i.i.t.ko 1. maila : mekanika i - imac.unavarra.es · mekanika i i.i.t.ren 1. maila : mekanika i...

I.I.T.koI.I.T.ko 1. 1. mailamaila: : MEKANIKA IMEKANIKA I

Saila: INGENIARITZA MEKANIKOA, ENERGETIKOA ETA MATERIALENASaila: INGENIARITZA MEKANIKOA, ENERGETIKOA ETA MATERIALENA

16. GAIA: 16. GAIA:

DINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKA

GORPUTZ ZURRUNAREN ZINETIKAGORPUTZ ZURRUNAREN ZINETIKA

-- 22 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I

I.I.T.renI.I.T.ren 1. 1. mailamaila::

MEKANIKA IMEKANIKA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila


AurkibideaAurkibidea

� 16.1. Sarrera

� 16.2. Mugimendu lauaren ekuazioak

� 16.3. Inertzi momentuak eta biderkadurak

� 16.3.1. Inertzi momentua

� 16.3.2. Biraketa-erradioa

� 16.3.3. Steinerren teorema

� 16.3.4. Inertzi biderkadura

� 16.3.5. Inertzi momentu nagusiak

� 16.4. Gorputz zurrunean translazioa, biraketa eta edozein mugimendu

lau.

� 16.4.1. Translazioa

� 16.4.2. Biraketa ardatz finkoaren inguruan

� 16.4.3. Edozein mugimendu lau

-- 33 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.1 Sarrera

Gorputz zurruna puntu materialen multzoa denez, aurreko kapituluan garatutako harremanak erabili ahal izango ditugu. Orduan puntu materialen sistemari zegokion mugimendua aztertu genuen.

Kapitulu honetan askotan aplikatuko da hurrengo ekuazioa: GamR =

Ekuazio horrek kanpotik aplikatutako indarren R ondoriozkoa eta sistemaren G masa--zentroaren aG azelerazioa erlazionatzen ditu.

Kasurik orokorreneankanpoko indar-sistemaren ondoriozkoa G MZ-tik pasatzen den Rondoriozko indarra da eta C momentu-parea du. Horretan gorputzak biraketa eta translazioaizango du.

Newtonen legeak bakarrik puntu material baten mugimenduari (translazioari) aplika dakizkioke eta ez dira egokiak gorputz zurrunen mugimendua deskribatzeko, mugimenduan translazioa eta biraketa sartzen direnean. Ildo horri jarraiki, ekuazio osagarriak behar dira kanpoko indarren momentuak eta gorputzaren mugimenduangeluarra erlazionatzeko.

-- 44 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.2 Mugimendu lauaren ekuazioak

Ondoren Newtonen legeak hedatuko dira gorputz zurrunaren mugimendu laua zehazteko. Ildo horri jarraiki, gorputzaren mugimendu azeleratu lineala eta angeluarra eta hauek sortzen dituzten momentuak eta indarrak erlazionatzeko ekuazioak eskuratuko dira.Aipatu ekuazioak honakoak zehazteko erabil daitezke:

1.- Aldiuneko azelerazioak, horiek indar eta momentu ezagunek sortzen badituzte, edo2.- Aldez aurretik zehaztutako mugimendua sortzeko indarrak eta momentuak.

Aurreko kapituluan puntu materialen sistemari zegokionez, “masa-zentroaren mugimendu-printzipioa” garatu zen. Gorputz zurruna puntu materialen multzotzat jo daitekeenez, betiere elkarren arteko distantziak aldatu gabe, gorputz zurrunean G MZ-ren mugimendua zehazteko hurrengo ekuazioa erabiliko da:Ikuspegi eskalarretik: GamR =

GzzzGyyyGxxx amRFamRFamRF ====== ∑∑∑

Aurreko ekuazioa indarrak batuz lortu zen, beraz, zuzen euskarriaren kokapenez ez dago informaziorik.

-- 55 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Gorputz zurrun gehienen egiazko mugimenduanR ondoriozkoak sortutako translazioa eta zuzen euskarria G MZ-tik pasatzen ez denean sortutako indarrari dagokion momentuaren biraketagainjartzendira.

BIRAKETAREN ANALISIA:Kontuan har dezagun gorputz zurrun arbitrarioa, hain zuzen ere, irudian adierazitakoa.

• XYZ koordenatuen sistema finkoa dago espazioan.

• xyz koordenatuen sistema gorputzarekiko solidarioa da A puntuan.

• A puntuarekiko dm masako elementuaren desplazamendua zehazteko ρ bektorea erabili behar da eta XYZ koordenatu-sistemaren O jatorriarekiko R bektoreak adierazten du.

• XYZ sistemaren O jatorriarekiko A puntuaren desplazamendua r bektoreak adierazten du.

-- 66 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Kanpoko eta barneko indarren ondoriozkoak dmmasa-elementuaren gainean honako hauek dira: F eta f, hurrenez hurren. Honela, F eta f indarren momentua A puntuarekiko hau da:

Newtonen 2. legearen arabera:

)(x fFMd A += ρ

RdmadmfF dm&&==+

Beraz: dmafFMd dmA )x()(x ρρ =+=

Mugimendu lauan gorputz zurrunaren adm azelerazioa hurrengo moduan idatz daiteke:

( ) ( )[ ]ρωωρω xxx ++= &Adm aa

Ordezkatuz eta integratuz, honakoa lortuko dugu:

( )[ ] ( )[ ]{ } mdmdmdaMmmm

AA ∫∫∫ ++= ρωωρρωρρ xxxxx)x( &

-- 77 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Gorputz zurrunaren mugimendu lauangorputzaren elementu guztiak plano paraleloetan mugitzen dira eta mugimenduaren planoaderitza G MZ duen plano paraleloari.

Irudiaren arabera, abiadura angeluarra eta azelerazio angeluarra bektoreak elkarren artean paraleloak izango dira eta mugimendu--planoarekiko elkarzutak.xyz koordenatuen sisteman mugimendua xyplanoarekiko paraleloa bada, honakoa izango dugu:

αωαωω

ωω

===

===

zz

z

yxAza

&

0

xy planoan mugimendua aztertuz gero, MA adierazpenaren termino desberdinak A puntua mugimenduaren planoan kokatuta dagoenean, ondoren garatzen dira:

-- 88 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





( ) ( )[ ] ( )[ ]{ } mdmdmdaMmmm

AA ∫∫∫ ++= ρωωρρωρρ xxxxxx &

( )kji

0

kji

AxAyAxAy

AyAx

ayaxazaz

aa

zyx −++−=

ji00

kji

ααα xy

zyx

+−=

ji00

kji

ωωω xy

zyx

+−=

ji

0

00

kji22 ωω

ωωω yx

xy

−−=−

-- 99 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





( ) ( )[ ] ( )[ ]{ } mdmdmdaMmmm

AA ∫∫∫ ++= ρωωρρωρρ xxxxxx &

( )kji AxAyAxAy ayaxazaz −++−

( ) kji 22 ααα yxzyzx ++−−

ji 22 ωω xzzy −

kji AzAyAx MMM ++

( )∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

++−=

+−=

+−−=

mm

Ax

m

AyAz

mmm

AxAy

mmm

AyAx

dmyxdmyadmxaM

dmxzdmzydmzaM

dmzydmxzdmzaM

22

2

2

α

ωα

ωα

-- 1010 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





( ) Az

mm

Ayz

mm

Azx

mm

Idmyxmzdmz

Idmzymydmy

Idmxzmxdmx

=+=

==

==

∫∫

∫∫

∫∫

22

Lehenengo momentuak

Inertzi biderkadurak

Inertzi momentua

Aurreko garapenean agertzen diren integralak honako hauek dira:

xy planoan mugimendu laua izanik eta G MZ-tik (eta A puntutik) pasata, denez, honakoa dugu:

0=z

AzAxAyAz

AzxAyzAy

AyzAzxAx

ImyamxaM

IIM

IIM

αωα

ωα

+−=

+−=

+−=2

2

-- 1111 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Ekuazioen sistemak gorputz zurrunaren gainean egiten diren kanpoko indarren momentuak eta abiadura angeluarrak eta gorputzaren inertzi propietateak erlazionatzen ditu.

AzAxAyAz

AzxAyzAy

AyzAzxAx

ImyamxaM

IIM

IIM

αωα

ωα

+−=

+−=

+−=2

2

Indarren momentuak eta inertzi momentuak eta biderkadurak A puntutik pasatzen diren xyz ardatzekiko dira eta gorputzean finkoak daude. Gorputzean finkoak ez baleude, inertzi momentuak eta biderkadurak denboraren funtzioak izango dira.

Ekuazioei erreparatuz, baliteke MAx eta MAy momentuak behar izatea z ardatzaren inguruan mugimendu laua mantentzeko.

Mugimendu lauari buruzko dinamikako ariketa gehienetan aurreko ekuazioak sinplifika daitezke.

-- 1212 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





A.- Mugimendu planoarekiko gorputza simetrikoa denean, inertzi biderkadurak baliogabetu egiten dira (IAyz = IAzx = 0), beraz, aurreko ekuazioak honela gelditzen dira:

Kasu bereziak:

AzAxAyAz

Ay

Ax

ImyamxaM

M

M

α+−=

==

0

0

B.- Mugimendu-planoarekiko gorputza simetrikoa izateaz gain, xyz koordenatuen sistemaren jatorria gorputzaren G MZ-n hartuz gero, aurreko ekuazioak honakoetara murrizten dira:

( )0== yx

GzAz

Ay

Ax

IM

M

M

α=

==

0

0

-- 1313 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.3 Inertzi momentuak eta biderkadurak

Gorputz zurrunaren mugimenduari buruzko aurreko azterketan, zenbait adierazpenetan elementu txikiaren masa eta zuzen interesgarriarekiko distantziaren karratua biderkatu behar dira. Biderkadurari elementuaren inertzi momentuaderitza.

dmrdI 2=Gorputz osoaren inertzi momentua OO ardatzarekiko honakoa da: ∫=

m

dmrI 2

Betiere positiboa izango da: batetik, masa eta, bestetik, ardatzarekiko distantziaren karratua betiere positiboak dira eta ML2 dimentsioak dituenez, SI-n neurketa-unitatea kg.m2 izango da.

16.3.1 Inertzi momentua

Ildo horri jarraiki, dm masako elementu baten dIinertzi momentua OO ardatzarekiko honakoa da:

-- 1414 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Gorputzaren inertzi momentuak xyz sistemaren koordenatu-ardatzekiko zehatz daitezke irudiko masa-elementua kontuan hartuta. Ildo horri jarraiki:

( )( )( )dmyxdmrI

dmzxdmrI

dmzydmrI

mm

zz

mm

yy

mm

xx

∫∫

∫∫

∫∫

+==

+==

+==

222

222

222

( )dmzydmrdI xx222 +==

y eta z ardatzen kasuan, antzeko ekuazioak idatz daitezke eta honela geldituko lirateke:

-- 1515 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Gorputz konposatuen inertzi momentuak

Askotan gorputz interesgarri bat zenbait forma bakunetan deskonposa daiteke, hala nola zilindroetan, esferatan, xafletan eta hagetan. Horien kasuan aldez aurretik kalkulatu eta taulan jarri dira inertzi momentuak. Ikusi hurrengo taulak.

Edozein ardatzarekiko gorputz konposatuareninertzi momentua ardatzarekiko osatzen duten zati desberdinen inertzi momentuen batura da. Adibidez, ( )

( ) ( ) ( )

n

n

xxx

mmm

mm

xx

III

dmzydmzydmzy

dmzydmrI

+++=

=++++++=

=+==

∫∫∫

∫∫

...

...

21

21

222222

222

Zatiren bat zuloa denean, zati handienetik zuloaren inertzi momentuari kendu beharko zaio inertzi momentua gorputz konposatuaren inertzi momentua lortzeko.

-- 1616 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.3.2 Biraketa-erradioa

Inertzi momentua (masaren dimentsioak eta luzeraren karratua biderkatzen dituenez) hurrengo moduan adieraz daiteke: gorputzaren m masa eta k luzeraren karratuaren biderkadura bezala. k-ri Biraketa-erradioa deritza. Ildo horri jarraiki, gorputzaren Iinertzi momentua zuzen zehatzarekiko hurrengo moduan adieraz daiteke:

m

IkmkI == dahau 2

Edozein ardatzarekiko gorputzaren masari dagokion biraketa-erradioahonela interpreta daiteke: puntu baten ardatzarekiko distantzia. Bertan kontzentratu beharko litzateke gorputzaren masa osoa egiazko masak ardatzarekiko duen inertzi momentu berdina izateko.

Biraketa-erradioari buruzko interpretazio fisiko erabilgarririk ez dago; masaren eta luzeraren arabera, gorputz-masaren inertzi momentua adierazteko bitarteko komenigarria besterik ez da.

-- 1717 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.3.3 Inertzi momentuarentzatSteinerren teorema

Irudiko gorputza kontuan hartuz gero, G masa--zentroan xyz koordenatu-sistemaren jatorria hartzen da. Halaber, x´y´z´ koordenatu-sistema kontuan hartu behar da eta jatorria O´ puntuan izango du. Ardatzak aurrekoekiko paraleloak izango dira. Irudian ikus daitekeenez:

zzzyyyxxx +=+=+= ´´´

x´eta x ardatzak bereizten dituen dx distantzia honakoa da:

22 zydx +=Honela, gorputzaren inertzi momentua x´ ardatzarekiko, masa-zentrotik pasatzen den x ardatzarekiko paraleloa dena, hauxe da:

∫=m

xx dmrI 2´

garatuz

-- 1818 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





( ) ( )[ ] =+++== ∫∫ dmzzyydmrImm

xx222

´

eta y eta z ardatzak gorputzaren G masa-zentrotik pasatzen direnez,

00 == ∫∫mm

dmzdmy

( ) ∫∫∫∫∫ +++++=mmmmm

zdmzdmzydmydmydmzy 22 2222

Beraz, ( )( )( ) mdImyxII

mdImzxII

mdImzyII

zzGzGz

yyGyGy

xxGxGx

222´

222´

222´

+=++=

+=++=

+=++=

Orain, ( ) xG

m

Idmzy =+∫22

Steinerren Teorema inertzi momentuentzat

denez,

-- 1919 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Ildo horri jarraiki, masa-zentrotik pasatzen den ardatza batekiko gorputzaren inertzi momentua ezagutuz gero, horrekiko paraleloa den beste edozein ardatzekiko inertzi momentua aurkitu ahal izango da, integratu gabe eta aurreko ekuazioak erabiliz.Bi ardatz paralelo hauekiko biraketa-erradioen artean antzeko erlazioa ezar daiteke:

mdmkmk xxGx222

´ +=

Beraz,

222´

222´

222´

zzGz

yyGy

xxGx

dkk

dkk

dkk

+=

+=

+=

Laukian sartutako bi ekuazio-sistemak baliagarriak dira xyz ardatzetatik bestelako ardatz paraleloetara pasatzeko edo alderantziz, xyz ardatzak masa-zentrotik pasatzen badira.

Ez dira baliagarriak ardatz paralelo arbitrarioentzat!

-- 2020 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.3.4 Inertzi biderkadura

Gorputz zurrunen mugimenduak aztertzean, batzuetan, adierazpenetan honakoak biderkatzen dira: batetik, elementu txiki baten masa eta, bestetik, koordenatu-plano pare ortogonalekiko elementuaren distantzia. Elementuaren inertzi biderkadurada.

dmyxdI xy =

Adibidez, irudian adierazitako elementuaren inertzi biderkadura xz eta yzplanoekiko honakoa da:

Gorputzaren masa-elementu guztien inertzi biderkaduren batura plano ortogonal berdinekiko gorputzaren inertzi biderkadura bezala definitzen da.

∫=m

xy dmyxI

-- 2121 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Ildo horri jarraiki, irudikatutako gorputzaren hiru inertzi biderkadurak honako hauek dira:

∫∫∫ ===m

zx

m

yz

m

xy dmxzIdmzyIdmyxI

Inertzi momentuek bezala, inertzi biderkadurek ML2 dimentsioakdituzte, beraz, neurketa-unitatea SI-n kg.m2 da.Gorputzaren inertzi biderkadura positiboa, negatiboa edo nuluaizan daiteke, koordenatuek ikur independenteak baitituzte.Inertzi biderkaduranulua izango da plano bat edo bestea simetriplanoa denean, elementu simetrikoen pare batek simetri planoarekiko kontrako inertzi biderkadurak izango baitituzte eta batura zero izango da.Xafla meheek ρ dentsitate eta t lodiera uniformea badute, sekzioa A areakoa bada eta, gainera, x eta y ardatzak xaflaren plano erdian badaude (simetri planoa), inertzi biderkadurak honakoak izango dira:

00 ====

=====

∫∫

∫∫∫∫

m

zx

m

yz

xy

VAVm

xy

dmxzIetadmzyI

ItdAyxtdAtyxdVyxdmyxI

mm

Amρρρρ

-- 2222 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Inertzi biderkaduren kasuan Steinerren teorema gara daiteke. Hori gainazaleko bigarren momentu mistoen oso antzekoa da eta arestian aztertu dugu.

Irudian marraztutako gorputza kontuan hartuta, xyz koordenatuen sistema du eta jatorria gorputzaren G masa-zentroan agertzen da. Halaber, x´y´z´ koordenatu-sistema ikus daiteke eta jatorria O´ puntuan du. Ardatzak aurrekoekiko paraleloak dira. Irudian honakoa ikus daiteke:

zzzyyyxxx +=+=+= ´´´

( )( ) ∫∫∫∫∫∫ +++=++==mmmmmm

yx dmyxdmxydmyxdmyxdmyyxxdmyxI ´´´´

Beraz,

0;0; === ∫∫∫mm

xyG

m

dmzdmyIdmyx denez,

honakoa dugu: mxzIImzyIImyxII zxGxzyzGzyxyGyx +=+=+= ´´´´´´

-- 2323 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Zenbaitetan gorputzen analisi dinamikoetan ardatz nagusiak eta gehieneko eta gutxieneko inertzi momentuak zehaztu behar dira.

Halakoetan arazoa hurrengoan datza: koordenatu-sistema jakin batekiko erraz kalkula daitezkeen inertzi momentuak eta biderkadurak, gero x´y´z sistemarekiko kalkulatzea, jatorria O berdina izanik, baina xyzardatzekiko makurtuta.

Irudiko gorputza kontuan hartuz gero, x´ ardatzak θx´x, θx´y eta θx´z angeluak eratzen ditu x, y eta z ardatzekin, hurrenez hurren. Ix´ inertzi momentua definizioz honakoa da: ∫=

m

x dmrI 2´

Garatuz eta ardatz nagusiak kokatu nahiz gehieneko eta gutxieneko gainazaleko bigarren momentuak zehazteko erabilitako analisi bera erabiliz, inertzi ardatz nagusiak aurki daitezke eta gehieneko eta gutxieneko inertzi momentuak zehaztu.

16.3.5 Inertzi momentu nagusiak

-- 2424 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.4 Gorputz zurrunaren translazioa, biraketa eta edozein

mugimendu lau

AzAxAyAzx

AzxAyzAyyy

AyzAzxAxxx

ImyamxaMF

IIMmaF

IIMmaF

α

ωα

ωα

+−==

+−==

+−==

∑∑∑

0

2

2

Mugimendu lauaren ariketak izaeraren arabera sailka daitezke:1.- Translazioa.2.- Biraketa ardatz finkoaren inguruan.3.- Edozein mugimendu lau.

Lehenengo bi kasuak edozein mugimendu lauren berezitasunak dira.

Gorputzaren kasuan, modu arbitrarioan, edozein mugimendu lauren ekuazioak hurrengo moduan zehazten dira:

Translazioa Biraketa

-- 2525 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.4.1 Translazioa

Gorputz zurrunak translazioko mugimendua du mugimenduan zehar gorputzaren tarte lerrozuzen orok hasierako posizioarekiko paraleloa mantentzen denean.

Translazioan ez dago mugimendu angeluarrik (ω = α = 0); beraz, gorputzaren zati guztiek a azelerazio lineal berdina dute.

Translazioa bakarrik honakoetan gerta daiteke: kanpoko indarren ondoriozko zuzen euskarria G MZ-tik pasatzen denean.

Translazioaren kasuan, xyz koordenatuen sistemak jatorria gorputzaren G MZ-n badu , edozein mugimendu laurako ekuazioak honakoak dira:( )0== yx

0=

=

=

∑∑∑

Gz

Gyy

Gxx

M

amF

amF

-- 2626 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





1. irudiko gorputza translazioaz mugitzen denean, aG azelerazioarekiko x ardatz paraleloa har dezakegu eta azelerazioaren aGy osagaia nulua izango da.

Gorputzaren MZ izenekoak kurba laua jarraitzen duenean (2. irudian ikus daiteke), komenigarria da x eta y ardatzak azelerazioari dagokion aldiuneko osagai normal eta tangentzialaren norabideetan hartzea. Kanpoko indarren momentuak puntu batekiko batzen badira eta puntu hori MZ ez bada, momentuen ekuazioa aldatu beharko da aGx eta aGyosagaien efektuak kontuan hartzeko. Ildo horri jarraiki,

myamxaM

amF

amF

GxGyAz

Gyy

Gxx

−=

=

=

∑∑∑

-- 2727 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.1. ARIKETA16.1. ARIKETA

-- 2828 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 2929 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 3030 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.4.2 Biraketa ardatz finko baten inguruan

Mugimendu lau hau gorputzaren elementu guztiek ardatz finkoaren inguruan ibilbide zirkularrak deskribatzen dituztenean gertatzen da.

( )0== GyzGzx II

αGzGzGyy

Gxx

IMamF

amF

===

==

∑∑∑

0

0

Irudia mugimendu-planoarekiko gorputz zurrun simetrikoa da

eta ardatz finkoaren inguruan biratzen du. Ardatza gorputzaren G MZ-tik pasatzen da( )0== yx

Kasu honetan aG = 0; beraz, edozein mugimendu lauren kasuan ekuazioak honako hauek dira:

-- 3131 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





αα

ω

AzAzGyy

Gxx

IMxmamF

xmamF

===

−==

∑∑∑ 2

Sarritan gorputzaren MZ-tik pasatzen ez diren ardatz finkoen inguruan biraketak agertzen dira.

Irudian mugimendu-planoarekiko gorputz zurrun simetrikoa ikus daiteke.( )0== GyzGzx II

eta ardatz finkoaren inguruan biratzen du, baina ez da gorputzaren G MZ-tik pasatzen

Kasu honetan aA = 0; beraz, edozein mugimendu lauren kasuan ekuazioak honako hauek dira:

( ) ( ){

( ) ( ) αααα AzGzGzGyGz

GxGyGzxyGzAz

ImxIxmxImaxM

maymaxMyFxFMM

=+=+=+=

=++=++=

∑

∑∑∑∑∑2

0

-- 3232 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 3333 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.4. ARIKETA bis16.4. ARIKETA bis

-- 3434 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 3535 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 3636 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.4.3 Edozein mugimendu lau

Irudian pistoia eta bolantea lotuta daude AB bielaren bidez eta mugimendu lauaren hiruforma adierazten dira:1.- Bolantearen biraketa ardatz finkoaren inguruan.2.- Pistoiaren translazio lerrozuzena.3.- AB bielaren edozein mugimendu lau

Bolanteak θ angelua biratzen duenean, A kabilak sA = R·θdistantzia ibiltzen du bide zirkularrean zehar. B kabilaren mugimendua honakoak gainjarrizlortzen dela kontuan har daiteke: bielaren translaziolerrozuzena eta A kabilaren inguruan bielaren biraketa. Bi desplazamendu horien ondorioz, B kabilak sB distantzia egiten du ibilbide horizontalean zehar.

Ildo horri jarraiki, AB bielaren mugimendu lauan translazioa etaardatz finkoaren inguruan biraketa gainjartzen dira.

-- 3737 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





A.- Koordenatuen jatorria A kabilan jartzen bada eta x eta yardatzak bielaren ardatzaren arabera eta horrekiko elkarzut

orientatuak badaude, hurrenez hurren, mugimendu lauaren ekuazio orokorrak honako hauek izango dira:( )0=y

αAzAyAzGyy

Gxx

ImxaMamF

amF

+==

=

∑∑∑

B.- Koordenatu-sistemaren jatorria bielaren G MZ-n kokatuz gero, ekuazioak honako hauek dira:

αGzGzGyy

Gxx

IMamF

amF

==

=

∑∑∑

Bielaren Analisi Zinetikoa:

Bi aukera ditugu:

-- 3838 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Gorputza mugimendu-planoarekiko simetrikoa ez denean, kontu handiz aplikatuko ditugu ekuazioak eta behar bezala murriztu beharko ditugu gorputzarekiko xyz koordenatu-sistema solidarioa hautatuz.

1. adibidea: disko trinkoa ardatzaren gainean muntatuta. Diskoaren ardatzarekin θ angelua eratzen du. xyz koordenatuen sisteman jatorria diskoaren G MZ-rekin bat badator:

denez,00,0 ==== GGyz aetaIyxHonakoa izango dugu:

GzAzx

GzxAyGyy

GzxAxGxx

IMF

IMmaF

IMmaF

α

ω

α

==

===

−===

∑∑∑

0

0

02

xz planoa simetri planoa da.

-- 3939 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





2. adibidea: xafla triangeluarra, lodiera uniformearekin,biratzen ari den ardatz zirkularrarekiko solidarioa. xyz koordenatu-sisteman, A jatorria ardatz zirkularraren ardatzean duena

denez,00,0 === AAyz ayIyhonakoa izango dugu:

AzAzx

AzxAyGyy

AzxAxGxx

IMF

IMxmmaF

IMxmmaF

α

ωα

αω

==

===

−=−==

∑∑∑

0

2

2

Mugimendu-planoarekiko simetrikoak ez diren gorputzen analisiarekin jarraiki, beste adibide bat dugu:

xz planoa simetri planoa da.

-- 4040 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 4141 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





16.7. ARIKETA bis16.7. ARIKETA bis

-- 4242 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 4343 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 4444 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






i.i.t.ko 1. maila : mekanika i - imac.unavarra.es · mekanika i i.i.t.ren 1. maila : mekanika i...

Documents