İkİ deĞİŞkenlİ basİt doĞrusal regresyon modelİ
DESCRIPTION
İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ. Regresyon Y ile X (X ler) arasındaki ortalama ilişkinin matematik fonksiyonla ifadesidir. Sabit terim. Eğim. X’e bağlı olarak Y’nin ortalamasının nasıl değiştiğini gösterir. Y. y 2. Δ Y= b 2 Δ X. y 1. Δ X. b 1. X. x 2. x 1. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ
Regresyon Y ile X (X ler) arasındaki ortalama ilişkinin matematik fonksiyonla ifadesidir.
X’e bağlı olarak Y’nin ortalamasının nasıl değiştiğini gösterir.
1 2E(Y|X)=f(X)=b b X
Sabit terim Eğim
y2
y1
x2x1
Y
X
ΔX
ΔY= b2 ΔX
Doğrusal denklemin grafiği düz bir çizgi olup sabit ve eğim katsayılarını birbirinden ayırma özelliğine sahiptir. Sabit sayı X=0 olduğu zaman Y’nin alacağı azami değer ve eğim ise ΔY/ ΔX oranı olup X üzerindeki bir noktadan diğer bir noktaya olan hareketliliği göstermektedir.
b1
XbbY 21ˆ
b1 ve b2 hakkında bazı çıkarsamalar:
Eğer b2 pozitif ise çizginin veya doğrunun eğimi soldan sağa yukarıya doğru; yok eğer negatif ise tersi geçerlidir.
Eğer b2’in mutlak değeri büyükse doğru daha dik olmaktadır.
Eğer b2= 0 ise doğru X eksenine b1 noktasında paralleldir.
Bir çok fonksiyonlar düz çizgi halinde değildirler
2
110
1
2
n
i
n
ii XYe
İfadesini minimize eden parametre tahmincilerinin değerlerini bulabilmek için eşitliğin 0 ve 1 ‘e göre türevleri alınıp 0’a eşitlenir.
2
110
01
2
0
n
i
n
ii XYe
n
i
XY1
102
2
110
11
2
1
n
i
n
ii XYe
n
i
XYX1
102
Her iki denklemi de 0’a eşitlersek;
0
02
110
110
n
i
n
i
XbbY
XbbY
0.
0..2
110
110
n
i
n
i
XbbYX
XbbYX
0‘a göre türev alınırsa; 1‘e göre türev alınırsa;
0
02
110
110
n
i
n
i
XbbY
XbbY
0.
0..2
110
110
n
i
n
i
XbbYX
XbbYX
Parantezleri açarsak;
0. 10 XbbnY 0210 XbXbXY
Bu denklemlere doğrunun NORMAL DENKLEMLERİ denir. Normal denklemler alt alta yazılıp birlikte çözüldüklerinde b0 ve b1 tahmincileri bulunur.
XbbnY 10.
210 XbXbXY n
XX
nYX
XYb 2
21 )(
)).((
XbYb 10
şeklindeki formüller yardımıyla da tahminciler bulunabilir.
ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ
i21i XbbY
Katsayıların TahminiNormal Denklemler ile,Doğrudan Formüller ile,Ortalamadan Farklar ile,
Tüketim Gelir75 80
88 100
95 120
125 140
115 160
127 180
165 200
172 220
183 240
225 260
NORMAL DENKLEMLER
Y = n + XXY= X + X2
1b 2b
1b 2b
Y=? , X=? , XY= ? , X2= ? , n
758895
125115127165172183225
Y
80100120140160180200220240260
X YX X2
60008800
1140017500184002286033000378404392058500
6400100001440019600256003240040000484005760067600
Y=1370 X2=322000X=1700 YX=258220
NORMAL DENKLEMLER
= 10 + = +
-170 /
- = -1700 - = +
25320 = 330002b
= 0.7672727
= 6.5636364
2b
1b
1b 2b
2b1b
1b 2b
2b1b
XY 7672727.05636364.6ˆ
ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ
i21i XbbY
22
2
1 )X(Xn
XYXYXb
2)1700()322000.(10
)258220).(1700()1370).(322000(
= 6.5636364
DOĞRUDAN FORMÜLLER
DOĞRUDAN FORMÜLLER
222 )X(Xn
YXXYnb
2)1700()322000)(10(
)1370)(1700()258220).(10(
= 0.7672727
XY 7672727.05636364.6ˆ
ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ
i21i XbbY
ORTALAMADAN FARKLAR
22 x
xyb
XbYb 21
yx=? x2=?y=? x=??X ?Y
Y
X
i
i
iiii
i
i
i
i
•
•
•
•
•
•
•
•
y
x
Y
Y
Y
Y
Y
0X X
( , )X Y
••
••
•
•
e
y =y -e = -Yi
y
N (X , Y )
i
i
ÖRD= =b +b X1 2^^
^}
}
Ortalamalar Orijinine göre Örnek Regresyon Doğrusu (ÖRD)
758895
125115127165172183225
Y
80100120140160180200220240260
X
-62-49-42-12-22-10
28354688
-90-70-50-30-101030507090
Y=1370 x=0X=1700
YYy XXx
y=0
137Y 170X
ORTALAMADAN FARKLAR
ORTALAMADAN FARKLAR
558034302100360 220
-100840
175032207920
810049002500900100100900
250049008100
384424011764
144484100784
122521167744
x2yx y2
yx=25320 x2=33000 y2=20606
ORTALAMADAN FARKLAR
22 x
xyb
33000
25320 = 0.7672727
XbYb 21 = 6.5636364=137-(0.7672).(170)
XY 7672727.05636364.6ˆ
ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ
i21i XbbY
ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI
i
i
Y
X .
dX
dY
X/X
Y/Ylim
EX
EYE
i
i
0xyx
•Nokta Elastikiyet
•Ortalama Elastikiyet
NOKTA ELASTİKİYET
0
i
Y
X .
ˆdX
dYE
0YX
0
i
Y
X .
ˆb2
X0 = 130
0Y
130 .
ˆ767.0E 130YX0
NOKTA ELASTİKİYET
0Y 0 X0.76727275636364.6
(130) 0.76727275636364.6
3091.106
106.3091
130 .767.0E 130XY 0
0.94
ORTALAMA ELASTİKİYET
Y
X .
dX
dYE XY
Y
X . b2
170X ; 137Y
137
170 . 767.0E XY = 0.95
Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
n
)YY(s
2i
n
e2i
(n30 ise)
2n
)YY(s
2ii
2n
e2i
(n<30 ise)
?Y 2)YY( ?e2
Tahminin standart hatası, regresyon doğrusu etrafındaki dağılımın bir ölçüsüdür.
Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
i21i XbbY
ii X 7672727.05636364.6Y
Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
Tüketim iY
67.945583.290998.6364
113.9818129.3273144.6727160.0182175.3636190.7091206.0545
758895
125115127165172183225
80100120140160180200220240260
Gelir iii YYe 2ii
2i )YY(e
7.05454.7091
-3.636411.0182
-14.3273-17.6727
4.9818-3.3636-7.709118.9455
49.766622.175513.2231
121.4003205.2707312.3253
24.818511.314059.4301
358.93021370Yi Y=1370 e=0 e2=1178.6545
Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
2-10
1178.6545s 147.3318 =12.138
s2= 147.3318
2n
YXbYbYs 21
2
210
)258220(7672727.0)1370(5636364.6208296s
Y2 =? Y = ? YX=? b1 =? b2 =?
= 12.138
Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
2n
yxbys 2
2
YYy XXx y2 = ? yx = ? b2= ?
210
)25320(7672727.020606s
= 12.138
DEĞİŞKENLİKLER
2)YY( 2)YY( 2)YY(
Y
X
X
Y
Yi
Xi
2)YY(2)YY(
2)YY(
2 y 2y 2e
DEĞİŞKENLİKLER
2)YY( 2)YY( 2)YY(
y2=20600 3455.19427y2 e2=1178.6545
384424011764
144484100784
122521167744
49.766622.175513.2231
121.4003205.2707312.3253
24.818511.314059.4301
358.9302
4768.53022884.66641471.7686
529.836758.870758.8707
529.83671471.76862884.66644768.5302
DEĞİŞKENLİKLER
2)( YY 2)YY( 2)ˆ( YY y2 =
2y e2+
2n
e
2n
y
2n
y 22222
ˆ2 sss yy
20606 = 19427.3455 + 1178.6545
210
6545.1178
210
3455.19427
210
206062575.75 = 2428.4182 + 141.3318
varyanslar
BELİRLİLİK KATSAYISI
Noktaların doğruya yakınlık derecesini göstermektedir. Y’deki değişmelerin yüzde kaçının X tarafından açıklanabildiğini ifade etmektedir.
R2 0 ile 1 arasında değişmektedir.
KORELASYON KATSAYISI
Y ile X arasındaki ilişkinin yönünü ve şiddetini vermektedir.
-1 ile +1 arasında yer almaktadır.
BELİRLİLİK KATSAYISI
varyansToplam
varyansAçıklanan
s
sr
2y
2y2
varyansToplam
an varyansAçıklanmay
s
sr1
2y
22
varyansToplam
an varyansAçıklanmay
s
s1r
2y
22
75.2575
4182.2428 = 0.9428
75.2775
3318.1471 = 0.9428
75.2575
3318.147 = 0.0572
2
2
)(
)(
YY
YY2
2
)(
)ˆ(
YY
YY
2
2
)(
)ˆ(
YY
YY
2
2
2
2
2
2 ˆ
y
e
y
y
y
y
2
2
2
2ˆ
y
e
y
y
TD
HBD
TD
RBD
TD
TD
2
221
y
er
2
221
y
er Belirsizlik katsayısı
BELİRLİLİK KATSAYISI
22
22
yx
)xy( r
)20606)(33000(
)25320(
2
= 0.9428
22 yx
xy r
)20606)(33000(
25320 = 0.9710
DAĞILMA DİYAGRAMLARIY
X
•
•
• •
•
•
•
•
••
•
••
15
10
5
15
105 20
3
Y=3+0.5X
r=0.82s=1.94
-6
Y
X15
10
5
15
105 20
3
Y=3+0.5X
r=0.82s=1.94
-6
Y
X15
10
5
15
105 20
3
Y=3+0.5X
r=0.82s=1.94
-6
Y
X15
10
5
15
105 20
3
Y=3+0.5X
r=0.82s=1.94
-6
(d)(c)
(b)(a)
••
••
•
•
• •
•
•
Aşırı kıymet
••••
STANDARTLAŞTIRILMIŞ HATA TERİMLERİ
0.58120.38796
-0.299590.90774
-1.18037-1.455980.41043
-0.27712-0.635121.56084
7.05454.7091
-3.636411.0182
-14.3273-17.6727
4.9818-3.3636-7.709118.9455
80100120140160180200220240260
eiei/s Xi
e/s 'nin dağılma diyagramı
-2
0
2
60 100 140 180 220 260
EKKY Varsayımları
Bağımlı Değişken Y nin Dağılımı
Y bağımlı değişkeninin ortalaması
1 2( )E Y b b X Varyansı
2 2 2( ) ( ( )) ( ) i i i i uVar Y E Y E Y E u
olduğu gösterilecektir.
1. Y nin ortalaması kendisinin beklenen değerine eşittir.
1 2i iY b b X u
Beklenen değer alındığında
1 2( ) ( )i iE Y E b b X u
1 2( ) ( ) ( )i iE Y E b b X E u ( ) 0iE u
b1 ve b2 parametreler iken Xi değerleri değişmez değerler kümesinden geldikleri için
1 2( )iE Y b b X bulunur.
1 2i iY b b X u
1 2( ) ( )i iE Y E b b X u
Yi nin varyansı
2 2 2( ) ( ( )) ( ) i i i i uVar Y E Y E Y E u
1 2i iY b b X u 1 2( )iE Y b b X ve
eşitliklerini varyans tanımında yerine koyarsak
2 2 21 2 1 2( ) ( ) ( )i i i uVar Y E b b X u b b X E u
ui lar sabit varyanslıdır. Yani hepsinin varyansı 2u
sabit değerlidir.2 2( )i uE u
Yani 2 2 2( ) ( ( )) ( ) i i i i uVar Y E Y E Y E u
En Küçük Karalerle Parametre Tahminlerinin Ortalama ve Varyansı
1b in ortalaması:
1 1ˆ( )E b b
1b in varyansı:
22 2
1 1 1 2ˆ ˆ( ) ( ) . i
ui
XVar b E b b
n x
2b in ortalaması:
2b in varyansı:
2 2ˆ( )E b b
2 22 2 2 2
1ˆ ˆ( ) ( ) .ui
Var b E b bx
EKK Tahminlerinin Standart Hataları ve Kullanılışı
EKK tahminleri ve örnek verilerine dayanarak hesaplanır.
Bir anakütleden bir çok örnek çekilebilir, bu durumda her örnek seti
için farklı tahminciler elde edilecektir. Örnek değerlerinin anakütle
değerleri b1 ve b2 ye ne ölçüde yakın olduğu standart hatalarla
hesaplanır.
Standart hata, tahmincinin örnekleme dağılımının standart
hatasıdır.
1b 2b
Bir tahmincinin örnekleme dağılımı anakütleden seçilebilecek aynı
büyüklükteki örneklerin lerin dağılımıdır. (75 milyar)
60 hanelik anakütleden çekebileceğimiz onluk (75 milyar) örnek için
hesaplanan değerlerinin örnekleme dağılımı ortalama
etrafında normal dağılmaktadır.
Anakütleden çekilen örnekler için hesaplanan EKK leri
örneklerin farlı değerli Y(tüketim) ve X(gelir gibi) e sahip
hanelerden oluşması gibi örnekleme hatalarından dolayı gerçek
değerinden farklıdır.
b
2b)ˆ( 2bE
2b
2b
Örnekleme hataları + ve – yönde aynı ihtimalle ortaya çıkan hatalardır. Ortalama ölçüsü standart hatadır.
Katsayıların Standart Hataları
2
2
1 xn
X . s)b( s
22x
s)b( s
)33000.(10
322000 . 138.12 = 11.99
33000
138.12 = 0.0668
Aralık Tahminleri
± t/2 . s( ) 1b 1b
±t/2 . s( ) 2b 2b = 0.7672727 2.306
(0.0668) 0.6132319< 2 <0.9213135
= 6.5636364 2.306 (11.99)
-21.0853 < 1 < 34.2126
Hipotez Testleri
0.6132319< 2 <0.9213135
-21.0853 < 1 < 34.2126
Güven Aralığı Yaklaşımı İle
Hipotez Testleri
Anlamlılık Testi Yaklaşımı İle
•Hipotezlerin Formüle Edilmesi
•Tablo Değerlerinin Bulunması
•Test İstatistiğinin Hesaplanması
•Karar Verilmesi
Hipotez Testleri
1.Aşama H0: 2 = 0
H1: 2 0
2.Aşama = ? = 0.05 ; S.d.=? = n-k = 10-2=8
3.Aşama
t,sd =? t0.05,8=? =2.306
?)b(s
bbt
2
*22
hes
0668.0
07672727.0 =11.4861
4.Aşama |thes= 11.4861 | > |ttab= 2.306 |
H0 hipotezi reddedilebilir
Regresyon ve Varyans Analizi
Değişkenlik KaynağıSapma KareleriToplamı=SKT
SerbestlikDerecesi=sd
SKT Ortalaması=SKTO
Regresyona BağlıDeğişkenlik=RBD
2y f1=k-1=12y
Hata Terimine BağlıDeğişkenlik=HBD
e2 f1=n-k kn
e2
=s2
ToplamDeğişkenlik=TD
y2 n-1
Regresyon ve Varyans Analizi
DeğişkenlikKaynağı
SKT sd SKTO
RBD 19427.3455 2-1=1 19427.3455HBD 1178.6545 10-2=8 147.3318
TD 20606 10-1=9 Fhes=3318.147
3455.19427=131.8612
EKK Modelinde Önceden Tahmin
•İleriye Ait Tahmin
•Önceden Tahmin
•Örnekten Tahmin Edilen İlişkinin Ayni Kaldığı
•X Değerlerinin Aynı Eğilimde Olacağı
Y’nin Aralık Tahmini
0Y ± t/2 . s 2
20
x
)XX(
n
11
0Y ± t/2 . s)Y(0 Y0’ın güven aralığı
Y’nin Aralık Tahmini
0YX0=80 = 67.9455
67.9455 ±
2
33000
)80(101
1 170
35.47840 Y0| X0 100.41251
Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini
0Y ± t /2 . s2
20
x
)XX(
n
1
0Y ± t/2 . s)Y(0 Y’nin ortalamasının güven aralığı
Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini
0YX0=80 = 67.9455
67.9455 ±
2
33000
)80(101 170
51.49402 E(Y0| X0) 84.39689
Y’nin Güven Aralıkları
35.4784052.0157268.2857784.2635999.93034
115.27579130.29996145.01304159.43390173.58749
100.41251114.56610128.98696143.70004158.72421174.06966189.73641205.71423221.98428238.52160
80.00100.00120.00140.00160.00180.00200.00220.00240.00260.00
51.4940269.3382186.90184
103.99618120.34284135.68829150.03254163.62911176.75639189.60311
84.3968997.24361
110.37089123.96746138.31171153.65716170.00382187.09816204.66179222.50598
X0 Alt Sınır Üst Sınır Üst SınırAlt Sınır
Y’ninAralık Tahminleri Y’nin OrtalamasınınAralık Tahminleri
X
3002001000
Y 240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
En Küçük Kareler Tahminlerinin Özellikleri
Genellikle bir tahminin ana kütle parametresinin gerçek
değerine yakın olması ve bu gerçek parametre
yakınlarında dar bir aralıkta değişmesi istenir. Ana kütle
parametresine ‘yakınlık’ çeşitli ekonometri tahmin
yöntemleri ile bulunmuş tahminlerin örnekteki
dağılımların ortalaması ve varyansıyla ölçülür.
1. Tahmin Edicilerin Küçük Örnek Özellikleri
Burada her zamanki varsayımsal yenilemeli örnekleme süreci kullanılır, yani her birinden n gözlemli çok sayıda örneğin alındığı varsayılır. Ekonometri yöntemlerinin her birini kullanarak her örnekten hesaplanıp dağılımları oluşturulur.
Küçük örnekten bulunmuş iyi bir tahmin edici için temel ölçütler:Sapmasızlık, En küçük varyans, Etkinlik, Doğrusal en iyi sapmasızlık (DES), En küçük ortalama hata karesi (OHK), Yeterlilik dir.
b
En Küçük Kareler Tahminlerinin Özellikleri
a. Sapmasız Tahmin EdiciBir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark olarak tanımlanır.
Sapma= -b
Eğer sapma sıfırsa yani = b ise, sapmasız olur. Örneklerin sayısı artıkça, sapmasız tahmin edicinin, parametrenin gerçek değerlerine yaklaştığı anlamına gelir. Sapmasız bir tahmin edici ‘ortalama olarak’ parametrenin gerçek değerini verir.
Aranan bir özellik olmasına karşın, sapmasızlık kendi başına çok önemli değildir. Ancak küçük bir varyansla birleşirse önemli olur.
)ˆ(bE
)ˆ(bE
, b’nin sapmalı tahmin edicisidir
, b’nin sapmasız tahmin edicisidir b b
a. Sapmasız Tahmin Edici
b. En Küçük Varyanslı Tahmin Edici (En İyi Tahmin Edici)…
Bir tahmin, başka ekonometri yöntemleriyle bulunmuş başka herhangi bir tahminle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahipse en iyi tahmindir. nin en iyi olma koşulu:
<Ya da;
Var( )<Var( )
Burada , gerçek parametre b nin (sapmasız olması gerekmeyen) herhangi bir başka tahminidir.
b
2)]ˆ(ˆ[ bEbE 2)]~
(~
[ bEbE
b b~
b~
Varyansı küçük olduğu halde sapması büyük olan bir tahmin edici, gerçek b parametresinden oldukça uzak bir değer etrafında toplanabilmektedir.
, b nin büyük varyanslı sapmasız tahmin edicisidir.
, b nin küçük varyanslı sapmalı bir tahmin edicisidir.
b
b~
b. …En Küçük Varyanslı Tahmin Edici (En İyi Tahmin Edici)
c. Etkin Tahmin Edici
Bir tahmin edici; sapmasız ve başka herhangi sapmasız tahmin ediciyle karşılaştırıldığında daha düşük varyansa sahipse etkin tahmin edicidir.
Aşağıdaki iki koşul yerine getirilirse etkindir:
(i)
ve
Burada , gerçek b nin başka bir sapmasız tahmin edicisidir. Başka bir deyişle, etkin tahmin edici, bütün tahmin sapmasız ediciler sınıfı içinde en düşük (en iyi) varyansa sahip olan tahmin edicidir.
bbbE )ˆ(
2**2 )]([)]ˆ(ˆ[ bEbEbEbE
*b
(ii)
d. Doğrusal Tahmin Edici…
Bir tahmin edici, örnekteki gözlemlerin doğrusal bir fonksiyonuysa doğrusal sayılır. Örnek gözlemleri veriyken, doğrusal bir tahmin edici şu biçimi alır:
Burada ki ler sabit değerlerdir.
Örneğin
olduğundan
örnek ortalaması doğrusal bir tahmin edicidir. Çünkü:
1 1 2 2 ... n nk Y k Y k Y
Y
1 2
1... nk k k
n
1 2 1 2
1 1 1 1 1... ... )i
i n n
YY Y Y Y Y Y Y Y
n n n n n n
örnek ortalaması hesaplanırken her gözleme, 1/n ye eşit olan
aynı k ağırlığı verilmiştir.
Y
d...Doğrusal Tahmin Edici…
e. Doğrusal en iyi sapmasız tahmin edici (DEST)
Bir tahmin edici, doğrusalsa sapmasızsa ve gerçek
b nin öteki doğrusal sapmasız tahmin edicileriyle
karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahipse,
DEST olur.
f. En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici
Ortalama hata karesi ölçütü, sapmasızlık ve en küçük varyans özelliklerinin bir bileşimidir. Burada OHK, tahmin edicinin ana kütledeki gerçek parametre b ile olan farkının karesinin beklenen değeri olarak tanımlanır:
OHK nin, tahmin edicinin varyansıyla sapma karesinin toplamına eşit olduğu gösterilebilir:
2ˆ ˆ( ) ( )OHK b E b b
)ˆ()ˆ()ˆ( 2 bsapmabVarbOHK
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 2 [ ( )][ ( ) ]E b E b E b b E b E b E b b
2ˆ( )OHK E b b
2ˆ ˆ ˆ( ) ( )E b E b E b b
2ˆ ˆ ˆ( ) ( )E b E b Var b
22ˆ( ) ( )E b b sapma b
f… En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici…
İspat:
ˆ ˆ ˆ[ ( )][ ( ) ] 0E b E b E b b
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )E bE b E b bb bE b
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0E b E b bE b bE b
)ˆ()ˆ()ˆ( 2 bsapmabVarbOHK
Çünkü:
f. En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici
g. Yeterli tahmin edici
Yeterli bir tahmin edici, gerçek parametre hakkında bir
örneğin içerdiği bütün bilgileri kullanıma koyan bir tahmin
edicidir. Bu başka hiçbir tahmin edicinin, tahmin edilmekte
olan gerçek ana kütle parametresi hakkında daha fazla bilgi
sunamayacağı anlamına gelir.
2. Tahmin edicilerin büyük örnek özellikleri: Asimtotik özellikler
Büyük örnek özelliklerinin, bir tahminin iyiliğini belirleme ölçütü
olarak kullanılması, örneğin sonsuz büyük olmasını gerektirir. İşte
bu nedenle bu özelliklere asimtotik özellikler denir. Örnek büyük
olduğu zaman bu özelliklerin yaklaşık olarak sağlandığı varsayılır.
Özellikler ise şunlardır: asimtotik sapmazlık, tutarlılık ve
asimtotik etkinlik.
Asimtotik dağılım:
Bir dizi rassal değişken düşünüldüğünde;
Bunlardan her birinin kendi dağılımı, ortalaması ve
varyansı vardır. Dağılımlar gitgide artan örnek
büyüklüklerinden oluşturulmuştur. nT sonsuza
giderken bu dağılımlar da belli bir dağılıma doğru
yaklaşıyor olabilirler. İşte bu dağılıma {X(n)} dizisinin
asimtotik dağılımı denir.
2...Tahmin edicilerin büyük örnek özellikleri: Asimtotik özellikler
( ){ } .T1 2 nn n nX X X X
a. Asimtotik sapmasızlık…
Bir tahmincinin asimtotik sapması, asimtotik ortalaması ile gerçek parametre arasındaki farka eşittir.
b
ˆlim ( )nn
E b b
ˆ 'ˆlim ( )nn
b nin
asimtotik E b b
sapması
Eğer edicisinin asimtotik ortalaması, ana kütlenin gerçek b parametresine eşit ise, bu tahmin edici, bu parametrenin asimtotik sapmasız tahmin edicisidir.
Eğer bir tahmin edici (sonlu küçük örneklerde)
sapmasızsa aynı zamanda asimtotik sapmasızdır,
ama bunun tersi doğru değildir.
a… Asimtotik sapmasızlık
Asimtotik bir sapmasız tahmin edici, örnek
büyüklüğü yeterine büyük olduğunda sapması
kaybolan bir tahmin edicidir.
b. Tutarlılık…
ˆ,b
b
ˆlim ( )nn
E b b
ˆlim ( ) 0n
Var b
Bir edicisi, aşağıdaki iki koşulla, ana kütlenin b gerçek parametresinin tutarlı bir tahmin edicisidir:
1. asimtotik sapmasız olmalıdır.
2. n sonsuza giderken 'nin varyansı sıfıra yaklaşmalıdır:
b
Eğer varyans sıfırsa, dağılım ana kütlenin gerçek parametresinin üstünde bir noktada toplanır.
Bir tahmin edicinin tutarlı olup olmadığını anlamak için, n arttıkça sapmanın ve varyansının ne olduğuna bakılmalıdır. (n) büyüdükçe hem sapma hem varyans azalmalı ve limitte ( iken) sıfır olmalıdır. Tutarlılık kavramı aşağıda çizilmiştir. Örnek büyüklüğü artıkça hem sapma hem varyans azalmaktadır.
n
Tutarlılık…
c. Asimtotik etkinlik
Eğer
(1) tutarlıysa
(2)Başka herhangi bir tutarlı tahmin ediciye göre daha küçük bir asimtotik varyansı varsa
bu tahmin edici ana kütlenin gerçek b parametresinin asimtotik etkin bir tahmincisidir.
Eğer;
ise asimtotik etkindir. Burada , b nin başka bir tutarlı tahmin edicisidir. Tutarlı tahmin ediciler karşılaştırıldığında hangisinin varyansı daha hızla sıfıra yaklaşıyorsa o, asimtotik etkendir.
b
21 ˆlim ( )nnE n b b
n
2*lim1
bbEn
nn
b *b
3. En Küçük Kareler Tahmin Edicilerinin Özellikleri
Hata terimi u'nun bazı genel varsayımları yerine
getirmesi, yani ortalamasının sıfır ve varyansının
sabit olması koşuluyla, en küçük kareler
tahmincilerinin DES ( doğrusal, en iyi, sapmasız)
özelliklerini sağlamasına Gauss-Markow en küçük
kareler teoremi denmektedir.
a. Doğrusallık En küçük kareler tahminleri ve gözlenen örnekteki Yi
değerlerinin doğrusal fonksiyonlarıdır. Varsayım gereği Xi ler hep aynı değerlerle göründüklerine göre en küçük kareler tahminlerinin yalnız Y değerlerine bağlı olduğu gösterilebilir.
1b 2b
2 2ˆ i
i i ii
xb Y kY
x 2
ii
i
xk
x
1ˆ ( )b f Y 2
ˆ ( )b f Yİspat:
Varsayım gereği X değerleri sabit değerler kümesidir. Bu durumda ki lerde örnekten örneğe değişmezler.
Bu durumda şunu yazabiliriz:
2 1 1 2 2ˆ ... ( )i i n nb k Y k Y k Y k Y f Y
2b Y’lerin doğrusal bir fonksiyonudur. Bağımlı değişken
değerlerinin doğrusal bir bileşimidir.
1
1ˆ [ ]i ib Xk Yn
X ve ki Örnekten örneğe değişmez.
katsayı tahmini sadece Y ye bağlıdır.
…Doğrusallık
b. Sapmasızlık
ve nin sapmasızlık özelliği ve
şeklindedir. Bu özelliğin anlamı, örneklerin sayısı artıkça tahminler de parametrelerin gerçek değerine yaklaşır. Başka bir deyişle, n sayıda Y ve X gözleminden oluşan, olanak içindeki bütün örnekleri seçildiğinde ve ile
tahminleri her örnek için hesaplandığında, bu tahminlerden çok fazla sayıda elde edilir. Bunların ortalaması ise ilişkinin parametrelerine eşit olur. Tahminlerin dağılımı, orta nokta olarak parametrenin gerçek b değeri üzerinde toplanacaktır.
1b 2b2 2
ˆ( )E b b1 1ˆ( )E b b
1b 2b
c. En Küçük Varyans
Gauss-Markow teoremi ispatı: Bu teoreme göre en küçük
kareler tahminleri, başka ekonometri yöntemleriyle bulunmuş
herhangi bir başka doğrusal sapmasız tahmin ediciler arasında
en iyisidir ( varyansı en küçük olandır). EKK yönteminin tercih
edilmesinin temel nedeni de bu özelliktir.