ika arfiani, s.t. - · pdf fileturunan fungsi implisit jika hubungan antara y dan x dapat...
TRANSCRIPT
TURUNAN FUNGSI
IKA ARFIANI, S.T.
DEFINISI TURUNAN
hf(x)-h)f(x lim
0h (x) f' y'
dxdy
:dengan kandidefinisi xterhadap f(x) ydari Turunan
RUMUS DASAR TURUNAN
1'
nn xnkxfxkxf
0'
xfkxf
'' 1 uunxfux nn
f
1
23
2
)(')(
3)(')(
2)(')(
1)(')(
0)(')(
nn nxxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xfxxf
xfcxf
RUMUS JUMLAH DUA FUNGSI
V' U'V)(U dx
d
atau
(x)V'(x)U'(x)' f'y
: maka
V(x),U(x)f(x)ydan diturunkandapat
yang x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika
RUMUS SELISIH DUA FUNGSI
v'- u' v)(udx
d
atau
(x)V'-(x)U'(x)' f'y
makaV(x),-U(x)f(x)ydan diturunkan
dapat yang x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika
RUMUS PERKALIAN DUA FUNGSI
)U.(V'U'.(V)(U.V) dx
d
atau
(x)U(x).V'(x).V(x)U'(x)' f
: maka U(x).V(x),f(x)dan diturunkan
dapat yang x dari fungsi-fungsi Vdan UJika
RUMUS PEMBAGIAN DUA FUNGSI
2
2
V
UV'VU'
V
U
dx
d
atau
V(x)
(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f
: maka 0,V(x),V(x)
U(x)f(x)dan
,diturunkandapat yang x dari fungsi-fungsi Vdan UJika
1
3)(
2
x
xxf
22
22
1
261
)x(
xxx
22
2
1
3211
)x(
)x(x)x.()x('f
3.Tentukan turunan pertama dari
.)x(
xx
22
2
1
16
1. Tentukan turunan pertama dari 43)( 23 xxxf
Jawab :
02.33)(' 2 xxxf xx 63 2
2. Tentukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 xxxxf
Jawab :
)22)(1()32(3)(' 322 xxxxxxf
2222963 34234 xxxxxx
22985 234 xxxx
Jawab :
CONTOH :
3x 4x f(x) 2 4.Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
2
1
3x)2)(4x2
3(4x (x)f
3)(8x 2
1
3x)2(4x2
1 (x)f
2
1
3x) (4x f(x)
3x4x f(x)
'
'
2
2
5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x2– 6x) (x + 2)
Jawab :
f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2)
Cara 1:
Misal :
U = 3x2
–6x
U’
= 6x – 6
V = x + 2
V’
= 1Sehingga:
f’(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x
2+6x).1
f’(x) = 6x
2+12x – 6x – 12+3x
2 – 6x
f’(x) = 9x
2 – 12
f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2)
Cara 2:
f’(x) = 3x
3+ 6x
2– 6x
2– 12x
f’(x) = 9x
2+12x –12x – 12
f’(x) = 9x
2 – 12
5. Tentukan turunan pertama dari
Jawab : 1423)(
xxxf
Cara 1:
Misal :
U = 3x + 2
U’
= 3
V = 4x - 1
V’
= 4
2'
'
1)(4x2)4(3x1)3(4x(x)f
vUV -VU'(x)f'
:Maka
2
18x216x
11(x)'f
18x216x
812x312x(x)'f
Soal Latihan 1
Tentukan fungsi turunan pertama dari :
)12()1()( 3 xxxxf
1
1)(
x
xxf
1)(
2
x
xxf
1
1)(
2
2
x
xxf
1)( 3 22/1 xxxf1.
2.
3.
4.
5.
Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini :
1. f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6
2. f(x) = 2x7 + 5x
3. f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4
4. f(x) =
5. f(x) = ( 2x + 3 )2
6. f(x) =
7. f(x) =
73
2323
32
4 xx
xx
2
2)
12(
x
33
2223 3 2
xxxx
Soal Latihan 2
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus – rumus turunan fungsi trigonometri
jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x
jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x
jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x
jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x
jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x
jika f(x) = cosec x,maka f ’(x) = – cosec x ctg x
Contoh 1
xxy sin2Carilah turunan fungsi trigonometri
Jawab
Misalkan
Maka,
xuxu 2'2 xvxv cos'sin
''' uvvuy
))(cos())(sin2( 2 xxxx
xxxx cossin2 2
Contoh 2
Jawab
xxxy 3sin6cos5sin Carilah turunan fungsi trigonometri
)3)(cos3()6sin)(6(5cos)5(' xxxy
xxxy 3sin6cos5sin
xxxy 3cos36sin65cos5'
Contoh 3
xxxxy sin4cos.8 2Carilah turunan fungsi trigonometri
Jawab
Misalkan
Maka,
HASILNYA :
xuxu 8'4 2 xvxv cos'sin
''' uvvuy
))(cos4())(sin8( 2 xxxx
xxxx cos.4sin.8 2
8'8 uxu
xvxv sin'cos
''' uvvuy )sin.(8cos.8 xxx
xxx sin.8cos8
xxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
cos.4sin.16cos8
cos.4sin.8sin.8cos8
)cos.4sin.8()sin.8cos8(
2
2
2
Contoh 4
xy tanCarilah turunan fungsi trigonometri
2)(
'''
v
uvvuy
xuxu cos'sin
xvxv sin'cos
Misalkan
Jawabx
xxy
cos
sintan
2)(cos
)sin)((sin))(cos(cos
x
xxxx
x
xx2
22
cos
sincos
xxx cos
1.
cos
1
cos
12
xx sec.sec
x2sec
xxxxxxx cos.4sin.8sin.8cos8 2
Contoh 5
xx
xy
cossin
sin
Carilah turunan fungsi trigonometri
2)(
'''
v
uvvuy
xuxu cos'sin
xxvxxv sincos'cossin
Misalkan
Jawab
2)cos(sin
))(sinsin(cos)cos)(sin(cos
xx
xxxxxx
22
22
2
2
)cos(sin
1
)cos(sin
sincos
)cos(sin
)sin.(sin)cos.(cos)sin.(cos)sin.(cos
)cos(sin
)]sin.(sin)sin.[(cos)cos.(cos)sin.(cos
xxxx
xx
xx
xxxxxxxx
xx
xxxxxxxx
y x 2 3 10
y x sin3
xxy 24 4cos
2
1
1
x
xy
A. Tentukan fungsi turunan pertama dari
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
yx x
x x
2
2
2 5
2 31.
2.
3.
4.
5.
6.
y x sin 2 1
y x 2 3 4
yx
x
1
y x cos2
B. Tentukan turunan kedua dari
1.
2.
3.
4.
CONTOH
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
2. f(x) = 2sinxcosx
Jawab :
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x
LATIHAN :
4-x4cos y j. 4cos2x 2sinx y e.
xsin xcos yi. b)(ax tan yd.
12sin- y h. ax tan y c.
sin-1 y g. b)cos(ax y b.
4cos2x 3sin2x y f. b)(ax sin y a.
: berikut fungsi-Fungsi Turunan Tentukan
2
22
2
2
x
x
Turunan Fungsi Logaritma
Turunan Fungsi Eksponensial
TURUNAN LOGARITMA
TURUNAN EKSPONENSIAL
CONTOH :
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
DENGAN ATURAN RANTAI
dx
du.
du
dy
dx
dy
atau
(x)(g(x)).g'f'(f(g(x))dx
d (x)y'
: maka
diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan f(g(x))y serta
diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan g(x)udan
diturunkandapat yangu dari fungsimerupakan f(u)y Jika
: RANTAI DALIL
CONTOH
52
52
525
62
62
3)5x)(4x 30-48x(
58x.3)5x6(4x
dx
du.
du
dy
dx
dy 58x
dx
du
3)5x6(4x6Udu
dy
Uy maka 354x U
:SOLUSINYA
)35(4x y dariTurunan Tentukan
x
x
LATIHAN :
23
13xf(x) b.
52x-7xf(x) a.
: berikut fungsi Turunan Tentukan .2
2xu dan 4u yb.
1-2xu dan 3u ya.
ini berikut soal padadx
dy Tentukan 1.
2
2
23-
15
x
x
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
Turunan pertama
Turunan kedua
Turunan ketiga
Turunan ke-n
Contoh : Tentukan dari
Jawab :
f x
df x
dx' ( )
2
2
)("dx
xfdxf
3
3
)('"dx
xfdxf
n
nn
dx
xfdxf )(
)()( )1()( xfdx
dxf nn
xxy sin4 3
xxy cos12' 2 xsinx''ymaka 24
''y
Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga
berupa fungsi, dan dimungkinkan f ’ juga mempunyai
turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’.
Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f
karena dia merupakan turunan dari turunan f .
Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari
y = f(x) sebagai
Contoh :
Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x).
Contoh :
Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
y x sin 2 1
y x 2 3 4
yx
x
1
y x cos2
f c"( ) 0 f x x x x( ) 3 23 45 6
g x ax bx c( ) 2
3)1(' g 4)1('' g
A. Tentukan turunan kedua dari
B. Tentukan nilai c sehingga bila
C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5,
dan
Soal Latihan
1.
2.
3.
4.
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.
Contoh :
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
10.1 223 yxyx
1)sin(.2 22 yxxy
Definisi: sebuah metode untuk mencari dy/dx tanpa
terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang
persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.
Contoh
Tentukan dari persamaan x2 + 5y3 = x + 9.
Penyelesaian.
Lakukan pendiferensialan untuk kedua ruas pada
persamaan.
Contoh :
Tentukan jika diberikan persamaan x2 + 2xy + 3y2 = 4
Penyelesaian :
Contoh :
Jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukanlah dan di titik
x = 3 dan y = 2.
Penyelesaian: