Il campo magnetico

le vecchie cassette musicali e video. I lettori CD e DVD Gli hard disk nei computer; Microfoni di cuffie, TV, computer, telefoni. Nelle automobili: iniettori benzina, finestrini elettronici Allarmi di sicurezza, citofoni, chiusura e apertura automatica delle porte

Così come il campo elettrico è generato da una carica ed esercita una forza su una carica, il campo magnetico è generato da, ed esercita forza su due diverse entità: un magnete una particella carica in movimento. Nella vita quotidiana siamo circondati da fenomeni magnetici: che utilizziamo per le più svariate applicazioni:

Scorie di ferro raccolte da un magnete in acciaieria

B

Cosa produce un campo magnetico ?

SPIN: proprio come massa e la carica, lo spin è una proprietà fondamentale delle particelle elementari Lo spin si raffigura come una rotazione della particella attorno al proprio asse, che dà origine ad un momento di dipolo magnetico (indicato dalla freccia viola) in grado di generare un piccolissimo campo magnetico attorno a sé Girando in senso orario o antiorario, lo spin può essere orientato ‘up’ oppure ‘down’

Potremmo pensare che come il campo elettrico è prodotto dalla carica elettrica, anche il campo magnetico sia prodotto da una carica magnetica, ma non è così !! Il campo magnetico può essere prodotto in 2 modi:

Da cariche elettriche in movimento; ad esempio la corrente in un circuito. Dallo SPIN delle particelle elementari (ad esempio gli elettroni stessi)

Campo magnetico nella materia normalmente gli elettroni negli orbitali atomici si accoppiano a due a due con spin opposti, cosicché loro il campo magnetico risultante si cancella; questo è un bene: immaginate se il nostro corpo fosse una calamita: ogni volta che passiamo davanti al frigo rimarremmo attaccati alla porta… In alcuni materiali una porzione degli elettroni rimane spaiata: c’è un momento di spin risultante su ciascun atomo. Se gli spin sono orientati casualmente, il momento magnetico risultante è nullo, ed il materiale si dice paramagnetico. In alcuni casi gli spin si allineano concordemente, dando vita ad un campo magnetico macroscopico: il materiale si dice ferromagnetico. Dunque un magnete è un materiale con gli spin tutti concordemente allineati.

N

N

si dice prodotto vettore

Forza del campo magnetico

Il verso di F è dato dalla regola della mano destra: se v è diretta lungo l’indice e B lungo il medio, F sarà orientata verso il pollice se q > 0, in verso opposto al pollice se q < 0.

Il campo magnetico (B) esercita una forza (detta forza di Lorentz) su una particella di carica q che si muove con velocità v:

BvqF

Bv

qIl prodotto vettore è orientato perpendicolarmente ad entrambi i vettori velocità e campo magnetico. Dunque la direzione della forza esercitata da un campo magnetico su una particella carica è sempre perpendicolare sia al campo magnetico che alla velocità della particella

0qF 0q

Forza del campo magnetico

Dunque se v e B sono paralleli, concordi o discordi, la forza di Lorentz è nulla; dati v e B, la forza massima si ha quando questi sono perpendicolari; in tal caso:

BvqF

Il modulo (intensità) della forza è dato dal prodotto dei moduli di carica, velocità, e campo, moltiplicato per il seno dell’angolo formato dai vettori v e B: q

AqBvqF sin

0

B

v

o180

B

v

BvqF

A: area del parallelogramma formato dai vettori v e B

Forza del campo magnetico

Il raggio gamma non lascia traccia all’interno della camera perché neutro, ma quando si scontra con gli atomi di idrogeno si disintegra, generando una coppia (+e, -e); a causa della forza di Lorentz le cariche percorrono orbite circolari, il cui verso di rotazione dipende dal segno della carica, secondo la regola della mano destra: l’elettrone ruota in senso antiorario, il positrone in senso orario

La forza di Lorentz non ha mai una componente diretta parallelamente alla velocità, e dunque il campo magnetico non può mai cambiare il modulo di v e di conseguenza l’energia cinetica della particella. Il campo magnetico può soltanto cambiare la direzione della particella. In figura sono mostrate le tracce di 2 particelle cariche, un elettrone (-e) ed un positrone (+e) generate in una camera a bolle riempita di idrogeno liquido da una raggio gamma (radiazione elettromagnetica di alta energia) che viaggia con velocità v; nella camera c’è un forte campo magnetico B perpendicolare al piano, diretto nel verso uscente dal foglio.

+e -e

v

B

-e

Camera a bolle per la rilevazione del moto di particelle cariche

Unità di misura del campo magnetico Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del campo magnetico è il Tesla (T), in onore del grande scienziato e inventore serbo. Dalla formula di Lorentz segue che un Tesla è uguale a Newton per secondo su Coulomb per metro:

Un’altra unità storicamente molto utilizzata per esprimere il campo magnetico è il Gauss:

mA

N

s

mC

NT

qv

FB 1

GaussTesla 4101

Nikola Tesla (1856 –1943)

Linee del campo magnetico

A differenza dell’elettricità, che è prodotta da due entità distinte (cariche positive e cariche negative), il magnetismo è prodotto da un’entità unica e indivisibile: il dipolo magnetico. Ne segue che: Tutte le linee formano percorsi chiusi (anche quelle non mostrate in fugura): escono sempre da un polo (detto polo nord) ed entrano nell’altro polo (polo sud). Dalla densità delle linee si vede che il campo magnetico è più intenso vicino ai poli che non nella regione intermedia vicino la superficie della barretta

Possiamo rappresentare il campo magnetico mediante linee di campo, similarmente al caso del campo elettrico (vediamo in figura il campo di una barretta magnetica): In ogni punto della linea, la direzione della tangente in quel punto determina la

direzione del campo magnetico La spaziatura delle linee indica l’intensità del campo: più le linee sono vicine più il

campo è forte

Indipendentemente dalla forma, sperimentalmente si trova sempre che poli opposti si attraggono, poli uguali si respingono

Linee del campo magnetico Altre due forme molto comuni di campo magnetico sono: Il ferro di cavallo: le linee di campo sono approssimativamente circolari Il magnete a forma di C: il campo tra i poli è uniforme

Il campo magnetico terrestre La terra ha un suo campo magnetico, prodotto dal nucleo terrestre (costituito da Ferro liquido ad altissima T) per ragioni ancora ignote. La presenza del campo magnetico è immediatamente verificabile mediante la bussola, che essenzialmente è un aghetto magnetico libero di ruotare attorno ad un perno centrale: l’ago si allinea parallelamente al campo, e così ci indica la direzione

GaussTB 110 4

Due cose da notare in figura: Le linee di campo ENTRANO nel nord geografico ed ESCONO dal sud GEOGRAFICO: dunque quello che chiamiamo ‘polo nord’ è in realtà il polo sud magnetico, e viceversa L’asse magnetico non è esattamente allineato all’asse polare geografico: c’è un angolo di 11.5o di differenza.

sulla superficie terrestre:

Problema 28.1 Siamo in un Laboratorio: un protone entra nella camera in direzione Sud Nord con velocità v ed energia cinetica di 8.510-13 J. Un campo magnetico uniforme di intensità B=1.210-3 T, è diretto verso l’alto (i punti verdi indicano le linee di flusso che attraversano il piano della figura). Calcolare la forza FB esercitata dal campo magnetico sul protone, ricordando che la massa del protone è 1.6710-27 Kg (si trascuri il campo magnetico terrestre)

Ricordiamo che: il campo magnetico cambia la direzione della particella, ma NON può mai cambiare il modulo della velocità

xBveBveF ˆ

s

m

Kg

J

m

EvvmE

P

kPk

7

27

132 102.3

1067.1

10172

2

1

NTs

mCF 153719 1014.6102.1102.3106.1

x

Effetto Thomson e la scoperta dell’elettrone

In figura vediamo un tubo a raggi catodici (in pratica il vecchio televisore con schermo di vetro), inventato da J.J. Thomson nel 1897 all’Università di Cambrige, che diede la prima dimostrazione dell’esistenza dell’elettrone. Particelle cariche (che adesso sappiamo essere elettroni) vengono emesse da un filamento incandescente ed accelerate dal campo generato da V; il raggio elettronico attraversa la fenditura C e viaggiando in linea retta arriva al centro dello schermo, dove colpisce una sostanza fluorescente generando un segnale luminoso. Utilizzando il campo elettrico di un condensatore piano e il campo magnetico generato da una bobina, il raggio elettronico viene deflesso verticalmente; dalla misura della deflessione Thomson calcola il rapporto tra massa e carica dell’elettrone

Effetto Thomson e la scoperta dell’elettrone Applicando la regola della mano destra per cariche negative, si ha che la forza magnetica sugli elettroni è diretta in verso opposto alla forza elettrica. Le crocette verdi indicano campo magnetico entrante nella pagina

EeFE

vBeFB

)2(B

EvvBE

Thomson procede nel modo seguente: 1) Applica soltanto il campo elettrico, e misura la deflessione lungo y del raggio elettronico (abbiamo già ricavato la formula nel caso della stampante a getto d’inchiostro):

)1(22

22

v

L

m

eEaty

2) Applica un campo magnetico d’intensità tale da compensare esattamente la forza elettrica ed annullare la deflessione. Dalla condizione di deflessione nulla ricava il valore della velocità del raggio elettronico lungo x:

3) sostituendo la formula (2) nell’espressione (1): yE

LB

e

m

Em

LBey

22

2222

y

Effetto Thomson e la scoperta dell’elettrone

15.1836

p

e

mm

Tutte le quantità del membro di destra sono note: L è la lunghezza dei piatti del condensatore, y la deflessione dovuta al solo campo elettrico, B il valore del campo magnetico che compensa la deflessione dovuta al campo elettrico. Dunque il rapporto m/e è totalmente determinato

Thomson scopre una cosa clamorosa: il rapporto m/e è qualche migliaio di volte più piccolo dell’entità più leggera allora conosciuta, ovvero l’atomo di idrogeno!!

yE

LB

e

m

2

22

Effetto Hall Abbiamo visto che un raggio di elettroni che viaggia nel vuoto può essere deflesso dal campo magnetico. Possiamo chiederci se anche la carica che viaggia spinta dal campo elettrico con velocità di drift all’interno di un conduttore sia deflessa dal campo magnetico. La risposta è affermativa, come dimostrato nel 1879 da Edwin H. Hall, uno studente di dottorato di 24 anni della Johns Hopkins University (in seguito divenne Professore ad Harvard).

Edwin Herbert Hall (1855 -1938)

L’esperimento Hall, è uno dei più importanti della storia della fisica della materia, e ancora oggi, a distanza di quasi 140 anni, è uno degli esperimenti fondamentali che si compiono quando si studia un materiale conduttore. Perché è così importante? 1) Ci permette di stabilire se la carica di un conduttore è positiva o

negativa, ovvero se le cariche mobili sono elettroni di valenza (+) o di conduzione (-)

2) Ci permette di stimare la densità di carica, ovvero la quantità di portatori per unità di volume

Effetto Hall

Una corrente di elettroni di conduzione (-) si muove lungo un nastro di rame con velocità di drift vd Un campo magnetico B entrante nella pagina deflette gli elettroni verso il bordo di destra Gli elettroni accumulati progressivamente a destra lasciano scompensata una corrispondente quantità di carica positiva sul bordo di sinistra: si genera un doppio strato Il doppio strato genera un campo elettrico E trasversale alla corrente; il campo esercita una forza sugli elettroni opposta a quella del campo magnetico all’equilibrio, forza elettrica e magnetica si compensano e la deflessione è annullata; da questo momento le cariche del doppio strato si muovono lungo la striscia con velocità vd Se le cariche in moto fossero positive (elettroni di valenza) ? Campo magnetico ed elettrico avrebbero verso opposto, così come la differenza di potenziale tra i due strati

Effetto Hall su cariche negative

All’equilibrio:

Effetto Hall

B

EvBveEe dd

eAn

i

en

Jvd

Se E è il campo elettrico trasversale alla direzione della corrente, la differenza di potenziale tra i due strati di carica è:

dEV

All’equilibrio, l’uguaglianza delle forze elettrica e magnetica dà:

Ricordiamo che la definizione generale di velocità di drift è:

HeReE

BJn

en

J

B

E 1

- - - - - - - - -

+ + + + + + + + +

d

l

A

EF

BF

B

i

Qui A è l’area della sezione attraversata dalla corrente nella striscia (l’area rossa in figura)

ldA

Mettendo insieme i risultati:

Si definisce coefficiente di Hall: iB

Vl

iB

EA

JB

ERH

RH è dato da quantità facilmente misurabili; il segno di RH ci dice se i portatori sono cariche + o -; l’inverso di RH ci dà la densità di portatori nel conduttore.

Carica in moto circolare Una particella si muove di moto circolare uniforme (velocità costante in modulo) se la forza agente sulla particella è costante, perpendicolare alla velocità della particella, e diretta verso il centro (forza centripeta). Un sasso legato ad una corda e fatto roteare nel piano, o un satellite in orbita circolare attorno alla Terra, sono esempi di forza centripeta. Un altro esempio è mostrato in Figura: un raggio di elettroni è iniettato in una camera chiusa da un cannone elettronico (G). Gli elettroni entrano con velocità v parallela al piano del foglio, e sono accelerati da un campo magnetico B uniforme diretto in senso uscente dal foglio.

La forza magnetica deflette continuativamente gli elettroni, e poiché velocità dell’elettrone e il campo magnetico sono sempre perpendicolari tra loro, l’elettrone esegue una traiettoria puramente circolare. La traiettoria è visibile in foto poiché gli atomi del gas presenti nella camera emettono luce quando collidono con gli elettroni in moto circolare

Cinematica del moto circolare uniforme

Il raggio r dell’orbita è proporzionale al modulo di v (maggiore la velocità, più grande è il circolo compiuto) e inversamente proporzionale al campo magnetico

Bq

mvrvBq

r

vmma

2

Bq

m

Bq

mv

vv

rT

222Il periodo T (tempo di

percorrenza di un giro) è

m

Bq

T

2

1La frequenza (numero di giri

compiuti nell’unità di tempo) è

m

Bq 2

E’ più comunemente definita frequenza la quantità:

NB: T, , e dipendono dal rapporto q/m ma non da v (a patto che v sia molto minore della velocità della luce, altrimenti dobbiamo considerare effetti relativistici).

B

v

a

r

-

B

v

ar

+

Problema 28.3 In Figura è rappresentato uno spettrometro di massa, utilizzato per misurare la massa di particelle cariche. Una particella di massa m ignota e carica q= 1.6 10-

19 C è emessa dalla sorgente S e accelerato dal potenziale V=1000 V. La carica entra nella camera attraverso una fenditura e viene deflessa dal campo B=80 mT perpendicolare al moto; la carica colpisce una lastra fotografica nel punto distante x=1.6254 m dalla fenditura. Calcolare m in unità di massa atomica u (1 u = 1.6605 10-27 kg = Massa del C12/12)

Dal moto circolare uniforme si ha: v

Bxqm

Bq

mvxr

22

L’unico dato mancante è il modulo della velocità della particella; poiché v non cambia a causa del campo magnetico, esso sarà uguale alla velocità d’ingresso v0 della particella nella fenditura. Nel tratto L che separa la carica dalla fenditura, l’accelerazione è costante e la velocità lineare nel tempo: 2

2

1;; atyatv

L

V

m

qE

m

qa

L

0v

Problema 28.3 q= 1.6 10-19 C; V=1000 V; B=80 mT ; x=1.6254 m (1 u = 1.6605 10-27 kg)

m

qVLaatv

2200

Calcoliamo il tempo t0 impiegato dalla carica per arrivare alla fenditura: a

LtatL

2

2

10

2

0

Da cui si ricava la velocità v0 d’ingresso nella camera

amuKgV

mTCm 225

3

22319

1005.21038.3108

64.2104.6106.1

Sostituendo v0 nell’espressione della massa:

V

xqBm

v

qBxm

82

22

0

Kgm

sN

m

Ns

N

m

m

Ns

m

VC

m

Cm

Ns

V

Cm

V

CTm

2222222

Traiettoria elicoidale Se la velocità d’ingresso della particella nel campo magnetico ha una componente parallela al campo, il moto della particella sarà elicoidale, ovvero circolare nel piano, e rettilineo uniforme nella direzione di B

La componente parallela determina il passo dell’elica, ovvero la distanza tra due spire adiacenti; la componente perpendicolare determina il moto circolare uniforme nel piano

||vvv

cossin || vvvv

Problema 28.4 Un elettrone (m=9.11 10-31 Kg) con energia cinetica E=22.5 eV si muove in un campo magnetico uniforme B=4.55 10-4 T; l’angolo tra campo magnetico e velocità è = 65.5°; calcolare il passo p della traiettoria ad elica compiuta dall’elettrone

cos22

||m

Ev

m

Ev kk

Dall’energia cinetica ricaviamo il modulo della velocità, e dall’angolo la sua componente parallela al campo:

s

m

s

m

Kg

Jv 660

31

19

|| 1016.14.0108.25.65cos1011.9

106.145

Problema 28.4 Un elettrone (m=9.11 10-31 Kg) con energia cinetica E=22.5 eV si muove in un campo magnetico uniforme B=4.55 10-4 T; l’angolo tra campo magnetico e velocità è = 65.5°; calcolare il passo p della traiettoria ad elica compiuta dall’elettrone

cmmBq

mvTvp

T

pv 12.9

1055.4106.1

1011.91016.122419

316

||||||

Essendo la velocità parallela costante, essa è uguale al rapporto tra passo e periodo, per cui

s

mv 6

|| 1016.1

mqB

mv

s

Kg

m

NsqB

La bottiglia magnetica In figura vediamo la traiettoria di una particella carica in un campo magnetico non uniforme; la particella (q>0) si muove a spirale da sinistra a destra; le linee di forza di B si addensano agli estremi dove B è più intenso. Con B aumenta la frequenza di rotazione e diminuisce il raggio

Notiamo che il campo magnetico in figura cambia di direzione lungo la linea di flusso; di conseguenza FB, essendo perpendicolare a B, non è più parallela al piano di rotazione (in viola) ma ha una componente lungo l’asse z; nella regione di destra FB,z è negativa, per cui se B è abbastanza intenso, la particella può frenare e ritornare indietro lungo lo stesso moto elicoidale; nella regione di sinistra FB,z è positiva, dunque la particella può invertire il moto lungo z e tornare verso l’interno del tubo di flusso; nel piano il verso del moto circolare resta invariato, si inverte soltanto la direzione perpendicolare al piano. Questa particolare conformazione di campo magnetico si dice bottiglia magnetica, poiché è in grado di intrappolare le particelle cariche in un moto elicoidale oscillatorio perpetuo.

z

Le fasce di van Allen Il campo magnetico terrestre intrappola elettroni e protoni emessi dal sole che raggiungono la terra: queste particelle entrano nel campo magnetico, e spiraleggiando si muovono lungo le linee di flusso, rimbalzando da un polo all’altro in pochi secondi

Accumulandosi nella regione mediana, le particelle formano le fasce di Van Allen, regioni di forma toroidale dense di particelle cariche, le quali scontrandosi tra loro emettono radiazione elettromagnetica di alta energia. La fascia più interna si estende tra 1000 a 6000 Km di altitudine, e contiene concentrazioni di elettroni con energie di centinaia di keV e protoni che superano i 100 MeV

I pannelli fotovoltaici, i circuiti integrati e i sensori dei satelliti in orbita possono rimanere danneggiati dalla radiazione, per cui il posizionamento di un satellite tenta il più possibile di evitare la presenza delle fasce di Van Allen. I sensori del telescopio spaziale Hubble vengono spenti quando l'apparecchio attraversa la fascia interna.

L’aurora polare (boreale o australe) La comparsa di macchie solari segnala l’espulsione dal Sole di grandi quantità di particelle, che viaggiano nello spazio (vento solare). Queste raggiunge la Terra in 50 ore a velocità 400-800 km/s. Il campo terrestre funziona come scudo, proteggendo la Terra, ma a causa della grande quantità di carica, può formarsi un campo elettrico che annulla la riflessione ai poli e permette al vento solare di penetrare la magnetosfera e interagire con la ionosfera (100 – 500 km); le particelle cariche colpiscono gli atomi dell'atmosfera che diseccitandosi emettono luce producendo il fenomeno delle aurore

L’aurora è caratterizzata da bande luminose di forma e colore rapidamente mutevoli nel tempo e nello spazio, tipicamente rosso (emesso da molecole di azoto) e verde (emesso da atomi di ossigeno). Le aurore sono visibili in due regioni attorno ai poli magnetici dette ovali aurorali.

Aurora australe nello stato Victoria, Australia

Ciclotroni e sincrotroni La possibilità di generare raggi di particelle cariche (elettroni, protoni) ad alta energia è di grande importanza per lo studio delle proprietà fondamentali della materia. Facendo collidere questi raggi con gli atomi si è scoperto che i nuclei sono formati da protoni e neutroni, e che questi a loro volta sono formati da quarks e gluoni. Come generare raggi di alta energia? gli elettroni sono leggerissimi e possono essere accelerati da un campo elettrico in regioni di spazio molto piccole. Per accelerare particelle più pesanti, come ad es. i protoni, una buona strategia è utilizzare una combinazione di campo elettrico e magnetico, che obblighi la particella ad attraversare ripetutamente una stessa regione di potenziale: dopo molte iterazioni, la particella acquisirà una grande energia cinetica. Due tipologie di acceleratori basati sull’utilizzo del campo magnetico sono il ciclotrone e il sincrotrone.

Ciclotrone di 12 pollici di diametro (Università di Rutgers, New Jersey)

Sincrotrone ESRF, Grenoble

Il ciclotrone In Figura è illustrato lo schema di un ciclotrone: particelle cariche (ad es. protoni) circolano a causa di una campo magnetico B. Il protone si muove nell’intercapedine di due semicerchi cavi di rame, connessi ad una differenza di potenziale V oscillante con frequenzanosc; quando la carica attraversa lo spazio tra i semicerchi, essa viene accelerata da V verso uno dei due; quando la carica è nell’intercapedine di un semicerchio il campo elettrico è schermato, e la carica subisce soltanto la rotazione dovuta a B; se l’oscillazione di V è in fase con la circolazione del protone nel campo magnetico (nosc = nB ), il moto risultante è quello descritto dalla linea rossa tratteggiata: la carica circola, accelerando progressivamente (dunque aumentando il raggio ed il modulo della velocità) ogni volta che attraversa lo spazio tra i due semicerchi. Il processo si ripete finché il raggio è tale da raggiungere l’orlo del semicerchio. A questo punto il protone viene eiettato con grande energia cinetica nella regione priva di campo magnetico

S

B

V

Il ciclotrone

Un’applicazione importante del ciclotrone è la radioterapia anticancro con protoni o neutroni veloci; i neutroni non possono essere direttamente accelerati dal campo elettrico, ma vengono generati dall’urto tra raggi di protoni con atomi di berillio: dalla collisione si generano fasci di neutroni indirizzati verso le cellule tumorali

B

V

oscm

Bq

T

2

1B

Condizione di risonanza:

La frequenza dell’oscillatore elettrico è fissata, così come carica e massa della particella. Per realizzare la condizione di risonanza è necessario aggiustare il campo B in modo che:

q

mB osc2

Problema 28.5 Un ciclotrone lavora alla frequenza di 12 MHz; il raggio dei semidischi è R=53 cm; a) calcolare l’intensità del campo magnetico B necessaria ad accelerare un nucleo di deuterio (1 protone + 1 neutrone). La massa del deuterio è m=3.34 10-27 Kg. b) Calcolare l’energia cinetica massima dei nuclei di deuterio (quella con cui escono dai piatti semicircolari)

a) La condizione di risonanza è verificata per:

b) Il raggio dell’orbita circolare r è dato dalla relazione:

TCs

Kg

q

mB osc 57.1

106.1

10121034.32219

627

Bq

mvr

La velocità di uscita dai piatti è quindi:

s

m

Kg

mTC

m

BRqv 8

27

19

max 104.01034.3

53.057.1106.1

JEk

1116227

10267.02

104.01034.3

NB: è una velocità molto alta, quella della luce è 3108 m/s !

Forza magnetica su un filo percorso da corrente Abbiamo visto nell’effetto Hall che un campo magnetico esercita una forza sugli elettroni che si muovono in un conduttore. Poiché gli elettroni non possono essere espulsi dal conduttore, questa forza viene trasmessa alla massa del conduttore. Se il conduttore è rigido non succede nulla; se il conduttore è flessibile o mobile, può essere spostato o deflesso dalla forza di Lorentz esercitata sulle cariche in movimento che transitano nel conduttore. In Figura vediamo una spira flessibile conduttrice che nel tratto centrale attraversa un campo magnetico perpendicolare di verso uscente dalla figura: In assenza di corrente (a) non succede nulla in presenza di corrente diretta verso l’alto, (b) la spira è deflessa verso destra se la corrente è verso il basso (c) la spira è deflessa verso sinistra

Forza magnetica su un filo percorso da corrente

In Figura si suppone che la corrente sia dovuta a cariche negative, per cui vd ha verso opposto ad i ed FB è diretta verso destra; NB: se la corrente fosse dovuta a cariche positive, vd avrebbe verso opposto a quello mostrato in figura, ma FB sarebbe ancora verso destra: se si inverte simultaneamente segno della carica e verso della velocità, la forza di Lorentz rimane invariata.

BLiBqvFv

Litiq dB

d

Se q è la carica che attraversa il filo nel tempo t, si ottiene:

BvqF dB

i LBF

Se si inverte il verso della corrente o del campo magnetico, si verifica facilmente che FB è diretta verso sinistra. Dunque: La forza sulla spira dipende soltanto dal verso della corrente e del campo magnetico; il fatto che le cariche siano + o – è ininfluente.

L è il segmento di spira percorso dalla carica nel tempo t

Forza magnetica su un filo percorso da corrente

Nel caso di un filo non rettilineo, si ricorre agli strumenti dell’analisi: si definisce un segmento infinitesimo di filo dL e si calcola la forza di Lorentz associata:

Nel caso generale di campo magnetico non perpendicolare alla direzione del filo, la forza di Lorentz diviene:

BLiFB

Ove L è un vettore avente modulo uguale alla lunghezza della porzione di filo immersa nel campo magnetico, direzione uguale a quella del filo, e verso uguale a quello di i

BLdiFd B

La forza totale su un segmento L non rettilineo sarà quindi la somma integrale delle forze su ciascuna sezione infinitesima:

L

B BLdiF0

Ld

i

Problema 28.6 Un filo rettilineo orizzontale di rame è percorso da corrente i= 28 A (diretta in senso uscente dalla pagina). Calcolare l’intensità e la direzione del campo magnetico necessario a mantenere il filo ‘in sospensione’, ovvero a bilanciare la forza di gravità. La densità lineare (massa per unità di lunghezza) del filo è r46.6 g/m.

In sospensione (ovvero all’equilibrio) deve essere:

TB 3-2-3

103.1628A

)m/s Kg/m)(9.8 10(46.6

i

g

Li

mgBmgBLiFB

r

Momento torcente su una spira percorsa da corrente

La maggior parte del lavoro nel mondo è svolta dai motori elettrici. La forza alla base del motore elettrico è la forza di Lorentz esercitata sulla spira percorsa da corrente. In Figura è mostrato un semplice motore, consistente in una spira chiusa percorsa da corrente immersa in un campo magnetico. Le due forze magnetiche F e –F producono una torsione che tende a ruotare la spira attorno al suo asse centrale.

Momento torcente sulla spira i vettori a e b (frecce rosse) hanno modulo uguale alle lunghezze a, b dei lati della spira; la loro direzione indica il verso della corrente. Assumiamo B (freccia verde) parallelo all’asse x, ed il lato lungo a parallelo all’asse y

Sui due lati corti b, le forze sono dirette lungo y, uguali in modulo ed opposte in verso, per cui si compensano Sui due lati lunghi a, le forze sono dirette lungo z, uguali in modulo ed opposte in verso; si noti però che esse non sono applicate lungo la stessa linea d’azione, per cui esercitano un momento torcente sulla spira. La torsione tende a far ruotare la spira in modo che la normale al piano della spira si allinei al campo magnetico

zBaiBaiF ˆ1

zBaiBaiF ˆ3

yibBBbiF ˆ)sin(2

24ˆ)sin(ˆ)sin( FyibByibBBbiF

yiaBb

yFb

Fr ˆ)sin(2

ˆ)sin(2

1111

111322 )()(

FrFr

yiAByBbia ˆ)sin(ˆ)sin(21

2r

1r

il momento torcente totale della coppia di forze F1, F3 è dunque:

il momento torcente è diretto lungo l’asse di rotazione della spira equivale all’angolo formato dalla normale al piano della spira col campo magnetico: la torsione ruota la spira in modo che n sia parallelo e concorde con B > 0 (0 < < : rotazione in senso orario < 0 ( < < 2 : rotazione in senso antiorario

Momento torcente sulla spira

Si definisce momento torcente (torsione) di una forza rispetto ad un braccio (vettore ruotato dall’applicazione della forza) il prodotto vettoriale del braccio per la forza; i momenti torcenti delle forze F1, F3 rispetto ai bracci r1, r2, sono dati da:

(A =ab: area della spira)

)sin( iAB

Momento torcente sulla spira

anti-orario orario

orario

anti-orario

Inverto la corrente: Il verso di rotazione della spira è facilmente individuato dalla regola della mano destra: orientando le 4 dita nel verso della corrente, il pollice dà la direzione della normale

B

Se invece di una spira si ha una serie di spire o avvolgimenti, supponendo che queste siano avvolte così strettamente tra loro da poter considerare identiche la dimensione di ogni spira ed il piano di avvolgimento, si ha quella che si chiama una bobina piana. Per N avvolgimenti, il momento torcente della bobina è la somma dei momenti di ciascuna spira:

)sin( NiAB

Questa espressione, ricavata per una bobina rettangolare, vale in realtà per qualsiasi bobina piana di area A, qualunque sia la sua forma, purché B sia uniforme in tutta l’area della bobina. Ad esempio, per la bobina cilindrica (in figura) di raggio r, la torsione è:

Dalla spira alla bobina

)sin()( 2 BrNi

Il motore elettrico Come funziona un motore elettrico? Il campo magnetico fa ruotare la bobina in modo da allineare n col campo; una volta allineati ( = 0), il sistema è in equilibrio ed il moto si interrompe; al fine di avere un moto continuo, il verso della corrente deve essere invertito sistematicamente non appena n sta per allinearsi col campo, in modo da continuare il moto con lo stesso verso di rotazione. L’inversione automatica della corrente viene realizzata mediante un commutatore interconnesso tra la spira rotante e i contatti che forniscono la corrente

i

n̂

B

i

n̂

B

00 00

Momento di dipolo della bobina La bobina immersa in un campo magnetico si comporta essenzialmente come un momento di dipolo magnetico, il quale ruota per allineare il proprio asse col campo magnetico, col polo nord del dipolo più vicino al polo sud del campo, e viceversa.

in̂

B

N

S

nAiN ˆ

B

Possiamo quindi definire momento di dipolo magnetico il vettore:

il momento torcente può quindi essere quindi riscritto come:

In similitudine col momento torcente del dipolo elettrico:

Ep

T

JmA 2

Dalle equazioni precedenti si ha (NB: ha la dimensione del lavoro, per cui si misura in J):

Energia potenziale del dipolo magnetico La bobina, come un qualsiasi dipolo, per il fatto di essere immersa in un campo magnetico possiede un’energia potenziale. L’energia potenziale del dipolo nel campo magnetico è data da:

BU

In analogia con l’energia potenziale del dipolo elettrico:

Energia potenziale minima (momento e campo paralleli):

EpU

BU 00

Energia potenziale massima (momento e campo anti-paralleli):

BU )(

Lavoro del campo magnetico Dati due angoli di rotazione i e f, consideriamo il lavoro compiuto dal campo magnetico per ruotare il dipolo da i a f. Per definizione di lavoro, si ha:

if UUUL

i

Utilizzando l’espressione dell’energia potenziale magnetica si ha:

iffi BUUL coscos

Ad esempio il lavoro fatto dal campo per ruotare il dipolo da i = (punto di massima energia) a f = 0 (minima energia) è chiaramente:

BUUL 20

0f

Problema 28.8 Consideriamo una bobina circolare con N=200 spire, A= 210-4 m2, ed i =100 A. La bobina è ferma in un campo magnetico uniforme B = 1 T, col momento magnetico allineato con B. a) si determini il verso della corrente nella

bobina b) Calcolare il lavoro che un agente esterno

deve compiere contro il campo magnetico per ruotare la bobina di un angolo di 90° rispetto al campo

NiABBUUL 02/

i

Regola della mano destra:

JTmAL 41102100200 24