a b
a b
+ =+ =
denklem sistemi ve çözümünden de a=2.09 ve
E �����HOGH�HGLOLU��2�KDOGH�DUDQDQ�GR÷UX�GHQNOHPL 2.09 3.65y x= +
ROXS�� J|]OHP� QRNWDODUÕ� LOH� ELUOLNWH� ùHNLO� �¶de
J|VWHULOPLúWLU�
155
3.17. Skalar ve Vektör Alanlar
7DQÕP��. nD R⊂ �E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ�f skalar fonksiyonu, D bölgesinin her bir 1 2( , ,..., )nx x x
QRNWDVÕQD� ELU� 1 2( , ,..., )nf x x x R∈ � VD\ÕVÕQÕ� NDUúÕOÕN� JHWLULU�� %|\OHFH��D� WDQÕP� N�PHVL� LOH� f(D)
GH÷HUOHU�N�PHVLQH�ELUOLNWH��D bölgesinde, f fonksiyonu ile belirlenen bir skalar alan denir.
7DQÕPD� J|UH�� |UQH÷LQ�� \HU\�]�QGHNL� FR÷UDILN� QRNWDODUÕQ� UDNÕPODUÕ� \D� GD� |UQH÷LQ� J�QHúLQ�LoHULVLQGHNL�KHUKDQJL�ELU�QRNWDQÕQ�\R÷XQOX÷X�\D�GD�VÕFDNOÕ÷Õ�úHNOLQGH�WDQÕPODQDQ�IRQNVL\RQODU�ELUHU� VNDODU� DODQ� WDQÕPODUODU�� %XQD� J|UH�� |UQH÷LQ�� NRQXP� YHNW|U�� r
G �� J�QHúLQ� PHUNH]LQGHQ�LWLEDUHQ� |Oo�OPHN� �]HUH�� J�QHúLQ� LoLQGHNL� VÕFDNOÕN� DODQÕQÕ� � ( )T r
G skalar fonksiyonu ile
gösterirsek, ( )T r c=G
(c�� VDELW�� GHQNOHPLQL� VD÷OD\DQ� \�]H\H�� VÕFDNOÕNOÕ÷Õ� c olan “Hú� VÕFDNOÕN�yüzeyi´�GHQLU��%HQ]HU�RODUDN��5�\DUÕoDSOÕ�ELU�\ÕOGÕ]ÕQ�GÕúÕQGDNL�QRNWDODUÕQ�NRQXP�YHNW|UOHULQL�yine r
G ( r r R= >
G �� LOH� J|VWHULUVHN� YH� \ÕOGÕ]ÕQ� GÕú� NÕVPÕQGDNL� SRWDQVL\HO� DODQÕQÕ� GD� ( )rψG
VNDODU� IRQNVL\RQX� LOH� WDQÕPODUVDN� EX� GXUXPGD� GD� ( )r cψ =G
(c�� VDELW�� GHQNOHPLQL� VD÷OD\DQ�yüzeylere “Hú�SRWDQVL\HO�\�]H\ler” denir.
7DQÕP� �. nD R⊂ � E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� YHNW|U� GH÷HUOL� F
G fonksiyonu, D bölgesinin her bir
1 2( , ,..., )n
x x x � QRNWDVÕQD�� 1 2( , ,..., )n
F x x xG � úHNOLQGH�ELU�YHNW|U�NDUúÕOÕN�JHWLULU��D tanÕP�N�PHVL�
ile ( )F DG � GH÷HUOHU�N�PHVLQH�ELUOLNWH��D bölgesinde, F
G fonksiyonu ile belirlenen bir vektör
DODQ�GHQLU��
%LU� YHNW|U� DODQÕQÕ� EHOLUWPHN� LoLQ�� V|]� NRQXVX� E|OJHGH� WDQÕPOÕ� YHNW|U� GH÷HUOL� IRQNVL\RQXQ�ifaGHVLQL� YHUPHN� \HWHUOLGLU�� %LU� YHNW|U� DODQÕ�� |UQHN� ELU� NDo� YHNW|U�� LOH� úHPDWLN� RODUDN�J|VWHULOHELOLU��(÷HU�|]HO�RODUDN��o�ER\XWOX�X]D\�LOH�LOJLOHQLUVHN�� F
G YHNW|U�DODQÕ��EX�X]D\ÕQ�KHU�
bir (x, y, z��QRNWDVÕQD
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +GG G G
(1)
úHNOLQGH�ELU�YHNW|U�NDUúÕOÕN�JHWLULU�
Örnek 1. Yerin merkezini orijin kabul eden bir dik koordinat sisteminde, herhangi bir (x, y,
z��QRNWDVÕQGDNL�oHNLP�NXYYHWLQL
2 2 2 3/ 2 2( , , )
( )
xi yj zk GM rF x y z GM
x y z r r
+ += − = −
+ +
GG G GG (2)
156
formülü ile verebiliriz. Burada, r xi yj zk= + +GG GG
ve r, sözkonusu (x, y, z��QRNWDVÕQÕQ�NRQXP�YHNW|U�� YH� RULMLQH� RODQ� X]DNOÕ÷Õ� LNHQ�� G, evrensel çekim sabiti ve M de yerin kütlesidir
( 8 276.668 10 cgs, M=5.97 10 gG−= × × ). Böylece,
(2) fonksiyonu, yer merkezli bir koordinat
VLVWHPLQGH�ELU�YHNW|U�DODQÕ�WDQÕPODU��%X�YHNW|U�DODQÕ�ùHNLO� �¶GH� úHPDWLN� RODUDN� J|VWHULOPLúWLU�� ùHNLOGH�E�W�Q� YHNW|UOHULQ� \HULQ� PHUNH]LQH� GR÷UX� \|QHOPLú�ROGXNODUÕQD� YH� PHUNH]GHQ� X]DNODúWÕNoD� YHNW|UOHULQ�úLGGHWOHULQLQ�N�o�OG�÷�QH�GLNNDW�HGLQL]�
Örnek 2. ( , , )F x y z yj=G G
fonksiyonu, y-eksenine
SDUDOHO�ELU�YHNW|U�DODQÕ�WDQÕPODU��ùHNLO�����%X�DODQGDNL�vektörler daima y-eksenine paraleldirler ve y ile
YHULOHQ�GH÷LúNHQ�úLGGHWH�VDKLSWLUOHU�
f(x,y,z��� ELULQFL� PHUWHEHGHQ� V�UHNOL� NÕVPL� W�UHYOHUH� Vahip bir fonksiyon olmak üzere, f
fonksiyonunun gradiyentini
gradf f f
f f i j kx y z
∂ ∂ ∂∇ = = + +
∂ ∂ ∂
GG G (3)
úHNOLQGH� WDQÕPODPÕúWÕN�� ùLPGL� GH� VNDODU� YH� YHNW|UHO� DODQODU� LoLQ� GL÷HU� ED]Õ� WDQÕPODPDODU�verelim.
7DQÕP��� �'LYHUMDQV�. ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +GG G G
vekt|U� DODQÕ� YHULOVLQ�ve P, Q ve R� VNDODU� IRQNVL\RQODUÕ��VÕUDVÕ\OD��x, y, ve z¶\H�J|UH�V�UHNOL�NÕVPL� W�UHYOHUH�VDKLS�olsun. Bu durumda
P Q R
divF Fx y z
∂ ∂ ∂= ∇ = + +
∂ ∂ ∂
G G (4)
157
VNDODU�GH÷HULQH�� ( , , )F x y zG � YHNW|U� GH÷HUOL� IRQNVL\RQXQXQ�³diverjDQVÕ´�GHQLU��'LYHUMDQVÕ� VÕIÕU�
RODQ�YHNW|U�DODQODUÕQD�³VHUEHVW�GLYHUMDQVOÕ�DODQODU´�GHQLU��
7DQÕP�5 (Rotasyonel). ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +GG G G �YHNW|U�DODQÕ�YHULOVLQ�
ve P, Q ve R�VNDODU�IRQNVL\RQODUÕ�ELULQFL�PHUWHEHGHQ�V�UHNOL�NÕVPL�W�UHYOHUH�VDKLS�ROVXQ��%u
durumda
rot curl ( ) ( ) ( )y z z x x y
i j k
F F F R Q i P R j Q P kx y y
P Q R
∂ ∂ ∂= = ∇× = = − + − + −
∂ ∂ ∂
GG GGG G G G G
(5)
YHNW|UHO�GH÷HULQH�� ( , , )F x y zG �YHNW|U�GH÷HUOL�IRQNVL\RQXQXQ�³rotasyoneli” ya da “curlu” denir.
Örnek 3. ( , , )F x y z yzi xzj xyk= + +GG G G �IRQNVL\RQXQXQ�GLYHUMDQVÕQÕ�YH�FXUOXQX�EXOXQX]�
Çözüm.
0P Q R
divF Fx y z
∂ ∂ ∂= ∇ = + + =
∂ ∂ ∂
G G
curl 0
i j k
F Fx y y
yz xz xy
∂ ∂ ∂= ∇× = =
∂ ∂ ∂
GG GG G
dir.
Örnek 4��dHNLP�DODQÕQÕQ�GLYHUMDQVÕQÕQ�VÕIÕU�ROGX÷XQX�J|VWHULQL]�
Çözüm��dHNLP�DODQÕ�IRQNVL\RQXQX
2 2 2 3/ 2
2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2
( , , )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
xi yj zkF x y z GM
x y z
GMx GMy GMzi j k
x y z x y z x y z
+ += −
+ +− − −
= + ++ + + + + +
GG GG
GG G
úHNOLQGH�\D]DUVDN��
158
2 2 2 3/ 2 3
2 2 2 3/ 2 3
2 2 2 3/ 2 3
( , , ) ,( )
( , , ) ,( )
( , , )( )
GMx GMxP x y z
x y z r
GMy GMyQ x y z
x y z r
GMz GMzR x y z
x y z r
− −= =
+ +− −
= =+ +− −
= =+ +
elde ederiz. Buradan
3 22 2
6 5
3 3x
GMr GMr xP GMr GMxr
x r r
− +∂ − += =
∂
ve benzer olarak
2 2 2 2
5 5
3 3ve
Q GMr GMy R GMr GMz
y r z r
∂ − + ∂ − += =
∂ ∂
HOGH�HGHUL]��%|\OHFH��oHNLP�DODQÕQÕQ�GLYHUMDQVÕ
2 2 2 2 2 2
5 5 5
2 2 2
3 5
2
3 5
3 3 3
3 3 ( )
3 3 ( ) 0
P Q RdivF F
x y z
GMr GMx GMr GMy GMr GMz
r r r
GM x y rGM
r r
GM rGM
r r
∂ ∂ ∂= ∇ = + + =
∂ ∂ ∂
− + − + − += + +
+ += − +
= − + =
G G
olur.
9HNW|UHO�DODQODUD�LOLúNLQ�D\UÕQWÕOÕ�NRQXODU��LOHULGH�³9HNW|UHO�$QDOL]�%|O�P�QGH´�YHULOHFHNWLU�
159
Bölüm 4
øNL .DWOÕ�øQWHJUDOOHU %X�E|O�P�Q�DPDFÕ��iki�NDWOÕ�LQWHJUDOOHUL�WDQÕPODPDN�YH�oHúLWOL�IRQNVL\RQODUÕQ��IDUNOÕ�E|OJHOHU��]HULQGHNL��LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOOHULQL�KHVDSODPDNWÕU�� �����øNL�.DWOÕ�øQWHJUDOOHU 7DQÕP� �� �øNL� .DWOÕ� øQWHJUDO). ( , )z f x y= �� VÕQÕUOÕ� 2
D R⊂ bölgesiQGH� WDQÕPOÕ� ROVXQ�� D
bölJHVLQL�� ùHNLO� ���¶GH� J|VWHULOGL÷L� JLEL�� x- ve y-HNVHQOHULQH� SDUDOHO� GR÷UXODUOD� DOW� E|OJHOHUH�D\ÕUDOÕP� �D¶QLQ� GLNG|UWJHQVHO� SDUoDODQÕúÕ�� YH� elde edilen alt bölgeleri, 1’den n’ye kadar QXPDUDODQGÕUDOÕP��D�E|OJHVLQLQ�DODQÕ A olmak üzere, D¶QLQ�SDUoDODQÕúÕQGDNi i-ci alt bölgenin
DODQÕQÕ�i
A∆ ile gösterelim. ùLPGL�� * *( , )i i
x y ile i-ci alt bölge içerisindeki her hangi bir nokta\Õ�göstererek
* *
1
( , )n
i i i
i
f x y A=
∆∑ (1)
WRSODPÕQÕ�ROXúWXUDOÕP��(÷HU��D’nin soQVX]�SDUoDODQÕúÕ�LoLQ��n → ∞ �������WRSODPÕ�WHN�ELU�VRQOX�V�OLPLWLQH�\DNÕQVDUVD��EX�OLPLWH�� ( , )z f x y= fonksiyonunun, D�E|OJHVLQGHNL�LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOL�denir ve
ùHNLO�4.1
* *
1
( , ) lim ( , )n
i i in
iD
f x y dxdy f x y A→∞
=
= ∆∑∫∫ (2)
ile gösterilir.
160
Not. D� E|OJHVLQLQ� SDUoDODQÕúÕQGD� NXOODQGÕ÷ÕPÕ]� GR÷UXODU�� EXUDGDNL� JLEL� x- ve y-eksenlerine paralel ROPDN� ]RUXQGD� GH÷LOGLU��hVWHOLN�� SDUoDODQPD� G|UWJHQVHO� ROPDN� ]RUXQGD� GD� GH÷LOGLU��Ancak,� H÷HU, dörtgensel parçalanma uygulanacaksa, matemaWLN� DoÕGDQ� E�\�N� NROD\OÕN�VD÷OD\DFD÷ÕQGDQ�� x- ve y-HNVHQOHULQH� SDUDOHO� GR÷UXODUÕQ� NXOODQÕOPDVÕ� WHUFLK� HGLOLU�� gUQH÷LQ��uoODN�NRRUGLQDWODU�NXOODQÕOGÕ÷ÕQGD�LVH�parçalama için, sabit r ve sabit θ��H÷Uileri�NXOODQÕOÕU� 4.2��øNL�.DWOÕ�øQWHJUDOin Geometrik AQODPÕ
( , )z f x y= sürekli fonksiyonunun, i-FL�DOW�E|OJH� LoHULVLQGHNL�HQ�N�o�N�GH÷HUL�i
m , en büyük
GH÷HUL�GH�i
M olsun. Bu durumda,
* *( , )i i i i i i i
m A f x y A M A∆ ≤ ∆ ≤ ∆ (1)
HúLWVL]OL÷LQL�\D]DELOLUL]��(úLWVL]OL÷LQ� VRO�YH� VD÷� WDUDIODUÕ,� WDEDQ�DODQODUÕ�
iA∆ ve yükseklikleri,
VÕUDVÕ\OD��i
m ve i
M � RODQ� GLN� SUL]PDODUÕQ� KDFLPOHULQH�HúLWWLU� (1�� HúLWVL]OL÷L� GLNNDWH� DOÕQÕUVD��önceki kesimdeki ����WRSODPÕQÕ
* *
1 1 1
( , )n n n
i i i i i i i
i i i
m A f x y A M A= = =
∆ ≤ ∆ ≤ ∆∑ ∑ ∑ (2)
úHNOLQGH� DOWWDQ� YH� �VWWHQ� VÕQÕUOD\DELOLUL]� �EN]�� ùHNLO� ����. D� E|OJHVLQLQ� VRQVX]� SDUoDODQÕúÕ�durumunda,
iA∆ �DODQODUÕ�VÕIÕUD�\DNODúÕUNHQ�� ( , )z f x y= fonksiyonunun, her bir alt bölgedeki
HQ� N�o�N� YH� HQ� E�\�N� GH÷HUOHUL� GH� GR÷DO� RODUDN� ELUELUOHULQH� \DNODúDFDNWÕU�� 'ROD\ÕVÕ\OH��
1
n
i i
i
m A=
∆∑ ve 1
n
i i
i
M A=
∆∑ �WRSODPODUÕ�D\QÕ�ELU�OLPLWH�\DNÕQVD\DFDN�YH�EX�OLPLWin�GH÷HUL de, WDEDQÕ�D bölgesi olan dik silindirin, ( , )z f x y= �\�]H\L�LOH��VWWHQ�VÕQÕUODQPDVÕ\OD�HOGH�HGLOHQ�FLVPLQ�KDFPL�RODFDNWÕU��(÷HU, bu hacmi V ile gösterirsek, (2��HúLWVL]OL÷LQGHQ� n → ∞ için limite geçer YH�VDQGYLo�NXUDOÕQÕ�dikkate alÕUVDN
* *
1
( , ) ( , ) limn
i i in
i D
f x y A f x y dxdy V→∞
=
∆ = = =∑ ∫∫ (3)
yazabiliriz. Buna göre, ( , )z f x y= fonksiyonunun, bir D� E|OJHVL� �]HULQGHQ� DOÕQDQ� LNL� NDWOÕ�integrali��WDEDQÕ�bu D bölgesi olan YH�WDYDQÕ�da ( , )z f x y= yüzeyi ile belirlenen dik silindirin
hacPLQH�HúLWWLU�
7DQÕP� �. ( , )D
f x y dxdy∫∫ � úHNOLQGH� YHULOHQ� LNL� NDWOÕ� LQWHJUDOGH�� x ve y’ye “integrasyon
GH÷LúNHQOHUL”, ( , )f x y ’ye “integrand” ve D bölgesine de “integrasyon bölgesi” denir.
161
Teorem 2. (Birinci Fubini Teoremi). ( , )z f x y= fonksiyonu,
{ } 2( , ) ,D x y a x b c y d R= ≤ ≤ ≤ ≤ ⊂
E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�ROVXQ��%X�GXUXPGD ( , )D
f x y dxdy∫∫ �LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOL
( , ) ( , ) ( , )d b b d
D c a a c
f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx
= =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (4)
úHNOLQGH�WHN�NDWOÕ,�DUGÕúÕN�LQWHJUDOOHU�ELoLPLQGH�KHVDSODQDELOLU�
øVSDW. ( , )D
f x y dxdy∫∫ LQWHJUDOL�� WDEDQÕ�� x=a, x=b, y=c ve y=d� GR÷UXODUÕ� LOH� EHOLUOHQHQ�GLNG|UWJHQ�YH�WDYDQÕ�GD� ( , )z f x y= yüzeyi ile belirlenen cismin KDFPL�RODFDNWÕU��%X�KDFmi,
ùekil 2’deki JLEL�� WDEDQÕQÕQ�VRQVX]�SDUoDODQPDVÕ\OD�HOGH�HGLOHQ�GLN�SUL]PD�úHNOLQGHNL�KDFLP�elemanODUÕQÕQ�WRSODPÕ�RODUDN�G�ú�Q�biliriz.
ùHNLOGHNL�KLMN�E|OJHVLQLQ�DODQÕ
( ) ( , )d
c
A KLMN f x y dy= ∫ (5)
ve KLMNPQRS cisminin hacmi de
( ) ( , )b d
a c
V H KLMNPQRS f x y dy dx
= =
∫ ∫ (6)
olur. Bu sefer KPQL�E|OJHVLQL�GLNNDWH�DOÕUVDN
162
( ) ( , )b
a
A KPQL f x y dx= ∫ (7)
ve KLMNPQRS cisminin hacmi de
( ) ( , )d b
c a
V H KLMNPQRS f x y dx dy
= =
∫ ∫ (8)
ROXU��6RQXo�RODUDN��LNL�NDWO�LQWHJUDOLQ�KHVDSODQPDV�LoLQ
( , ) ( , ) ( , )d b b d
D c a a c
V f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx
= = =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (9)
úHNOLQGH�DUGÕúÕN�LQWHJUDO�IRUP�OOHULQL�HOGH�HGHUL]� Not�� øNL� NDWOÕ� LQWHJUDOLQ�� DUGÕúÕN� LQWHJUDOOHU� LOH� KHVDSODQPDVÕ� LoLQ� WDQÕP� N�PHVLQLQ�PXWODND�GLNG|UWJHQ�E|OJH�ROPDVÕ�]RUXQOX�GH÷LOGLU��ùLPGL�EXQXQOD�LOJLOi teoremi verelim.
Teorem 3���øNLQFL�)XELQL�7HRUHPL��� ( ) ve ( )u x v x , [ ],a b �NDSDOÕ�DUDOÕ÷ÕQGD�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�fonksiyonlar ve ( , )z f x y= de,
{ } 2( , ) , ( ) ( )D x y a x b u x y v x R= ≤ ≤ ≤ ≤ ⊂
basit G�úH\� E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ� YH� V�UHNOL� IRQNVL\RQ� ROVXQ�� %X� GXUXPGD� ( , )D
f x y dxdy∫∫ iki
NDWOÕ�LQWHJUDOL
( )
( )
( , ) ( , )v xb
D a u x
f x y dxdy f x y dy dx
=
∫∫ ∫ ∫ (10)
úHNOLQGH�WHN�NDWOÕ��DUGÕúÕN�LQWHJUDO�ELoLPLQGH�KHVDSODQDELOLU� øVSDW. Burada, D basit bölgesi ile ( , )z f x y=
\�]H\LQLQ� WDQÕPODGÕ÷Õ� FLVPLQ� xy-düzlemindeki WDEDQÕQÕQ�� ùHNLO� 4��¶GH� J|U�OG�÷�� JLEL�� DOW� YH� �VW�NHQDUODUÕ�� VÕUDVÕ\OD�� ( ) ve ( )u x v x � IRQNVL\RQODUÕ� LOH�belirlenen ve y-HNVHQLQH� SDUDOHO� RODQ� úHULWOHUH�E|O�QG�÷�� YDUVD\ÕOÕU�� %X� úHULWOHU ile ( , )z f x y=
\�]H\LQLQ� EHOLUOHGL÷L� KDFLP� HOHPDQODUÕQÕQ� WRSODPÕ�aranan hacmi verecektir.� %HQ]HU� RODUDN� H÷HU��
( , )z f x y= fonksiyonu,
163
{ } 2( , ) ( ) ( ),D x y u y x v y c y d R= ≤ ≤ ≤ ≤ ⊂ (11)
EDVLW�\DWD\�E|OJHVLQGH�WDQÕPODQPÕúVD��LNL�NDWOÕ�integral
( )
( )
( , ) ( , )v yd
D c u y
f x y dxdy f x y dx dy
=
∫∫ ∫ ∫ (12)
úHNOLQGH� KHVDSODQDELOLU�� %XUDGD� GD� D� WDQÕP� N�PHVL, x-HNVHQLQH� SDUDOHO� úHULWOHUH� E|O�QP�ú� �ùHNLO� 4.4) ve toplam KDFPLQ�� EX� úHULWOHU� LOH� ( , )z f x y= � \�]H\LQLQ� EHOLUOHGL÷L�hacim elemDQODUÕQÕQ� WRSODPÕQD� HúLW� ROGX÷X� dikkate DOÕQPÕúWÕU� Örnek 1. z xy= fonksiyonunun,
2( , ) 1 3, 22
xD x y x y x R
= ≤ ≤ ≤ ≤ ⊂
EDVLW�G�úH\�E|OJHVLQGHNL�LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. D� E|OJHVL�� ùHNLO� �.5¶GH� J|VWHULOGL÷L� JLEL� ELU G�úH\� EDVLW� E|OJH olup, y-HNVHQLQH� SDUDOHO� úHULWOHUGHQ�ROXúWX÷X�G�ú�Q�O�UVH
3 2
1 / 2
( , )x
D x
f x y dxdy xydy dx
=
∫∫ ∫ ∫
\D]DELOLUL]��gQFH��LoWHNL�LQWHJUDOL�DOÕUVDN
23 2 32
1 / 2 1 / 2
3 22
1
3 333
1 1
1
2
1(4 )
2 4
1 15 15)
2 4 8
xx
D x x
xydxdy xydy dx xy dx
xx x dx
xdx x dx
= =
= −
= =
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
elde ederiz. Buradan da
164
333 4
11
4 4
15 15
8 32
15 15 75(3 1 ) 80
32 32 2
D
xydxdy x dx x= =
= − = × =
∫∫ ∫
sonucunu elde ederiz. Örnek 2. x y
z e+= fonksiyonunun,
{ } 2( , ) 2 , 0 2D x y y x y y R= ≤ ≤ ≤ ≤ ⊂
EDVLW�\DWD\�E|OJHVLQGHNL�LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. D�E|OJHVL��EDVLW�\DWD\�E|OJH�RODUDN�WDQÕPODQGÕ÷ÕQGDQ
22
0
y
x y x y
D y
e dxdy e dx dy+ +
=
∫∫ ∫ ∫
yazabiliriz. Buna göre
22 22
0 0
223 2 3 2
00
6 4
6 4
1 1( ) ( )
3 2
1 1 1 1( ) ( )3 2 3 2
1 1 1
3 2 6
yy
x y x y x y
yD y
y y y y
e dxdy e dx dy e dy
e e dy e e
e e
e e
+ + +
= =
= − = −
= − − −
= − +
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
sonucunu elde ederiz.
Örnek 3. D bölgesi, 2y x= parabolü ile 2y x= �GR÷UXVX�DUDVÕQGD�NDODQ�E|OJH�ROGX÷XQD�J|UH,
2 1z x y= + − fonksiyonunun D bölgesindeki LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOLQL�basit yatay bölge formülü ile
KHVDSOD\ÕQÕ]�
Çözüm. 2y x= parabolü ile 2y x= � GR÷UXVXQXQ� NHVLP� QRNWDODUÕ (0,0) ve (2,4)’tür. D
E|OJHVLQL��ùHNLO�4��¶GD�J|U�OG�÷��JLEL�ELU�EDVLW�\DWD\�E|OJH�RODUDN�GLNNDWH�DOÕUVDN
165
4
0 / 2
(2 1) (2 1)y
D y
x y dxdy x y dx dy
+ − = + −
∫∫ ∫ ∫
yazabiliriz. Buna göre
42
/ 20
4 2 23/ 2 1/ 2
0
4 23/ 2 1/ 2
0
43 2 5/ 2 3/ 2
0
3 2 5/ 2 3/ 2
(2 1) ( )
( ) ( )4 2 2
3 3
4 2
3 2 2( )
4 4 5 3
4 3 4 2 4 2 4
4 4 5 364 16
16 125 3
52
15
y
yD
x y dxdy x xy x dy
y y yy y y dy
y yy y dy
y y y y
+ − = + −
= + − − + −
= − + + −
= − + + −
× × ×= − + + −
= − + + −
=
∫∫ ∫
∫
∫
VRQXFXQD�XODúÕUÕ]��(÷HU, D bölgesi, ùHNLO�4.7’deki gibi bLU�EDVLW�G�úH\�E|OJH�RODUDN�VHoLOirse, bu durumda da
2
2
2 2
0
22 2
0
2 42 2 3 2
0
2 43 2
0
25 4 32
0
5 4 32
(2 1) (2 1)
(2 )2
(4 2 2 ) (2 )2
( 2 7 2 )2
7
10 2 3
2 2 7 22
10 2 316 56
125 3
52
15
x
D x
x
x
x y dxdy x y dy dx
yxy y dx
xx x x x x dx
xx x x dx
x x xx
+ − = + −
= + −
= + − − + −
= − − + −
= − − + −
×= − − + −
= − + −
=
∫∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
166
D\QÕ�VRQXo�elde edilirdi. Bu örnekten�GH�J|U�OG�÷��JLEL��øNL�NDWOÕ�ELU�LQWHJUDOLQ�KHVDSODQPDVÕ�VÕUDVÕQGD��LQWHJUDQGÕQ�D�WDQÕP�N�PHVLni, integral hesaEÕ�daha kolay yapPDN�DPDFÕ\OD��G�úH\�ya da yatay basit bölge olarak alabiliriz. Teorem 4. ( 1, 2,..., )
iD i n= ’ler, VÕQÕU�oL]JLOHUL�KDULo�ROPDN��]HUH� LNLúHU�LNLúHU�DUDNHVLWOHUL�ERú�
küme olan bölgeler ve
1
n
i
i
D D=
=* (13)
olmak �]HUH�H÷HU�� ( , )z f x y= fonksiyonu, ( 1,2,..., )
iD i n= alt bölgelerinin her birindH�WDQÕPOÕ�
ve sürekli ise
1 2
( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )nD D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= + + +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (14)
olur. øVSDW. ( , )
D
f x y dxdy∫∫
integralinin, D bölgesi ile ( , )f x y �\�]H\L�DUDVÕQGD�NDODQ�FLVPLQ�KDFPL�ROGX÷X�G�ú�Q�O�UVH��EX�hacmin, (14) deki gibi, arakesitlerL�ERú�N�PH�RODQ�n� WDQH�FLVPLQ�KDFLPOHUL� WRSODPÕ�úHNOLQGH�\D]ÕODELOHFH÷L�NROD\FD�DQODúÕOÕU� 7HRUHP� �� JHUH÷LQFH�� ELU� LNL� NDWOÕ� LQWHJUDO� KHVDSODQÕUNHQ�� LQWHJUDQG� E|OJHVL�� DUDNHVLWOHUL� ERú�N�PH�RODQ�VRQOX�VD\ÕGD�EDVLW�E|OJHQLQ�ELUOHúLPL�RODUDN�G�ú�Q�OHELOLU��ùLPGL�EXQD�ELU�|UQHN�verelim. Örnek 4. D�WDQÕP�E|OJHVL�� 2y x= 6y x= − + �GR÷UXODUÕ�LOH�x ��GR÷UXVXQXQ�EHOLUOHGL÷L�E|OJH�olmak üzere
D
xydxdy∫∫
LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. ùHNLO�4.8’de göU�OG�÷���]HUH
1 2D D D= ∪ ve 1 2D D∩ = ∅ �ROGX÷XQGDQ
167
1 2D D D
xydxdy xydxdy xydxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫
olur. Her iki bölge de,�úHNLOGH�J|VWHULOGL÷L�JLEL,�EDVLW�G�úH\�E|OJHOHU�RODUDN�GLNNDWH�DOÕQÕUVD
2 2 6 6
0 0 2 0
2 62 62 2
0 20 0
2 6 23
0 2
2 64 43 2
0 2
4 43 2 3 2
( ) ( )2 2
( 6)2
2
1( 4 3 )
2 2 4
1 6 28 ( 4 6 3 6 ) ( 4 2 3 2 )
2 4 4
18 ( 432 16) 216
2
x x
D
x x
xydxdy xydy dx xydy dx
xy xydx dx
x xx dx dx
x xx x
− +
− +
= +
= +
− += +
= + − +
= + − × + × − − × + ×
= + − − = −
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
sonucunu elde ederiz. �����øNL�.DWOÕ�øQWHJUDOOHULQ�'L÷HU�g]HOOLNOHUL i) ( , )f x y ve ( , )g x y ’ler, D�E|OJHVLQGH� WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL� LNL� IRQNVL\RQ�YH�h ile k keyfi iki
sabit olmak üzere
[ ]( , ) ( , ) ( , ) ( , )D D D
hf x y kg x y dxdy h f x y dxdy k g x y dxdy+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫ (1)
olur. ii)�(÷HU�'�E|OJHVLQLQ�KHU�\HULQGH� ( , ) ( , )f x y g x y≤ ise
( , ) ( , )D D
f x y dxdy g x y dxdy≤∫∫ ∫∫ (2)
HúLWVL]OL÷L�VD÷ODQÕU� iii) (øNL� .DWOÕ� øQWHJUDO� KHVDEÕQ� RUWDODPD� GH÷HU� WHRUHPL). ( , )f x y fonksiyonunun, D
bölgesindeki en N�o�N�YH�HQ�E�\�N�GH÷HUOHUL��VÕUDVÕ\OD�m ve M ve D�E|OJHVLQLQ�DODQÕ�A olmak üzere,
( , )D
mA f x y dxdy MA< <∫∫ (3)
168
HúLWVL]OLNOHUL� \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ ve ( , )f x y � V�UHNOL� ELU� IRQNVL\RQ� ROGX÷XQGDQ�� |÷OH� ELU�0 0( , )x y D∈ �QRNWDVÕ�EXOXQDELOLU�NL, bu nokta için
0 0( , ) ( , )D
f x y dxdy f x y A=∫∫ (4)
ya da
0 0
1( , ) ( , )
D
f x y f x y dxdyA
= ∫∫ (5)
\D]ÕODELOLU��%XUDGD, 0 0( , )f x y ’nin
0 0( , )m f x y M< < (6)
HúLWVL]OL÷LQL�VD÷OD\DQ�ELU�VD\Õ�ROGX÷XQD�GLkkat edilmelidir. (5) ile verilen 0 0( , )f x y �GH÷HULQH��
( , )f x y fonksiyonunun, D�E|OJHVLQGHNL�RUWDODPD�GH÷HUL�GHQLU� iv) ( , )f x y , D�E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�ELr fonksiyon olmak üzere
( , ) ( , )D D
f x y dxdy f x y dxdy≤∫∫ ∫∫ (7)
HúLWVL]OL÷L�YDUGÕU. v) D�E|OJHVLQLQ�DODQÕ�A ise, ( , ) 1f x y = �DOÕQarak,
D
A dxdy= ∫∫ (8)
elde edilir. Örnek 1. 2 2( , )f x y x y= + fonksiyonunun, 0, 2, 0, 1x x y y= = = = � GR÷UXODUÕ ile
belirlenen D�E|OJHVL��]HULQGHQ�RUWDODPDVÕQÕ�EXOXQX]�
Çözüm. 0 0( , )x y D∈ olmak üzere, 2 2( , )f x y x y= + fonksiyonunun, söz konusu bölgedeki
RUWDOD�GH÷HUL� 0 0( , )f x y olsun. Bu durumda, LNL�NDWOÕ�LQWHJUDO�KHVDEÕQ�RUWDODma�GH÷HU�WHRUHPL�JHUH÷LQFH�
0 0
1( , ) ( , )
D
f x y f x y dxdyA
= ∫∫
yazabiliriz. D�E|OJHVLQLQ�DODQÕ
169
22 brA =
ROGX÷XQD�J|UH
1 22 2
0 0
0 0
21 132 2
0 00
1 1( , ) ( , ) ( )
2
1 1 8( ) ( 2 )
2 3 2 3
D
f x y f x y dxdy x y dx dyA
xxy dy y dy
= = +
= + = +
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
13
0 0
0
1 8 2 1 8 2 5( , ) ( ) ( )
2 3 3 6 3 3 9
y yf x y = + = + =
elde edilir. O halde, D bölgesinde
2 20 0 0 0
5( , )
9f x y x y= + =
GHQNOHPLQL�VD÷OD\DQ�QRNWDODUda yani, merkezi (0,0) YH�\DUÕoDSÕ� 5 / 3r = olan çemberin, D
E|OJHVL� LoHULVLQGH� NDODQ� \D\Õ� �]HULQGHNL� QRNWDODUÕQ� KHSVLQGH, 2 2( , )f x y x y= + fonksiyonu
RUWDODPD�GH÷HULQH�VDKLSWLU�YH�EX�GH÷HU����¶GXU�� Not: Bir fonksiyon, belli bir D� E|OJHVLQGHNL� RUWDODPD� GH÷HULQL� E|OJHQLQ� \DOQÕ]FD� ELU�QRNWDVÕQGD�DODELOHFH÷L�JLEL��\XNDUÕGDNL�|UQHNWH�ROGX÷X�JLEL��E|OJHQLQ�ELUGHQ�çok noktaVÕQGD�da alabilir. Örnek 2. ùHNLO 4.9’da verilen D� E|OJHVLQLQ� DODQÕQÕ�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. Önce GR÷UXQXQ�GHQNOHPLQL�EXODOÕP�
1 22 2
x yy x+ = ⇒ = +
−.
ùLPGL�GH�SDUDERO�LOH�GR÷UXQXQ�NHVLP�QRNWDODUÕQÕ�EXODOÕP�� 3DUDERO�YH�GR÷UX�IRQNVL\RQODUÕQÕ�HúLWOHUVHN
2 2
1 2
2 2 0 ( 1)( 2) 0
1, 2
x x x x x x
x x
= + ⇒ − − = ⇒ + − =⇒ = − =
elde ederiz. O halde, NHVLP�QRNWDODUÕ��VÕUDVÕ\OD�A(-1, 1) ve (2,4)’d�U��%XQD�J|UH��EDVLW�G�úH\�E|OJH�RODUDN�GLNNDWH�DOÕUVDN�D�E|OJHVLQLQ�DODQÕ�
170
2
2
2 2 2 22 2
1 1 1
22 3 2 3 2 3
1
( 2 )
2 2 ( 1) ( 1) 72 ( 2 2 ) ( 2 ( 1) )
2 3 2 3 2 3 2
xx
x
D x
A dxdy dy dx y dx x x dx
x xx
++
− − −
−
= = = = + −
− −= + − = + × − − + × − − =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
olur. 4.4��øNL�.DWOÕ�øQWHJUDOOHUGH�'H÷LúNHQ�'H÷LúWLULOPHVL��%|OJH�'|Q�ú�POHUL� uv-düzleminde bir B bölgesinin�� ùHNLO� 4.10�D�¶GD� J|VWHULOGL÷L� JLEL� koordinat eksenlerine SDUDOHO�GR÷UXODUOD�VRQVX]�SDUoDODQÕúÕ�ile bu SDUoDODQÕúÕQ�ELU� K L M N′ ′ ′ ′ �DODQ�HOHPDQÕQÕ�GLNNDWH�DODOÕP��uv-düzleminden, xy-dü]OHPLQH�ELU�E|OJH�G|Q�ú�P�
( , )
( , )
x x u vT
y y u v
=≡ =
(1)
G|Q�ú�P� IRUP�OOHUL� LOH� YHULOVLQ�� uv-düzlemindeki bir B bölgesi, T� G|Q�ú�P�� LOH� xy-düzlemindeki bir D bölgesine ve K L M N′ ′ ′ ′ alan elemDQÕ�GD�KLMN�DODQ�HOHPDQÕQD�G|Q�úV�Q� ùHNLO�4.10(b)’de, K�QRNWDVÕQÕQ�NRRUGLQDWODUÕ� ( , ) ( ( , ), ( , ))K x y K x u v y u v= olsun. Bu durumda,
SDUoDODQÕúÕQ� VRQVX]� ROPDVÕ� QHGHQL\OH� LNLQFL� PHUWHEHGHQ� W�UHYOHUL� LoHUHQ� WHULPOHUL� LKPDO�edersek, L, ve N� QRNWDODUÕQÕQ� NRRUGLQDWODUÕQÕ�� VÕUDVÕ\OD, ( , )
x yL x dv y dv
v v
∂ ∂+ +
∂ ∂ ve
( , )x y
N x du y duu u
∂ ∂+ +
∂ ∂� úHNOLQGH� \D]DELOLUL]� KLMN� DODQ�HOHPDQÕQÕQ� DODQÕ� dA , KLN üçgen
DODQÕQÕQ� LNL� NDWÕGÕU�� KLN� �oJHQLQLQ� DODQÕ�� N|úHOHULQLQ� \XNDUÕGD� YHUGL÷LPL]� NRRUGLQDWODUÕ�cinsinden
171
1
1
1
x y
x ydA x dv y dv
v v
x yx du y du
u u
∂ ∂= + +
∂ ∂∂ ∂
+ +∂ ∂
(2)
úHNOLQGH�LIDGH�HGLOHELOLU��'HWHUPLQDQW�DoÕOÕU�YH�G�]HQOHQLUVH
x y x y
dA dudv J dudvu v v u
∂ ∂ ∂ ∂= − =
∂ ∂ ∂ ∂ (3)
elde edilir. Burada J, T�G|Q�ú�P�Q�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ olup
( , )
( , )
x y
x y u uJ
x xu v
v v
∂ ∂∂ ∂ ∂= =
∂ ∂∂∂ ∂
(4)
ED÷ÕQWÕVÕ\OD�WDQÕPODQÕU��ùLPGL��D�E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�ELU� ( , )z f x y= fonksiyonunun
LNL� NDWOÕ� LQWHJUDOLQL� �VRQVX]� SDUoDODQÕúÕQ�� x- ve y-HNVHQOHULQH� SDUDOHO� GR÷UXODUOD� \DSÕOGÕ÷Õ�GXUXP��GLNNDWH�DODOÕP�YH�EX�LQWHJUDOL
( , )D
I f x y dxdy= ∫∫ (5)
LOH�J|VWHUHOLP��+DOEXNL��ùHNLO�4.10�E�¶GHNL�SDUoDODQÕúÕ�GLNNDWH�DOGÕ÷ÕPÕ]GD��I integralini
( ( , ), ( , ))B
I f x u v y u v dA= ∫∫ (6)
úHNOLQGH�\D]PDPÕ]�JHUHNLU��%XUDGD�dA��ùHNLO�4.10�E�¶GH�J|VWHULOHQ�VRQVX]�SDUoDODQÕúÕQ�DODQ�elHPDQÕQÕQ�DODQÕ�ROXS�����IRUP�O��LOH�EHOOLGLU��2�KDOGH������LIDGHVLQL��6)’da yerine yazar ve (5) LOH�HúLWOL÷LQL�GLNNDWH�DOÕUVDN��LNL�NDWOÕ�LQWHJUDO�LoLQ�GH÷LúNHQ�GH÷LúWLUPH�IRUP�O��GHGL÷LPL]
( , ) ( ( , ), ( , ))D B
I f x y dxdy f x u v y u v J dudv= =∫∫ ∫∫ (7)
ED÷ÕQWÕVÕQÕ� HOGH� HGHUiz. Sonuç olarak, H÷HU�� LNL� NDWOÕ� ELU� LQWHJUDOGH,� ���� LOH� YHULOGL÷L� JLEL�( , ) ( , )x y u v→ �úHNOLQGH�ELU�GH÷LúNHQ�GH÷LúLPL�\DSÕODFDNVD� dxdy yerine dudv �GH÷LO� J dudv
\D]ÕOPDOÕGÕU� Örnek 1. D bölgesi, 1, 2, 2, 1x y x y x y x y+ = + = − = − = �GR÷UXODUÕ�LOH�YHULOPHNWHGLU��
172
u x y
v x y
= += −
G|Q�ú�P�IRUP�OOHUL�LOH�D bölgesi, uv-düzlemindeki bir B�E|OJHVLQH�G|Q�úW�U�OPHNWHGLU��%XQD�göre
2( )D
I x y dxdy= −∫∫
integralini, yeni GH÷LúNHQOHU�FLQVLQGHQ�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. D� E|OJHVL� �ùHNLO� 4.11(a)), u x y= + , v x y= − � G|Q�ú�POHUL� DOWÕQGD�� ùHNLO�4.10(b)’deki B�E|OJHVLQH�G|Q�ú�U��%XQD�J|UH��G|Q�ú�P�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ
( , ) 1 1 1
( , ) 1 1( , ) 2( , ) 1 1
x yJ
u vu v
x y
∂= = = = −
∂∂∂ −
ROGX÷XQGDQ
2 2
2 2 2 22 22 2 2 3
1 11 1 1 1
( )
1 1 1 1 7( )
2 2 2 6 6
D B
I x y dxdy v J dudv
v dudv v u dv v dv v
= − =
= = = = =
∫∫ ∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
sonucu elde edilir.� øQWHJUDOL��GH÷LúNHQ�GH÷LúWLUPH�LúOHPLQL�X\JXODPDGDQ�GR÷UXGDQ�D bölgesi �]HULQGHQ�KHVDSODPD\D�oDOÕúDUDN��X\JXQ�ELU�úHNLOGH�\DSÕODQ�GH÷LúNHQ�GH÷LúWLUPHQLQ�VD÷ODGÕ÷Õ�kola\OÕN�J|U�OHELOLU�
173
4.4. Uçlak Koordinatlarda øNL�.DWOÕ�øQWHJUDOOHU
'LN� NRRUGLQDWODUGD� WDQÕPOÕ� ELU� ( , )f x y fonksiyonunun, 2D R⊂ � E|OJHVL� �]HULQGHQ� LNL� NDWOÕ�
LQWHJUDOLQL� GLNNDWH� DODOÕP�� %D]HQ�� EX� LQWHJUDOLQ� KHVDEÕ� XoODN� NRRUGLQDWODrda oldukça kolay olabilir. Böylesi durumda, integrale
cos
sin
x r
y r
θθ
= =
(1)
%XUDGD��GLN�NRRUGLQDW�VLVWHPLQLQ�RULMLQL��XoODN�NRRUGLQDW�VLVWHPLQLQ�XoODN�QRNWDVÕ�YH�x-ekseni GH� XoODN� HNVHQL� RODUDN� VHoLOPLúWLU�� '�]OHPLQ� KHU� KDQJL� ELU� QRNWDVÕQÕ� GLNNDWH� DOGÕ÷ÕPÕ]GD��XoODN� QRNWDVÕQÕ�� V|]� NRQXVX� QRNWD\D� ED÷OD\DQ� \DUÕoDS� YHNW|U�Q�Q� E�\�NO�÷�� r� YH� \DUÕoDS�YHNW|U�Q�Q��XoODN�HNVHQL�LOH�SR]LWLI�\|QGH�\DSWÕ÷Õ�DoÕ�GD�θ ¶GÕU��%|\OHFe, D bölgesi üzerinden LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOi, uçlak koordinatlarda,
( , ) ( ( , ), ( , ))D D
I f x y dxdy f x r y r dAθ θ= =∫∫ ∫∫ (2)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]��Burada, dA, XoODN�NRRUGLQDWODUGD�VHoLOHQ�DODQ�HODPDQÕQÕQ�DODQÕGÕU��8oODN�NRRUGLQDWODUGD�DODQ�HODPDQÕ�� sabitr = ve =sabitθ �H÷ULOHUL�LOH�ROXúWXUXOXU��ùHNLO��������ùLPGL�dA¶QÕQ�GH÷HULQL�KHVDSOD\DOÕP��ùHNLO����2’deki KLMN�DODQ�HOHPDQÕQÕ�GLNNDWH�DODOÕP��%X�DODQÕQ�DOW�YH��VW�NHQDUODUÕ�VÕUDVÕ\OD�r ve r+dr�\DUÕoDSOÕ�oHPEHU�\D\ODUÕ�YH�NHQDUODUÕ�GD�VÕUDVÕ\OD�θ ve
dθ θ+ �GR÷UXODUÕQGDQ�ROXúPDNWDGÕU� Böylece, sonsuz parçalanma durumunda bir dikdörtgen
RODUDN�G�ú�QHELOHFH÷LPL]�./01�DODQ�HOHPDQÕQÕQ�DODQÕ
dA rdrdθ= (3) olur. (÷HU��(3) ile verilen DODQ�HODPDQÕQÕ, (2) integralinde yerine yazarsak
( , ) ( ( , ), ( , ))D D
I f x y dxdy f x r y r rdrdθ θ θ= =∫∫ ∫∫ (4)
LQWHJUDO�G|Q�ú�P�IRUP�O�nü elde ederiz. Burada
174
( , )
( , )r
r
x xx yJ r
y yr
θ
θθ∂
= = =∂
(5)
ROGX÷X�NROD\FD�J|VWHULOHELOLU��(÷HU��DODQ�HODPDQÕ�� a r b≤ ≤ ve α θ β≤ ≤ için tüm D�DODQÕQÕ WDUDPÕú�ROXUVD������LOH�YHULOHQ�LQWHJUDOL��DUGÕúÕN�LQWHJUDOOHU�FLQVLQGHQ
( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , ))
( ( , ), ( , ))
b
D a
b
a
f x r y r rdrd f x r y r rdr d
f x r y r rd dr
β
α
β
α
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
=
=
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ (6)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]�
Örnek 1. 8oODN�NRRUGLQDWODU�\DUGÕPÕ\OD� ( ){ }, 1 2, 0 2D x y x y x= ≤ ≤ ≤ ≤ bölgesi üzerinden
2 2
D
y x y dxdy+∫∫
LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ] (atan(2)=1.1071 rad=63o.435). Çözüm. ùHNLO� ���3¶GHQ� J|U�OHFH÷L� �]HUH�D bölgesi, y=0 ve y=2x� GR÷UXODUÕ� LOH� x=1 ve x �� GR÷UXODUÕ�WDUDIÕQGDQ� VÕQÕUODQPÕúWÕU�� .DUWH]\HQ� YH� XoODN�koordinatlDU�DUDVÕQGD��
cos
sin
x r
y r
θθ
==
ya da
2 2 , tany
r x yx
θ= + =
G|Q�ú�P� IRUP�OOHUL� ROGX÷XQD� J|UH�� D bölgesinin XoODN�NRRUGLQDWODUGDNL�VÕQÕUODUÕ�LoLQ�
0 tan 2 0 1.1071radθ θ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ve 1 2
cos cosr
θ θ≤ ≤
yazabiliriz. Uçlak koordinaWODUD� G|Q�ú�PGH� -DFREL� GHWHUPLQDQWÕ� J r= � ROGX÷XQdan aranan
integral
175
1.1071 2/ cos 1.1071 2/ cos2 2 2 3
0 1/ cos 0 1/ cos
1.10712/ cos4
1/ cos0
1.1071
4 40
1.1071
40
sin sin
1sin ( )
4
1 16 1sin ( )
4 cos cos
15 sin
4 cos
D
y x y dxdy r r rdr d r dr d
r d
d
d
θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ θ
θ θ
θ θθ θ
θθ
θ
+ = =
=
= −
=
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
olur. Burada, cosu θ= �GH÷LúNHQ�GH÷LúWLUPHVL�\DSDUak da
2 2
4 3
1.1071
30
15 5 1
4 4
5 1 5(11.1803 1)
4 cos 4
12.7254
D
duy x y dxdy
u u
θ
+ = − =
= = −
=
∫∫ ∫
VRQXFXQD�XODúÕUÕ]� Örnek 2. D bölgesi, 2 22 6 5 1x xy y+ + = �HOLSVL�LOH�WDQÕPODQGÕ÷ÕQD�J|UH
2x u v
y u v
= −= − +
G|Q�ú�P�IRUP�OOHUL�\DUGÕPÕ\OD
2 22 6 5D
x xy y dxdy+ +∫∫
LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. $QDOLWLN�JHRPHWULGHQ�ELOLQGL÷L��]HUH��NDUWH]\HQ�NRRUGLQDtlarda genel konik denklemi
2 22 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + =
úHNOLQGHGLU��.RQL÷LQ�DVDO�HNVHQLQLQ��x-HNVHQL�LOH�SR]LWLI�\|QGH�\DSWÕ÷Õ�θ �DoÕVÕ
2
tan 2B
A Cθ =
−
ED÷ÕQWÕVÕ�LOH�YHULOLU��$úD÷ÕGD�YHULOHQ�d ve D determinantlarÕ�NRQL÷LQ�W�U�Q��EHOLUOHU�
176
,
A B DA B
d D B C EB C
D E F
= = .
Buna göre, konikleri�úX�úHNLOGH�VÕQÕIODQGÕUDELOLUL]�
D<0 Hiperbol, D=0 .HVLúHQ�LNL�GR÷UX���+LSHUEROLN�GR÷UXODU�, d<0 D>0 Hiperbol, D<0 Parabol, D=0 3DUHOHO�LNL�'R÷UX, d=0 D>0 Parabol, D<0 Elips, D=0 Nokta, d>0 D>0 Sanal elips.
gUQH÷LPL]H�G|QHUVHN
2 3 02 3
1 0, 3 5 0 1 03 5
0 0 1
d D= = > = = − <−
ROGX÷XQGDQ� 2 22 6 5 1x xy y+ + = ifadesi bir elips göstermektedir. Söz konusu elipsin asal
ekseninin, x-HNVHQL�LOH�SR]LWLI�\|QGH�\DSWÕ÷Õ�θ �DoÕVÕ ise
2 6
tan 2 22 5
B
A Cθ = = = −
− −
LOH� EHOOLGLU�� %X� KDWÕUODWPDODUGDQ� VRQUD� SUREOHPLQ� o|]�P�QH� JHOHOLP� D� E|OJHVL�� ùHNLO�����D¶GDNL�JLEL�ELU�HOLSWLN�E|OJHGLU��(÷HU�YHULOHQ�HOLSV�GHQNOHPLQH�LOJLOL�G|Q�ú�P�IRUP�OOHULQL�uygularsak
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 6 5 1
2(2 ) 6(2 )( ) 5( )
(8 8 2 ) ( 12 18 6 ) (5 10 5 )
1
x xy y
u v u v u v u v
u uv v u uv v u uv v
u v B
+ + = ⇒
− + − − + + − + =
= − + + − + − + − +
= + = ≡
elde ederiz. O halde, xy-düzlemindeki D eliptik bölgesi, uv-düzleminde birim çemberin EHOLUOHGL÷L�B bölgesine G|Q�úPHNWHGLU��ùHNLO�����E���'|Q�ú�P�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ�LVH
2 1( , )
11 1( , )
u v
u v
x xx yJ
y yu v
−∂= = = =
−∂
177
dir. O halde,
2 2 2 22 6 5D B
x xy y dxdy u v dudv+ + = +∫∫ ∫∫
yazabiliriz.�ùLPGL�GH�XoODN�NRRUGLQDWODUD�G|Q�ú�P�\DSDUVDN� �-DFREL�GHWHUPLQDQWÕQÕQ� J r=
ROGX÷X�GLNNDWH�DOÕQÕUVD�
2 2 2 2 2
2 12 2
0 0
12 23
0 00
2 6 5
1 2
3 3 3
D B B
B
x xy y dxdy u v dudv r rdrd
r drd r dr d
rd d
π
π π
θ
θ θ
πθ θ
+ + = + =
= =
= = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
elde edilir. Örnek 3. 1 cosr θ= + � NDUGL\RGLQLQ� GÕúÕQda ve r �� oHPEHULQLQ� LoLQGH� NDODQ� E|OJHQLQ� DODQÕQÕ�bulunuz. Çözüm. %HOLUWLOHQ� E|OJH� ùHNLO� ����¶GH�J|VWHULOPLúWLU� Buna göre�WDUDOÕ�bölgenin DODQÕ�
178
31 22
12
1 cos1 cos 0
2
3
22
2
3
22
2
3
2
2
2
0
1
2
11 (1 cos )
2
12cos cos
2
1 12cos (1 cos 2 )
2 2
1 1 12cos cos 2 )
2 2 2
1 1 12sin sin 2
2 2 4
D
A rdrd rdr d r d
d
d
d
d
ππ
θπ θ
π
π
π
π
π
π
π
θ θ θ
θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
++
= = =
= − +
= − +
= − + +
= − + +
= − + +
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫3
2
2
1 3( 2 0) (2 0)
2 4 4
1 4( 4 )
2 2
π
π
π π
ππ
= − − + + − + + −
= − − + =
olur. 4.5. øQFH�%LU�/HYKDQÕQ�.�WOHVL xy-düzleminde verilen bir D bölgesiQL�E|OJ�OHUH�D\ÕUDOÕP��D�E|OJHVLQLQ�DODQÕ�A ve bölgülerin DODQÕ� GD� ( 1,2,..., )
iA i n∆ = � ROVXQ�� %|OJ�OHULQ� KHU� ELULQLQ� Lo� NÕVPÕQGDNL� KHU� KDQJL� ( , )
i ix y
QRNWDODUÕQÕ�GLNNDWH�DODOÕP�YH�EX�QRNWDODUGDNL�\R÷XQOXNODUÕ� ( , )i i
x yρ ile gösterelim. (÷HU��i-ci
bölgünün kütlesini i
M∆ ile gösterirsek
( , )
i i i iM x y Aρ∆ = ∆ (1)
úHNOLQGH�LIDGH�HGHELOLUL]��%|OJ��VD\ÕVÕQÕQ�VRQVX]�ROPDVÕ�GXUXPXQGD��H÷HU�
1
lim ( , )n
i i in
i
x y Aρ→∞
=
∆∑ (2)
limiti sonlu ELU� VD\Õ\D� \DNÕQVÕ\RUVD� EX� OLPLWH, D� E|OJHVLQL� NDSVD\DQ� LQFH� OHYKDQÕQ� N�WOHVL�denir. O halde, iNL�NDWOÕ�LQWHJUDO�WDQÕPÕQGDQ�\DUDUODQDUDN�söz konusu lHYKDQÕQ�N�WOHVLQL
179
( , )D
M x y dxdyρ= ∫∫ (3)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]. Örnek 1. D bölgesi x=0, x=2, y=0 ve y ��GR÷UXODUÕ� LOH�EHOLUOHQHQ�LQFH� OHYKD�ROXS�� OHYKDQÕQ�\R÷XQOX÷X��y-HNVHQLQH�X]DNOÕNOD�GR÷UX�RUDQWÕOÕGÕU��/HYKDQÕQ�N�WOHVLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm��2UDQWÕ� NDWVD\ÕVÕ� k olmak üzere, bölge içerisindeki her hangi bir (x,y�� QRNWDVÕQGDNL�\R÷XQOX÷X
( , )x y kxρ =
úHNOLQGH�LIDGH�HGHELOLUL]��2�KDOGH��V|]�NRQXVX�OHYKDQÕQ�N�WOHVL
22 2 2 2
0 0 0 0
2
0
( , )2
2 4
D
xM x y dxdy kxdxdy k dy
k dy k
ρ= = =
= =
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
olur. Örnek 2. D bölgesi��PHUNH]OHUL�������QRNWDVÕQGD�EXOXQDQ�r=2 ve r ��\DUÕoDSOÕ�LNL�Hú�PHUNH]OL�dDLUH� DUDVÕQGD� NDODQ� E|OJH� ROXS�� E|OJH� LoHULVLQGHNL� \R÷XQOXN� RUMLQH� RODQ� X]DNOÕNOD� WHUV�RUDQWÕOÕGÕU��D�E|OJHVLQLQ�WDQÕPODGÕ÷Õ�LQFH�OHYKDQÕQ�N�WOHVLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm�� '� E|OJHVL� ùHNLO� ����¶GD� J|VWHULOGL÷L� JLELGLU��ùLPGL��D bölgesini kapsayan ince levKD\Õ�GLNNDWH�DODOÕP��/HYKDQÕQ�� KHU� KDQJL� ELU� ( , )x y D∈ � QRNWDVÕQGDNL�\R÷XQOX÷X��N�RUDQWÕ�VDELWL�ROPDN��]HUH
2 21,k r x y
rρ = = +
úHNOLQGH�LIDGH�HGLOHELOLU��2�KDOGH��OHYKDQÕQ�N�WOHVL�LoLQ
2 2
( , )D D
kM x y dxdy dxdy
x yρ= =
+∫∫ ∫∫
yazabiliriz��8oODN�NRRUGLQDWODUD�G|�ú�P�\DSDU�YH� J r= �ROGX÷XQX�da KDWÕUODUVDN
180
2 4 2 24
20 2 0 0
2 4D
kM rdrd k drd k r d k d k
r
π π π
θ θ θ θ π= = = = =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
GH÷HULQL�HOGH�HGHUL]� 4.6. %LU�/HYKDQÕQ�0RPHQWL�YH�$÷ÕUOÕN�0HUNH]L Bir D� E|OJHVL� LOH� WDQÕPODQDQ� LQFH� ELU� OHYKDQÕQ�� NRRUGLQDW� HNVHQOerine göre momentleri, iki NDWOÕ�LQWHJUDOOHU�\DUGÕPÕ\OD�LIDGH�HGLOHELOLU��%XUDGD�KDUHNHW�QRNWDVÕ,�ELU�OHYKDQÕQ�KHU�KDQJL�ELU�HNVHQH�J|UH�WRSODP�PRPHQWLQLQ��OHYKD\Õ�ROXúWXUDQ�VRQVX]�E|OJ�GHNL�KHU�ELU�N�WOH�HOHPDQÕQÕQ�söz konusu eksene göre mementleri toplamÕQD�HúLW�ROGX÷XGXU��gQFHNL�NHVLPGH�ROGX÷X�JLEL�D E|OJHVLQLQ�ELU�E|OJ�V�Q��GLNNDWH�DODOÕP��i-FL�E|OJ�Q�Q�DODQÕQÕ� ( 1,2,..., )
iA i n∆ = ��\R÷XQOX÷XQX�
( , )i i
x yρ ile gösterir ve bölgü içerisindeki keyfi bir ( , )i i
x y noNWDVÕQÕ�GLNNDWH�DOÕUVDN��EX�N�WOH�HOHPDQÕQÕQ�x- ve y-HNVHQOHULQH�J|UH�PRPHQWOHUL��VÕUDVÕ\OD�
( , )
( , )x i i i i
y i i i i
M y x y A
M x x y A
ρρ
∆ = ∆ ∆ = ∆
(1)
úHNOLQGH� WDQÕPODQÕU��%|\OHFH�� VRQVX]�E|O�Q�ú��GLNNDWH�DOÕQDUDN��D� OHYKDVÕQÕQ� HNVHQOHU�J|UH�toplam momentleri için
( , )
( , )
x
D
y
D
M y x y dxdy
M x x y dxdy
ρ
ρ
=
=
∫∫
∫∫ (2)
LNL�NDWOÕ�LQWHJUDOOHULQL�HOGH�Hderiz. 7DQÕP� �� �$÷ÕUOÕN� 0HUNH]L�. Kütlesi M olan bir D� OHYKDVÕQÕQ�� x- ve y-eksenlerine göre PRPHQWOHUL��VÕUDVÕ\OD��Mx ve My olsun. M�N�WOHOL�QRNWDVDO�ELU�FLVPLQ�'�OHYKDVÕ\OD�D\QÕ� Mx ve My�PRPHQWOHULQH�VDKLS�ROPDVÕ�LoLQ�VDKLS�ROPDVÕ�JHUHNHQ�NRRUGLQDWODUÕQD�D�OHYKDVÕQÕQ�D÷ÕUOÕN�merkezi denir. %X� WDQÕPD� J|UH�� IL]LNVHO� ED]Õ� SUREOHPOHULQ� o|]�P�� VÕUDVÕQGD�� ELU�D� OHYKDVÕQÕ, istersek tüm N�WOHVL� D÷ÕUOÕN� PHUNH]LQGH� WRSODQPÕú� JLEL� dikkate� DODELOHFH÷LPL]� DQODúÕOÕU� O halde, a÷ÕUOÕN�PHUNH]LQLQ�NRRUGLQDWODUÕQÕ� ( , )x y �LOH�J|VWHULUVHN��7DQÕP���JHUH÷LQFH�
x
y
M My
M Mx
= =
(3)
\D�GD�����ED÷ÕQWÕODUÕQÕ�GD�GLNNDWH�DODUDN��D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQLQ�NRRUGLQDWODUÕ�LoLQ
181
1( , )
1( , )
D
D
x x x y dxdyM
y y x y dxdyM
ρ
ρ
= =
∫∫
∫∫ (4)
yazabiliriz. Burada, M’nin, D�OHYKDVÕQÕQ�N�WOHVL�ROGX÷XQX�YH önceki kesimin (3) nolu formülü LOH�YHULOGL÷LQL�KDWÕUODWDOÕP� Örnek 1. D�E|OJHVL��PHUNH]L�������QRNWDVÕQGD�RODQ�r ��\DUÕoDSOÕ�GDLUHQLQ��I. bölgedeki, dörtte ELUOLN�NÕVPÕ�ROGX÷XQD�J|UH��D�E|OJHVLQL�NDSVD\DQ�KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�LQFH�OHYKDQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. D� E|OJHVLQL� NDSVD\DQ� KRPRMHQ� \R÷XQOXNOX�� LQFH�OHYKDQÕQ��ùHNLO�������N�WOHVL
21( )
4 4M r
ππ ρ ρ= =
GLU�� ùLPGL� V|]� NRQXVX� OHYKDQÕQ�� D÷ÕUOÕN� PHUNH]LQLQ� x NRRUGLQDWÕQÕ�KHVDSOD\DOÕP�
1 4( , )
D D D
x x x y dxdy xdxdy xdxdyM M
ρρ
π= = =∫∫ ∫∫ ∫∫ .
(÷HU�XoODN�NRRUGLQDWODUD�JHoHUVHN
/ 2 12
0 0
/ 2/ 2
00
4 4cos cos
4 4 4cos sin
3 3 3
D
x r rdrd r dr d
d
π
ππ
θ θ θ θπ π
θ θ θπ π π
= =
= = =
∫∫ ∫ ∫
∫
elde ederiz. Simetri nedeniyle de
4
3y
π=
ROGX÷X�DQODúÕOÕU��2�KDOGH,�V|]�NRQXVX�OHYKDQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]L� 4 4( , )3 3π π
�QRNWDVÕQGDGÕU��$\QÕ�OHYKDQÕQ�x-HNVHQLQH�J|UH�PRPHQWL�LVH�����YH�����ED÷ÕQWÕODUÕQGDQ�\DUDUODQÕODUDN
4( , )
4 3 3x
D
M y x y dxdy Myπ ρ
ρ ρπ
= = = =∫∫
182
olarak elde edilir. Yine simetri nedeniyle, 3y
Mρ
= �RODFD÷Õ�DoÕNWÕU� Örnek 2. D� E|OJHVL��PHUNH]L� ������ QRNWDVÕQGD� RODQ� r �� \DUÕoDSOÕ� oHPEHU� LOH�PHUNH]L� ������QRNWDVÕQGD�RODQ�r ��\DUÕoDSOÕ�oHPEHU�DUDVÕQGD�NDODQ�E|OJH�RODUDN� WDQÕPODQÕ\RU��D bölgesini kapsayan homojen \R÷XQOXNOX� LQFH� OHYKDQÕQ�� Mx ve My� PRPHQWOHUL� LOH� D÷ÕUOÕN� PHUNH]LQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. D� E|OJHVL� ùHNLO� ����¶GH� J|VWHULOGL÷L� JLELGLU��ùHNLOGHQ�GH�J|U�OHFH÷L�JLEL 1 2 3D D D D= ∪ ∪
ROGX÷XQGDQ��Mx momentini, bu üç alt bölgenin momentleri toSODPÕ�RODUDN
3
1
( , ) ( , )i
x
iD D
M y x y dxdy y x y dxdyρ ρ=
= =∑∫∫ ∫∫
úHNOLQGH� \D]DELOLUL]�� /HYKD� KRPRMHQ� \R÷XQOXNOX�ROGX÷XQGDQ� ( , )x yρ ρ= � DODUDN� YH� XoODN� NRRUGLQDWODUÕQÕ kullanarak
3 32
1 1
sin sini i
x
i iD D
M r rdrd r drdρ θ θ ρ θ θ= =
= =∑ ∑∫∫ ∫∫
yazabiliriz. 1D ve 2D �E|OJHOHUL�VLPHWULN�ROGX÷XQGDQ
1 2
1
2 sinx x
D
M M r drdρ θ θ= = ∫∫
ROXU��ùLPGL� 1D �E|OJHVLQLQ�VÕQÕUODUÕQÕ�EHOLUOH\HOLP��.�o�N�oHPEHULQ�GHQNOHPL
2 2 2 2
2
( 1) 1 ( cos ) ( sin 1) 1
2 sin 1 1 2sin
x y r r
r r r
θ θ
θ θ
+ − = ⇒ + − =
− + = ⇒ =
iken büyük çemberin denklemi r=2’dir. O halde,
1 2
1
/ 2 22 2
0 2sin
/ 2 2 / 222 3
2sin0 2sin 0
sin sin
sin sin3
x x
D
M M r drd r drd
r dr d r d
π
θ
π π
θθ
ρ θ θ ρ θ θ
ρρ θ θ θ θ
= = =
= =
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
183
1 2
/ 23
0
/ 2 / 24
0 0
(8 8sin )sin3
8sin sin
3
x xM M d
d d
π
π π
ρ θ θ θ
ρ θ θ θ θ
= = − =
= −
∫
∫ ∫
HOGH�HGHUL]��<DUÕP�DoÕ�IRUP�OOHUL�NXOODQÕODUDN
4 3 1 1sin cos 2 cos 4
8 2 8θ θ θ= − +
ROGX÷X�NROD\FD�J|VWHULOHELOLU��2�KDOGH�
1 2
/ 2 / 2
0 0
/ 2
0
8 3 1 1sin ( cos 2 cos 4 )
3 8 2 8
8 3 1 1cos sin 2 sin 4
3 8 4 32
8 3(1 )
3 16
x xM M d d
π π
π
ρ θ θ θ θ θ
ρ θ θ θ θ
πρ
= = − − +
= − − − +
= −
∫ ∫
HOGH�HGLOLU��ùLPGL�GH�OHYKDQÕQ� 3D �E|OJHVLQGHNL�NÕVPÕQÕQ�PRPHQWLQL�KHVDSOD\DOÕP
[ ]
3
3
3 / 2 22 2
0
3 / 2 2 3 / 222 3
00
3 / 23 / 2
sin 2 sin
22 sin sin
3
16 16sin cos
3 3
16 160 ( 1)
3 3
x
D
M r drd r drd
r dr d r d
d
π
π
π π
π π
ππ
ππ
ρ θ θ ρ θ θ
ρρ θ θ θ θ
ρ ρθ θ θ
ρ ρ
= =
= =
= = −
= − − − = −
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
Sonuç olarak, x-eksenine göre toplam moment
1 2 3
8 3 162 (1 )
3 16 3x x x xM M M M
π ρρ
πρ
= + + = × − −
= −
olur. /HYKDQÕQ�N�WOHVL
( )2 22 1 3M πρ πρ= − =
ROGX÷XQD�J|UH��D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQLQ RUGLQDWÕ�LoLQ
184
1
3 3x
My
M
πρπρ
= = − = −
GH÷HULQL� EXOXUX]�� 6LPHWUL� QHGHQL\OH�� 0x = � RODFD÷Õ� DoÕNWÕU�� 2� KDOGH�� V|]� NRQXVX� OHYKDQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]L� 1
(0, )3
− �QRNWDVÕQGDGÕU�
Örnek 3. siny x= , [ ]0,x π∈ �H÷ULVL�LOH�x-HNVHQL�DUDVÕQGD�NDODQ�KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�OHYKDQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQL�EXOXQX]� Çözüm�� ùHNLO� ����¶GDQ� J|U�OG�÷�� �]HUH��
siny x= �H÷ULVL� x π= �GR÷UXVXQD�J|UH�VLPHWULNWLU��Bu nedenle,
2x
π= ¶GLU�� ùLPGL�� y � GH÷HULQL�
EXOPD\D� oDOÕúDOÕP� Bunun için, (3) formüllerine göre D bölgesinin kütlesi ile x-eksenine göre PRPHQWLQL� KHVDSODPDPÕ]� JHUHNLU��gQFH� N�WOHVLQL�KHVDSOD\DOÕP�
sin
0 0
0 0
sin cos ( 1 1) 2 .
x
D
M dxdy dydx
xdx x
π
ππ
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= =
= = − = − − − =
∫∫ ∫ ∫
∫
ùLPGL�GH�D bölgesinin, x-HNVHQLQH�J|UH�PRPHQWLQL�KHVDSOD\DOÕP�
sin
0 0
2
0 0
1sin (1 cos 2 )
2 2 2
x
x
D
M ydxdy ydydx
xdx x dx
π
π π
ρ ρ
ρ ρ
= =
= = −
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
0
1( sin 2 ) .
4 2 4xM x x
πρ ρπ= − =
%|\OHFH��D÷ÕUOÕN�PHUNH]L�LoLQ
42 8
xM
yM
ρππ
ρ= = =
HOGH�HGHUL]��%XQD�J|UH�V|]�NRQXVX�OHYKDQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]L� (0, )8
π �QRNWDVÕQGDGÕU�
185
4.7. %LU�/HYKDQÕQ�(\OHPVL]OLN�0RPHQWL 7DQÕP����(NVHQH�*|UH�(\OHPVL]OLN�0RPHQWL��� 2
D R⊂ �E|OJHVLQGH�WDQÕPODQDQ�ELU�OHYKD ile 0d ax by cz d≡ + + + = � X]D\� GR÷UXVX� YHULOVLQ�� D� OHYKDVÕQÕQ� ELU� N�WOH� HOHPDQÕQÕ�
( , )i i i i
dm x y dAρ= ile ve bu elema QÕQ�d�GR÷UXVXQD�RODQ�GLN�X]DNOÕ÷ÕQÕ�GD�i
r ile gösterelim.
Böylece elde edilen 2i i
r dm � GH÷HULQH�� N�WOH� HOHPDQÕQÕQ�� d� GR÷UXsuna göre eylemsizlik
momenti denir.�7�P�OHYKDQÕQ��d�GR÷UXVXQD�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWL��D bölgesinin sonsuz SDUoDODQÕúÕQGDNL�E�W�Q�N�WOH�HOHPDQODUÕQÕQ�H\OHPVL]OLN�PRPHQWOHULQLQ�WRSODPÕQD�HúLWWLU�YH�Id LOH�J|VWHULOLU��2�KDOGH��LNL�NDWOÕ�LQWHJUDO�WDQÕPÕQÕ�GD�NXOODQÕUVDN
2 2 2
1
lim ( , )n
d i in
i D D
I r dm r dm r x y dxdyρ→∞
=
= = =∑ ∫∫ ∫∫ (1)
HOGH�HGHUL]��%XUDGDNL�VRQ�HúLWOLNWH��D’nin, x- ve y-eksenlerinH�SDUDOHO�GR÷UXODUOD�SDUoDODQGÕ÷Õ�YDUVD\ÕOPÕúWÕU��(÷HU��D�E|OJHVLQH�\HUOHúWLULOHQ�OHYKD�KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�LVH�����LIDGHVLQL
2d
D
I r dxdyρ= ∫∫ (2)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]��8oODN�NRRUGLQDWODUÕ�GLNNDWH�DOÕUVDN�H\OHPVL]OLN�PRPHQWLQL
3d
D
I r drdρ θ= ∫∫ (3)
úHNOLQGH�\D]DELOHFH÷LPL]�NROD\FD�J|VWHULOHELOLU��ùLPGL��KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�ELU�OHYKDQÕQ�ED]Õ�özel eksenlere göre eylemsizlik momentlerini inceleyelim i) z-eksenine göre eylemsizlik momenti: Bu durumda
2 2 2r x y= + (4)
RODFD÷ÕQGDQ, (2) ve (3) formülleri
2 2 3( )z
D D
I x y dxdy r drdρ ρ θ= + =∫∫ ∫∫ (5)
úHNOLQde \D]ÕODELOLU� ii) x-eksenine göre eylemsizlik momenti: D bölgesindeki her hangi bir (x,y��QRNWDVÕQÕQ��x-HNVHQLQH�X]DNOÕ÷Õ�r=y’dir. UçODN�NRRUGLQDWODUÕ�GLNNDWH�DOÕUVDN� ( cos , sin )x r y rθ θ= = , eylemsizlik momenti için
2 3 2sinx
D D
I y dxdy r drdρ ρ θ= =∫∫ ∫∫ (6)
ED÷ÕQWÕVÕQÕ�HOGH�HGHUL]�
186
iii) y-eksenine göre eylemsizlik momenti: D bölgesindeki her hangi bir (x,y��QRNWDVÕQÕQ��y-HNVHQLQH�X]DNOÕ÷Õ�r=x¶GLU��8oODN�NRRUGLQDWODUÕ�GLNNDWH�DOÕUVDN� ( cos , sin )x r y rθ θ= = , eylemsizlik momenti için
2 3 2cosy
D D
I x dxdy r drdρ ρ θ= =∫∫ ∫∫ (7)
ED÷ÕQWÕVÕQÕ�HOGH�HGHUL]� Teorem 1. xy-düzlemindeki bir D�E|OJHVLQH�\HUOHúWLULOPLú��KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�ELU�OHYKDQÕQ�x-, y- ve z-HNVHQOHULQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWOHUL��VÕUDVÕ\OD�Ix, Iy ve Iz olsun. Bu durumda
z x yI I I= + (8)
dir. øVSDW��<XNDUÕGD�YHULOHQ����������YH�����ED÷ÕQWÕODUÕ�GLNNDWH�DOÕQDUDN�WHRUHPLQ�GR÷UXOX÷X�NROD\FD�gösterilebilir.
Örnek 1. 2 2 1x y+ = ile verilen D� E|OJHVLQH�\HUOHúPLú� KRPRMHQ� \R÷XQOXNOX� LQFH� OHYKDQÕQ�eksenlere göre eylemsizlik momentlerini bulunuz. Çözüm��8oODN�NRRUGLQDWODUGD�oDOÕúÕUVDN, z-eksenine röre eylemsizlik momenti
2 12 2 3 3
0 0
2
0
( )
4 2
z
D D
I x y dxdy r drd r drd
d
π
π
ρ ρ θ ρ θ
ρ ρπθ
= + = =
= =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
olur. Simetri nedeniyle x- ve y-HNVHQOHULQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWOHUL�HúLW�RODFDNWÕU��ùLPGL�x-eksenine göre eylemsizlik momentinL�KHVDSOD\DOÕP�
2 12 3 2 3 2
0 0
sin sinx
D D
I y dxdy r drd r drd
π
ρ ρ θ θ ρ θ θ= = =∫∫ ∫∫ ∫ ∫
2 22
0 0
2
0
1sin (1 cos 2 )
4 4 2
1( sin 2 )
8 2 4
xI d d
π π
π
ρ ρθ θ θ θ
ρ ρπθ θ
= = −
= − =
∫ ∫
Sonuç olarak,
187
, ,2 4 4z x y
I I Iρπ ρπ ρπ
= = =
elde ederiz. Buradan da z x y
I I I= + �ROGX÷X�J|U�O�U� Örnek 2.� 'LN� NHQDU� X]XQOXNODUÕ� a ve b olan bir dik üçgen içerisine� \HUOHúPLú� KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX� LQFH� OHYKDQÕQ�a uzunluklu dik kenarODUÕQD� YH� GLN� NHQDUODUÕQ� NHVLP� QRNWDVÕQGDQ�levha düzlemine dik olarak geçen eksene göre eylemsizlik momentlerini bulunuz. Çözüm�� .RRUGLQDW� VLVWHPLQL� ùHNLO� ����¶GHNL� JLEL�seçelim. Bu durumda, aranan eylemsizlik momentleri, úHNLOGHNL� OHYKDQÕQ� x-eksenine, y-eksenine ve z-HNVHQLQH� J|UH� H\OHPVL]OLN� PRPHQWOHULGLU�� /HYKDQÕQ�hipotenüsünün denklemi
b
y x ba
= − +
dir. Önce, x-HNVHQLQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWLQL�\D]DOÕP�
2 2 3
00 0 0
3 3 33 3 2 3
3 20 0
( )3
3 3( ) ( )
3 3
bx b
a a bax b
ax
D
a a
I y dxdy y dy dx y dx
b b b bx b dx x x x b dx
a a a a
ρρ ρ
ρ ρ
− +− +
= = =
= − + = − + − +
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
3 4 3 3 3 2 33
3 2
0
3 3.
3 4 3 2 12
a
x
b x b x b x abI b x
a a a
ρ ρ = − + − + =
%HQ]HU�RODUDN��H÷HU�y-HNVHQLQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWL�\D]ÕOÕUVD
3
12y
baI
ρ=
elde edilir. BXUDGDQ�GD�OHYKDQÕQ��z-eksenine göre eylemsizlik momenti
3 3
2 2( )12 12 12z x y
ab baI I I ab a b
ρ ρ ρ= + = + = +
olur.
188
Örnek 3. D bölgesi, 2y x= parabolü ile 2y x= �H÷ULVL�DUDVÕQGD�NDODQ��H÷ULOHUùHNLO�����¶GHNL�KRPRMHQ� \R÷XQOXNOX� LQFH� OHYKDQÕQ� a)� D÷ÕUOÕN� PHUNH]LQL�� b) x-eksenine göre eylemsizlik momentini bulunuz. Çözüm. a) øON�RODUDN�LNL�H÷ULQLQ�NHVLP�QRNWDODUÕQÕ�EXODOÕP�
2
1 20, 1.x x x x= ⇒ = =
D�OHYKDVÕQÕQ�N�WOHVL
2
1
0
12
0
1 1( ) ( )
2 3 6
x
D x
M dxdy dydx
x x dx
ρ ρ
ρρ ρ
= =
= − = − =
∫∫ ∫ ∫
∫
ùLPGL�GH��VÕUDVÕ\OD��x ve y�HNVHQOHULQH�J|UH�PRPHQWOHULQL�KHVDSOD\DOÕP�
2
2
1
0
1 12 2 4
0 0
1 1( ) ( ) ( ) ,
2 2 2 3 5 15
x
x
D x
x
x
M ydxdy ydydx
y dx x x dx
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= =
= = − = − =
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
2
1
0
1 12 3
0 0
1 1( ) ( ) ( ) .
3 4 12
x
y
D x
x
x
M xdxdy xdydx
x y dx x x dx
ρ ρ
ρρ ρ ρ
= =
= = − = − =
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
Buna göre, D�OHYKDVÕQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQLQ�NRRUGLQDWODUÕ
1 21512 ,2 5
6 6
y xM M
x yM M
ρρ
ρ ρ= = = = = =
GÕU��<DQL�D�OHYKDVÕQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]L� 1 2( , )2 5
�QRNWDVÕQGDGÕU� b) D�OHYKDVÕQÕQ��x-eksenine göre eylemsizlik momenti
2
2
1 12 2 3
0 0
( )3
xx
x xD x
I y dxdy y dy dx y dxρρ ρ
= = =
∫∫ ∫ ∫ ∫
189
13 6
0
1 1( ) ( )
3 3 4 7 28xI x x dx
ρ ρ ρ= − = − =∫
dir. Örnek 4. 2D R⊂ �E|OJHVLQH�\HUOHúPLú��M�N�WOHOL�ELU�LQFH�OHYKDQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQLQ�NRQXP�vektörü G
rG � ROVXQ�� (÷HU�� OHYKDQÕQ�� G D÷ÕUOÕN� PHUNH]L� YH� z-eksenine görere eylemsizlik
moPHQWOHUL��VÕUDVÕ\OD, G
I ve z
I ise
2
z G GI I Mr= +
RODFD÷ÕQÕ�J|VWHULQL]� Çözüm. D� E|OJHVLQLQ�� HNVHQOHUH� SDUDOHO� GR÷UXODUOD� VRQVX]� SDUoDODQÕúÕQGDNL� i-ci kütle HOHPDQÕQÕQ� NRQXP�YHNW|U��
irG
, kütlesi ( , )i i i i i
m x y x yρ∆ = ∆ ∆ YH�EX�N�WOH� HOHPDQÕQÕQ�� D÷ÕUOÕN�merkezine göre konum vektörü de *i
rG
olsun. Bu durumda, G
rG
, i
rG
ve *irG
DUDVÕQGD, *i i Gr r r= +G G G
LOLúNLVLQL�\D]DELOLUL]��%|\OHFH,�OHYKDQÕQ�z-eksenine göre eylemsizlik momenti
22 2*
2 2 2* * *
( )
2 2
z G
D D D
G G G G G
D D D D
I r dm r dm r r dm
r dm r r dm r dm I Mr r r dm
= = = +
= + + = + +
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
G G G
G G G G (*)
olur. 6D÷�WDUDIWDNL�VRQ�LQWHJUDOi
* *G G
D D
r r dm r r dm=∫∫ ∫∫G G G G
úHNOLQGH�\D]DOÕP��ùLPGL�G�D÷ÕUOÕN�Perkezini, vektörel formda,
* * *
1 1 1 1 1( )
G G G G
D D D D D
r rdm r r dm r dm r dm r r dmM M M M M
= = + = + = +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫G G G G G G G G
úHNOLQGH�WDQÕPODUVDN�
* 0D
r dm =∫∫G
ROGX÷X� DQODúÕOÕU� �EX� VRQ� LQWHJUDOLQ� DQODPÕQÕ� G�ú�Q�Q�]��� %|\OHFH�� � �� HúLWOL÷LQH� JHUL�dönecek olursak
2z G G
I I Mr= +
sonucuna ulDúÕUÕ]�
190
Örnek 4. 2 2( 1) 1x y− + = � oHPEHULQLQ� NDSODGÕ÷Õ� DODQD� \HUOHúPLú� KRPRMHQ� \R÷XQOXNOX� LQFH�OHYKDQÕQ�a) kütle merkezine göre, b) orijine göre eylemsizlik momentlerini bulunuz. Çözüm. a)� /HYKDQÕQ� D�÷ÕUOÕN� PHUNH]LQLQ� G������ QRNWDVÕ� ROGX÷X� DoÕNWÕU�� (÷HU�� D÷ÕUOÕN�merkezini orijin kabul eden yeni bir koordinat sistemi tasarlar ve dm� N�WOH� HOHPDQÕQÕQ� EX�sistemdeki konum vektörünü
* * * * * * * * *, , cos , sinr x i y j r r x r y rθ θ= + = = =G GG G
,
ile gösterirsek
2 1
2 2 2 3* * * * * * *
0 0
12
4 2
G
D D D
I r dm r dxdy r r dr d r dr d
π
ρ ρ θ ρ θ
πρπρ
= = = =
= =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
HOGH� HGHUL]�� /HYKDQÕQ� N�WOHVL� 2M Rπ ρ πρ= = � YH� \DUÕoDSÕ�R �� EU� ROGX÷XQGDQ�� \XNDUÕGDNL�ifade
21 1
2 2GI MRπρ= =
LIDGHVLQH�HúGH÷HUGLU��2�KDOGH��M kütleli ve R�\DUÕoDSOÕ, homojen, ince, dairesel bir OHYKDQÕQ��dairenin merkezine göre (\DQL�OHYKDQÕQ�D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQH�J|UH��Hylemsizlik momenti, kütlesi LOH�\DUÕoDSÕQÕQ�NDUHVLQLQ�oDUSÕPÕQÕQ�\DUÕVÕQD�HúLWWLU� K�WOH�PHUNH]LQLQ�RULMLQH�X]DNOÕ÷Õ� 1
Gr = �ROGX÷XQGDQ��|QFHNL�|UQHNWHQ�\DUDUODQDUDN��OHYKDQÕQ��
z-eksenine göre (bu örnekte, koordinat sisteminin orijinine göre) eylemsizlik momentini
2 3
2 2z G G
I I Mrπρ πρ πρ= + = + =
olarak buluruz.
191
Bölüm 5
ho�.DWOÕ�øQWHJUDOOHU %X�E|O�PGH��o�NDWOÕ�LQWHJUDO�NDYUDPÕ�YH�LOJLOL�GL÷HU�WDQÕP�YH�WHRUHPOHU�YHULOHFHNWLU� �����ho�.DWOÕ�øQWHJUDOOHU 7DQÕP� �� �Üç� .DWOÕ� øQWHJUDO). ( , , )w f x y z= �� VÕQÕUOÕ� 3
D R⊂ bölgesinde tDQÕPOÕ� ROVXQ��D
E|OJHVLQLQ�GLNG|UWJHQVHO�SUL]PDODU�úHNOLQGHNL�SDUoDODQÕúÕQÕ��ùHNLO������GLNNDWH�DODOÕP ve elde edilen alt bölgeleri, 1’den n¶\H�NDGDU�QXPDUDODQGÕUDOÕP��D bölgesinin hacmi V olmak üzere, D¶QLQ� SDUoDODQÕúÕQGDNL� i-ci alt bölgenin hacmini
i i i iV x y z∆ = ∆ ∆ ∆ ile gösterelim.
ùLPGL�� * * *( , , )i i i
x y z ile, i-ci alt bölge
LoHULVLQGHNL� KHU� KDQJL� ELU� QRNWD\Õ�göstererek
* * *
1
( , , )n
i i i i
i
f x y z V=
∆∑ (1)
WRSODPÕQÕ�ROXúWXUDOÕP��(÷HU��D’nin sonsuz SDUoDODQÕúÕ� LoLQ� �n → ∞ ��� ���� WRSODPÕQÕQ�tek bir sonlu limiti varsa, bu limite,
( , , )w f x y z= fonksiyonunun, D
E|OJHVLQGHNL��o�NDWO�LQWHJUDOL�GHQLU�YH
* * *
1
( , , ) lim ( , , )n
i i i in
iD
f x y z dxdydz f x y z V→∞
=
= ∆∑∫∫∫ (2)
úHNOLQGH�J|VWHULOLU�� øNL�NDWOÕ� LQWHJUDOOHUGH�ROGX÷X�JLEL��o�NDWOÕ� LQWHJUDOOHU GH�VÕUDOÕ� WHN�NDWOÕ� LQWHJUDOOHU� FLQVLQGHQ�\D]ÕODELOLU�� (÷HU�� LQWHJUDO� VÕUDVÕ� dzdydx � úHNOLQGH� VHoLOLUVH�� D� E|OJHVL� �]HULQGHQ� \DSÕODQ�LQFHOHPH\OH��LQWHJUDO�GH÷LúNHQOHULQin�VÕQÕUODUÕ
1 2 , ( ) ( ), ( , ) ( , )x x x u x y v x g x y z h x y≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (3)
úHNOLQGH�EXOXQGXNWDQ�VRQUD
2
1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )x v x h x y
D x u x g x y
f x y y dxdydz f x y z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (4)
IRUP�O��NXOODQÕODUDN��o�NDWOÕ�LQWHJUDO�KHVDSODQÕU��Üç�NDWOÕ�LQWHJUDO
192
2
1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )z v z h y z
D z u z g y z
f x y y dxdydz f x y z dxdydz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (5)
úHNOLQGH� GH� KHVDSODQDELOLU��Üo� NDWOÕ� LQWHJUDOLQ� KHVDSODQPDVÕQGD� NXOODQÕODELOHFHN� ���� YH� ����EHQ]HUL�VÕUDOÕ�LQWHJUDO�IRUP�OOHULQLQ�WRSODP���GH÷LúLN�úHNLOGH�\D]ÕODELOHFH÷L�DoÕNWÕU��%XQODUGDQ�KDQJLVLQLQ�NXOODQÕODFD÷ÕQD�D bölgesinin incelenmesi ile karar verilir.
Örnek 1. 2 2 2 1x y z+ + = küresi ile 1
2z = � G�]OHPL� DUDVÕQGD� NDODQ� '� E|OJHVLQLQ� KDFPLQL�
KHVDSOD\ÕQÕ]�
Çözüm. 2 2 2 1x y z+ + = küresi ile 1
2z =
düzleminin arakesiti
2 2 3
4x y+ =
oHPEHUL�ROXS��EX�oHPEHULQ�EHOLUOHGL÷L�E|OJH\L�%�LOH�gösterelim. D bölgesinin hacmi için
2
1
z
D B z
V dxdydz dz dxdy
= =
∫∫∫ ∫∫ ∫
\D]DELOLUL]�� ùHNLO� ����� LQFHOHQLUVH 2 211
2z x y≤ ≤ − − ROGX÷X� DQODúÕOÕU�� 2� KDOGH�� DUDQDQ�
hacim
2 21
1
2
2 2 11
2
x y
D B
B
V dxdydz dz dxdy
x y dxdy
− − = =
= − − −
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
olur. 2 2 3
4B x y≡ + = bölgesi için
2 2
3 3,
2 2
3 3
4 4
x
x y x
− ≤ ≤
− − ≤ ≤ −
193
dir. Uçlak koordinatylara geçersek
2 2 2
32 2
2
0 0
1 11 ( 1 )
2 2
1( 1 )
2
B B
V x y dxdy r rdrd
r rdr d
π
θ
θ
= − − − = − −
= − −
∫∫ ∫∫
∫ ∫
elde ederiz. Burada 21u r= − �GH÷LúNHQ�G|Q�ú�P��X\JXODUVDN
12 4
0 1
1/ 423/ 2
10
23/ 2
0
2
0
1 1( )
2 2
1 2 1( )
2 3 2
1 2 1 1 1 2 1( ( ) ) ( )
2 3 4 2 4 3 2
5 5
48 24
V u du d
u u d
d
d
π
π
π
π
θ
θ
θ
πθ
= − −
= − −
= − − − −
= =
∫ ∫
∫
∫
∫
sonucunu elde ederiz. ����ho�.DWOÕ�øQWHJUDOin Özellikleri Bir YH�LNL�NDWOÕ� LQWHJUDOOHUGH�JHoHUOL�RODQ�WHPHO�|]HOOLNOHU��o�NDWOÕ�LQWHJUDOOHUGH�GH�JHoHUOLGLU��ho�NDWOÕ�LQWHJUDOOHU�LoLQ�úX�WHPHO�|]HOOLNOHU�YHULOHELOLU�
i) ( , , )f x y z ve ( , , )g x y z ’ler, 3D R⊂ bölgesLQGH�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�LNL�IRQNVL\RQ�YH�h ile k
keyfi iki sabit olmak üzere
[ ]( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )D D D
hf x y z kg x y z dxdydz h f x y z dxdydz k g x y z dxdydz+ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ (1)
olur. ii)�(÷HU�'�E|OJHVLQLQ�KHU�\HULQGH� ( , , ) ( , , )f x y z g x y z≤ ise
( , , ) ( , , )D D
f x y z dxdydz g x y z dxdydz≤∫∫∫ ∫∫∫ (2)
HúLWVL]OL÷L�VD÷ODQÕU�
194
iii) (Üç� .DWOÕ� øQWHJUDO� KHVDEÕQ� RUWDODPD� GH÷HU� WHRUHPL). Sürekli bir ( , , )f x y z
fonksiyonunun, D� E|OJHVLQGHNL� HQ� N�o�N� YH� HQ� E�\�N� GH÷HUOHUL�� VÕUDVÕ\OD� m ve M ve D bölgesinin hacmi V olmak üzere,
( , , )D
mV f x y z dxdydz MV< <∫∫∫ (3)
HúLWVL]OLNOHUL� \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ� YH� ( , , )f x y z � V�UHNOL� ELU� IRQNVL\RQ� ROGX÷XQGDQ�� |÷OH� ELU�
0 0 0( , , )x y z D∈ �QRNWDVÕ�EXOXQDELOLU�NL��EX�QRNWD�LoLQ
0 0 0( , , ) ( , , )D
f x y z dxdydz f x y z V=∫∫∫ (4)
ya da
0 0 0
1( , , ) ( , , )
D
f x y z f x y z dxdydzV
= ∫∫∫ (5)
\D]ÕODELOLU��%XUDGD�� 0 0 0( , , )f x y z ’nin
0 0 0( , , )m f x y z M< < (6)
HúLWVL]OL÷LQL� VD÷OD\DQ� ELU� VD\Õ� ROGX÷XQD� GLNNDW� HGLOPHOLGLU�� ���� LOH� YHULOHQ� 0 0 0( , , )f x y z
GH÷HULQH�� ( , , )f x y z fonksiyonunun, D�E|OJHVLQGHNL�RUWDODPD�GH÷HUL�GHQLU� iv) ( , , )f x y z , D�E|OJHVLQGH�WDQÕPOÕ�YH�V�UHNOL�ELU�IRQNVL\RQ�ROPDN��]HUH
( , , ) ( , , )D D
f x y z dxdydz f x y z dxdydz≤∫∫∫ ∫∫∫ (7)
HúLWVL]OL÷L�YDUGÕU� v) D bölgesinin hacmi V ise, ( , , ) 1f x y z = �DOÕQDUDN��
D
V dxdydz= ∫∫∫ (8)
elde edilir. vi)� (÷HU�� f, D� E|OJHVLQGHNL� \R÷XQOXN� IRQNOVL\RQX� LVH� \DQL� ( , , ) ( , , )f x y z x y zρ= ise, D
E|OJHVLQH�\HUOHúPLú�FLVPLQ�N�WOHVL
( , , )D
M x y z dxdydzρ= ∫∫∫ (9)
�o�NDWOÕ�LQWHJUDOL�LOH�YHULOLU��g]HO�RODUDN��H÷HU��D�E|OJHVL�KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�LVH�EX�GXUXPGD�
195
D
M dxdydz Vρ ρ= =∫∫∫ (10)
olur.
Örnek 1. D Bölgesi { }( , , ) 0 ,0 ,0D x y z x y zπ π π= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ � úHNOLQGH� YHULOL\RU��2( , , )f x y z x yz= + fonksiyonunun, D�E|OJHVL��]HULQGHQ�RUWDODPDVÕQÕ�EXOXQX]�
Çözüm. D� E|OJHVL� GLNG|UWJHQOHU� SUL]PDVÕ� úHNOLQGH� ROXS�� KDFPL� 3 3brV π= ’tür. Ortalama
GH÷HU�WHRUHPLQH�J|UH�� ( , , )f x y z fonksiyonunun, D�E|OJHVLQGHNL�RUWDODPD�GH÷HUL�LoLQ
20 0 0 3
1 1( , , ) ( , , ) ( )
D D
f x y z f x y z dxdydz x yz dxdydzV π
= = +∫∫∫ ∫∫∫
yazabiliriz.�6ÕUDOÕ�LQWHJUDO�IRUP�O�Q��X\JXODUVDN
2 20 0 0 3 3
0 0 0
3
30 0 0
3
30 0
32
30 0
4 3 4 32
3 30
1 1( , , ) ( ) ( )
1( )
3
1( )
3
1( )
3 2
1 1( ) ( )
3 2 3 4
D
f x y z x yz dxdydz x yz dx dy dz
xxyz dy dz
yz dy dz
y y z dz
z dz z z
π π π
ππ π
π π
ππ
π
π π
π
ππ
π
π ππ
π π π ππ π
= + = +
= +
= +
= +
= + = +
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫0
5 5 2
3
1 7( )
3 4 12
π
π π ππ
== + =
elde ederiz. O halde, 2( , , )f x y z x yz= + fonksiyonu, D�E|OJHVLQGHNL�RUWDODPD�GH÷HULQL
2
2 7( , , )
12f x y z x yz
π= + =
GHQNOHPLQL�VD÷OD\DQ� ( , , )x y z �QRNWDODUÕQGD�DOPDNWDGÕU� Örnek 2. D bölgesi, 2 1x y z+ + = � G�]OHPL� YH� NRRUGLQDW� HNVHQOHUL� LOH� VÕQÕUODQDQ� E|OJH�ROGX÷XQD�J|UH�D bölgesinin hacmini bulunuz.
196
Çözüm. ùHNLO����¶�Q�LQFHOHQPHVL�LOH�D�E|OJHVLQLQ�VÕQÕUODUÕ�LoLQ
10 1, 0 (1 ), 0 1 2
2x y x z x y≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ − −
\D]ÕODELOHFH÷L�DQODúÕOÕU� O halde, aranan hacim
1(1 )
1 21 2
0 0 0
1(1 )
1 1 12(1 )2 2
00 0 0
12 2
0
1 1 12 2
0 0 0
1 12 2 32
0 0
(1 2 ) ( )
1 1 1(1 ) ( ) (1 )
2 2 4
1 1 1(1 ) ( ) (1 2 )
2 2 4
1 1 1( ) ( ) (
2 2 2 2 3 4
xx y
D
x
x
V dxdydz dzdydx
x y dydx y xy y
x x x x dx
x dx x x dx x x dx
x x xx x x
− − −
−−
= =
= − − = − −
= − − − − −
= − − − − − +
= − − − − −
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫13
0
)3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 1 )
2 2 2 2 3 4 3 4 12 12 12
x+
= − − − − − + = − − =
olur.
Örnek 3. 2 2 1x y+ = silindiri ile z=0 ve 5z x y= + + �G�]OHPOHUL�DUDVÕQGD�NDODQ�E|OJH�D ise
a) D bölgesi üzerinden, ( , , )f x y z xy= �IRQNVL\RQXQXQ��o�NDWOÕ�LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]�
197
b) D�E|OJHVLQLQ�KDFPLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� c) D� E|OJHVLQH� \HUOHúWLULOHQ� FLVPLQ� \R÷XQOXN� IRQNVL\RQX� ( , , )x y x xρ = � úHNOLQGH� LVH� FLVPLQ�kütlesini hesapOD\ÕQÕ]� Çözüm a)�6|]NRQXVX�E|OJHQLQ�WDQÕPÕ�
{ }2 2( , , ) 1 1, 1 1 , 0 5D x y z x x y x z x y= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − ≤ ≤ + +
úHNOLQGHGLU� Buna göre
2
2
2
2
2
2
51 1
1 01
1 1
1 1
11 22 3 2
1 1
12 3/ 2
1
03/ 2
0
( , , )
( 5)
5( )
2 3 2
2(1 )
3
10
3
x yx
D x
x
x
x
x
f x y z dxdydz xydzdydx
xy x y dydx
x x xy y y dx
x x dx
u du
+ +−
− − −
−
− − −
−
− − −
−
=
= + +
= + +
= −
= − =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
elde edilir. b)
2 2
2 2
2
2
51 1 1 1
1 0 11 1
112
11
12 2
1
1 12 2
1 1
( 5)
1( 5 )
2
(2 1 10 1 ) .
2 1 10 1
x yx x
D x x
x
x
V dxdydz dzdydx x y dydx
xy y y dx
x x x dx
x x dx x dx
+ +− −
− −− − − −
−
− −−
−
− −
= = = + +
= + +
= − + −
= − + −
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
Burada, 21u x= − � G|Q�ú�P�� \DSÕODUDN� VD÷� WDUDIWDNL� LON� LQWHJUDOLQ� VÕIÕU� ROGX÷X� NROD\FD�görülebilir. O halde,
1
2
1
10 1D
V dxdydz x dx−
= = −∫∫∫ ∫
198
olur. Burada sinx θ= �G|Q�ú�P��\DSÕOÕUVD
22
2
22
22
10 cos
1 110 (1 cos 2 ) 5( sin 2 ) 5
2 2
D
V dxdydz d
d
π
π
ππ
ππ
θ θ
θ θ θ θ π
−
−−
= =
= + = + =
∫∫∫ ∫
∫
elde edilir. c)
2 2
2 2
2
2
51 1 1 1
1 0 11 1
11 12 2 2 2 2
11 1
1 12 2 2
1 1
( , , )
( 5)
( 5 ) (2 1 10 1 )2
2 1 10 1
D D
x yx x
x x
x
x
M x y z dxdydz xdxdydz
xdzdydx x x y dydx
xx y y xy dx x x x x dx
x x dx x x dx
ρ
+ +− −
− −− − − −
−
− −− −
− −
= =
= = + +
= + + = − + −
= − + −
∫∫∫ ∫∫∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
elde edilir. SD÷GDNL� LNLQFL� LQWHJUDOLQ� VÕIÕU� ROGX÷Xnu (b�� úÕNNÕQGDQ� ELOL\RUX]� Bu durumda, cismin kütlesi
1
2 2
1
2 1M x x dx−
= −∫
dir. Burada, sinx θ= �G|Q�ú�P��\DSÕOÕUVD
2
2 2
2
sin cosM d
π
π
θ θ θ−
= ∫
HOGH�HGLOLU��<DUÕP�DoÕ�IRUP�OOHUL�NXOODQÕOÕUVD
2 2 21 1 1sin cos (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) (1 cos 2 )
2 2 4
1 1 1 11 (1 cos 4 ) cos 4
4 2 8 4
θ θ θ θ θ
θ θ
= − + = −
= − + = −
yazabiliriz. Böylece, D�E|OJHVLQH�\HUOHúPLú�FLVPLQ�N�WOHVL
199
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1 1cos 4 cos 4
8 4 8 4
1 1( sin 4 )8 16 8
M d d d
π π π
π π π
π
π
θ θ θ θ θ
πθ θ
− − −
−
= − = −
= − =
∫ ∫ ∫
olur. 5.3 Silindirik ve Küresel Koordinatlarda ho�.DWOÕ�øQWHJUDO 5.3.1 Silindirik Koordinatlarda ho�.DWOÕ�øQWHJUDO Kartezyen koordinatlarda verilen bir ( , , )N x y z �QRNWDVÕQÕ�GLNNDWH�DODOÕP��N�QRNWDVÕQGDQ��xy-
düzlemine indirilen dikme, xy-düzlemini, N ′ � QRNWDVÕQGD� NHVVLQ�� 2ULMLQL�� N ′ � QRNWDVÕQD�ELUOHúWLUHQ� YHNW|U�Q� E�\�NO�÷�� r ve x-ekseni ilH� \DSWÕ÷Õ� DoÕ� ϕ � �ùHNLO� ����� ROPDN� �]HUH��N
QRNWDVÕQÕQ�NRQXPXQX��r, ϕ , z��VD\Õ��oO�V��LOH�GH�J|VWHUHELOLUL]��%|\OHFH�HOGH�HGLOHQ�NRRUGLQDW�sistemine “silindirik koordinat sistemi” denir. ùHNLO� ���¶GHQ� DQODúÕODFD÷Õ� �]HUH�� NDUWH]\HQ�NRRUGLQDWODU�LOH�VLOLQGLULN�NRRUGLQDWODU�DUDVÕQGDNL�G|Q�ú�P�IRUP�OOHUL
cos
sin
x r
y r
z z
ϕϕ
= = =
(1)
úHNOLQGHGLU��%XQD�J|UH��G|Q�ú�P�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ
cos sin 0( , , )
sin cos 0( , , )
0 0 1
rx y z
J r rr z
ϕ ϕϕ ϕ
ϕ
−∂
= = =∂
(2)
200
GÕU�� (÷HU, D� E|OJHVL�� ùHNLO� ���¶GH� J|VWHULOGL÷L� JLEL�� NDUSX]� GLOLPLQL� DQGÕUDQ� ELU� úHNLOGH�SDUoDODQPD\D� WDEL� WXWXOXUVD� HOGH� HGLOHQ� SDUoDODQPDQÕQ� KDFLP� HOHPDQÕQÕQ� dV rdrd dzϕ=
RODFD÷Õ�DQODúÕOÕU��2�KDOGH��X]D\ÕQ�ELU�D bölgesi üzerinden, kartezyen koordinatlarda verilen üç NDWOÕ�LQWHJUDOLQ�VLOLQGLULN�NRRUGLQDWODUGDNL�NDUúÕOÕ÷Õ�LoLQ
( , , ) ( cos , sin , )D D
I f x y z dxdydz f r r z rdrd dzϕ ϕ ϕ= =∫∫∫ ∫∫∫ (3)
G|Q�ú�P�IRUP�O�Q��HOGH�HGHUL]� D bölgesinin hacmini, silindirik koordinatlarda yazmak için (3) ifadesinde ( , , ) 1f x y z = almak yeterlidir. Buna göre, silindirik koordinatlarda hacim
integrali
D
V rdrd dzϕ= ∫∫∫ (4)
úHNOLQGHGLU� 5.3.2 Küresel Koordinatlarda ho�.DWOÕ�øQWHJUDO ùHNLO� ���¶GH� J|VWHULOGL÷L� JLEL�� X]D\ÕQ bir D bölgesindeki herhangi bir ( , , )N x y z � QRNWDVÕQÕ�GLNNDWH� DODOÕP� Orijini, N� QRNWDVÕQD� ELUOHúWLUHQ� \DUÕoDS� YHNW|U�Q�Q� X]XQOX÷X� r ve pozitif z-HNVHQL� LOH� \DSWÕ÷Õ� DoÕ� θ olsun.� %XQGDQ� EDúND�� N� QRNWDVÕQÕQ�� xy-G�]OHPLQGHNL� L]G�ú�P�QRNWDVÕQÕ� N ′ ve ON ′ ’nün x-HNVHQL� LOH� SR]LWLI� \|QGH� \DSWÕ÷Õ� DoÕ\Õ� GD� ϕ ile gösterelim.
%|\OHFH��1�QRNWDVÕQÕQ�NRQXPXQX� ( , , )r θ ϕ ��oO�V��LOH�WHN�W�UO��LIDGH�HGHELOHFH÷LPL]�DQODúÕOÕU� %X� úHNLOGH�HOGH�HGLOHQ� NRRUGLQDW� VLVWHPLQH� ³küresel koordinat sistemi´� GHQLU�� ùHNLO����¶LQ�incelenmesi ile kDUWH]\HQ�YH�N�UHVHO�NRRUGLQDWODU�DUDVÕQGDNL�G|Q�ú�P�IRUP�OOHULnin
b
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
θ ϕθ ϕθ
= = =
(5)
201
úHNOLQGH�ROGX÷X�DQODúÕOÕU� Kolayca g|VWHULOHELOHFH÷L��]HUH��G|Q�ú�P�Q�-DFREL�GHWHUPLQDQWÕ
2
sin cos cos cos sin sin( , , )
sin sin cos sin sin cos sin( , , )
cos sin 0
r rx y z
J r r rr
r
θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕθ θ
−∂
= = =∂
− (6)
GÕU�� ùLPGL��D� E|OJHVLQLQ�� ùHNLO� ���¶GH� J|VWHULOGL÷L� JLEL�� N�UHVHO� NDEXN� úHNOLQGHNL� KDFLPsel E|O�Q�ú�Q�� GLNNDWH� DODOÕP�� 6RQVX]� E|O�Q�ú� GXUXPXQGD�� hacim elemaQÕQÕQ�
2 sindV r drd dθ θ ϕ= � úHNOLQGH� LIDGH� HGLOHELOHFH÷L� ùHNLO� ���¶GHQ� NROD\FD� J|U�OHELOLU� Bu
durumda, ( , , )f x y z fonksiyonunun, D� E|OJHVL� �]HULQGHQ� �o� NDWOÕ� LQWHJUDOLQL, küresel
koordinatlarda
2( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) sinD D
I f x y z dxdydz f r r r r drd dθ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ= =∫∫∫ ∫∫∫ (7)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]� Buradan da, ( sin cos , sin sin , cos ) 1f r r rθ ϕ θ ϕ θ = alarak, X]D\ÕQ�ELU�D
bölgesinin hacmi için, küresel koordinatlarda
2 sinD
V r drd dθ θ ϕ= ∫∫∫ (8)
ifadesini elde ederiz.
Örnek 1. D bölgesi, 2 2 21z x y= − − konisi, 2 2 1x y+ = silindiri ve z �� G�]OHPL� DUDVÕQGD�NDODQ�E|OJH�ROGX÷XQD�J|UH�a) D bölgesinin hacmini b) D bölgesi üzerinde 2( , , )f x y z x yz=
IRQNVL\RQXQXQ�LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. Söz konusu D�E|OJHVL�ùHNLO����¶GH�J|VWHULOPLúWLU��Bölge, kartezyen koordinatlarda
{ }2 2 2 2( , , ) 1 1, 1 1 , 1 1D x y z x x y x x y z= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − − ≤ ≤
202
úHNOLQGH�J|VWHULOHELOLUken, silindirik koordinatlarda
{ }2( , , ) 0 1,0 2 , 1 1D r z r r zϕ ϕ π= ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤
úHNOLQGHGLU��%XQD�J|UH,
a)
2
2 1 1
0 0 1D D r
V dxdydz rdrd dz r dz dr d
π
ϕ ϕ−
= = =
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
2 2 0
0 0 1
1 1 1 32
2 2 4 2V d udu d
π π πϕ ϕ π π
= + = + =
∫ ∫ ∫
olur. b)
( )
2
2 1 12 3 2 3 2
0 0 1
2 1 2 22 3 2 2
0 0 0 0
cos cos
1 1 1cos cos (1 cos 2 )
2 12 24
1(2 0)
24 12
D D r
I x zdxdydz r zdrd dz zdz r dr d
r r dr d d d
π
π π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ππ
−
= = =
= = = +
= + =
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
olur.
Örnek 2. D bölgesi, alttan 2 2 2z x y= + konisi ile, üstten de 2 2 2( 1) 1x y z+ + − = küresinin üst
\DUÕVÕ� LOH� VÕQÕUODQGÕ÷ÕQD� göre a) D bölgesinin hacmini, b) D bölgesi üzerinden 2 2 2 1 2( , , ) ( )f x y z x y z= + + �IRQNVL\RQXQXQ�LQWHJUDOLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]�
Çözüm. Küresel koordinatlara geçilirse söz konusu koni
YH� N�UHQLQ� GHQNOHPOHULQLQ�� VÕUDVÕ\OD��4
πθ = ve
2cosr θ= � ROGX÷X� NROD\FD� J|VWHULOHELOLU�� D bölgesi ve küresel koordiQDWODUGDNL� KDFLP� HOHPDQÕ� ùHNLO� ���¶GD�J|VWHULOPLúWLU� Buna göre, D bölgesini, küresel koordinatlarda
{ }( , , ) 0 2cos , 0 / 4, 0 2D r rθ ϕ θ θ π ϕ π= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
úHNOLQGH�EHOLUWHELOLUL]��%XQD�J|UH�
203
a)
2
2 / 4 2cos 2 / 42cos2 3
00 0 0 0 0
2 / 4 2 2 / 23 3
0 0 0 1
2 22 / 24
10 0
sin
1sin sin
3
8 8cos sin
3 3
2 1( ) .
3 2
D D
V dxdydz r drd d
r dr d d r d d
d d u du d
u d d
π π θ π πθ
π π π
π π
θ θ ϕ
θ θ ϕ θ θ ϕ
θ θ θ ϕ ϕ
ϕ ϕ π
= =
= =
= = −
= − = =
∫∫∫ ∫∫∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
b)
( )
2 2 2 1 2 2
2 / 4 2cos 2 / 42cos3 4
00 0 0 0 0
2 / 4 2 2 / 24 4
0 0 0 1
22 / 25
10
( ) sin
1sin sin
4
4 cos sin 4
4 4 2( 1)
5 5 8
D D
I x y z dxdydz rr drd d
r dr d d r d d
d d u du d
u d d
π π θ π πθ
π π π
π
θ θ ϕ
θ θ ϕ θ θ ϕ
θ θ θ ϕ ϕ
ϕ
= + + =
= =
= = −
= = −
∫∫∫ ∫∫∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫2
0
4 2( 1)2 .
5 8
π
ϕ π= −∫
5.4 Kütle 8]D\ÕQ bir D�E|OJHVLQH�\HUOHúPLú�YH� ( , , )x y zρ �úHNOLQGH�ELU�\R÷XQOXN�IRQNVL\RQXQD�VDKLS�ELU�cismi�GLNNDWH�DODOÕP��D�E|OJHVLQLQ�ELU�VRQVX]�SDUoDODQÕúÕQÕ�GLNNDWH�DODOÕP��D bölgesinin hacmi V ve bölgülerin hacimleri de ( 1,2,..., )
iV i n∆ = oOVXQ��%|OJ�OHULQ�KHU�ELULQLQ�Lo�NÕVPÕQGDNL�KHU�
hangi ( , , )i i i
x y z � QRNWDODUÕQÕ� GLNNDWH� DODOÕP� YH� EX� QRNWDODUGDNL� \R÷XQOXNODUÕ� ( , , )i i i
x y zρ ile
J|VWHUHOLP��(÷HU��i-ci bölgünün kütlesini i
M∆ ile gösterirsek
( , , )
i i i i iM x y z Vρ∆ = ∆ (1)
úHNOLQGH�LIDGH�HGHELOLUL]��%|OJ��VD\ÕVÕQÕQ�VRQVX]�ROPDVÕ�GXUXPXQGD��H÷HU�
1
lim ( , , )n
i i i in
i
x y z Vρ→∞
=
∆∑ (2)
OLPLWL�VRQOX�ELU� VD\Õ\D�\DNÕQVÕ\RUVD�EX� OLPLWH��D bölgesini kapsayan cismin kütlesi denir. O halde, �o�NDWOÕ�NDWOÕ�LQWHJUDO�WDQÕPÕQGDQ�\DUDUODQDUDN�V|]�NRQXVX�cismin kütlesini
204
( , , )D
M x y z dxdydzρ= ∫∫∫ (3)
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]��(÷HU�FLVLP�KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�LVH�����\HULQH
D
M dxdydz Vρ ρ= =∫∫∫ (4)
yazabiliriz. Kütle, silindirik koordinatlarda
( , , )D
M r z rdrd dzρ ϕ ϕ= ∫∫∫ (5)
integrali ile verilirken küresel koordinatlarda ise
2( , , ) sinD
M r r drd dzρ θ ϕ θ ϕ= ∫∫∫ (6)
ifadesi ile verilir.
Örnek 1. 0( ) rr eρ ρ −= � úHNOLQGH� \R÷XQOXN� GD÷ÕOÕPÕQD� VDKLS� RODQ� R� \DUÕoDSOÕ� N�UHVHO� ELU�\ÕOGÕ]ÕQ�N�WOHVLQL�KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm. 6|]NRQXVX�\ÕOGÕ]ÕQ�PHUNH]LQL�NRRUGLQDW�VLVWHPLQLQ�PHUNH]L�RODUDN�VHoHUVHN��N�UHVHO�NRRUGLQDWODUÕ�NXOODQDUDN�N�WOHVLQL
22 2 2
0 0
0 0 0
( , , ) sin sin sinR
r r
D D
M r r drd d e r drd d e r drd d
π π
ρ θ ϕ θ θ ϕ ρ θ θ ϕ ρ θ θ ϕ− −= = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
úHNOLQGH� \D]DELOiriz.� øQWHJUDV\RQ� VÕQÕUODUÕQÕQ� GH÷LúNHQOHUH� ED÷OÕ� ROPDPDVÕ� QHGHQL\OH, \XNDUÕGDNL��o�NDWOÕ�LQWHJUDOL
22 2
0 0
0 0 0 0
sin 4R R
r rM d d e r dr e r dr
π π
ρ ϕ θ θ πρ− −= =∫ ∫ ∫ ∫
úHNOLQGH�\D]DELOLUL]��Son olarak, kÕVPL�LQWHJUDV\RQ�IRUP�O�Q��X\JXOD\DUDN�GD
20 0
20
20
4 2 2
4 ( 2 2 ) ( 2)
4 2 2 2
Rr r r
R R R
R R
M r e re e
R e Re e
e R R e
πρ
πρ
πρ
− − −
− − −
−
= − − −
= − − − − − = − − −
ifadesini elde ederiz.
205
5.5 0RPHQW�YH�$÷ÕUOÕN�0HUNH]L Bir D� E|OJHVL� LOH� WDQÕPODQDQ� FLVPLQ�� NRRUGLQDW� düzlemlerine göre momentleri, bir ince levhaQÕQ�NRRUGLQDW�HNVHQOHULQH�J|UH�PRPHQWOHULQH�EHQ]HU�RODUDN�WDQÕPODQDELOLU��%XQD�J|UH� D E|OJHVLQH�\HUOHúPLú�ELU�FLVPLQ��VRQVX]�SDUoDODQÕúÕQGDNL�i-FL�KDFLP�HOHPDQÕQÕQ�N�WOHVL�
im∆ ve
NRRUGLQDWÕ� GD� ( , , )i i i
x y z olsun. Bu durumda, i
m∆ � N�WOH� HOHPDQÕQÕQ� yz-düzlemine (x=0
düzlemi) göre momenti
ix i iM x m∆ = ∆ (1)
úHNOLQGH� WDQÕPODQÕU��%HQ]HU� RODUDN��
im∆ � N�WOH� HOHPDQÕQÕQ�xz- ve xy-G�]OHPOHULQH� �VÕUDVÕ\OD��
y=0 ve z �� G�]OHPOHUL�� J|UH�PRPHQWOHUL� GH�� VÕUDVÕ\OD� iy i iM y m∆ = ∆ ve iz i i
M z m∆ = ∆ olur.
Böylece, PRPHQWLQ�WRSODQDELOLUOLN�|]HOOL÷LQGHQ�\DUDUODQDUDN��D�E|OJHVLQH�\HUOHúPLú��M kütleli cismin x=0, y=0 ve z ��G�]OHPOHULQH�J|UH�PRPHQWOHULQL���o�NDWOÕ�LQWHJUDOOHU�\DUGÕPÕ\OD
( , , )
( , , )
( , , )
x
D
y
D
z
D
M x x y z dxdyz
M y x y z dxdyz
M z x y z dxdyz
ρ
ρ
ρ
=
= =
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
(2)
úHNOLQGH� WDQÕPODUÕ]��%XUDGDQ� GD� FLVPLQ� D÷ÕUOÕN�PHUNH]LQLQ�kartezyen NRRUGLQDWODUÕ� ( , , )x y z
için��VÕUDVÕ\OD�
1( , , )
1( , , )
1( , , )
D
D
D
x x x y z dxdyzM
y y x y z dxdyzM
z y x y z dxdyzM
ρ
ρ
ρ
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
(3)
ifadelerini elde ederiz. %XUDGD� YHUGL÷LPL]� ���� LQWHJUDOOHUL�� X\JXQ� G|Q�ú�POHU� YDVÕWDVÕ\OD�� VLOLQGLULN� \D� GD� N�UHVHO�koordinatlar cinsinden de hesaplanabilirler. Örnek 1. D bölgesi, üstten 2x y z+ + = düzlemi, alttan 1z = düzlemi ve yanlardan da
2 2 1
2x y+ = �VLOLQGLUL�LOH�VÕQÕUODQPÕúWÕU��D�E|OJHVLQH�\HUOHúWLULOPLú�KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�FLVPLQ�a) hacmini, b)�D÷ÕUOÕN�Perkezini bulunuz.
206
Çözüm. D bölgesinin \DQ� NHQDUODUÕ� VLOLQGLU� ROGX÷XQGDQ�� VLOLQGLULN� NRRUGLQDWODUÕ� NXOODQPDN�o|]�P��EDVLWOHúWLUHFHNWLU� D bölgesini, silindirik koordinatlarda
( )2( , , ) 0 ,0 2 ,1 2 cos sin
2D r z r z rϕ ϕ π ϕ ϕ
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − +
úHNOLnde ifade edebiliriz. Buna göre, a)
[ ]
2 (cos sin )2 2 / 2
0 0 1
2 / 22 2 / 2 2 2 3
0 0 0 0
2
0
1 (cos sin ) (cos sin )2 3
1 2 1 2(cos sin ) (sin cos )
4 12 4 12
r
D D
V dxdydz rdrd dz dz rdr d
r rr rdr d d
d
ϕ ϕπ
π π
π
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + = = =
= − + = − +
= − + = − −
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫2
02
ππ
=
olur. b) øON�|Qce, ����IRUP�OOHUL�\DUGÕPÕ\OD� D�E|OJHVLQH�\HUOHúPLú�FLVPLQ, koordinat düzlemlerine J|UH�PRPHQWOHULQL�KHVDSOD\DOÕP� Simetri nedeniyle,
x yM M= �RODFD÷Õ�DoÕNWÕU��%XQD�J|UH
[ ]
2 (cos sin )2 2 / 22 2
0 0 1
2 2 / 22
0 0
2 / 22 3 4
0 0
2
( , , ) cos cos
1 (cos sin ) cos
(cos sin ) cos3 4
2 1 1cos cos
12 16 16
r
x
D D
M x x y z dxdydz r drd dz dz r dr d
r r dr d
r rd
ϕ ϕπ
π
π
ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ
− + = = =
= − +
= − +
= − −
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫2
0
sin cos d
π
ϕ ϕ ϕ
∫
2
0
2 2 2
0 0 0
2 22 2
00 0
2 1 1cos (1 cos 2 ) sin cos
12 32 16
2 1 1cos (1 cos 2 ) sin cos
12 32 16
2 1 1 1sin ( sin 2 ) sin
12 32 2 32 16
xM d
d d d
π
π π π
π ππ
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
πρρ ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
= − + −
= − + − = −
∫
∫ ∫ ∫
olur. Cismin, z=0 düzlemine göre momentinin
207
2 (cos sin )2 2 / 22
0 0 1
( , , ) cos
8
r
z
D D
M z x y z dxdydz zdrd dz zdz r dr d
ϕ ϕπ
ρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ
πρ
− + = = =
= −
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
olGX÷X�NROD\FD�J|VWHULOHELOLU� Cisim,�KRPRMHQ�\R÷XQOXNOX�ROGX÷XQGDQ�N�WOHVL 2
M Vρπρ= =
diU��%|\OHFH��N�WOH�PHUNH]LQLQ�NRRUGLQDWODU�LoLQ�����IRUP�OOHULQGHQ
1 1 1( , , ) ( )
16 82
1 1 1( , , ) ( )
16 82
1 1 1( , , ) ( )
8 42
D
D
D
x x x y z dxdyzM
y y x y z dxdyzM
z y x y z dxdyzM
πρρπρ
πρρπρ
πρρπρ
= = − = −
= = − = −
= = − = −
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
HOGH�HGHUL]��%DúND�ELU�GH÷LúOH, cismin kütle merkezi 1 1 1
( , , )8 8 4
− − − �QRNWDVÕQGDGÕU� 5.6 Eylemsizlik Momenti
3D R⊂ bölgesLQH� \HUOHúPLú� YH� \R÷÷XQOXN� GD÷ÕOÕPÕ� ( , , )x y zρ � RODQ� ELU� FLVPLQ� X]D\ÕQ�KHUKDQJL�ELU�QRNWDVÕQD��GR÷UXVXQD�\D�GD�G�]OHPLQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWL
2 2 ( , , )D D
I d dm d x y z dxdydzρ= =∫∫∫ ∫∫∫ (1)
formülü ile verilir. Burada, ( , , )d d x y z= , D� E|OJHVLQH� \HUOHúPLú� FLVPLQ� dm kütle
HOHPDQODUÕQÕQ�� V|]� NRQXVX� QRNWD�� GR÷UX� \D� GD� G�]OHPH� X]DNOÕ÷ÕGÕU��Özel olarak, koordinat HNVHQOHULQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWOHUL�\D]ÕODELOLU��z-eksenine göre eylemsizlik momenti: bu
durumda 2 2 2d x y= + �RODFD÷ÕQGDQ��
2 2 2( ) ( , , )z
D D
I d dm x y x y z dxdydzρ= = +∫∫∫ ∫∫∫ (2)
olur. Benzer olarak, x_ ve y-HNVHQOHULQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWOHUL�GH��VÕUDVÕ\OD�
2 2 2( ) ( , , )x
D D
I d dm y z x y z dxdydzρ= = +∫∫∫ ∫∫∫ (3)
ve
208
2 2 2( ) ( , , )y
D D
I d dm x z x y z dxdydzρ= = +∫∫∫ ∫∫∫ (4)
úHNOLQGH�\D]Õlabilir. Bir cismin eylemsizlik momenti, silindirik ve küresel koordinatlarda ise
2 ( cos , sin , )D
I d r r z rdrd dzρ ϕ ϕ ϕ= ∫∫∫ (5)
ve
2 2( sin cos , sin sin , cos ) sinD
I d r r r r drd dρ θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ= ∫∫∫ (6)
úHNOLQGH� \D]ÕODELOLU� Burada, d fonksiyonunun, silindirik koordinatlarda ( cos , sin , )d r r zϕ ϕ
úHNOLQGH��N�UHVHO�NRRUGLQDWODUGD�GD�LVH� ( sin cos , sin sin , cos )d r r rθ ϕ θ ϕ θ �úHNOLQGH�RODFD÷ÕQÕ�KDWÕUODWPDNWD�ID\GD�YDUGÕU�
Örnek 1. Yerin kütlesi 275.97 10 g× �YH�\DUÕoDSÕ� 86.371 10 cm× ¶GLU��+RPRMHQ�\R÷XQOXNOX ve
küresHO� \DSÕGD� ROGX÷XQX� YDUVD\DUDN� yerin, çapODUÕQGDQ� ELULQH göre eylemsizlik momentini KHVDSOD\ÕQÕ]� Çözüm�� gQFH� KRPRMHQ� \R÷XQOXNOX� ELU� N�UHQLQ�� oDSÕQD� J|UH� H\OHPVL]OLN� PRPHQWLQL�KHVDSOD\DOÕP�� ùHNLO� ���¶GH� J|VWHULOGL÷L� JLEL�� Noordinat sisteminin orijinini, kürenin merkezinde seçerek, z-HNVHQLQH� J|UH� H\OHPVL]OLN� PRPHQWLQL� KHVDSOD\DOÕP�� Küresel koordinatlarda, dm�N�WOH�HOHPDQÕQÕQ��]-HNVHQLQH�RODQ�X]DNOÕ÷Õ
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
sin cos sin sin
sin
d z r x y r r
r
θ ϕ θ ϕ
θ
= − = + = +
=
ROGX÷XQGDQ
209
2 2 2 4 3
2 53 4 3
0 0 0 0
15 52 2
0 1
15 3 53 2 2
1
sin sin sin
2sin sin
5
2 2(1 cos )sin (1 )
5 5
2 2 4 2 4 2( )
5 3 5 3 5 3 5
z
D D
R
I r r drd d r drd d
Rd d r dr d
R Rd u du
R u Ru R R MR
π π π
π
ρ θ θ θ ϕ ρ θ θ ϕ
πρρ ϕ θ θ θ θ
πρ πρθ θ θ
πρ πρ πρ
−
−
= =
= =
= − = −
= − = = =
∫∫∫ ∫∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
sonucunu elde ederiz. Buna görH�\HULQ��oDSODUÕQGDQ�ELULQH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWL
2 27 8 2 44 22 25.97 10 (6.371 10 ) 9.693 10 g cm
5 5yerI MR= = × × × = ×
<HULQ� \|U�QJHVLQL�� \DUÕoDSÕ� 131.496 10 cmd = × � RODQ� ELU� oHPEHU� NDEXO� HGHUHN� \XNDUÕGD�EXOGX÷XPX]� oDSD� J|UH� H\OHPVL]OLN�PRPHQWLQL�� \HULQ�� J�QHúH� J|UH� H\OHPVL]OLN�PRmenti ile NDUúÕODúWÕUDELOLUL]� YDUÕoDSÕ�� \|U�QJH� \DUÕoDSÕ� \DQÕQGD� oRN� N�o�N� ROGX÷XQGDQ�� \HUL� QRNWDVDO�kütle olarak varsayabiliriz. %XQD�J|UH��\HULQ�J�QHúH�J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWL�LoLQ
2 27 13 2 54 25.97 10 (1.496 10 ) 1.336 10 g cmI Md= = × × × = ×
GH÷HULQL� HOGH� HGHUL]�� %XQD� J|UH�� \HULQ�� J�QHúH� J|UH� H\OHPVL]OLN� PRPHQWL�� oDSÕQD� J|UH�H\OHPVL]OLN�PRPHQWLQLQ�\DNODúÕN�RODUDN��������NDWÕGÕU��)L]LNWH�DoÕVDO�PRPHQWXP L Iω= IRUP�O�� LOH�WDQÕPODQÕU��%XUDGD�ω ,�G|QPH�GRODQPD�DoÕVDO�KÕ]ÕGÕU��<HULQ, dönme ve dolanma
dönemleri�� VÕUDVÕ\OD� 24saat 86400sdönP = = ve 7365.25g 3.156 10 sdol
P = = × � ROGX÷XQGDQ,
yerin G|QPH�YH�GRODQPD�DoÕVDO�PRPHQWXPODUÕ�için��VÕUDVÕ\OD�
40 2 -127.049 10 g cm sdön çap dön çap
dön
L I IP
πω= = = ×
ve
47 2 -122.660 10 g cm sdol güneú GRO J�QHú
dol
L I IP
πω= = = ×
GH÷HUOHULQL� HOGH� HGHUL]� *|U�OG�÷�� �]HUH�� \HULQ� G|QPH� DoÕVDO�PRPHQWXPX�� GRODQPD� DoÕVDO�PRPHQWXPX�\DQÕQGD�LKPDO�HGLOHELOHFHN�NDGDU�N�o�NW�U��dLIW�\ÕOGÕ]ODU�GXUXPXQGD�GD�JHQHOGH�GXUXP� E|\OHGLU�� $QFDN�� ED]Õ� \DNÕQ� YH� KÕ]OÕ� G|QHQ� ELOHúHQOHUH� VDKLS� oLIW� VLVWHPOHULQ�� LKPDO�edilemeyecek kDGDU�E�\�N�G|QPH�DoÕVDO�PRPHQWXPODUÕQD�VDKLS�RODELOGLNOHULQL�GH�EHOLUWPHN�gerekir.