ﻊﺑﺎﻨﻣ و ﺎﻬﻠﺼﻓﺮﺳ...

معرفی سرفصلها و منابع

اسالید صفرسید روح اهللا کاظمی

ریاضی پیشرفته

بسم اهللا الرحمن الرحيم


سید روح اهللا کاظمی


:سرفصلهامعادالت دیفرانسیل جزیی. 1

تبدیالت فوریه و الپالس . 2

توابع ویژه . 3

معادالت انتگرالی . 4

توابع مختلط . 5

حساب تغییرات . 6

ماتریسها. 7

3

:منابع)جلد اول و دوم(ریاضیات مهندسی پیشرفته . 1

سیامک کاظمی، موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف: برت، ترجمه. کالرنس ري وایلی، لوئیس سی

ریاضیات مهندسی پیشرفته . 2شیدفر، شاهرضایی، انتشارات دالفک: اروین کرویت سیگ، ترجمه

حساب تغییرات -ریاضیات مهندسی –ریاضیات عالی مهندسی . 3انتشارات دالفک: عبداهللا شیدفر، ناشر

)ویراست ششم(معادالت دیفرانسیل مقدماتی و مسایل مقدار مرزي . 4محمود دیانی، نشر علوم دانشگاهی : ویلیلم اي بویس و ریچارد سی دیپریما، ترجمه

راهنماي حل مسایل ریاضیات مهندسی پیشرفته . 5ماهرخ مقصودي: اروین کرویت سیگ، مولف

4

6. Partial Differential Equations for Scientists and EngineerStanly J. Farlow

7. Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Fourth Edition

8. Methods of Applied MathematicsFrancis B. Hildebrand, 2nd Edition

9. Applied Mathematical Methods in Theoretical PhysicsMichio Masujima, Second Edition

10. Calculus of VariationsI. B. Russak

5

):1(معادالت دیفرانسیل جزیی معادالت سهموي و روش جدایی متغیرها

1جلسه سید روح اهللا کاظمی



مقدمهPartial( اي پاره یا جزیی دیفرانسیل معادالت Differential Equations( آنها به اختصار به که PDE شود، می گفته

حرارت، انتقال اپتیک، مکانیک، سیاالت، دینامیک مانند علوم مختلف هاي زمینه در ها پدیده توصیف در مهمی نقش.کنند می ایفا ... و مغناطیس

:PDE معادالت درباره مطلب چند.گویند آن درجه را PDE معادله یک در موجود مشتق باالترین- غیر در و »خطی« معادله باشد، نشده ضرب هم در یا نرسیده توان به مشتقهایش یا وابسته متغیر اي معادله در اگر-

.است »غیرخطی« صورت این.باشد متغیر یا ثابت تواند می معادالت این ضرایب-

7

تقسیم بندي معادالت پاره اي :2 درجه خطی متغیره دو PDE معادله کلی شکل

.است »همگن نا« اینصورت غیر در و »همگن« معادله باشد، صفر برابر G اگر )1-1( معادله در

:بر اساس عالمت دلتا است) 1-1(یک تقسیم بندي براي معادالت پاره اي به شکل معادله

انتقال حرارت و نفوذ PDEاگر مانند معادله : سهموي١.

ارتعاش و حرکت موج PDEاگر مانند معادله : هذلولوي٢.

براي توصیف حالت پایدار PDEاگر مانند معادله : بیضوي٣.

.در حالتی که ضرایب متغیر باشند، وضعیت معادله میتواند از نقطه اي به نقطه دیگر تغییر کند

8

)11( GFuEuDuuCuBuA yxyyxyxx

042 ACB

042 ACB

042 ACB

معادالت سهموي دماي با محیطی در طوالنی مدت براي را آن .میگیریم نظر در را است عایق آن بقیه آن سر دو از غیر که مسی میله یکT0 دماي در را آن سر یک سپس .شود دما هم محیط با میله تمام تا میدهیم قرار T1 دماي در را دیگر سر و T2 نگه ثابت

initial معادالت مجموعه این به .بود خواهد زیر PDE معادالت صورت به آزمایش این ریاضی توصیف .میداریم

boundary value problem (IBVP) زیر عبارات در .میشود گفته boundary conditions(BCs) مرزي شرایط بیانگر initial condition(IC) است مساله اولیه شرایط دهنده نشان.

9

lxTxu

TtlutTtu

tlxuu xxt

0)0,(:IC

),(0),0(:BCs

0,0:PDE

0

2

1

2

BCو PDEبیانهاي مختلف

سطح از اگر .بیاید دست به دانشجو توسط ریاضی مناسب توجیه با و حرارت انتقال علم براساس باید قبل PDE معادله نباشد، یکنواخت میله جنس یا و باشد حرارت منبع میله داخل در یا باشد، داشته وجود حرارت انتقال هم میله جانبی

:است شده آورده ترتیب به ادامه در که میکند تغییر معادله این

محیط دماي معین، دما حالتهاي براي مناسب مرزي شرایط ادامه در .باشد متفاوت میتواند نیز مرزي شرایط همچنین مشخص تابع یک g(t) آنها در و است بعدي یک مساله براي شرایط این .است شده آورده معین حرارتی شار و معین.کند توجیه را شرایط این بتواند باید دانشجو .است

10

xxt

xxt

xxt

uxutxfuuuuuu

)(

),(

0)(

2

20

2

)()(

)(

tgutguu

tgu

x

x

روش جدایی متغیرها ادامه در مذکور مرزي شرایط با )متغیر یا ثابت ضرایب با( همگن و خطی اي پاره معادالت حل براي متغیرها جدایی روش

.هستند ثابت مقادیر رفته کار به ضریب 4 .میرود کار به

:میکنیم مطرح زیر مثال بررسی با را روش این حال

:میکنیم جاگذاري PDE در و گرفته مقابل شکل به را جواب

11

0),(),(0),0(),0(

tlutlututu

x

x

10)()0,(:IC0),1(

00),0(:BCs0,10:PDE 2

xxxutu

ttutxuu xxt

)21()()(),( tTxXtxu

روش جدایی متغیرها

12

)()(

)()()()()()()()(),( 2

2

xXxX

tTtTtTxXtTxXtTxXtxu

)k( ثابت عدد یک برابر باید باال عبارت پس است، x تابع فقط آن راست طرف و t تابع فقط باال عبارت چپ طرف چون.میشود تبدیل ODE دو به 2 درجه PDE نتیجه در .باشد

را علت باید دانشجو یعنی شد، آورده صورت این به هرجا پس این از( چرا؟ باشد مثبت یا صفر نباید k باال عبارت در:میگیریم منفی همیشه مقدار یک برابر را آن بنابراین .)کند بررسی

002

2 XkXTkT

kXX

TT

00

2

222

XXTT

k

)ادامه(روش جدایی متغیرها :میکنیم جاگذاري )1-2( رابطه در و آورده دست به »دیفرانسیل معادالت« از را قبل معادالت جوب

شرایط در را باال جواب حال .اند نشده تعیین هنوز و A، B مقادیر اما آید می دست به جواب کلی شکل ترتیب این به :میدهیم قرار مرزي

13

)](cos)(sin[),()(cos)(sin)(

)( 2222

22

1 xBxAetxuxBxAxX

eAtT tt

1 1

)()( )(sin),(),()(sin),(

,...3,2,1...,,2,0sin0sin0),1(

00),0(

22

22

n n

tnnn

tnnn xneAtxutxuxneAtxu

nneAtu

Btu

)ادامه(روش جدایی متغیرها :میدهیم قرار اولیه شرط در را آمده دست به عبارت حال

sin در را باال عبارت طرفین حال mx میگیریم انتگرال 1 تا 0 روي حاصل از و کرده ضرب:

:میکنیم استفاده باال رابطه راست طرف محاسبه براي زیر رابطه از حال

14

...)2(sin)(sin)()()(sin)()0,( 211

xAxAxxxnAxxun

n

)31()(sin)(sin)(sin)(1

1

0

1

0

nn dxxmxnAdxxmx

)41(2

10

)(sin)(sin1

0

nm

nmdxxmxn

)ادامه(روش جدایی متغیرها :نمود تعیین زیر شکل به را ضرایب میتوان نتیجه در

:میشود بیان زیر صورت به نهایی جواب بنابراین

مرزي شرایط به توجه با این که میرود صفر سمت به میله کل دماي طوالنی زمان گذشت با میشود مالحظه که همانگونه از بیشتري اثر میتوانند اول جمالت که گفت میتوان باال رابطه در نمایی ترم وجود به توجه با همچنین .بود انتظار مورد

.کرد اکتفا اولیه جمله چند به میتوان مهندسی کاربردهاي در مواردي در و باشند داشته بعد جمالت

15

1

0

1

0

21

0

)(sin)(2

2)(sin)(sin)()4(),3(

dxxnxA

AdxxmAdxxmx

n

mm

1

)(1

0

)(sin)(sin)(2),(2

n

tn xnedntxu

شرایط مرزي غیرهمگن PDE تغییر این از پس اگر .کنیم تبدیل همگن به نحوي به را آنها امکان صورت در باید نباشد همگن مرزي شرایط اگر انتگرالی تبدیل مانند روشها سایر از میتوان اینصورت غیر در .کرد حل متغیر جدایی روش با را آن میتوان شد، همگن هم

:بگیرید نظر در را مقابل مساله .کرد استفاده

صورت به را u جواب بنابراین .شد خواهد k2 و k1 بینخطی توزیع یک شکل به بینهایت در مساله این جواب که میدانیم:میگیریم نظر در گذرا جواب یک و پایدار جواب یک مجموع

16

LxxxuktLu

tktutLxuu xxt

0)()0,(),(

0),0(0,0

2

1

2

),()kk(ktransientstatesteady),( 121 txULxtxu

شرایط مرزي غیرهمگن همگن مرزي شرایط داراي که آید می دست به زیر صورت به جدید PDE اصلی، معادله در جاگذاري و تغییر این اعمال با

:است

)چرا؟( :بود خواهد زیر شکل به آن جواب که

:میشود تبدیل همگن به زیر تبدیل با مقابل شرایط کلی طور به

17

LxxLxxxU

tLUttU

tLxUU xxt

0)()]kk(k[)()0,(

0),(00),0(

0,0

121

2

1

)(1

0

)(sin)(sin)(2),(2

n

tnLxnedL

ntxU

)(),()(),0(

2

1

tgtLutgtu

U(x,t)tgtgtgtxu ]))()((Lx)([),( 121

شرایط مرزي غیرهمگن:بگیرید نظر در را مقابل PDEحال

:میکنیم استفاده زیر تبدیل از همگن به ناهمگن مرزي شرایط تبدیل براي

:با است برابر پایدار قسمت آن در که

دست به را B و A توابع میتوان آن از که باشد حاکم )1-5( روابط باید شود همگن ،U براي مرزي شرایط اینکه براي:آورد

18

hLtLgtgtB

tgtA

tgtLShtLStgtS

x 1)()()(

)()()51(

)(),(),()(),0(

21

1

2

1

LxxxutgtLuhtLu

ttgtutLxuu

x

xxt

0)()0,()(),(),(

0)(),0(0,0

2

1

2

)(]Lx[)(]

Lx1[)(),( x,tUtBtAtxu

]Lx[)(]

Lx1[)(),( tBtAtxS

شرایط مرزي غیرهمگن

و نبوده همگن آن معادله خود قبل، مورد برخالف که میشود تبدیل زیر PDE به اولیه PDE ،)1-6( تبدیل با نتیجه در قرار بررسی مورد آینده در که کرد استفاده انتگرالی تبدیل مانند روشی از متغیرها جدایی روش جاي به آن حل براي باید

.میگیرد

19

LxxSxxUtLUhtLUttU

tLxSUU

x

txxt

0)0,()()0,(0),(),(

00),0(0,02

6)-(1)(]Lx[

1)()(]

Lx1[)(),( 21

1 x,tUhLtgtgtgtxu

تبدیل مساله به یک مساله ساده تر این بعد مثال دو در .کرد تبدیل آسانتر PDE یک به را مشکل PDE یک ترفندهایی از استفاده با میتوان مواردي در

.است شده داده نشان مطلب

به میتوان است شده داده نشان که همانگونه باال، PDE در کردن جایگزین و زیر رابطه صورت به w تابع گرفتن نظر در باPDE رسید پایین آشناي و آسانتر.

20

10)()0,(0),1(

00),0(0,102

xxxutu

ttutxuuu xxt

10)()0,(0),1(

00),0(0,10

),(),(

2

xxxwtw

ttwtxww

weuweu

weweutxwetxu

xxt

xxt

xx

xt

x

ttt

tt

تبدیل مساله به یک مساله ساده تر )چرا؟( .نمود تبدیل )1-8( معادله به را )1-7( معادله زیر تبدیل از استفاده با میتوان ترتیب همین به

21

)71(2 xxxt uuu )81(2 xxt ww

),(),(22/)2/( txwetxu tx

):2(معادالت دیفرانسیل جزیی لیوویل و معادله موج-توابع متعامد، قضیه استورم

2جلسه




توابع متعامد بررسی این از پیش که مسی میله مثال همان .میشود مطرح مثال یک بررسی قالب در متعامد، توابع بحث قسمت این در

ست را سمت ولی شده، نگهداشته ثابت صفر روي آن سر یک دماي اگرچه بار این که تفاوت این با بگیرید نظر در را شد معادالت بیان .است شده معرفی تابع با نیز اولیه دماي توزیع .دارد قرار صفر دماي با محیطی در آزادانه صورت به آن:بود خواهد زیر صورت به

:داشت خواهیم قبلی روند همان کردن طی و متغیرها جدایی روش از استفاده با

23

LxxxutLuhtLuttu

tLxuu

x

xxt

0)()0,(0),(),(

00),0(0,02

22 )(

)()(

)()()(),(

xXxX

tTtTtTxXtxu

توابع متعامد

:میدهیم قرار مرزي شرایط در را باال جواب قبل، مانند حال

z فرض با L، منحنی تقاطع نقاط با برابرند ها tan z با –z بر تقسیم L، 1 با است برابر نیز مقدار/(Lh))شکل :نوشت میتوان حال .)بعد صفحه در

24

)](cos)(sin[),(

)(cos)(sin)()(

00

22

22

22

12

22

xBxAetxu

xBxAxXeAtT

XXTT

t

t

hLLhL

LeAhLeAtLuhtLu

Btutt

x

tansincos

sincos),(),(

00),0(2222

1 1

)()( )(sin),(),()(sin),(22

n nn

tnnnn

tn xeAtxuAtxuxetxu nn

توابع متعامد:میدهیم قرار اولیه شرط در را آمده دست به عبارت حال

( دلخواه تابع یک بتوانیم باید شود، برآورده اولیه شرایط اینکه براي قبل، مثال مانند پس (x)( سري یک صورت به را حالت این در .دهیم بسط میشوند، تعیین مرزي شرایط و دیفرانسیل معادله یک وسیله به که معلوم، توابع از نامتناهی تعیین براي نیاز مورد مباحثی و کرده متوقف را مثال حل فعال .نیست فوریه سري یک مطلوب، سري قبل مثال برخالف.میکنیم مطرح را ضرایب

25

)()(sin)()0,(1

xxAxxun

nn

توابع متعامدsin} مجموعه از انتخابی متفاوت عضو دو هر حاصلضرب انتگرال قبل مثال در nx} شد باعث خاصیت این .میشد صفر مطرح بعد تعریف در آنها شرایط که دارند را خاصیت این نیز دیگري هاي مجموعه .بیاوریم دست به را ضرایب بتوانیم که

.است شده{n(x)} حقیقی، توابع از اي دنباله اگر :1 تعریف n1, 2, 3, نامتناهی، یا متناهی ،)a,b( چون اي بازه روي….هستند »متعامد« بازه آن روي توابع این که میشود گفته باشند، زیر ویژگی داراي و شده تعریف

روي توابع این که میشود گفته باشند، زیر ویژگی داراي n هر ازاي به متعامد، مجموعه یک به متعلق توابع اگر :2 تعریف.هستند »واحد متعامد« ،)a,b( بازه

26

nmnm

dxxxb

anm 0

0)()(

1)(2 b

an dxx

توابع متعامد{n(x)}متعامدمجموعه براي اگر .کرد تبدیل واحد متعامد مجموعه یک به میتوان را متعامد توابع از مجموعه هر

.هستند واحد متعامد )2-2( رابطه توابع آنگاه باشد برقرار )2-1( رابطه

داراي و شده تعریف نامتناهی، یا متناهی ،)a,b( چون اي بازه روي{n(x)}حقیقی، توابع از اي دنباله اگر :3 تعریف.هستند »متعامد« بازه آن روي p(x) وزنی تابع به نسبت توابع این که میشود گفته باشند، زیر ویژگی

.کرد تبدیل )1 تعریف( عادي متعامد مجموعه یک به میتوان را p(x) وزنی تابع به نسبت متعامد توابع از مجموعه هر.)p(x)>0 تعامد بازه روي که فرض این با( کنیم ضرب p(x) جذر در را مجموعه عضو هر است کافی منظور این براي

27

nmnm

dxxxxpb

anm 0

0)()()(

)22(...,)(,)(,)()12()(3

3

2

2

1

12 kx

kx

kxkdxx n

b

an

لیوویل - قضیه استورم با ما که مسایلی نظیر مسایلی در توابع این وجود .میشوند مطرح کاربردي و محض مسایل از بسیاري در متعامد، توابع

.میشود تضمین لیوویل، -استورم مهم قضیه وسیله به هستیم، مواجه آن:است مفروض )2- 3( دیفرانسیل معادله :لیوویل -استورم قضیه

کنید فرض .است پیوسته (a,b) روي کم دسته q(x) و اند پیوسته [a,b] بسته بازه روي p(x) و r(x) معادله، این در1، 2، 3، ... پارامتر از متمایزي مقادیر که دارد وجود معادله این براي غیربدیهی جوابهاي آنها ازاي به که هستند

ثوابت ضرایبa1، a2،b1،b2 آن در که میکنند صدق زیر )2-4( مرزي شرایط در و دارند اي پیوسته اول مشتقات .نیستند صفر هم با نیز b1، b2 و هم با a1، a2 که طوري به هستند دلخواهی

میدهند تشکیل دستگاهی{yn(x)} توابع آنگاه باشند، مقادیر این با متناظر غیربدیهی جوابهایی ... ،y1، y2، y3 اگر.هستند متعامد (a,b) بازه روي p(x) وزنی تابع به نسبت که

28

)32(0)]()([])([

yxpxq

dxyxrd

)42(0)()(0)()(

21

21

bybbybayaaya

ادامه حل مثال جوابهایی آن در که بودیم رسیده)2-5( رابطه به کردیم متوقف حل براي نیاز مورد نظریه شرح براي را مثال حل وقتی.هستند )2-6( رابطه براي

2 بنویسیم جاي به اگر .میکند صدق لیوویل -استورم قضیه در آن مرزي شرایط و معادله این که میشود مشاهده

:داریم

sin} مجموعه به متعلق توابع قضیه، طبق بنابراین nx} وزنی تابع به نسبت p(x) بازه روي (0,L) هستند متعامد. sin در را رابطه این طرفین ،)2-5( رابطه در ضرایب تعیین براي حال nx تا صفر از جمله به جمله و کرده ضرب L

.میگیریم انتگرال

29

)52()()(sin1

xxAn

nn )62(0)()(

0)0(02

LXhLXX

XX

10101)(0)(1)(

2121

bhbaaLbaxpxqxr

ادامه حل مثالsin} مجموعه تعامد علت به nx}، شامل آن زیر عبارت که جزانتگرالی به میشوند صفر چپ سمت انتگرالهاي همه

sin2 nx بنابراین .است:

:داشت خواهیم )2-7( رابطه یادآوري و مخرج عبارت محاسبه با

30

L

n

L

n

n

dxx

dxxxA

0

2

0

)(sin

)(sin)(

)72(tan nn zz

)2cos1(2

2cos22

2cos)]2([41

22sin

41

2)(sin

0

2

nn

nnn

nn

L

n

zLLLL

LLLLLdxx

ادامه حل مثال:میشود کامل حل و آید می دست به زیر شکل به ضرایب براي نهایی جواب نتیجه در

*****************************************

بر در را چهارم مرتبه دستگاههاي بعدي مهم قضیه .نیستند مطرح دوم مرتبه دیفرانسیل معادالت در فقط متعامد توابع.است آنها جمله از مرتعش تیر که میگیرد

31

dxxxzL

AL

nn

n

0

)(sin)()2cos1(

2

براي معادالت دیفرانسیل مرتبه چهارم: قضیه

:است مفروض )2-8( دیفرانسیل معادله : قضیه

کنید فرض .است پیوسته (a,b) روي کم دسته q'(x) و اند پیوسته [a,b] بسته بازه روي p(x) و r(x) معادله، این در1، 2، 3، ... پارامتر از متمایزي مقادیر که دارد وجود معادله این براي غیربدیهی جوابهاي آنها ازاي به که هستند

هم با معادله هر ضریب دو آن در که میکنند صدق زیر )2-9( مرزي شرایط در و دارند اي پیوسته سوم مرتبه مشتقات.نیستند صفر

میدهند تشکیل دستگاهی{yn(x)} توابع آنگاه باشند، مقادیر این با متناظر غیربدیهی جوابهایی ... ،y1، y2، y3 اگر .هستند متعامد (a,b) بازه روي p(x) وزنی تابع به نسبت که

32

)82(0)]()([])([2

2

yxpxqdx

yxrd

)92(0)()(0)()(

0)()(0)()(

2211

2211

bxbx

axax

yrbyayrbyb

yrayayraya

بررسی یک مساله از مرتبه چهارم هر براي را تیر از نقطه هر مکان تغییر .میکند ارتعاش به شروع زیر اولیه سرعت و اولیه مکان تغییر با L طول به تیر یک

.بیابید زیر حالت دو براي بعد لحظه درگیر یکسر تیر یک )الفsimply تیر یک )ب support

جابجایی دیفرانسیل معادله خارجی، بار نبود و تیر عرضی مقطع یکنواختی تیر، ثابت انتهاي در مبدا گرفتن نظر در :حل )چرا؟( :میشود زیر شکل به تیر عرضی

.بود خواهد بعد صفحه شکل به مرزي شرایط ولی است یکسان ب و الف حالت دو براي اولیه شرایط و دیفرانسیل معادله

33

)112()()0,()102()()0,(

xgxuxfxu

t

)122(02 xxxxtt uau

بررسی یک مساله از مرتبه چهارم آزاد، انتهاي در برش و گشتاور بودن صفر نیز و ثابت انتهاي در شیب و مکان تغییر بودن صفر توجه با )الف( حالت در

:آید می در )2-13( روابط صورت به مرزي شرایط

)چرا؟( :آید می در )2-14( روابط صورت به مرزي شرایط )ب( حالت در

که دیفرانسیلی معادالت جواب بتواند باید دانشجو .میکنیم استفاده بعد صفحه شرح به متغیرها جدایی روش از حل براي.نماید توجیه را k بودن مثبت ضرورت علت و آمده بعد صفحه در

34

)132(

0),(0),(

0),0(0),0(

tLutLututu

xxx

xx

t

)142(

0),(0),0(

0),(0),0(

tLututLutu

xx

xx

بررسی یک مساله از مرتبه چهارم

35

22

)()(

)()()()(),( k

tTtT

xXxXtTxXtxu

iv

)(cosh)(sinh

)(cos)(sin)(

)(cos)(sin)(

0

0

2

2

2

xa

Fxa

E

xa

Dxa

CxX

tBtAtT

Xa

X

TT

iv

به کار این که شوند تعیین باال معادالت ضرایب قبل، قضیه به رجوع نیز و اولیه و مرزي شرایط از استفاده با بایدحال.اند شده بررسی منابع در ب و الف حالت دو .میشود گذاشته دانشجو عهده

معادله موج حل براي روش این .شد داده نشان سهموي معادالت از برخی حل براي متغیرها جدایی روش از استفاده قبل بحثهاي در

است هذلولوي معادله یک که موج معادله ابتدا جلسه این در .است استفاده قابل نیز هذلولوي و بیضوي معادالت از برخی.میشود استفاده معادله این بررسی براي نیز »داالمبر « حل از ،»متغیرها جدایی « روش بر عالوه و شده مطرح

:بگیرید نظر در است متناهی طول با طناب یک عرضی ارتعاش کننده توصیف که را زیر معادالت ابتدا

36

Lxxgxuxfxu

ttLutu

tLxuu

t

xxtt

0)()0,()()0,(

ICs

00),(0),0(

BCS

0,0PDE 2

روش تفکیک متغیرها : حل معادله موج

داریم قبل مثالهاي در شده طی روند مطابق .کرد استفاده متغیرها تفکیک روش از میتوان نیز مساله این حل یراي:)چرا؟(

:میدهیم قرار مرزي شرایط در را باال جواب قبل، مانند حال

37

)](cos)(sin)][(cos)(sin[),(

)(cos)(sin)()(cos)(sin)(

00

2

22

xDxCtBtAtxu

xDxCxXtBtAtT

XXTT

...,2,1,00sin0),(

00),0(

nLnLLtLu

Dtu

n

)162()(sin)](cos)(sin[),(),(

)152()(sin)](cos)(sin[),(

1 1

n nnnn

nnn

Lxn

Ltnb

Ltnatxutxu

Lxn

Ltnb

Ltnatxu

روش تفکیک متغیرها : حل معادله موج

:میدهیم قرار اولیه شرط در را آمده دست به عبارت حال

:داشت خواهیم تعامد خاصیت از استفاده با

وجود موج معادله براي دیگري حل روش اما .آید می دست به نهایی جواب )2- 16( رابطه در باال، ضرایب جاگذاري از.میگیرد قرار بررسی مورد ادامه در و دارد نام »داالمبر « حل که دارد

38

)()(sin)()()0,(

)()(sin)()0,(

1

1

xgLxn

Lnaxgxu

xfLxnbxfxu

nnt

nn

dxLxnxf

Lbdx

Lxnxg

na

L

n

L

n )(sin)(2)(sin)(2

00

»داالمبر« حل : حل معادله موج

:بگیرید نظر در است نامتناهی طول با طناب یک عرضی ارتعاش کننده توصیف که را زیر معادالت

:داشت خواهیم اصلی رابطه در آنها جاگذاري با و گرفته درنظر را زیر متغیر تغییر

:میکنیم انتگرالگیري حال

39

xxgxuxfxu

txucu

t

xxtt

)()0,()()0,(

ICs

0,PDE 2

0)2(

2

)( 2

uuuucu

uuuu

uucuuuu

ctxctx

tt

xx

t

x

)()(),()()()(0 ctxctxtxuuuu

»داالمبر« حل : حل معادله موج

.بود خواهند معادله جواب شوند جمع هم با اگر میکنند، حرکت مخالف سرعت با که موجی دو هر که میشود مالحظه:داشت خواهیم اولیه شرایط اعمال با حال

:بود خواهد زیر صورت به نهایی جواب نتیجه در

40

x

xt Kdgxcxcxgxcxc

xfxx

xgxuxfxu

0

)()()()()()(

)()()(

)()0,()()0,(

x

x

x

x

dgc

xfx

dgc

xfx

0

0

)(21)(

21)(

)(21)(

21)(

tcx

tcx

dgc

ctxfctxftxu )(21)]()([

21),(

): 1(تبدیلها سري و انتگرال فوریه

3جلسه




سري فوریه دارند، ارتباط هم به هارمونیکی صورت به که کسینوسی، و سینوسی سري یک با توان می را تناوبی حرکت هر :فوریه.داد نمایش

)13()sincos(2

...2sinsin...2coscos2

)(

1

0

21210

nnn nxbnxaa

xbxbxaxaaxf

)23(sin)(2

cos)(2

2

2

2

2

dxnxxfb

dxnxxfa

n

n

42

بسطهاي نیم دامنه اي .)3-3( است شده تعریف متناهی فاصله در که است تابعی براي فوریه سري از استفاده به نیاز عملی کاربردهاي برخی در

.کرد استفاده نظر مورد تابع )3-5( فرد یا )3-4( زوج گسترش از میتوان منظور این براي

x فاصله در که است سینوسی فوریه سري داراي )3-5( تابع و کسینوسی فوریه سري داراي )3-4( تابع ≤ L 0 با≥f (x) به ترتیب به آنها ضرایب و سینوسی اي دامنه نیم بسط و کسینوسی اي دامنه نیم بسط بنابراین .هستند برابر .میشوند بیان )3-7( و )3-6( صورت

)33(0)( Lxxf

)43()()2(,0)(

0)()( 111

xfLxfxLxfLxxf

xf

)53()()2(,0)(

0)()( 222

xfLxfxLxf

Lxxfxf

43

بسطهاي نیم دامنه اي

)63(

....,2,1;cos)(2

)(1

cos)(

0

00

10

ndxxLnxf

La

dxxfL

a

xLnaaxf

L

n

L

nn

)73(....,2,1;sin)(2

sin)(

0

1

ndxxLnxf

Lb

xLnaxf

L

n

nn

44

مثال:بیابید را زیر تابع اي دامنه نیم بسط دو :مثال

:داریم زوج گسترش براي :حل

45

مثالجزء به جزء گیري انتگرال با حال

:داریم

:نتیجه در و

46

مثال:داریم قبل روند مشابه فرد، گسترش براي

47

)83()sincos(2

)(1

0

nnn nxbnxaaxf

1

0 )2

()2

(2

)(n

inxinx

n

inxinx

n ieebeeaaxf

سري فوریه مختلط:کنیم بیان مختلط شکل به ،)3- 9( اویلر، فرمول کمک به را )3-8( سري میخواهیم قسمت این در

:داریم )3-8( در )3- 10( جاگذاري با

)103(

2sin

2cos

)93(sincos

sincos

ieenx

eenx

xixexixe

inxinx

inxinx

ix

ix

)113()22

()22

(2 1

0

n

nninxnninx ibaeibaea

48

)123(2

,2

,2

*00

nnnn

nnn

ibaccibacac

)143()(1

)sin(cos)(12

2

2

2

2

dxexfc

dxnxinxxfibac

inxn

nnn

سري فوریه مختلط.میرسیم )3-13( به )3-10( در جاگذاري و )3-12( تعریفهاي با حال

:میشوند تعیین )3-14( مطابق آن در ضرایب )3-2( و )3-12( اساس بر که

)133()(1

0

n

inxn

n

inxn

inxn ecececc

49

انتگرال فوریه مورد در شده ارایه مطالب که آنیم صدد در است، مرتبط غیرتناوبی توبع به مسایل از بسیاري حل اینکه به توجه با

.میشود معرفی فوریه انتگرال منظور این براي .دهیم تعمیم را فوریه سریهاي:از است عبارت آن فوریه انتگرال کند، صدق 7-1 قضیه شرایط در که باشد تابعی f اگر

:آن در که

f اگر :)3-1( قضیه (x)و باشد راست و چپ مشتق داراي نقطه هر در و پیوسته اي تکه طور به متناهی فاصله هر در باشد، موجود )3-17( انتگرال

f آنگاه (x)در .داد نشان فوریه انتگرال یک صورت به میتوان را f که اي نقطه (x)راست و چپ حدود میانگین برابر فوریه انتگرال مقدار باشد ناپیوسته f (x)است نقطه آن در.

50

)17-3 (

)15-3 (

)16-3 (

مثال:بیابید را مقابل تابع فوریه انتگرال نمایش :مثال

:حل

f راست و چپ حدود میانگین (x) درx=1 است1/2 برابر. :گفت میتوان 3-1 قضیه و )3-18( از بنابراین

51

)18-3 (

)19-3 (

مثال عبارت حد برابر که میشود تبدیل )3-19( به )18-3( ،x=1در .است موسوم دیریکله ناپیوسته عامل به )18-3( توابع برحسب نمیتوان را سینوسی انتگرال حاصل .است موسوم سینوسی انتگرال به )3- 20( .است بینهایت در )20-3(

.کرد بیان مقدماتی

52

)19-3 (

)20-3 (

مثال.)زیر شکل( میکند میل اصلی تابع سمت به تدریجا ،a افزایش با )3-21( عبارت ،)3-18( به توجه با

این a افزایش با .رفت نخواهند بین از هم بینهایت سمت به a میل با ناپیوستگی نقاط اطراف در شده مشاهده نوسانهايx به بیشتر هرچه نوسانات = به افتد، می اتفاق نیز فوریه سري درباره که غیرمنتظره رفتار این .میشوند نزدیک ±1

.است موسوم گیبس پدیده

53

)21-3 (

انتگرالهاي سینوسی و کسینوسی فوریه :میشود تر ساده فوریه انتگرال فرد، یا زوج تابع هر براي

f اگر (x) داریم باشد، زوج تابع یک:

f اگر (x) داریم باشد، فرد تابع یک:

54

)23-3 (

)22-3 (

تبدیلهاي سینوسی و کسینوسی فوریهf تابع اگر (x)و )3-24( با ترتیب به آن معکوس فوریه کسینوسی تبدیل و فوریه کسینوسی تبدیل دهیم، قرار نظر مد را

:میشود داده نشان )25-3(

:میشود داده نشان )3- 27( و )3-26( با ترتیب به آن معکوس فوریه سینوسی تبدیل و فوریه سینوسی تبدیل همچنین،

55

)24-3 (

)25-3 (

)26-3 (

)27-3 (

تبدیلهاي سینوسی و کسینوسی فوریه:میشود داده نشان نیز زیر صورت به آنها معکوس و فوریه سینوسی و کسینوسی تبدیالت

.بیابید را مقابل تابع فوریه سینوسی و کسینوسی تبدیل :مثال

:حل

56

)ˆ(,ˆ)(

)ˆ(,ˆ)(1

1

ssss

cccc

fFfffF

fFfffF

تبدیلهاي سینوسی و کسینوسی فوریه.بیابید را نمایی تابع فوریه کسینوسی تبدیل :مثال:داریم آن تکرار و جزء به جزء انتگرالگیري با :حل

*****f اگر (x) مثبت حقیقی محور نیم روي بر x هر بر و )باشد متناهی و موجود )3-17( انتگرال یعنی( پذیر انتگرال مطلقا

f فوریه سینوسی و کسینوسی تبدیالت آنگاه باشد، پیوسته اي تکه طور به متناهی فاصله (x)هستند موجود.f و بوده ثابت عدد دو b و a اگر (x) و g (x) داریم باشند، فوریه سینوسی و کسینوسی تبدیالت داراي:

57

تبدیلهاي سینوسی و کسینوسی فوریه طور به متناهی فاصله هر بر و پذیر، انتگرال مطلقا و پیوسته x مثبت و حقیقی محور نیم روي بر x(f( اگر :7-2 قضیه

x،0→ f∞→وقتی و باشد، پیوسته اي تکه (x)، آنگاه

:)چرا؟( گرفت نتیجه میتوان باال قضیه از

58

)31-3 (

)30-3 (

)29-3 (

)28-3 (

مثال.بیابید ٠>a ازاي به را f فوریه کسینوسی تبدیل :مثال

:حل

59

): 2(تبدیلها ها با تبدیلهاي فوریه و الپالسPDEتبدیل فوریه، حل

4جلسه




انتگرال فوریه مختلطf تابع فوریه انتگرال که شد مالحظه قبل بخش در (x) از است عبارت:

:آن در که

:داریم نتیجه در

:مینویسیم مقابل صورت به را باال تساوي

:نوشت زیر شکل به میتوان را باال رابطه ،w به نسبت باال عبارت در کروشه داخل تابع بودن زوج به توجه با

61

انتگرال فوریه مختلط:داشت خواهیم کروشه داخل تابع عبارت بودن فرد به توجه با شود، تبدیل سینوس به کسینوس اگر قبل، رابطه در

نامیده مختلط فوریه انتگرال که میرسیم )4-2( رابطه به ،)4-1( یعنی اویلر، فرمول از استفاده و قبل رابطه دو جمع با.میشود

:آید می دست به )4-3( نمایی، تابع دو حاصلضرب شکل به )4-2( در نمایی تابع نوشتن با

62

)1-4 (

)2-4 (

تبدیل فوریه

)4-4( صورت به را آن x باv تغییر با و مینامیمf تابع فوریه تبدیل را استw از تابعی که )4-3( در کروشه داخل عبارت:میدهیم نشان

:آید می در )4-5( شکل به )4-3( نتیجه در

نیز زیر شکل به ترتیب به آن معکوس و فوریه تبدیل .میدهد نشان را معکوس فوریه تبدیل محاسبه نحوه )4-5( رابطه:میشود داده نشان

f اگر :فوریه تبدیل وجود شرط (x) محور روي بر x باید فوریه، تبدیل وجود براي باشد، شده تعریف f (x) هر بر .باشد پذیر انتگرال مطلقا x محور بر همچنین و بوده پیوسته اي تکه طور به متناهی فاصله

63

)3-4 (

)4-4 (

)5-4 (

.بیابید را مقابل تابع فوریه تبدیل :مثال

:حل

.بیابید را مقابل تابع فوریه تبدیل :مثال

:حل

64



65

)6-4 (

)7-4 (

تبدیالت داراي x(g( و f)x( و بوده ثابت عدد دو b و a اگر یعنی است، خطی عملگر یک فوریه تبدیل :4-1 قضیه:داریم باشند، فوریه

x محور بر΄x(f( آن بر عالوه و ،f)x( →x|،0 |∞→وقتی و باشد پیوسته x محور روي بر f)x( اگر :4-2 قضیه

آنگاه باشد، پذیر انتگرال مطلقا:گرفت نتیجه میتوان باال قضیه از

.بیابید جداول به مراجعه با را فوریه تبدیل :مثال:حل

)8-4 (

)کانولوشن(پیچش

66

f تابع دو کانولوشن یا پیچش (x) و g (x) میشود تعریف زیر صورت به:

:آنگاه باشند، پذیر انتگرال مطلقا و کرندار پیوسته، اي تکه طور به x محور روي بر x(g( و f)x( اگر :8-3 قضیه

حل براي که میرسیم )4-11( رابطه به زیر، گذاري عالمت از استفاده و )4-10( طرف دو از معکوس تبدیل گرفتن با.است مفید جزیی دیفرانسیل معادالت

)9-4 (

)10-4 (

)11-4 (

ها با تبدیل فوریهPDEحل

67

یا کسینوسی تبدیالت از مسایل حل در آنگاه باشند، شده فرض محور مثبت نیمه روي اولیه یا مرزي شرایط هرگاه .کرد استفاده فوریه تبدیالت از میتوان باشند، مفروض محور سراسر بر ها داده این اگر و میکنیم، استفاده فوریه سینوسی

.میشود بررسی مثالی غالب در کار روند

:مقابل اولیه شرایط با نامتناهی همگن میله یک دماي توزیع است مطلوب :مثال

.کنیم حل را )4-12( گرماي معادله باید :حل t برحسب معمولی دیفرانسیل معادله یک به معادله تبدیل و x متغیر به نسبت فوریه تبدیل کارگیري به حل روش.است شده آورده ادامه در کار روند .است

xxt ucu 2 )12-4 (


68

:داریم مشتقگیري و انتگرالگیري ترتیب بودن تعویض قابل فرض با

وجود مشتقی w به نسبت آن در چون است، معمولی دیفرانسیل معادله یک که آید می دست به )4-13( نتیجه در:داریم اولیه شرایط از استفاده و )4-13( حل با .ندارد

و قبل رابطه از معکوس فوریه تبدیل گرفتن با حال:داشت خواهیم آن در انتگرالگیري ترتیب بودن جابجا قابل فرض با و فوریه تبدیل معادل جایگزینی سپس

)13-4 (


69

:با است برابر کروشه داخل انتگرال زیر تابع اویلر فرمول به بنا

در و است زوج نیز آن حقیقی قسمت .شد خواهد صفر آن انتگرال و است به نسبت فرد تابع یک آن موهومی قسمت که:بود خواهد بیان قابل زیر صورت به جواب نتیجه

)14-4 (

حل با روش پیچشی

70

.میکنیم عمل قبل بخش مشابه )4-14( آوردن دست به تا روش این با حال در

:از است عبارت g تابع فوریه تبدیل آن در که گرفت )4-11( معادل را )4-14( میتوان حال

:داریم چون پیچش تعریف به بنا حال

:داریم جداول طبق کار این براي .بیابیم را )4-15( معکوس فوریه تبدیل است کافی

:فرض با حال

)14-4 (

)15-4 (

)16-4 (

حل با روش پیچشی

71

:داریم:از است عبارت g معکوس تبدیل نتیجه در و

:داشت خواهیم نهایت در )4-16( در جاگذاري سپس و ،g در x جاي بهp-x جاگذاري با حال

کاربرد تبدیل سینوسی فوریه در حل مساله گرما

72

با دارد، قرار محور طول در بینهایت تا صفر فاصله در که نامتناهی همگن میله یک دماي توزیع است مطلوب :مثال:مقابل شرایط

:داریم گرما معادله از و قبل مثال مطابق :حل

:از است عبارت معمولی دیفرانسیل معادله این جواب

:اولیه شرط به توجه با

:کردن جایگزین و معکوس سینوسی تبدیل گرفتن با نهایت در

ها با تبدیل الپالسPDEحل

73

متغیر، دو از یکی به نسبت ابتدا باید متغیره دو معادله یک مثال براي الپالس تبدیل از استفاده با هاPDE حل براي معادله .میشود معمولی دیفرانسیل معادله یک به منجر روش این .کرد استفاده الپالس تبدیل از ،t به نسبت معموال .آید می دست به مساله جواب معکوس الپالس گرفتن با درنهایت .میکنیم حل اولیه و مرزي شرایط کمک به را حاصل

.میشود تبدیل تري ساده مساله به مساله الپالس تبدیل کارگیري به با آنگاه باشد، نداشته t به بستگی معادله ضرایب اگر

:زیر شرایط با کشسان طناب یک مکان تغییر است مطلوب :مثال.)متناهی نیمه نخ( دارد قرار بینهایت تا صفر از x محور بر طناب کار ابتداي در )الف )ب

)پ


74

.شوند حل مذکور اولیه و مرزي شرایط با مقابل معادله باید مساله حل براي :حل

:داریم اصلی معادله طرفین از t به نسبت الپالس تبدیل گرفتن با

:داشت خواهیم مشتقگیري و انتگرالگیري ترتیب تعویض با و اولیه و مرزي شرایط به توجه با


75

:نتیجه در

:داریم معادله حل با

:داریم مرزي شرایط از و:کرد عوض را میرود، بینهایت سمت به x وقتی حدگیري وt به نسبت انتگرالگیري ترتیب بتوان آنکه فرض با

:نتیجه در .شد خواهد صفر برابر A(s) صفر، از بزرگتر s فرض با


76

:داشت خواهیم پس:داریم معکوس تبدیل با و

:یا

که کنیم بررسی یاید جواب از اطمینان براي.نه یا میکند صدق مساله شرایط در (*) آیا

otherwise0

2)sin(),(

cxt

cx

cxt

txw

(*)

):1(توابع ویژه

تابع بسل نوع اول

5جلسه




جوابهاي سري معادالت خطی مرتبه دوم متغیر ضرایب با معمولی دیفرانسیل هاي معادله به اغلب متغیرها، جدایی روش به جزیی دیفرانسیل معادالت حل در

سریهاي شکل به را جوابها میتوان موارد این از بسیاري در .کرد حل آشنا توابع برحسب را آنها نمیتوان که میرسیم به گذرا اي اشاره اینجا در .باشد شده آشنا دیفرانسیل معادالت درس در روش این با باید دانشجو .کرد تعیین نامتناهی

به شده، مطرح مطالب به توجه با سپس .میگردد یادآوري مساله یک غالب در روش و شد خواهد مربوط مفاهیم برخی قضیه و تعریف چند با آشنایی سریها، روش بررسی براي .شد خواهد پرداخته »لژاندر « و »بسل « مشهور معادالت معرفی

:است شده آورده ادامه در که است ضروري یک در که باشد داشته نقطه آن در تیلوري سري اگر تنها و اگر گویند تحلیلی نقطه یک در را تابع یک :1 تعریف

.باشد تابع معرف نقطه آن از همسایگی.هستند تحلیلی مخرج هاي ریشه جز به جا همه در گویا توابع و جا همه در اي جمله چند توابع نمونه، عنوان به

78

نقاط تکینx در هردو Q و P توابع اگرy˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 معادله در :2 تعریف = x0 آنگاه باشند، تحلیلی x0 نقطه یک را

.نامند می معادله »معمولی «x در هردو Q و P توابع از یکی حداقل اگر = x0 در زیر توابع ولی نباشند، تحلیلی x = x0 آنگاه باشند، تحلیلی x0 را .نامند می معادله »عادي تکین « نقطه یکx در زیر توابع از یکی حداقل اگر = x0 آنگاه نباشند، تحلیلی x0 نامند می معادله »غیرعادي تکین « نقطه یک را.

x زیر، معادله در مثال = x عادي، تکین نقطه 0 = .)چرا؟( هستند معمولی نقاط نقاط، سایر و غیرعادي تکین نقطه 1

.باشند نیز مختلط میتوانند تکین نقاط که داشت توجه باید

79

)()(),()( 200 xQxxxPxx

0)1(

323

y

xxy

xy

چند قضیه درباره سریها در معادالت دیفرانسیلx معمولی نقطه یک در :1 قضیه = x0 دیفرانسیل معادله در y˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 یعنی است تحلیلی هرجواب x0 بین فاصله از کمتر جوابها از یک هر همگرایی شعاع عالوه به .داد نشان زیر شکل به سري یک وسیله به را آن میتوان

.نیست معادله تکین نقطه نزدیکترین و

x عادي تکین نقطه یک در :2 قضیه = x0 دیفرانسیل معادله در y˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 با جواب یک حداقل و x0 بین فاصله از کوچکتر R آن در که همگراست مذکور محدوده در سري این و دارد وجود زیر شکل به عبارتی

.نیست معادله تکین نقطه نزدیکترین

x غیرعادي تکین نقطه یک در:3 قضیه = x0 دیفرانسیل معادله در y˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 جوابی کلی حالت در .باشد x-x0 توانهاي شامل فقط آن بسط که ندارد وجود

80

)15(...)()( 202010 xxaxxaay

)25(0...])()([ 02

020100 Rxxxxaxxaaxxy r

معادله مشخصه

x کنید فرض حال = هستند تحلیلی مبدا در x2Q(x)و xP(x) یعنی .است )5- 3( معادله در عادي تکین نقطه یک 0:نوشت زیر شکل به را آنها میتوان بنابراین و

:میکنیم جاگذاري را باال روابط و کرده ضرب x2 در را )3-5( معادله حال

:میگیریم )5-5( رابطه کل به را جواب 2 قضیه به توجه با حال

:میکنیم جاگذاري )4- 5( رابطه در را )5-5( رابطه حال

81

)35(0)()( yxQyxPy

...)(

...)(2

2102

2210

xqxqqxQxxpxppxxP

)45(0...)(...)( 2210

2210

2 yxqxqqyxpxppxyx

)55(0...)( 02

210 axaxaaxy r

معادله مشخصه

::داریم کنیم، جمع هم با را توانهاي از هریک شامل هاي جمله اگر

:نتیجه در باشد، صفر توان هر ضریب اگر تنها و اگر است اتحاد )5-6( رابطه

82

0...)...)((

...])2()1(...)[(

...])1)(2()1()1([

22

110

2210

121

10

2210

21

12

02

rrr

rrr

rrr

xaxaxaxqxqqxraxrarxaxpxppx

xrrarxraxrrax

{ }{ } 0...][])1([])2()1)(2[(

)65(][])1()1[(

])1([

2220111002

1110001

000

r

r

r

xqrpaqrpaqrprraxqrpaqrprra

xqrprra

...................................0][])1([])2()1)(2[(

)75(0][])1()1[(0])1([

220111002

110001

000

qrpaqrpaqrprraqrpaqrprra

qrprra

معادله مشخصهa0چون ≠ معادله مشخصه معادله آن به که میشود نتیجه )5-8( رابطه ،)5-7( روابط مجموعه از رابطه اولین از ،0

.میگویند بسط نقطه به نسبت دیفرانسیل

آنها اختالف و باشند متمایز ها ریشه این اگر .میگویند نظر مورد عادي تکین نقطه نماهاي نیز )5-8( رابطه هاي ریشه به-3( معادله براي )5- 5( رابطه شکل به جواب سري یک مقادیر، این از یک هر ازاي به نباشد، صحیح عدد یک اندازه به نیز.آورد دست به )5-7( معادالت از دیگري از پس یکی میتوان را بسطها در موجود ضرایب همچنین .دارد وجود )5

جواب که کرد عمل صورت این به میتوان ،)مضاعف هاي ریشه مثال( آورد دست به جواب سري دو نتوان که شرایطی در نحوي به را حال .است اول جواب سري y1آن در که شود گرفته )5-9( صورت به (x)معادله در که میکنیم تعیین را

.کند صدق بررسی، مورد دیفرانسیل

83

)85(0)1( 002 qrpr

)95()()( 1 xyxy

معادله بسل:است )10( معادله متغیر، ضرایب با دیفرانسیل هاي معادله مهمترین از یکی

کاربردهایی همه در تقریبا جمله از بسیاري مسایل در معادله این .میشود نامیده پارامتر یک با u مرتبه بسل معادله که مطرح اي دایره تقارن با نواحی در گرما، معادله و موج معادله مانند دارند، کار و سر جزیی دیفرانسیل هاي بامعادله که

تبدیل )5-12( به )5-10( رابطه )5- 11( جانشانی با .میشود.میشود نامیده »u مرتبه بسل معادله« که میشود

:که میشود مالحظه ،)5-10( رابطه با مقایسه با.هستند معمولی نقاط t دیگر مقادیر همه و )چرا؟( است معادله عادي تکین نقطه یک مبدا پس

84

)105(0)( 2222 yxyxyx u

)115( xt

)125(0)( 222

22 yt

dtdyt

dtydt u

ttP

tttQ 1)(,)( 2

22

معادله بسل:از است عبارت هستیم آن حول سري شکل به جوابهایی دنبال به که مبدا حول مشخصه معادله

r=u با متناظر )5-13( صورت به جوابی پیشین مطالب براساس بنابراین (u بعد منفی ریشه .میگیریم نظر در(0=<.شد خواهد بررسی

:داریم عملیات چند ادامه در و )5- 12( در )5-13( جانشانی با

85

022 ur

)135(0

k

kktay

0)2(

0])()1()[(

0)()()1()(

2

01

2

0

2

0

0

221

0

2

0

2

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

tatkka

tatkkka

tattkattkkat

معادله بسل:نوشت میتوان دوم بخش دادن اندیس تغییر نیز و اول بخش از اول جمله کردن جدا با را قبل صفحه آخر رابطه

:پس .شوند صفر t توانهاي همه ضرایب که است برقرار همیشه وقتی باال رابطه

:میشود نتیجه u بودن نامنفی شرط و )5-14( رابطه از

86

0])2([)12(

0)2()12(

22

11

22

2

11

kkk

k

k

kk

k

kk

taakkta

tatkkata

)155(...,3,2)2(

0)2(

)145(0)12(

22

1

k

kkaaaakk

a

kkkk

00 a

معادله بسل:میشود نتیجه )5-15( از سپس

:میشود نتیجه )5- 15( از همچنین

:کلی طور به و

:مینویسیم زیر شکل به را آن است، tu+2m ضریب باال عبارت چون

87

0...... 1253 maaa

)1)(2)(3(!3.2)3(3.2)62(6

)1)(2(!2.2)2(2.2)42(4

)1(!1.2)22(2

60

244

6

40

222

4

200

2

aaaa

aaaa

aaa

...,3,2,1)1)(2)...(1)((!2

)1(2

02

mmmmaa m

m

m

)2()1)(2)...(1)((!2

)1(022 a

mmma m

m

m

معادله بسل و صورت هستند، فاکتوریل یادآور که مخرج در شده هم در ضرب پرانتزهاي به مربوط عبارت شکل به توجه با همچنین

رابطه در که تابع این خاصیت به توجه با سپس و میکنیم ضرب گاما تابع یعنی فاکتوریل یافته تعمیم شکل در را مخرج:آوریم می دست به ضرایب براي را )5-17( عبارت شده، داده نشان )16-5(

:آید دست به )5-18( تا میگیریم زیر شکل به است اختیاري که را a0 حال

88

))1(2()1()1)(2)...(1)((!2

)1(022 a

mmma m

m

m

)163()2()1()1( vv

)175())1(2()1(!2

)1(022

amm

a m

m

m

)1(21

0

a

تابع بسل

u هر ازاي به ،)5-13( در جانشانی با حال 0جواب یک yuاز اول نوع بسل تابع « آن به که آوریم می دست به :))5-20( یا )5-19( رابطه( میشود داده نشان Ju با و میشود گفته »u مرتبه

ازاي به )5-19( سري که میشود نتیجه مطروحه، قضیه طبق ندارد، متناهی تکین نقطه هیچ مبدا جز بسل معادله چون شکل در .شود جایگزین آن قدرمطلق با t ،)5- 19( در باید مقادیر همه ازاي به همگرایی براي .همگراست نامنفی t هر

.اند شده رسم ،1 مرتبه و صفر مرتبه از اول نوع بسل توابع بعد صفحه

89

)185(...,2,1,0)1(!2

)1(22

mmm

a m

m

m

)195()1(!2

)1()(0

2

2

mm

mm

mmttJ

)205(...)3(2)2(2)1(2

1)( 4

4

2

2

ttttJ

تابع بسل

ریشه منفی حالت بررسی .دارد ریشه بینهایت Ju 0= معادله ،u هر ازاي به که هستند مهم این دهنده نشان نمودارها این.شد خواهد انجام ادامه در مشخصه معادله

90

):2(توابع ویژه بررسی انواع توابع بسل




توابع بسل مشخصه معادله ریشه منفی حالت بررسی به حال .شد بررسی قبل قسمت در مشخصه معادله ریشه مثبت حالت

u( میپردازیم 0- r )3-19( سري که میگیریم نتیجه است، شده وارد بسل معادله در مجذور شکل به فقط u چون .)= .شوند تعریف هست مخرج در که گامایی توابع که شرط این به کرد، خواهد صدق بسل معادله در -u با u تعویض از پس جواب یک )4-1( تابع نیست، صحیح عدد یک u وقتی پس .است صادق نباشد صحیح عدد یک u وقتی امر این

.است u مرتبه بسل معادله دیگر خصوصی

عدد یک u وقتی پس است، نامتناهی مبدا در هست، هم t منفی توانهاي داراي چون ،)3-19( برخالف )4- 1( تابع معادالت در که اي قضیه به توجه با پس .هستند بسل معادله از خطی مستقل جواب دو تابع دو این نیست، صحیح

:از است عبارت نیست، صحیح عدد یکu که وقتی بسل معادله از کاملی جواب میشود، ثابت دیفرانسیل

92

)14()1(!2

)1()(0

2

2

m

m

mm

mmttJ

)24()()()( 21 tJctJcty

تابع بسل نوع دوم بهتر مقاصد بسیاري براي .نیست نیازي u بودن نامنفی شرط به دیگر شده، وارد )4-2( در متقارن صورت به u چون ،)4- 3( تابع به .بگیریم نظر در بسل معادله براي مستقل جواب دومین عنوان به را )4-3( خطی ترکیب ،J-u جاي به است

از کاملی جواب میتوانیم تابع این از استفاده با .میشود گفته »u مرتبه از دوم نوع بسل تابع « یا »نیومن تابع «.بنویسیم غیرصحیح هايuبراي )4- 4( یعنی دیگري شکل به را بسل معادله

93

)34(sin

)()(cos)(

tJtJtY )44()()()( 21 tYctJcty

توابع بسل نوع سوم است مبتنی و است متفاوت هم اخیر شکل با که را بسل معادله عمومی جواب از شکلی است مناسب کاربردها از بعضی در:)4-5( خصوصی جواب دو بر

معادله از کاملی جواب میتوان و هستند موسوم »u مرتبه از سوم نوع بسل توابع « یا »هانکل توابع « به جوابها این:نوشت )4-6( صورت به آنها برحسب را بسل

بنابراین نیستند، مستقل تابع دو نتیجه در و هستند متناسب هم با J-u و Ju توابع است، صحیح عدد یکu که وقتی در .کرد پیدا کاملی جواب میتوان دیگري مختلف راههاي از حالت این در .نیست بسل معادله از کاملی جواب دیگر )2-4(

.است شده خالصه u مقادیر همه ازاي به ،u مرتبه بسل معادله جوابهاي بعد، صفحه قضیه

94

)64()()()( 22

11 tHctHcty

)54()()()(

)()()(2

1

tYitJtH

tYitJtH

جوابهاي کاملی براي معادله بسل، پارامتر یک باu مرتبه بسل معادله از کاملی جواب ،u مقادیر همه ازاي به :قضیه

زیر صورت دو از یک هر به را

:نوشت هم زیر شکل به میتوان را کامل جواب نباشد، صحیح عددu اگر .نوشت میتوان

و J-u ولی است متناهی x مقادیر همه ازاي به Ju باشد، نامنفی u اگر .دارند حقیقی ریشه بینهایت Yu و J-u و Ju توابعYu وقتی .هستند بیکران مبدا همسایگی در x 1 باشد حقیقی Hu 2 و Hu هستند مختلط مقادیر با توابعی.

95

)()()(,)()()( 22

1121 xHcxHcxyxYcxJcxy

)()()( 21 xJcxJcxy

0)( 2222 yxyxyx

معادله بسل پیراسته مستقال و شده داده خاصی نام آنها جوابهاي به که دارند وجود نیز نیز بسل معادله به شبیه استفاده پر معادالت از بعضی

»u مرتبه پیراسته بسل معادله« که است )4- 7( معادله آنها مهمترین .میشوند بررسی توابع از اي دسته عنوان به.میشود نامیده .است =i موهومی پارامتر باu مرتبه بسل معادله همان که نوشت )4-8( شکل به میتوان را )4-7( معادله

توابعی که هستیم بسل توابع از اي شده اصالح شکل دنبال به ،)4-9( شکل به آن کامل جواب جاي به کاربردها در ولی معادله از جوابی بسل تابع در ثابتی مقدار هر حاصلضرب اینکه و زیر رابطه به توجه با .باشند حقیقی متغیرهاي با حقیقی:داریم بود، خواهد

96

)74(0)( 222 yxyxyx

)94()()()84(0)( 212222 ixYcixJcyyxiyxyx

02

2

02

2

02

2

)1(!2)(

)1(!2)1(!2)()1()(

kk

k

kk

k

kk

kk

kkxixJi

kkxi

kkixixJ

معادله بسل پیراسته مثبت جمالتش همه که تفاوت این با است یکسان اول نوع بسل تابع با که است حقیقی کامال تابع یک آخر عبارت این

Iu با را آن معموال که تابع این .هستند (x) مرتبه اول نوع پیراسته بسل تابع « میدهند، نشان u« میشود نامیده.

I-u تابع، نباشد صحیحی عددu اگر (x) 4-11( شکل به را کامل جواب و است )4-7( معادله براي دومی مستقل جواب( :نوشت میتوان

I-u از استفاده جاي به مولفان از بسیاري (x)، نظر در پیراسته بسل معادله دوم جواب عنوان به را زیر خطی ترکیب .است »u مرتبه دوم نوع پیراسته بسل تابع « معرف که میگیرند

97

)114()()( 21 xIcxIcy

)104()1(!2

)()(0

2

2

kk

k

kkxixJixI

)124(sin

)()(2

)(

xIxIxK

معادله بسل پیراستهIu از مستقل وضوح به که است جوابی )4-12( نباشد، صحیحی عددu اگر (x) اگر ولی .است uاین باشد، صحیحی عدد

از مستقل که میآید دست به عبارتی هوپیتال قاعده از استفاده آن ابهام رفع با که میآید در 0/0 مبهم شکل به عبارتIu (x) است.

شکل به نباشد صحیحی عددu اگر ا ، پارامتر با اي پیراسته بسل معادله کامل جواب گفت، میتوان خالصه طور به بسل تابع نمودار بعد، صفحه شکل در .است بیان قابل )4- 14( شکل به )u براي محدویتی بدون( کلی طور به و )13-4(

.است شده رسم یک، و صفر مرتبه دوم و اول نوع پیراسته

98

)134()()( 21 xIcxIcy

0)( 2222 yxyxyx

)144()()( 21 xKcxIcy

معادله بسل پیراسته صفر هیچ صفر، در احتماال مگر پیراسته، بسل توابع نمودارها، مطابقIu عدد،u 0< ازاي به همچنین .ندارند حقیقی (x) متناهی مبدا در

Ku ولی است (x) مانند I-u (x) وقتی x میکند میل صفر به .میشود نامتناهی

99

معادله هایی که برحسب توابع بسل قابل حل هستند

و بزرگ دسته جمله از .کرد بیان بسل توابع برحسب میتوان را آنها جواب که هستند بسیاري دیفرانسیل هاي معادله.میشوند توصیف زیر قضیه در که معادالت از مهمی ،)4- 15( دیفرانسیل معادله نباشد، صفر d و p، q از یک هیچ اگر و)a-1(c4>=2 اگر :)4-1( قضیه

.است )4-16( کامل جواب داراي میشود، تبدیل اویلر معادله به که خاصی حالت در جز به

.است حاصله بسل معادله حل و )4-17( جانشانیهاي از استفاده براساس قضیه این اثبات

100

)154(0])1([)2( 2222 yxbxpabdxcybxaxyx ppqp

qca

qd

pba

xYcxJcexy qqx p

24)1(

,,,2

1

)164()]()([2

21

)174()()(

2)1(1

YexydqXx

pxpba

q

معادله هایی که برحسب توابع بسل قابل حل هستند

:میشود مطرح فرع یک عنوان به اهمیتش خاطر به قبل قضیه از خاصی حالت ،)4-18( دیفرانسیل معادله آنگاه ،)r-1(b4>=2 اگر :)4-1( فرع

.است )4-19( کامل جواب داراي میشود، تبدیل اویلر معادله به که s=b=0 و a=0، r=2 از خاص حالت در جز به

تعویض I-u و J-u با میتوانیم را Ku و Yu نباشد، صحیحی عددu اگر .شوند تعویض Ku و Iu با باید Yu و a<0، Ju اگر .کنیم

101

)184(0)()( 2 ybxaxyx rsr

srbr

srasrr

xYcxJcxy

24)1(

,2

2,

22,

21

)194()]()([2

21

مثال

:بیابید مقابل معادله براي کاملی جواب :4-1 مثال:حل: مقابل ضوابط با است )4-1( قضیه از خاصی حالت معادله این:داریم نتیجه در

:از است عبارت کامل جواب بنابراین

:بیابید مقابل معادله براي کاملی جواب :4-2 مثال:از است عبارت ممکن حالت یک که است آشکار

:آن در که است )4-1( فرع از خاصی حالت شده داده معادله ولی

102

0)354()34( 2842 yxxyxxyx

1,5,3,4,2,3 qdcpba

1,55,21,2

)]5()5([ 1211224

xKcxIcexyx

0 yyxcxcy sincos 21

مثال

:)4-2( مثال حل ادامه:نوشت میتوان بنابراین و

شکل به باید (*) خصوصی جوابهاي از هریک ،c2 و c1 براي صحیحی انتخاب با دیفرانسیل، معادله در اي قضیه طبق و.باشند بیان قابل (**)

:نوشت میتوان مقابل روابط طبق حال

103

21,1,1,

210,1 asrba

)]()([2

122

11 xJdxJdxy

(*))(,)(2

12

1 xJxxJx

(**)sincos 21 xcxc

...2)(

21)

21(

21)

23(...,

)23(2

)(

21

21

21

21

xxJx

xxJ

مثال

:)4-2( مثال حل ادامه:نوشت میتوان بنابراین و

:میشود نتیجه x ضرایب دادن قرار مساوي وسپس اتحاد این در x دادن قرار صفر با:که است شده ثابت مهم و جالب حکم این ترتیب این به

:که داد نشان میتوان مشابه طور به

104

...)3

(...)2

1(sincos...2)(3

2

2

1212

1 xxcxcxcxcxxJx

2,0 21 cc

xxJxxx

xJ sin2)(orsin2)(2

12

1

xx

xJ cos2)(2

1

اتحادهایی براي توابع بسل

105

)()]([1 xJx

dxxJxd

)()]([1 xJx

dxxJxd

)()]([1 xIx

dxxIxd

)()]([1 xIx

dxxIxd

)()]([1 xKx

dxxKxd

)()]([1 xKx

dxxKxd

صورت به بسل توابع به مربوط اتحادهاي از تعدادي ادامه در:است شده آورده اثبات بدون قضایایی

:)4-2( قضیه

:)4-3( قضیه

:)4-4( قضیه

:)4-5( قضیه

:)4-6( قضیه

:)4-7( قضیه

عبارات بازگشتی براي توابع بسل

)4-22( تا )4-20( روابط میتوانیم زیر شرح به و ،)4-3( و )4-2( هاي قضیه در شده مطرح مشتقگیریهاي از استفاده با آوردن دست به براي میتوان آنها از که آوریم دست به را )4-24( و )4- 23( بازگشتی مهم روابط و گیري مشتق براي.کرد استفاده مثبت و منفی بزرگ مراتب با بسل توابع

106

)214()()()(

)204()()()(

)()()(

)()()(

1

1

11

11

xJxJx

xJ

xJx

xJxJ

xJxxJxxJxxJxxJxxJx

)(2)()()214()204( 11 xJx

xJxJ

)224(2

)()()()214()204( 11

xJxJxJ

عبارات بازگشتی براي توابع بسل

.بنویسید ax(1J( و 0J)ax( برحسب را 4J)ax( :4-3 مثالداریم )4-23( طبق :حل

107

)244()()(2)(

)234()()(2)(

11

11

xJxJx

xJ

xJxJx

xJ

)()124()()848(

)(6))()(2)(124()(6)()124(

)()]()(4[6)()(6)(

022133

101221222

212234

axJxa

axJaxxa

axJax

axJaxJaxxa

axJax

axJxa

axJaxJaxJaxax

axJaxJax

xJ

مثال

.کنید ثابت را مقابل رابطه :4-4 مثال

:حل

:میکنیم جاگذاري )4-21( و )4-20( از حال

108

)]()([)]()([1

221 xJxJxdx

xJxxJdvv

vv

)()()()()()()]()([111

1 xJxxJxJxJxxJxJdx

xJxxJdvvvvvv

vv

)]()([)]()1()()[(

)]()()[()()()]()([

122

1

1111

xJxJxxJxJxJ

xxJxJxJxJxJdx

xJxxJd

vvvvv

vvvvvvv

انتگرال گیري از توابع بسل

محاسبه براي بنویسیم، زیر گیري انتگرال فرمولهاي صورت به را )4-3( و )4-2( قضایاي در مذکور بنیادي اتحادهاي اگر:میکند کفایت بسل توابع شامل ساده روابط از بسیاري انتگرال

:داریم دهیم قرار صفر برابر راu ،)4-26( در و 1 برابر راu ،)4-25( در اگر مثال

.کرد استفاده باید هم جزء به جزء گیري انتگرال از ،)4-26( و )4-25( بر عالوه معموال ولی

109

)264()()(

)254()()(

1

1

cxJxdxxJx

cxJxdxxJx

cxJdxxJ

cxJxdxxJx

)()(

)()(

01

10

مثال

.کنید محاسبه را مقابل عبارت :4-5 مثال

:حل

:نوشت میتوان )4-26( به توجه با و )زیر ضوابط با( جزء به جزء روش از استفاده با

110

?)(3 dxxJ

dxxJxxdxxJ ])([)( 322

3

cxJxxJ

dxxJxxJdxxJxxdxxJ

)(2)(

)(2)(])([)(

11

2

21

2322

3

)(2

)(

22

322

xJxvdxxdudxxJxdvxu

):3(توابع ویژه کاربرد توابع بسل




کاربرد توابع بسل .میگردد واگذار دانشجویان به مطالعه براي بسل توابع تعامد بررسی

از پوشی چشم با .است آویزان گاهی تکیه از r طول واحد جرم و L طول به یکنواختی پذیر انعطاف کابل :5-1 مثال.کابل طبیعی فرکانسهاي است مطلوب اصطکاك،

:)چرا؟( با است مطابق مساله این دیفرانسیل معادله :حل

:نوشت میتوان متغیرها جدایی معمول روش مطابق حال

112

)15()(

2

2

xxyg

ty r

r

TgT

XXx

XxTgTXx

TXxgTXtTxXtxy

)(

)()()()(),( rrrr

کاربرد توابع بسل :نتیجه در )چرا؟( باشند منفی ثابت عدد یک برابر باید تساوي طرف دو هر

:شد خواهد)5-3( معادله جواب قبل، جلسه در مطروحه فرع به توجه با

که میشود بیان )5- 5( با سر این جابجایی میزان ،)جابجایی از پیش( کابل آزاد سر در مختصات مبدا گرفتن نظر در با .باشد متناهی باید است، نامتناهی میکند، میل صفر سمت به x وقتی )5-6( ولی.باشد صفر باید B نتیجه در:داریم دوم مرزي شرط اعمال با

113

)35(0)(

)25(sincos2

2

xXx

tgDtgCTTgT

)45()2()2( 00 xBYxAJX

)55()()0(),0( tTXtY

)65()2(0 xY

)75(0)2(0)( 0 lJlX

کاربرد توابع بسل :آنگاه باشند J0(z)=0 معادله هاي ریشه ... و z1، z2، z3 اگر .است مساله مشخصه معادله )5-7( ریاضی زبان به

و کراندارx=0 همسایگی در که است اي دوره جوابهاي داراي)5-1( معادله مقادیر، این ازاي به فقط و مقادیر این ازاي به فرکانسهاي )5-2( به توجه با زیرا هست نیز مساله فرکانسی معادله ،)5-7( فیزیکی زبان به .هستند صفر x=L در

:از عبارتند کابل طبیعی

.است عددي روش از استفاده باال، در مذکور هاي ریشه یافتن براي روش یکی

114

...,2

,2

,2

33

22

11 l

zl

zl

z

22g

f nnn

محاسبه انتگرال معین توابع بسل

115

معادله از هایی جواب براي (*) در I مقدار :5-1 فرع اگر( کنند صدق (**) مرزي شرایط در ،کهu مرتبه بسلa=0، جواب بودن کراندار شرط با اول مرزي شرط

(**))بعد صفحه( :با است برابر ،)میشود تعویض0)(

0)(

22

11

bx

ax

dxxdyByA

dxxdyByA

(*))(2 dxxxyI n

b

a

فرع عنوان تحت ادامه در بگیرد، قرار استفاده مورد میتواند بسل توابع انتگرال محاسبه براي که قضیه، یک از خاصی حالت.است شده بررسی 5- 1

5-1فرع

116

])()[(2

)(0)6

)(2

0)5:0if

])()[(2

)(

])()[(2

)(0,0)4

)(2

])()[(2

)(0,0)3

])()[(2

)()(2

0,0)2

)(2

)(2

0,0)1

:0if

2

2

2222

2

2

21

2

2

2

1

1222

2

2

2

2222

2

21

21

22

2

2222

2

21

2

1

1222

22

1

2

21

21

22

1

2

21

BbAbbyIB

bybIBa

BaAaayBbAbbyIBB

ayaBbAbbyIBB

BaAaaybybIBB

ayabybIBB

a

nn

n

n

nn

n

nn

n

nnn

n

nn

nn

nn

بسط با توابع بسل شرط در و بوده کراندار مبدا در که ،1 مرتبه از بسلی توابع برحسب )2،0( روي زیر تابع بسط است مطلوب :5-2 مثال.کنند صدق زیر مرزي

:از است عبارت 1 مرتبه بسل معادله عمومی جواب :حل:داریم مرزي شرط طبق نیز و است بیکران مبدا همسایگی در چون

:از عبارتند مشخصه توابع نتیجه در و)مشخصه مقادیر( باال معادله مثبت اول ریشه 3

117

0)2(4)( 3 yxxxf

)()( 1211 xYcxJcy

0)2(0)2(0)2(

0)(0

10

11

21

1

JJcycxYxc

)087.5(087.5)508.3(508.3

)916.1(916.1

333

222

111

xJyxJyxJy

بسط با توابع بسل :شود تعیین زیر بسط ضرایب مقدار باید حال

x1 ( چون اي بازه روي )دانشجو مطالعه( مناسبی شرایط در بسل توابع وقتی , x2( و کلی، طور به توابع این کنند، صدق .متعامدند مذکور بازه رويx وزنی تابع به نسبت {J1(nx)} خاص توابع نتیجه در

در( نظر مورد بازه روي جمله به جمله سپس و میکنیم ضرب xJ1(nx) در را سري باال، در ضرایب یافتن براي بنابراین :)چرا؟( داشت خواهیم .میگیریم انتگرال )2 تا 0 اینجا

:5-1 فرع 5 بند طبق و

118

...)(...)()()(4 13132121113 xJcxJcxJcxJcxx nn

dxxxJCdxxxJxx nnn 2

0

211

2

0

3 )()()4(

)2(2

)()4(22

1

2

0

3

n

nn J

dxxxJxxC

کاربرد توابع بسل سطح و خمیده سطح پایینی، قاعده .است h ارتفاع و r شعاع به مستدیرقائم استوانه نیم یک شکل به جسمی :5-3 مثال

فرض با .است مکان از f معلوم تابع مطابق دما مقدار باال قاعده روي .میشوند نگهداشته ثابت صفر دماي در آن مستطیلی.کنید پیدا را جسم از نقطه هر در دما مانا، شرایط

:حل متغیرهاي تبدیل با .میکنیم استفاده اي استوانه مختصات از کارتزین مختصات جاي به مرزي شرایط شکل به توجه با:آید می در )5-10( شکل به گرما معادله ،)9-5(

119

)95(sincos

zzryrx

)85(),(),,( rfhru

)105(112

2

2

2

2

2

22

2

tu

zuu

rru

rru

کاربرد توابع بسل مشتق پس شده فرض مانا، شرایط چون

:میدهیم قرار صفر را زمان به نسبت

و میگیریم )5-12( شکل به را جواب حال انجام با و میدهیم قرار )5-11( در

.آید می دست به )5- 13( محاسبات

از مستقل )5-13( طرف دو متغیرهاي چون مقدار برابر طرف دو هر پس هستند، هم

باشد منفی مقدار این اگر .هستند ثابتی.آید می دست به Q براي )14-5(

120

)115(0112

2

2

2

22

2

zuu

rru

rru

)125()()()(),,( Q zZrRhru

)135(

011

122

2

2

QQ

QQQQ

Q

ZZr

RRr

RRr

ZRZRr

ZRr

ZR

ZRr

)145(sinhcosh

if 221

Q

QQ

vBvA

vv

کاربرد توابع بسل که آید می دست به بدیهی جواب و شوند صفر باید B و A ضریب دو هر زیر روابط طبق و مرزي شرایط به توجه با

.میشود رد 1 بودن منفی فرض بنابراین نیست، ما مطلوب

رد هم فرض این و میشوند صفر ضرایب مرزي شرایط اعمال با هم باز که میرسیم مقابل جواب به باشد صفر 1 اگر.میشود

:نوشت میتوان مرزي شرایط اعمال و 1 بودن مثبت فرض با حال

121

00)(0)()()(),,(00)0(0)()0()(),0,(

QQQQ

BzZrRzruAzZrRzru

BAQ 0if

0sin0)(,000cos0)0(

sincosif 221

QQ

QQQ

vBAA

vBvAvv

کاربرد توابع بسل B پس میرسیم بدیهی جواب به باز چون شود صفر نباید:

:داریم کردن مرتب با و )5-13( طبق است n2 برابر 1 که حال

:داریم باشد منفی مقدار این اگر .هستند ثابتی مقدار برابر طرف دو قبل مشابه

:پس است n مرتبه پیراسته بسل نوع از باال معادله

122

)155(sin)(...,3,2,10sin Q nvv n

)165(122

2222

RR

rRR

rn

ZZn

ZZr

RRr

RRr

0)(01 22222

22

RnrRrRrrn

RR

rRR

)()( rDKrCIR nn

کاربرد توابع بسل r درKn (r) چون .شود صفر آن ضریب که است الزم بماند متناهی استوانه محور در دما ابنکه براي است، بینهایت 0=

:داریم مرزي شرایط به توجه با همچنین

نتیجه در و شود صفر باید نیز تابع این ضریب پس .نیست صفر مبدا در احتماال جز به جا هیچ در پیراسته بسل تابع ولی.میشود رد 2 بودن منفی فرض بنابراین نیست، ما مطلوب که آید می دست به بدیهی جواب

:نوشت میتوان آن در متغیر تغییر با که میرسیم اویلر معادله به باشد صفر 2 اگر

123

0)(0 DrKr n

0)(0)(0)()()(),,( Q bCIbRzZbRzbu n

nnnner DrCrDeCeRRndRd

RnRrRrrn

RR

rRR

0

001

22

2

222

2

کاربرد توابع بسل صفر استوانه سطح در دما ابنکه براي و شود صفرD که است الزم بماند متناهی استوانه محور در دما که این براي

نیست، ما مطلوب که آید می دست به بدیهی جواب بازهم نتیجه در و شود صفر باید نیز Cمقابل مطابق شود، نگهداشته.میشود رد نیز 2 بودن صفر فرض بنابراین

محور در دما بودن متناهی ضرورت به توجه با سپس و آید می دست به زیر شکل به معادله 2 بودن مثبت فرض با حال:آید می دست به )5- 17( مرزي، شرایط اعمال با و استوانه

124

00)( CCbbR n

)()()()(

0)(01 22222

222

2

rDYrCJRrDYrCJR

RnrRrRrrn

RR

rRR

nnnn

)175(0)(0)(0)(0)(0

bJbCJbRDrYr

nn

n

کاربرد توابع بسل به پس .0 Jn=(x) معادله امmریشه از است عبارت rnm آن در که است محدود )5-18( مقادیر مجموعه به یعنی .)5-19( دارد وجود R براي خصوصی جواب بینهایت ،n هر ازاي

:آید می دست به مرزي شرایط اعمال و )5-16( به توجه با حال

:آید می در )5-21( صورت به جواب کلی شکل بنابراین

125

)205(sinh00)0(0)0()()()0,,(

sinhcosh222

Q

zZEZZrRru

zDzEZZZ

nmnm

nmnmnmnm

)185(

bnmr

)195()()( rJrR nmnnm

)215(sin)sinh()()205()195()155(

nzrJAu nmnmnnmnm

کاربرد توابع بسل :میکنیم جمع هم با n روي سپس و m روي ابتدا را جمالت حال

f برابر Z=h در )5- 22( که طوري به Anm تعیین نهایی گام حال (r , .شود (

نتیجه، در .کند تغییر (,0) یعنی مساله حوزه روي بتواند و شود نگهداشته ثابت r میکنیم فرض بسط این انجام برايGn مثال است،n به وابسته که است ثابتی مقدار برابر )5-23( در داخلی مجموع (r). یعنی:

126

)225()sinh()(sin),,(

)sinh()(sin

1 11

11

n mnmnmnnm

nn

mnmnmnnm

mnmn

zrJAnuzru

zrJAnuu

)235()sinh()(sin),(),,(1 1

n mnmnmnnm hrJAnrfhru

)245(sin)(),(1

nn nrGrf

کاربرد توابع بسل :نوشت میتوان فوریه بسط به توجه با بالفاصله و

Gnبنابراین (r)از معلومی تابع r داریم است، )5-23( در داخلی مجموع قسمت برابر تابع این چون و است:

Gn معلوم تابع بسط ضرایب )5-26( در کروشه داخل عبارت شوندکه تعیین طوري ها Anm باید نتیجه در (r)برحسب :داریم بنابراین .باشد بسل تابع

:با است برابر 5- 1 فرع از 5 بند طبق قبل، رابطه مخرج

127

)255(sin),(2)(0

dnrfrGn

)265()()]sinh([)(1

mnmnnmnmn rJhArG

b

nmn

b

nmnnnmnm

drrJr

drrJrGrhA

0

2

0

)(

)()()sinh(

)275()()2()( 122

0

2 bJbdrrJr nmnb

nmn

کاربرد توابع بسل

Gn آن در که (r) 5-25( از( تعیین با .آید می دست به Anmضرایب که ها )است شده کامل مساله حل هستند، )5-22.

128

)()sinh()2(

)()(

)()2(

)()()sinh(

122

0

122

0

bJhb

drrJrGrA

bJb

drrJrGrhA

nmnnm

b

nmnnnm

nmn

b

nmnnnmnm

):4(توابع ویژه

چند جمله اي هاي لژاندر، هرمیت و الگر




معادله لژاندر هاي معادله از یکی و شد حل اي استوانه مختصات در الپالس معادله یعنی پایدار، حالت گرماي معادله قبل، مثال در

متغیرها جدایی روش وقتی که دید خواهیم صورت همین به .بود بسل معادله متغیرها جدایی از ناشی معمولی دیفرانسیل معادله« حاصل، معمولی دیفرانسیل هاي معادله از یکی ببریم، کار به کروي مختصات در الپالس معادله مورد در را

.است »لژاندر.میرسیم )6-3( به بیاوریم، کروي مختصات به کارتزین مختصات از )6-2( روابط از استفاده با را )6-1( اگر

130

)26(cos

sinsincossin

rzryrx

)36(]sin

1cos

sinsin2sin[sin1

2

2

2

2

2

22

22

FF

FrFr

rFr

rF

)16(2

2

2

2

2

22

zu

yu

xuF

معادله لژاندر:نوشت میتوان را کروي مختصات در الپالس معادله پس

فرض )6-5( شکل به را جواب ،)6-4( حل براي .میشود نامیده کروي همساز یک معادله این از F(r,,)جواب هرRG بر تقسیم با سپس .میدهیم قرار )6-4( در و کرده sin میرسیم )6-6( به کردن منظم و.

131

)46(0sin

1cossinsin2sin

0

2

2

2

2

2

22

2

FFF

rFr

rFr

F

)56(),()(),,( GrRrF

)66()sin1

sincos1(2

0sin

cossinsin2sin

2

2

22

22sin

2

2

2

22

GG

GG

GGR

RrRr

GRGRGRGRrGRr

RG

معادله لژاندر صورت به را ثابت این بعد، مراحل در کار سادگی براي .باشد ثابتی عدد طرف، دو مقدار که است برقرار وقتی فقط )6-6(

n(n+1) میرسیم )6-8( و )6- 7( به نتیجه در .مینویسیم.

:از است عبارت آن جواب و است اویلر معادله نوع از )7-6( )6-10( شکل به G گرفتن با .گویند »سطحی همسازهاي« را کرد تعیین متغیرها جدایی با باید که را )6-8( جوابهاي

.میرسیم )6-11( شده داده نشان محاسبات انجام و)6-8( در جاگذاري و

132

)86(0)1(sin

1sincos

)76(0)1(2

2

2

22

2

2

GnnGGGRnnRrRr

)96(1121 n

n

rcrcR

0)1(sin

1

sin

cos

)1 06()()(),(

2

nn

G

معادله لژاندر

:داریم بنابراین ،m2 مثل باشد، ثابتی عدد باید طرف، دو مقدار هم باز

:میشود بیان )6-14( شکل به و است مشخص )6-12( جواب

x انتخاب با میشود، بررسی معموال که معادله این از شکلی ولی میشود، نامیده »وابسته لژاندر معادله« ،)6-12( معادله :داریم اینصورت در .آید می دست به زیر شکل به

133

)116(sin)1(cossinsin 22sin 2

QQ

QQ

Q

nn

)136(0]sin)1([cossinsin)126(0

222

2

QQQ

mnnm

)146(sincos 43 mcmc

dxd

ddx

dxd

ddx Q

Q

Q

sincos

معادله لژاندر

:)6-13( در قبل عبارات دادن دادن قرار با

:داریم سازي ساده و ،cos جاي به x دادن قرار و sin2 بر طرفین تقسیم با

از مستقل اولیه دیفرانسیل معادله جواب اگر یعنی ،m=0 اگر .است وابسته لژاندر معادله جبري شکل ،)6- 15( معادله.میشود نامیده »لژاندر معادله« فقط که آید، می در )6-16( شکل به )6-15( آنگاه باشد، زاویه

134

2

22

2

2

2

2

sincossincos)sin(dxd

dxd

ddx

dxd

dxd

dxd

dd

dd Q

Q

Q

Q

Q

Q

0]sin)1([)sin(cossin)sincos(sin 222

222 Q

Q

Q

Q mnn

dxd

dxd

dxd

)156(0]1

)1([2)1( 2

2

2

22 Q

Q

Q

xmnn

dxdx

dxdx

)166(0)1(2)1( 2

22 Q

Q

Q nn

dxdx

dxdx

معادله لژاندر:)6-17( شکل به جواب فرض با .میبریم کار به را فروبنیوس روش )6-16( حل براي

:داریم )6-16( در جانشانی و

:از عبارتند ترتیب به xc-1 و xc-2 یعنی ،x توانهاي ترین پایین از تا دو ضرایب باال اتحاد در

135

QQ

Q

0

2

0

1

0

)1)(()()()(

)176()(

k

ckk

k

ckk

k

ckk

xckckaxxckax

xax

)186(0)1()(2

)1)(()1)((

0 0

00

2

k k

ckk

ckk

k

ckk

k

ckk

xannxcka

xckckaxckcka

ccacca

)1()1(

1

0

معادله لژاندرc اگر c انتخاب پس .باشند داشته محدودیتی a1 و a0 اینکه بدون میشوند صفر برابر قبل عبارت دو از هریک ،0= به 0=x چون بود انتظار قابل موضوع این البته .انجامید خواهد )6-16( معادله مستقل جواب دو )6- 16( معمولی نقطه یک 0=

:آوریم می دست به )6-18( در آخر مجموع سه ترکیب سپس و صفر برابر c دادن قرار با .است

:داریم شوند، ترکیب دوباره مجموعها و شود تبدیل k-2 به k از اول مجموع در یابی مجموع متغیر اگر حال

:یا

136

0)]1(2)1([)1(02

2

k

kk

k

kk xnnkkkaxkka

0)}]1()1({)2)(1([0

2

kk

kk xnnkkakka

0)}]1)({()2)(1([0

2

kk

kk xknknakka

چند جمله ایهاي لژاندر به را ضرایب که بازگشتی رابطه نتیجه در .شود صفر برابر کروشه داخل عبارت اگر تنها و اگر است اتحاد یک تساوي این:بود خواهد )6- 19( شکل به میسازد مربوط هم

:از است عبارت )6-16( کامل جواب یک پس

137

0)1)(()2)(1( 2 kk aknknakk

)206(...!5

)4)(2)(3)(1(!3

)2)(1(

...!4

)3)(1)(2(!2

)1(1)(

531

420

Q

xnnnnxnnxa

xnnnnxnnax

)196(0)2)(1(

)1)((2

kakkknkna kk

13021100 !3)2)(1(,

!2)1(,, annaannaaaaa

...........,!5

)4)(2)(3)(1(,!4

)3)(1)(2(1504 annnnaannnna

چند جمله ایهاي لژاندر=1x چون .میکنند تعریف را »دوم نوع لژاندر توابع « ،)6- 20( نامتناهی سریهاي این -16( معادله تکین نقاط تنها ±

میتوان ولی .است 1 برابر حداقل سریها این از هریک همگرایی شعاع که میشود نتیجه قبل قضایاي به بنا هستند، )6.است -x<1 >1 سري هر همگرایی بازه یعنی .نیستند همگرا - 1 و +1 در سریها این از یک هیچ که داد نشان

جمله متناهی تعداد )6-20( در دوم سري باشد فرد اگر که است مثبتی صحیح عدد n پارامتر کاربردها، از بسیاري در مجموع یک به که سریی حالت، دو این از هریک در .دارد جمله متناهی تعداد )6-20( در اول سري باشد، زوج اگر و دارد

آوردن دست به براي .میشود نامیده n مرتبه اي منطقه همساز یا لژاندر اي چندجمله یک یابد، می تحویل متناهی توان بزرگترین ضریب شود باعث که میشود داده نسبت مقادیري a1 وa0 به لژاندر، اي چندجمله معمولی متعارف شکل

x شود مقابل عبارت با برابر سري هر در:

:از عبارتند مقادیر این

138

2)!(2)!2(nn

n

222

0])!2[(2

!)1(...6.4.2

)1...(5.3.1)1( nn

nna

n

nn

چند جمله ایهاي لژاندر

:از است عبارت حاصل کلی فرمول و

:آید می دست به فرمول این از مشخص طور به و

139

]!2

)1([]!2

)1([2

)!1()1()1...(6.4.2

...5.3.1)1( 21

21

1

nnn

nna

n

nn

)1(/2:فرد

/2:زوج)!2()!(!2

)!22()1()( 2

0 nnNnnN

xknknk

knxP knN

kn

k

n

)157063(81)()33035(

81)(

)35(21)()13(

21)(

)(1)(

355

244

33

22

10

xxxxPxxxP

xxxPxxP

xxPxP

چند جمله ایهاي لژاندر:داریم n مقادیر همه ازاي به میدهند، نشان خاص نتایج این که همانطور

ثابت ضریب یک از نظر صرف ،Pn(x) که گفت میتوان پس واگراست، - 1 و1 در )6-20( سري نامتناهی بخش چون.است متناهی≥x≤1 -1 بسته بازه در که است لژاندر معادله جواب تنها اختیاري،

.میبریم پایان به را لژاندر ایهاي جمله چند بحث مثال یک و قضیه دو بیان با ادامه در

:است آمده زیر قضیه در که است رودریگ فرمول لژاندر، ایهاي جمله چند شامل اساسی اتحادهاي از یکی:6-1 قضیه

140

nnn PP )1()1(,1)1(

n

nn

nn dxxd

nxP )1(

!21)(

2

چند جمله ایهاي لژاندرمیکنند صدق زیر تعامد روابط در لژاندر، جبري ایهاي جمله چند :6-2 قضیه

میکنند صدق زیر تعامد روابط در لژاندر، مثلثاتی ایهاي جمله چند و

141

nm

n

nmdxxPxP nm

122

0)()(

1

1

nm

n

nmdPP nm

122

0sin)(cos)(cos

0

مثالu معلوم دماي توزیع :مثال =f ( کره نقطه هر در را مانا حالت دماي .است برقرار b شعاع به اي کره سطح تمام روي (

.آورید دست به:حل تقارن به توجه با ولی .کنیم حل را کروي مختصات در الپالس معادله یعنی مانا، حالت گرماي معادله باید اینجا در

:آید می در زیر شکل به )6-4( پس .است وr از تابعی فقط u که است روشن دایروي

.میدهیم قرار )6-21( در و کرده فرض )6-22( شکل به را جواب حال

.میرسیم )6-23( به کردن منظم و RQ بر تقسیم با سپس

142

)216(0cossinsin2sin0 2

2

2

22

2

2

uu

rur

ruru

)226()()( Q rRu

0cossinsin2sin2 QQ QQ RRRrRr

مثال

:میکند صدق زیر معادله در n از )مختلط احتماال( مقدار یک حداقل همیشه ، هر ازاي به چون

n برابر را اگر +1)( n داریم را زیر معمولی دیفرانسیل معادله دو بنابراین .ایم نکاسته مساله کلیت از کنیم، فرض:

:از است عبارت کاملش جواب و است اویلر معادله یک اول معادله

r در که است مطلوب جوابهایی چون ولی لژاندر معادله ،)6-25( معادله .بگیریم صفر برابر را B باید باشد، متناهی 0=0 بسته بازه روي که میخواهیم را معادله این از جوابهایی چون و است ≤ ≤ که جوابهایی تنها چون و باشند، متناهی

143

)236(sincos22

QQ

QQ

Q

RRr

RRrR

02 nn

)256(0sin)1(cossin)246(0)1(22

QQQ

nnRnnRrRr

)266(1 nn

rBArR

مثالQ نتیجه در باشد، صحیحی عدد n باید هستند، لژاندر ایهاي جمله چند باشند، داشته را خاصیت این Pn (cos ). :داریم زیر صورت به حاصلضربی جوابهاي از نامتناهی دنباله پس

:کند صدق کره سطح روي زیر مفروض دماي شرط در نمیتواند تنهایی به باال جوابهاي این از یک هیچ

.سازیم سازگار مرزي شرط با را آن و دهیم تشکیل حاصلضربی جوابهاي از نامتناهی سري باید معمول، طبق رو این از:مینویسیم پس

sin در را اخیر رابطه ،An آوردن دست به براي Pn (cos کرده ضرب (:داریم و میشوند صفر یکی، استثناي به راست سمت انتگرالهاي همه تعامد، خاصیت به بنا .میگیریم انتگرال تا 0 از و

144

...),(cos...,),(cos),(cos),(cos 22

21100 nn

n PrAPrArPAPA

)(),( fbu

)276()(cos),(0

nn

nn PrAru

0

)(),( )(cos)(n

nn

nfbu PbAf

مثال

.میرسد اتمام به مساله حل ،)6-27( ضرایب تعیین با ترتیب این به و***************

.است شده انجام »الگر« و »هرمیت« هاي معادله به گذرایی اشاره ادامه در

145

122)(cossin)(

0 n

bAdPf nnn

dPfbnA nnn )(cossin)(2

120

چند جمله ایهاي هرمیت موسوم »هرمیت ایهاي جمله چند« به آن اي جمله چند جوابهاي و میشود نامیده »هرمیت معادله« )6-28( معادله .هستند

g مقابل وزنی تابع به نسبت معادله این جوابهاي (x) کرد بیان )6-29( با میتوان را آنها و متعامدند )-∞, ∞(بازه روي .است ثابت عدد یک c آنها در که هرمیت ایهاي جمله چند از مورد چند مقابل جدول در

:است شده آورده

146

)286(022 Nnnyyxy2

)( xexg

)296()()(2

2

n

xnx

n dxedcexH

چند جمله ایهاي الگر .هستند موسوم »الگر ایهاي جمله چند« به آن اي جمله چند جوابهاي و میشود نامیده »الگر معادله« )6-30( معادله

g مقابل وزنی تابع به نسبت معادله این جوابهاي (x) که کرد بیان )6-31( با میتوان را آنها و متعامدند )0, ∞ (بازه روي .است ثابت عدد یک c آنها در:است شده آورده الگر ایهاي جمله چند از مورد چند زیر در

147

)306(0)1( Nnnyyxyx xexg )(

)316()()(

n

xnnx

n dxexdcexL

نمودار چند جمله ایهاي هرمیت و الگر.است شده رسم الگر و هرمیت ایهاي جمله چند از مورد چند زیر شکلهاي در

148

ﻊﺑﺎﻨﻣ و ﺎﻬﻠﺼﻓﺮﺳ...

Documents